2015年广东省3+证书高职高考数学试卷(真题)和答案

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2015年广东高考数学(理科)试卷及答案(试题与答案分开)

绝密★启用前试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若集合()(){}410x x x M =++=,()(){}410x x x N =--=,则=N M ( ). A. φ B. }4,1{-- C. }0{ D. }4,1{ 2. 若复数))(23(是虚数单位i i i z -=,则=z ( ).A. i 23-B. i 23+C. i 32+D. i 32- 3. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ). A. x e x y += B. x x y 1+= C. x x y 212+= D. 21x y +=4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球中恰好有1个白球,1个红球的概率为( ). A. 1 B.2111 C. 2110 D. 215 5. 平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是( ).A. 052052=--=+-y x y x 或B. 052052=-+=++y x y x 或C. 052052=--=+-y x y x 或D. 052052=-+=++y x y x 或6. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x ,则y x z 23+=的最小值为( ).A.531 B. 6 C. 523D. 4 7. 已知双曲线1:2222=-by a x C 的离心率45=e ,且其右焦点为)0,5(2F ,则双曲线C 的方程为( ).A. 13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x8. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值( ).A. 大于5B. 等于5C. 至多等于4D. 至多等于3二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9 ~ 13题)9. 在4)1(-x 的展开式中,x 的系数为_____________.10. 在等差数列}{n a 中,若2576543=++++a a a a a ,则=+82a a _____________.11. 设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若6,21sin ,3π===C B a ,则=b ___________.12. 某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了_______条毕业留言.(用数字作答)13. 已知随机变量X 服从二项分布),(p n B .若20)(,30)(==X D X E ,则=p __________. (二)选做题(14 ~ 15题,考生只能从中选做一题)14. (坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为2)4sin(2=-πθρ,点A 的极坐标为)47,22(πA ,则点 A 到直线l 的距离为____________.15. (几何证明选讲选做题)如图1,已知AB 是圆O 的直径,4=AB , EC 是圆O 的切线,切点为C ,1=BC .过圆心O 作BC 的平行线, 分别交EC 和AC 于点D 和点P ,则=OD ___________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量)22,22(-=m ,)2,0(),cos ,(sin π∈=x x x n .(1)若n m ⊥,求x tan 的值; (2)若m 与n 的夹角为3π,求x 的值.某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1) 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2) 计算(1)中样本的均值x 和方差2s ;(3) 36名工人中年龄在s x -与s x +之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)？18. (本小题满分14分)如图2,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,4,6,3PD PC AB BC ====,点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==. (1)证明：PE FG ⊥；(2)求二面角P AD C --的正切值； (3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.设0>a ,函数a e x x f x -+=)1()(2. (1)求)(x f 的单调区间;(2)证明)(x f 在(,)-∞+∞上仅有一个零点;(3)若曲线)(x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP 平行,(O 是坐标原点), 证明:123--≤ea m .20. (本小题满分14分)已知过原点的动直线l 与圆056:221=+-+x y x C 相交于不同的两点B A 、. (1)求圆1C 的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线)4(:-=x k y L 与曲线C 只有一个交点？若存在,求出k 的取值范围; 若不存在,说明理由.21. (本小题满分14分) 数列}{n a 满足:121224,2n n n a a na n N *-+++=-∈. (1)求3a 的值;(2)求数列}{n a 的前n 项和n T ; (3)令)2()131211(,111≥+++++==-n a nn T b a b n n n 证明:数列}{n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<.2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案1. 答案: A 提示: {1,4},{1,4},.M N M N φ=--=∴=2. 答案: D 提示: 23,23z i z i =+∴=-.3. 答案: A 提示: 设(),,(),x x f x x e R f x x e -=+-=-+该函数的定义域为(),()(),(),().,,,,.x f x x e f x f x f x f x B C D =--∴-而-不恒等于也不恒等于-故既不是奇函数也不是偶函数三个选项中的函数依次为奇函数偶函数偶函数4.答案: C 提示: 所求概率为1110521550210.151421C C C ⨯==⨯ 5. 答案:D 提示: 设所求直线的方程为2||20,5,||5, 5.21a x y a a a ++==∴==±+依题意即6. 答案: C 提示: 可行域为一五边形及其内部(含边界),该五边形的五个顶点分别为A(1,2), B(3,2), C(3,0),D(2,0),E 4(1,)5,易知当目标函数过点E 4(1,)5时取到最小值,此时z=423312.55⨯+⨯= 7. 答案: B 提示: 222555,,4,9.4c c e a b c a a a ====∴==-=显然又从而 8. 答案: C. 提示: 显然当以A,B,C,D 四点为顶点构成正四面体时,这四点两两的距离都相等,以下用反证法证明5个或5个以上的点两两距离不可能都相等：假设A,B,C,D,E 五个点两两距离都相等,,26,.3(:2),.A BCD E BCD AE AB AB AE A BCD --=>-则三棱锥和三棱锥是两个全等的正四面体从而这与这五点的距离两两都相等矛盾注的长度为正四面体高的倍故最多四个点两两距离相等9. 答案: 6. 提示: 12422144()(1)(1),212,2r r rr rr r r T C x C xr --+=-=--==令得224(1) 6.x C ∴-=展开式中的系数为 10.答案: 10. 提示:374655555285()()2225,5,210.a a a a a a a a a a a a ++++=++=∴=+==从而11. 答案:1 . 提示:155sin ,(0,),,,,,266666B B BC B B ππππππ=∈∴==∴≠=且或又从而2cos,33, 1.6a b b b π∴==∴=即12. 答案: 1560. 提示:24040,40391560.A =⨯=相当于从人中选取两人的排列数故方法总数为13.答案: 13. 提示:201(,),()30,()(1)20,1,.303X B n p E X np D X np p p p ∴===-=∴-==故14. 答案:522.22:2sin()2,2(sin cos cos sin )2,sin cos 1,44410,7722cos22cos 2,22sin 22sin()2,(2,2),4444|2(2)1|552.221(1)l x y A A l πππρθρθθρθρθππππ-=-=∴-=-+====-=-∴---+==+-提示即即的直角坐标方程为点的直角坐标为从而点到直线的距离为15. 答8.:,//,,,,,,,90,1, 1.2,2,2248.2o OC OD BC BC AC OP AC P AC OD F CF AF COD AOD CBA OCD CODCBA CB CO AB CO CB OD BA ⊥∴⊥=∠∠∠∠∴∆∆====∴==⨯=提示连结又从而为线段的中点设线段与圆交于点则弧弧从而＝＝又＝即三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量)22,22(-=m ,)2,0(),cos ,(sin π∈=x x x n .(1)若n m ⊥,求x tan 的值; (2)若m 与n 的夹角为3π,求x 的值. 解:(1))4sin(cos 22sin 22)cos ,(sin )22,22(π-=-=⋅-=⋅x x x x x n m ,,0,sin()0,(0,)42m n m n x x ππ⊥∴⋅=-=∈即又,04,444=-∴<-<-∴ππππx x .即4π=x ,14tan tan ==∴πx .(2)依题意)4sin(cos sin )22()22()4sin(||||3cos 2222πππ-=+⋅-+-=⋅⋅=x x x x n m n m , 即)4,4(4,21)4sin(ππππ-∈-=-x x 又,12546,64πππππ=+==-∴x x 即.17. (本小题满分12分)某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1) 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44, 列出样本的年龄数据;(2) 计算(1)中样本的均值x 和方差2s ;(3) 36名工人中年龄在s x -与s x +之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)？解:(1)各分段工人的编号依次为1~4,5~8,…,33~36,依题意,第一分段里抽到的年龄为44,即抽到的是编号为2的工人, 从而所得样本的编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34, 即样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.222222222222444036433637444337404343433(2)4040040,9911100[40(4)3(4)(3)43(3)](4443).999x s +++++++++-+--++-==+=+=∴=++-++-+-+++-=⨯+⨯=10102101(3),4036,4043,33333212336,364323,0.638963.89%,3336s x s x s =∴-=-=+=+=≈=易得人中年龄位于与之间的有人即36名工人中年龄在s x -与s x +之间有23人,所占的百分比是63.89%.18. (本小题满分14分)如图2,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,4,6,3PD PC AB BC ====, 点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==. (1)证明：PE FG ⊥；(2)求二面角P AD C --的正切值； (3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.解:(1)证明:,,,PD PC E DC PE DC =∴⊥为中点,,,,,.P D C A B C D P D C A B C D D C P E P D CP E A B C D F G A B C D P E F G⊥⊂∴⊥⊂∴⊥又面面而面面＝面面面22(2),,,,,,114,3,7,2277tan ,.33PDC ABCD AD DC AD PDC AD PD AD DC PDC P AD C PD DE DC AB PE PD DE PE PDC P AD C DE ⊥⊥∴⊥∴⊥⊥∠--====∴=-=∴∠==--面面面从而为二面角的平面角即二面角的正切值为22222222222(3,2,//,634535,345,2545165495c o s ,225253530595.25AF CGAC ACFG PAC PA FG FB GB AC AB BC AP AD DP AP AC PC PAC AP AC PA FG ==∴∠=+=+===+=+=+-+-∴∠====⋅⨯⨯连结从而为直线与直线所成角或其补角,即直线与直线所成角的余弦值为19. (本小题满分14分)设0>a ,函数a e x x f x-+=)1()(2.(1)求)(x f 的单调区间;(2)证明)(x f 在(,)-∞+∞上仅有一个零点;(3)若曲线)(x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP 平行,(O 是坐标原点),证明:123--≤ea m . 解:(1)0)1()21()(22≥+=++=xxe x e x x xf ,上为增函数在),()(+∞-∞∴x f . (2)22221,(0)10,()(1)(1)1(1)0a a f a f a a e a a e a a a a a a a >=-<∴=+->+->+->-=->,.),()(,),()(,),0()(仅有一个零点在上为增函数在又有零点在区间+∞-∞∴+∞-∞∴x f x f a x f(3)由0)('=x f 得1-=x ,又a e a e f -=-=--22)1(1,e a a e k a e P op 20102),2,1(-=----=∴--∴.依题意'()OP f m k =,22(1)m m e a e∴+=-,设1)(--=x e x g x,则1)('-=xe x g ,当0>x 时,01>-x e ; 当0<x 时,01<-xe ,为增函数在为减函数在),0(,)0,()(+∞-∞∴x g , 从而0min ()(0)010g x g e ==--=,即0)(,≥∈∀x g R x .0)(,≥∈∀∴m g R m ,即01≥--m e m,ea e m m m e m mm 2)1()1(,0)1(,1232-=+≤+∴≥+≤+∴又, 33221, 1.m a m a e e∴+≤-≤--即20. (本小题满分14分)已知过原点的动直线l 与圆056:221=+-+x y x C 相交于不同的两点B A 、. (1)求圆1C 的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线)4(:-=x k y L 与曲线C 只有一个交点？若存在,求出k 的取值范围; 若不存在,说明理由.解:(1),495)3(,0562222=+-=+-=+-+y x x y x 即)0,3(1的圆心坐标为圆C ∴.(2)法一: 设),(),,(),,(2211y x M y x B y x A ,05612121=+-+∴x y x ,05622222=+-+x y x ,即0)(6))(())((2121212121=---++-+x x y y y y x x x x ,,12x x ≠06)()(21212121=---+++∴x x y y y y x x ,0622=-⋅+x y y x 即.22221223930,().245,3,3395()(3).243x y x x y C M x AB M C x y x ∴+-=-+=<≤-+=<≤即考虑到弦的中点只能在圆的内部可解得点的横坐标的范围为故线段的中点的轨迹的方程为. 法二:111,,1,1,C M AB C M MO M AB C M AB k k k k ∴⊥∴⋅=-⋅=-点为弦中点即)335(03,1322≤<=-+-=⋅-∴x x y x x y x y 即. (3)将)4(-=x k y 代入0322=-+x y x 5(3)3x <≤中得:03)168(222=-+-+x x x k x ,2222(1)(83)160k x k x k ∴+-++=,222222216964948)1(64)38(k k k k k k -=-+=+-+=∆,由0=∆得222238()33831254,(,3],342(1)532(()1)4k k k ±++=±==∈+±+此时切点的横坐标值为, 3,4k =±故时直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点;525525(,),(,),,3333252525253,,577743C L L C k k L C ±±±==±≤≤-由于点不在轨迹上故当过点时与轨迹只有一个交点此时依据图形特征知当-时直线与轨迹只有一个交点. 综上所述,2525,]7733[{,}44k ∈--时,直线)4(:-=x k y L 与曲线C 只有一个交点.21. (本小题满分14分) 数列}{n a 满足:121224,2n n n a a na n N *-+++=-∈. (1)求3a 的值;(2)求数列}{n a 的前n 项和n T ; (3)令)2()131211(,111≥+++++==-n a n n T b a b n n n 证明:数列}{n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<. 解:(1)122331121311222132141,124422,,1134,.22224a a a a a ---+++=-=+=-=-=∴=++=-∴=1212121*111111121(2)2,2(1)4,(4)(4),2222111(2),1,(),22211112{}1,,2.12212n n n n n n n n n n nn n n n n n nn a a n a na a n a a n N a T ---------+++≥+++-=-=---=∴=≥==∴=∈-∴==--时从而又数列是为首项为公比的等比数列从而第 11 页共 11 页 12111211223312121211111(3),(1),(1),(1),2232321111(1)()(1)2211111(1)(2)2(1).222111()ln 1(1),'()n n n n n n n n a a a a a a b a b a b a b a n nS b b b a a a T n nn nf x x x f x x x x --++++==++=+++=++++∴=+++=++++++=+++=+++-<+++=+->=-记函数则2*10,1,(),11,()(1)ln110,111,2,1,()0,ln 10,ln ,111111213111123ln ,ln ,,ln ,ln ln ln ln ,22133112321311112(1)2x x f x x x f x f k k k k k N k f k k k k k kk n n n n n n n n -=>∴>>>=+-=∈≥>∴>+->>-----<<<+++<+++=------∴+++=当时为增函数从而当时当且时即亦即故11122()22ln ,2311,2(1)22ln .2111(:ln ,23n n nS n nn n ++++<+<+++<++++<综上注证明时也可以使用数学归纳法)。

