2.2.1综合法与分析法

数学 选修2-2
第二章 推理与证明
(1)a2≥0(a∈R)． (2)(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形后 a2＋b2≥2ab，
a＋b 2 2 ≥ab， a2＋b2 a＋b2 ≥ . 2 2
a＋b b a (3)若 a，b∈(0，＋∞)，则 ≥ ab，特别地 ＋ ≥2. 2 a b (4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈ R)，此结论可由 a2 ＋b2≥2ab 证得， 此结论是一个非常重要的不等式， 很多不等式 的证明都用到该结论．
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第二章 推理与证明
问题探究
1.综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合
法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到 的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”. 2.综合法与分析法的区别是什么? 提示：综合法是从已知条件出发,逐步推向结论,每步寻找的 是必要条件;分析法是从待求结论出发,逐步靠拢已知,每步
证明：∵2a＋2b≥2 2a· 2b＝2 2a＋b， 又∵a＋b＝4，∴2a＋2b≥2 24＝8， ∴2a＋2b≥8.
[问题1] 本题利用什么公式证明的？
[提示1] 基本不等式．
[问题2] 本题的证明顺序是什么？ [提示2] 从已知到结论．
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第二章 推理与证明
2．求证： 3＋2 2<2＋ 7.
寻找的是充分条件.
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第二章 推理与证明
综合法的应用
1 1 已知 a，b>0，且 a＋b＝1，求证： ＋ ≥4. a b 思路点拨：由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． 证法二： 证法一：
∵a，b∈R ，且 a＋b＝1， ∴a＋b≥2 ab， 1 ∴ ab≤ ， 2 1 1 a＋b 1 ∴ ＋ ＝ ＝ ≥4. a b ab ab
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第二章 推理与证明
特别提醒：在平时的证明问题中，一般不是单纯地使用
某一种证明方法，更多的是综合使用几种方法．
练习：1.设a,b,c为一个三角形的三边，且s2=2ab,
s= (a+b+c),试证：s<2a.
2.△ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列，求证： B<900
1 2
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证明： 要证明 3＋2 2<2＋ 7， 由于 3＋2 2>0,2＋ 7>0， 只需证明( 3＋2 2)2<(2＋ 7)2， 展开得 11＋4 6<11＋4 7，只需证明 6<7， 显然 6<7 成立． ∴ 3＋2 2<2＋ 7成立．
[问题1] 本题证明从哪里开始？
[提示1] 从结论开始．
[问题2] 证题思路是什么？ [提示2] 寻求上一步成立的充分条件．
2
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第二章 推理与证明
1 1 从而只需证 2 a ＋ 2≥ 2(a＋ )， a a 1 1 2 2 只需证 4(a ＋ 2)≥2(a ＋2＋ 2)， a a 1 2 即证 a ＋ 2≥ 2，而此不等式显然成立． a 故原不等式成立．
2
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第二章 推理与证明
用分析法证明不等式时应注意的问题： (1) 分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知
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第二章 推理与证明
1．已知 a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1，
1 1 1 求证： －1 －1 －1 ≥8. a b c
证明： ∵a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1， b＋c a＋c a＋b 1 1 1 ∴ －1＝ >0， －1＝ >0， －1＝ >0， a a b b c c
第二章 推理与证明
2.ABC的三边长a、b、c的倒数成等差数列，求 证：B＜90 2 1 1 解：依题意知： b(a c) 2ac 2 b a c a 2 c 2 b 2 2ac b 2 b2 b2 b cos B 1 1 1 2ac 2ac 2ac b( a c ) ac b b a c＞b ＜1 1 >0 cos B 0 ac ac
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第二章 推理与证明
1. 综合法是数学证明中最常用的一种方法，本题 巧妙地应用了“1”的代换及基本不等式． 2. 综合法证明不等式常用 “ 两个正数的算术平均
数不小于它们的几何平均数”这一结论，运用时要结
合题目条件，有时要适当变形．
3. 综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基
本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几 个：
第二章 推理与证明
分析法的应用
例2
