华丽高数上作业答案

第12次作业教学内容：§3.1微分**1.．求，设　dy x x x x y x ),40(2tan )(cos )(sin π<<+=解: dy y x dx ='()[]{}dx x x x x x x x 2sec 2tan sin )ln(cos cos )(cos 2sin +⋅-=　.**2.设　求．y x e e dy x x ()ln()=++--241 解:du u du du dy dy eu x2211,+===-则　令　dxe e x x4212--+-=　.**3.设　且处处可微求ϕϕϕϕϕ(),(),ln ()()x x d x x >⎡⎣⎢⎤⎦⎥0 解:)()(ln x x u ϕϕ=记，则du u x x d )()()(ln ϕϕϕϕ'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡dx x x x x u )()(ln )()()(2ϕϕϕϕϕ⋅'-'⋅'=[]dxx x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⋅-'=)()(ln )(ln 1)()(2ϕϕϕϕϕϕ　.**4. ．的微分所确定隐函数求由方程dy x y y a axy y x )(,)0(0333=>=-+解: 由0333=-+axy y x , 得 0)d d (3d 3d 322=+-+y x x y a y y x xxax y x ay y d d 22--=∴.**5..)(0)cos(sin dy x y y y x x y 的微分所确定隐函数求由方程==+-解: 0)()sin(cos sin =+⋅+++⋅dy dx y x xdx y x dy 由　得　dy y x x y x x y dx=-++++cos sin()sin sin().**6. .263的近似值用微分方法计算 解:127)()()()(0003-=∆=∆⋅'+≈∴=x x xx f x f x f x x f ．，令　959.22713263=-≈.**7..151cos ,0的值计算用微分代替增量 解:f x x x x ()cos =====．，000150561180ππ∆,8747.036023180)150(sin 150cos )151(000-≈--=⋅-≈ππf .**8.cm cm cm 005.02.55一层厚的空心铁球的表面上镀外半径为在一个内半径为 量。

个金球中含铁和金的质，试用微分法分别求这，金的密度为已知铁的密度为的金33g/cm 9.18g/cm 86.7,解: ，．．，86.72.05341113==∆==ρπr r r V)(6.4932086.7486.71211g r r m ≈⨯=∆⋅⋅≈ππ，，，，9.18005.02.5222==∆=ρr r )(1.32005.0)2.5(49.1822g m =⋅⨯≈π.**9.，要使周期，摆长，其中单摆振动周期cm 8.9cm/s 98022===l g g lT π?,01.0摆长需增长多少增大s解:lgldT T ∆=≈∆π)(31.001.014.398cm T gll ≈⋅≈∆≈∆　π.**10.设扇形的圆心角60=α，半径cm R 100=，如果R 保持不变，α减少03'，问扇形面积约改变多少？如果60=α不变，R 增加cm 1，问扇形面积约改变多少？解：扇形面积公式为221R S α=，（1） 视α为变量，则63.43)360(21)d d (2-=-⋅=∆⋅≈∆πααR S S 。

（2） 视R 为变量，则7.10411003d d =⋅⋅=∆⋅=∆⋅≈∆παR R R R S S .**11.测得一个角大小为45，若已知其相对误差为%3，问由此计算这个角的正弦函数值所产生的绝对误差和相对误差各是多少？解：设角度为x ，于是x y sin =，由微分近似计算，有（1）01666.0%3422%3445cos cos =⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⋅=∆⋅=∆⋅'≈∆ππ x x x y y ； （2）%356.2sin =∆⋅'≈∆x xy y y .第13次作业教学内容：§3.2微分中值定理**1. .arcsin )(]1,1[的值时应用拉格朗日中值定理内对函数试求在ξ=-x x f 解：在上连续在内可导f x x ()arcsin [,],(,)=--1111即在满足拉格朗日中值定理的条件f x ()[,]-11又'=-f x x ()112令'=-=----=f f f ()()()()ξξπ11111122得到内的解(,)-=±-11142ξπ即存在ξπξπ12221414=-=--,,使)2,1()1(1)1()1()(=----='i f f f i ，ξ.**2.成立内使则在设))(()()(,1)(,0,a b f a f b f b x a x x f ab b a -'=-<<=<<ξξ的点 （ ）的具体数值有关与是否存在 不存在有两点 只有一点 b a D C B A ,,)(,)()()( 答　()C***3.设()()()()()d x c x b x a x x f ----=（其中d c b a <<<），不用求()x f '，说明方程()0='x f 有几个实根，指出它们所在的区间。