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(广东卷)(含答案全解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上,用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差s 2=1[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2],其中x 表示样本均值.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015广东,理1)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则M ∩N=( ) A.{1,4} B.{-1,-4} C.{0} D.⌀ 答案:D解析:由题意知集合M={-4,-1},N={4,1},M 和N 没有相同的元素.故M ∩N=⌀. 2.(2015广东,理2)若复数z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则z = ( )A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.3-2i 答案:A解析:因为z=i(3-2i)=3i -2i 2=2+3i,所以z =2-3i .3.(2015广东,理3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y= 2 B.y=x+1 C.y=2x +12x D.y=x+e x答案:D解析:根据函数奇偶性的定义,易知函数y= 2y=2x +1x 为偶函数,y=x+1为奇函数,所以排除选项A,B,C.故选D.4.(2015广东,理4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( ) A.5B.10C.11D.1答案:B解析:从15个球中任取2个球,其中白球的个数服从超几何分布,根据超几何分布的概率公式,得所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为C 101C 51C 152=10×5=10. 5.(2015广东,理5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+ =0或2x+y- =0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+ 5=0或2x-y- 5=0 答案:A解析:设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m ≠1),因为直线2x+y+m=0与圆x 2+y 2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为 5,所以 5= 5,|m|=5.故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.6.(2015广东,理6)若变量x ,y 满足约束条件 4x +5y ≥8,1≤x ≤3,0≤y ≤2,则z=3x+2y 的最小值为( )A.4B.235C.6 D.315答案:B解析:作出题中约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由z=3x+2y可得y=-32x+z2.z指的是直线y=-3x+z在y轴上的截距,根据图形可知当直线y=-3x+z通过点A时,可使z取得最小值,即z取得最小值.易知点A的坐标为1,45,所以z min=3×1+2×4=23.7.(2015广东,理7)已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1的离心率e=54,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.x 24−y23=1 B.x29−y216=1C.x 2−y2=1 D.x2−y2=1答案:C解析:因为双曲线C的右焦点为F2(5,0),所以c=5.因为离心率e=ca =54,所以a=4.又a2+b2=c2,所以b2=9.故双曲线C的方程为x 2−y2=1.8.(2015广东,理8)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值()A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5答案:B解析:特殊值法.当n=3时,正三角形的三个顶点之间两两距离相等,故n=3符合;当n=4时,联想正四面体的四个顶点之间两两距离相等,故n=4符合.由此可以排除选项A,C,D.故选B.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~13题)9.(2015广东,理9)在(x-1)4的展开式中,x的系数为.答案:6解析:该二项展开式的通项为T r+1=C4r(x)4-r(-1)r,当x的指数为1时,4-r=2,解得r=2.故T3=C42(x)2(-1)2=6x,即x的系数为6.10.(2015广东,理10)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=. 答案:10解析:根据等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得a5=5.又a2+a8=2a5,所以a2+a8=10.11.(2015广东,理11)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3,sin B=12,C=π6,则b=.答案:1解析:由sin B=12解得B=π6或B=5π6.根据三角形内角和定理,舍去B=5π,所以B=π6,A=2π3.根据正弦定理asin A =bsin B,得3sin2π3=bsinπ6,解得b=1.12.(2015广东,理12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案:1 560解析:该问题是一个排列问题,故共有A402=40×39=1 560条毕业留言.13.(2015广东,理13)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=. 答案:13解析:根据二项分布的均值、方差公式,得E(X)=np=30,D(X)=np(1−p)=20,解得p=13.(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(2015广东,理14)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2ρsin θ−π4=2,点A的极坐标为A22,7π4,则点A到直线l的距离为.答案:522解析:2ρsin θ−π=2,即2ρsin θcosπ-2ρcos θsinπ=2,将其化为直角坐标方程为y-x=1.又点A的直角坐标为22cos7π4,22sin7π4=(2,-2),所以点A(2,-2)到直线y-x=1的距离d=2=522.15.(2015广东,理15)(几何证明选讲选做题)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1,过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD=.答案:8解析:设OD交劣弧AC于点M,由OP∥BC,得OP=1,P为AC的中点,PM=3.由切割线定理得DC2=DM·(DM+4).①在△ABC中,AC为直角边,且AC=2−BC2=42−12=15,所以CP=152.在Rt△DCP中,DC2=(DM+PM)2+CP2, ②联立①②可求得DM=6,所以OD=8.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015广东,理16)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=22,−22,n=(sin x,cos x),x∈0,π.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为π3,求x的值.解:(1)∵m=2,−2,n=(sin x,cos x),且m⊥n,∴m·n=22,−2·(sin x,cos x)=2sin x-2cos x=sin x−π=0.又x∈0,π2,∴x-π4∈ −π4,π4.∴x-π=0,即x=π.∴tan x=tanπ4=1.(2)由(1)和已知得cosπ3=m·n|m|·|n|=sin x−π422+−22·sin2x+cos2x=sin x−π4=12,又x-π∈ −π,π,∴x-π4=π6,即x=5π12.17.(本小题满分12分)(2015广东,理17)某工厂36名工人的年龄数据如下表:(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2;(3)36名工人中年龄在x-s与x+s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解:(1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为2,公差为4的等差数列,故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)可得其样本的均值x=44+40+36+43+36+37+44+43+379=40,方差s2=19[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]=19[42+02+(-4)2+32+(-4)2+(-3)2+42+32+(-3)2]=100.(3)由(2)知s=10,所以x-s=3623,x+s=4313.因为年龄在x-s与x+s之间共有23人,所以其所占的百分比是2336≈63.89%.18.(本小题满分14分)(2015广东,理18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PE⊥FG;(2)求二面角P-AD-C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.(1)证明:∵PD=PC,且点E为CD边的中点,∴PE⊥DC.又平面PDC⊥平面ABCD,且平面PDC∩平面ABCD=CD,PE⊂平面PDC,∴PE⊥平面ABCD.又FG⊂平面ABCD,∴PE⊥FG.(2)解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD⊥DC.又平面PDC⊥平面ABCD,且平面PDC∩平面ABCD=CD,AD⊂平面ABCD,∴AD⊥平面PDC.∵PD⊂平面PDC,∴AD⊥PD.∴∠PDC即为二面角P-AD-C的平面角.在Rt△PDE中,PD=4,DE=1AB=3,PE= PD2−DE2=7,∴tan∠PDC=PEDE =73,即二面角P-AD-C的正切值为73.(3)解:如图所示,连接AC,∵AF=2FB,CG=2GB,即AF=CG=2,∴AC ∥FG ,∴∠PAC 即为直线PA 与直线FG 所成的角或其补角. 在△PAC 中,PA=2+AD 2=5, AC=2+CD 23 由余弦定理可得cos ∠PAC=PA 2+AC 2−PC 2=2 5)222×5×3 5=9 5, ∴直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为9 525.19.(本小题满分14分)(2015广东,理19)设a>1,函数f (x )=(1+x 2)e x -a.(1)求f (x )的单调区间;(2)证明:f (x )在(-∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f (x )在点P 处的切线与x 轴平行,且在点M (m ,n )处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点),证明:m ≤a −2e3-1.解:(1)由题意可知函数f (x )的定义域为R ,f'(x )=(1+x 2)'e x +(1+x 2)(e x )'=(1+x )2e x ≥0,故函数f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间. (2)∵a>1,∴f (0)=1-a<0,且f (a )=(1+a 2)e a -a>1+a 2-a>2a-a=a>0. ∴函数f (x )在区间(0,a )上存在零点.又由(1)知函数f (x )在(-∞,+∞)上单调递增, ∴函数f (x )在(-∞,+∞)上仅有一个零点. (3)由(1)及f'(x )=0,得x=-1.又f (-1)=2e -a ,即P −1,2e −a ,∴k OP =2e−a−0−1−0=a-2e .又f'(m )=(1+m )2e m ,∴(1+m )2e m =a-2.令g (m )=e m -m-1,则g'(m )=e m -1,∴由g'(m )>0,得m>0,由g'(m )<0,得m<0.∴函数g (m )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. ∴g (m )min =g (0)=0,即g (m )≥0在R 上恒成立, 即e m ≥m+1.∴a-2e =(1+m )2e m ≥(1+m )2(1+m )=(1+m )3, 即 a −23≥1+m. 故m ≤ a −23-1.20.(本小题满分14分)(2015广东,理20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ,B. (1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:(1)由x 2+y 2-6x+5=0,得(x-3)2+y 2=4,从而可知圆C 1的圆心坐标为(3,0). (2)设线段AB 的中点M (x ,y ),由弦的性质可知C 1M ⊥AB ,即C 1M ⊥OM. 故点M 的轨迹是以OC 1为直径的圆,该圆的圆心为C 3,0 ,半径r=1|OC 1|=1×3=3, 其方程为 x −322+y 2= 322,即x 2+y 2-3x=0.又因为点M 为线段AB 的中点,所以点M 在圆C 1内, 所以 2+y 2<2. 又x 2+y 2-3x=0,所以可得x>5. 易知x ≤3,所以5<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为x 2+y 2-3x=0 53<x ≤3 . (3)存在实数k 满足题意.由(2)知点M 的轨迹是以C 32,0 为圆心,32为半径的圆弧EF(如图所示,不包括两个端点), 且E 53,2 53 ,F 53,−2 53. 又直线L :y=k (x-4)过定点D (4,0), 当直线L 与圆C 相切时,由k 32−4 −0 k +1=32,得k=±34.又k DE =-k DF =-0− −2 534−53=2 5,结合上图可知当k ∈ −3,3 ∪ −2 5,2 5时,直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点.21.(本小题满分14分)(2015广东,理21)数列{a n }满足:a 1+2a 2+…+na n =4-n +22n−1,n ∈N *.(1)求a 3的值;(2)求数列{a n }的前n 项和T n ; (3)令b 1=a 1,b n =T n−1+ 1+1+1+⋯+1a n (n ≥2),证明:数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2+2ln n.解:(1)依题意知3a 3=(a 1+2a 2+3a 3)-(a 1+2a 2)=4-3+223−1− 4−2+222−1 =34,即a 3=14.(2)∵当n ≥2时,na n =(a 1+2a 2+…+na n )-[a 1+2a 2+…+(n-1)a n-1]=4-n +22n−1− 4−n +12n−2=n2n−1,∴a n = 12 n−1.又a 1=4-1+220=1也适合此式, ∴a n = 1n−1,即数列{a n }是首项为1,公比为12的等比数列.故T n =1− 12n1−12=2- 1n−1. (3)由b n =a 1+a 2+⋯+a n−1n + 1+12+⋯+1n a n ,且b 1=a 1,知b 2=a 12+ 1+12 a 2,b 3=a 1+a 23+ 1+12+13a 3,……∴S n =b 1+b 2+…+b n = 1+1+⋯+1 (a 1+a 2+…+a n )= 1+1+⋯+1T n= 1+1+⋯+1 2−12n−1 <2× 1+1+⋯+1.记f (x )=ln x+1x -1(x>1),则f'(x )=1−12=x−12>0,∴f (x )在(1,+∞)上是增函数, 又f (1)=0,即在(1,+∞)上f (x )>0.又k ≥2,且k ∈N *时,kk−1>1, ∴f k =ln k+1k k−1-1>0,即lnk >1.∴1<ln 2,1<ln 3,……,1<ln n,即有1+1+…+1<ln 2+ln 3+…+ln n=ln n. ∴2× 1+1+1+⋯+1<2+2ln n , 即S n <2+2ln n.。

