高等数学教案一

湖南机电职业技术学院学期授课计划学期授课计划备注：严格按此计划组织教学，授课内容误差不得超过2个课时；各班级按教学进度表组织教学，如有实习周或放假周，按计划内容顺延。

湖南机电职业技术学院教案(一)备课组长签名：教师签名：湖南机电职业技术学院教案（二）备课组长签名：教师签名：湖南机电职业技术学院教案（三）备课组长签名：教师签名：湖南机电职业技术学院教案（四）备课组长签名：教师签名：教学目的(知识、技能、态度)：了解极限存在准则，掌握两个重要极限; 利用法则与重要极限会求某些函数的极限.提高观察分析能力。

教学重点：利用法则与重要极限求极限。

教学难点：重要极限的认识与应用 课 型：新授课主要教学方法：引导式教学法；讲授法. 教学场所、设备要求：教 学 过 程 设 计（时间大体分配）教学方法Ⅰ.组织教学： 考勤，复习回顾:无穷大与无穷小，极限的四则运算法则。

Ⅱ、新课教学1. 极限存在准则Ⅰ与重要极限0sin lim1x xx→=准则Ⅰ如果对于x 0的某邻域内的一切x （可以不包含x 0），或者对于绝对值充分大的一切x ，有)()()(x h x f x g ≤≤；并且有A x h x g ==)(lim )(lim ，则当0x x →或∞→x 时，f(x)的极限存在，且limf(x)=A 。

0sin lim1x xx→=证明：,,(0)2O AOB x x π∠=<<设单位圆圆心角， .ACO ∆，得作单位圆的切线,x OAB 的圆心角为扇形,BD OAB 的高为∆,tan ,,sin AC x AB x BD x ===弧于是有sin tan ,x x x ∴<<即sin cos 1,xx x <<.02也成立上式对于<<-x π,20时当π<<xx x cos 11cos 0-=-<2sin 22x =2)2(2x <,22x = ,02lim 20=→x x ,0)cos 1(lim 0=-∴→x x5’10’ACxBDosin1=01sin 21lim 22222x x cos x x cos x →==22sin x 2sin1x1lim(1)e →∞+=；1lim(1)e →+=型幂指函数的极限。

1311x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭3lim 1x x →∞⎛+ -⎝湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（五）备课组长签名： 教师签名：课题：§1.14函数的连续性教学目的(知识、技能、态度)：理解函数连续性的两个定义，了解间断点的类别,掌握初等函数在定义区间上的连续性，了解闭区间上连续函数的性质及应用；提高观察分析能力。

教学重点：初等函数在定义区间上的连续性。

教学难点：连续性与间断点的判别，闭区间上连续函数的性质的理解和应用。

课型：新授课主要教学方法：数形结合法，分析法 教学场所、设备要求：教 学 过 程 设 计（时间大体分配）教学方法Ⅰ.组织教学：上节回顾：两个重要极限公式．无穷小的比较；作业讲析 Ⅱ、新课教学 一、 函数的增量在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性 在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量定义1 如果函数()y f x = 在0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 从0x 变到0x x +∆，函数()y f x =相应地从0()f x 变到0()f x x +∆，因此函数相应的增量为： 00()()y f x x f x ∆=+∆-强调：增量可正可负，其实是变量的改变量。

例1 设2()31y f x x ==-，求适合下列条件的自变量的增量x ∆和函数的增量y ∆：（1）x 由1变化到0.5 （2）x 由1变到1x +∆ （3）x 由0x 变到0x x +∆2’5’10’解略。

二、函数连续性的概念 1. 一点处连续的定义。

定义2 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域有定义,如果当△x 趋向于零时，函数y 对应的增量△y 也趋向于零，即：那末就称函数在点x 0处连续。

例2 证明函数2()22y f x x x ==-+在点0x x =处连续。

定义3设函数在点x 0的某个邻域内有定义，如果有称函数在点x 0处连续，且称x 0为函数的的连续点.由定义，函数在()y f x =点0x 连续需同时满足三个条件：（1） 函数在点0x 的一个邻域内有定义，即0()f x 存在（2） 0lim ()x x f x →存在，即左右极限相等0lim ()lim ()x x x x f x f x +-→→= （3） 上述两个值相等，即极限值等于函数值0lim ()x x f x →=0()f x例3讨论函数21()1x f x x -=-在1x =处的连续性。

例4 讨论函数1,1()0,11,1x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩在1x =处的连续性。

