《高等数学》第八章练习题及答案

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高数第八章自测题答案

x 2 + y 2 < 4, x 2 + y x ≤ a a
⇒ − a ≤ x ≤ a,
3.
∴ D = {( x , y ) 1 < x 2 + y 2 < 4}.
由
y ≤1 ⇒ y ≤ b b
⇒ − b ≤ y ≤ b,
f ( x, y) =
1 + x2 + y2 − 9. xy
1 ===== lim u ⋅ sin 2 = 0 = f (0,0), u→0 u ∴ f ( x , y )在(0,0)连续.
(3)
Q f ( x , y )在点（0， 0）偏导数不存在， ∴ f ( x , y )在点（0， 0）不可微 .
1
四、选择题 1．F 具有一阶连续偏导数， z = z( x , y ) 是由方程 ⎛y z⎞ F⎜ , ⎟ = 0 所确定的隐函数， ⎝ x x⎠
令F ( x , y , z ) = x − mz − ϕ ( y − nz ) Fx = 1, F y = −ϕ ′ ⋅ 1, Fz = − m − ϕ ′ ⋅ ( − n), ∴ F 1 ∂z =− x = Fz m − nϕ ′ ∂x Fy ∂z −ϕ′ , =− = Fz m − nϕ ′ ∂y
二、 1. z = arcsin( y x ), 求dz .
解
1 1 ∂z , = ⋅ y⋅ ∂x 2 x 1 − xy 2
dz = 1
2
3. 求函数 z = x − xy + y − 2 x + y 的极值
2 2
1 ∂z = ⋅ x, ∂y 1 − xy 2
点，是极大还是极小值点？
令解 ⎧ ∂z = 2 x − y − 2 = 0 ⎪ ⎪ ∂x ⇒ x = 1, y = 0, ⎨ 令 ⎪ ∂z = − x + 2 y + 1 = 0 ⎪ ⎩ ∂y

《高等数学》第八章习题答案

3、 x + 2 y − 4 = 0 ；
6、 x − y + 2 z = ± （B） 1、略。 8.6
11 。 2
1、（1）0；（2）0；（3）
3 5 3 + 2；（4） + 2。 2 2 2
2、
1 2 3 + + 3。 2 2 2
3、 x0 − y 0 + z 0 。 4、略。 5 、 gradu = 2i − 4 j + k 是方向导数取最大值的方向。此方向导数的最大值为
(x2 + y 2 ) 2 2 (dx + dy ) 。 3 12 π 3、 ∆z = arctan − ， dz = 0.05 。 11 4
2、（B） 1、 2.95 。2、 2.039 。 8.4 （A） 1、 e 2、
sin t − 2 t 2
(cos t − 4t ) 。
1 (2 − 15t 2 ) 。
（5）
∂z yze xy ∂z yxe xy = = ；。 ∂x 3 z − 1 ∂y 3z − 1 ∂f ∂f ∂f ，，。 ∂x ∂y ∂z
（B） 1、提示：求出
∂2z ∂2z 2、提示：求出 2 ； 2 。 ∂x ∂y
8.5 （A） 1、 { ,2,3} ， 1
x −1 y −1 z −1 = = 。 1 2 3 x − 1 + sin 1 y − 1 + cos 1 z − 4 sin 1 2、 = = ； 1 + cos 1 sin 1 4 cos 1
1 − (2t − 5t )
3 2
3、
∂z ∂z = 4x ； = 4y 。 ∂x ∂y

