平面及其表示法(第二课时)
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平面表示法共23页文档
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。—— CocoChanel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。—— 杰纳勒 尔·乔治 ·S·巴 顿
谢谢！
平面表示法
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
2、分别连接相同整数 标高点，得等高线。
3、作平面的最大坡度线，求倾角
α=arctan(H/L)
解决平面相交的具体工程实例
例题：
在高程为4m的平地上筑大堤与小堤，堤顶的高程 和边坡的坡度如图所示，求作小堤顶面与大堤前坡 面的交线，以及诸坡面与破面的交线。
在高程为0的地面上挖一基坑，右端有从地面下来的 一条斜引道，已知坑底和一段斜引道路面的标高投 影，斜引道路面的坡度各边坡的坡度，求作个坡面、 斜引道路面与地面的交线，坡面与坡面的交线。
3
1 2( )
4
2
3 4( )
1
利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
注意：交点是共有 点，也是可见与不 可见的分界点。
平面直角坐标教案5篇
平面直角坐标教案5篇(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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平面的法向量及其应用课件高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(1)在四边形BCC ' B '内，是否存在一点N，使得AN 平面A ' BD ?
(2)求证：AC ' 与平面A ' BD的交点恰为线段AC '的三等分点.
解 (1)如图，以点A为原点，AB，AD, AA ' 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，则B(1, 0, 0), D(0, 2, 0), A(0, 0,3),
①
反过来，由立体几何的知识可以证明：满足①式式．
n
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
如果一条直线l与一个平面 垂直，那么就把直线l的方向向量 n 叫作
平面的
法向量 平面 的法向量，则 n .
如果点M 是平面内给定的一点，向量n 是平面 的一个法向量，点P是
量表示式 平面内任意一点，那么把 MP n 0 称为平面 的一个向量表示式.
平面内所有直线的方向向量
众多向量中找两个不共线的两个满足平面的向量表示式
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
如图，在长方体ABCD A ' B ' C ' D '中，AB =1，AD 2，AA ' 3.
A1
B1
y
D
C
A
x
M
B
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
平面的法向量的求法：
向量名称
图 示
l
α
平面的法向量
求
法
① 找到直线l⊥α;
②直线l的方向向量即为平面的法向量.
(2)求证：AC ' 与平面A ' BD的交点恰为线段AC '的三等分点.
解 (1)如图，以点A为原点，AB，AD, AA ' 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，则B(1, 0, 0), D(0, 2, 0), A(0, 0,3),
①
反过来，由立体几何的知识可以证明：满足①式式．
n
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
如果一条直线l与一个平面 垂直，那么就把直线l的方向向量 n 叫作
平面的
法向量 平面 的法向量，则 n .
如果点M 是平面内给定的一点，向量n 是平面 的一个法向量，点P是
量表示式 平面内任意一点，那么把 MP n 0 称为平面 的一个向量表示式.
平面内所有直线的方向向量
众多向量中找两个不共线的两个满足平面的向量表示式
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
如图，在长方体ABCD A ' B ' C ' D '中，AB =1，AD 2，AA ' 3.
A1
B1
y
D
C
A
x
M
B
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
平面的法向量的求法：
向量名称
图 示
l
α
平面的法向量
求
法
① 找到直线l⊥α;
②直线l的方向向量即为平面的法向量.
平面及其表示法1(中学课件图文课件分享)
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“你救了我的命，”他回答。“从那一刻起，保护您并与您成为朋友成为我的责任。如果我逃避我的平凡职责，我本来不是真正的梅索普；但是在这种情况下，我很高兴因为我喜欢您。我希望您能与您一起生活我，你将成为我部落的一员。在我们当中，有最好的狩猎和捕鱼活动，而且你将有幸从Pellucidar的最美丽的姑娘中 挑选一个伴侣。你会来吗？”
平面及其表示法
一.平面的概念： 光滑的桌面、平静的湖面等都是我
们熟悉的平面形象，数学中的平面概念 是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空 间是无限延伸的。
