专题8.2 椭圆 双曲线 抛物线(A卷)-2017届高三理数同步单元双基双测“AB”卷(原卷版)
推荐高三数学同步单元双基双测“AB”卷江苏 专题82 椭圆 双曲线 抛物线B卷 含解析
班级 姓名 学号 分数（测试时间：120分钟 满分：160分）一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分） 1．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是________．【答案】2216448y x += 【解析】试题分析：由题意可知21,284,86416482c e c c a b a ===∴==∴=-=，因此方程为2216448y x += 考点：椭圆的方程及性质2．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为60的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），AF BF= ．【答案】3考点：抛物线的简单性质3．以椭圆22185x y 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为【答案】22135x y -=【解析】试题分析：椭圆22185x y 的顶点为()()22,0,22,0-，焦点为()()3,0,3,0-．∴双曲线的焦点坐标是()()22,0,22,0-，顶点为()()3,0,3,0-，故双曲线3,225a c b ==⇒=∴双曲线方程为22135x y考点：椭圆、双曲线的标准方程及其性质4．椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为. 【答案】24考点：1.椭圆的标准方程；2.椭圆的焦点三角形.5．已知双曲线122=-y x ,点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥,21PF PF +的值为___________________．【答案】32 【解析】试题分析：由题意，得221±=-PF PF ,()82222221==+PF PF；448221=-=PF PF ,则 324821=+=+PF PF ．考点：1．双曲线的定义；2．勾股定理；3．两数和差的完全平方式．6．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．是双曲线与椭圆是双曲线与椭圆是直角三角形，面积为在x轴上，的公共点．若121F F F A =，2C 的离心率是23，则双曲线1C 的渐近线方程是 ．【答案】x y 3±= 【解析】试题分析：作出简图所图所示，由题意，得c F F A F 2211==，因为椭圆的离心率为32，则322121=+AF A F F F ,解得c AF =2，由双曲线的定义，得双曲线的离心率22121=-=AF A F F F e ，即4222=+a b a ，解得3=ab，即双曲线的渐近线方程为x y 3±=．考点：1．椭圆与双曲线的定义；．椭圆与双曲线的离心率；3．双曲线的渐近线． 9．短轴长为5，离心率23e =的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆周长为______． 【答案】6考点：椭圆的几何性质10．已知双曲线2222:1(0)x y C a a b-=，以C 的一个顶点为圆心，a 为半径的圆被C 截得的劣弧长为23a π，则双曲线C 的离心率为 . 【答案】2105【解析】试题分析：设圆M 与双曲线的在第一象限的交点为A ,因圆与双曲线都是关于x 轴对称的图形,故由题设可知060=∠AMx ,故点A 的坐标为)23,21(a a a A +,代入双曲线方程病整理得2235a b =,由此可得2285a c =,所以离心率5102=e . 考点：双曲线与圆的几何性质．【易错点晴】本题以圆锥曲线中的双曲线为背景，考查的是双曲线的几何性质和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.解答时充分运用题设中提供的信息,数形结合判断出三角形OAB 的形状是等边三角形,从而进一步确定交点A 的坐标点为)23,21(a a a A +,这是解答本题的关键,通过将该点的坐标代入双曲线的标准方程,从而求出该双曲线的离心率为5102=e . 11．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221y x -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = ．【答案】23考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.【思路点晴】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质,双曲性的标准方程与几何性质.本题的关键是找出关于p 的方程.将抛物线的准线与双曲线结合,又转化为直线与双曲线的位置关系的问题. (对于直线与双曲线(圆锥曲线)的位置关系.常用到设而不求的数学思想方法,即假设直线与双曲线(圆锥曲线)的交点坐标,利用韦达定理,弦长公式来构造等式).再运用数形结合,利用等边三角形的牲征得出关于p 的方程.12．已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上的一点，点12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为7，若M 为12PF F ∆的1212PMF PMF MF F S S S λ∆∆∆=+，则λ的值为． 【答案】24考点：直线与圆锥曲线位置关系.【思路点晴】本题是有关双曲线焦点三角形内切圆的问题.解决过程中主要靠两点，一点是紧紧围绕定义，双曲线的定义，122PF PF a -=，还有内心的概念，内切圆的半径就是三角形的高，在化简1212PMF PMF MF F S S S λ∆∆∆-=过程中，用三角形面积公式代入，再利用定义来求解.第二点是双曲线中222c a b =+这个隐含条件.13．点P 是双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>> 上一点，F 是右焦点，且OPF ∆为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则双曲线离心率的值是 ．【答案】513522++=或102352+=+． 【解析】试题分析：当90PFO ∠=︒时，如图，连接1PF ，又OPF 为等腰直角三角形，所以PF OF c ==，12F F c =，所以2211PF PF F F =+=， 12a PF PF =+以理得，值为22.其中为真命题的序号是 . 【答案】③④ 【解析】试题分析：①是错误的，如3()f x x =，2()3f x x '=，此时(0)0f '=，但函数2()30f x x '=≥在R 上恒成立，函数()f x 在R 上单调递增，此时0x =并不是函数3()f x x =的极值点；方程1422=+y m x 表示椭圆的充要条件是0m <且4m ≠，而不是0m >，因为当4m =时，方程1422=+y m x 即224x y +=表示圆心在原点，半径为2的圆，所以②错误；对于③，22()2(8)(28)(4)(2)x x x x f x xe x e e x x e x x '=+-=+-=+-，由()042f x x '<⇒-<<，所以)(x f 的单调递减区间为)2,4(-，故③正确；对于④，221a b e a +=，222a b e b+=，所以222222122222a b a b a b abe e a b ab a b ab ab++++=+=+⨯≥⋅=，当且仅当a b =时等号成立，所以④正确；综上可知真命题的序号是③④.考点：1.极值的定义；2.充分必要条件；3.函数的导数与单调性；4.双曲线的几何性质. 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15. 已知椭圆C:()012222>>=+b a b y a x 的左焦点为F,⎪⎪⎭⎫⎝⎛221，A 为椭圆上一点,AF 交y 轴于点M,且M 为AF 的中点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点A ，平行于OA 的直线交l 于P,交椭圆C 于不同的两点D,E ，问是否存在常数λ，使得PE PD PA ⋅=λ2，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.【答案】（I ）2212x y +=（II ）1=λ（Ⅰ）设椭圆的右焦点是1F ， 所以椭圆的方程为考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系【方法点睛】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。
专题8.2 椭圆 双曲线 抛物线(B卷)-2017届高三理数同步单元双基双测“AB”卷(解析版)
班级 姓名 学号 分数（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）(B) (C)6 （D ）【答案】D【考点定位】双曲线.2. 已知双曲线221(0)x y m m -=>，则m 的值为A B ．3 C ．8 D 【答案】B 【解析】试题分析:由题意知，21c m =+，所以e ==，解之得3m =，故应选B ． 考点：1、双曲线的概念；2、双曲线的简单几何性质；3. 椭圆22x 1259y +=上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON| （O 为坐标原点）的值为（ ） A 2 B 4 C 8 D 32【答案】B【解析】试题分析：显然，由椭圆定义得，82=MF ．又因ON 为三角形MF 1F 2的中位线，所以421ON ==2MF 故选B ．考点：椭圆定义．4. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12F F 、，若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝B ．⎫⎪⎪⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】B考点：椭圆的几何性质【思路点睛】本题考查了离心率是问题，属于基础题型，离心率的求法：（1）如果题设有比较明确的几何关系时，可根据几何图形得到ac的值，（2）或是题设有不等关系，根据题设条件，直接转化为含有c b a ,,的不等关系式，一般是关于c a ,的齐次方程或不等式.5. 点,A F 分别是椭圆22:11612x y C +=的左顶点和右焦点, 点P 在椭圆C 上, 且PF AF ⊥,则AFP ∆的面积为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．18 【答案】B 【解析】试题分析：因为,A F 分别是椭圆22:11612x y C +=的左顶点和右焦点, 点P 在椭圆C 上, 且PF AF ⊥， 所以，AFP ∆为直角三角形，2x =时，可得1234y ==，即3PF =，又因为426AF =+=，所以AFP ∆面积为1163922S AF PF =⨯⨯=⨯⨯=，故选B ． 考点：1、椭圆的标准方程及几何性质；2、三角形面积公式．6. 已知双曲线222:14x y C b -= (0)b >的一条渐近线方程为y x =，12,F F 分别为双曲线C 的左右焦点，P 为双曲线C 上的一点，12||:||3:1PF PF =，则21||PF PF +的值是（ ）A ．4B ．C ．D 【答案】C 【解析】试题分析：由渐近线方程可求出6=b ，102F F 21=，又因12||:||3:1PF PF =，所以2621==PF ,PF ．显然21F PF ∆直角三角形，点P 为直角顶点．所以21||PF PF +102．故选C ． 考点：双曲线的定义、渐近线及向量的综合应用．7. 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是A C －1 D 【答案】C考点：椭圆离心率8. 如图，,A F 分别是双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左顶点、右顶点，过F 的直线l 与C 的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y 轴分别交于,P Q 两点，若AP AQ ⊥，则C 的离心率是（ ）ABC【答案】D考点：直线与圆锥曲线的位置关系．9. 椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线2x =的焦点，则椭圆C 的标准方程为A ．22142x y +=B ．22143x y +=C ．221129x y +=D ．2211612x y +=【答案】D 【解析】试题分析：根据题意，可知抛物线的焦点为(0,，所以对于椭圆而言，b =，结合离心率等于12，可知4a =，所以方程为2211612x y +=，故选D ．考点：抛物线的性质，椭圆的性质，椭圆的方程．10. 已知双曲线1322=-y x 的左、右焦点分别为21,F F ，双曲线的离心率为e ，若双曲线上一点P 使e F PF F PF =∠∠2112sin sin ，则122F F F ⋅的值为（ ）A ．