高等数学作业集答案第八章

第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算 1.填空题（1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）.（2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）.2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角.解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=M M ，方向余弦为22cos =α，22cos =β，0cos =γ，方向角为4πα=，4πβ=， 2πγ=.3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ，即⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-+-+-+=-+222222)3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得⎩⎨⎧==33y z ，则该点为)3,3,0(.4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为29)4(32||222=-++=a ，所以)432(291k j i e a -+±=.5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量.解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=，所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为k k a z 7-=.6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.解：设所求的点为),,0(z y P ，由||||||CM BM AM ==可得⎪⎩⎪⎨⎧-+++=+-++-+=-+-+222222222222)1()1(1)1(2)1(2)1()2(1z y z y zy z y ，解之得21=y ，0=z 故所求的点为)0,21,0(.7. 已知点)6,2,1(-B 且向量在x 轴、y 轴和z 轴上的投影分别为1,4,4-，求点A 的坐标.解：设点A 的坐标为),,(z y x ，由题意可知)1,4,4()6,2,1(-=----z y x ，则5,6,5=-==z y x ，即点A 的坐标为)5,6,5(-.8.试用向量法证明：三角形各边依次以同比分之，则三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心.证明：若),,(111z y x A 、),,(222z y x B 、),,(333z y x C 是一个FGH ∆的三个顶点，设三角形的重心为E，则),,(31)(31321321321z z z y y y x x x C B A E ++++++=++=设ABC ∆的同比nm之分点分别为F 、G 、H ，分点的坐标为),,(212121mn mz nz m n my ny m n mx nx F ++++++),,(323232mn mz nz m n my ny m n mx nx G ++++++),,(131313mn mz nz m n my ny m n mx nx H ++++++则三角形FGH ∆的重心为,()(31133221mn mx nx m n mx nx m n mx nx H G F ++++++++=++),133221133221m n mz nz m n mz nz m n mz nz m n my ny m n my ny m n my ny ++++++++++++++++),,(31321321321z z z y y y x x x ++++++=. 所以三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心. §8.2 数量积向量积 1.若3),(,4||,3||π===Λb a b a ，求b ac 23-=的模.解：b b b a a b a a b a b a c 22233233)23()23(||2⋅+⋅-⋅-⋅=-⋅-=73443cos431239||412||92222=⨯+⨯⨯⨯-⨯=+⋅-=πb b a a所以73||=c .2.已知||||b a b a -=+，证明：0=⋅b a .证明：由||||b a b a -=+，可得22||||b a b a -=+，可知)()()()(b a b a b a b a -⋅-=+⋅+，展开可得b a b a b a b a ⋅-+=⋅++2||||2||||2222，即04=⋅b a ，故0=⋅b a .3.已知20||,18||,10||=+==b a b a ，求||b a -. 解：因为b a b a b a b a b a b a ⋅++=⋅++=+⋅+=+=23241002||||)()(||400222所以242-=⋅b a ，)()(||b a b a b a -⋅-=-b a b a ⋅-+=2||||227824324100=++=.4.已知)4,2,1(=a ，)3,3,3(-=b ，求a 与b 的夹角及a 在b 上的投影.解：934)3(231=⨯+-⨯+⨯=⋅b a ，7799916419cos =++⋅++=θ，77arccos=θ. 因为a jb b a b Pr ||=⋅，所以3339Pr ==a jb .5.已知a ,b ,c 为单位向量，且满足0=++c b a ，计算a c c b b a ⋅+⋅+⋅.解：因为0)()(=++⋅++c b a c b a ，所以0222||||||222=⋅+⋅+⋅+++a c c b b a c b a ，而1||||||222===c b a ，所以23-=⋅+⋅+⋅a c c b b a . 6.求与k j i b k j i a 32,2-+=++=都垂直的单位向量. 解：kj i k j i k j i b a c 357122132113112312121-+-=+---=-=⨯=而83)3(5)7(||222=-++-=c ，所以)3,5,7(831--±=c e .7.设)(8,186,5b a b a b a -=+-=+=，试证A 、B 、D 三点共线.证明：只需证明//.因为b a b a 2)5(2102=+=+=+=，所以//.8.已知)3,2,1(-=a ，=b )0,,2(m ，)9,3,9(-=c （1）确定m 的值，使得b a +与c 平行.（2）确定m 的值，使得b a -与c 垂直.解：（1）要使b a +与c 平行，只需0=⨯+c b a )(，因为b a +)3,2,3(-=m ，而c b a ⨯+)()99,0,99(32m m m j --=--=，所以当1=m 时b a +与c 平行.（2）要使b a -与c 垂直，只需0)(=⋅-c b a ，因为b a -)3,2,1(---=m ，而c b a ⋅-)(24327639)9,3,9()3,2,1(+=+++-=-⋅---=m m m ，所以当8-=m 时，b a -与c 垂直. §8.3 曲面及其方程 1.填空题（1）将xOz 坐标面上的抛物线x z 42=绕x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（x y z 422=+），绕z 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（2224y x z +=）.（2）以点)2,3,2(-为球心，且通过坐标原点的球面方程为（17)2()3()2(222=-+++-z y x ）.（3）将xOy 坐标面的圆422=+y x 绕x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（4222=++z y x ）.2.求与点)1,2,1(A 与点)2,0,1(B 之比为2:1的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为),,(z y x P ，由于2:1||:||=PB PA ，所以222222)2()0()1()1()2()1(2-+-+-=-+-+-z y x z y x ，解之，可得194166333222=+---++z y x z y x ，即920)32()38()1(222=-+-+-z y x ，所以所求的动点的轨迹为以点)32,38,1(为心，半径为352的球面. 3.求与点)3,1,2(和点)4,2,4(等距离的动点的轨迹. 解：设动点为),,(z y x P ，由题意知222222)4()2()4()3()1()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x ，整理得0112=-++z y x .4. 写出下列曲面的名称，并画出相应的图形. （1）259916222-=--z y x . 解：该曲面为单叶双曲面. （2）259916222=--z y x . 解：该曲面为双叶双曲面.（3）1254222=++z y x . 解：该曲面为旋转椭球面. （4）x y x 922=-. 解：该曲面为双曲柱面. （5）x z y 922=+. 解：该曲面为椭圆抛物面.（6）0)3()2()1(4222=---+-z y x . 解：该曲面为椭圆锥面.§8.4 空间曲线及其方程 1. 填空题（1）二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=3412x y x y 在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点)5,2(）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于z 轴且过点)0,5,2(）.（2）旋转抛物面)20(22≤≤+=z y x z 在xOy 面上的投影为（⎩⎨⎧=+=222z y x z ），在x O z 面上的投影为（22≤≤z x ），在yOz 面上的投影为（22≤≤z y ）.2.求球面4222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程.解：将x z -=1代入4222=++z y x ，得4)1(222=-++x y x ，因此投影方程为⎩⎨⎧=+-=322022y x x z . 3.分别求母线平行于x 轴、y 轴及z 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 的柱面方程.