2019版 创新设计 高考总复习 数学 人教A版 理科 第十一章 第6节
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2019版-创新设计-高考总复习-数学-人教A版-理科-第八章-第1节
法二 (估值法)由题意知，12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱，又 V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45 π<V 几何体<90π.观察选项可知只有 63π符合. 答案 B
5.正△AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是 ________.
解析 画出坐标系 x′O′y′，作出△OAB 的直观图 O′A′B′(如图).D′为 O′A′的中点.易知 D′B′＝12DB(D 为 OA 的中点)，∴S△O′A′B′＝12× 22S△OAB＝ 42× 43a2＝166a2.
解析 由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线， 在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图. 答案 B
命题角度2 由三视图判断几何体
【例2－2】 (1)(2014·全国Ⅰ卷)如图，网格纸的各小格都是正
方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体
是( )
4.直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为_4_5_°__(_或__1_3_5_°__)_，z′轴与x′轴、y′轴所 在平面__垂__直__. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别__平__行__于___坐标轴.平行于x轴 和z轴的线段在直观图中保持原长度_不__变___，平行于y轴的线段长度在直观图中变 为原来的__一__半__.
(2)由三视图可知，该几何体是半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径
为 1，高为 3，三棱锥的底面积为12×2×1＝1，高为 3. 故原几何体体积为：V＝12×π×12×3×13＋1×3×13＝π2 ＋1. 答案 (1)B (2)A
创新设计高考总复习数学人教A版理科时PPT教案
A.(－∞，－1)
B.(－1，1)
C.(1，＋∞)
D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 f′(x)＝a（（x12＋－1x）2）2，令 f′(x)>0，解得－1<x<1，故 f(x)的单调递增区间是(－1，
1).
答案 B
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
4.(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极
@《创新设 计》
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
规律方法 1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件 f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一 般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不 恒等于0的参数的范围. 2.若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a， b)上有解.
基础诊 断
考点突 破
h′(x)＝1x＋176x－2＝16＋71x62x－32x＝（7x－4）16（x x－4）， ∵x∈[1，4]， ∴h′(x)＝（7x－4）16（x x－4）≤0， 当且仅当x＝4时等号成立.(***) ∴h(x)在[1，4]上为减函数. 故实数 a 的取值范围是－176，＋∞.
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
易错警示 (1)本例中，对特称命题理解不清，不能把第(1)问转化为1x－ax－2<0 有 解，难以得到不等式(*).错求 a 的取值范围.(2)错误理解“f(x)为减函数的充要条件是 对任意的 x∈(a，b)都有 f′(x)≤0，且在(a，b)内的任一非空子区间上 f′(x)不恒为 0”. 应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.导致在第(2)问中(**)处易错求 h′(x)<0 恒成立，另外在(***)处容易忽视 a＝－176进行检验.
2019版-创新设计-高考总复习-数学-人教A版-理科-第十二章-第1节
规律方法 1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类 比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键. 2.类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等 比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.
【训练 2】 (1)(2017·安徽江南十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术 有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失
解析
(1)令 1＋1＋11＋1…＝x(x>0)，即 1＋1x＝x，即 x2－x－1＝0，解得 x＝1＋2
5 (x
＝1－2 5舍)，故 1＋1＋11＋1…＝1＋2 5，故选 C.
(2)利用类比推理，猜想应有OVVV11＋OBBB11＋OCCC11＋ODDD11＝1. 用“体积法”证明如下：
OVVV11＋OBBB11＋OCCC11＋ODDD11＝VVOV－－BBCCDD＋VVOB－－VVCCDD＋VVOC－－VVBBDD＋VVOD－－VVBBCC＝VVVV－ －BBCCDD＝1. 答案 (1)C (2)OVVV11＋OBBB11＋OCCC11＋ODDD11＝1
答案 (1)B (2)1 000
考点二 类比推理
【例 2】 (1)(一题多解)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}bn＝a1＋a2＋n …＋an也
为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数
列，则 dn 的表达式应为( )
A.dn＝c1＋c2＋n …＋cn
B.dn＝c1·c2·n …·cn
规律方法 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三 段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的 ，则可以省略.
