综合法与分析法
综合法与分析法知识点总结
综合法与分析法知识点总结综合法与分析法是在研究认知过程和解决问题过程中的两种基本方法。
它们在科学研究、管理决策、问题解决等领域中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将从综合法和分析法的基本概念、特点、适用范围、主要方法与应用技巧等方面进行综合分析，并结合具体例子进行具体说明。
一、综合法综合法是指在进行研究分析时，采用多个角度、多种方法进行综合比较，综合研究问题的方法。
综合法的主要特点有：1. 多因素综合：综合法强调多方面、多因素的综合研究。
它可以从不同的角度、不同的层面分析问题，得出综合、全面的结论。
2. 积极开放：综合法强调对各种可能性的积极开放，不固步自封，能够克服单一因素分析的片面性。
3. 统筹兼顾：综合法要求在研究中综合各种看法，避免偏听片信，充分尊重每个因素，统筹兼顾。
综合法的主要方法包括层层分析法、交叉综合法、数字与模型综合等。
在实际应用中，可以通过案例分析、数学模型分析等方法进行具体操作。
例如，在管理决策中，如果要分析一个市场是否具有潜在的发展前景，可以采用综合法。
首先，可以从市场规模、人口结构、经济发展情况等多个角度综合考虑；其次，可以采用数字模型进行综合分析，将不同因素的影响定量化，最终形成综合判断。
二、分析法分析法是通过对现象的分解、逐一研究，从而对复杂问题的本质和规律进行探讨的方法。
分析法的主要特点有：1. 逐一分解：分析法要求对问题进行逐层逐一的分解，从整体到局部，从细微到粗大地深入研究每个问题。
2. 重点着眼：分析法要求对问题的各个方面着重研究，找到问题的关键和症结所在，从而能够深刻理解问题。
3. 系统性：分析法在进行研究时需要具有系统性，从不同的角度对问题进行分析，形成全面、系统的认识。
分析法主要包括逐步分析法、归纳分析法、因果分析法等。
在实际应用中可以通过对数据的分解、对问题的逐步归纳等方法进行具体操作。
举例而言，在生产管理中，如果要分析一个生产环节中出现的问题，可以采用分析法。
综合法和分析法
2012-2013高二年级数学选修2-3导学案 编制人 孔前方 审核人 杨国才 编号__________ 使用时间__________ 班级__________ 姓名__________ 小组__________ 组内评价__________ 教师评价__________三人行，必有我师——孔子 我没有什麽特别的才能，不过喜欢寻根刨底地追究问题罢了——爱因斯坦§2.2.1 综合法和分析法1.了解综合法的思维过程和特点，掌握综合法的解题步骤；会用综合法证明一些简单的命题。
1. 会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.8591 复习1： 合情推理的特点；复习2：演绎推理的“三段式”模式；二、新课导学※ 学习探究探究任务一：综合法已知a>0,b>0, 求证abc a c b c b a 4)()(2222≥+++新知1：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫＿＿＿。
用P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:要点：由已知推导 结论；由因导果。
探究任务二：分析法问题：如何证明基本不等式(0,0)2a ba b +>>新知2：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示要点：逆推证法；执果索因。
※ 合作探究：例1 在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a 、b 、c ，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．变式1 求证：对于任意角θ，θθθ2cos sin cos 44=-小结例2变式2：求证小结：三人行，必有我师——孔子 我没有什麽特别的才能，不过喜欢寻根刨底地追究问题罢了——爱因斯坦例3 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.变式3： 如图,在三棱柱S-ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，<BAC=90。
综合法与分析法
变题：
已知 a,b, c R，且 a b c 1
求证：(1)a2 b2 c2 1 ; 3
(2) a b c 3.
例2.如图，四棱锥 P ABCD中，
PC 平面ABCD, PC 2,
在四边形ABCD 中，点M 在PB上，
PB与平面ABC成 30 角.
（1）求证：CM // 面PAD; （2）求证：面PAB 面PAD.
其推证过程为：
结论 已知条件
特点：
从“未知”看“需知”，逐步靠拢 “已知”
3.直接证明 直接从原命题的条件逐步推得命题成立.
（综合法和分析法是直接证明的两种基本方法）
注：直接证明的一般形式为：
本题条件
已知定义 已知公理
⇒
A⇒
B⇒
C
已知定理
⇒ 本题结论
例1:如图，已知AB,CD相交于点O, △ACO≌△BDO,AE=BF, 求证：CE=DF
求证:
1 - tan2α= 1 - tan2β . 1 + tan2α 2(1 + tan2β)
练习1:平行四边形ABCD中，AE⊥BD,垂足为E,
CF⊥BD,垂足为F, 求证：AE=CF
D
E
C
F
A
B
练习2:求证： 3 - 2 > 6 - 5
练习3:设a,b为互不相等的正数，且a+b=1, 证明：1 + 1 > 4
复习
1.推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
(特殊到一般）
类比 （特殊到特殊）
三段论 （一般到特殊）
两种推理的作用?
