2013届人教A版理科数学课时试题及解析(72)优选法与试验设计初步

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2013年数学试卷(理科)解析卷

2013年高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选B．2．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．3．（5分）（2013•新课标Ⅰ）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样 D．系统抽样【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．4．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．5．（5分）（2013•新课标Ⅰ）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选A．6．（5分）（2013•新课标Ⅰ）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C． D．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选A．7．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6与a m，进而得到公差d，由前n项和公式【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m﹣a m=1，+1S m==0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，故选C．8．（5分）（2013•新课标Ⅰ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选A．9．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．10．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（）A．B．C．D．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．11．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D12．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n 的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，又由题意，b n+1﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，∴b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．14．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣115．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣16．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2013•新课标Ⅰ）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．18．（12分）（2013•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．19．（12分）（2013•新课标Ⅰ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：故EX=400×+500×+800×=506.2520．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．21．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．23．（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．24．（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x ﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（Ⅱ）不等式化即1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a ﹣2，由此解得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．。

2013年全国高考理科数学试题及答案详解

绝密*启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30 的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔==（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（）()A A B +为12,,...,n a a a 的和()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯= （8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =；则C 的实轴长为（）()A ()B()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(A-(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

福建省宁德市2013届高三数学质检试题理(含解析)新人教A版

某某省某某市2013届高三质量检查数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2013•某某模拟）若集合M={x|x2﹣2x≤0}，N={x|﹣1≤x≤2}，则（）A．N⊊M B．M∪N=N C．M=N D．M∩N=∅考点：交、并、补集的混合运算．分析：解出集合M中二次不等式，再求两集合的交集或并集，对照选项进行判断即可．解答：解：M={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，N={x|﹣1≤x≤2}，∴M∩N={x|0≤x≤2}，M∪N={x|﹣1≤x≤2}=N，故选B．点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（5分）（2013•某某模拟）已知x，y∈R，则“x=y”是“|x|=|y|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：本题考查的知识点是充要条件的定义，我们可先假设“x=y”成立，然后判断“|x|=|y|”是否一定成立；然后假设“|x|=|y|”成立，再判断“x=y”是否一定成立，然后结合充要条件的定义，即可得到结论．解答：解：当“x=y”成立时，“|x|=|y|”一定成立，即“x=y”⇒“|x|=|y|”为真假命题；但当“|x|=|y|”成立时，x=±y即“x=y”不一定成立，即“|x|=|y|”⇒“x=y”为假命题；故“x=y”是“|x|=|y|”的充分不必要条件故选A点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的X围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3．（5分）（2013•某某模拟）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若终边经过点（，），则tanθ等于（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（，），根据三角函数的第二定义，终边过（x，y）的点tanθ=，代入可得答案．解答：解：∵角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（，），故tanθ==故选B点评：本题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，其中熟练掌握三角函数的第二定义是解答的关键．4．（5分）（2013•某某模拟）一个底面是等腰直角三角形，侧棱垂直于底面且体积为4的三棱柱的俯视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）A．4B．2C．2D．4考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题．分析：通过三棱柱的俯视图，求出底面三角形的高，然后求出棱柱的底面面积，利用棱柱的体积求出棱柱的高，然后求出侧视图的面积．解答：解：由题意可知棱柱的底面面积为S，底面是等腰直角三角形，由俯视图可知斜边长为：2，斜边上的高为：1，底面面积S，所以S==1，因为棱柱的体积为4，所以V=Sh=4，所以棱柱的高为：4，侧视图是矩形，底边长为：1，高为4，所以侧视图的面积为：1×4=4．故选D．点评：本题考查几何体的三视图的应用，侧视图的面积的求法，考查计算能力．5．（5分）（2013•某某模拟）下列函数f（x）中，满足“∀x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0“的是（）A．f（x）=2x B．f（x）=|x﹣1| C．f（x）=﹣xD．f（x）=ln（x+1）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：易得所求函数在区间（0，+∞）上为减函数，逐个验证：A为增函数；B在（1，+∞）单调递增；C符合题意；D在（﹣1，+∞）上单调递增，可得答案．解答：解：由题意可得函数在区间（0，+∞）上为减函数，选项A为指数函数，为增函数，故不合题意；选项B，f（x）=，故函数在（1，+∞）单调递增，不合题意；选项C，由f′（x）=＜0可知函数在（0，+∞）上为减函数，符合题意；选项D，函数在（﹣1，+∞）上单调递增，故不合题意，故选C点评：本题考查函数的单调性，借用常用函数的单调性是解决问题的捷径，属基础题．6．（5分）（2013•某某模拟）曲线y2=x与直线y=x所围成的图形的面积为（）A．B．C．D．考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：作出两个曲线的图象，求出它们的交点坐标，由此可得所求面积为函数﹣x在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．