3B ．2C ．3-D ．2- 【答案】B考点：1．正弦定理的应用；2．余弦定理的应用；3．双曲线的性质；4．平面向量的数量积．【思路点晴】本题主要考查正弦定理的应用，余弦定理的应用，双曲线的性质，平面向量的数量积，属于中档题，本题给的已知条件看似比较抽象，其实画出草图会发现，点P 在双曲线的右支上，由21F PF ∆中，利用正弦定理可将已知条件212112sin sin PF PF F PF F PF =∠∠转化点，再结合双曲线的性质，得a PF PF 221=-，进而可求出21,PF PF 的值，再解这个三角形即可求出所需要求的值，本题中，正确对已知条件eF PF F PF =∠∠2112sin sin 进行转化是解题的关键．11. 已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 作圆222a y x =+的切线分别交双曲线的左、右两支于点C B ,，且2CF BC =，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．x y 3±= B ．x y 22±= C ．x y )13(+±= D ．x y )13(-±= 【答案】C 【解析】考点：1．双曲线的定义；2．双曲线的渐近线．【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的定义及简单几何性质，涉及三角形相似的知识，属于难题．解决问题时首先做出大致图象，分析研究的三角形，根据双曲线的定义及条件知12BF a =，在相似三角形中有2y c x aa b c+==，解出切点坐标代入双曲线方程即可得出1)b a =，根据渐进线的的定义求出双曲线的渐近线方程为1)y x =±+，此题要注意相似三角形的性质．12. 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点P ，椭圆内一点Q 在2PF 的延长线上，满足1QF QP ⊥，若15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率取值范围是（ ）A ．1(5B ．C ．1(5D ． 【答案】D 【解析】试题分析：因为Q 在椭圆内,所以以21F F 为直径,原点为圆心的圆在椭圆内部,所以b c <,则222c a c -<,也即212<e ,故22<e ．又n PF m PF ==21,且15sin 13F PQ ∠=,则1312cos 1=∠PQ F ,所以131224222⨯-+=mn n m c ,注意到a n m 2=+,则)13121(24422+-=mn a c ,即)(2552222c a mn -=,而22)2(a n m mn =+≤（当且仅当n m =取等号）,所以2222)(2552a c a <-,即222252626a c a <-,也即2612>e ,所以2626>e ,故椭圆离心率的取值范围是,故应选D ．考点：椭圆的定义余弦定理与基本不等式等知识的综合运用．【易错点晴】本题考查的是椭圆的几何性质与函数方程的数学思想的范围问题,解答时先运用余弦定理建立131224222⨯-+=mn n m c ,再借助椭圆的定义将其等价转化为)13121(24422+-=mn a c ,然后再运用基本不等式22)2(a n m mn =+≤将其转化为不等式2222)(2552a c a <-,最后通过解该不等式将该椭圆的离心率求出,从而获得答案． 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = .【答案】考点：圆锥曲线间的位置关系.【思路点晴】本题考查的是抛物线和双曲线的位置关系.先根据定义求出抛物线的焦点和准线方程分别为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭和2p y =-.将2p y =-代入双曲线的方程，可求得,A B 两点的坐标.得出坐标之后，根据题意，ABF ∆为等边三角形，也就是说AF k ==p =.此类题目主要的方法就是数形结合，然后利用圆锥曲线的定义来求解.14. 如图，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点,P Q ，若060PAQ ∠=，且3OQ OP =，则双曲线的离心率为____________．【解析】试题分析：因为060PAQ ∠=，所以PAQ ∆为正三角形，设AP m =,则,OB AB m ==，其中B 为PQ的中点，所以PQb kc e a ===⇒=⇒=考点：双曲线渐近线15. 已知点P 是椭圆22221x y a b+=(0,0)a b xy >>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆对左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M MP ⊥，则OM 的取值范围是 ．【答案】(0,)c考点：椭圆定义 16. 若椭圆)0(1:112122121>>=+b a b y a x C 和椭圆)0(1:222222222>>=+b a b y a x C 的焦点相同且21a a >．给出如下四个结论：①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点；②2121b b a a >；③22212221b b a a -=-；④2121b b a a -<-．其中所有正确结论的序号是__ __． 【答案】①③④ 【解析】考点：①椭圆基本量之间的关系；②不等式的证明．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知抛物线24x y =的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两个动点，且(0)AF FB λλ=>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ． （1）证明：FM AB ∙为定值；（2）设ABM ∆的面积为S ，求S 的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）4． 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用直线与抛物线的位置关系求解；（2）借助题设运用不等式的性质探求． 试题解析：（1）设:1AB y kx =+，联立得：2440x kx --=， 因此124x x k +=，124x x =-，由211:24x x AM y x =-，222:24x x BM y x =-，得：1212(,)24x x x xM +，即(2,1)M k - 所以222121(,)(2,2)04x x AB FM x x k -∙=-∙-=．（2）2||4(1),AB k d =+=所以322214(1)4(1)42S k k =⨯+⨯=+≥，所以S 的最小值为4．考点：向量的数量积公式和抛物线的几何性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题重在考查圆锥曲线中的代表曲线抛物线与直线的位置关系等有关知识的综合运用问题．求解时要充分利用题设中所提供的信息,先运用向量的数量积公式求出1212(,)24x x x x M +,再求出 222121(,)(2,2)04x x AB FM x x k -∙=-∙-=．第二问借助曲线的弦长公式求得2||4(1),AB k d =+=,进而求得ABM ∆的面积322214(1)4(1)42S k k =⨯+⨯=+≥,即求得面积S 的最小值为4,从而使得使问题获解．18. 已知椭圆2222:1x y C a b +=（a>b>0）的两个焦点分别为12,F F ，离心率为12，过1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为8． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A,B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；.考点：椭圆标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系19. 已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，44【解析】(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． 将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OMM y k x k==-，即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．【考点定位】1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：)0(22>=p px y ，在此抛物线上一点N (2,)m 到焦点的距离是3.（1）求此抛物线的方程；（2）抛物线C 的准线与x 轴交于M 点，过M 点斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点．是否存在这样的k ，使得抛物线C 上总存在点),(00y x Q 满足QB QA ⊥，若存在，求k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）24y x =;（2）⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-55,00,55 . 【解析】试题分析：（1）根据抛物线的定义列式即可求之；（2）根据题意设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程⎩⎨⎧+==)1(42x k y x y ，整理得0442=+-k y ky ，假设存在直线与抛物线交于两点，可得⎩⎨⎧>-≠0161602k k ，得11<<-k 且0≠k ，由QB QA ⊥，可得其斜率之积为-1，1442010-=+⋅+y y y y ，整理0204020=++y k y ，此时应满足080)4(2≥-=∆k，综上可得5555≤≤-k 且0≠k .由QB QA ⊥得1442010-=+⋅+y y y y ，即：16)(2121020-=+++y y y y y y ， ∴0204020=++y ky ， 080)4(2≥-=∆k，得5555≤≤-k 且0≠k ， 由11<<-k 且0≠k 得，k 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-55,00,55 考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的相交问题.21. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，点A 在椭圆上，且满足2120AF F F ∙=.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）动直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，是否存在圆222x y r +=使得l 恰好是 该圆的切线，若存在，求出r ；若不存在，说明理由.【答案】（1）22:184x y C +=；（2）存在圆2283x y +=. 【解析】试题分析：（1）根据题意列方程组22222c b a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，可求得228,4a b ==，进而得椭圆方程；（2）将:l y kx m =+代入22:184x y C +=得222(12)4280k x kmx m +++-=，根据韦达定理及2120AF F F ∙=可得22388m k -=，再用点到直线的距离公式得222||813m r k ==+即可. 试题解析：（1）∵2120AF F F ∙=，∴212AF F F ⊥，考点：1、待定系数求椭圆方程；2、韦达定理及点到直线距离公式.【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程、韦达定理及点到直线距离公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤：①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1F 、)2F ，椭圆上的点P 满足01290PF F ∠=，且12PF F ∆的面积为12PF F S ∆=． （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，过点()1,0Q 的动直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，直线AN 与直线4x =的交点为R ，证明：点R 总在直线BM 上．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）由已知，可求3=c ，2=a ，故方程为2214x y +=；（2）当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为()()1,,y k x M x y =-、()()220,,4,N x y R y ，由()22114y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222148440k xk x k +-+-=，由,,R A N 共线，得20262y y x =+，又()()0112,,2,BR y BM x y ==-，则()()()()()1221121212312258x x x x x x x x -+---=-++-，代入可得结论．（2）由题意知()()2,02,0A B -、，①当直线l 与x轴垂直时，1,M N ⎛⎛ ⎝⎝、，则AN的方程是：)2y x =+， BM的方程是：)2y x =-，直线AN 与直线4x =的交点为(4,R ， ∴点R 在直线BM 上()()0226,,2,AR y AN x y ==+，,,R A N 共线，∴20262y y x =+ 又()()0112,,2,BR y BM x y ==-，需证明,,R B M 共线，需证明()101220y y x --=，只需证明()()()21126121202k x k x x x ----=+，若0k =，显然成立，若0k ≠，即证明()()()()()1221121212312258x x x x x x x x -+---=-++-()222224458801414k k k k --⨯=+-=++成立． ∴,,R B M 共线，即点R 总在直线BM 上． 考点：直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意直线斜率不存在的情况及不要忽视判别式的作用．：。