【数学】2015年高考真题——广东卷(理)(word版含解析)

一.选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则MN =（）A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4 2．若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（）A ．32i - B ．32i + C ．23i + D ．23i - 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（） A ．x e x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y += 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（） A ．1 B.2111 C. 2110 D. 215 5．平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（）A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x6．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为（）A ．531 B. 6 C. 523 D. 4 7．已知双曲线C ：12222=-by a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3第Ⅱ卷(共110分)二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. (一)必做题(9～13题)9．在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为10．在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += 11．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a = 1sin 2B =，6C =π，则b =12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ． (二)选做题(14～15题，考生从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为74A π⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 15.（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD =图1三.解答题：本大题共6小题，满分80分.16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy中，已知向量2m ⎛= ⎝⎭，()sin ,cos n x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。

2015年广东卷数学试题及答案(文)

答案解析试题解析 1
层抽
0.0075
2
230 ， 224
3
5．
1 由 ( 0.002 + 0.0095 + 0.011 + 0.0125 + x + 0.005 + 0.0025 ) × 20 = 1 得 x = 0.0075 ，
所以直方图中 x 的值是 0.0075
考点 1、频率
直方图 2、样本的数字特征众数、中位数
( −4,1)
−4 < x < 1 ，所以等式 − x 2 − 3 x + 4 > 0 的解集为 ( −4,1) ，所
试题析由 − x 2 − 3 x + 4 < 0 得以答案应填
( −4,1) ．
考点一元次等式． 12. 已知样本数据 x1 ， x2 ， ⋅⋅⋅ ， xn 的均值 x = 5 ，则样本数据 2 x1 + 1 ， 2 x2 + 1 ， ⋅⋅⋅ ， 2 xn + 1 的均值为答案．
ΑD =
答案
3
考点 1、线的性质
2、平行线线段成比例定理
3、割线定理．
、解答题骤．
16、本小题满
本大题共 6 小题，满
已知 tan α = 2 ．
80
．解答须写出文字说明、证明过程和演算步
12
(1) 求 tan α +

的值 4 sin 2α 的值． ( 2) 求 2 sin α + sin α cos α − cos 2α − 1
11
考点均值的性质． 13. 若个正数 a ， b ， c 成等比数列，其中 a = 5 + 2 6 ， c = 5 − 2 6 ，则 b = ．

2015年广东省3+证书高职高考数学试卷〖含答案〗(真题)和答案

22. （本小题满分 12 分）
已知函数
f
(x)
a
cos(
x
6
)
的图像经过点
2
,
1 2
.
（1）求 a 的值；
（2）若 sin 1 ， 0 ，求 f ( ) .
3
2
23．（本小题满分 14 分）
在等差数列an 中，已知 a4 9, a6 a7 28 .
（1）求数列 an 的通项公式；
16. 若等比数列an 满足 a1 4 ， a2 20 ，则an 的前 n 项和 an
.
17.质检部门从某工厂生产的同一批产品中随机抽取100 件进行质检，发现其中有 5
件不合格品，由此估计这批产品中合格品的概率是
.
18.已知向量 a 和 b 的夹角为 3 ，且 a 2 ， b 3 ，则 a b
只有一项是符合题目要求的。）
题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
号
答
案
1. 设集合 M 1, 4 ， N 1,3,5 ,则 M N=
(
).
A.0
B. 1
C. 0,1, 2
D. 1,0,1, 2
2. 函数 f (x) 1 x 的定义域是
(
).
A. ,1
B. 1,
C. ,1
D. (, )
3. 不等式 x2 7x 6 0 的解集是
(
).
A. 1,6
B. ,1 6,
C.
D. (, )
4. 设 a 0 且 a 1，x, y 为任意实数，则下列算式错误的是
(
).
A. a0 1
B. ax ay axy

2015高考数学试卷(广东卷)文数(有答案、解析版)