解答：解：∵曲线y2=x和曲线y=x的交点为A（1，1）和原点O ∴曲线y2=x和曲线y=x所围图形的面积为S=（﹣x）dx=（﹣x2）=（）﹣（）=故选：A点评：本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．7．（5分）（2013•某某模拟）已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，直线m⊂平面a，直线n⊥平面β，给出命题：①n⊥m⇒α∥β；②n∥m⇒α⊥β；③α∥β⇒n⊥m；④α⊥β⇒n∥m．其中正确命题为（）A．①③B．②③C．②④D．①④考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：结合图形演示判断①是否正确；根据面面垂直的判定定理判断②是否正确；根据线面垂直的性质判断③是否正确；根据空间直线与平面的位置关系判断④是否正确．解答：解：①如图平面α、β的关系不定，故①错误；②∵m∥n，n⊥平面β，∴m⊥β，m⊂α∴α⊥β，②正确；③∵α∥β，n⊥β，∴n⊥α，m⊂α，∴m⊥n，③正确；④α⊥β，n⊥β，∴n⊂α或n∥α．m⊂α，∴m、n的位置关系不确定．故选B点评：本题借助考查命题的真假判断，考查空间直线与直线、平面与平面的位置关系．8．（5分）（2013•某某模拟）平面上动点P 到定点F与定直线/的距离相等，且点F与直线l 的距离为1．某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x2=2y﹣1，则他的建系方式是（）A．B．C．D．考点：曲线与方程．专题：计算题．分析：通过曲线的轨迹方程，判断曲线的焦点坐标与对称轴的位置，然后确定选项．解答：解：因为点P的轨迹方程为x2=2y﹣1，即所求的抛物线方程：y=x2+，抛物线的对称轴为：y轴，顶点坐标为（0，）．所以该同学建系方式是C．故选C．点评：本题考查曲线与方程的关系，注意抛物线的性质的应用，也可以利用曲线图形变换解答．9．（5分）（2013•某某模拟）在△ABC中，sin2A=sin 2B+sin2C﹣sinBsinC，且=2，则AC+2AB的最小值为（）A．4B ．4C．4D．4考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由已知结合正弦定理可得，a2=b 2+c2﹣bc ，然后利用余弦定理可得，cosA=可求A，再由=2，结合数量积的定义可求bc，而AC+2AB=b+2c，利用基本不等式可求解答：解：∵sin2A=sin2B+sin2C﹣sinBsinC，由正弦定理可得，a2=b2+c2﹣bc，由余弦定理可得，cosA==∴∵=2，由数量积的定义可知，∴bc=4∴AC+2AB=b+2c=4当且仅当b=2c=2时取等号故选D点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，及基本不等式在求解最值中的应用，熟练掌握定理是解本题的关键．10．（5分）（2013•某某模拟）若函数f（x）对于任意x∈[a，b]，恒有|f（x）﹣f（a）﹣（x﹣a）|≤T（T为常数）成立，则称函数f（x）在[a，b]上具有“T级线性逼近”．下列函数中：①f（x）=2x+1；②f（x）=x2；③f（x）=；④f（x）=x3．则在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据称函数f（x）在[a，b]上具有“T级线性逼近”的定义，判断各个选项中的函数在区间[1，2]上是否满足“级线性逼近”的定义，从而得出结论．解答：解：f（x）=2x+1在区间[1，2]上，由于|f（x）﹣f（1）﹣（x﹣1）|=|0|≤，故f（x）=2x+1在区间[1，2]上具有“级线性逼近”，故满足条件．f（x）=x2 在区间[1，2]上，由于|f（x）﹣f（1）﹣（x﹣1）|=|（x﹣1）（x﹣2）|=﹣（x﹣1）（x﹣2）≤，故f（x）=x2在区间[1，2]上具有“级线性逼近”，故满足条件．f（x）=在区间[1，2]上，由于|f（x）﹣f（1）﹣（x﹣1）|=|+﹣|=﹣（+）≤﹣2=﹣≤，故f（x）=2x+1在区间[1，2]上具有“级线性逼近”，故满足条件．f（x）=x3在区间[1，2]上，由于|f（x）﹣f（1）﹣（x﹣1）|=|x3﹣7x+6|=|（x﹣1）（x﹣3）（x+2）|=﹣（x﹣1）（x﹣3）（x+2），由于﹣（x3﹣7x+6）的导数为﹣3x2+7，令﹣3x2+7=0 可得 x=，在[1，]上，3x2﹣7＜0，﹣（x﹣1）（x﹣3）（x+2）为增函数，同理可得在[，2]上，﹣（x﹣1）（x﹣3）（x+2）为减函数，故﹣（x﹣1）（x﹣3）（x+2）的最大值为（﹣1）（3﹣）（+2）＞，故不满足“级线性逼近”，故不满足条件．故选C．点评：本题主要考查新定义：“T级线性逼近”的定义，不等式的性质应用，式子的变形是解题的难点，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡相应位置. 11．（4分）（2013•某某模拟）若（1+ai）i=﹣3+i，其中a∈R，i是虚数单位，则a= 3 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式的左边展开，然后利用复数相等的条件求a的值．解答：解：由（1+ai）i=﹣3+i，得﹣a+i=﹣3+i，∴﹣a=﹣3，则a=3．故答案为3．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．12．（4分）（2013•某某模拟）运行如图所示的程序，输入3，4时，则输出 4 ．考点：伪代码．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中的程序代码，可得该程序的功能是计算并输出分段函数m=的值，由a=3，b=4，易得答案．解答：解：由已知中的程序代码，可得该程序的功能是计算并输出分段函数m=的值，当a=3，b=4时，满足a≤b故m=b=4故答案为：4点评：本题考查的知识点是伪代码，分段函数，其中由已知中的程序代码，分析出分段函数的解析式是解答的关键．13．（4分）（2013•某某模拟）若直线x﹣y+t=0与圆x2+y2﹣2x﹣6y﹣6=0相交所得的弦长为4，则t的值等于﹣2或6 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再在弦心距与半径构成的直角三角形中求解弦长即可．解答：解：圆x2+y2﹣2x﹣6y﹣6=0化为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=16．圆心到直线的距离为d==4=2，解得t=﹣2或t=6．故答案为：﹣2或6点评：本题主要考查了直线和圆的方程的应用，以及弦长问题，属于基础题．14．（4分）（2006•某某）已知变量x，y满足约束条件．若目标函数z=ax+y （其中a＞0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值X围为a．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值．解答：解：画出可行域如图所示，其中B（3，0），C（1，1），D（0，1），若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）取得最大值，由图知，﹣a＜﹣解得a＞故答案为a＞点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．15．（4分）（2013•某某模拟）某种平面分形如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°；…；依此规律得到n级分形图，则n级分形图中所有线段的长度之和为．9﹣9•．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：设n级分形图中所有线段的长度之和为a n，先根据题意可得a1、a2、a3、a4的值，找到其中的关系，进而可得到数列的通项公式．解答：解：设n级分形图中所有线段的长度之和为a n，依题意a1=3，a2=3+2×3×=3+2，a3=3+2×3×+2×2×3×=3+2+，a4=3+2++，…，它们构成一个首项为3，公比为的等比的和，∴a n==9﹣9•．故答案为：9﹣9•点评：本题主要考查归纳推理，数列通项公式的求法．数列的通项公式在数列学习中占据很重要的地位，要强化学习．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演箅步骤. 16．（13分）（2013•某某模拟）已知二次函数f（x）=ax2+bx+1为偶函数，且f（﹣1）=﹣1．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若函数g（x）=f（x）+（2﹣k）x在区间[﹣2，2]上单调递减，某某数k的取值X 围．考点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（I）由偶函数的图象关于y轴对称，可得b值，进而根据f（﹣1）=﹣1，可得a值，进而可得函数f（x）的解析式；（II）若函数g（x）=f（x）+（2﹣k）x在区间[﹣2，2]上单调递减，可得区间[﹣2，2]在对称轴的右侧，进而得到实数k的取值X围解答：解：（I）∵二次函数f（x）=ax2+bx+1为偶函数，故函数f（x）的图象关于y轴对称即x=﹣=0，即b=0又∵f（﹣1）=a+1=﹣1，即a=﹣2．故f（x）=﹣2x2+1（II）由（I）得g（x）=f（x）+（2﹣k）x=﹣2x2+（2﹣k）x+1 故函数g（x）的图象是开口朝下，且以x=为对称轴的抛物线故函数g（x）在[，+∞）上单调递减，又∵函数g（x）在区间[﹣2，2]上单调递减，∴≤﹣2解得k≥10故实数k的取值X围为[10，+∞）点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．17．（13分）（2013•某某模拟）已知函数，f（x）=cos（﹣2ωx）+2sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（I ）求函数y=f（x）的最值及其单调递增区间；（II ）函数f（x）的图象可以由函数y=2sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用降次升角公式，及和差角公式（辅助角公式），可将函数y=f（x）的解析式化为正弦型函数的形式，结合函数y=f（x）的最小正周期为π，可得ω的值，进而结合正弦函数的图象和性质，可得答案．（II）根据函数图象的变换法则，结合变换前后函数的解析式，可分析出函数变换的方法．