合情推理为演绎推理确定了目标和方向
综合法、分析法和分析综合法
综合法、分析法和分析综合法证明一个数学命题，重要的是寻找“条件”（已知）与“结论”（未知）之间的逻辑关系．寻找的方法通常分成正面思考和反面思考两大类．正面思考的方法有综合法、分析法和分析综合法等，反面思考的方法有反证法和同一法等．（一）综合法所谓综合法就是从“已知条件”出发，运用已学过的数学知识（定义、公理、定理等），一步步地进行推理，直至导出“结论”为止．综合法以“结论”为目标，由“已知”推出“可知”，逐步靠拢目标．因例1 如图1-1．已知：α⊥β，b⊥β且bα．求证：b∥α．【分析】由α⊥β和平面与平面垂直的性质定理可知，在α内，作垂直于α与β交线的直线c必垂直于β．从而由b⊥β、c⊥β和直线与平面垂直的性质定理可得，b与c重合或平行．若b与c重合，则bα，与已知条件bα不合；若 b∥c，则 b∥α．【证明】设α∩β=m，在α内作直线c⊥m．【解说】用综合法证明立体几何题，从“已知”过渡到“可知”时，必须注意挖掘几何图形的性质，充分运用性质定理去推证，这是综合法证题的一个规律．例2 如图1-2．已知：在四面体ABCD中，AB⊥DC，AC⊥BD．求证：AD⊥BC．【分析】由AB⊥DC和AC⊥BD可得出什么？注意到CD、BD都在平面BCD内，AB、AC都是这个平面的斜线，这样，已知条件就是平面BCD的两条斜线与该平面内的两条直线分别垂直．因此，由三垂线定理的逆定理可得，两条斜线的射影也分别垂直于这两条直线．于是，作AH垂直于平面BCD，垂足为H，连结BH、CH、DH，则BH⊥CD，CH⊥BD．从而H是△BDC的垂心，可知DH⊥BC．由DH是AD 在平面BDC内的射影和三垂线定理，可得AD⊥BC．【证明】如图1-2．过A作AH垂直于平面BCD，垂足为H，连结BH、CH、DH．（二）分析法所谓分析法就是从“结论”入手，去追溯“结论”成立的条件（即在什么条件下“结论”成立），再把所得的条件作为结论，去寻找这个新结论成立的条件．像这样，追根求源，一直追溯到“已知”为止．例3如图1-3．已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC的中点．求证：AB1∥平面DBC1．（1994年全国高考文科、理科试题）【分析】欲证AB1∥平面DBC1，即证AB1平行于平面DBC1内的一条直线．由于D是AC的中点，联想△CAB1的中位线的性质，只需找到B1C的中点E．而由已知易得B1BCC1是矩形，B1C与BC1的交点就是E．【证明】连结B1C、BC1，设B1C∩BC1=E，再连结DE．【解说】在本例的分析中，用分析法作了一番探索后，发现了由“已知”通向“未知”的思维过程，为综合法证明铺平了道路．例4 如图1-4．已知：在四面体ABCD中，AC=BC，AD=BD．求证：AB⊥DC．【分析1】欲证 AB⊥DC，由直线与平面垂直的性质知，需证AB垂直于过DC 的某个平面．因此，需找两条相交直线，它们都垂直于AB，且与DC共面．因AB 是△CAB和△DAB的公共边，问题转化为在AB上是否存在一点M，使AB⊥MC，且AB⊥MD，但这由已知条件CA=CB和DA=DB可知．【证法1】设M是AB的中点，连结MC和MD．【分析2】如图1-5．AB在平面ABD内，CD与这个平面相交．要证AB⊥CD，若CD是平面ABD的斜线，则问题转化为证CD在平面ABD内的射影 DH（CH⊥平面ABD）垂直于AB．因DA=DB，只需证∠ADH=∠BDH．由DA=DB知，只需证AH=BH，这可由CA=CB得出．若CD⊥平面ABD，则易得CD⊥AB．【证法2】（1）当CD不垂直于平面DAB时（如图1-5），过C作CH⊥平面DAB，垂足为H，连结AH、BH、DH．于是，由（1）、（2）可知，CD⊥AB．【解说】这两种证法都需要添置适当的辅助线，而这些辅助线都是在探索“结论”成立的条件中发现的．因此，分析法是立体几何中添置辅助线的一种重要方法．（三）分析综合法综合法由“条件”靠拢“结论”是正向思维，分析法由“结论”追溯“条件”是逆向思维．因此，在思维方法上，这两种方法构成一对矛盾．分析法和综合法是证明数学命题的两种有效方法，在立体几何中都大有用武之地，但是，使用这两种方法要灵活机动，因题制宜，不可拘泥于某一种方法．有的题目，单用一种方法简直到了山穷水尽疑无路的地步，一旦改换另一种方法，思维沿着相反的方向进行，就会出现柳暗花明又一村的美景．因此，一旦把两种方法结合起来，互相穿插使用，便能加快解题速度．这样，分析法和综合法互相配合就产生了分析综合法．这种方法从一个命题的两头（“条件”和“结论”）向中间靠拢，思路清晰，目标明确，思维集中，容易找到问题的突破口，发现解题途径．例5 如图1-6，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1．求证：BE=EB1．（1996年全国高考理科试题改编）在平面A1CE内可作EG⊥A1C于G，设AC的中点为F，连BF、FG，【证明】如图1-6．在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C于G，则由截面EA1C⊥侧面A1C，得EG⊥侧面A1C．■设F是AC的中点，连结BF、FG，则由BA=BC，得BF⊥AC．∵平面ABC⊥侧面AC1，∴BF⊥侧面AC1．∴BF∥EG．从而BF、EG确定一个平面，这个平面与侧面A1C的交线为FG．又 BE∥侧面A1C，∴BE∥FG．于是 BE=FG．在△CAA1中，∵FG∥BE，BE∥AA1，∴FG∥AA1．又 F是AC的中点，。
2.2.1综合法与分析法课件人教新课标2
1 - tan2α 1 - tan2β 求证 1 + tan2α = 2(1 + tan2β) .
证明：
因为（sin2θ + cos2θ）2 - 2sinθcosθ = 1,
所以将(1)(2)代入，可得
4sin2α - 2sin2β = 1. 另一方面要证
4.作业：89页1 2 3