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则MN =（）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1-【答案】C考点：集合的交集运算．2.已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 【答案】D 【解析】试题分析：()221121212i i i i i +=++=+-=，故选D ．考点：复数的乘法运算．3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =- C ．122xx y =+D ．sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】试题分析：函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原考点：函数的奇偶性．4.若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（）A ．10B ．8C ．5D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：作出可行域如图所示：作直线0:l 230x y +=，再作一组平行于0l 的直线:l 23x y z +=，当直线l 经过点A 时，23z x y =+取得最大值，由224x y x +=⎧⎨=⎩得：41x y =⎧⎨=-⎩，所以点A 的坐标为()4,1-，所以()max 24315z =⨯+⨯-=，故选C ．考点：线性规划．5.设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos 2A =，且 b c <，则b =（）A ．3B ．2C ．22D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以()22232232232b b =+-⨯⨯⨯，即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ．考点：余弦定理．6.若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交【答案】A 【解析】试题分析：若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选A ．考点：空间点、线、面的位置关系．7.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，恰有一件次品，有6种，分别是(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，设事件A =“恰有一件次品”，则()60.610P A ==，故选B ．考点：古典概型．8.已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．考点：椭圆的简单几何性质．9.在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算． 10.若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（）A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】D 【解析】试题分析：当4s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有44464⨯⨯=种，当3s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有33327⨯⨯=种，当2s =时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2228⨯⨯=种，当1s =时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以()card 642781100E =+++=，当0t =时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种，当1t =时，u 取2，3，4中的一个，有3种，当2t =时，u 取3，4中的一个，有2种，当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有123410+++=种，同理，v 、w的取值也有10种，所以()card F 1010100=⨯=，所以()()card card F 100100200E +=+=，故选D ．考点：推理与证明．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11~13题）11.不等式2340x x --+>的解集为．（用区间表示）【答案】()4,1-【解析】试题分析：由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-．考点：一元二次不等式．12.已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为．【答案】11考点：均值的性质．13.若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+，526c =-，则b = ．【答案】1【解析】试题分析：因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以()()25265261b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1．考点：等比中项．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为．【答案】()2,4-【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x +=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点． 15.（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4A B =，C 23E =，则D A = ．【答案】3【解析】试题分析：连结C O ，则C D O ⊥E ，因为D D A ⊥E ，所以C//D O A ，所以C D O OE=A AE，由切割线定理得：2C E =BE⋅AE ，所以()412BE BE+=，即24120BE +BE -=，解得：2BE =或6BE =-（舍去），所以C 26D 34O ⋅AE ⨯A ===OE ，所以答案应填：3．考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（本小题满分12分）已知tan 2α=．（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1．【解析】试题分析：（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得222sin 22sin cos sin sin cos cos 21sin sin cos 2cos ααααααααααα=+--+-，再分子、分母都除以2cos α可得22sin 22tan sin sin cos cos 21tan tan 2αααααααα=+--+-，代入数值，即可得2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．试题解析：（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+-- ()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.17．（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5．【解析】（2）月平均用电量的众数是2202402302+= 因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=得：224a =，所以月平均用电量的中位数是224（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户，月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户，月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例11125151055==+++，所以月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取12555⨯=户考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.18．（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直， D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．（1）证明：C//B 平面D P A ；（2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）372．【解析】试题分析：（1）由四边形CD AB 是长方形可证C//D B A ，进而可证C//B 平面D P A ；（2）先证C CD B ⊥，再证C B ⊥平面DC P ，进而可证C D B ⊥P ；（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，先证PE ⊥平面CD AB ，再设点C 到平面D P A 的距离为h ，利用C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥可得h 的值，进而可得点C 到平面D P A 的距离．试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B ⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DCP 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P （3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在R t D ∆P E 中，22D D PE =P -E22437=-=，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，所以PE ⊥平面CD AB ，由（2）知：C B ⊥平面DC P ，由（1）知：C//D B A ，所以D A ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以D D A ⊥P ，设点C 到平面D P A 的距离为h ，因为C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥，所以D CD 1133S h S ∆P A ∆A ⋅=⋅PE ，即CD D 136737212342S h S ∆A ∆P A ⨯⨯⨯⋅PE ===⨯⨯，所以点C 到平面D P A 的距离是372考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．（1）求4a 的值；（2）证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．【解析】试题分析：（1）令2n =可得4a 的值；（2）先将211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥）转化为2144n n n a a a +++=，再利用等比数列的定义可证112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（3）先由（2）可得数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式，再将数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式转化为数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是等差数列，进而可得数列{}n a 的通项公式．