解：在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去x 得4322=-z y ，即为母线平行于x 轴且通过曲线的柱面方程.在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去y 得45322=+z x ，即为母线平行于y 轴且通过曲线的柱面方程.在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去z 得8522=+y x ，即为母线平行于z 轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）⎩⎨⎧-==++-14)1(222x y z y x .解：将1-=x y 代入4)1(222=++-z y x 得4)1(222=+-z x ，即14)2()1(222=+-z x . 令θcos 21=-x ，θsin 2=z ，所求的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=θθθsin 2cos 2cos 21z y x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=++4922222z x z y x . 解：做变换⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2z x ，将其带入方程9222=++z y x ，即得52=y . 所以参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=±==θθsin 25cos 2z y x （πθ20≤≤）.5.求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθ3sin 2cos 2z y x 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：螺旋线在xOy 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧===0sin 2cos 2z y x θθ，直角坐标方程为⎩⎨⎧==+0422z y x . 螺旋线在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧===03sin 2x z y θθ，直角坐标方程为⎪⎩⎪⎨⎧==03sin2x z y .螺旋线在zOx 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧===03cos 2y z x θθ，直角坐标方程为⎪⎩⎪⎨⎧==03cos2y z x . 6.画出下列方程所表示的曲线：（1）⎩⎨⎧==++1164222z z y x .（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+1)2(2222y x y z x . （3）⎪⎩⎪⎨⎧==-4116422y z x .§8.5 平面及其方程 1. 填空题（1）一平面过点)4,1,1(-且平行于向量)1,1,2(-=a 和)1,0,1(=b ，平面的点法式方程为（0)4()1(3)1(=+----z y x ）,平面的一般方程为（023=---z y x ）,平面的截距式方程（12232=-+-+z y x ）,平面的一个单位法向量为（)1,3,1(1111-）. （2）设直线L 的方程为⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A ，当（021==D D ）时，直线L 过原点；当（021==A A ）且（01≠D 或02≠D 有一个成立）时，直线L 平行于x 轴但不与x 轴相交；当（2121D D B B =）时，直线L 与y 轴相交；当（02121====D D C C ）时，直线L 与z 轴重合. 2.求过三点)1,1,1(-，)3,1,3(-和)2,1,0(的平面方程. 解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为131313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------121110131113111-+---+--+-=z y x 121422111---+-=z y x =0，即0735=-++z y x . 3.求过点)1,1,1(-且垂直于两平面02=-+z y x 和052=+-z y x 的平面方程.解：该平面的法向量为k j i kj i37521211--=--，平面的方程为0)1(3)1(7)1(=--+--z y x ，即0537=---z y x .4.求点)1,2,1(到平面01022=-++z y x 的距离.解：点),,(0000z y x P =到平面0=+++D Cz By Ax 的距离公式是222000||CB A D Cz By ax d +++++=，因此点)1,2,1(到平面01022=-++z y x 的距离为1221|10122211|222=++-⨯+⨯+⨯=d .5.求平面052=-+-z y x 与各坐标面的夹角的余弦.解：所给平面的法向量为)1,2,1(-=n ，设该平面与xOy 面、yOz 面和zOx 面的夹角为z θ、x θ和y θ，于是=z θcos ||||n k n ⋅611)2(1|110201|222=+-+⨯+⨯-⨯=， =x θcos ||||n i n ⋅611)2(1|010211|222=+-+⨯+⨯-⨯=， =y θcos ||||n j n ⋅621)2(1|011201|222=+-+⨯+⨯-⨯=. 6.求过点)5,4,1(-且在三个坐标轴上的截距相等的平面的方程.解：设所求平面的方程为1=++aya y a x ，由于点)5,4,1(-在平面上，则1541=+-+aa a ，2=a ，所求方程为02=-++z y x . 7.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于yOz 平面且经过点)2,3,2(--；（2）通过y 轴和点)1,1,2(-；（3）求平行于x 轴，且经过两点)2,1,2(-和)1,0,4(-的平面方程. 解：（1）yOz 平面的法向量是)0,0,1(=n ，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为0)2(0)3(0)2(1=+⋅++⋅+-⋅z y x ，即2=x . （2）所求平面的法向量即垂直于y 轴又垂直于向量)1,1,2(-=n ，所以所求平面的法向量为k i k j i201112+-=-，因此所求平面的方程为0)1(2)1(0)2(1=-⋅++⋅+-⋅-z y x ，即02=-z x .（3）由于所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为0=++D Cz By . 将点)2,1,2(-和)1,0,4(-分别代入0=++D Cz By 得02=+-D C B 及0=+-D C ，解得D C =及D B =. 因此所得方程为0=++D Dz Dy ，即01=++z y . §8.6 空间直线及其方程 1. 填空题（1）直线421zy x =-=和平面442=+-z z x 的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点)0,1,1(-且与直线321123-+=-=-z y x 平行的直线的方程是（31121-=+=-zy x ）. （3）直线182511+=--=-z y x 与直线⎩⎨⎧=+=-326z y y x 的夹角为（3π）. 2.化直线⎩⎨⎧=++=+-522z y x z y x 为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为k j i k j in n s 3211211121++-=-=⨯=. 取10=x ，代入直线方程可得10=y ，20=z . 所以直线的对称式方程为321121-=-=--z y x . 令t z y x =-=-=--321121，所给直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=tz t y t x 32121. 3.求过点)3,0,2(且与直线⎩⎨⎧-=-+=+-1253742z y x z y x 垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即21n n n ⨯=)11,14,16(253421-=--=kj i .所求平面的方程为0)3(11)0(14)2(16=-+-+--z y x ，即01111416=+--z y x .4. 求直线⎩⎨⎧=---=-+-01023z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=-+=+-+01202z y z y x 夹角的余弦.解：因为两直线的方向向量为k j i kjin 2241111311++=---=，k j i kjin +-=-=232101112，设两直线的夹角为θ，则422151)2(3224|122234|cos 222222=+-+++⨯+⨯-⨯=θ. 5. 求点)5,1,2(P 在直线:L13111-=-=-zy x 上的投影. 解：过)5,1,2(P 作垂直于已知直线L 的平面∏，则其法向量)1,3,1(-=n ，于是平面的方程为0)5()1(3)2(=---+-z y x ，即03=-+z y x .将已知直线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+=tz t y tx 311代入03=-+z y x ，可得114-=t ，因此点)5,1,2(P 在直线L 上的投影即为平面∏与直线L 的交点)114,111,117(-. 6. 求直线:L ⎩⎨⎧=---=+-083032z y x z y x 在平面:∏12=+-z y x 上的投影直线的方程.解：设所给直线L 的平面束方程为0)83(32=---++-z y x z y x λ，即08)1()3()32(=--++-+λλλλz y x ，其中λ为待定常数，要使该平面与已知平面∏垂直，则有0)1()3()32(2=-++++λλλ，解得34-=λ，将其代入08)1()3()32(=--++-+λλλλz y x ，可得32756=-+z y x ，因此直线L 在平面∏上的投影直线方程为⎩⎨⎧=+-=-+1232756z y x z y x . 7.确定λ的值，使直线:L ⎩⎨⎧=-+=-+02012z x y x 与平面1:=-+∏z y x λ平行，并求直线L 与平面∏之间的距离.