解答：解：（I）∵f（x）=cos（﹣2ωx）+2sin2ωx=sin2ωx+1﹣cos2ωx=2sin（2ωx ﹣）+1又∵ω＞0，f（x）的最小正周期为π故ω=1故f（x）=2sin（2x﹣）+1∵A=2，B=1故函数y=f（x）的最大值为3，最小值为﹣1由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z故函数y=f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）（II）将函数y=2sin2x（x∈R）的图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数y=2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）（x∈R）的图象；再将函数y=2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）（x∈R）的图象上的所有点向上平移1个单位长度得到函数f（x）=2sin（2x﹣）+1的图象．点评：本题考查的知识点是两角差的正弦函数，二倍角公式，正弦型函数的单调性，周期性，函数图象的变换，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．18．（13分）（2013•某某模拟）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率e=．（I）若点F在直线l：x﹣y+1=0上，求椭圆E的方程；（II）若0＜a＜1，试探究椭圆E上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）椭圆的左焦点F在直线l：x﹣y+1=0上，把F的坐标代入直线方程可求c的值，与离心率e=联立后可求a的值，则椭圆E的方程可求；（Ⅱ）假设椭圆E上存在点P，使得，设出P点坐标，求出向量和，代入后求出点P的横坐标，由题目给出的a的X围推出点P横坐标不在[﹣a，a]内，从而得出矛盾，假设错误．解答：解：（Ⅰ）∵F（﹣c，0）在直线l：x﹣y+1=0上，∴﹣c+1=0，即c=1，又，∴a=2c=2，∴b=．从而椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，得，∴，椭圆E的方程为，其左焦点为，右顶点为A（a，0），假设椭圆E上存在点P（x0，y0）（﹣a≤x0≤a），使得，∵点P（x0，y0）在椭圆上，∴，由====1．解得：x0=a±2，∵0＜a＜1，∴x0=a±2∉[﹣a，a]，故不存在点P，使得．点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的标准方程，训练了存在性问题的处理方法，对于存在性问题，解决的思路是假设结论成立，把假设作为已知条件进行推理，得出正确的等式关系则假设成立，肯定结论，否则假设不成立，否定结论．此题是中档题．19．（13分）（2013•某某模拟）如图（1），在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠C=90°，CD=2AB=2，∠D=60°，E为DC中点，将四边形ABCE绕直线AE旋转90°得到四边形AB′C′E，如图（2）．（I）求证：EA⊥B′B；（II）线段B′C′上是否存在点M，使得EM∥平面DB′B，若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由；（III）求平面C B′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）通过证明EA⊥平面ABB′，然后证明EA⊥B′B；（II）存在．当M为B′C′的中点时，EM∥平面DB′B．利用直线与平面平行的判定定理证明即可；（III）通过建立空间直角坐标系，求出平面CB′D与平面BB′A的法向量，利用斜率的数量积求出两个平面所成的锐二面角的大小．解答：解：（Ⅰ）证明：∵CD=CD=2AB=2，∴CE=AB，又AB∥CD，且∠C=90°，∴四边形ABCD 为矩形．∴AB⊥EA，EA⊥AB′，又AB∩B′=A，∴EA⊥平面ABB′，∵BB′⊂平面ABB′，∴EA⊥B′B；（Ⅱ）解：存在．当M为B′C′的中点时，EM∥平面DB′B．理由如下：设AE与BD 交于N，连结B′N．∵AB∥DE且AB=DE，∴四边形ABED为平行四边形，∴N为AE的中点．∵M为B′C′中点，四边形AB′C′E为矩形，∴MB′∥EN，MB′=EN．∴四边形MB′NE为平行四边形，∴EM∥B′N，又∵EM⊄平面DBB′，B′N⊂平面DBB′，∴EM∥平面DB′B．（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知DH⊥底面AB′C′E⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，E﹣xyz，如图所示则D（1，0，0），B′0，，1），E（0，0，0），C（﹣1，0，0）所以=（﹣1，，1），=（﹣2，0，0）设面DCB′的法向量为=（x，y，z），则，⇒不妨设=（0，1，）…（10分）设面AB′B的法向量=（0，1，0），所以cos==所以平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小为60°…（12分）．点评：本题考查直线与平面的垂直与平行的判定定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．20．（14分）（2013•某某模拟）一学生参加市场营销调查活动，从某商场得到11月份新款家电M的部分销售资料．资料显示：11月2日开始，每天的销售量比前一天多t台（t为常数），期间某天由于商家提高了家电M的价格，从当天起，每天的销售量比前一天少2台.11月份前2天共售出8台，11月5日的销售量为18台．（I）若商家在11月1日至15日之间未提价，试求这15天家电M的总销售量．（II）若11月1日至15日的总销售量为414台，试求11月份的哪一天，该商场售出家电M的台数最多？并求这一天售出的台数．考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；综合题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（I）由题意，在11月1日至15日之间该商场家电M每天的销售量组成公差为t的等差数列{a n}，结合等差数列的通项公式解出首项a1和公差t，从而由等差数列求和公式得到这15天家电M的总销售量．（II）设从11月1日起，第n天的销售量最多（1≤n≤30，n∈N*）．根据（I）前15天的销售量大于414，可得n＜15；通过假设n=5算出销售量为120＜414，得n＞5．因此n为大于5而小于15的整数，因此结合题中数据列出S15关于n的式子，解方程S15=414，即可得到n=15，可得在11月12日，该商场售出家电M的台数最多，这一天的销售量为46台．解答：解：（I）根据题意，商家在11月1日至15日之间家电M每天的销售量组成公差为t 的等差数列{a n}，∵，∴，解之得因此，这15天家电M的总销售量为S15=15×2+=450台．…（6分）（II）设从11月1日起，第n天的销售量最多，1≤n≤30，n∈N*由（I），若商家在11月1日至15日之间未提价，则这15天家电M的总销售量为450台，而450＞414不符合题意，故n＜15；若n=5，则S15=5×2++10×16+=120＜414，也不符合题意，故n＞5因此，前n天每天的销售量组成一个首项为2，公差为4的等差数列，第n+1天开始每天的销售量组成首项为4n﹣4，公差为﹣2的等差数列．…（10分）∴S15=[2n+]+[（15﹣n）（4n﹣4）+]=﹣3n2+93n﹣270由已知条件，得S15=414，即﹣3n2+93n﹣270=414解之得n=15或n=19（舍去19）∴n=12，出售家电M的台数为2+11×4=46台故在11月12日，该商场售出家电M的台数最多，这一天的销售量为46台．点评：本题给出商场家电的销售量成等差数列的模型，求家电M哪一天的销售量为最多．着重考查了函数、数列的基本知识及其应用能力，考查了函数方程思想和转化化归思想的应用，属于中档题．21．（14分）（2013•某某模拟）已知函数f1（x）=x2，f2（x）=alnx（a∈R）•（I）当a＞0时，求函数．f（x）=f1（x）•f2（x）的极值；（II）若存在x0∈[1，e]，使得f1（x0）+f2（x0）≤（a+1）x0成立，某某数a的取值X围；（III）求证：当x＞0时，lnx+﹣＞0．（说明：e为自然对数的底数，e=2.71828…）考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（I）求出导函数，通过对导函数为0的根与区间的关系，判断出函数的单调性，求出函数的极值；（II）根据题意存在x0∈[1，e]，使得f1（x0）+f2（x0）≤（a+1）x0成立，设g（x）=x2+alnx﹣（a+1）x，则问题转化为g（x）min≤0即可，再利用导数工具得出g′（x），对a时行分类讨论①当a≤1时，②当1＜a＜e时，③当a≥e时，利用导数研究其单调性及最小值，求出a的X围，最后综上得到实数a的取值X围即可；（III）问题等价于x2lnx＞，构造函数h（x）=，利用导数研究其最大值，从而列出不等式f（x）min＞h（x）max，即可证得结论．解答：解：（I）f（x）=f1（x）•f2（x）=x2alnx，∴f′（x）=axlnx+ax=ax（2lnx+1），（x＞0，a＞0），由f′（x）＞0，得x＞e，由f′（x）＜0，得0＜x＜e．∴函数f（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，∴f（x）的极小值为f（e）=﹣，无极大值．（II）根据题意存在x0∈[1，e]，使得f1（x0）+f2（x0）≤（a+1）x0成立，设g（x）=x2+alnx﹣（a+1）x，则g（x）min≤0即可，又g′（x）=x+﹣（a+1）=，①当a≤1时，由x∈[1，e]，g′（x）＞0，得g（x）在[1，e]上是增函数，∴g（x）min=g（1）=﹣（a+1）≤0，得﹣≤a≤1．②当1＜a＜e时，由x∈[1，a]，g′（x）＜0，得g（x）在[1，a]上是减函数，由x∈[a，e]，g′（x）＞0，得g（x）在[1，a]上是增函数，∴g（x）min=g（a）=﹣a2+alna﹣a=﹣a2﹣a（1﹣lna）≤0恒成立，得1＜a＜e．③当a≥e时，由x∈[1，e]，g′（x）＜0，得g（x）在[1，e]上是减函数，∴g（x）min=g（e）=）=﹣e2+a﹣ae﹣e≤0，得a≥，又＜e，∴a≥e．综上，实数a的取值X围a．（III）问题等价于x2lnx＞，由（I）知，f（x）=x2lnx的最小值为﹣，设h（x）=，h′（x）=﹣得，函数h（x）在（0，2）上增，在（2，+∞）减，∴h（x）max=h（2）=，因﹣＞0，∴f（x）min＞h（x）max，∴x2lnx＞，∴lnx﹣（）＞0，∴lnx+﹣＞0．点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，先通过导数求出函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用．。