高考数学 专题8.2 椭圆 双曲线 抛物线同步单元双基双测(A卷)文
专题8.2 椭圆 双曲线 抛物线（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）经过点()2,3，且离心率为2，则它的焦距为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B 【解析】考点：双曲线的性质.2. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，()0F -，为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足OP OF =且4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A ．221255y x +=B ．2213010y x +=C ．213616y x 2+=D ．2214525y x +=【答案】C 【解析】试题分析：设'F 为椭圆的右焦点，由余弦定理，532cos 222=⋅-+=∠OF OP PF OF OP POF ，则8)c o s ('2''22=∠-⋅-+=P O F OF OP OF OP PF π，由椭圆定义，12842=+=a ，所以6=a ，又52=c ，所以162=b ．考点：余弦定理、椭圆的定义．3. 抛物线的准线方程是 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】考点：求抛物线的准线方程．4. 已知椭圆2214x y +=的两个焦点为12,F F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF 的值为（ ）A ．72D ．4 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵P 是椭圆上的点，∴12||||24PF PF a +==，又∵1PF x ⊥轴，∴211||2b PF a ==， ∴217||422PF =-=，故选C ． 考点：椭圆的标准方程及其性质．5. 【2018黑龙江齐齐哈尔一模】若抛物线24x y =上的点(),P m n 到其焦点的距离为5，则n =（ ）A.194 B. 92C. 3D. 4 【答案】D【解析】抛物线24x y =的准线方程为y 1=- 根据抛物线定义可知：5=n+1,即n=4 故选：D6. 已知双曲线C ：22221x y a b-=的左、右焦点分别是1F ，2F ，正三角形12AF F 的一边1AF 与双曲线左支交于点B ，且114AF BF =，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A 1+ BC ．13+ D ．13【答案】D 【解析】考点：1.平面向量的运算；2.余弦定理；3.双曲线的几何性质.【方法点睛】本题主要考查的是双曲线的几何性质，向量知识的运用，计算能力，属于中档题，分析题目可知，求出A F ,1的坐标，设B 的坐标，根据114AF BF =可得到B 的坐标，再将其代入到双曲线方程中，即可得到一个关于离心率e 的一元四次方程，用换元法即可求出离心率e 的值，因此解此类题目，正确的运用向量的坐标关系是解决此类问题的关键.7. 与双曲线2214y x -=有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程为（ ） A ．22128x y -= B ．221312x y -= C ．221312y x -= D ．22128y x -= 【答案】B 【解析】试题分析：设双曲线方程为22;4y x k -=双曲线过点（2，2），则2222,3;4k k -=∴=所以方程是：221312x y -=，故选B考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的性质．8. 【2018河南中原名校联考】椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点是1F ， 2F ，若P 为其上一点，且125PF PF =，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】122PF PF a +=， 125PF PF =，则125,33a aPFPF ==，则1212PF PF F F -≤， 423a c ≤， 23e ≥，又1e <，椭圆离心率的取值范围是2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，选C. 9. 设圆()22125x y ++=的圆心为C ，A （1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 （ ）A 、224412521x y +=B 、224412125x y += C 、224412521x y -= D 、224412125x y -= 【答案】A 【解析】考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程．10. 已知椭圆的两个焦点为1(F ，2F ，P 是此椭圆上的一点，且12PFPF ⊥，12||||2PF PF ⋅=，则该椭圆的方程是（ ）A ．1622=+y x B ．1422=+y x C ．1622=+y x D ．1422=+y x【答案】A 【解析】试题分析：因为12PF PF ⊥，所以20F F PF PF 2212221==+，又因12||||2PFPF ⋅=，所以12||+||PF PF =，16==∴b a ,．故椭圆方程为1622=+y x ．选A ．考点：椭圆基本量运算求椭圆方程．11. 设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ）A ．13 B ．23CD【答案】D 【解析】考点：1．椭圆定义；2．椭圆方程及性质12. 【2018华大新高考联盟联考】已知抛物线2:4C y x =，点()()2,0,4,0,D E M 是抛物线C 异于原点O 的动点，连接ME 并延长交抛物线C 于点N ，连接,MD ND 并分别延长交拋物线C 于点,P Q ，连接PQ ，若直线,MN PQ 的斜率存在且分别为12,k k ，则21k k =（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B【解析】设()()()()11223344M ,,N ,,P ,,Q ,x y x y x y x y ， 则直线MD 的方程为112y 2x x y -=+代入抛物线2:4C y x =，整理得2114(2)y 80x y y ---=，所以138y y =-,即318y y =-， 从而32116x y =,故211168P ,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得222168Q ,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为,,M E N 三点共线，所以121244y y x x =--，从而1216y y =-. 所以2122122218881616y y k y y y y -+==+-，2121122122121444y y y y k y y x x y y --===-+-.所以122k k =. 故选C.二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知()2,0是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b = ．14. 已知M 为抛物线28y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，若120MFO ∠=︒，(2,0)N -（O 为坐标原点），则△MNF 的面积为 ．【答案】【解析】试题分析：由题意得tan600MF M k y ==>o，由抛物线定义得22,26,2M M M M M x MF x x x y +=+∴+=⇒==142MNF S ∆=⨯=考点：抛物线定义。
专题15 椭圆、双曲线、抛物线命题猜想-2017年高考数学
【考向解读】1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质特别是离心率以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系弦长、中点等【命题热点突破一】 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1【答案】A【特别提醒】(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．【变式探究】(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 【答案】 (1)A (2)D【命题热点突破二】 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝1－b a2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca ＝1＋b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为 y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2、【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A【变式探究】(1)椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．(2)(2015·西北工业大学附中四模)已知双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±3x B．y＝±22xC．y＝±(3＋1)x D．y＝±(3－1)x【答案】(1)3－1(2)C【解析】(1)直线y＝3(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝3c，所以该椭圆的离心率e＝2c2a＝2cc＋3c＝3－1.(2)由题意作出示意图，易得直线BC的斜率为ab，cos∠CF1F2＝bc，又由双曲线的定义及|BC|＝|CF2|可得|CF1|－|CF2|＝|BF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a⇒|BF2|＝4a，故cos∠CF1F2＝bc＝4a2＋4c2－16a22×2a×2c⇒b2－2ab－2a2＝0⇒(ba)2－2(ba)－2＝0⇒ba＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为y＝±(3＋1)x.【感悟提升】(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．【变式探究】(1)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 (2)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【答案】 (1)D (2)A此时F 2为中点，即a 2c －c ＝2c ，得e ＝33， 综上，得33≤e <1，即所求的椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.即y ＝－a a －c b2x ＋aca －cb 2＋b 2a ， l CD ：y ＋b 2a ＝a a －cb 2(x －c )， 即y ＝a a －c b 2x －ac a －c b 2－b 2a . ∴x D ＝c ＋b 4a2a －c. ∴点D 到BC 的距离为⎪⎪⎪⎪b 4a 2a －c.