试题解析：（1）当2n =时，4231458S S S S +=+，即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：478a =（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-（2n ≥），即2144n n n a a a +++=（2n ≥），因为3125441644a a a +=⨯+==，所以2144n n n a a a +++=，因为()2121111111114242212142422222n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----，所以数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列（3）由（2）知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭即1141122n n n n a a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以()2144212nna n n =+-⨯=-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()111422122n n n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫⎝⎛≤<335x ；（3）存在，752752≤≤-k 或34±=k ．【解析】试题分析：（1）将圆1C 的方程化为标准方程可得圆1C 的圆心坐标；（2）先设线段AB 的中点M 的坐标和直线l 的方程，再由圆的性质可得点M 满足的方程，进而利用动直线l 与圆1C 相交可得0x 的取值范围，即可得线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）先说明直线L 的方程和曲线C 的方程表示的图形，再利用图形可得当直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点时，k 的取值范围，进而可得存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．所以202022054x x m y <=，所以20200543x x x <-，解得350>x 或00<x ，又因为300≤<x ，所以3350≤<x . 所以),(00y x M 满足49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x 即M 的轨迹C 的方程为492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x . （3）由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线. 结合图形，49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x 表示的是一段关于X 轴对称，起点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35按逆时针方向运动到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛352,35的圆弧.根据对称性，只需讨论在X 轴对称下方的圆弧.设P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35，则752354352=-=PT k ,而当直线L 与轨迹C 相切时，.2314232=+-k k k ，解得43±=k .在这里暂取43=k ，因为43752<，所以k k PT <结合图形，可得对于X 轴对称下方的圆弧，当0752≤≤-k 或34=k 时，直线L 与X 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知752752≤≤-k 或34±=k . 综上所述：当752752≤≤-k 或34±=k 时，直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一交点. 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、圆锥曲线与圆的位置关系.21．（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．（1）若()01f ≤，求a 的取值范围；（2）讨论()f x 的单调性；（3）当2a ≥时，讨论()4f x x +在区间()0,+∞内的零点个数．【答案】（1）21≤a ；（2）)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减；（3）当2=a 时，()4f x x+有一个零点x=2；当2>a ，)(x f y =与xy 4-=有两个零点．【解析】试题分析：（1）先由()01f <可得1≤+a a ，再对a 的取值范围进行讨论可得1≤+a a 的解，进而可得a 的取值范围；（2）先写函数()f x 的解析式，再对a 的取值范围进行讨论确定函数()f x 的单调性；（3）先由（2）得函数()f x 的最小值，再对a 的取值范围进行讨论确定()4f x x +在区间()0,+∞内的零点个数．试题解析：（1）22(0)f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1≤+a a当0≤a 时，10≤，显然成立；当0>a ，则有12≤a ，所以21≤a .所以210≤<a综上所述，a 的取值范围是21≤a . （2）()⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥--=ax a x a x a x x a x x f ,2)12(,12)(22 对于()x a x u 1221--=，其对称轴为a a a x <-=-=21212，开口向上，所以)(x f 在),(+∞a 上单调递增；对于()a x a x u 21221++-=，其对称轴为a a a x >+=+=21212，开口向上，所以)(x f 在),(a -∞上单调递减. 综上，)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减.（3）由（2）得)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),0(a 上单调递减，所以2min )()(a a a f x f -==. (i)当2=a 时，2)2()(min-==f x f ，⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=2,452,3)(22x x x x x x x f 令()4f x x +=0，即xx f 4)(-=（x>0）. 因为)(x f 在)2,0(上单调递减，所以2)2()(-=>f x f 而x y 4-=在)2,0(上单调递增，2)2(-=<f y ，所以)(x f y =与xy 4-=在)2,0(无交点. 当2≥x 时，xx x x f 43)(2-=-=，即04323=+-x x ，所以042223=+--x x x ，所以()0)1(22=+-x x ，因为2≥x ，所以2=x ，即当2=a 时，()4f x x +有一个零点x=2. (ii)当2>a 时，2min )()(a a a f x f -==，当),0(a x ∈时，42)0(>=a f ，2)(a a a f -=，而xy 4-=在),0(a x ∈上单调递增，当a x =时，a y 4-=.下面比较2)(a a a f -=与a4-的大小因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---a a a a a a a a a a 所以aa a a f 4)(2-<-=结合图像不难得当2>a ，)(x f y =与x y 4-=有两个交点. 综上，当2=a 时，()4f x x +有一个零点x=2；当2>a ，)(x f y =与xy 4-=有两个零点. 考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(广东卷)(含答案全解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上,用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015广东,文1)若集合M={-1,1},N={-2,1,0},则M∩N=()A.{0,-1}B.{1}C.{0}D.{-1,1}答案:B解析:因为M,N的公共元素只有1,所以M∩N={1}.2.(2015广东,文2)已知i是虚数单位,则复数(1+i)2=()A.2iB.-2iC.2D.-2答案:A解析:(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.3.(2015广东,文3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=x+sin 2xB.y=x2-cos xC.y=2x+12x D.y=x2+sin x答案:D解析:A为奇函数,B和C为偶函数,D既不是奇函数,也不是偶函数.4.(2015广东,文4)若变量x,y满足约束条件{x+2y≤2,x+y≥0,x≤4,则z=2x+3y的最大值为()A.2B.5C.8D.10 答案:B解析:约束条件表示的可行域如图阴影部分所示,而z=2x+3y可变形为y=-23x+z3,z3表示直线y=-23x在y轴上的截距,由图可知当直线经过点A(4,-1)时z取最大值,最大值为z=2×4+3×(-1)=5.5.(2015广东,文5)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A=√32且b<c,则b=() A.3 B.2√2 C.2 D.√3答案:C解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得4=b2+12-2·b·2√3×√32,即b2-6b+8=0,解得b=2或4.又因为b<c,所以b=2.6.(2015广东,文6)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案:D解析:l1与l在平面α内,l2与l在平面β内,若l1,l2与l都不相交,则l1∥l,l2∥l,根据直线平行的传递性,则l1∥l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.7.(2015广东,文7)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为 ( ) A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1 答案:B解析:设正品分别为A 1,A 2,A 3,次品分别为B 1,B 2,从中任取2件产品,基本事件共有10种,分别为{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 2,A 3},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{B 1,B 2},而其中恰有一件次品的基本事件有6种,由古典概型概率公式,得P=610=0.6.8.(2015广东,文8)已知椭圆x 225+y 2m2=1(m>0)的左焦点为F 1(-4,0),则m=( ) A.2 B.3 C.4 D.9 答案:B解析:由已知a 2=25,b 2=m 2,c=4,又由a 2=b 2+c 2,可得m 2=9.因为m>0,所以m=3.9.(2015广东,文9)在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案:A解析:AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2)+(2,1)=(3,-1),所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)·(3,-1)=2×3+1×(-1)=5.10.(2015广东,文10)若集合E={(p ,q ,r ,s )|0≤p<s ≤4,0≤q<s ≤4,0≤r<s ≤4且p ,q ,r ,s ∈N },F={(t ,u ,v ,w )|0≤t<u ≤4,0≤v<w ≤4且t ,u ,v ,w ∈N },用card(X )表示集合X 中的元素个数,则card(E )+card(F )=( ) A.200 B.150 C.100 D.50 答案:A解析:E 中有序数组的要求为s 均大于p ,q ,r ,当s 取4时,p 可取0,1,2,3,q 也可取0,1,2,3,r 也可取0,1,2,3,此时不同数组有4×4×4=64个;同理当s 取3时,p ,q ,r 均可从0,1,2中任取1个,此时不同数组有3×3×3=27个;当s 取2时,p ,q ,r 可从0,1中任取1个,不同数组有2×2×2=8个;当s 取1时,p ,q ,r 只能都取0,不同数组有1个,因此E 中不同元素共有64+27+8+1=100个.F 中元素要求为t<u ,v<w ,当u 取4时,t 可取0,1,2,3;当u 取3时,t 可取0,1,2;当u 取2时,t 可取0,1; 当u 取1时,t 取0,所以t ,u 的不同组合为10种.