2013年高考全国卷理科数学高清解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。

2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。

3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R ,函数()f x M , 则C M R 为(A) [－1,1](B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-【答案】D【解析】()f x 的定义域为M=[-1,1],故2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61【答案】C【解析】故选择C3. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的 (A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 【答案】B【解析】由题设可知区间[481，720]长度为240，落在区间内的人数为12人。

5. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是(A)14π-(B)12π-(C) 22π-(D) 4π【答案】A【解析】由题设可知矩形ABCD 面积为2，曲边形DEBF 的面积为22124ππ-=-，选A.6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若12||0z z -=, 则12z z = 2z =(C) 若12||z z =, 则2112··z z z z =(D) 若12||||z z =, 则2122z z =【答案】D【解析】设12,,z a bi z c di =+=+若12||0z z -=，则12||()()z z a c b d i -=-+-，12z z =，则,a c b d ==-，所以12z z =，故22c d =+，所以1122..z z z z =，故C 项正确；a ,b ,c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定【答案】B【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以2sin()sin B C A +=，所以2sin sin A A =,所以sin 1A =，所以△ABC 是直角三角形。

2013高考数学(理)真题专业解析(全国卷)汇总

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）（全国卷）解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合={1,2,3}M∈∈，则M中元素的个数为，，={x|x=a+b,a A,b B}A，B={45}（）A．3 B．4 C．5 D．6答案:B思路分析:考点解剖:本题主要考查集合的性质与分类讨论思想.解题思路:弄清集合M中的元素与集合A和集合B中元素的关系，从而求集合M中的元素即可.解答过程:集合B中的元素4分别与集合A中的元素求和为5、6、7，集合B中的元素5分别与集合A中的元素求和得6、7、8.所以M={5，6，7，8}，元素个数为4.故选B.规律总结:要弄清集合的表示方法，特别是描述法，容易忽略互异性.2.3(1)=（）A．-8 B．8 C．8i- D．8i答案:A思路分析:考点解剖:本题考查复数的运算.解题思路:运用完全平方和公式与平方差公式化简复数.解答过程:3=-=-.故选A.(1)(12)8规律总结:要记住21i=-这个复数里面最常用的结论，还容易计算出错.3.已知向量(1,1)+⊥-，则λ=（）=+，若()()m n m nmλ=+，(2,2)nλA．-4 B．-3 C．-2 D．-1答案:B思路分析:考点剖析:本题主要考查向量的坐标运算与两向量垂直.解题思路:运用“若a b ⊥，则有0a b ⋅=”及“22||a a =”即可求解.解答过程:因为()()m n m n +⊥-，所以有22222()()[(1)1][(2)2]0m n m n m n λλ+⋅-=-=++-++=，从而有3λ=-.故选B.规律总结:要记住两向量垂直的充要条件是它们的数量积为零，可能数量积分式会用错. 4.已知函数f(x)的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域（） A ．(1,1)- B ．1(1,)2-- C ．(1,0)- D ．1(,1)2答案:B 思路分析:考点剖析:本题主要考查复合函数的定义域.解题思路:弄清函数()f x 与(21)f x +定义域的关系求解即可. 解答过程:由1210x -<+<，得112x -<<-.故选B.规律总结:由两函数的定义域的关系，列出不等式，求解. 5.函数21()log (1)f x x=+（x>0）的反函数1()f x -=（）A ．1(0)21x x >- B ．1(0)21x x ≠- C ．21()x x R -∈ D ．21(0)x x -> 答案:A 思路分析:考点剖析:本题主要考查求反函数的解析式.解题思路:由原函数的解析式解出x （即用y 表示x ），即可得反函数的解析式. 解答过程:由121yx =+，得121y x =-.因此11()(0)21x f x x -=>-.故选A. 规律总结:对于求反函数的解析式，关键是把原函数的解析式中的x 当作未知数求解. 需要特别注意要求反函数的定义域也就是求原函数的值域.6.已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（）A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+ 答案:C 思路分析:考点剖析:本题主要考查等比数列的判断方法与求和公式. 解题思路:先判断数列为等比数列，再用求和公式求解. 解答过程:由于113n n a a +=-，从而知数列{}n a 是首项14a =，公比13q =-的等比数列，因此前101014[1()]33(13)113---=++.故选C. 规律总结:根据数列的递推关系，若为特殊数列直接代公式求解，若为其它数列再选用其它方法.7.84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（）A ．56B ．84C ．112D ．168 答案:D 思路分析:考点解析:本题主要考查二项式定理解题思路:运用求二项式定理展开式系数的方法求解. 解答过程:8(1)x +展开式中2x 的系数是2828C =，4(1)y +展开式中2y 的系数是246C =，所以84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是286168⨯=.故选D.规律总结:解决二项式定理系数问题常用通项公式k n kkna b C-求解，容易计算出错或用错公式.8.椭圆C:22143x y +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（）A ．13[,]24B ．33[,]84C ．1[,1]2D ．3[,1]4答案:B 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与椭圆的位置关系、数形结合的思想. 解题思路:先设出点P 的坐标，然后得直线2PA 与直线1PA 斜率的积为常数求解.解答过程:设P 点坐标为00(,)x y ，则2200143x y +=，2002pA y k x =-，1002pA y k x =+，于是122200222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---，故12314PA PA k k =-.2[2,1]PA k ∈--133[,]84PA k∴=.故选B. 规律总结:设出点P 的坐标，再由斜率公式是求解此类问题的常用方法.容易分析计算出错.9.若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是（） A ．[1,0]- B ．[1,)-+∞ C ．[0,3] D ．[3,)+∞ 答案:D 思路分析:考点剖析:本题主要考查导数判断函数的单调性、恒成立问题，考查化归转化思想. 解题思路:先将问题转化为不等式恒成立问题，再转化为求函数最值问题. 解答过程:由条件知21()20f x x a x =+-≥在1(,)2+∞上恒成立，212a xx≥-在1(,)2+∞上恒成立. 212y x x =-在1(,)2+∞上为减函数，max 211232()2y <-⨯=，3a ∴≥，故选D. 规律总结:运用函数的导数的应用将含有参数的函数的单调性转化为不等式恒成立问题是解决此类问题的常用方法.10.已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（）A ．23B．3D ．13答案:A 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与平面所成的角解题思路:先证明线面垂直，找出线面角的平面角，再求三角形的内角. 解答过程:如下图，连接AC 交BD 于点O ，连接1C O ,过C 作1CH C O ⊥于H11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⋂=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11CH BDCH C O BD C O O ⊥⎫⎪⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1CH C BD ⇒⊥平面HDC ∴∠为CD 与平面1BDC设122AA AB ==，则2AC OC ==，1C O ====由等面积法，得11C O CH OC CC ⋅=⋅，即222CH =⋅，23CH ∴=，223sin 13HC HDC DC ∴∠===.故选A.规律总结:求线面角的常用方法是先找出线面角的平面角再转化为求三角形的内角，易出现平面角找不对而出错.11.已知抛物线C:28y x =与点M （-2,2），过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B两点，若0MA MB ∙=，则k=（）A ．12B．2C．2 答案:D 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与抛物线的位置关系与向量知识的交汇.解题思路:先设出A 、B 两点的坐标，再将0MA MB ∙=化成只含k 的等式求解. 解答过程:由题意知抛物线C 的焦点坐标为，则直线AB 的方程为(2)y k x =-，其代入28y x =得22224(2)40k x k x k -++=设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21224(2)k x x k ++=，124x x =. ①由1122(2)(2)y k x y k x =-⎧⎨=-⎩有1212212()4[122(12)4]y y k x x k y y k x x x x +=+-⎧⎨⋅=-++⎩②0MA MB ⋅=∴ 1122(2,2)(2,2)0x y x y +-∙+-=所以:121212122()2()80x x x x y y y y +++-++= ③ 由①②③解得k=2，故选D规律总结:解这类问题通常用一种设而不求（本题设出点A 、B 的坐标而不必求出）的方法求解，易选错方法与增加计算量.12.已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中错误的是（）A ．()y f x =的图像关于点(,0)π中心对称B ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称C ．()f x．()f x 既是奇函数，又是周期函数答案:C 思路分析:考点剖析:本题主要考查三角恒等变换与三角函数的图象和性质.解题思路:本题首先用同角三角函数的基本关系式中的平方关系，通过换元，再用导数求最值.解答过程:由题意知22()2cos sin 2(1sin )sin f x x x x x ==-令sin ,[1,1],t x t =∈- 则23()2(1)22g t t t t t =-=-令2`()260g t t =-=，得t =当1t =±时，函数值为0;(1)0g ±=，(g =，g =所以max()g x =，即()f x.故选C.规律总结:解本类选择题通过观察从容易判断的选项入手，恰好选项C 求最值是一种非常常见需要熟练掌握的，易看错求错，换成正确答案;对称性，奇偶性，最值判断方法没有掌握导致出错.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分. 13.已知α是第三象限角，1sin 3α=-，则cot α=答案:思路分析:考点剖析:本题主要考查三角恒等变换化简求值. 解题思路:先求出cos α，再用公式cos cot sin ααα=求解.解答过程:由题意知cos 3α===-，故c o sc o t 22s i nααα==规律总结:求解三角三函数的问题须要牢记公式并灵活运用，易忽略象限角致符号出错. 14. 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作答）答案:480 思路分析:考点剖析:本题主要考查排列问题;解题思路:先将排除甲、乙外的4人，再排甲、乙. 解答过程:先排除甲、乙外的4人，方法有44A 再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 的排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A =480规律总结:不相邻问题常用的解决方法就是插空法. D.若直15.记不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，所表示的平面区域为线(1)y a x =+与D 有公共点，则a 的取值范围是答案:1[,4]2思路分析:考点剖析:本题主要考查线性规划问题.