2019版 创新设计 高考总复习 数学 人教A版 理科 第十章 第1节
N N 分段间隔 k ②确定_____________，对编号进行分段，当 n (n 是样本容量)是整数时，取 k＝ n ；
简单随机抽样 ③在第 1 段用______________________ 确定第一个个体编号 l(l≤k)；
(l＋k) ， ④按照一定的规则抽取样本，通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号_______
解析
)
B.均不相等 1 D.都相等，且为40
M 从 N 个个体中抽取 M 个个体，则每个个体被抽到的概率都等于 N .
答案 C
5.从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参
加比赛，则应该抽取男生人数为________.
解析 因为男生与女生的比例为 180∶120 ＝ 3∶2 ，所以应该抽取男生人数为
第1节
随机抽样
最新考纲
1.理解随机抽样的必要性和重要性； 2.会用简单随机抽样方法从总体中
抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.会用随机抽样的基本方法解决一些简单
的实际问题.
知识梳理 1.简单随机抽样 不放回地 抽取n个个体作为样本 (1)定义：设一个总体含有 N个个体，从中逐个___________ 相等 ，就把这种抽 (n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都 ______
规律方法
1.简单随机抽样是从含有N(有限)个个体的总体中，逐个不放回地抽取样
本，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等. 2.一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易 搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.而随机数表法适用于 总体中个体数较多的情形：随机数表法的操作要点：编号，选起始数，读数，获取
创新设计高考总复习数学人教A版理科
必修1p7练习2改编若集合axnx018a22则下列结论正确的daa解析因为a22不是自然数而集合a是不大于29创新设计考点突破基础诊断考点一集合的基本概念a1b3c5d92若集合axraxc0d030创新设计考点突破基础诊断考点一集合的基本概念a1b3c5d92若集合axraxc0d031创新设计考点突破基础诊断考点二集合间的基本关系aacabdba22018郑州调研已知集合axx5x140集合bxm1x2m1若ba则实数m的取值范围为
[常用结论与微点提醒] 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个. 2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. 3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( ) (2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( ) (3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( ) (4)含有n个元素的集合有2n个真子集.( )
A.{1，3}
B.{5，6}
C.{4，5，6} D.{4，5，6，7}
解析 A＝{1，3，7}，B＝{x|x＝log2(a＋1)，a∈A}＝{1，2，3}，又U＝{1，2，3， 4，5，6，7}，∴∁UA＝{2，4，5，6}，∁UB＝{4，5，6，7}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{4， 5，6}.
答案 C
5.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x， y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________. 解析 集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆 x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素. 答案 2
[常用结论与微点提醒] 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个. 2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. 3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( ) (2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( ) (3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( ) (4)含有n个元素的集合有2n个真子集.( )
A.{1，3}
B.{5，6}
C.{4，5，6} D.{4，5，6，7}
解析 A＝{1，3，7}，B＝{x|x＝log2(a＋1)，a∈A}＝{1，2，3}，又U＝{1，2，3， 4，5，6，7}，∴∁UA＝{2，4，5，6}，∁UB＝{4，5，6，7}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{4， 5，6}.
答案 C
5.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x， y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________. 解析 集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆 x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素. 答案 2
2019版高考数学创新大一轮复习人教A版全国通用课件：
1 1 1 abc 1 2.S△ABC＝2absin C＝2bcsin A＝2acsin B＝ 4R ＝2(a＋b＋c)· r(r 是三角形内切圆的半 径)，并可由此计算 R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 解的个数
a＝bsin A 一解 _______
答案 75°
5.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________. 解析 由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B， π 即 A＝B 或 A＋B＝ 2 ，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
第6节
正弦定理和余弦定理
最新考纲 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
知识梳理
1.正、余弦定理 在△ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c,R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 a2 ＝ b2 ＝ c2＝
公式
b c a ＝ ＝ ＝2R sin A sin B sin C
bsin A<a<b 两解 _______
a≥b 一解 _______
a>b
a≤b 无解 _______
一解 _______
[常用结论与微点提醒] 1.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C； A＋B A＋B C C (3)sin 2 ＝cos 2 ；(4)cos 2 ＝sin 2 . 2.三角形中的射影定理 在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B； b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 3.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.