同理,v ,w 不同组合也有10种,故F 中元素个数为10×10=100,所以card(E )+card(F )=200. 二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)11.(2015广东,文11)不等式-x 2-3x+4>0的解集为 .(用区间表示) 答案:(-4,1)解析:不等式可化为x 2+3x-4<0,即(x-1)(x+4)<0,解得-4<x<1.12.(2015广东,文12)已知样本数据x 1,x 2,…,x n 的均值x =5,则样本数据2x 1+1,2x 2+1,…,2x n +1的均值为 . 答案:11解析:由题意,y i =2x i +1(i=1,2,…,n ),则y =2x +1=2×5+1=11.13.(2015广东,文13)若三个正数a ,b ,c 成等比数列,其中a=5+2√6,c=5-2√6,则b= . 答案:1解析:因为a ,b ,c 成等比数列,所以b 2=ac ,即b 2=(5+2√6)(5-2√6)=1. 又b 是正数,所以b=1.(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(2015广东,文14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C 2的参数方程为{x =t 2,y =2√2t ,(t 为参数),则C 1与C 2交点的直角坐标为 . 答案:(2,-4)解析:∵ρ(cos θ+sin θ)=-2,∴曲线C 1的直角坐标方程为x+y=-2. 由已知得曲线C 2的普通方程为y 2=8x. 由{x +y =-2,y 2=8x ,得y 2+8y+16=0, 解得y=-4,x=2.所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2,-4).15.(2015广东,文15)(几何证明选讲选做题)如图,AB 为圆O 的直径,E 为AB 延长线上一点,过E 作圆O 的切线,切点为C ,过A 作直线EC 的垂线,垂足为D.若AB=4,CE=2√3,则AD= . 答案:3解析:由切割线定理得EC 2=EB ·EA ,即12=EB ·(EB+4),可求得EB=2. 连接OC ,则OC ⊥DE ,所以OC ∥AD ,所以EO EA=OC AD ,即46=2AD,所以AD=3.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015广东,文16)已知tan α=2.(1)求tan (α+π4)的值;(2)求sin2αsin 2α+sinαcosα-cos2α-1的值.解:(1)tan (α+π4)=tanα+tan π41-tanαtan π4=tanα+11-tanα=2+11-2=-3. (2)sin2αsin 2α+sinαcosα-cos2α-1=2sinαcosαsin 2α+sinαcosα-(2cos 2α-1)-1=2sinαcosαsin 2α+sinαcosα-2cos 2α=2tanαtan 2α+tanα-2 =2×222+2-2=1.17.(本小题满分12分)(2015广东,文17)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x 的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?解:(1)由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)×20=1,得x=0.007 5,所以直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220+2402=230. 因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a , 由(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a-220)=0.5,得a=224, 所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100=25(户), 月平均用电量在[240,260)的用户有0.007 5×20×100=15(户), 月平均用电量在[260,280)的用户有0.005×20×100=10(户),月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100=5(户),抽取比例为1125+15+10+5=15,所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15=5(户).18.(本小题满分14分)(2015广东,文18)如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3. (1)证明:BC ∥平面PDA ; (2)证明:BC ⊥PD ;(3)求点C 到平面PDA 的距离.(1)证明:因为四边形ABCD 是长方形,所以BC ∥AD.因为BC ⊄平面PDA ,AD ⊂平面PDA , 所以BC ∥平面PDA.(2)证明:因为四边形ABCD 是长方形,所以BC ⊥CD.因为平面PDC ⊥平面ABCD ,平面PDC ∩平面ABCD=CD ,BC ⊂平面ABCD , 所以BC ⊥平面PDC.因为PD ⊂平面PDC ,所以BC ⊥PD.(3)解:取CD 的中点E ,连接AE 和PE.因为PD=PC ,所以PE ⊥CD.在Rt △PED 中,PE=√PD 2-DE 2=√42-32=√7.因为平面PDC ⊥平面ABCD ,平面PDC ∩平面ABCD=CD ,PE ⊂平面PDC , 所以PE ⊥平面ABCD. 由(2)知BC ⊥平面PDC. 由(1)知BC ∥AD. 所以AD ⊥平面PDC.因为PD ⊂平面PDC ,所以AD ⊥PD. 设点C 到平面PDA 的距离为h , 因为V 三棱锥C-PDA =V 三棱锥P-ACD ,所以13S △PDA ·h=13S △ACD ·PE , 即h=S △ACD ·PE S △PDA=12×3×6×√712×3×4=3√72, 所以点C 到平面PDA 的距离是3√72. 19.(本小题满分14分)(2015广东,文19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *.已知a 1=1,a 2=32,a 3=54,且当n ≥2时,4S n+2+5S n =8S n+1+S n-1.(1)求a 4的值;(2)证明:{a n+1-12a n }为等比数列; (3)求数列{a n }的通项公式.(1)解:当n=2时,4S 4+5S 2=8S 3+S 1,即4(1+32+54+a 4)+5(1+32)=8(1+32+54)+1, 解得a 4=78. (2)证明:因为4S n+2+5S n =8S n+1+S n-1(n ≥2),所以4S n+2-4S n+1+S n -S n-1=4S n+1-4S n (n ≥2), 即4a n+2+a n =4a n+1(n ≥2).因为4a 3+a 1=4×54+1=6=4a 2, 所以4a n+2+a n =4a n+1(n ∈N *). 因为a n+2-12a n+1a n+1-12a n=4a n+2-2a n+14a n+1-2a n=4a n+1-a n -2a n+14a n+1-2a n=2a n+1-a n 2(2a n+1-a n )=12,所以数列{a n+1-12a n }是以a 2-12a 1=1为首项,公比为12的等比数列. (3)解:由(2)知数列{a n+1-12a n }是以a 2-12a 1=1为首项,公比为12的等比数列,所以a n+1-12a n =(12)n -1, 即a n+1(12)n+1−a n(12)n =4,所以数列{a n(12)n }是以a 112=2为首项,公差为4的等差数列,所以a n(12)n =2+(n-1)×4=4n-2,即a n =(4n-2)×(12)n =(2n-1)×(12)n -1.所以数列{a n }的通项公式是a n =(2n-1)×(12)n -1. 20.(本小题满分14分)(2015广东,文20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ,B.(1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:(1)圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0可化为(x-3)2+y 2=4,所以圆C 1的圆心坐标为(3,0). (2)设线段AB 的中点M (x ,y ),由弦的性质可知C 1M ⊥AB ,即C 1M ⊥OM. 故点M 的轨迹是以OC 1为直径的圆,该圆的圆心为C (32,0),半径r=12|OC 1|=12×3=32, 其方程为(x -32)2+y 2=(32)2,即x 2+y 2-3x=0.又因为点M 为线段AB 的中点,所以点M 在圆C 1内, 所以√(x -3)2+y 2<2. 又x 2+y 2-3x=0,所以可得x>53. 易知x ≤3,所以53<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为x 2+y 2-3x=0(53<x ≤3). (3)由题意知直线L 表示过定点T (4,0),斜率为k 的直线.结合图形,(x 0-32)2+y 02=94(53<x 0≤3)表示的是一段关于x 轴对称,起点为F (53,-2√53)按逆时针方向运动到E (53,2√53)的圆弧(不含端点). 根据对称性,只需讨论在x 轴下方的圆弧. 由F (53,-2√53),则k FT =2√534-53=2√57, 而当直线L 与轨迹C 相切时,|3k 2-4k |√k +132,解得k=±34.在这里暂取k=34,因为2√57<34,所以k FT <k.结合图形,可得对于x 轴下方的圆弧,当0≤k ≤2√57或k=34时,直线L 与x 轴下方的圆弧有且只有一个交点.根据对称性可知当-2√57≤k<0或k=-34时,直线L 与x 轴上方的圆弧有且只有一个交点. 综上所述,当-2√57≤k ≤2√57或k=±34时,直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点.21.(本小题满分14分)(2015广东,文21)设a 为实数,函数f (x )=(x-a )2+|x-a|-a (a-1). (1)若f (0)≤1,求a 的取值范围; (2)讨论f (x )的单调性;(3)当a ≥2时,讨论f (x )+4x在区间(0,+∞)内的零点个数. 解:(1)f (0)=a 2+|a|-a 2+a=|a|+a.因为f (0)≤1,所以|a|+a ≤1. 当a ≤0时,0≤1,显然成立;当a>0时,则有2a ≤1,所以a ≤12.所以0<a ≤12.综上所述,a 的取值范围是a ≤12.(2)f (x )={x 2-(2a -1)x ,x ≥a ,x 2-(2a +1)x +2a ,x <a .对于u 1=x 2-(2a-1)x ,其图象的对称轴为x=2a -12=a-12<a ,开口向上, 所以f (x )在[a ,+∞)上单调递增;对于u 2=x 2-(2a+1)x+2a ,其图象的对称轴为x=2a+12=a+12>a ,开口向上, 所以f (x )在(-∞,a )上单调递减.综上,f (x )在[a ,+∞)上单调递增,在(-∞,a )上单调递减. (3)由(2)得f (x )在[a ,+∞)上单调递增,在(0,a )上单调递减, 所以f (x )min =f (a )=a-a 2.①当a=2时,f (x )min =f (2)=-2,f (x )={x 2-3x ,x ≥2,x 2-5x +4,x <2,令f (x )+4x=0,即f (x )=-4x(x>0). 因为f (x )在(0,2)上单调递减, 所以f (x )>f (2)=-2,而y=-4x 在(0,2)上单调递增,y<f (2)=-2, 所以y=f (x )与y=-4x在(0,2)上无交点. 当x ≥2时,令f (x )=x 2-3x=-4x, 即x 3-3x 2+4=0,所以x 3-2x 2-x 2+4=0. 所以(x-2)2(x+1)=0.因为x ≥2,所以x=2,即当a=2时,f (x )+4x有一个零点x=2.②当a>2时,f (x )min =f (a )=a-a 2, 当x ∈(0,a )时,f (0)=2a>4,f (a )=a-a 2,而y=-4x在x ∈(0,a )上单调递增,当x=a 时,y=-4a.下面比较f (a )=a-a 2与-4a 的大小.因为a-a 2-(-4a)=-(a 3-a 2-4)a =-(a -2)(a 2+a+2)a<0,所以f (a )=a-a 2<-4a.结合图象不难得当a>2时,y=f (x )与y=-4x有两个交点. 综上,当a=2时,f (x )+4x 有一个零点x=2; 当a>2时,y=f (x )与y=-4x有两个零点.。