解：直线L 的方向向量n k j i kj i--==2101012，要使直线L 与平面∏平行，只要0=⋅s n （其中=s )1,,1(-λ为平面∏的法向量），即0121=+-λ，解得1=λ. 令10=x ，代入直线L 的方程可得10-=y ，10=z ，直线L与平面∏之间的距离332)1(11|1)1(11111|222=-++--⨯+⨯-⨯=d . 8.求通过直线⎩⎨⎧=-++=-+-02201:z y x z y x L 的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线111121-=-+=-z y x . 解：设平面束方程为0)22(1=-+++-+-z y x z y x λ，即012)1()1()12(=--++-++λλλλz y x ，=n )1,1,12(+-+λλλ.设平行于直线111121-=-+=-z y x 的平面为1∏，由0)1()1(2)12(=++--+λλλ，可知1-=λ，令10=x ，代入直线L 的方程，可得000==z y 平面1∏的方程为02)1(=---y x ，即012=-+y x . 设垂直于平面1∏的平面为2∏，由0)1(2)12(=-++λλ，可得41=λ，平面2∏的方程为04543)1(23=+--z y x ，即06536=-+-z y x . 第八章空间解析几何与向量代数综合练习 1.填空题：（1）已知1||=a ，2||=b ，且a 与b 夹角为3πθ=，则=-||b a （3）.（2）若向量)1,2,1(-=a ，=b ),,3(μλ-平行，则=),(μλ（)3,6(-）. （3）已知向量的模为10，且与x 轴的夹角为6π，与y 轴的夹角为3π，与z 轴的夹角为锐角，则=（) 0 5, , 3(5）.（4）曲线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos (a 、b 为常数)在xOy 平面上投影曲线是（⎩⎨⎧==+0222z a y x ）.（5）xOy 平面上曲线16422=-y x 绕x 轴旋转一周所得旋转曲面方程是（16)(4222=+-z y x ）.（6）直线z z y y x x 111-=-=-与平面0=+++D Cz By Ax 的夹角θ 的正弦=θsin （222222CB A pn m pC nB mA ++++++）.（7）方程y z x =-22所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y x 122及112212-=-=+z y x 都平行，且过原点的平面方程是（0=+-z y x ）.（9）已知动点),,(z y x P 到yOz 平面的距离与点P 到点)2,1,1(-的距离相等，则点P 的轨迹方程为（012)2()1(22=++-+-x z y ）.（10）与两平面012=--+z y x 和032=+-+z y x 等距离的平面方程为（012=+-+z y x ）.2. 设k i a -=，k j i b ++=，求向量c ，使得b c a =⨯成立，这样的c有多少个，求其中长度最短的c .解：设=c ),,(z y x ，则 c a⨯y x z y zy kj ++-=-=)(10，则1,1-=+=x z y ，因此这样的c )1,1,(x x --=，有无穷个.由于||c 23)21(2)1(1222++=--++=x x x ，因此，当21-=x 时，即c )21,1,21(--=长度最短. 3. 已知点)0,1,1(A 和点)2,1,0(B ，试在x 轴上求一点C ，使得ABC ∆的面积最小.解：设)0,0,(x C ，则)2,0,1(-=，)0,1,1(--=x，k j x i x AC AB +-+=---=⨯)1(221101，故A B C ∆的面积为1)]1(2[221||2122+-+=⨯=x S ，显然，当1=x 时，ABC ∆的面积最小，为25，所求点为)0,0,1(.4. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2222242yx z z y x 在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在xOy 平面投影为⎩⎨⎧==-04222z y x ；在yOz 平面投影为⎩⎨⎧==-043222x y z ；在zOx 平面投影为⎩⎨⎧==-04322y z x . 5.求原点关于平面:∏0=+++D Cz By Ax 的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面0=+++D Cz By Ax 的直线，该直线的方向向量等于平面∏的法向量),,(C B A ，所求直线的对称式方程为C z B y A x ==，即⎪⎩⎪⎨⎧===Ctz Bt y Atx 为其参数方程. 将此参数方程代入平面∏，有0)(222=+++D t C B A ，解得222C B A Dt ++-=，即直线与平面的交点为),,(222222222CB A CDC B A BD C B A AD ++-++-++-. 设所求的对称点为),,(000z y x ，则222020C B A AD x ++-=+，222020CB A BDy ++-=+，222020C B A CDz ++-=+，即所求的对称点为)2,2,2(222222222CB A CDC B A BD C B A AD ++-++-++-. 6.求直线11111:--==-z y x L 在平面012:=-+-∏z y x 上的投影直线绕x 轴线转一周所成曲面的方程.解：过L 作垂直于平面∏的平面0∏，所求的直线L 在平面∏上的投影就是平面∏和0∏的交线. 平面0∏的法向量为：k j i kj in 232111210--=--=，则过点),,(101的平面0∏的方程为： 0)1(23)1(=----z y x ，即0123=+--z y x . 所以投影线为⎩⎨⎧=+--=-+-0123012z y x z y x . 将投影线表示为以x 为参数的形式：⎪⎩⎪⎨⎧--==)12(212x z x y ，则绕x 轴的旋转面的方程为2222)]12(21[)2(--+=+xx z y ，即0416*******=+---z y x x .7.求球心在直线11212--==-z y x 上，且过点)1,2,1(-和点)1,2,1(--的球面方程.解：设球心为),,(z y x ，则222222)1()2()1()1()2()1(-++++=++-+-z y x z y x ，即02=-+z y x .又因为球心在直线上，直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 122，将直线的参数方程代入02=-+z y x ，可得61-=t ，球心坐标为)67,31,611(-，所求球面方程为665)67()31()611(222=-+++-z y x .8.已知两条直线的方程是142211:1--=+=-z y x L ，10122:2zy x L =-=-，求过1L 且平行于2L 的平面方程. 解：因为所求平面过1L ，所以点)4,2,1(-在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为k j i k j i43212121--=-.因此所求平面的方程为0)4(4)2(3)1(2=--+--z y x ，即08432=+--z y x .9. 在过直线⎩⎨⎧=++=+++0201z y x z y x 的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为0)2(1=++++++z y x z y x λ，即01)1()1()12(=++++++z y x λλλ，平面与原点的距离为31)32(61)1()1()12(|10)1(0)1(0)12(|2222++=++++++⨯++⨯++⨯+=λλλλλλλd要使平面与原点的距离最大，只要32-=λ，即该平面方程为03=---z y x .10. 设两个平面的方程为052=---z y x 和062=--+z y x （1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程. （3）求通过两个平面的交线，且和yOz 坐标面垂直的平面方程. 解：（1）两个平面的法向量为)1,1,2(1--=n 和)2,1,1(2-=n ，设两个平面的夹角为θ，则21)2(111)1(2|)2()1(1112|||||||cos 2222222121=-+++-+-⨯-+⨯-⨯=⋅=n n n n θ，所以3πθ=.（2）因为角平分面上任意一点),,(z y x 到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得222222)2(11|62|)1()1(2|52|-++--+=-+-+---z y x z y x ，即)62(52--+±=---z y x z y x ，所求的角平分面方程为12=+-z y x 或1133=-z x .（3）设通过两个平面的交线的平面方程为)62(52=--++---z y x z y x λ，即0)65)12()1()2(=--+--++λλλλz y x ，由于该平面垂直于yOz 坐标面，所以00)12(0)1(1)2(=⋅+-⋅-+⋅+λλλ，可得2-=λ，因此所求的平面方程为0733=--z y . 11. 求直线321zy x =-=绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程. 解：由于空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x )(+∞<<-∞t 绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为⎩⎨⎧=+=+)()()(2222t z z t y t x y x )(+∞<<-∞t ，消去参数t 即可. 此直线的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==t z t y t x 32，故该直线绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为⎩⎨⎧=-+=+tz t t y x 3)2()(2222，消去参数t ，旋转曲面的方程为22295z y x =+. 12. 画出下列各曲面所围立体的图形：（1）0,0,0,12643====++z y x z y x . （2）2,222=+=z y x z . （3）22224,y x z y x z --=+=. （4）2222,2y x z y x z +=--=.（5）222y x z +=，22x z -=. （6）2x y =，0=z ，y z =，1=y .。