2019版 创新设计 高考总复习 数学 人教A版 理科 第十一章 第9节
1 1 1 P(ξ＝160)＝4×6＝24.
ξ的分布列为
ξ P 0 1 24 40 1 4 80 5 12 120 1 4 160 1 24
1 1 5 1 1 E(ξ)＝0×24＋40×4＋80×12＋120×4＋160×24＝80.
1 1 5 1 2 2 2 D(ξ)＝(0－80) × ＋(40－80) × ＋(80－80) × ＋(120－80) × ＋(160－80)2× 24 4 12 4
第9节
离散型随机变量的均值与方差
最新考纲
1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简
单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.
知识梳理
1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn
1 3 5
2 3 10
3 1 10
解析
3 3 1 3 由数学期望公式可得 E(X)＝1×5＋2×10＋3×10＝2.
答案 A
3.(选修2－3P68A1改编)已知X的分布列为
X P
设 Y＝2X＋3，则 E(Y)的值为( 7 A.3 B.4 ) C.－1 D.1
－1 1 2
0 1 3
1 1 6
解析
1 1 1 5 则两人所付费用相同的概率为 P＝P1＋P2＋P3＝24＋3＋24＝12.
(2)由题设甲、乙所付费用之和为 ξ，ξ 可能取值为 0，40，80，120，160，则：
1 1 1 P(ξ＝0)＝4×6＝24；
1 2 1 1 1 P(ξ＝40)＝ × ＋ × ＝ ； 4 3 2 6 4 1 1 1 2 1 1 5 P(ξ＝80)＝ × ＋ × ＋ × ＝ ； 4 6 2 3 4 6 12 1 1 1 2 1 P(ξ＝120)＝ × ＋ × ＝ ； 2 6 4 3 4
2019届高考数学人教A版理科第一轮复习课件：第十一章+计数原理+11.3
-9解析
关闭
答案
考点1
考点2
考点3
考点 1
通项公式及其应用(多考向)
1 6 的展开式中,常数项等 ������2
考向一
已知二项式求其特定项(或系数)
关闭
例 1(1)在二项式 3������ +
于 .(用数字作答) (1)展开式的通项公式为 8 2 1 7 ������ (2) ������ - ������ 的展开式中 x 的系数为 .(用数字作答) 1 ������ 6-k 6-3k 6-k ������ Tk+1=C6 (3x) ������2 = C6 3 x . 思考 如何求二项展开式的项或特定项的系数 ?已知特定项的系 4 2 由 6-3k=0,得 k=2,故常数项为 T3=3 C6 =1 215. 数如何求二项式中的参数? 1 ������ ������ 2 8-r ������ 16-3r (2)展开式通项为 Tr+1=C8 (x ) · =(-1)rC8 x ,令
������ + 1 2
(n∈N*)时,C������ ������ 是递增的 (n∈N*)时,C������ ������ 是递减的
������ 2
������-1 2
最大值
当 n 为偶数时,中间的一项C������ 取得最大值
-1 当 n 为奇数时,中间的两项 ������2 和 ������+1 取 2 C������ C������ 得最大值
关闭
(
(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
-5-
答案
知识梳理
双基自测
1 2 3 4 5
2.设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为( A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4
关闭
答案
考点1
考点2
考点3
考点 1
通项公式及其应用(多考向)
1 6 的展开式中,常数项等 ������2
考向一
已知二项式求其特定项(或系数)
关闭
例 1(1)在二项式 3������ +
于 .(用数字作答) (1)展开式的通项公式为 8 2 1 7 ������ (2) ������ - ������ 的展开式中 x 的系数为 .(用数字作答) 1 ������ 6-k 6-3k 6-k ������ Tk+1=C6 (3x) ������2 = C6 3 x . 思考 如何求二项展开式的项或特定项的系数 ?已知特定项的系 4 2 由 6-3k=0,得 k=2,故常数项为 T3=3 C6 =1 215. 数如何求二项式中的参数? 1 ������ ������ 2 8-r ������ 16-3r (2)展开式通项为 Tr+1=C8 (x ) · =(-1)rC8 x ,令
������ + 1 2
(n∈N*)时,C������ ������ 是递增的 (n∈N*)时,C������ ������ 是递减的
������ 2
������-1 2
最大值
当 n 为偶数时,中间的一项C������ 取得最大值
-1 当 n 为奇数时,中间的两项 ������2 和 ������+1 取 2 C������ C������ 得最大值
关闭
(
(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
-5-
答案
知识梳理
双基自测
1 2 3 4 5
2.设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为( A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4
2019版 创新设计 高考总复习 数学 人教A版 理科 第十一章 第2节
4 4 排列，有 A4 4种方法，共有 A4·A4＝576(种).