2015年广东省高考数学试卷(理科)答案与解析

2015年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）A．{1，4} B．{﹣1，﹣4} C．{0} D．∅2．（5分）（2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+e x4．（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=06．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4B．C．6D．7．（5分）（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=18．（5分）（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为．10．（5分）（2015•广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．11．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．12．（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．14．（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．15．（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．三、解答题16．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．17．（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4 5 6 7 8 9 404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18．（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP 平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）（2015•广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．答案：1、解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅．故选：D．2、解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．3、解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．4、解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．5、解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．6、解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．7、解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．8、解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面吗的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．9、解：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令2﹣=1，求得r=2，∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6，故答案为：6．10、解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．11、解：∵sinB=，∴B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾故答案为：112、解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为：1560．13、解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为：．14、解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A到直线l的距离为：=．故答案为：．15、解：连接OC，则OC⊥CD，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，∴4=OD，∴OD=8．故答案为：8．16、解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵||=1，||=1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos=，即sinx﹣cosx=，则sin（x﹣）=，∵x∈（0，）．∴x﹣∈（﹣，）．则x﹣=即x=+=．17、解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人．∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%．18、（1）证明：在△POC中PO=PC且E为CD中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD，又∵FG⊂平面ABCD，∴PE⊥FG；（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，∴AD⊥平面PDC，又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PE===，∴tan∠PDC==；（3）解：连结AC，则AC==3，在Rt△ADP中，AP===5，∵AF=2FB，CG=2GB，∴FG∥AC，∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线FG所成角∠PAC，在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC===．19、解：（1）f'（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2…2分∴f′（x）≥0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．…3分（2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．又f（0）=1﹣a，∵a＞1．∴1﹣a＜0…5分∴f（0）＜0．当x→+∞时，f（x）＞0成立．∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点…7分（3）证明：f'（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f'（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1…9分将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴…10分令；g（m）=e m﹣（m+1）g（m）=e m﹣（m+1），则g'（m）=e m﹣1，由g'（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g'（m）＞0当m∈（﹣∞，0）时，g'（m）＜0∴g（m）的最小值为g（0）=0…12分∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即：∴m≤…14分20、解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，21、解：（1）∵a 1+2a 2+…na n =4﹣，n ∈N +． ∴a 1=4﹣3=1，1+2a 2=4﹣=2，解得a 2=， ∵a 1+2a 2+…+na n =4﹣，n ∈N +．∴a 1+2a 2+…+（n ﹣1）a n ﹣1=4﹣，n ∈N +．整理，得其标准方程为：（x ﹣3）2+y 2=4， ∴圆C 1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l 的方程为y=kx 、A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），联立方程组，消去y 可得：（1+k 2）x 2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k 2）×5＞0，可得k 2＜由韦达定理，可得x 1+x 2=，∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的参数方程为，其中﹣＜k ＜，∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为：（x ﹣）2+y 2=，其中＜x ≤3；（3）结论：当k ∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L ：y=k （x ﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y ，可得：（1+k 2）x 2﹣（3+8k ）x+16k 2=0，令△=（3+8k ）2﹣4（1+k 2）•16k 2=0，解得k=±，又∵轨迹C 的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L ：y=k （x ﹣4）与曲线C 只有一个交点时， k 的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}．两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则a n=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴a n=，n≥1，则a3=；（2）∵a n=，n≥1，∴数列{a n}是公比q=，则数列{a n}的前n项和T n==2﹣21﹣n．（3）b n=+（1+++…+）a n，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n =（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣．即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）＜2+lnn，即S n＜2（1+lnn）=2+2lnn．11。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(广东卷,含解析)

布直方图如图 2 ．
1 求直方图中 x 的值； 2 求月平均用电量的众数和中位数； 3 在月平均用电量为220, 240 ，240, 260 ，260, 280 ，280,300 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在 220, 240 的用户中应抽取多少户？
【答案】（1） 0.0075 ；（2） 230 ， 224 ；（3） 5 ．
平面 D ，所以 C// 平面 D
（2）因为四边形 CD 是长方形，所以 C CD ，因为平面 DC 平面 CD ，平面 DC 平面 CD CD ， C 平面 CD ，所以 C 平面 DC ，因为 D 平面
DC ，所以 C D
（3）取 CD 的中点，连结和，因为 D C ，所以 CD ，在 RtD 中，
0.6
，故选
B．
考点：古典概型．
8.已知椭圆
x2 25
y2 m2
1 （m
0 ）的左焦点为 F1 4, 0 ，则 m （
）
A． 9
B． 4
C． 3
D． 2
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得： m2 25 42 9 ，因为 m 0 ，所以 m 3 ，故选 C．
考点：椭圆的简单几何性质．
．
【答案】 2, 4
【解析】
试题分析：曲线 C1 的直角坐标方程为 x y 2 ，曲线 C2 的普通方程为 y2 8x ，由
x y 2 x 2
y
2
8x

得：
y
4
，所以
C1
与
C2
交点的直角坐标为
2,
4
，所以答案应填：
2,
4
．
考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．

