(完整版)平面向量的线性运算随堂练习(答案).docx
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
2020年高中数学必修4 《平面向量的线性运算》 课后练习(含答案)
2020年高中数学必修4 平面向量的线性运算课后练习一、选择题1.已知向量a，b满足,,且∣a+b∣=2,则向量a与b的夹角的余弦值为( )A. B. C . D.2.已知平面向量a，b的夹角为，且，则∣a+b∣=( )A.3B.C.7D.3.若非零向量a，b满足，且(a-b)⊥(3a+2b)，则a与b的夹角为（）A.0.25πB.0.5πC.0.75πD.π4.若|，且(a-b)⊥a，则a与b的夹角是（）A． B． C． D．5.已知向量a，b满足=5，且，则向量a与b的夹角为（）A. B. C. D.6.已知向量m,n满足，若，则向量n在m方向上的投影为（）A．0.25 B．0.5 C．2 D．47.若两个非零向量a，b满足，则向量a+b与a-b的夹角是( )A． B． C． D．8.若，且与也互相垂直，则实数k的值为（）A.-6B.6C.-3D.39.已知向量a,b满足，且则向量a与b的夹角的余弦值为( )A. B. C. D.10.若向量（）A.2B.4C.12D.11.已知平面向量a与b的夹角为，且∣b∣=1,∣a+2b∣=2，则∣a∣（）A． B． C． D．12.已知非零向量a，b的夹角为60°，且∣b∣=1,∣2a-b∣=1，则∣a∣=（）A. 0.5B. 1C.D.2二、填空题13.若向量a与b互相垂直，且∣a∣=1，∣b∣=2，则∣a+2b∣=__________．14.已知向量a与b的夹角为120°，∣a∣=2，∣b∣=1，则∣a-2b∣=________.15.已知平面向量a,b满足b(a+b)=3，且∣a∣=1,∣b∣=2，则∣a+b∣=________．16.已知向量a,b满足：∣a∣=3，∣b∣=4，，则∣a-b∣= ．三、解答题17.已知∣a∣=4,∣b∣=3,(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求∣a+b∣.18.已知非零向量a,b满足∣a|=∣b∣=1,且．(1)求向量a与b的夹角θ的值．(2)求∣a+b∣的值。
平面向量的线性运算(含答案)
平面向量的线性运算一、单选题(共10道，每道10分)1.设P是△ABC所在平面内的一点，，则( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义2.设D，E，F分别是△ABC的三边AB，BC，CA的中点，则等于( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义3.在△ABC中，，P是CR的中点，若，则m+n等于( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义4.如图，在△ABC中，，若，则的值是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义5.已知点P是△ABC内一点，且，则的值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义6.设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为任意一点（不与M重合），则等于( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义7.若M是△ABC的重心，O为任意一点，，则n的值是( )A.0B.1C.2D.3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义8.在△ABC中，，，点P在AM上且满足，则的值是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义9.设P是等边△ABC所在平面内的一点，满足，若AB=1，则的值是( )A.4B.3C.2D.1答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算10.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直线，，则的值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算。
高中 平面向量的线性运算及基本定理 练习 含答案
训练目标 (1)平面向量的概念；(2)平面向量的线性运算；(3)平面向量基本定理. 训练题型(1)平面向量的线性运算；(2)平面向量的坐标运算；(3)向量共线定理的应用. 解题策略(1)向量的加、减法运算要掌握两个法则：平行四边形法则和三角形法则，还要和式子：AB →＋BC →＝AC →，OM →－ON →＝NM →联系起来；(2)平面几何问题若有明显的建系条件，要用坐标运算；(3)利用向量共线可以列方程(组)求点或向量坐标或求参数的值.1．下列各式计算正确的有________个． ①(－7)6a ＝－42a ；②7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； ③a －2b ＋a ＋2b ＝2a ；④4(2a ＋b )＝8a ＋4b .2．(·贵州遵义一模)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.3．