高数下典型习题及参考答案第8、9、10、11、12章习题及答案

dx
4 f (x, y)dy
x2
0
0
0
C、
4
y
∫0 dy∫0
f
(x,
y )dx
D、
4
∫0 dy∫0
y
f
(x,
y)dx
2、设 Ω 是由 x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1所围成的区域，则 ∫∫∫ xyzdxdydz =
Ω
3、旋转抛物面 z = x 2 + y 2 在 0 ≤ z ≤ 2 那部分的曲面面积 S=（） 2
−a
a2 −x2
0
−a
28、设 D 由 x 轴和 y = sin x, x ∈ [0,π ]所围成，则积分 ∫∫ dσ = D
29、设 Ω :
0
≤
x
≤
1,0
≤
y
≤ 1,0
≤
z
≤
K
，且
∫∫∫
xdxdydz =
1 4
，则
K
=
Ω
二、解答题
( ) ( ) 1、计算三重积分 ∫∫∫ x2 + y 2 dv ，其中Ω是由曲面 2 x2 + y 2 = z 与平面 z = 4所围成的区域。
Ω
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 正确的（
）A、
2π
dθ
a
1
dr
r 3dz
B、
2π
dθ
a
dr
1
r
r2
+
z2
dz
0
0
0
0
0
0
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) C、
2π

高等数学课后习题答案--第八章

第八章多元函数积分学 §3 三重积分的计算及其应用习题
1. 计算下列三重积分（1） ∫∫∫ xy 2 z 3 dσ ，其中 Ω 是曲面 z = xy 和平面 y = x, x = 1, z = 0 所围成的区域；
Ω
（2） ∫∫∫ xzdσ ，其中 Ω 是由平面 z = 0 ， x = y, y = z 以及抛物柱面 y = x 2 所围成的
D D
的大小。【解】利用 sin 2 x ≤ x 2 .则 sin 2 ( x + 2 y + 3z ) ≤ ( x + 2 y + 3z ) 2 积分得
∫∫∫ sin
D
2
( x + 2 y + 3 z )dσ ≤ ∫∫∫ ( x + 2 y + 3 z ) 2 dσ
D
4. 利用重积分的性质，估计积分值
（1） ∫∫ sin( x 2 + y 2 )dσ ，其中 D = {( x, y ) |
D
π
4
≤ x2 + y2 ≤
3π }; 4
dxdy , 其中 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 4,0 ≤ y ≤ 8}; ln(4 + x + y ) D 2 2 1 （3） ∫∫ e x + y dσ ，其中 D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ }. 4 D
习题参考资料
第八章多元函数积分学 §2 二重积分的计算习题
1. 计算二重积分
（1） ∫∫ xye xy dσ ，其中 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1};
2
D
（2） ∫∫

高数第八章测试题及答案

高数第八章测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案：C2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是？A. 2x + 3B. 2x^2 + 3C. 2x + 6D. x^2 + 3x答案：A3. 曲线y = x^3 - 6x + 8在点(2, -2)处的切线斜率是？A. 0B. 2C. -2D. 4答案：D4. 以下哪个选项是函数y = e^x的原函数？A. x * e^xB. e^xC. ln(x)D. x^2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 5，求f(2)的值。

答案：12. 求不定积分∫(3x^2 - 2x + 1)dx。

答案：x^3 - x^2 + x + C3. 计算定积分∫[0, 2] (2x - 1)dx。

答案：34. 求极限lim (x→0) [sin(x)/x]。

答案：1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x) = ln(x)的导数。

答案：f'(x) = 1/x2. 求曲线y = x^2 - 4x + 5与直线y = 2x - 3的交点坐标。

答案：(1, -2) 和 (5, 7)3. 计算定积分∫[1, 4] (x^2 - 3x + 2)dx。

答案：(4/3)x^3 - (3/2)x^2 + 2x | [1, 4] = 40/3 - 9/2 + 8 = 25/64. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点。