三.平面的画法： （1）水平放置的平面： （2）垂直放置的平面：
ß a
通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成450
那时我告诉了他关于佩里，美丽的女儿迪安的事情，以及我首先对他们的责任。之后，我应该回去拜访他-如果我能找到他的岛屿。 “哦，这很容易，我的朋友，”他说。“您只需要到达云山山脉的最高峰脚下。您会发现一条河流入LuralAz。在河口的正对面，您会看到三个大岛，所以因为它们几乎难以辨认，当您从河口面对它们时，最左端的那个是Anoroc，我统治着Anoroc部落。” “但是我如何找到云山？”我问。他回答说：“男人说，从半透明的人都可以看到它们。” “Pellucidar有多大？”我问，想知道这些原始人对他们的世界的形式和实质有什么样的理论。 他回答说：“马哈尔人说它是圆的，就像托拉壳的内部一样，但这太荒谬了，因为如果是真的，我们应该向后退，否则我们要向任何方向行驶，而且所有的水pellucidar会跑到一个地方淹死我们，不，pellucidar很平坦，没有人知道四面八方的距离，在边缘，所以我的祖先报告并递给我，是一堵阻止地球的长城和水从逃 逸到Pellucidar漂浮在其上的燃烧的海洋中；但是我从来没有到过Anoroc如此亲眼见过这堵墙，但是，有理由相信这是真的，但是没有这完全是出于对马哈尔人愚蠢信念的理性。据他们说，生活在对面的半兽人总是头朝下走！”贾为这个想法大笑 很明显，这个内心世界的人们在学习上还没有进步，而认为丑陋的马哈斯人超越了他们的想法确实是一种非常可悲的想法。我想知道要把这些人从无知中解脱出来需要多少年龄，即使是给佩里和我尝试。也许我们会因为我们的痛苦而被杀害，就像那些敢于挑战地球年轻时代浓厚的愚昧和迷信的外部世界的人一样。但是， 如果机会出现了，那是值得的努力。 他回答说：“我会说，你要么是个傻瓜，要么就是把我当傻瓜。” “但是，贾，”我坚持说，“如果他们的理论不正确，那么您如何解释我能够从外地壳穿过地壳到达佩鲁奇达的事实呢。如果您的理论正确，那么一切都是火海。我们，没有任何民族可以生存，但我来自一个人间万兽，兽，鸟，鱼在浩瀚海洋中覆盖的伟大世界。” “您生活在Pellucidar的下侧，并且始终将头朝下走路吗？”他嘲笑。“而且我应该相信，我的朋友，我确实应该生气。” 我试图向他解释重力，并通过掉落的水果来说明一个物体在任何情况下都不可能从地球上掉下来。他专心地听着，以至于我以为我给人留下了深刻的印象，并开始了一系列的思考，使他对真理有了部分的了解。但是我误会了。 他最后说：“您自己的例证证明了理论的虚假性。”他用手将一种水果掉到了地上。他说：“看，”即使没有这种微小的水果，也不会掉落，直到碰到阻止它的东西为止。如果在燃烧的海面上不支持佩露西达，它也会随着水果掉落而掉落，您自己证明了！那时他有我-您可以在他 这似乎是无望的工作，我至少暂时地放弃了，因为当我考虑对我们的太阳系和宇宙进行必要的解释时，我意识到试图向Ja或任何其他Pellucidarian描绘太阳，月亮，行星和无数的星星。内在世界中出生的人所能想到的东西，不外乎我们地壳减少到我们有限的头脑所能想到的因素，例如空间和永恒。起来，然后好像被某种 看不见的力量拖着一样，像as一样直奔爬行动物，她的玻璃般的眼睛注视着俘虏的眼睛。。她来到水边，甚至也没有停下来，而是走进了小岛旁边的浅滩。继续前进时，她走向了马哈尔（Mahar），马哈尔（Mahar）现在慢慢退缩，仿佛带领着受害者前进。水溅到了女孩的膝盖上，但她仍然被那双呆滞的眼睛束缚着前进。现在 水在她的腰间。现在是她的腋窝。她在岛上的同伴惊恐地看着，无助于避免她的厄运，他们看到了自己的预言。 马哈尔号沉没了，直到只有长长的上半身和眼睛露出水面，女孩才前进，直到那只令人讨厌的喙的末端距离她的脸只有一两英寸，充满恐惧的眼睛被铆接那些爬行动物。 现在，水从女孩的嘴和鼻子（她的眼睛和额头所显示的一切）上方流过，但是在撤退的马哈尔之后，她仍然走着。王后的头慢慢消失在水面下，然后经过受害者的眼睛，只有一条缓慢的涟漪向海岸蔓延，标志着两个人消失了。 一时间，圣殿内一切一片寂静。奴隶在恐怖中一动不动。马哈尔人注视着水面，以示王后的再现，眼下，在水箱的一端，她的头慢慢抬起头来。她向后退，眼睛像她将无助的女孩拖向厄运时一样注视着她。 然后令我惊讶的是，我看到少女的额头和眼睛慢慢地走出深处，跟随着爬行动物的目光，就像她消失在水面之下一样。女孩不停地走来走去，直到她站在几乎屈膝的水中，尽管她已经在水面下足够的时间淹死了三次，除了滴落的头发和闪闪发光的身体，没有其他迹象表明她完全被淹没了 女王一次又一次地将女孩带入深渊，直到事情变得异常怪异使我感到不安，这样，如果我不牢牢抓住自己，我就可以跳进坦克救孩子。 一旦它们的高度比平常长得多，当它们浮出水面时，我很震惊地看到女孩的一只手臂没了-完全gna在肩膀上-但是可怜的东西并没有迹象表明会感到疼痛，只有她凝视的恐惧似乎加剧了。 下次他们出现时，另一只手臂走 “好吧，贾，”我笑着说，“无论我们是脚走路还是脚走路，我们都在这里，最重要的问题不是我们来自哪里，而是我们现在要去的地方。就我而言，我希望您能引导我到Phutra，在那里我可以再一次献身于Mahars，以便我和我的朋友们可以制定出逃生计划，当Sagoths聚集我们并驱使我们到竞技场见证惩罚时，他们被打 断了。我希望现在到那时我还没有离开竞技场，我的朋友和我可能已经做好了逃脱的准备，而这种延迟可能意味着我们所有计划的破坏，这取决于他们的完善躺在我们被囚禁的建筑物下面的坑中的三个马哈尔人继续睡觉。” “你会被囚禁吗？”贾哭了。 我回答说：“我的朋友在那里，除了你自己，我在佩露西达唯一的朋友。