解题思路:先作出平面区域D ，再由直线(1)y a x =+的过定点求解. 解答过程:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.∵直线(1)y a x =+过定点(1,0)C -，由图并结合题意可知12BCk =，4AC k =，若直线(1)y a x =+与平面区域D 有公共点，则142a ≤≤. 规律总结:解决此类问题常用的方法是准确作图运用数形结合的思想方法求解. 16.已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，32OK =，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为060，则球O 的表面积等于答案:16π思路分析:考点剖析:本题主要考查空间几何体、空间想象能力与分析问题的能力. 解题思路:先由二面角求出球的半径，再用表面积公式求解.解答过程:如右图，没MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，则OE MN ⊥，KE MN ⊥ 结合题意可知60OEK ∠=︒，又MN=R ，OMN ∴∆为正三角形，OE R∴=又OK EK ⊥，3sin 602OE R ∴=⋅︒=2R ∴=.2416S R ππ∴== 规律总结:解决球类问题常运用弦的中点与球（圆）心的连线将空间问题转化为平面问题.三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知232S a =，且124,,S S S 成等比数列，求{}na 的通项公式.答案:3n a =或21n a n =-思路分析:考点剖析:本题主要考查等差数列的通项公式与前n 项和公式及等比中项的概念. 解题思路:（1）先求出2a 与公差，（2）求通项公式.解答过程:设数列{}na 的公差为d .由232S a =得2223a a =，故20a =或23a =. 由124,,S S S 成等比数列得2214S S S =⋅.又12S a d =-，222S a d =-，4242S a d =+. 故2222(2)()(42)a d a d a d -=-+.若20a =，则222d d =-，所以0d =，此时0n S =，不合题意;若23a =，则2(6)(3)(122)d d d-=-+，解得0d =或2d =.因此{}na 的通项公式为3n a =或21na n =-规律总结:关于等差、等比数列的问题，通常的解法是灵活运用通项公式与求和公式. 18.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（Ⅰ）求B;（Ⅱ）若sin sin A C =，求C.答案:（Ⅰ）120B =︒;（Ⅱ）15C =︒或45C =︒ 思路分析:考点剖析:本题主要考查解斜三角形.解题思路:（1）先用佘弦定理求得角B ，（2）用c o s ()c o s ()2s i n s i n A C A C A C-=++求解.解答过程:（Ⅰ）因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a c b ac +-=-由佘弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，因此120B =︒ （Ⅱ）由（Ⅰ）知60A C +=︒，所以cos()cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos()2sin sin 112242A C A C A CA C A C A C A C A C -=+=-+=++=+⨯=故30A C -=︒或30A C -=-︒，因此15C =︒或45C =︒规律总结:通常解正佘弦定理的运用问题要根据已知条件的特点恰当选用定理求解，若与三角函数综合还须要恰当凑角灵活运用公式，三角形求角通常还要用内角和定理.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，090ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形.（Ⅰ）证明:PB CD ⊥; （Ⅱ）求二面角A-PD-C 的大小. 答案:（Ⅰ）详见解答过程;（Ⅱ）arccos3π-思路分析:考点剖析:本题主要考查空间直线与直线垂直的证明和求二面角.解题思路:（1）运用三垂线定理证明空间线线垂直，（2）找出二面角的平面角转化为解三角形或用空间向量求解.解答过程:（Ⅰ）取BC 的中点为E ，连结DE ，则ABED 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O.连结OA ，OB ，OD ，OE.由PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形知PA=PB=PD.所以OA=OB=OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE BD ⊥，从而PB OE ⊥.因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以//OE CD .因此PB CD ⊥（Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）知PB CD ⊥，PO CD ⊥，PB PO P ⋂=.故CD ⊥平面PBD.又PD PBD ⊂平面，所以CD PD ⊥. 取PD 的中点为F ，PC 的中点G ，连结FG. 则FG//CD ，FG ⊥PD连结AF ，由APD ∆为等边三角形可得AF PD ⊥. 所以AFG ∠为二面角A-PD-C 的平面角. 连结AG ，EG ，则EG//PB. 又PB AE ⊥，所以EG AE ⊥. 设AB=2，则AE=112EG PB == 故3AG ==在AFG ∆中，12FG CD ==AF ，3AG =.所以222cos 2FG AF AG AFG FG AF +-∠==⨯⨯.因此二面角A-PD-C的大小为π-.解法二:由（Ⅰ）知，OE ，OB ，OP 两两垂直.以O 为坐标原点，OE 的方向为z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 设||2AB =，则(A，(0,D，C，PPC =，(0,PD =，(2,0,AP =，(2,AD =.设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z=，则1(,,)0n PC x y z ⋅=⋅=，1(,,)(0,0n PD x y z ⋅=⋅=.可得20x y z --=，0y z +=. 取1y =-，得0,1x z ==，故1(0,1,1)n =-设平面PAD 的法向量为2(,,)n m p q，则2(,,)0n AP m p q ⋅=⋅=，2(,,)0n AD m p q ⋅=⋅=，可得0m q +=，0m q -=.取1m =，得1p =，1q =-，故2(1,1,1)n =-.于是121212cos ,3||||n n n n n n ⋅<>==-⋅由于12,n n <>等于二面角A-PD-C 的平面角，所以二面角A-PD-C 的大小为a r c c π-.规律总结:解决立体几何问题通常有几何法与向量法.用几何法求解时，考查空间想象能力运用化归转化的数学思想方法，有时需要灵活运用线线、线面、面面位置关系的判定定理与性质定理，有时需要把空间问题转化为平面几何问题求解;运用向量法关键是找三条共点两两垂直的直线建立坐标系并运用好法向量与相关公式.20.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判.（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率;（Ⅱ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望. 答案:（Ⅰ）14（Ⅱ）98思路分析:考点剖析:本题主要考查独立性事件的概率与随机变量的数学期望.解题思路:（1）运用独立性事件的概率公式求得第4局甲当裁判的概率，（2）分别求出各个随机变量对应的概率再运用数学期望的公式求解.解答过程:（Ⅰ）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜“，2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负“.A 表示事件“第4局甲当裁判“. 则A=12A A ⋅.12121()()()()4P A P A A P A P A =⋅=⋅=（Ⅱ）X 的可能值为0，1，2.记3A 表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙“1B 表示事件“第1局结果为乙和丙”.2B 表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”.3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.则1231231(0)()()()()8P X P B B A P B P B P A ==⋅⋅=⋅⋅=13131(2)()()()4P X P B B P B P B ==⋅=⋅=115(1)1(0)(2)1848P X P X P X ==-=-==--=.90(0)1(1)2(2)8EX P X P X P X =⋅=+⋅=+⋅==规律总结:解决概率问题时，通常要认真读题弄清独立事件与互斥事件正确求出概率，求解数学期望时可用随机变量的分布列的性质检验计算结果并掌握快速准确计算的方法.21.（本小题满分12分）已知双曲线C:22221x y a b -=（a>0,b>0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为3，直线y=2与C（Ⅰ）求a,b;（Ⅱ）设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且11||||AF BF =，证明:2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.答案:（Ⅰ）1,a b ==（Ⅱ）详见解答过程思路分析:考点剖析:本题主要考查双曲线的几何性质和直线与双曲线的位置关系.解题思路:（1）由离心率即可得a 和b 的关系，（2）再由直线y=2与C 的两个交点间的（Ⅰ），（3）由直线l 与C 的方程联立消y 后运用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式求解.解答过程:（Ⅰ）由题设知3ca=，即2229a b a+=，故228b a =.所以C 的方程为22288x y a -=.将2y =代入上式，求得x =由题设知=21a =.所以1,a b ==（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(3,0)F -，2(3,0)F ，C 的方程为2288x y -= ①由题意可设l 的方程为(3)y k x =-，||k <，代入①并化简得2222(8)6980k x k x k --++=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11x ≤，21x ≥，212268k x x k +=-，2122988k x x k +⋅=-.于是，11||(31)AF x ==-+.12||31BF x ===+.由12||||AF BF =得12(31)31x x -+=+，即1223x x +=-.226283k k =--，解得245k =，从而12199x x ⋅=-由于21||13AF x ===-.22||31BF x ===-.故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=.221212||||3()9116AF BF x x x x ⋅=+--=因而222||||||AF BF AB ⋅=，所以2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.规律总结:解决圆锥曲线类的解答题时，需要熟练掌握圆锥曲线的几何性质、定义、标准方程，对于直线与圆锥曲线问题通常的解决方法是联立直线与双曲线的方程然后消元运用一元二次方程根与系数的关系及其它解析几何的常见的公式（如两点间的距离公式，斜率公式…）求解.22.（本小题满分12分）已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+.（Ⅰ）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值; （Ⅱ）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++，证明:21ln 24n n a a n-+>. 答案:（Ⅰ）12;（Ⅱ）详见解答过程思路分析:考点剖析:本题考察函数与数列的综合应用，是一创新性题目，主要考察了学生对问题的分析、推理、解决;掌握函数、数列的性质，具有良好的分析、逻辑推理能力是解决本题的前提.解题思路:（1）运用导数即可求得λ的最小值，（2）运用所要证明的不等式与问题（Ⅰ）中结论的联系即可求解.解答过程:（Ⅰ）由已知(0)0f =，2'2(12)()(1)x x f x x λλ--=+，'(0)0f =.若12λ<，则当02(12)x λ<<-时，'()0f x >，所以()0f x >. 若12λ≥，则当0x >时，'()0f x <，所以当0x >时，()0f x <. 综上，λ的最小值是12.（Ⅱ）证明:令12λ=.由（Ⅰ）知，当0x >时，()0f x <，即(2)ln(1)22x x x x+>++.取1x k =，则211ln()2(1)k k k k k++>+. 于是212111()422(1)n n n k n a a n k k -=-+=++∑21212(1)n k n k k k -=+=+∑211lnn k nk k -=+>∑ln 2ln n n =- ln 2=.所以21ln 24n n a a n-+>. 规律总结:函数与数列综合题考在解答案题中考查，通过构造、推理、分类、放缩等方法，融知识、能力与素质与一体，综合问题对分析问题，解决问题能力具有很高要求.。