∴b 4a 2c －a<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ， ∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2，∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1.∴0<ba <1.【命题热点突破三】 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到直线l ：x ＝－a 2c 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝2|AB |，求直线AB 的方程．从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k ＋2k 2，从而|PC |＝k 2＋1＋k 2|k ＋2k 2.因为|PC |＝2|AB |， 所以k 2＋1＋k 2|k ＋2k 2＝42＋k 21＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.【特别提醒】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．【变式探究】(1)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于( )A.433 B ．2 3 C ．6D ．4 3(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 【答案】 (1)D (2)D∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2代入上式得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a2. ∵直线AB 的斜率为0＋13－1＝12，∴b 2a 2＝12⇒a 2＝2b 2， ∵右焦点为F (3,0)， ∴a 2－b 2＝c 2＝9， 解得a 2＝18，b 2＝9， 又此时点(1，－1)在椭圆内， ∴椭圆方程为x 218＋y 29＝1. 【高考真题解读】1. 【2016高考新课标1卷】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )（A ）()1,3- （B ）(- （C ）()0,3 （D ）( 【答案】A2.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A（B ）23 （C（D ）1【答案】C【解析】设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则212,2.,23p FP pt pt FM FP ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()222max 22,,21123633,122212,,233OM OM p p p p p x t x t t k t k pt pt t t t y y t ⎧⎧-=-=+⎪⎪⎪⎪∴∴∴===∴⎨⎨+⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩当且仅当时取等号，，故选C.3.【2016高考新课标2理数】已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A （B ）32（C（D ）2【答案】A4.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n且e 1e 2<1【答案】A【解析】由题意知2211m n -=+，即222m n =+，由于m ＞1，n ＞0，可得m ＞n ，又22212222222111111()(1)(1)(1)(1)2m n e e m n m n n n -+=⋅=-+=-++=42422112n n n n++>+ ，故121e e >．故选A ．5.【2016高考浙江理数】若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______．【答案】【解析】1109M M x x +=⇒=6.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B7.【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A【解析】由题意设直线的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得||()FM k a c =-，||OE k a =.设OE 的中点为N ，则OBN FBM △∽△，则1||||2||||OE OB FM BF =，即2(c)k a ak a a c=-+，整理，得13c a =，所以椭圆C 的离心率13e =，故选A ．8.【2016高考天津理数】已知双曲线2224=1x y b -（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y - 【答案】D9.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=,则该椭圆的离心率是 ▲.【解析】由题意得,),C(,),22b b B ，因此22222)()0322b c c a e -+=⇒=⇒= 10.【2016高考天津理数】设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C （72p ,0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |=2|AF |，且△ACE 的面积为p 的值为_________.【解析】抛物线的普通方程为22y px =，(,0)2p F ，7322pCF p p =-=， 又2CF AF =，则32AF p =，由抛物线的定义得32AB p =，所以A x p =，则||A y ，由//CF AB 得EF CF EA AB =，即2EF CFEA AF==，所以2CEF CEA S S ==V V ACF AEC CFE S S S =+=V V V所以132p ⨯=，解得p = 11.【2016高考山东理数】已知双曲线E ：22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______.【答案】2【解析】假设点A 在第一象限，点B 在第二象限，则2b A(c,)a ，2b B(c,)a-，所以22b |AB |a=，|BC |2c =，由2A B 3B C =，222c a b =+得离心率e 2=或1e 2=-（舍去），所以E 的离心率为2.12.【2016年高考北京理数】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形OABC的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________.【答案】2【解析】∵OABC 是正方形，∴45AOB ∠=︒，即直线OA 方程为y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意OB =，∴222a a +=，2a =．故填：2．13.【2016高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________▲________.【答案】14.【2016高考山东理数】（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞抛物线E ：22x y=的焦点F 是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(【解析】（Ⅱ）（Ⅰ）设)0)(2,(2>m m m P ，由y x 22=可得y'x =， 所以直线的斜率为m ，因此直线的方程为)(22m x m m y -=-，即22m mx y -=. 设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程222241m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得014)14(4322=-+-+m x m x m ，由0∆>，得520+<<m 且1442321+=+m m x x ， 因此142223210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)14(2220+-=m m y ， 因为mx y 4100-=，所以直线OD 方程为x m y 41-=. 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=m x x m y 41，得点M 的纵坐标为M 14y =-，即点M 在定直线41-=y 上.15.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p => （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --； ②求p 的取值范围.【答案】（1）x y 82 （2）①详见解析，②)34,0( 【解析】由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p < 因此p 的取值范围为4(0,).316.【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于的直线与交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有FH (1,)H y =-，2229412(,)4343k kBF k k -=++.由HF BF ⊥，得0BF HF ⋅=，所以222124904343Hky k k k -+=++，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M . 在MAO △中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(MM M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ . 17.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．（Ⅱ）设与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E .当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分18.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（I ）22221a k a k +（II ）0e <≤．【解析】（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．19.【2016高考新课标2理数】已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）).【解析】（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN △的面积AMN S △11212144227749=⨯⨯⨯=.20.【2016年高考北京理数】（本小题14分）已知椭圆C ：22221+=x y a b （0a b >> ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）详见解析.【解析】令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.21.【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T .（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l ’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2PTPA PB λ=⋅，并求λ的值.【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=.（II ）由已知可设直线的方程为1(0)2y x m m =+≠， 有方程组123y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，， 可得22321.3m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 所以P 点坐标为（222,133m m -+ ），2289P T m =.设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ， .由方程组2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，， 可得2234(412)0x mx m ++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得m <<.22. 【2016高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线过2F 且与双曲线交于A B 、两点。