在这种情况下我还能做什么？” 他沉默了片刻。然后他悲伤地摇了摇头。 他说：“这是一个勇敢的人和一个好朋友应该做的。”“然而，这似乎是最愚蠢的，因为马哈斯人一定会因为逃跑而将你判处死刑，因此，你返回家园对你的朋友们将一事无成。我一生从未听说过一个囚犯返回马哈尔。他有自己的自由意志。只有少数人逃脱了他们，尽管有些逃脱了，他们宁愿死也不会被重新夺 “我没有其他办法，贾，”我说，“尽管我可以向您保证，我宁愿在佩里之后去Sheol，而不是去Phutra。但是，佩里实在太虔诚了，根本没有机会使我应该被要求从以前的地方解救他。” Ja问我Sheol是什么，当我尽我所能解释时，他说：“您是在谈论MolopAz，Pellucidar漂浮在其上的火海。所有被埋在地下的死者都去了那里。他们被居住在那里的小恶魔带到了MolopAz。我们知道这一点，因为当坟墓被打开时，我们发现尸体已经被部分或全部清除了，这就是为什么我们的Anoroc将死者安置在高大的树木 中鸟类可能会找到它们，并将它们一点一点地带到可怕阴影之地上方的死亡世界中。如果我们杀死一个敌人，我们会将他的尸体放在地面上，以便它可能会进入莫洛普·阿兹。 当我们交谈时，我们一直沿着峡谷走下，我来到了大海和西西提岛。Ja竭尽全力劝说我不要回到Phutra，但是当他看到我决心这样做时，他同意将我引导到一个可以看到城市平原的地方。令我惊讶的是，距离我再次认识Ja的海滩只有很短的距离。显然，我花了很多时间跟随曲折的峡谷蜿蜒曲折，而在山脊的正上方是普特 拉（Phutra）市，我必须来过几次。 然后我想到这是一个机会-我可以从我作为朋友的Ja开始一个小小的起点，从而注意到我的教导对一个Pellucidarian的影响。 “贾，”我说，“你要说的是，我要告诉你的是，就马哈斯关于佩路奇达形状的理论而言，它是正确的吗？” 当我们越过山脊，看到花岗岩门楼高耸在我们脚下开满鲜花的平原上时，贾做了最后的努力，说服我放弃了我疯狂的目标，并带他回到阿诺洛克，但我坚定了决心，最后他坚定了告别我，他自己确保自己最后 一次在看我。 我很遗憾与Ja分手，因为我确实非常喜欢他。以他在阿诺洛克岛上的隐蔽城市为基地，以他野蛮的战士作为佩里护卫，我本可以在探险方面取得很大成就，我希望我们能够成功地逃脱，以后再返回阿诺洛克。 然而，首先要做的一件伟大的事情-至少对我来说是一件伟大的事情-找到美丽的人。我想弥补我无知时对她的侮辱，然后我想-恩，我想再次见到她，并与她在一起。
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平面及其表示法
一.平面的概念： 光滑的桌面、平静的湖面等都是我
们熟悉的平面形象，数学中的平面概念 是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空 间是无限延伸的。
三.平面的画法： （1）水平放置的平面： （2）垂直放置的平面：
ß a
通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成450
那时我告诉了他关于佩里，美丽的女儿迪安的事情，以及我首先对他们的责任。之后，我应该回去拜访他-如果我能找到他的岛屿。 “哦，这很容易，我的朋友，”他说。“您只需要到达云山山脉的最高峰脚下。您会发现一条河流入LuralAz。在河口的正对面，您会看到三个大岛，所以因为它们几乎难以辨认，当您从河口面对它们时，最左端的那个是Anoroc，我统治着Anoroc部落。” “但是我如何找到云山？”我问。他回答说：“男人说，从半透明的人都可以看到它们。” “Pellucidar有多大？”我问，想知道这些原始人对他们的世界的形式和实质有什么样的理论。 他回答说：“马哈尔人说它是圆的，就像托拉壳的内部一样，但这太荒谬了，因为如果是真的，我们应该向后退，否则我们要向任何方向行驶，而且所有的水pellucidar会跑到一个地方淹死我们，不，pellucidar很平坦，没有人知道四面八方的距离，在边缘，所以我的祖先报告并递给我，是一堵阻止地球的长城和水从逃 逸到Pellucidar漂浮在其上的燃烧的海洋中；但是我从来没有到过Anoroc如此亲眼见过这堵墙，但是，有理由相信这是真的，但是没有这完全是出于对马哈尔人愚蠢信念的理性。据他们说，生活在对面的半兽人总是头朝下走！”贾为这个想法大笑 很明显，这个内心世界的人们在学习上还没有进步，而认为丑陋的马哈斯人超越了他们的想法确实是一种非常可悲的想法。我想知道要把这些人从无知中解脱出来需要多少年龄，即使是给佩里和我尝试。也许我们会因为我们的痛苦而被杀害，就像那些敢于挑战地球年轻时代浓厚的愚昧和迷信的外部世界的人一样。但是， 如果机会出现了，那是值得的努力。 他回答说：“我会说，你要么是个傻瓜，要么就是把我当傻瓜。” “但是，贾，”我坚持说，“如果他们的理论不正确，那么您如何解释我能够从外地壳穿过地壳到达佩鲁奇达的事实呢。如果您的理论正确，那么一切都是火海。我们，没有任何民族可以生存，但我来自一个人间万兽，兽，鸟，鱼在浩瀚海洋中覆盖的伟大世界。” “您生活在Pellucidar的下侧，并且始终将头朝下走路吗？”他嘲笑。“而且我应该相信，我的朋友，我确实应该生气。” 我试图向他解释重力，并通过掉落的水果来说明一个物体在任何情况下都不可能从地球上掉下来。他专心地听着，以至于我以为我给人留下了深刻的印象，并开始了一系列的思考，使他对真理有了部分的了解。但是我误会了。 他最后说：“您自己的例证证明了理论的虚假性。”他用手将一种水果掉到了地上。他说：“看，”即使没有这种微小的水果，也不会掉落，直到碰到阻止它的东西为止。如果在燃烧的海面上不支持佩露西达，它也会随着水果掉落而掉落，您自己证明了！