解：显然，()x f 在[][][]d c c b b a ,,,,,三个闭区间上连续，且在()()()d c c b b a ,,,,,内可导，又因为有()()()()0====d f c f b f a f ，由罗尔中值定理，至少存在三点()()()d c c b b a ,,,,,321∈∈∈ξξξ，使得()()()0321='='='ξξξf f f .又()x f '是一个实系数一元三次多项式函数，所以方程()0='x f 在实数范围内最多只有三个根，亦即321,,ξξξ。

它们的所在区间为 ()()()d c c b b a ,,,,,321∈∈∈ξξξ.**4.若已知方程0111=+++--x a x a x a n n n n 有一个正根0x ，证明方程 ()011211=++-+---a x a n x na n n n n至少有一个小于0x 的正根.证：考虑闭区间[]0,0x ，显然函数()x a x a x a x F n n n n 111+++=-- 在[]0,0x 上连续，在()0,0x 内可导，且有()()00x F F =。

所以由罗尔中值定理值必存在一个()0,0x ∈ξ，使得()0='ξF .***5.设()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上连续，在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ内可导，试证：存在⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππξ，使 ()()ξξξξsin cos f f ='.证：令()()x x f x g cos =，显然()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上连续，在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内可导，且022=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππg g 。

由罗尔中值定理知，存在⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππξ，使得()0='ξg ，即()()0sin cos =-'ξξξξf f .***6.证明下列不等式：()b a ab a b b a <<-<<-0,1ln 1.证：令()x x f ln =，显然()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导，故由拉格朗日定理，知必存在一个()b a ,∈ξ，使得()()()ξξ1='=--f a b a f b f ()* 由()*式，显然有()()a a b a f b f b 111<=--<ξ， 即()()a a b a b a f b f a a b -<=-<-ln ， 亦即 1ln 1-<<-a ba b b a ，证毕.****7.设()x f 在[]1,1-上可微，且()()Mx f f <'=,00。

试证明：在[]1,1-上恒成立()Mx f <（其中0>M 是常数）。

证：对任意的[]1,1-∈x )0(≠x ，显然()x f 在由0与x 构成的闭区间]0,[x 或],0[x 上满足拉格朗日条件,所以，在0与x 之间必存在一个ξ，使得())0()0()(-'=-x f f x f ξ , ()*由已知，()Mx f <'，及1≤x ，代入()*式，即得()()()Mf x f x f <'⋅=-ξ0；而当0=x 时，Mf <=0)0(，于是可得对任意的[]1,1-∈x ，都有 ()Mx f <.**8. 使证明存在上可导在设),,(,],[)(b a b a x f ∈ξ [])()(3)()(1233ξξξξf f b f a f a b a b '+=- ，其中)()(33b f a a f b )()(33a f a b f b -=.中值定理，上可导，利用拉格朗日在，则证明：令],[)()()(3b a x F x f x x F =))(()()(),(a b F a F b F b a -'=-∈ξξ，使则至少存在))](()(3[)()(3233a b f f a f a b f b -'+=-ξξξξ即，[])()(3)()(1233ξξξξf f b f a f a b a b '+=- 即.***9. 若()ax f x ='+∞→lim ，计算极限()()[]x f x f x -++∞→100lim .解：依题意，函数)(x f 在闭区间[]100,+x x 上必连续，在()100,+x x 内必可导，故符合Lagrange 中值定理的条件。

所以，)100,(+∈∃x x ξ，使 ])100)[(('lim )]()100([lim x x f x f x f x x -+=-++∞→+∞→ξ，其中 100+<<x x ξ，当+∞→x 时，有 +∞→ξ，af 100100)('lim =⋅=+∞→ξξ上式.****10.设()x f 在[]b a ,上具有1阶连续导数，()x f ''在()b a ,内存在，且()()0==b f a f 。

又存在常数()b a c ,∈，使()0>c f 。