2013届人教A版理科数学课时试题及解析(57)排列、组合A

作 (五十七 )A [第 57摆列、合][： 35 分分：80分]基身1． a∈N*，且 a<20 ， (27－ a)(28－ a)⋯ (34－ a)等于 ()827－ a78A ． A 27－aB ．A 34－a C． A 34－a D． A34－a2．从 20 名男同学， 10 名女同学中任 3 名参加体能，到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的不一样法的种数()A．1 260B．4 060C．1 140D．2 8003．某位有 7 个在一同的位，有 3 不一样型的需停放，假如要求节余的 4 个位在一同，不一样的停放方法的种数()A．16B． 18 C． 24 D ．324．一天有文、数学、英、物理、化学、生物、体育七，体育不在第一上，数学不在第六、七上，天表的不一样排法种数()7525A．A7－A5B．A4A5C．A 51A 61A 55D． A 66＋ A 41A 51A 55能力提高5．用 1、2、3、4、 5、6 成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、 5 有且只有两个相，不一样的排法种数()A．18 B．108C． 216D． 4326．从 10 名大学生中 3 个人担当村助理，甲、乙起码有 1 人入，而丙没有入的不一样法的种数()A．85B． 56 C． 49 D ．287．用 0到910个数字，能够成没有重复数字的三位偶数的个数()A ． 324 B． 328C． 360D． 6488．研究性学小有 4 名同学要在同一天上、下午到室做A，B， C，D， E 五个操作，每个同学上、下午各做一个，且不重复，若上午不可以做 D ，下午不可以做 E ，不一样的安排方式共有()A．144 种B．192 种C．216 种D．264 种9． 2010 年上海世博会某国将展出 5 件作品，此中不一样法作品 2 件、不一样画作品 2 件、志性建筑 1 件，在展台大将 5 件作品排成一排，要求 2 件法作品必相， 2 件画作品不可以相，国展出5件作品不一样的方案有________种(用数字作答) ．10．从 5 名男医生、 4 名女医生中 3 名医生成一个医小分，要求男、女医生都有，不一样的方案共有 ________种 (数字回答 )．11．由 0,1,2，⋯， 9 十个数字成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的等于 8 的个数 ________个．12． (13 分)有六名同学按以下方法和要求分，各有不一样的分方法多少种？(1)分红三个，各人数分1、 2、 3；(2)分红三个去参加三不一样的，各人数分1、 2、 3；(3)分红三个，各人数分2、 2、 2；(4)分红三个去参加三不一样的，各人数分2、 2、 2；(5)分红四个，各人数分1,1,2,2；(6)分红四个去参加四不一样的活，各人数分1、 1、 2、 2.难点打破13． (12分 )从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的北京奥运冠军中选出10 名作“夺冠之路”的励志报告．(1)若每个大项中起码选派两人，则名额分派有几种状况？(2)若将 10 名冠军分派到11 个院校中的9 个院校作报告，每个院校起码一名冠军，则有多少种不一样的分派方法？作 (五十七 )A【基身】1． D[ 分析 ] A 348－a＝ (27－ a)(28－ a)⋯ (34－a)．2．D[分析 ]基本领件数是C303，此中不切合要求的基本领件个数是C203＋ C103，故所求的种数 C3－ (C3＋ C3＝ 2 800.3020103 的全摆列，即 4× A 33＝ 24.3． C[分析 ]四个位在一同有四种可能，再乘以4．D[分析]若数学在第一，有排法 A 66种；若数学不在第一，数学排法有 A11A5115 4，体育排法有 A5，其他排法有5，依据乘法原理此的排法是 A 4A 5A5.依据加法原理，的排法种数 A 66＋A 41A51 A 55.【能力提高】C32A 22种方法；第二步，将5． D[分析 ]第一步，先将1、3、 5 分红两，共2、4、6排成一排，共 A 33种方法；第三步：将两奇数插入三个偶数形成的四个空位，共 A 42种方法．由乘法原理，共有 C32A 22A 33A 42＝ 3× 2× 6× 12＝ 432 种排法．6． C[分析 ]方法1：由条件可分两：一是甲、乙两人只有一个入，法有C21·C72＝ 42；另一是甲、乙都入，法有C22·C71＝ 7.因此共有 42＋7＝ 49 种法．故C.方法 2：甲、乙均不入的有C3种，数是 C3，故甲、乙起码一人入的方法数是C3－C73＝799 84－ 35＝ 49.A 92＝ 9× 8＝ 72 个； 0 不排在个位，有 A 41·A81·A 81＝7．B[分析]当 0 排在个位，有4× 8× 8＝ 256 个．由分数原理，得切合意的偶数共有72＋ 256＝ 328 个．故 B.8．D[分析 ]依据意得，上午要做的是A，B，C，E，下午要做的是 A，B，C，D ，且上午做了A，B，C 的同学下午不再做同样的．先安排上午，从 4 位同学中任一人做 E ，其他三人分做A， B， C ，有 C41·A 33＝ 24 种安排方式．再安排下午，分两：①上午就 E 的同学下午 D ，另三位同学A， B，C 位摆列，有 2 种方法，不一样的安排方式有N1＝ 1× 2＝ 2 种；②上午 E 的同学下午A，B，C 之一，此外三位从剩下的两和 D 一共三中，但必与上午的目开，有 3种方法，不一样的安排方式有N2＝C31·3＝ 9 种．于是，不一样的安排方式共有N＝ 24× (2＋9) ＝ 264 种．故 D.9．24[分析 ]把需要相的两个元素看做一个整体，而后与不相的元素外的元素行摆列，在隔出的空位上安排需要不相的元素.2 件法作做看作一个整体，方法数是 A 22＝2，把个整体与志性建筑作品摆列，有A22种摆列方法，此中分开了三个空位，在此中插入 2 件画作品，有方法数 A 32＝ 6.依据乘法原理，共有方法数2×2× 6＝ 24(种) ．10．70[分析 ] 分 1 名男医生 2 名女医生、 2 名男医生 1 名女医生两种状况，或许用接法．直接法： C51C42＋C52C41＝ 70.接法： C93－ C53－ C43＝ 70.2211．210[分析 ] 假如个位数和百位数是0,8，方法数是 A2A 8＝ 112；假如个位数和百位数是 1,9，因为首位不可以排 0，方法数是 A 22C71C71＝ 98.故数是 112＋ 98＝ 210.12． [解答123] (1) 即 C6C5C3＝ 60.(2)即 C61C52 C33A 33＝ 60× 6＝ 360.222C6C4C2＝15.(3)即3A 3222(4)即 C6C4 C2＝ 90.1122C6C5C4C2(5)即 A 22·A22＝ 45.1122(6)C 6C5C4C2＝ 180.【点打破】13． [解答 ] (1) 名分派只与人数相关，与不一样的人没关．每大中派两人，节余两个名，C41＝ 4 种，当节余两人出自同一大，名分派状况有当节余两人出自不一样大，名分派状况有C2＝ 6 种．4∴有 C14＋ C24＝10 种．929(2)从 11 个院校中选9 个，再从 10 个冠军中任取 2 个组合，再进行摆列，有 C11C10A 9＝898 128 000.。