高三数学双基双测“AB”卷(江苏版)专题8.2椭圆双曲线抛物线(B卷)Word版含解
班级 姓名 学号 分数（测试时间：120分钟 满分：160分）一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分） 1．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是________． 【答案】2216448y x += 【解析】试题分析：由题意可知21,284,86416482c e c c a b a ===∴==∴=-=，因此方程为2216448y x += 考点：椭圆的方程及性质2．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为60的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），AF BF= ．【答案】3考点：抛物线的简单性质3．以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ．【答案】22135x y -=【解析】试题分析：椭圆 22185x y +=的顶点为()(),-，焦点为()),．)(),，顶点为()),，故双曲线的22135x y -=1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积102=c ，根据勾股定理，()1001422=-+x x ，解得8=x ，.为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥,则．考．双曲线的定义；3．两数和差的完全平方式．，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．2y ax =，因为抛物线经过(5,2)，可，横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为： 35082)3x -=，等腰梯形的面积为：1062162+⨯=，当前最大流，原始的最大流量与当前最大流量的比值为：161.28163=-．的左、右焦点，P 是双曲线与椭圆1244922=+y x 的一个公共点，则考；12,F F 在x 轴上，点A 是12,C C 在第一象限的公23，则双曲线1C 的渐近线方程是 ．c F F A F 2211==，因为椭圆的离心率为32，则，由双曲线的定义，得双曲线的离心率22121=-=AF A F F F e ，即，即双曲线的渐近线方程为x y 3±=．考点：1．椭圆与双曲线的定义；2．椭圆与双曲线的离心率；3．双曲线的渐近线．9．已知椭圆C ：2211612x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的两焦点的对称点分别为P ，Q ，线段MN 的中点在C 上，则||||PN QN += ．【答案】16考点：椭圆的定义与标准方程.“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用12c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下 ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; 其中正确的式子序号是______________．整理考点：椭圆图像及性质是双曲线的左、右焦点，过1F 的直线与双曲线的左右两支分别交于点B 、A 两为等边三角形，则该双曲线的离心率为考点：1、双曲线的概念；2、双曲线的简单几何性质；12．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则 【答案】4 【解析】试题分析：不妨设椭圆的标准方程为：a 1公共焦点()()12,0,,0F c F c - ，则有：22a考点：1、椭圆的定义、标准方程与简单几何性质；.13．点P 是双曲线22221,(x y a a b-=>∆（O 为坐标原点），则双曲线离心率的值是 ．==． 【解析】试题分析：当90PFO ∠=︒时，如图，连接1PF ，又O P F ∆为等腰直角三角形，所以PF OF c ==，12F F c=，所以1PF ==，12a PF PF c=+=-即c e a ===；考点：1．双曲线的简单几何性质；2．解三角形． 14．给出下列命题：①若0)(0='x f ，则函数)(x f 在0x x =处有极值；②0>m 是方程1422=+y m x 表示椭圆的充要条件； ③若xe x xf )8()(2-=，则)(x f 的单调递减区间为)2,4(-；④双曲线12222=-b y a x 的离心率为1e ，双曲线12222=-ay b x 的离心率为2e ，则21e e +的最小值为22.其中为真命题的序号是 . 【答案】③④ 【解析】试题分析：①是错误的，如3()f x x =，2()3f x x '=，此时(0)0f '=，但函数2()30f x x '=≥在R 上恒成立，函数()f x 在R 上单调递增，此时0x =并不是函数3()f x x =的极值点；方程1422=+y m x 表示椭圆的充要条件是0m <且4m ≠，而不是0m >，因为当4m =时，方程1422=+y m x 即224x y +=表示圆心在原点，半径为2的圆，所以②错误；对于③，22()2(8)(28)(4)(2)x x x x f x xe x e e x x e x x '=+-=+-=+-，由()042f x x '<⇒-<<，所以)(x f 的单调递减区间为)2,4(-，故③正确；对于④，1e a =，2e b=，所以12a b e e ab ++==≥=当且仅当a b =时等号成立，所以④正确；综上可知真命题的序号是③④.考点：1.极值的定义；2.充分必要条件；3.函数的导数与单调性；4.双曲线的几何性质. 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.求与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线方程．【答案】221169y x -=考点：圆锥曲线的性质16.已知点A （0，－2），椭圆E ：22221x y a b+= （a>b>0）的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点． （1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．【答案】（1）2214x y += （2）y x －2或y x －2因为t ＋4t≥4，当且仅当t ＝2，即k 时等号成立，满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时，k ，l 的方程为y x －2或y x －2．考点：1．椭圆方程与离心率；2．直线与椭圆相交的有关弦长距离问题；3．函数求最值问题17.如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线22:1C y x =-+(0)y ≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为2.（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l 的方程.【答案】(Ⅰ)2,1a b ==; (Ⅱ) 8380x y +-=.(Ⅱ)因为(1,0)B ，若过点B 的直线l 斜率不存在时，不满足题意，所以直线l 斜率存在， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =-，设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立22(1)14y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(4)240k x k x k ⇒+-+-=22(4)(4)(1)0k x k x ⎡⎤⇒+---=⎣⎦ 21244k x k -⇒=+，所以21112248(1)(1)44k ky k x k y k k --=-=-⇒=++，所以22248,44k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭联立2(1)1y k x y x =-⎧⎨=-+⎩210x kx k ⇒+--=(1)(1)0x k x ⇒++-=21x k ⇒=-- 所以2221(1)(2)2y k x k k y k k =-=--⇒=--，所以2(1,2)Q k k k ----由AP AQ ⊥0AP AQ ⇒⋅=222481,44k k k k ⎛⎫--⇒+ ⎪++⎝⎭2(,2)0k k k ⋅---=化简得380k +=，所以83k =-，所以直线l 的方程为8(1)3y x =--即8380x y +-= 。
专题8.2 椭圆 双曲线 抛物线(A卷)-2017届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版)(原卷版)
班级 姓名 学号 分数专题8.2《椭圆 双曲线 抛物线》测试卷（A 卷）（测试时间：120分钟 满分：160分）一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．椭圆124322=+y x 的 离心率为 。
2．双曲线221(0)2x y m m m -=>+的一条渐近线方程为2y x =，则m = ． 3．抛物线24y x =-的准线方程为 .4．以椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的两个焦点21F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且421=F F ，则a 等于________．5．已知P 为抛物线24x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则||||PA PM +的最小值为__________．6．已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足 PF m PA =,则m 的最小值为 ．7．过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点()(),00F c c ->，作倾斜角为6π的直线FE 交该双曲线右支于点P ，若()12OE OF OP =+且0OE EF =，则双曲线的离心率为_____________． 8．若椭圆12222=+by a x 的焦点在x 轴上，过点（1，21）作圆122=+y x 的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___________.9．已知双曲线22221x y a b-=的两条渐近线与抛物线24y x =分别相交于异于原点O 的两点A ，B ，F 为抛物线24y x =的焦点，已知2F 3π∠A B =，则该双曲线的离心率为 ． 10．如图，点F A ,分别是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的上顶点和右焦点，直线AF 与椭圆交于另一点B ，过中心O 作直线AF 的平行线交椭圆于D C ,两点，若CD AB =则椭圆的离心率为 .11．对椭圆有结论一：椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，过点2(,0)a P c的直线l 交椭圆于,M N 两点，点M 关于x 轴的对称点为'M ，则直线'M N 过点F 。
2017届高三文数同步单元双基双测“AB”卷 专题8.2 椭圆 双曲线 抛物线(B卷) 含解析
班级 姓名 学号 分数(测试时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(共12小题，每题5分，共60分） 1。
过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =( ）(A)433（B)23 (C)6 （D ）43【答案】D【考点定位】双曲线. 2.已知双曲线221(0)x y m m-=>23,则m 的值为A ．33B ．3C ．8D ．32【答案】B 【解析】试题分析:由题意知，21c m =+，所以123m e m+==，解之得3m =，故应选B ．考点：1、双曲线的概念；2、双曲线的简单几何性质；3.椭圆22x 1259y +=上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON ｜ （O 为坐标原点）的值为（ ) A 2 B 4 C 8 D 32【答案】B 【解析】试题分析:显然，由椭圆定义得，82=MF ．又因ON 为三角形MF 1F 2的中位线，所以421ON ==2MF故选B ．考点：椭圆定义． 4。