(·云南昆明质检)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m ＝________.4．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1，其中正确的是________．5．(·课标全国Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________. 6．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝__________________________________. 7．(·青海西宁质检)已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的关系为________．8．在△ABC 中，O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝xAM →，AC →＝yAN →，则x ＋y ＝________.9．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 10.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________． 11．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.12．已知A (2,3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|＝32|PB →|，则点P 坐标为________．13．已知a ，b 是两个不共线的向量，它们的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b ) (t ∈R )这三个向量的终点在一条直线上，则t 的值为________． 14.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．答案解析1．3 2.23 3.19 4.③ 5.(－7，－4) 6.07．P 是AC 边的一个三等分点 解析 ∵P A →＋PB →＋PC →＝AB →， ∴P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →， ∴PC →＝－2P A →＝2AP →，∴P 是AC 边的一个三等分点． 8．2解析 因为M 、O 、N 三点共线， 所以存在常数λ(λ≠0，且λ≠－1)， 使得MO →＝λON →，即AO →－AM →＝λ(AN →－AO →)， 所以AO →＝11＋λAM →＋λ1＋λAN →，又O 是BC 的中点，所以AO →＝12AB →＋12AC →＝x 2AM →＋y 2AN →，又AM →、AN →不共线，所以⎩⎨⎧x2＝11＋λ，y 2＝λ1＋λ，得x 2＋y 2＝11＋λ＋λ1＋λ＝1， 即x ＋y ＝2.9．－74m ＋138n 10.611.12解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →.所以λ1＋λ2＝－16＋23＝12.12．(8，－15) 解析 设P (x ，y )， 因为|AP →|＝32|PB →|，又P 在线段AB 的延长线上，故AP →＝－32PB →＝32BP →，所以(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)，即⎩⎨⎧x －2＝32(x －4)，y －3＝32(y ＋3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－15.故P (8，－15)．13.12 解析如图所示，OA →＝t b ， OB →＝13(a ＋b )，OC →＝a .∴AC →＝OC →－OA →＝a －t b ， BC →＝OC →－OB →＝23a －13b ，∵A 、B 、C 三点共线，a ，b 不共线， ∴AC →与BC →共线， ∴231＝－13－t ，∴t ＝12. 14．2 解析以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴， OA →的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则可知A (1,0)，B (－12，32)，设C (cos α，sin α)(α∈[0，2π3])，则由OC →＝xOA →＋yOB →，得(cos α，sin α)＝x (1,0)＋y (－12，32)，得x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.。
2023届高考数学复习：历年经典好题专项(平面向量的概念及线性运算)练习(附答案)
A.√3
B.2√3
C.3√3
D.4√3
)
)
10.(多选)设 M 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是(
A.若⃗
1 ⃗
2
1 ⃗
,则
2
⃗
M 是边 BC 的中点
B.若⃗=2⃗
⃗ ,则点 M 在边 BC 的延长线上
C.若⃗=-⃗
⃗,则 M 是△ABC 的重心
1
1
D.若⃗=x⃗+y⃗ ,且 x+y= ,则△MBC 的面积是△ABC 面积的
2
2
1
4
11.(历年山东德州高三模拟)设向量 a,b 不平行,向量 a+ λb 与-a+b 平行.则实数 λ=
.