2013届人教A版理科数学课时试题及解析(1)集合及其运算

课时作业 (一 ) [第 1 讲会合及其运算][时间：45 分钟分值： 100 分]基础热身1．已知会合M＝{0,1,2,3,4} ，N＝ {1,3,5} ， P＝M∩ N，则 P 的子集共有 ( A．2个B．4 个C．6 个D．8 个2．已知全集是实数集R ，M＝{ x|x≤1}，N＝{1,2,3,4}，则(?R M)∩N等于(A ． {4}B ．{3,4}C．{2,3,4}D． {1,2,3,4}3．已知会合A＝ { y|y＝ lgx，x>1} ，B＝{ x|0<|x|≤ 2，x∈Z } ，则以下结论正确的选项是A ． A∩ B＝ { －2，－ 1}B． A∪ B＝ { x|x<0}C．A∪ B＝ { x|x≥ 0}D． A∩ B＝ {1,2}))()4．对于平面上的点集上的凸集，给出平面上Ω，假如连结Ω 中随意两点的线段必然包括于4 个点集的图形如图 K1 － 1(暗影地区及其界限Ω，则称Ω为平面)，此中为凸集的是()图 K1－1A ．①③B．②③C．③④ D ．①④能力提高5．已知会合M＝ { － 4，－ 3，－ 2，－ 1，0,1,4} ，N＝ { － 3，－ 2，－ 1,0,1,2,3} ，且 M，N 都是全集I 的子集，则图K1 － 2 中暗影部分表示的会合为()图 K1－2A ． { － 1，－ 2，－ 3}B ． {0,1,2,3}C．{2,3}D． {0 ，－ 1，－ 2，－ 3}6．若全集 U＝ {1,2,3,4,5,6} ， M＝ {2,3} ，N＝{1,4} ，则会合 {5,6} 等于 ()A．M∪ N B． M∩ NC．( ?U M)∪ (?U N) D ． (?U M)∩( ?U N)7．已知会合A＝ { x|－2≤ x≤ 7} ，B＝ { x|m＋1<x<2m－ 1} 且 B≠ ?，若 A∪ B＝ A，则 m 的取值范围是 ()A ．－ 3≤ m≤ 4B ．－ 3<m<4C．2< m<4D． 2<m≤ 48．设全集 U ＝ {( x，y)|x∈R，y∈R} ，A＝ {( x，y)|2x－ y＋ m>0} ，B＝ {( x，y)|x＋ y－ n≤0} ，那么点 P(2,3)∈A∩ (?U B)的充要条件是 ()A ． m>－1 且 n<5B ．m<－ 1 且 n<5C．m>－1 且 n>5 D ．m<－ 1 且 n>512，则A∩B＝() 9．设会合 A＝{ x|y＝ ln(x－ 3)} ， B＝ xy＝－ 4＋5x－ xA ． ?B． (3,4)C ．( －2,1)D ． (4，＋∞ )10．设会合 A ＝ { －1,1,3} ，B ＝ { a ＋ 2，a 2＋ 4} ，A ∩ B ＝ {3} ，则实数 a 的值为 ________． 11．若全集 U ＝ {0,1,2,4,16} ，会合 A ＝ {0,2 ，a} ，?U A ＝ {1 ， a 2} ，则 a 的值为 ________． 12．设数集 M ＝ x m ≤ x ≤ m ＋3，N ＝ x n － 1≤ x ≤ n ，且 M 、N 都是会合 { x|0≤x ≤ 1}4 3的子集，假如把 b － a 叫做会合 { x|a ≤ x ≤ b} 的“长度”，那么会合 M ∩N 的“长度”的最小值是 ________．13．已知会合 A ＝ { x|1≤log 2x ≤ 2} ， B ＝ [a ， b] ，若 A? B ，则实数 a － b 的取值范围是________．已知会合 A ＝ { x||x － 1|<2} ， B ＝ { x|x 2＋ ax － 6<0} ， C ＝ { x|x 2－ 2x －15<0} ． 14． (10 分) (1)若 A ∪ B ＝ B ，求 a 的取值范围；(2)能否存在 a 的值使得 A ∪ B ＝ B ∩C ？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明原因．2－ 1 的定义域为会合A ，函数 g(x)＝1－ a 2－ 2ax － x 2的15．(13 分 )设函数 f(x)＝ lg x ＋ 1定义域为会合 B.(1)求证：函数 f(x)的图象对于原点成中心对称；(2)a ≥ 2 是 A ∩ B ＝?的什么条件 (充足不用要条件、必需不充足条件、充要条件、既不充足也不用要条件 )？并证明你的结论．难点打破16． (12 分)会合 A ＝{ x|－ 2≤ x ≤5} ， B ＝ { x|m ＋ 1≤ x ≤ 2m － 1} ． (1)若 B? A ，务实数 m 的取值范围；(2)当 x ∈ Z 时，求 A 的非空真子集的个数；(3)当 x ∈ R 时，若 A ∩ B ＝ ?，务实数 m 的取值范围．作业手册课时作业 ( 一)【基础热身】1． B [ 分析 ] 由于 M＝ {0,1,2,3,4} ， N＝ {1,3,5} ，因此 P＝ M∩ N＝ {1,3} ，因此会合 P 的子集共有 ?， {1} ， {3} ， {1,3}4 个．2． C[ 分析 ] 由于 ?R M＝ { x|x>1} ，因此 (?R M)∩ N＝ {2,3,4} ．3． D[ 分析 ] A＝ { y|y>0} ， B＝ { － 1，－ 2,1,2} ，故 A∩ B＝{1,2} ．4． B[ 分析 ] 只有②③两个图形内随意两点所连线段仍在图形内．【能力提高】5． C [ 分析 ] 依据补集和交集的运算，把N 中属于 M 的元素去掉即可．6． D[ 分析 ] 方法一：∵ M∪ N＝ {1,2,3,4} ，∴(?U M)∩ (?U N)＝ ?U(M∪ N)＝ {5,6} ．应选 D.方法二：∵ ?U M＝ {1,4,5,6} ，?U N＝ {2,3,5,6} ，∴(?U M)∩ (?U N)＝ {5,6} ．应选 D.7． D [分析 ] ∵A∪ B＝ A，∴ B? A，又 B≠ ?，m＋ 1≥－ 2，∴ 2m－ 1≤ 7，解得 2＜ m≤ 4.m＋1<2m－ 1，8． A [ 分析 ] ∵P∈ A，∴ m>－ 1，又 ?U B＝{( x， y)|x＋ y－ n>0} ，∵ P∈ (?U B)，∴ n<5 ，应选 A.9． B [ 分析 ] 会合 A， B 均是函数的定义域，求出定义域后计算即可．22，即得会合 A＝ (3，＋∞ ) ，会合 B 中的 x 知足－ 4＋ 5x－x >0，即 x － 5x＋4<0即会合 B＝ (1,4)，故 A∩ B＝ (3,4) ．应选 B.10． 1[ 分析 ] ∵ A＝{ － 1,1,3} ，B＝ { a＋ 2， a2＋ 4} ， A∩ B＝ {3} ，∴ a＋ 2＝ 3＝3，又∵ a2＋ 4＝ 3 不切合题意，无解．∴ a＝ 1，经查验，切合题意．11． 4[分析 ] a 只可能等于 4.1<x<4 ，或 a2＋ 413112.12[ 分析 ] 由题意，知会合M 的“长度”是4，会合 N 的“长度”是3，由会合 M、N 是 { x|0≤ x≤ 1} 的子集，知当且仅当M∪ N＝ { x|0≤x≤ 1} 时，会合 M∩N 的“长度”最小，311最小值是4＋3－ 1＝12.13．(－∞，－ 2][ 分析 ] 会合 A 是不等式 1≤ log2x≤ 2 的解集，求出这个会合，依据集合之间的关系得a，b知足的条件，即可求出 a－ b 的取值范围．由题意，会合A＝ [2,4] ，因为 A? B，故 a≤ 2， b≥ 4，故 a－ b≤ 2－ 4＝－ 2，即 a－b 的取值范围是(－∞，－ 2]．14． [解答 ] A＝ { x|－ 1< x<3} ， C＝ { x|－ 3<x<5} ．f － 1 ＝－ 1 2－ a－ 6≤0，(1)由A∪B＝B知，A? B，令f(x)＝x2＋ax－6，则f 3＝32＋3a－6≤0，解得－ 5≤ a≤－ 1，即 a 的取值范围是 [－ 5，－ 1]．(2)假定存在 a 的值使得A∪ B＝ B∩C，由 A∪ B＝ B∩C? B 知 A? B，由 A∪B＝B∩ C? C 知 B? C，于是 A? B? C，由 (1)知若 A? B，则 a∈ [－ 5，－ 1]，当 B? C 时，由＝a2＋24>0，知B不行能是空集，f － 3 ＝－ 3 2－3a－ 6≥ 0，f 5 ＝52＋5a－ 6≥0，于是－3<－a<5，2解得 a∈ －19， 1 ，519综合 a∈ [－ 5，－ 1]知存在 a∈ －5，－ 1 知足条件．15． [解答 ] (1) 证明： A＝ x2－1>0，x＋ 1由2－1>0?x－ 1x＋1<0 ? (x＋ 1)(x－ 1)<0，x＋ 1∴－ 1<x<1，∴ A＝ (－ 1,1)，故 f(x)的定义域对于原点对称．1－ x 1＋ x 1－ x 又 f(x) ＝lg x＋1，则 f(－ x)＝ lg－x＋1＝ lg x＋1－1＝－ lg1－x＝－ f(x)，x＋1∴ f(x)是奇函数．即函数 f(x)的图象对于原点成中心对称．(2)B＝ { x|x2＋2ax－ 1＋ a2≤0} ，得－ 1－ a≤ x≤ 1－ a，即 B＝ [ － 1－ a,1－a]．若 A∩ B＝ ?，则只要要－ 1－ a≥1 或许 1－ a≤－ 1，解得 a≤－ 2 或许 a≥ 2，故 A∩ B＝ ?等价于 a≤－ 2 或许 a≥ 2，而 { a|a≥a|a≤－ 2 或 a≥ 2} ．因此， a≥ 2 是 A∩ B＝?的充足不用要条件．【难点打破】16． [解答 ] (1) ①当 m＋ 1>2m－1，即 m<2 时， B＝ ?知足 B? A.②当 m＋ 1≤2m－1，即 m≥ 2 时，要使 B? A 建立，m＋ 1≥－ 2，需可得 2≤m≤3.2m－ 1≤5，综上， m 的取值范围是m≤3.(2)当 x∈Z时， A＝ { － 2，－ 1,0,1,2,3,4,5} ，8(3)由于 x∈R，且 A＝ { x|－ 2≤ x≤ 5} ， B＝{ x|m＋ 1≤ x≤2m－ 1} ，又 A∩ B＝ ?，则①若 B＝ ?，即 m＋ 1>2m－ 1，得 m<2，知足条件．②若 B≠ ?，则要知足的条件是m＋ 1≤ 2m－ 1，m＋1≤ 2m－ 1，或m＋ 1>52m－ 1<－ 2，解得 m>4.综上， m 的取值范围是m<2 或 m>4.。