已知双曲线222210,0x y a b ab 的离心率为62，左顶点到一条渐近线的距离为263，则该双曲线的标准方程为( ） A ．221128x y B ．221168x yC ．2211612x yD ．22184x y【答案】D考点：双曲线的性质． 5.点,A F 分别是椭圆22:11612x y C +=的左顶点和右焦点,点P 在椭圆C 上，且PF AF ⊥,则AFP ∆的面积为( ） A ．6B ．9C ．12D ．18 【答案】B 【解析】试题分析：因为,A F 分别是椭圆22:11612x y C +=的左顶点和右焦点,点P 在椭圆C 上， 且PF AF ⊥, 所以，AFP ∆为直角三角形,2x =时，可得1234y ==，即3PF =,又因为426AF =+=,所以AFP ∆面积为1163922S AF PF=⨯⨯=⨯⨯=，故选B ．考点：1、椭圆的标准方程及几何性质；2、三角形面积公式．6。
高三数学(文)双基双测“AB”卷(浙江版)专题8.2椭圆双曲线抛物线(B卷)Word版含解
班级 姓名 学号 分数（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1.过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若1132k <<，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．19(,)44 B ．2(,1)3 C ． 12(,)23 D ．1(0,)2【答案】C考点：椭圆的简单性质．2.与双曲线22132x y -=有共同的渐近线，且经过点A 的双曲线的方程为（ ）A ．2211612y x -= B ．22214y x -= C ．2211827y x -= D ．22164x y -= 【答案】C 【解析】试题分析：由题意设所求的双曲线的方程为2232x y λ-=，因为经过点)A ，所以32032λ-=，即9λ=-，代入方程化简得2211827y x -=，故选：C ． 考点：双曲线的标准方程．3.已知12F F ,为椭圆C ：22198x y +=的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，12EF EF ⋅的最大值、最小值分别为（ ）A ．9,7B ．8,7C ．9,8D ．17,8 【答案】B考点：1．椭圆的定义及几何性质；2．向量的坐标运算．4．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，若双曲线右支上存在一点2(,)a abc c-与点1F 关于直线bxy a=-对称，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 D【答案】A 【解析】试题分析：由题意过1(,0)F c 且垂直于bx y a =-的直线方程为()a y x c b=-，它与bx y a =-的交点坐标为2(,)a a b c c -，所以点P 的坐标为222(c,)a abc c--，因为点P 在双曲线上，2222222222()()1,a ab c c c a b c a b---=+=，可得22225,5,c c c a e a a =∴=∴==A ． 考点：双曲线的性质的应用．5．已知椭圆C:22221x y a b+=（0a b >>）的焦点为1F ，2F ，若点P 在椭圆上，且满足212F F PO =P ⋅P （其中O 为坐标原点），则称点P 为“∙”点，则椭圆上的“∙”点有（ ）个 A ．0 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C考点：新定义，椭圆的焦半径公式．6．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(1,3]D ．(1,3) 【答案】A 【解析】试题分析：根据对称性，只需将渐近线方程x aby =代入抛物线方程22y x =+，得，022=+-x ab x 则,0822≥-=∆a b 即822≥a b ,则3,91222≥≥+=e a b e ,故选A ．考点：直线与抛物线的综合问题及求离心率．7．已知12,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．(]1,3 B．(C．⎤⎦D ．[)3,+∞【答案】A 【解析】试题分析：222122222(2)448PF a PF a PF a a PF PF PF +==++≥当且仅当a 2PF 2=时取得最小值，此时a 4PF 1=．已知a c a a c PF -≥-≥2,2即解得，3≤=ace ．又因为双曲线离心率1>e ．故选A ．考点：双曲线离心率．8.已知抛物线24y x =，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A 、B 两点，则△AOB 的面积为 ACD【答案】C考点：1、抛物线的简单几何性质；2、直线与抛物线的相交问题； 二．填空题（共7小题，共36分） 9.已知sin θ＋cos θ＝15，双曲线x 2sin θ＋y 2cos θ＝1的焦点在y 轴上，则双曲线C 的离心率e ＝________．【答案】3【解析】试题分析：双曲线x 2sin θ＋y 2cos θ＝1化为标准方程222111cos sin 11111tan cos sin cos y x e θθθθθθ--=∴==-- 由sin θ＋cos θ＝15可得343sin ,cos tan 554θθθ=-=∴=-21713334e e ∴=-=∴=- 考点：1．三角函数求值；2．双曲线方程及性质 10.已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是________． 【答案】2216448y x += 【解析】试题分析：由题意可知21,284,86416482c e c c a b a ===∴==∴=-=，因此方程为2216448y x += 考点：椭圆的方程及性质11．如图，12,F F 是双曲线的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点B 、A 两点，若2ABF ∆为等边三角形，则该双曲线的离心率为 ．考点：1、双曲线的概念；2、双曲线的简单几何性质；12．若双曲线 C ：2x 2﹣y 2=m （m ＞0）与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB|=4则m 的值是 ． 【答案】20 【解析】试题分析：y 2=16x 的准线l ：x=﹣4，∵C 与抛物线y 2=16x 的准线l ：x=﹣4交于A ，B 两点，|AB|=4，∴A （﹣4，2），B （﹣4，﹣2），将A 点坐标代入双曲线方程得2（﹣4）2﹣（2）2=m ，∴m=20，故答案为：20． 考点： 双曲线的简单性质．13.如图，F 是椭圆12222=+by a x （a>b>0）的一个焦点，A,B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为21．点C 在x 轴上，BC ⊥BF ，B ，C ，F 三点确定的圆M 恰好与直线l 1：30x ++=相切．则椭圆的方程为 ．【答案】13422=+y x考点：椭圆标准方程14．已知双曲线1C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，若抛物线2C :22x py =（0p >）的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则p = ． 【答案】8 【解析】试题分析：2,2,ce c a b a==∴===,所以双曲线的渐近线方程为y =，又抛物线的焦点坐标为(0,)2p，由点到直线的距离公式得22,82pp =∴=.考点：双曲线、抛物线的几何性质.15．已知过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）右焦点且倾斜角为45的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是 ．【答案】考点：双曲线的标准方程与几何性质．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.如图，椭圆22221x y a b+= (0)a b >>的上、下顶点分别为A 、B ，已知点B 在直线:1l y =-上，且椭圆的离心率e =（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线l 于点C ，N 为线段BC 的中点，求证：OM ⊥MN ．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明详见解析．22200000()44(1)x x y y y =+-+-001(1)0y y =-++=，∴OM ⊥MN ．考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．17.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为2(1,0)F ，点H 在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于P ,Q两点，求证：△2PF Q的周长是定值．【答案】（1）22198x y+=；（2）证明详见解析．==∵PQ 与圆822=+y x=2122k m +=，∴26||89kmPQ k =-+，∵2PF ===，∵103x <<，∴1233x PF =-，同理2221(9)333x QF x =-=-， ∴12222226666663898989x x km km kmF P F Q PQ k k k +++=--=+-=+++，因此△2PF Q 的周长是定值6．考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．18.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，且过点(01)B ，． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线)2(:+=x k y l 交椭圆于P 、Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1422=+y x ；（Ⅱ）)21,103(-∈k考点：（1）椭圆的方程；（2）直线与椭圆的综合问题．19.抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．（1）若2AF FB =，求直线AB 的斜率；（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．【答案】（1）±；（2）面积最小值是4．考点：抛物线的标准方程及其几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率．20.已知曲线C:22x py =（0p >），过曲线C 的焦点F 斜率为k （0k ≠）的直线0l 交曲线C 于()11,x y A 、()22,x y B 两点，1212x x kx x +=-，其中12x x <．（1）求p ；（2）分别作在点A 、B 处的切线1l 、2l ，若动点()00Q ,x y （102x x x <<）在曲线C 上，曲线C在点Q 处的切线l 交1l 、2l 于点D 、E ，求证：DF 2π∠E =．【答案】（1）2p =；（2）证明见解析．所以DF 2π∠E =考点：直线与抛物线的位置关系，韦达定理，抛物线在某个点处的切线，向量的数量积等于零来证明垂直．。
2019届高考数学 专题8.2 椭圆 双曲线 抛物线同步单元双基双测(A卷)文.doc
2019届高考数学 专题8.2 椭圆 双曲线 抛物线同步单元双基双测（A 卷）文一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）经过点()2,3，且离心率为2，则它的焦距为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B 【解析】考点：双曲线的性质.2. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，()0F -，为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足OP OF =且4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A ．221255y x += B ．2213010y x += C ．213616y x 2+= D ．2214525y x += 【答案】C 【解析】试题分析：设'F 为椭圆的右焦点，由余弦定理，532cos 222=⋅-+=∠OF OP PF OF OP POF ，则8)c o s ('2''22=∠-⋅-+=P O F OF OP OF OP PF π，由椭圆定义，12842=+=a ，所以6=a ，又52=c ，所以162=b ．考点：余弦定理、椭圆的定义． 3. 抛物线的准线方程是 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】考点：求抛物线的准线方程．4. 已知椭圆2214x y +=的两个焦点为12,F F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF 的值为（ ）A ．2B ．72 D ．4【答案】C ． 【解析】试题分析：∵P 是椭圆上的点，∴12||||24PF PF a +==，又∵1PF x ⊥轴，∴211||2b PFa ==， ∴217||422PF =-=，故选C ． 考点：椭圆的标准方程及其性质．5. 