练习.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为 F,求证 AF⊥SC.
S
判断
F E
应该用综合法还
是分析法？
A
C
B
1 - 2sin2α = 1 (1 - 2sin2β)， 2
4sin2α - 2sin2β = 1.
由于上式与③相同，于是问题得证.
课堂小结
1.综合法的概念：
一般地，利用已知条件和某些数学定 义、公理、定理等,经过一系列的推理论证, 最后推导出所要证明的结论成立,这种证明 方法叫做综合法.
2.分析法的概念:
则综合法可用 框图表示如下：
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q
例题1
在△ABC中，三个内角A、B、C对应的 边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列， a、b、c成等比数列，求证△ABC为等边三 角形．
分析
•将A，B，C成等差数列，转化为符号 语言就是2B=A+C；
•A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含 条件，即A+B+C=180°；
这就是另一种证 明方法——分析法.
一般地，从要证明的结论出发，逐 步寻求推证过程中，使每一步结论成立 的充分条件，直至最后，把要证明的结 论归结为判定一个明显成立的条件（已 知条件、定理、定义、公理等）为止， 这种证明的方法叫做分析法．
综合法和分析法
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法三 1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2 当 a＝b 时，取“＝”号．
ba·ab＝4.当且仅
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题型二 分析法的应用 【例 2】 设 a，b 为实数，求证： a2＋b2≥ 22(a＋b)．
[思路探索] 题目条件要求使用分析法证明不等式，只需要注 意分析法证明问题的格式即可．
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题型一 综合法的应用 【例 1】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n
∈N*)，其中 m 为常数，且 m≠－3. (1)求证：{an}是等比数列； (2)若数列{an}的公比 q＝f(m)，数列{bn}满足 b1＝a1，bn＝32f(bn －1)(n∈N*，n≥2)，求证：b1n为等差数列．
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3．分析法 (1)定义：一般地，从要证明的 结论出发 ，逐步寻求使它成立 的 充分条件 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显 成立的条件(已知条件 、 定理 、 定义 、 公理 等)为止，这种 证明方法叫做分析法． (2)框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示 为：
＋2 c·a＋2 c> a2b2c2＝abc.(10 分) 即a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c>abc 成立． ∴logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c<logxa＋logxb＋logxc 成立．(12 分)
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综合法和分析法
综合法和分析法
一、综合法
1、一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。
2、综合法的思维方向是”，即由已知条件出发，逐步推出其必要条件（由因导果），最后推导出所要证明的结论成立，故综合法又叫顺推证法或由因导果法．综合法的依据：已知条件以及逻辑推理的基本理论，在推理时要注意：作为依据和出发点的命题一定要正确．
二、分析法
1、 1、一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。
2、分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故命题B必为真。
3、用分析法证明的模式：
用分析法证：为了证明命题B为真，这只需证明命题B，为真，从而有……这只需证明命题B：为真，从而有……这只需证明命题A为真．而已知A为真，故B必真．可见分析法是”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法。
特别提醒：当命题不知从何人手时，有时可以运用分析法来解决，特别是对
于条件简单而结论复杂的题目，往往更是行之有效．用分析法证明时，往往在最后加上一句步可逆，这无形中就出现了两个问题：①分析法证明过程的每一步不一定”，也没有必要要求”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件；②如果非要”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只适用于证明等价命题了，但是，只要我们搞清了用分析法证明问题的逻辑结构，明确四种命题之间的关系，那么用分析法证明不等式还是比较方便的。
小学数学：分析法和综合法
分析法和综合法分析与综合都是思维的基本方法，无论是研究和解决一般问题，还是数学问题，分析和综合都是最基本的具有逻辑性的方法。