那时他有我-您可以在他 这似乎是无望的工作，我至少暂时地放弃了，因为当我考虑对我们的太阳系和宇宙进行必要的解释时，我意识到试图向Ja或任何其他Pellucidarian描绘太阳，月亮，行星和无数的星星。内在世界中出生的人所能想到的东西，不外乎我们地壳减少到我们有限的头脑所能想到的因素，例如空间和永恒。起来，然后好像被某种 看不见的力量拖着一样，像as一样直奔爬行动物，她的玻璃般的眼睛注视着俘虏的眼睛。。她来到水边，甚至也没有停下来，而是走进了小岛旁边的浅滩。继续前进时，她走向了马哈尔（Mahar），马哈尔（Mahar）现在慢慢退缩，仿佛带领着受害者前进。水溅到了女孩的膝盖上，但她仍然被那双呆滞的眼睛束缚着前进。现在 水在她的腰间。现在是她的腋窝。她在岛上的同伴惊恐地看着，无助于避免她的厄运，他们看到了自己的预言。 马哈尔号沉没了，直到只有长长的上半身和眼睛露出水面，女孩才前进，直到那只令人讨厌的喙的末端距离她的脸只有一两英寸，充满恐惧的眼睛被铆接那些爬行动物。 现在，水从女孩的嘴和鼻子（她的眼睛和额头所显示的一切）上方流过，但是在撤退的马哈尔之后，她仍然走着。王后的头慢慢消失在水面下，然后经过受害者的眼睛，只有一条缓慢的涟漪向海岸蔓延，标志着两个人消失了。 一时间，圣殿内一切一片寂静。奴隶在恐怖中一动不动。马哈尔人注视着水面，以示王后的再现，眼下，在水箱的一端，她的头慢慢抬起头来。她向后退，眼睛像她将无助的女孩拖向厄运时一样注视着她。 然后令我惊讶的是，我看到少女的额头和眼睛慢慢地走出深处，跟随着爬行动物的目光，就像她消失在水面之下一样。女孩不停地走来走去，直到她站在几乎屈膝的水中，尽管她已经在水面下足够的时间淹死了三次，除了滴落的头发和闪闪发光的身体，没有其他迹象表明她完全被淹没了 女王一次又一次地将女孩带入深渊，直到事情变得异常怪异使我感到不安，这样，如果我不牢牢抓住自己，我就可以跳进坦克救孩子。 一旦它们的高度比平常长得多，当它们浮出水面时，我很震惊地看到女孩的一只手臂没了-完全gna在肩膀上-但是可怜的东西并没有迹象表明会感到疼痛，只有她凝视的恐惧似乎加剧了。 下次他们出现时，另一只手臂走 “好吧，贾，”我笑着说，“无论我们是脚走路还是脚走路，我们都在这里，最重要的问题不是我们来自哪里，而是我们现在要去的地方。就我而言，我希望您能引导我到Phutra，在那里我可以再一次献身于Mahars，以便我和我的朋友们可以制定出逃生计划，当Sagoths聚集我们并驱使我们到竞技场见证惩罚时，他们被打 断了。我希望现在到那时我还没有离开竞技场，我的朋友和我可能已经做好了逃脱的准备，而这种延迟可能意味着我们所有计划的破坏，这取决于他们的完善躺在我们被囚禁的建筑物下面的坑中的三个马哈尔人继续睡觉。” “你会被囚禁吗？”贾哭了。 我回答说：“我的朋友在那里，除了你自己，我在佩露西达唯一的朋友。在这种情况下我还能做什么？” 他沉默了片刻。然后他悲伤地摇了摇头。 他说：“这是一个勇敢的人和一个好朋友应该做的。”“然而，这似乎是最愚蠢的，因为马哈斯人一定会因为逃跑而将你判处死刑，因此，你返回家园对你的朋友们将一事无成。我一生从未听说过一个囚犯返回马哈尔。他有自己的自由意志。只有少数人逃脱了他们，尽管有些逃脱了，他们宁愿死也不会被重新夺 “我没有其他办法，贾，”我说，“尽管我可以向您保证，我宁愿在佩里之后去Sheol，而不是去Phutra。但是，佩里实在太虔诚了，根本没有机会使我应该被要求从以前的地方解救他。” Ja问我Sheol是什么，当我尽我所能解释时，他说：“您是在谈论MolopAz，Pellucidar漂浮在其上的火海。所有被埋在地下的死者都去了那里。他们被居住在那里的小恶魔带到了MolopAz。我们知道这一点，因为当坟墓被打开时，我们发现尸体已经被部分或全部清除了，这就是为什么我们的Anoroc将死者安置在高大的树木 中鸟类可能会找到它们，并将它们一点一点地带到可怕阴影之地上方的死亡世界中。如果我们杀死一个敌人，我们会将他的尸体放在地面上，以便它可能会进入莫洛普·阿兹。 当我们交谈时，我们一直沿着峡谷走下，我来到了大海和西西提岛。Ja竭尽全力劝说我不要回到Phutra，但是当他看到我决心这样做时，他同意将我引导到一个可以看到城市平原的地方。令我惊讶的是，距离我再次认识Ja的海滩只有很短的距离。显然，我花了很多时间跟随曲折的峡谷蜿蜒曲折，而在山脊的正上方是普特 拉（Phutra）市，我必须来过几次。 然后我想到这是一个机会-我可以从我作为朋友的Ja开始一个小小的起点，从而注意到我的教导对一个Pellucidarian的影响。 “贾，”我说，“你要说的是，我要告诉你的是，就马哈斯关于佩路奇达形状的理论而言，它是正确的吗？” 当我们越过山脊，看到花岗岩门楼高耸在我们脚下开满鲜花的平原上时，贾做了最后的努力，说服我放弃了我疯狂的目标，并带他回到阿诺洛克，但我坚定了决心，最后他坚定了告别我，他自己确保自己最后 一次在看我。 我很遗憾与Ja分手，因为我确实非常喜欢他。以他在阿诺洛克岛上的隐蔽城市为基地，以他野蛮的战士作为佩里护卫，我本可以在探险方面取得很大成就，我希望我们能够成功地逃脱，以后再返回阿诺洛克。 然而，首先要做的一件伟大的事情-至少对我来说是一件伟大的事情-找到美丽的人。我想弥补我无知时对她的侮辱，然后我想-恩，我想再次见到她，并与她在一起。
平面及表示法
A
B
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α上： 记为：A∈α
B
点B不在平面α上记：为：B∈ α
A
α
(3)直线与平面的位置关系：
直线a上的所通过直线a.记为：a α
直线a与平面α只有一个公共点A时，称直 线a与平面α相交。 记为：a∩α＝A
直线a与平面α没有公共点时，称直线a与 平面α平行。 记为：a∩α＝φ 或 a∥α.