【2018黑龙江齐齐哈尔一模】若抛物线24x y =上的点(),P m n 到其焦点的距离为5，则n =（ ）A.194 B. 92C. 3D. 4 【答案】D【解析】抛物线24x y =的准线方程为y 1=- 根据抛物线定义可知：5=n+1,即n=4 故选：D6. 已知双曲线C ：22221x y a b-=的左、右焦点分别是1F ，2F ，正三角形12AF F 的一边1AF 与双曲线左支交于点B ，且114AF BF =，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A 1+ BC ．13+ D ．13【答案】D 【解析】考点：1.平面向量的运算；2.余弦定理；3.双曲线的几何性质.【方法点睛】本题主要考查的是双曲线的几何性质，向量知识的运用，计算能力，属于中档题，分析题目可知，求出A F ,1的坐标，设B 的坐标，根据114AF BF =可得到B 的坐标，再将其代入到双曲线方程中，即可得到一个关于离心率e 的一元四次方程，用换元法即可求出离心率e 的值，因此解此类题目，正确的运用向量的坐标关系是解决此类问题的关键.7. 与双曲线2214y x -=有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程为（ ） A ．22128x y -= B ．221312x y -= C ．221312y x -= D ．22128y x -= 【答案】B 【解析】试题分析：设双曲线方程为22;4y x k -=双曲线过点（2，2），则2222,3;4k k -=∴=所以方程是：221312x y -=，故选B 考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的性质．8. 【2018河南中原名校联考】椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点是1F ，2F ，若P 为其上一点，且125PF PF =，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】122PF PF a +=， 125PF PF =，则125,33a aPFPF ==，则1212PF PF F F -≤， 423a c ≤， 23e ≥，又1e <，椭圆离心率的取值范围是2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，选C. 9. 设圆()22125x y ++=的圆心为C ，A （1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 （ ）A 、224412521x y +=B 、224412125x y += C 、224412521x y -= D 、224412125x y -= 【答案】A 【解析】考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程．10. 已知椭圆的两个焦点为1(F ，2F ，P 是此椭圆上的一点，且12PFPF ⊥，12||||2PF PF ⋅=，则该椭圆的方程是（ ）A ．1622=+y x B ．1422=+y x C ．1622=+y x D ．1422=+y x 【答案】A【解析】试题分析：因为12PF PF ⊥，所以20F F PF PF 2212221==+，又因12||||2PF PF ⋅=，所以12||+||PF PF =16==∴b a ,．故椭圆方程为1622=+y x ．选A ．考点：椭圆基本量运算求椭圆方程．11. 设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ）A ．13 B ．23CD【答案】D 【解析】考点：1．椭圆定义；2．椭圆方程及性质12. 【2018华大新高考联盟联考】已知抛物线2:4C y x =，点()()2,0,4,0,D E M 是抛物线C 异于原点O 的动点，连接ME 并延长交抛物线C 于点N ，连接,MD ND 并分别延长交拋物线C 于点,P Q ，连接PQ ，若直线,MN PQ 的斜率存在且分别为12,k k ，则21k k =（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B【解析】设()()()()11223344M ,,N ,,P ,,Q ,x y x y x y x y ， 则直线MD 的方程为112y 2x x y -=+代入抛物线2:4C y x =， 整理得2114(2)y 80x y y ---=，所以138y y =-,即318y y =-，从而32116x y =,故211168P ,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得222168Q ,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为,,M E N 三点共线，所以121244y yx x =--，从而1216y y =-. 所以2122122218881616y y k y y y y -+==+-，2121122122121444y y y y k y y x x y y --===-+-.所以122k k =. 故选C.二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知()2,0是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b = ．14. 已知M 为抛物线28y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，若120MFO ∠=︒，(2,0)N -（O 为坐标原点），则△MNF 的面积为 ．【答案】【解析】试题分析：由题意得tan600MF M k y ==>o，由抛物线定义得22,26,2M M M M M x MF x x x y +=+∴+=⇒==142MNF S ∆=⨯=考点：抛物线定义。
专题8.2 椭圆 双曲线 抛物线(A卷)- 2016届高三理数同步单元双基双测“AB”卷(浙江版)(解析版)
班级 姓名 学号 分数《直线与圆》测试卷（A 卷）（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1．设12,A A 分别为双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左右顶点，若双曲线上存在点M 使得两直线斜率122MA MA k k ⋅<，则双曲线C 的离心率的取值范围为A ．(B ．(C ．)+∞ D ．()0,3【答案】B考点：双曲线的几何性质．2．已知抛物线2:2016C y x =，则( )A ．它的焦点坐标为(504,0)B ．它的焦点坐标为(0,504)C ．它的准线方程是18064y =- D ．它的准线方程是504y =- 【答案】C 【解析】试题分析：将抛物线2:2016C y x =化为标准方程得212016x y =，所以其焦点坐标为 1(0,)8064,准线方程为18064y =-． 考点：抛物线的标准方程及几何性质．3．设12,A A 分别为双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左右顶点，若双曲线上存在点M 使得两直线斜率122MA MA k k ⋅<，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(B ．(C ．)+∞ D ．()0,3【答案】B考点：双曲线的几何性质．4．抛物线24y x =-的准线方程为( )A ．1y =-B ．1y =C ．1x =-D ．1x = 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，抛物线24y x =-的准线为1x =，故选D. 考点：抛物线的准线的概念.5．设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，已知12PF PF ⊥，且122PF PF =，则双曲线的一条渐近线方程是（ ）A ．y =B ．y =C ．2y x =D ．4y x =【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，三角形F 1F 2P 是以F 1F 2为斜边的直角三角形，设|F 2P|=m ，|F 1P|=2m ，则由双曲线定义可得m=2a ，所以222(2)(4)(2)a a c +=，即225a c =，则2b a ===，故一条渐近线方程是2by x x a==． 考点：双曲线的几何性质．6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 为左右焦点，点P 在椭圆C 上，△12F PF 的重心为G ，内心为I ，且有12IG F F λ=（λ为实数），则椭圆方程为 （ ）A ．22186x y +=B ．221164+=x yC ．2251927x y +=D ．221105+=x y【答案】A考点：椭圆的标准方程．7．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若||FB ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．)+∞C ．(1,3]D ．)+∞ 【答案】A 【解析】试题分析：设(,0)F c ，(0,)B b ，一条渐近线的方程为0bx ay +=，则d b ==，||FB =，因为||FB ≥，≥，所以22222c c a ≥-，所以222a c ≥，所以1e <≤故选：A ．考点：双曲线的简单性质．8．点(1,1)M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ） A ．14 B ．112- C ．14或112- D ．14-或112【答案】C考点：抛物线的简单性质．二．填空题（共7小题，共36分）9．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ,2F .若椭圆上存在点P 使1290F PF ∠=︒.则椭圆的离心率的取值范围是________.1e ≤< 【解析】试题分析：以线段12F F 为直径的圆与椭圆有公共点，所以22b c ≤，即222a c c -≤，212e ≤，1e ≤<. 考点：椭圆的离心率.10． 如图,等腰梯形ABCD 中, 2AB DC =,32AE EC =.一双曲线经过C ,D ,E 三点,且以A ,B 为焦点,则该双曲线离心率是 ________.【解析】试题分析：设双曲线的标准方程为22221x y a b -=(0,0)a b >>，0(,0),(,)2c A c C y -，由23AE EC =，得22(,)55y c E -，从而满足2202222022144412525y c a b y c a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去202y b ，解得227c a =. 考点：双曲线的标准方程以及离心率.11．已知双曲线C ：221164y x -=，点P 与双曲线C 的焦点不重合，若点P 关于双曲线C 的上、下焦点的对称点分别为A 、B ，点Q 在双曲线C 的上支上，点P 关于点Q 的对称点P 1，则11||||P A PB -= ． 【答案】-16考点：双曲线的简单性质．12．1(4,0)F -、2(4,0)F 是双曲线22:1(0)4x y C m m -=>的两个焦点，点M 是双曲线C 上一点，且01260F MF ∠=，则12F MF ∆的面积为 ．【答案】【解析】试题分析：∵1(4,0)F -、2(4,0)F 是双曲线22:1(0)4x y C m m -=>的两个焦点，∴416m +=，∴12m =，设'1||MF m =，2||MF n =，∵点M 是双曲线上一点，且01260F MF ∠=，∴'||m n -= ①，'22'02cos 6064m n m n +-= ②，由②﹣①2得'16m n =，∴12F MF ∆的面积'01cos 602S m n ==，故答案为： 考点：双曲线的简单性质．13.过双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE交抛物线24y cx =于点P ，O 为坐标原点，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为 ．【解析】考点：1双曲线的几何性质；2．抛物线的几何性质；3．向量加法的几何意义．14.已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，那么该双曲线的渐近线方程为_________．【答案】03=±y x 【解析】试题分析：∵双曲线的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，∴焦点为(4,0)，∴4c =，∵双曲线的离心率为2，∴2ca=，∴2a =，∵222c a b =+，∴b =，∴双曲线的渐近线为b y x x a =±==，∴双曲线的渐近线方程为03=±y x ． 考点：双曲线的渐近线方程．15．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c ，若三数a 、b 、c 顺次组成一个等比数列，则其离心率为 ．考点：双曲线的离心率．