(5)(插空法)先排女生，有 A4 4种方法，再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个空位
4 3 安排男生，有 A3 5种方法，共有 A4·A5＝1 440(种).
规律方法 排列应用问题的分类与解法
(1) 对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际 进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件 的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2) 对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决
3 3 的方法数，即 C3 － C － C 7 4 3＝30.
答案 C
4.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( A.8
解析
)
B.24
C.48
D.120
3 1 3 末位数字排法有 A1 2种，其他位置排法有 A4种，共有 A2A4＝48 种.
答案 C
5.在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标 志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2
2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免
重复或遗漏.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(
m (3)若组合式 Cx n＝Cn ，则 x＝m 成立.(
－1 k (4)kCn ＝nCk n－1.(
法一
1 选出的 3 人中有 2 名男同学 1 名女同学的方法有 C2 C 4 3＝18 种，选出
(5)(插空法)先排女生，有 A4 4种方法，再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个空位
4 3 安排男生，有 A3 5种方法，共有 A4·A5＝1 440(种).
规律方法 排列应用问题的分类与解法
(1) 对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际 进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件 的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2) 对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决
3 3 的方法数，即 C3 － C － C 7 4 3＝30.
答案 C
4.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( A.8
解析
)
B.24
C.48
D.120
3 1 3 末位数字排法有 A1 2种，其他位置排法有 A4种，共有 A2A4＝48 种.
答案 C
5.在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标 志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2
2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免
重复或遗漏.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(
m (3)若组合式 Cx n＝Cn ，则 x＝m 成立.(
－1 k (4)kCn ＝nCk n－1.(
法一
1 选出的 3 人中有 2 名男同学 1 名女同学的方法有 C2 C 4 3＝18 种，选出
2019版-创新设计-高考总复习-数学-人教A版-理科-第十章-第2节
频率 横轴表示样本数据，纵轴表示__组__距___，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的 __频__率__.
2.茎叶图 统计中一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的 旁边生长出来的数.
3.样本的数字特征 (1)众数：一组数据中__出__现__次__数__最__多___的那个数据，叫做这组数据的众数. (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于__最__中__间___位置的一个数据(或最中 间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
知识梳理
1.频率分布直方图
(1)频率分布表的画法：
极差
第一步：求__极__差__，决定组数和组距，组距＝__组__数___；
第二步：__分__组__，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)
【训练1】 (1)(2018·广东广雅中学联考)某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两 个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成 绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m＋n的值是( )
A.10
B.11
C.12
D.13
(2)(2018·长沙模拟)空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量 状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～ 150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染. 从某地一环保人士某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如下.根据 该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为________(该年为365天).
2.茎叶图 统计中一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的 旁边生长出来的数.
3.样本的数字特征 (1)众数：一组数据中__出__现__次__数__最__多___的那个数据，叫做这组数据的众数. (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于__最__中__间___位置的一个数据(或最中 间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
知识梳理
1.频率分布直方图
(1)频率分布表的画法：
极差
第一步：求__极__差__，决定组数和组距，组距＝__组__数___；
第二步：__分__组__，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)
【训练1】 (1)(2018·广东广雅中学联考)某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两 个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成 绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m＋n的值是( )
A.10
B.11
C.12
D.13
(2)(2018·长沙模拟)空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量 状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～ 150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染. 从某地一环保人士某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如下.根据 该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为________(该年为365天).