四.平面的表示方法：
平面可以用希腊字母表示，也可以用代表表 示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶 点字母表示。
D
C
A
B
如：平面α，平面β，平面ABCD，平面AC 平面BD等。
五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
(1)点与直线的位置关系：
点A在直线a上： 记为：A∈a
a
点B不在直线a上： 记为：B∈a
平面及其表示法
一.平面的概念： 光滑的桌面、平静的湖面等都是我
们熟悉的平面形象，数学中的平面概念 是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空 间是无限延伸的。
三.平面的画法： （1）水平放置的平面： （2）垂直放置的平面：
ß a
通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成450
（3）在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也 可以不画。
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给他倒了一杯水，因为我刚在幼儿园里学了一首歌，词里说的是给妈妈倒水，可我妈还没回来呢，我就先给我爸倒了。我爸只说了一句，好儿子……就流泪了。从那次起，我知道他是爱我的。光头小男孩说。 ? 我给我奶奶耳朵上夹了一朵花，要是别人，她才
平面及表示法
（3）在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也 可以不画。
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可当他快到终点时，才发现机会全错过了。 第三个弟子吸取了前边两个弟子的教训。当走过全程三分之一时，即分出大中小三类；再走三分之一时，验是否正确；等到最后三分之一时，他选择了属于大类中的一个美丽的穗。虽说，这穗不是田里最好最大的一个，但对他来说，已经 是心满意足了。 137、科学史上因语文而失误例谈 ①美国化学家路易斯于1916年在一篇中提出了共价键理论，但在本世纪20年代曾一度被称为朗缪尔理论。原因是路易斯虽很聪明，但性格内向，不善言谈，他提出功价键理论后，并未引起多大反响。致使这一理论濒临泯灭的困 境。幸亏三年后，一位思想敏锐的化学家朗缪尔看出了共价键理论的重大意义，于是，一方面凭借生动活泼流畅的文笔在有影响的《美国化学学会志》等刊物发表系列，一方面又以滔滔不绝的口才在国内大型学术会议上多次发表演说，终于使这一理论走出了困境，得到普遍承认。 ②现在举世公认，美国科学家维纳是信息论的创始人，因为他在上世纪50年代对信息论做了系统阐述，并建立了维纳滤波理论和信号预测论。可早在30年代就提出信息论的竟是中国数学家申农。最先提出信息论的却没有成为创始者，其原因固然很复杂，但有一点可以肯定，申农未能充分 利用语文工具对信息论进行系统阐述和广泛宣传，该是原因之一。 ③著名物理学家法拉第，早在1873年就已经发现了电磁感应现象，但由于他在论述这一现象时，用语晦涩，致使这项重大的科学发现在长达26年的确时间里被束之高阁。后来幸亏了酷爱诗歌的物理学家麦克斯韦以他 特有的形象思维和精练的语言，把它描述出来，才使这一重大科学发现公之于众。 138、老报纸的价值 旧报纸，若是卖给收废品的，一斤大约三四毛钱。 但吴江路就有一家老报纸馆专营《人民日报》、《光明日报》、《解放军报》和《文汇报》等老报纸，上世纪60年代的 普通报纸，每张要卖218元，就是上世纪80年代的普通报纸，每张也要卖128元。那些按理说没有收藏价值的普通旧报纸居然还卖得挺火。 原来，商家打出的宣传是这样的：为自己或者是亲人卖一份生日老报纸吧！颜色已发黄的老报纸配以充满怀旧情调的包装，就有一些历史韵味。 顾客主要是二三岁的市民，他们或者购买自己出生那一天的报纸，看看自己出生那天世界发生了哪些事，或者卖来赠送给长辈，以引起长辈对青春的记忆。 这老板叫刘德保，素有收集老报纸的兴趣。他将老报纸的卖点定位于生日礼物上，可谓别出心裁，既雅致，又有韵味；既可以 满足青年人对出生那个年代的好奇，又会唤起中老年人对逝去岁月的缅怀。三四毛钱一斤的旧报纸得以卖出每张一二百元的高价，价钱翻了千倍以上，可谓极高附加值了！ 139、最大的不幸 一个人在他23岁时为人陷害，在牢房里呆了9年，后来冤案告破，他终于走出了监狱。