例5讨论函数1,1()0,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩在1x =处的连续性。

2. 区间连续 设函数在区间(a,b]内有定义，如果左极限存在且等于，即：=，那末我们就称函数在点b 左连续.设函数在区间[a,b)内有定义，如果右极限存在且等于，即：=，那末我们就称函数在点a 右连续. 一个函数在由图形分析加强学生对定义的理解10’10’15’5’开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续，若又在a 点右连续，b 点左连续，则在闭区间[a ，b]连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。

连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。

三、函数的间断点 分类 原因 包含情况 类型 第一类间断点lim ()x x f x -→,0lim ()x x f x +→ 都存在lim ()x x f x -→≠0lim ()x x f x +→ 跳跃间断点0lim ()x x f x -→=0lim ()x x f x +→=00lim ()()x x f x f x →≠ 可去间断点第二类间断点不属于第一类间断点的lim ()x x f x →=∞无穷间断点结合前面的例子分别介绍.例3为无穷间断点,例4为可去间断点,例5为跳跃间断点 四、 初等函数的连续性1.连续函数的和、差、积、商的连续性由函数在一点处连续的定义和极限的四则运算法则可知：00(),(),()(),()()f x g x x f x g x f x g x x ±⋅若函数在点处连续则在点处连续, 2. 复合函数的连续性 设函数当x →x 0时的极限存在且等于a ，即：.而函数在点u=a 连续，那末复合函数当x →x 0时的极限也存在且5’5’湖南机电职业技术学院教案（六）备课组长签名：教师签名：与连续的关系. 培养学生联系的、辩证统一的思想；培养学生解决实际问题的能力。

教学重点：导数的定义与求导数的方法.教学难点：导数概念的理解和可导与连续之间的关系。

课型：新授课主要教学方法：讲授法、讨论法、案例教学法 教学场所、设备要求：教 学 过 程 设 计（时间大体分配）教学方法Ⅰ.组织教学：考勤，检查预习情况。

Ⅱ、新课教学 一、两个引例。

引例1 求变速直线运动的瞬时速度。

瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度。

确定物体在某一时刻0t 处的瞬时速度0()v t 的方法：从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度 瞬时速度000000()()()lim limlim t t t s t t s t sv t v t t∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆ 引例2 曲线的切线。

如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线y=f(x)β∆x∆yQ MPxOy确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既2’ 10’10’00limlimx x x →→=∆这个极限为函数y 00lim limx x x →→=∆处可导有时也说成x f )(0不存在，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导三、求函数导数的一般方法：（1）求函数的改变量()()y f x x f x ∆=+∆-（2）求平均变化率()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim注意：(Δx )2括号别忘了写.例2已知2y x =,求y ′.解：略分析：例1中的一点处的导数与这里的任意点处的导数的关系。

例3 求函数()log (0,1)a f x x a a =>≠的导数。

解：（1）log ()log log (1)a a a xy x x x x∆∆=+∆-=+；（2）11log (1)log (1)xxa a y x x x x x x x∆∆∆∆=+=+∆∆； （3)00011limlim log (1)lim log (1)x x x xa a x x x y x x x x x x x ∆∆∆→∆→∆→∆∆∆=+=+=∆ 0111log lim(1)log ln xxa a x x e x xx x a∆∆→∆+== 1(log )ln a x x a '=特别地：当a e =时，有1(ln )x x'= 点评：求函数的导数也主要是求极限的值，所以极限是求函数的导数的基础，求极限的一些基本方法不能忘掉.四、 导数的几何意义由导数的定义可知:函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率，即,其中是切线的倾角.如下图：20’5’如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-例2 求曲线3y x =在点（2，8）处的切线方程和法线方程。

解略。

五、 可导与连续的关系定理2.1 如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.设函数()y f x =在点x 可导,即有: 0lim ()x yf x x∆→∆'=∆由极限与无穷小的关系得:()yf x xα∆'=+∆ 其中α为当0x ∆→时的无穷小,上式两端同乘以x ∆,得()y f x x x α'∆=∆+∆当0x ∆→时0y ∆→,由连续性的定义可知:f (x )在x 0处连续.连续未必可导可通过反例说明，如y =|x |=⎩⎨⎧<-≥0x x x x 在x 0=0处∵-→0lim x y =-→0lim x (－x )=0，+→0lim x y =+→0lim x x =0，∴0lim →x y =0∴y =|x |在x =0处连续.lim→∆x x y∆∆==∆∆=∆-∆→∆→∆x x x x x x ||lim |0|||lim 00⎩⎨⎧<∆->∆010 1x x∴y =|x |在x 0=0处不可导.5’10’湖南机电职业技术学院教案（七）备课组长签名：教师签名：dudx即两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数注：复合函数的求导法则也称为链式法则，它可以推广到多个变量的情形。