答案：极值点为x = 1和x = 5。

5. 求函数f(x) = e^x - x^2的原函数。

答案：F(x) = e^x - (1/3)x^3 + C6. 证明函数f(x) = x^3 + 2x + 1在(-∞, +∞)上是增函数。

高等数学第八章课后习题答案

第八章习题解答（2）节8.4部分习题解答1、设22v uv u z ++= y x v y x u -=+=,，求x z ∂∂，yz ∂∂ 解：v u u z +=∂∂2 v u vz 2+=∂∂ 1=∂∂x u ，1=∂∂x v ；1=∂∂y u ，1-=∂∂yv 所以x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂xvx v u v u v u 6)(3)2()2(=+=+++y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂yv y v u v u v u 2)2()2(=-=+-+ 2、设v u z ln 2= y x v yxu 23,-==，求x z ∂∂，y z ∂∂解：v u u zln 2=∂∂ vu v z 2=∂∂ y x u 1=∂∂，3=∂∂x v ；2yx y u -=∂∂，2-=∂∂y v所以 x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂x v )23(3)23l n (23ln 21222y x y x y x y x v u v u y -+-=+y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂y v )23(2)23l n (22ln 2223222y x y x y x y x v u v u y x ----=-- 3、设v e z uln = 22222,2y x v y x u -=-=，求x z ∂∂，yz∂∂ 解：v e u z uln =∂∂ ve v z u =∂∂ x x u 4=∂∂，x x v 2=∂∂；y y u 2-=∂∂，y yv 4-=∂∂ 所以x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂xv]21)2ln(2[22ln 42222222yx y x xe v e x v xe y x u u-+-=+-y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂yv ]22)2ln(2[24ln 2222222yx y x ye v e y v ye y x u u-+--=--- 4、设y x e z 2-= 3,sin t y t x ==，求 dtdz解：y x e x z 2-=∂∂ y x e yz 22--=∂∂，t dt dx cos =，23t dt dy =，所以dt dz ⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =dtdy223c o s t te y x +-)2(2y x e --=)6(c o s 22s i n 3t t e t t -- 5、设)arcsin(y x z -= 34,3t y t x ==，求 dtdz 解：2)(11y x x z --=∂∂ 2)(11y x y z ---=∂∂，t dt dx 3=，212t dt dy =，所以 dt dz ⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =dtdy=---22)(1123y x t 232)43(1123t t t ---6、设)23tan(22y x t z -+= t y tx ==,1，求dtdz 解：2sec 4x x z =∂∂)23(22y x t -+ 2s e c 2y yz -=∂∂)23(22y x t -+， 2sec 3=dt dz )23(22y x t -+；21t dt dx -=，tdt dy 21=， 1=dt dt 所以t dz ∂⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =∂∂+t z dt dy 2s e c )23(22y x t -+]3212)1(14[2+--tt t t 2sec =)22(2t t +)42(3t -⋅ 7、设1)(2+-=a z y e u ax xz x a y cos ,sin ==，求 dx du解：=∂∂x u 1)(2+-a z y ae ax ，=∂∂y u12+a ae ax ，-=∂∂z u 12+a ae ax x dx dy cos =；x dxdzsin -=，所以 dx du ⋅∂∂=x u ⋅∂∂+y u =⋅∂∂+dx dzz u dx dy ]s i n c o s )c o s s i n ([12x x a x x a a a e ax ++-+ x e ax sin =8、设222z y xe u ++= x y z sin 2=，求x u ∂∂，yu∂∂ 解：x x u 2=∂∂222z y x e ++⋅ y yu2=∂∂222z y x e ++⋅，z z u 2=∂∂222z y x e ++⋅ x y x z cos 2=∂∂，x y yz sin 2=∂∂；所以：x u ∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅+∂∂=xzz u y u x u 0]cos 22[2222x zy x e z y x +++ =+=++]cos sin 22[22sin 2422x xy y x e xy y x]2sin 2[4sin 2422x y x e xy y x+=++y u ∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂+⋅∂∂=yz z u y u x u 0]sin 222[222x y z y e z y x ⋅+++ =⋅+=++]sin 2sin 22[2sin 2422x y x y y e xy y x]sin 21[222sin 2422x y ye xy y x+++9、设)cos(22y x y x z +++= v y v u x arcsin ,=+=，求vu zu z ∂∂∂∂∂2, 解：)sin(2y x x x z +-=∂∂，)sin(2y x y yz +-=∂∂ 1=∂∂u x ，1=∂∂v x ，0=∂∂u y211vv y -=∂∂所以)a r c s i n s i n ()(2)s i n (2v v u v u y x x uz++-+=+-=∂∂)111)(arcsin cos(222vv v u v u z -+++-=∂∂∂ 10、设,arctan y xz =v u y v u x -=+=,验证：22vu v u v z u z +-=∂∂+∂∂ 证明：22yx yx z +=∂∂，22y x x y z +-=∂∂，1=∂∂u x ，1=∂∂v x ，11=∂∂u y ，1-=∂∂v y所以)(122x y y x u z -+=∂∂22v u v +-=，)(122x y yx v z ++=∂∂22v u u += 故有左边=+-=∂∂+∂∂=22vu vu v z u z 右边 11、设f 具有连续的一阶偏导数，求下列函数的一阶偏导数（1）、)34,23(y x y x f z -+=解：设y x v y x u 34,23-=+=，于是有3=∂∂x u ，2=∂∂y u ，4=∂∂x v ，3-=∂∂yv2143f f x z +=∂∂ =∂∂yz2133f f - （2）、),(22xy e y x f z -= 解：设xy e v y x u =-=,22，于是有x x u 2=∂∂，y y u 2-=∂∂，xy ye x v =∂∂，xu xe yv=∂∂ =∂∂x z 212f ye xf xy + 212f xe yf yzxy +-=∂∂ （3）、)32,ln (y x x y f z +=解：设y x v x y u 32,ln +==，于是有x y x u =∂∂，x y u ln =∂∂，2=∂∂x v ，3=∂∂yv212f f x y x z +=∂∂ 213ln f xf yz+=∂∂ （4）、),(yxx y f z = 解：设y x v x y u ==,，于是有2x y x u -=∂∂，x y u 1=∂∂，y x v 1=∂∂，2yx y v -=∂∂ 2121f y f xy x z +-=∂∂2211f y x f x y z -=∂∂ （5）、),,(y x y x x f z -+=解：设y x v y x u -=+=,，于是有1=∂∂x u ，1=∂∂x v ，1=∂∂y u ，1-=∂∂yv321f f f x z ++=∂∂ 32f f yz -=∂∂ （6）、),,(x y z xy x f u =解：设xyz t xy s ==,，于是有y x s =∂∂，yz x t =∂∂，x y s =∂∂，zx yt=∂∂ 0=∂∂z x ，0=∂∂z s xy zt=∂∂ 321yzf yf f x u ++=∂∂ 32z x f xf yu+=∂∂ 3xyf z u =∂∂ 12、设)(u f 具有连续的导数，)(xyxf xy z += 验证：z xy yz y x z x+=∂∂+∂∂ 验证：)])(()([2xy x y f x x y f y x x z x-'++=∂∂)()(x y f y x y xf xy '-+= ='+=∂∂)])(([xyx y f x x y y z y)(x y f y xy '+左边==+=+=∂∂+∂∂z xy xyxf xy y z y x z x)(2右边 13、设)(22y x f z +=，)(u f 具有二阶连续的导数，求,,222y x z x z ∂∂∂∂∂,22y z∂∂ 解：设22y x u +=有1f u z=∂∂ 1122f u z =∂∂ x x u 2=∂∂ 222=∂∂x u 0=∂∂∂y x u y y u2=∂∂ 222=∂∂yu 12xf x z =∂∂ x xf f x z 22211122+=∂∂112142f x f += 11112422xyf y xf yx z ==∂∂∂ 12yf y z=∂∂ 11212242f y f yz +=∂∂ 14、设f 具有二阶连续的导数，求,,222y x z x z ∂∂∂∂∂,22yz∂∂（1）、),(xy y x f z += 解：设xy v y x u =+=,有1f u z =∂∂ 1122f u z =∂∂ 122f v u z =∂∂∂ 2f v z =∂∂ 2222f v z =∂∂ 1=∂∂x u 022=∂∂x u 02=∂∂∂y x u 1=∂∂y u 022=∂∂y u y x v =∂∂ 022=∂∂x v 12=∂∂∂y x v x y v =∂∂ 022=∂∂yv 于是有：22222)(xv v z x u u z z v y u x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂22212112f y yf f ++=y x vv z y x u u z z v x u v y u y x z ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂222))((2221211)(f xyf f y x f ++++= 22222)(y vv z y u u z z v x u yz ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂22212112f x xf f ++= （2）、),(yxxy f z =解：设yx v xy u ==, 有1f u z =∂∂ 1122f u z =∂∂ 122f v u z =∂∂∂ 2f v z=∂∂ 2222f v z =∂∂ y x u =∂∂ 022=∂∂x u 12=∂∂∂y x u x y u =∂∂ 022=∂∂yu y x v 1=∂∂ 022=∂∂x v221yy x v -=∂∂∂ 2y x y v -=∂∂ 3222y x y v =∂∂ 于是有：22222)1(x v v z x u u z z v y u y x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂2221211212f y f f y ++=yx vv z y x u u z z v y x u x v y u y y x z ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂2222))(1(221223111f y f f y x xyf -+-+=222222)(y v v z y u u z z v y x u x y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂-∂∂=∂∂232242122211222f y x f y x f y x f x ++-=。