分析与综合本是两种思想方法，但因二者具有十分密切的联系，因此把二者结合起来阐述。
1. 分析法和综合法的概念。
分析是把研究对象的整体分解为若干部分、方面和因素，分别加以考察，找出各自的本质属性及彼此之间的联系。
综合是把研究对象的各个部分、方面和因素的认识结合起来，形成一个整体性认识的思维方法。
分析是综合的基础，综合是分析的整合，综合是与分析相反的思维过程。
在研究数学概念和性质时，往往先把研究对象分解成几个部分、方面和要素进行考察，再进行整合从整体上认识研究对象，形成理性认识。
实际上教师和学生都在经常有意识和无意识地运用了分析和综合的思维方法。
如认识等腰梯形时，可以从它的边和角等几个要素进行分析：它有几条边？几个角？四条边有什么关系？四个角有什么关系？再从整体上概括等腰梯形的性质。
数学中的分析法一般被理解为：在证明和解决问题时，从结论出发，一步一步地追溯到产生这一结论的条件是已知的为止，是一种“执果索因”的分析法。
综合法一般被理解为：在证明和解决问题时，从已知条件和某些定义、定理等出发，经过一系列的运算或推理，最终证明结论或解决问题，是一种“由因导果”的综合法。
如小学数学中的问题解决，可以由问题出发逐步逆推到已知条件，这是分析法；从已知条件出发，逐步求出所需答案，这是综合法。
再如分析法和综合法在中学数学作为直接证明的基本方法，应用比较普遍。
因此，分析法和综合法是数学学习中应用较为普遍的相互依赖、相互渗透的思想方法。
2. 分析法和综合法的重要意义。
大纲时代的小学数学教育，比较重视逻辑思维能力的培养，在教学过程中重视培养学生的分析、综合、抽象、概括、判断和推理能力，其中培养学生分析和综合的能力、推理能力是很重要的方面，如在解答应用题时重视分析法和综合法的运用，也就是说可以先从应用题的问题出发，找出解决问题需要的条件中哪些是已知的、哪些是未知的，未知的条件又需要什么条件解决，这样一步一步倒推，直到利用最原始的已知条件解决。
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综合法与分析法学习目标：1． 理解综合法和分析法的概念及区别2． 熟练的运用综合法分析法证题学习重难点:综合法和分析法的概念及区别自主学习：一：知识回顾1． 合情推理：前提为真，结论可能为真的推理。
它包括归纳推理与类比推理。
2． 演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊命题为真的推理叫演绎推理 二：课题探究1. 直接证明: 从命题的条件或结论出发,根据已知的定义,公理,定理直接推证结论的真实性.2. 综合法：从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所求证的命题.综合法是一种由因所果的证明方法.3. 分析法:一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法是一种执果索因的证明方法.4.综合法的证明步骤用符号表示: 0P (已知) 1n P P ⇒⇒⇒L (结论)5.分析法的证明“若A 成立,则B 成立”的思路与步骤;要正(或为了证明)B 成立,只需证明1A 成立(1A 是B 成立的充分条件).要证1A 成立,只需证明2A 成立(2A 是1A 成立的充分条件).… ,要证k A 成立,只需证明A 成立(A 是k A 成立的充分条件)..Q A 成立, ∴B 成立.三: 例题解析例1: 已知a>0,b>0,求证a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc证明: 因为b 2+c 2 ≥2bc,a>0 所以a(b 2+c 2)≥2abc.又因为c 2+b 2 ≥2bc,b>0所以b(c 2+a 2)≥ 2abc.因此a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc.例2: 已知:a,b,c 三数成等比数列,且x,y 分别为a,b 和b,c 的等差中项.求证: 2a b x y+=. 证明: 依题意, :a,b,c 三数成等比数列, ∴a b b c =,∴a b a b b c =++, 又由题设: 2a b x +=,2b c y +=, 而22222()2a b a c b c b c x y a b b c b c b c b c++=+=+==+++++. 例3. 设a 、b 是两个正实数，且a≠b ，求证：a 3+b 3＞a 2b+ab 2．证明：(用分析法思路书写)要证 a 3+b 3＞a 2b+ab 2成立，只需证(a+b)(a 2-ab+b 2)＞ab(a+b)成立，即证a 2-ab+b 2＞ab 成立。
(∵a+b ＞0)只需证a 2-2ab+b 2＞0成立，也就是要证(a-b)2＞0成立。
而由已知条件可知，a≠b ，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证.例4 已知a,b 是正整数,求证:≥证明: 要证≥只需证≥成立，即证(a b +≥.即证a b +≥也就是要证a b +≥,即0≥.该式显然成立,≥巩固练习1. 下列正确命题的序号是________.① 若,a b R ∈,则2b a a b+≥;② 若,a b R ∈,则lg lg a b +≥③ 若x R ∈,则44||||||x x x x +=+≥④ 2y =的最小值是2. 2. 函数()ln(1)2x x f x e =+-( ) A.是偶函数,但不是奇函数 B.是奇函数,但不是偶函数 C.既是奇函数,又是偶函数 D. 既不是奇函数,又不是偶函数3. 若,x y R ∈,且2226x y +=,则222x y x ++的最大值是( )A 14B 15 C16 D174. 定义在(,)-∞+∞上的函数()y f x =在(,2)-∞上是增函数,且函数(2)y f x =+为偶函数,则f(-1), f(4), f(152)的大小关系是__________________________________.归纳反思：合作探究：1.求证:<.2.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x,都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A 3 B52 C 2 D 32例2. △ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，求证：c b a c b b a ++=+++311。