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>O 为圆心，椭圆C 的长半轴这半径的圆与直线260x +=相切． （1）求椭圆C 标准方程；（2）已知点,A B 为动直线(2)(0)y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使2EA EA EB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）12622=+y x ;（2）存在点7(,0)3E 使之成立． 【解析】（2） 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(12622x k y y x 得061212)31(2222=-+-+k x k x k ， 设1122(,),(,)A x y B x y ,所以22213112k k x x +=+，222131612kk x x +-=⋅， 根据题意,假设x 轴上存在定点)0,(m E ,使得2()EA EA AB EA EA AB EA EB +⋅=⋅+=⋅为定值，则有EA EB ⋅11221212(,)(,)()()x m y x m y x m x m y y =--=--+)2)(2())((21221--+--=x x k m x m x )4())(2()1(22212212m k x x m k x x k ++++-+= )4(3112)2(31612)1(22222222m k kk m k k k k +++⋅+-+-⋅+= 13)6()10123(2222+-++-=k m k m m （10分）要使上式为定值，即与k 无关，则应)6(31012322-=+-m m m ， 即37=m ，此时EA EB ⋅9562-=-=m 为定值，定点为)0,37(．（12分） 考点：1．椭圆的定义和性质；2．椭圆与直线的位置关系；3．向量运算．17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>O 为圆心，椭圆C 的长半轴这半径的圆与直线260x +=相切． （1）求椭圆C 标准方程；（2）已知点,A B 为动直线(2)(0)y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使2EA EA EB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）12622=+y x ;（2）存在点7(,0)3E 使之成立．【解析】考点：1．椭圆的定义和性质；2．椭圆与直线的位置关系；3．向量运算．18.已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>,离心率e =,过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1.（1）求椭圆C 的方程;（2）D ,E ,F 为曲线C 上的三个动点, D 在第一象限, E ,F 关于原点对称,且||||DE DF =,问DEF ∆的面积是否存在最小值?若存在,求出此时D 点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）DEF S ∆取最小值，此时D . 【解析】试题分析：本小题考查椭圆的标准方程的求取，直线和椭圆的位置关系及函数最值的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力．第一问，椭圆的离心率和已知条件，得到x 与y 的关系式，经过整理即可得到椭圆的标准方程；第二问，直线与椭圆方程联立，消参，利用两点间距离公式以及韦达定理，得到||OD 和||EF 的长，代入到三角形面积公式中，利用配方法求面积的最小值.试题解析：（1） 由题意，c e a ==又221b a =，可解得2,1a b ==，因此椭圆的标准方程为2214x y +=．考点：椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系、函数最值.19.已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，点A 在椭圆上，且2AF 与x 轴垂直． （1）求椭圆的方程；（2）过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求△AOB 面积的最大值．【答案】（1）22184x y +=；（2）. 【解析】试题分析：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线等基础知识，考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力、转化能力、计算能力，解题时要认真审题，仔细解答．第一问，由已知：2c =，2b a=，解得a =24b =，从而写出方程；第二问，分AB 斜率不存在或斜率存在两种情况讨论，当AB 的斜率存在时，令直线与椭圆方程联立，消参，利用两点间距离公式和点到直线的距离分别求出|AB|和AB 边上的高，代入到三角形面积公式中，计算三角形面积，求出最大值.试题解析：（1）有已知：2c =，2b a=∴a =24b =， 故椭圆方程为22184x y +=；考点：椭圆的简单性质．20．如图，设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 1交抛物线C 于A ，B 两点，且||8AB =，线段AB 的中点到y 轴的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线2l 与圆2212x y +=切于点P ，与抛物线C 切于点Q ，求FPQ ∆的面积． 【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）32S =.（Ⅱ）设2l ：y kx m =+，由2l 与⊙O 2221m k =⇒=+①， 由24y kx m y x =+⎧⎨=⎩222(24)0k x km x m ⇒+-+=，（*） ∵直线2l 与抛物线相切，∴222(24)401km k m km ∆=--=⇒=② 由 ①，②得11k π==±，∴方程（*）为2210x x -+=，解得1x =，∴(1,2)Q ±，∴||PQ ===； 此时直线2l 方程为1y x =+或1y x =--，∴令(1,0)F 到2l 的距离为d =，∴113||222PQF S PQ d ∆===． 考点： 抛物线的简单性质．：。
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班级 姓名 学号 分数
专题8.2 《椭圆 双曲线 抛物线》测试卷（A 卷）
（测试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）
1. 双曲线244x 2
－y ＝的离心率为
A B C 2. 若双曲线22
:1916
x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3
3. 抛物线的准线方程是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4. 设12F F 、是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32
a x =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
A ．12
B ．23
C ．34
D ．45
5. 设F 为抛物线216y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC
++的值为（ ）
A ．36
B ．24
C ．16
D ．12
6. 过椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若 1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为（ ）
A B C ．12 D ．13
7.与双曲线2
214
y x -=有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程为（ ）
A ．22128x y -=
B ．22
1312
x y -= C ．221312y x -= D ．22
128
y x -= 8. 已知O 为坐标原点,F 为抛物线x y 24:C 2=的焦点，P 为C 上一点,若24|PF |=,则POF ∆的面积为（ ）
A.2
B.22
C.32
D.4
9. 设圆()2
2125x y ++=的圆心为C ，A （1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 （ ） A 、224412521x y += B 、22
4412125
x y += C 、224412521x y -= D 、22
4412125
x y -= 10. 已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A
C 1+
D 1-
11. 点P 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>左支上的一点，其右焦点为(),0F c ，若M 为线段FP 的中点，且M 到坐标原点的距离为
8
c ，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．(1,8] B ．4(1,]3 C ．45(,)33 D ．(2,3] 12. 已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于
45，则椭圆E 的离心率的取值范围是
A ．
B ．3(0,]4
C ．
D ．3[,1)4
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设某双曲线与椭圆136
272
2=+y x 有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为)4,15(，则此双曲线的标准方程是 ．
14. 已知抛物线y x 42=与圆)0()2()1(:222>=-+-r r y x C 有公共点P ，若抛物线在P 点处的切线与圆C 也相切，则=r ______.
15. 若椭圆22
131x y k k
+=-+的焦点在x 轴上，则k 的取值范围为 ． 16. 如图，12,F F 是椭圆2
21:14
x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二，第四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是 ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 已知椭圆2222x 1(0)y a b a b +=>>经过点A （0，4），离心率为5
3； （1）求椭圆C 的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为5
4的直线被C 所截线段的中点坐标． 18. 如图，过顶点在原点O ，对称轴为y 轴的抛物线E 上的定点(2,1)A 作斜率分别为12,k k 的直线，分别交抛物线E 于,B C 两点．
（1）求抛物线E 的标准方程和准线方程；
（2）若1212k k k k +=，且ABC ∆的面积为，求直线BC 的方程．
19. 已知抛物线2:4C y x =，过点(1,0)A -的直线交抛物线C 于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点，
设AP AQ λ=． （I ）试求12,x x 的值（λ用表示）；
（II ）若11
[,]32
λ∈，求当||PQ 最大时，直线PQ 的方程．
20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆C 过点P ⎛ ⎝，直线1PF 交y 轴于Q ，且22,PF QO O =为坐标原点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设M 是椭圆C 上的顶点，过点M 分别作出直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设这两条直线的斜率分别为12,k k ，且122k k +=，证明：直线AB 过定点．
21. 如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2
2定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E 。
()1求曲线E 的方程；
()2若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点,G H （点G 在点,F H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围。
22. 已知动点M 到定点1(2,0)F -和2(2,0)F 的距离之和为
（Ⅰ）求动点M 轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设(0,2)N ，过点(1,2)P --作直线l ，交椭圆C 异于N 的,A B 两点，直线,NA NB 的斜率分别为 12,k k ，证明：12k k +为定值.
：。