出 狱后，他开始了常年如一日的反复控诉、咒骂：“我真不幸，在最年轻有为的时候竟遭受冤屈，在监狱度过本应最美好的一段时光。那样的监狱简直不是人居住的地方，狭窄得连转身都困难。唯一的细小窗口里几乎看不到星点灿烂的阳光，冬天寒冷难忍；夏天蚊虫叮咬……真不明白，上 帝为什么不惩罚那个陷害我的家伙，即使将千刀万剐，也难以解我心头之恨啊！” 73岁那年，在贫病交加中，他终于卧床不起。弥留之际，牧师来到他的床边：“可怜的孩子，去天堂之前，忏悔你在人世间的一切罪恶吧……”牧师的话音刚落，病床上的他声嘶力竭地叫喊起来： “我没有什么需要忏悔，我需要的是诅咒，诅咒那些施予我不幸命运的人……” 牧师问：“您因受冤屈在监狱呆了多少年？离开监狱后又生活了多少年？”他恶狠狠地将数字告诉了牧师。 牧师长叹了一口气：“可怜的人，您真是世上最不幸的人，对您的不幸，我真的感到万分 同情和悲痛！但他人囚禁了你区区9年，而当你走出监牢本应获取永久自由的时候，您却用心底里的仇恨、抱怨、诅咒囚禁了自己整整41年！” 140、索尼：不迷信专家 近几年，日本索尼公司在招聘大学生时，对学校名称采取“不准问，不准说，不准写”的“三不”方针。公司认为， 在激烈竞争和多变时代，企业需要各种人才，只有将各种不同的人聚集在一起，才能更好地发挥创造性，开发出新产品。只在少数名牌大学中招聘人才，会使企业失去活力。索尼公司的创始人之一的井深大说：“我从不迷信专家，专家倾向于争辩你为什么不做或不能做某种事情，而我们 经常强调的是从无到有去实干。”因此，索尼喜欢思想敏锐、不墨守成规、勇于探索创新的人，他们鼓励科技人才“跳槽”，可以在公司任何部门寻找新的职位，“毛遂自荐”参与项目的开发研究。公司认为，这种人思想开放，思维活跃，兴趣广泛，具有创造意识和创新精神，是实干家 而不是空谈家，有培养和发展前途，应加以重用。 141、神奇的皮鞋 多明尼奎?博登纳夫，是法国一位年轻企业家、艺术家。他所经营的公司历来就是发展美术业，但始终都是没有看到兴旺的一天。 一天，他在徒步回家的路上，突然，感到脚下有什么绊了一下，低头一看，原 来是一只破旧皮鞋，他刚想抬起脚将它踢开，却又发现这只鞋有几分像一张皱纹满布的人脸。一个艺术的灵感刹那间在他脑海里闪现，他如获至宝，于是赶忙将破旧皮鞋拾起，迫不及待地跑回家，将其改头换面，变成了一件有鼻有眼有表情的人像艺术品。 以后，博登纳夫又陆续捡 回一些残旧破皮鞋，经过他那丰富的想象力和神奇的艺术之手再加工，一双双被遗忘的“废物”先后变成奇妙谐趣的皮鞋脸谱艺术品。后来，博登纳夫在巴黎开设了皮鞋人像艺术馆，引起了轰动，生意异常兴隆。 看来，在现实生活中，在许多人不屑一顾的小小事情里，往往都隐藏 着成功的契机。当然，要获成功，得靠用心发掘。博登纳夫的这一成功，无疑就在于他比别人多了一个“艺术”心眼。 142、我们到底有多美 世界著名法学家德沃金先生到中国一游，并在几所著名法学院巡回讲演。在一次讲演后，与学生们青春激扬的问答恰恰相反，有一个蠢 货突然发问：“你对我们这所大学如何看？”他到这个学校，准确地说，到这个梯形教室，只有几十分钟，始则略有诧异，继则笑笑，充满理解地笑笑，说：“这是个极好的大学！”——他还能说什么呢？！ 这是时下的一种通病。有些人见到洋人，尤其是见到欧美来的西洋人，便 非要拉住人家的手问长问短，非要请教别人自己美不美，非要请教别人我们这里是不是好山好水好地方。真的不懂，我们的学子从幼儿园起就接受爱国主义教育，居然仍旧如此不自信。 但凡有人以中国特色为名，拒绝外国的时候，被拒绝的大多是比较先进的，也是比较合理的。相 反，学习外国坏东西的时候，我们大多不谈中国特色。鼓励汽车消费时也不谈中国特色。养狗成风时也不谈中国特色。近年来中国兴起了养狗热潮，说是西洋人也喜欢养狗，因为狗是人类的朋友。但西洋人有导盲犬，我们有吗？没有。反正街上是见不到一条导盲犬。 143、以德报怨 没有社会效用 过去我们一直以为“以德报怨”是最高的道德境界，可是关于德怨相报的经济学分析却表明，以德报怨的社会效用为0分，一个小偷被抓到了，报之以德，会给他一个错误的暗示，结果鼓励他错上加错。如有人问孔子：“以德报怨，会怎么样呢？”孔子答：“怎么会用 德去报怨呢？！应当以直报怨。报德的对象只能是德而不是怨。”孔子对如何抱怨的方案是“直”，它可以理解为，一是要用正直的方式对待破坏规则的人，二是要直率地告诉对方，你什么地方做错了事。经济学家认为，以直报怨的社会效用是1分，以直报怨的人，既不想迎合你（报 德）；也不想报复你（报怨）；而是让你知道错在哪里，犯了什么规。在道德的范畴内，这种方式也是满不错的。 