1 1 已知 a>0，求证： a ＋ 2－ 2≥a＋ －2. a a 1 1 2 证明：要证 a ＋ 2－ 2≥ a＋ － 2, a a 1 1 2 只需证 a ＋ 2＋ 2≥a＋ ＋ 2. a a 因为 a>0， 1 1 2 2 故只需证 ( a ＋ 2＋ 2) ≥ (a＋ ＋ 2)2， a a 1 1 2 2 即证 a ＋ 2＋ 4 a ＋ 2＋ 4 a a 1 1 2 ≥ a ＋2＋ 2＋ 2 2(a＋ )＋ 2， a a
C．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D．综合法、分析法所用语气都是假定的
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第二章 推理与证明
a2＋b2 3．将下面用分析法证明 2 ≥ab 的步骤补充完整：要证 a2＋b2 2 2 ≥ ab ，只需证 a ＋ b ≥2ab ，也就是证 ________ ，即证 2 ________，由于________显然成立，因此原不等式成立．
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第二章 推理与证明
综合法和分析法 综合法 分析法
结论出发 已知条件 和某 从要证明的_________逐 利用_________ 充分 步寻求使它成立的 _____ 定义 、_____ 公理 、 些数学_____ 条件 直至最后，把要证 _____, 定理 等，经过一系列 _____ 定 明的结论归结为判定一个明 推理论证 的_________，最后 显成立的条件(已知条件、 义 推导出所要证明的结论成 _____ 定理 、_____ 定义 、____ 公理 立，这种证明方法叫做综 等),这种证明方法叫做分析 合法 法
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第二章 推理与证明
2．2
直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
1.了解直接证明的两种基本方法——综 合法和分析法.
学 习 目 标
2.理解综合法和分析法的思考过程、特
点，会用综合法和分析法证明数学问题.
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第二章 推理与证明
1．阅读下列例题： 例：若实数a，b满足a＋b＝4，证明2a＋2b≥8.
的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2) 分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步 寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知 ( 或已 证)的不等式； (3) 用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符 号“⇐”或“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．与证明
分析法与综合法的综合应用
例 3.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列， A,B,C 对边为
1 1 3 a，b， ，c 求证： a b b c a b c .
证明：分析法 1 1 3 要证： ab bc abc 只要证： ( a b c )(b c ) ( a b c)(a b) 3( a b)(b c ) 只要证：a 2 c 2 b 2 ac 即证：b 2 a 2 c 2 ac A, B, C成等差数列 B 60 b 2 a 2 c 2 2ac cos 60 a 2 c 2 ac 原不等式成立
1 1 1 b＋c a＋c a＋b 2 ∴ －1 －1 －1 ＝ a · b · c ≥ a b c
bc· 2 ac· 2 ab abc
＝8， 当且仅当 a＝b＝c 时取等号，∴不等式成立．
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第二章 推理与证明
1 1 1 2．已知 a>0,b>0，a+b=1,求证： ＋ ＋ ≥8. a b ab
＋
∵a，b∈R＋， 1 1 ∴a＋b≥2 ab>0， ＋ ≥2 a b
1 1 ＋ ∴(a＋b) a b ≥4，
1 >0， ab
又 a＋b＝1， 1 1 ∴ ＋ ≥4. a b
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第二章 推理与证明
证法三： ∵a，b∈ R＋， 1 1 a＋b a＋b ∴ ＋ ＝ ＋ a b a b b a ＝1＋ ＋ ＋1 a b ≥2＋2 ＝4， 当且仅当 a＝b 时，取“＝”号． ab · ba
证明：∵ a＋ b＝1, a>0， b>0 1 1 1 1 1 ab 1 1 ∴ ＋ ＋ = ＋ ＋ =2( ＋ ) a b ab a b a b ab
ab ab =2( ) a b b a =2(2+ ) a b
≥2(2+2)=8
1 1 1 ∴ ＋ ＋ ≥ 8. a b ab
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第二章 推理与证明
综合法
分析法
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 →
框图
Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q
已知条件 、已有 表示 (P表示________ 定义 定理 、____ 公理 的____、_____ 所要证明的结论 等,Q表_____________
特点
顺推证法或由因导果法
逆推证法或执果索因法
解析： a2＋b2 a2＋b2 用分析法证明 2 ≥ab 的步骤为：要证 2
≥ab 成立，只需证 a2＋b2≥2ab，也就是证 a2＋b2－2ab≥0，即 证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0 显然成立，所以原不等式成立．