2013新课标全国2卷高考理科数学试题、解析与分析

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学 (理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{}R x x x M ∈<-=),4)1(|2，{}3,2,1,0,1-=N ，则M N = （）（A ）｛0,1，2｝（B ）｛－1,0，1,2｝（C ）｛－1,0，2,3｝（D ）｛0,1，2,3｝【答案】A【解析】因为{}31|<<-=x x M ，{}3,2,1,0,1-=N ,所以M N {}2,1,0=，选A.2、设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（）（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -1【答案】A 【解析】i i i i i i i z +-=+-+=-=1)1)(1()1(212，所以选A. 3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则1a ＝（）（A ） 31（B ） 31- （C ）91 （D ）91- 【答案】C4、已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α， l ⊄β，则（）（A ） α∥β且l ∥α （B ）α⊥β且l ⊥β （C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l 【答案】D5、已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数是5，则a ＝（）（A ）－4 （B ）－3 （C ）－2 （D ）－1 【答案】D6、执行右面的程序框图，如果输入的10=N ，那么输出的S =（）【答案】B【解析】第一次循环，1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=；第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环，1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯，依此类推，选B.7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.8、设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（）（A ） a b c >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）C b a >>【答案】D9、已知a ＞0， ,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ，若23z x y =-＋y 的最小值是1，则a ＝（）（A ）41 （B ）21 （C ）1 （D ）210、已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（）（A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确。

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课时作业(七十二)[第72讲优选法与试验设计初步]
[时间：35分钟分值：80分]
基础热身
1．下列函数中，在[－1,4]上不是单峰函数的是________．
①y＝2|x|②y＝x2－2x＋3
③y＝sin x④y＝cos x
2．有一优选试验，试验的因素范围是[10,60]，在试验中第一个试点为25，则第二个试点最好为________．
3．若F0＝1，F1＝1，且F n＝F n－1＋F n－2(n≥2)，则F8＝________.
4．下列结论中正确的是________．
①运用0.618法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点
②运用分数法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点
③运用对分法和分数法在确定下一个试点时，都需要比较前两个试点的试验结果
④运用盲人爬山法寻找最佳点，在试验范围内取不同的点作起点，其效果快慢差别不大
能力提升
实用文档
5．以下关于优选法的说法正确的是________．
①对分法适用于具有明确的标准或要求的试验；
②盲人爬山法适用于因素范围不允许大幅度调整的试验；
③分批试验法适用于每个试验的代价不大，又有足够的设备，加快试验进度的试验．
6．在配置一定量的某种清洗液时，需要加入某种溶剂，经验表明，加入量大于5 000 ml或小于3 000 ml时，效果肯定不好，用0.618法来确定这种溶剂的最佳加入量，则前两次试验加入的量分别为________．
7．阿托品是一种抗胆碱药，它的脂化工艺主要为“温度与时间”的双因素，那么为了提高产量，降低成本，对于下列4种优选方法：①纵横对折法；②从好点出发法；
③平行线法；④对分法．不宜采用的是________．
8．在下面优选法中，每次(批)试验后都能将存优范围缩小为相同比例的是________．
①0.618法②对分法
③均分分批试验法④比例分割分批试验法
9．在目标函数为单峰的情形，利用分数法进行了6次试验，就能保证从n个试点中找出最佳点，那么n的最大值为________．
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10．在纵横对折法处理双因素优选问题中，分别针对因素Ⅰ和因素Ⅱ各进行了一次优选后，则新的存优范围的面积为原存优范围面积的________．
11．一个试验要求的温度在69～90℃，用分数法安排试验进行优选，则第一个试点安排在________．
12．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 mL到110 mL之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第一试点是差点，第二试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量可以是________．
13．用0.618法确定最佳点时，试验区间为[2,4]，若第一个试点x1处的结果比第二个试点x2处的结果好，且x1>x2，则存优区间是________．
14．(10分)如图K72－1，在每批做2个试验的比例分割分批试验法中，将试验范围7等分，第1批试验先安排在左起第3,4两个点上，若第3个点为好点，则第2批试验应安排在哪两个点上？
15．(13分)某化工厂准备对一化工新产品进行技术改良，现决定优选加工温度，实用文档
试验范围定为60～80℃，精确度要求±1℃，现在技术员用分数法进行优选．
(1)如何安排试验？
(2)若最佳点为69℃，请列出各试验点的数值；
(3)要通过多少次试验可以找出最佳点？
难点突破
16．(12分)某炼油厂试制磺酸钡，其原料磺酸是磺化油经乙醇水溶液萃取出来的．试验目的是选择乙醇水溶液的合适浓度和用量，使分离出来的白油最多．根据经验，乙醇水溶液浓度变化范围为50%～90%(体积百分比)，用量变化范围为30%～70%(重量百分比)，精度要求为5%.试用纵横对折法对工艺条件进行优选．
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课时作业(七十二)
【基础热身】
1．④[解析] 函数y＝cos x在[－1,4]上既有最大值，也有最小值，故不是单峰函数．
2．45 [解析] 在安排优选试验时最好使两个试点关于因素范围的中点对称，则第二个试点最好为10＋60－25＝45.
3．34 [解析] ∵F0＝1，F1＝1，且F n＝F n－1＋F n－2，
∴F2＝2，F3＝3，F4＝5，F5＝8，F6＝13，F7＝21，F8＝34.
4．②[解析] 运用0.618法寻找最佳点时，随着试验次数的增加，最佳点被限定在越来越小的范围内，故①错；按照分数法安排试验，通过n次试验保证能从(F n＋1－1)个试点中找出最佳点，故②正确；运用对分法在确定下一个试点时，只需要比较试验结果与已知标准(或要求)，故③错；盲人爬山法的效果快慢与起点的关系很大，起点选得好，可以省好多次试验，故④错．
【能力提升】
5．①②③[解析] 由对分法、盲人爬山法、分批试验法的适用范围知，①②③都实用文档
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正确．
6．4 236 ml,3 764 ml [解析] x 1＝3 000＋0.618×(5 000－3 000)＝4 236，x 2＝3 000＋5 000－4 236＝3 764.
7．④ [解析] 对分法主要适用于单因素优选问题．
8．② [解析] 对分法每次试验后都能将存优范围缩小为原来的12，其余三种方法都是从第2次(批)起，每次(批)试验后将存优范围缩小为相同比例．
9．20 [解析] 在目标函数为单峰的情形，通过n 次试验，最多能从(F n ＋1－1)个试点中保证找出最佳点，因此n 的最大值＝F 6＋1－1＝21－1＝20.
10.12 [解析] 由纵横对折法的思路知新的存优范围的面积为原存优范围面积的12
. 11．82℃ [解析] 由题意可得第一个试点安排在(90－69)×1321
＋69＝82(℃)． 12．33.6 [解析] x 1＝10＋0.618×(110－10)＝10＋61.8＝71.8；x 2＝10＋110－71.8＝48.2；x 3＝10＋71.8－48.2＝33.6.
13．(2.764,4) [解析] 依题意，x 1＝2＋0.618×(4－2)＝3.236，x 2＝2＋4－3.236＝2.764，故存优范围是(2.764,4)．
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14．[解答] 第3个点为好点，则存优范围为左端到第4个分点，故第2批安排在没有做过试验的第1和2两个分点上．
15．[解答] (1)试验区间为[60,81]，等分为21段，分点为61,62，…，79,80，所以60＋1321
×(81－60)＝73(℃)．故第一试点安排在73℃，由“加两头，减中间”的方法得：60＋81－73＝68，所以第二试点选在68℃.后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定．
(2)若最佳点为69℃，即从第二次试验开始知69℃在存优范围内，由(1)知，第一、二次试点的值分别为73,68，因为69∉[60,68]，故去掉68℃以下的部分，则第三次试验点的值为68＋81－73＝76.同理去掉76℃以上的部分，第四次试验点的值为68＋76－73＝71，第五次试验点的值为68＋73－71＝70，第六次试验点的值为68＋71－70＝69，即安排了6次试验，各试验点的数值依次为：73,68,76,71,70,69.
(3)共有20个分点，由分数法的最优性定理及F 6＋1－1＝20可知，通过6次试验可从这20个分点中找出最佳点．
【难点突破】
16．[解答] 由题意设影响该试验结果的因素Ⅰ为浓度，试验范围为50%～90%，
因素Ⅱ为用量，试验范围为30%～70%.
试验：(1)先固定浓度在中点50%＋90%
2
＝70%处，对用量进行单因素优选，得最
佳点A1.
同样将用量固定在中点30%＋70%
2
＝50%处，对浓度进行单因素优选，得最佳点
B1.比较A1和B1的试验结果，如果A1比B1好，则沿坏点B1所在的线，丢弃不包括好点A1所在的半个平面区域，即丢弃平面区域：50%≤Ⅰ≤90%,50%≤Ⅱ≤70%.
然后再在因素Ⅱ的新范围即[30%,50%)内取中点40%，用单因素方法优选因素Ⅰ，得最佳点为B2.如此继续下去，不断地将试验范围缩小，直到找到满意的结果为止，如下图：
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