答案：证明：要证c b a c b b a ++=+++311，即需证3=+++++++c b c b a b a c b a 。
即证1=+++cb a b ac 。
又需证))(()()(c b b a b a a c b c ++=+++，需证222b ac a c +=+∵△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列。
∴B=60°。
由余弦定理，有ο60cos 2222ca a c b -+=，即ac a c b -+=222。
∴222b ac a c +=+成立，命题得证。
变式训练2：用分析法证明：若a >0，则212122-+≥-+a a a a 。
答案：证明：要证212122-+≥-+a a a a ，只需证212122++≥++aa a a 。
∵a >0，∴两边均大于零，因此只需证2222)21()21(++≥++a a a a 只需证)1(222211441222222a a a a a a a a +++++≥++++，只需证)1(22122a a a a +≥+，只需证)21(2112222++≥+a a a a ，即证2122≥+a a ，它显然成立。
∴原不等式成立。
课题：直接证明--综合法与分析法1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。
因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
6．教学过程:学生探究过程：证明的方法（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。
在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。
对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
（2）、例1．设a 、b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：a 3+b 3＞a 2b+ab 2．证明：(用分析法思路书写)要证 a 3+b 3＞a 2b+ab 2成立，只需证(a+b)(a 2-ab+b 2)＞ab(a+b)成立，即需证a 2-ab+b 2＞ab 成立。
(∵a+b ＞0)只需证a 2-2ab+b 2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。
而由已知条件可知，a ≠b ，有a-b ≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。
(以下用综合法思路书写)∵a ≠b ，∴a-b ≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0亦即a2-ab+b2＞ab由题设条件知，a+b ＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab 即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证例2、若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++ 证明：采用差值比较法：2242)1()1(3x x x x ++-++=3242422221333x x x x x x x ------++=)1(234+--x x x =)1()1(222++-x x x=].43)21[()1(222++-x x ,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而Θ∴,0]43)21[()1(222>++-x x ∴.)1()1(32242x x x x ++>++例3、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥ 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a0)(0≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a Θ，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设,0>≥b a,0,1≥-≥b a b a Θ .1)(≥=∴-b a a b b a b a b a b a 故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。
用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
讨论：若题设中去掉1≠x 这一限制条件，要求证的结论如何变换？巩固练习：第81页练习1 , 2 , 3 , 4课后作业：第84页 1，2, 3教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。
因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。