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《高等数学(下册)》第八章练习题一、填空题1、________________ )sin(==dz xy z 则，设 2、设),cos(2y x z =,则=∂∂)2,1(πxz3、函数22)(6y x y x z ---=的极值点为4、设xy e z =,则=dz5、设y zln z x =,则=∂zxz 二、选择题)2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+=2、),(y x f 在点),(00y x 处偏导数),(),(0000y x f y x f y x''、存在就是),(y x f 在该点连续的( )、(a)充分条件, (b)必要条件, (c)充要条件, (d)既非充分条件又非必要条件。

3、设)2ln(),(xy x y x f +=,则＝（）)1,1(-'x f 、 (A)，31 (B)，31- (C)，65 (D).65-三、计算题方程。

处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1(2 132⎩⎨⎧==x z x y 2、设),(y x z z =就是由方程0),(=--z y z x F 确定的隐函数,F 具有一阶连续偏导数,且,0≠'+'v u F F 其中,,z y v z x u -=-=求.,yz x z ∂∂∂∂ 3、求曲面3222-=+-z xz y x 在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。

4、设,222z y xe u ++=而y x z sin 2=,求xu ∂∂、 5、求曲线t z e y e x t t ===-,,,对应于0=t 点处的切线与法平面方程。

6、求函数)4(2y x y x z --=在闭域4,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值及最小值。

7、设2cos 2=z (y x 21-),求x z∂∂与y z ∂∂、 8、yf x f e y x f xy ∂∂∂∂=) ,( 3，，求设 9、的极大值或极小值求函数 3) ,( 22x y xy x y x f ++-=10、dz y x z xy v y x u v u x f z 的全微分对求复合函数设, ,,2),,,(=+== 11、yz x z xy x y z ∂∂∂∂=和求设 ),cos( 12、处的切平面和法线方程上点求曲面)1,2,1(823222--=+z xz y yz xyz f y z xy f y xz y x z z ∂∂++==求有连续的一阶偏导，所确定，其中由方程函数、 ),(sin ),( 13四、综合应用题1、在平面xoy 上求一点），（y x M ,使它到三条直线，，00==y x 01=++y x 的距离平方与为最小,并求其最小值。