最糟糕的是以怨报怨，怨怨相报，只能两败俱伤，所以经济学分析给它打了-2分。 144、钱学森的“大成智慧学” 《日报?理论周刊》4月12日刊登中国人民大 学教授钱学敏的文章，介绍了钱学森的“大成智慧学”。 钱老曾说：“人的智慧是两大部分：量智和性智。缺一不成智慧！此为‘大成智慧学’。”什么是“量智”和“性智”呢？钱老认为，现代科学技术体系中的数学科学、自然科学、系统科学、军事科学、社会科学、思维科学、 人体科学、地理科学、行为科学、建筑科学等10大科学技术部门的知识是性智、量智的结合，主要表现为“量智”；而文艺创作、文艺理论、美学以及各种文艺实践活动，也是性智与量智的结合，但主要表现为“性智”。“性智”、“量智”是相通的。 钱老说：“‘量智’主要是 科学技术，是说科学技术总是从局部到整体，从研究量变到质变，‘量’非常重要。当然科学技术也重视由量变所引起的质变，所以科学技术也有‘性智’，也很重要。大科学家就尤其要有‘性智’。‘性智’是从整体感受入手去理解事物，是从‘质’入手去认识世界。中医理论就如此， 从‘望、闻、问、切’到‘辨施治’，但最后也有‘量’，用药都定量的嘛。” 关于“量智”与“性智”、逻辑思维与形象思维不可分离及其在科学与艺术创作过程中的作用，钱老分析：“从思维科学角度看，科学工作总是从一个猜想开始的，然后才是科学论；换言之，科学工作 是源于形象思维，终于逻辑思维。形象思维是源于艺术，所以科学工作是先艺术，后才是科学。相反，艺术工作必须对事物有个科学的认识，然后才是艺术创作。在过去，人们总是只看到后一半，所以把科学和艺术分了家，而其实是分不了家的；科学需要艺术，艺术也需要科学。” 145、平常心 三伏天，禅院的草地枯黄了一大片。“快撒些草籽吧，好难看啊！”小和尚说。“等天凉了。”师父挥挥手，“随时。” 中秋，师父买了一大包草籽，叫小和尚去播种。秋风突起，草籽飘舞。“不好，许多草籽被吹飞了。”小和尚喊。“没关系，吹走的多半是空 的，撒下去也不会发芽。”师父说，“随性。” 撒完草籽，几只小鸟即来啄食。“要命了！草籽都被鸟吃了！”小和尚急得跳脚。“没关系，草籽多，吃不完！”师父继续翻着经书，“随遇。” 半夜一场骤雨。一大早，小和尚冲进禅房：“师父！这下完了，好多草籽被雨水冲 走了！”“冲到哪儿，就在哪儿发芽！”
第二节 平面向量基本定理及坐标运算 课件(共102张PPT)
( B)
A．－6
B．6
C．9
D．12
2．[必修4·P101·A组T7改编]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量
→ AC
＝(－4，－3)，则向
量B→C＝( A )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
3．[必修4·P96·例2改编]若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝ 0，52 ，则c可用向量
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，( 2 ，0)，(0，－2)，O
为坐标原点，动点P满足|C→P|＝1，则|O→A＋O→B＋O→P|的最小值是( A )
A． 3－1
B． 11－1
C． 3＋1
D． 11＋1
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且M→P＝12M→N，则P点的坐标为( B )
A．(－8,1)
B．－1，－32
C．1，32
D．(8，－1)
[解析]
设P(x，y)，则
→ MP
＝(x－3，y＋2)，而
1 2
→ MN
＝
1 2
(－8,1)＝
－4，12
，所以
x－3＝－4， y＋2＝12，
x＝－1， 解得y＝－32，
所以P－1，－32.
3．已知正△ABC的边长为2
3
，平面ABC内的动点P，M满足|
知识点二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与__x_轴__、__y_轴__正__方__向__相__同____的两个单位向量i，j作为基 底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__(_x_，__y_) _叫做向量a的 直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__(1_,_0_)___，j＝__(_0_,1_)_____，0＝__(_0_,0_)___.