广东省高职高考真题数学卷精编版

2015广东省高职高考数学真题数学试题本试卷共24小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题上右上角“条形码粘贴处”.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，满分75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合}5,3,1{},4,1{==N M ，则=N M（A ）{1} （B ） {4，5}（C ）{1，4，5} （D ）{1，3，4，5}2．函数x x f +=1)(的定义域是（A ）]1,(--∞ （B ）),1[+∞-（C ）]1,(-∞ （D ）),(+∞-∞3．不等式0672>+-x x 的解集是（A ）（1，6）（B ）（-∞，1）∪（6，+∞）（C ）Ф （D ）（-∞，+∞）4．设0>a 且y x a ,,1≠为任意实数，则下列算式错误．．的是（A ）10=a （B ） y x y x a a a +=⋅（C ）y x y xa aa -= （D ） 22)(x x a a =5．在平面直角坐标系中，已知三点)2,0(),1,2(),2,1(---C B A ，则=+||BC AB（A ）1 （B ） 3（C ）2 （D ） 46．下列方程的图像为双曲线的是（A ）022=-y x （B ）y x 22= （C ）14322=+y x （D ）2222=-y x7．已知函数)(x f 是奇函数，且1)2(=f ，则=-3)]2([f（A ） -8 （B ）-1（C ） 1 （D ）88． “10<<a ”是“3log 2log a a >”的（A ）必要非充分条件（B ）充分非必要条件（C ）充分必要条件（D ）非充分非必要条件9．若函数x x f ωsin 2)(=的最小正周期为3π，则=ω（A ） 31 （B ）32 （C ） 1 （D ） 210．当0>x 时，下列不等式正确的是（A ）44≤+x x （B ）44≥+xx （C ）84≤+x x （D ） 84≥+x x 11．已知向量a = )2,(sin θ，b = )cos ,1(θ，若a ⊥b ，则=θtan（A ）21- （B ） 21 （C ）2- （D ） 2 12．在各项为正数的等比数列}{n a 中，若3141=⋅a a ，则=+3323log log a a （A ）1- （B ） 1（C ） 3- （D ） 313．若圆()()21122=++-y x 与直线0=-+k y x 相切，则=k （A ）2± （B ） 2±（C ）22± （D ） 4±14．七位顾客对某商品的满意度（满分为10分）打出的分数为：8，5，7，6，9，6，8.去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的平均值为（A ）6 （B ） 7（C ）8 （D ） 915．甲班和乙班各有两名男羽毛球运动员，从这四人中任意选取两人配对参加双打比赛，则这对运动员来自不同班的概率是（A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）34 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.16．若等比数列{}n a 满足20,421==a a ，则{}n a 的前n 项和=n S .17．质检部门从某工厂生产的同一批产品中随机抽取100件进行质检，发现其中有5件不合格品，由此估计这批产品中合格品的概率是 .18．已知向量a 和b 的夹角为43π，且| a |2=，| b |3=，则 a ·b = . 19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知31cos ,1,3===B c a ，则=b .20．已知点A （2，1）和点B （-4，3），则线段AB 的垂直平分线在y 轴上的截距为 .三、解答题：本大题共4小题，第21~23题各12分，第24题14分，满分50分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 21．（本小题满分12分）某单位有一块如图所示的四边形空地ABCD ，已知m CD m BC m AD m AB A 13,12,4,3,90=====∠ .（1）求C cos 的值；（2）若在该空地上种植每平方米100元草皮，问需要投入多少资金？22．（本小题满分12分）已知函数)6cos()(π+=x a x f 的图像经过点)21,2(-π. （1）求a 的值；（2）若20,31sin πθθ<<=，求)(θf . 23．（本小题满分12分）A B CD在等差数列{}n a 中，已知28,9764=+=a a a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）若)(12*2N n a b n n ∈-=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：41<n T . 24．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点，两个焦点21,F F 在x 轴上的椭圆E 的离心率为54，抛物线x y 162=的焦点与2F 重合.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线)0)(4(≠+=k x k y 交椭圆E 于C ，D 两点.试判断以坐标原点为圆心，周长等于△CF 2D 周长的圆O 与椭圆E 是否有交点？请说明理由.。

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2015年广东省高等职业院校招收中等职业学校毕业生测试
数学
班级学号姓名
本试卷共4页，24小题，满分150分，测试用时120分钟
一、选择题：(本大题共15小题，每小题5分，满分75分。

在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案
1. 设集合{}1,4M =，{}1,3,5N =,则=M N ( ). A.{}0 B. {}1 C. {}0,1,2 D. {}1,0,1,2-
2. 函数()1f x x =+ ( ). A. (),1-∞ B. [)1,-+∞ C. (],1-∞ D. (,)-∞+∞
3. 不等式2760x x -+>的解集是 ( ). A. ()1,6 B. ()(),16,-∞+∞ C. φ D. (,)-∞+∞
4. 设0a >且1a ≠，,x y 为任意实数，则下列算式错误的是 ( ) . A. 0
1a = B. x
y
x y
a a a
+= C. x
x y y a a a
-= D. ()22x x a a =
5. 在平面直角坐标系中，已知三点()1,2A -,()2,1B -,()0,2C -，则AB BC +=( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.下列方程的图像为双曲线的是 ( ). A. 220x y -= B. 22x y = C. 22341x y += D. 2222x y -=
7.
已知函数()f x 是奇函数，且(2)1f =，则[]3
(2)f -= ( ).
A. 8-
B. 1-
C. 1
D. 8
8. “01a <<”是“log 2log 3a a >”的 ( ). A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充分必要条件 D. 非充分非必要条件
9. 若函数()2sin f x x ω=的最小正周期为3π，则ω= ( ). A.
13 B. 2
3
C. 1
D. 2 10. 当0x >时，下列不等式正确的是（）. A. 44x x
+≤ B. 44x x
+≥ C. 48x x
+≤ D. 48x x
+≥
11. 已知向量(sin ,2)a θ=，(1,cos )b θ=，若a b ⊥，则tan θ= ( ).
A. 12
- B.
1
2
C. 2-
D. 2 12. 在各项为正数的等比数列{}n a 中，若141
3
a a =，则3233log log a a += ( ).
A. 1-
B. 1
C. 3-
D. 3
13. 若圆22(1)(1)2x y -++=和直线0x y k +-=相切，则k = ( ). A. 2± B. 2± C. 22± D. 4±
14.七位顾客对某商品的满意度（满分10分）打出的分数为：8,5,7,6,9,6,8.去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的平均值为（）. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
15.甲班和乙班各有两名男羽毛球运动员，从这四人中任意选取两人配对参加双打比赛，则这对运动员来自不同班的概率是（）. A.
13 B.12 C. 23 D. 4
3
二、填空题：(本大题共5个小题，每小题5分，满分25分。

) 16. 若等比数列{}n a 满足14a =，220a =，则{}n a 的前n 项和n a =
.
17.质检部门从某工厂生产的同一批产品中随机抽取100件进行质检，发现其中有5件不合格品，由此估计这批产品中合格品的概率是
.
18.已知向量a 和b 的夹角为
34
π
，且2a =，3b =，则a b = .
19. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知13,1,cos 3
a c B ===，则
b =。

20. 已知点()2,1A 和点()4,3B -，则线段AB 的垂直平分线在y 轴上的截距为 .
三、解答题：（本大题共4小题，第21、22、24题各12分，第23题14分满分50分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 21. （本小题满分12分）
某单位有一块如图所示的四边形空地ABCD ,已知90A ︒∠=，3AB m =，4AD m =，
12BC m =，13CD m =.
（1）求边cos C 的值；
（2）若在该空地上种植每平方米100元的草皮，问需要投入多少资金？
22. （本小题满分12分）
已知函数()cos()6
f x a x π
=+的图像经过点1,2
2π⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
（1）求a 的值；
（2）若1
sin 3
θ=，02
π
θ<<，求()f θ.
23．（本小题满分14分）
在等差数列{}n a 中，已知4679,28a a a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）若211
n n b a =
-*()n N ∈，数列{}n b 的前n 项和n T ，证明：14
n T <
. 24．（本小题满分12分）
已知中心在坐标原点，两个焦点1F ，2F 在x 轴上的椭圆E 的离心率为4
5
，抛物线
216y x =的焦点和2F 重合.
（1）求椭圆E 的方程;
(2)若直线(4)(0)y k x k =+≠交椭圆E 上于,C D 两点，试判断以坐标原点为圆心，周长等于2CF D ∆周长的圆O 和椭圆E 是否有交点？请说明理由.
参考答案: 一、选择题：
1. D
2. B
3. B
4. D
5. A
6. D
7. B
8. C
9. B 10. B 11. C 12. A 13. A 14. B 15. C 二．填空题：
16.51n - 17. 0.95 18. 3- 19. 22 20. 5
三、解答题：
21. （1）12cos 13
C =
，（2）资金3600元 22. （1）1a =（2）61()36
f θ=
- 23. （1）数列{}n a 的通项公式21n a n =+*()n N ∈;
（2）22n S n n =+*()n N ∈ 答案也可以(2)n S n n =+ *()n N ∈ (3)11141n b n n ⎛⎫=
=- ⎪+⎝⎭
11141n T n ⎛⎫=
=- ⎪+⎝⎭
14
n T ∴<
24. (1) 椭圆的方程22
1259
x y +=;
(2) 因为直线(4)(0)y k x k =+≠过焦点1F ，所以2CF D ∆周长为420a =，周长为20的圆的半径2010
32R b ππ
==>= 同时，2010
52R a ππ
=
=<=， b R a ∴<<，和椭圆有交点。