2、在曲面2242y x z ++=上求一点,使它到平面132=+-z y x 的距离最近。

五、证明题a yzc x z by x f z cz ay bz ax v u =∂∂+∂∂==--满足：，所确定的函数，证明由方程具有连续偏导，，设) (0) ( ) (.1φφ2、证明曲面)0(>=++a a z y x 上任一点处的切平面在三个坐标轴上的截距之与为常数。

《高等数学(下册)》第八章练习题答案一、填空题1、________________ )sin( ==dz xy z 则，设 2、 )cos()21(2ππ-=∂∂=，则，设xz y x z3、 3) 3( )(622----=，的极值点为函数y x y x z4、 )( xdy ydx e dz e z xy xy +==则，设5、 ln zx zx z y z z x +=∂∂=则，设二、选择题)2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) A ( 33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+=. )( )( )( )( )() () ( ) () () ( 2000000条件既非充分条件又非必要充要条件，必要条件，充分条件，在该点连续的，是存在，、，处偏导数，在点，、d c b a d y x f y x f y x f y x y x f y x ''.65)( 65 )( 31)( 31 )( )B ()1 1( )2ln() ( 3--=-'+=D C B A f xyx y x f x ，，，，则，，设、三、计算题方程处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1( 2 132⎩⎨⎧==x z x y {}1234 0)1(3)2(41 3142113 4 1 3 4 2=-++=-+-+--=-=-⇒=∴='='z y x z y x z y x x z x y 即法平面方程为切线方程为，，切向量，解：Θ . 0 0) () (2yzx z z y v z x u F F F z y z x F y x z z v u ∂∂∂∂-=-=≠'+'=--=，求，，其中，且具有一阶连续偏导数，确定的隐函数，，是由方程，、设 ))(cos(xdy ydx xy +) () ( z y z x F z y x f --=，，，令解：，，，则v u z v y u x F F f F f F f '-'-=''=''='v uu z x F F F f f x z'+''=''-=∂∂⇒v uv z y F F F f f y z'+''=''-=∂∂⇒0)()1( 0) (=∂∂-'+∂∂-'=--xzF x z F x z y z x F v u 求偏导得：两边对，或将 v u u F F F x z '+''=∂∂⇒ v uv F F F y z'+''=∂∂同理可求.)1 2 1(3 3222处的切平面及法线方程，，在点求曲面、-=+-z xz y x1142310643 0)1()2(4)1(3}1 4 3{ 2 2 2 3) ( 222--=--=-=+--=-------=-=-=+=+-+-=z y x z y x z y x z x F y F z x F z xz y x z y x F z y x 法线方程即切平面方程，，故，，则，，解：令)sin 21(2)sin 21(2u422sin 2422222y x xe y z xe xy x y x z y x +=+=∂∂++++、.0 111115=+--=--=-z y x z y x 法平面方程：，、切线方程).0])4,0[(4]),4,0[(0]),4,0[(0(0 4)1,2(6min max 上都是最小值、在整个边界：最小值为、、最大值为∈=+∈=∈===y x y x x y y x z z).2sin( )2sin(27y x yzy x x z -=∂∂--=∂∂，、 .383323xy xy e xy yfe y xf =∂∂=∂∂、、 .3)1,2()1,2(9-=----极小值，、极小值点为f.) ()2( 210dy vfx u f dx v f y u f x f dy y z dx x z dz vfx u f y z v f y u f x f x z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∴∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂Θ、解：).sin()cos(1)sin()cos(1122xy y xy x y z xy x y xy xy x z -=∂∂--=∂∂、解：.14111261 0214116 12+=-=--=+--z y x z y x 法线方程为：、切平面方程为：.cos )1(cos ),(sin 13221212f x f f x y y z f y z f x y y z x y y z xy f y xz x f '-'+'+=∂∂−−−→−'+∂∂+'+=∂∂++=≠'时当求偏导，得：的两边直接对、解：由已知方程四、综合应用题.01,0,0 ) ,( 1.并求其最小值平方和为最小，的距离，使它到三条直线平面上求一点在=++==y x y x y x M xoy41)41 41( )41 41()4141( 012 0122)1() (222=------⎩⎨⎧=+++==+++=++++=，，且最小值为，求点为由问题实际意义可得所，得唯一驻点由，为到三条直线距离平方和解：点f y x y f y x x f y x y x y x f M y x ).146,141,142( ).(2-答案：所求点是用拉格朗日乘数法做提示：这是条件极值，五、证明题a yzc x z by x f z cz ay bz ax v u =∂∂+∂∂==--满足，所确定的函数，证明由方程具有连续偏导，，设) (0) ( ) (.1φφ ac b ac ab y z c x z b c b a y z c b a F F x z c b F a F a F cz ay bz ax z y x F v u v u v u v v u u z x vu z v y u x =++=∂∂+∂∂⇒+=∂∂+=-=∂∂⇒--===--=φφφφφφφφφφφφφφφ ) () ( ，，，则，，，令证：下面同上同理导得：如果直接将方程两边求注：vu v vu u v uu c b a y zc b a x zx z c x z b a φφφφφφφφφ+=∂∂+=∂∂⇒=∂∂-∂∂-0.)0(.2截距之和为常数三个坐标轴上的上任一点处的切平面在证明曲面>=++a a z y xa z y x z y x =++000000 ) ( 则，，，设曲面上任一点为解： a z y x z y x F -++=) (，，令,zF yF xF z yx21 21 21 ='='='，，则}21 21 21{00z y x ，，法向量为=⇒ 0)(21)(21)(21000000=-+-+-⇒z z z y y y x x x 切平面方程为00000 z x y x x a ++=⇒的截距分别为切平面在三个坐标轴上，00000z y y x y b ++= 00000z y z x z c ++=000000000222 z y z x y x z y x c b a +++++=++故截距和为结论成立， )(2000a z y x =++=。