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︵ 别为 C′，P′，B′.依题意，点 P′在B′D上任何位置是等可能
︵ 的，且射线 AP 与线段 BC 有公共点，则事件“点 P′在B′C′上发
生”.又在 Rt△ABC 中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝π6 .
故所求事件的概率 P＝
答案
(1)B
1 (2)3
π ＝π62 · ·11＝13.
规律方法 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范 围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概 率，求解的核心是确定点的边界位置. 2.(1)第(2)题易出现“以线段 BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求 P＝12. (2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为 区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角 的弧度数之比.
者概率的计算与基本事件的区域长度(面积或体积)的大小有关，而与形状和位置 无关. 2.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.
诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( ) (2)从区间[1，10]内任取一个数，取到 1 的概率是110.( ) (3)概率为 0 的事件一定是不可能事件.( ) (4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他
等车时间不超过 10 分钟的概率是( )
A.13
B.12
C.23
D.34
(2)如图，四边形 ABCD 为矩形，AB＝ 3，BC＝1， ︵
以 A 为圆心，1 为半径作四分之一个圆弧DE，在 ∠DAB 内任作射线 AP，则射线 AP 与线段 BC 有公 共点的概率为________.
取的两个数使得斜边长度不大于 1 的概率是( )
π
π
A. 8
B. 4
1
3
C.2
D.4
解析 任取的两个数记为 x，y，所在区域是正方形 OABC 内部，而符合题意的 x，y 位于阴影区域内(不包括 x，y 轴).故所求概率 P＝14π1××112＝π4 .
Байду номын сангаас答案 B
5.(2018·合肥质检)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个 点，则落入阴影部分(曲线C的方程为x2－y＝0)的点的个数
考点二 与面积有关的几何概型(多维探究)
命题角度1 与平面图形面积相关的几何概型
【例2－1】 (2017·全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD内的图形来自
3.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间
为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概
率为( )
A.170 解析
B.58
C.38
D.130
至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为40－ 4015＝58.
答案 B
4.(2018·莆田质检)从区间(0，1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所
的估计值为( )
A.5 000
B.6 667
C.7 500
D.7 854
解析 S 阴影＝S 正方形－1x2dx＝1－13＝23， 0
所以有23＝SS正阴方影形＝10 n000，解得 n≈6 667.
答案 B
考点一 与长度(角度)有关的几何概型
【例 1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在 7：30，8：00，8：30 发车，小明在
(2)等可能性：每个结果的发生具有__等__可__能__性___.
3.几何概型的概率公式 构成事件A的区域长度（面积或体积）
P(A)＝_____试__验__的__全__部__结__果__所__构__成__的__区__域__长__度__（__面__积__或__体__积__）________.
[常用结论与微点提醒] 1.几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的，前
解析 (1)由 6＋x－x2≥0，得－2≤x≤3，即 D＝[－2，3]. 故所求事件的概率 P＝35－ －（ （－ －24） ）＝59. (2)直线 y＝kx 与圆(x－5)2＋y2＝9 相交的充要条件是圆心(5，0)到直线 y＝kx 的距离
小于 3.则 k2＋|5k（－－0|1）2＜3，解得－34＜k＜34. 故所求事件的概率 P＝1－34－（－－341）＝34. 答案 (1)59 (2)34
2.(必修3P140练习1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小 球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘 是( )
解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为 P(A) ＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13，所以 P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B). 答案 A
【训练 1】 (1)(2017·江苏卷)记函数 f(x)＝ 6＋x－x2的定义域为 D.在区间[－4，5] 上随机取一个数 x，则 x∈D 的概率是________. (2)(2018·西安调研)在区间[－1，1]上随机地取一个数 k，则事件“直线 y＝kx 与 圆(x－5)2＋y2＝9 相交”发生的概率为________.
解析 (1)如图所示，画出时间轴：
小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 上，而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 上时，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟，根据几何概型得所求概率 P＝ 10＋ 4010＝12.
(2)以 A 为圆心，以 AD＝1 为半径作圆弧 D¼B交 AC，AP，AB 分
第6节 几何概型
最新考纲 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型 的意义.
知识梳理
1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的__长__度___(面积或体积)成比例，则称 这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.
2.几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有__无__限__多__个___；