《画法几何》课件——4平面及其表示方法
单选题 2分 1、正垂面的正面投影积聚为直线。
B 正确 A 错误
提交
单选题 2分 2、如图所示，已知平面的水平投影和侧面投影，则平面为：
A 水平面 B 侧平面 C 正垂面 D 侧垂面
提交
投影面平行面
主讲人
平面的投影
平面对投影面的各种相对位置
平面倾角：是指平面与某一投影面所成的二面角，分别用
C
B
K A L
F N
两一般位置平面相交求交线的方法 示意图
• 求两平面的交线
c′
k
1
m
m
k
1
c
b′ PV n 2 l
QV e
a′
b2
e a l
两一般位置平面相交， 求交线步骤：
1．用求直线与平面交点 的方法，作出两平面的
两个共有点K、E。
2．连接两个共有点，
画出交线KE。
注意：交线为粗实线。
• 两平面相交，判别可见性
❖ 水平投影积聚成一条直线 abc
❖ V和Ｗ投影都是类似的三角形△abc, △abc ❖ 反映倾角、γ角的真实大小
侧垂面的投影特性
❖ 侧面投影积聚成一条直线abc ❖ V和H投影都是类似的三角形△abc, △abc ❖ 反映倾角α 、角的真实大小
α
❖ 平面在与其所垂直的投影面上的投影积聚成倾斜于投影轴的直 线,并反映该平面对其他两个投影面的倾角 ❖ 平面的其他两个投影都是面积小于原平面图形的类似形
●b
a● ●c
c
●
● b′ ●b
●c
直线及线外一点
两平行直线
两平行相交
平面图形
9
用迹线表示平面 V
X
Z
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（×）
课本P48练习 、2、3 练习1、 、 课本 练习
A α B C l
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。 推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。 2.两条相交直线唯一确定一个平面 推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。 推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。 3.两条平行直线唯一确定一个平面
观察下列问题，你能得到什么结论？ 观察下列问题，你能得到什么结论？
图形语言： 图形语言：
β
α
P
a
符号语言： 符号语言：
P ∈ α且P ∈ β ⇒ α ∩ β = l且P ∈ l
否正确： 例1.判断下列命题是 否正确： 三点确定一个平面。 （1） 经过 三点确定一个平面。
（×）
条直线确定一个平面。 （2）经过同一点的三 条直线确定一个平面。 （×） （3）若点A ∈ 直线a，点A ∈ 平面α，则a ⊂α.（×） 平面α 若点A 直线a 个公共点。 （4）平面α与平面β 相交，它们只有有限 个公共点。 平面α与平面β
天花板α
墙面γ
P
墙面β
β
α
P
a
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点， 公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 3.如果两个不重合的平面有一个公共点 这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。 这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。
文字语言： 文字语言：
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点， 3.如果两个不重合的平面有一个公共点 这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。 这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。
B α A C
符号语言： 符号语言：
A, B, C三点不共线 ⇒ 有且只有一个平面α 使A ∈ α , B ∈ α , C ∈ α
公理2 不在同一直线上的三点唯一确定一个平面. 公理2.不在同一直线上的三点唯一确定一个平面.
B α A C
推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。 推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。 1.一条直线和直线外一点唯一ห้องสมุดไป่ตู้定一个平面
1.如果一条直线上两点在 文字语言： 公理1. 文字语言： 公理1.如果一条直线上两点在 一个平面内， 一个平面内，那么这条直线上 的所有的点都在这个平面内 即直线在平面内）。 （即直线在平面内）。 图形语言： 图形语言：
l α A B
符号语言： 符号语言：符号表示：
A ∈ l , B ∈ l , 且A ∈ α , B ∈ α ⇒ l ⊂ α
观察下列问题，你能得到什么结论 ？ 观察下列问题，你能得到什么结论_？
B A C
α A
B C
公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 2.
文字语言： 文字语言： 公理2.过不在同一直线上的三点， 公理2.过不在同一直线上的三点，有且只 2.过不在同一直线上的三点 有一个平面. 有一个平面. 图形语言： 图形语言：
平面的基本性质
观察下列问题，你能得到什么结论？ 观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α 桌面
A
公理1.如果一条直线上两点在一个平面内， 公理1.如果一条直线上两点在一个平面内， 1.如果一条直线上两点在一个平面内 那么这条直线上的所有的点都在这个平面 即直线在平面内）。 内（即直线在平面内）。
l α A B
课本P48练习 、2、3 练习1、 、 课本 练习
A α B C l
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。 推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。 2.两条相交直线唯一确定一个平面 推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。 推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。 3.两条平行直线唯一确定一个平面
观察下列问题，你能得到什么结论？ 观察下列问题，你能得到什么结论？
图形语言： 图形语言：
β
α
P
a
符号语言： 符号语言：
P ∈ α且P ∈ β ⇒ α ∩ β = l且P ∈ l
否正确： 例1.判断下列命题是 否正确： 三点确定一个平面。 （1） 经过 三点确定一个平面。
（×）
条直线确定一个平面。 （2）经过同一点的三 条直线确定一个平面。 （×） （3）若点A ∈ 直线a，点A ∈ 平面α，则a ⊂α.（×） 平面α 若点A 直线a 个公共点。 （4）平面α与平面β 相交，它们只有有限 个公共点。 平面α与平面β
天花板α
墙面γ
P
墙面β
β
α
P
a
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点， 公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 3.如果两个不重合的平面有一个公共点 这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。 这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。
文字语言： 文字语言：
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点， 3.如果两个不重合的平面有一个公共点 这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。 这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。
B α A C
符号语言： 符号语言：
A, B, C三点不共线 ⇒ 有且只有一个平面α 使A ∈ α , B ∈ α , C ∈ α
公理2 不在同一直线上的三点唯一确定一个平面. 公理2.不在同一直线上的三点唯一确定一个平面.
B α A C
推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。 推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。 1.一条直线和直线外一点唯一ห้องสมุดไป่ตู้定一个平面
1.如果一条直线上两点在 文字语言： 公理1. 文字语言： 公理1.如果一条直线上两点在 一个平面内， 一个平面内，那么这条直线上 的所有的点都在这个平面内 即直线在平面内）。 （即直线在平面内）。 图形语言： 图形语言：
l α A B
符号语言： 符号语言：符号表示：
A ∈ l , B ∈ l , 且A ∈ α , B ∈ α ⇒ l ⊂ α
观察下列问题，你能得到什么结论 ？ 观察下列问题，你能得到什么结论_？
B A C
α A
B C
公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 2.
文字语言： 文字语言： 公理2.过不在同一直线上的三点， 公理2.过不在同一直线上的三点，有且只 2.过不在同一直线上的三点 有一个平面. 有一个平面. 图形语言： 图形语言：
平面的基本性质
观察下列问题，你能得到什么结论？ 观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α 桌面
A
公理1.如果一条直线上两点在一个平面内， 公理1.如果一条直线上两点在一个平面内， 1.如果一条直线上两点在一个平面内 那么这条直线上的所有的点都在这个平面 即直线在平面内）。 内（即直线在平面内）。
l α A B