12.(历年浙江杭州二中高二期中)在等腰梯形 ABCD 中,设⃗=a,⃗=b,⃗ =2⃗,M 为 BC 的中点,则
2
3
1
3
A. a+ b
2
3
1
3
C. a- b
2
3
)
(
)
1
3
B.- a+ b
2
3
1
3
D.- a- b
5.(历年四川宜宾叙州区第一中学月考)在▱ABCD 中,若|⃗
A.▱ABCD 为菱形
(
⃗|=|⃗
⃗|,则必有(
)
B.▱ABCD 为矩形
C.▱ABCD 为正方形 D.▱ABCD 为梯形
6.设 a,b 是非零向量,则“a=2b”是“|a+b|≥|a|+|b|”的
A.充分不必要条件
平面向量的概念及线性运算练习题
5.1平面向量的概念及线性运算练习题(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--§平面向量的概念及线性运算一、选择题1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是（）∥b B.a⊥bC.{0,1,3} +b=a-b答案 B2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析若a＋b＝0，则a＝－b.∴a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立．答案A3．设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则()．→＝0 ＋PA→＝0＋PB→＝0 ＋PB→＋PC→＝0＋PC→＋BA→＝2BP→⇔P是AC的中点，解析如图，根据向量加法的几何意义，BC→＋PC→＝0.∴PA答案B4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为() A．－3 B．2 C．4 D．－6解析因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，∴4(x＋3)－(x－6)＝0，x＝－6.答案 D5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )． A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．以上都不对解析 由已知AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →.∴AD→∥BC →，又AB →与CD →不平行， ∴四边形ABCD 是梯形． 答案 C6．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )． A ．2B ．3C ．4D ．5解析 ∵MA→＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心，∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3. 答案 B7.已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋CO ＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析：由OA ＋OB ＋CO ＝0得OA ＋OB ＝OC ，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°. 答案：A 二、填空题8.已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA －3OB ＋2OC ＝0，则|AB ||BC |＝________.解析：由OA －3OB ＋2OC ＝0，得OA －OB ＝2(OB －OC )，即BA ＝2CB ，于是|AB ||BC |＝2. 答案：29．给出下列命题：①向量AB→的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB→与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上．其中不正确的个数为________．解析 ①中，∵向量AB→与BA →为相反向量，∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a 或b 为零向量，则满足a 与b 平行，但a 与b 的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴该命题错误． 答案 310.已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则_____b =. 解析答案 3211．若M 为△ABC 内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．解析 由题知B 、M 、C 三点共线，设BM →＝λBC →，则：AM →－AB →＝λ(AC →－AB →)， ∴AM→＝(1－λ)AB →＋λAC →，∴λ＝14， ∴S △ABM S △ABC ＝14. 答案 1412．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 (等价转化法)OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， ∴|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形【点评】 本题采用的是等价转化法，将△ABC 的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论. 三、解答题13．如图所示，△ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，AM 是BC 边上的中线，交DE 于N .设AB→＝a ，AC →＝b ，用a ，b 分别表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM→，AN →.解析 AE →＝23b ，BC →＝b －a ，DE →＝23(b －a )，DN →＝13(b －a )， AM →＝12(a ＋b )，AN →＝13(a ＋b )． 14．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上 解析 设a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13a ＋b (λ∈R )， 化简整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －13λb ＝0，∵a 与b 不共线，∴由平面向量基本定理有 ⎩⎪⎨⎪⎧ 23λ－1＝0，t －λ3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一条直线上．15．如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE ＝23AD ，AB ＝a ，AC ＝b .(1)用a ，b 表示向量AD 、AE 、AF 、BE 、BF ； (2)求证：B 、E 、F 三点共线． 解析：(1)延长AD 到G ， 使AD ＝12AG ，连结BG 、CG ，得到▱ABGC ， 所以AG ＝a ＋b ， AD ＝12AG ＝12(a ＋b )， AE ＝23AD ＝13(a ＋b )， AF ＝12AC ＝12b ，BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )． (2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ， 所以B 、E 、F 三点共线．16．已知O ，A ，B 三点不共线，且OP →＝mOA →＋nOB →，(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明 (1)m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1， ∴OP→＝mOA →＋nOB →＝mOA →＋(1－m )OB →， 即OP→－OB →＝m (OA →－OB →)． ∴BP→＝mBA →，而BA →≠0，且m ∈R . 故BP→与BA →共线，又BP →，BA →有公共点B . ∴A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，则BP →与BA →共线，故存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB→＝λ(OA →－OB →)． 即OP→＝λOA →＋(1－λ)OB →. 由OP→＝mOA →＋nOB →. 故mOA→＋nOB →＝λOA →＋(1－λ)OB →. 又O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线．由平面向量基本定理得⎩⎨⎧m ＝λ，n ＝1－λ.∴m ＋n ＝1.。
平面向量的线性运算及练习试题
平面向量的线性运算学习过程知识点一：向量的加法（1）定义已知非零向量,a b ，在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即a b +＝AB ＋BC ＝AC ． 求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量. ②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定． ③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． （2）向量加法的平行四边形法则以点O 为起点作向量a OA = ，OB b =，以OA,OB 为邻边作OACB ，则以O 为起点的对角线所在向量OC 就是,a b 的和，记作a b +=OC 。
说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=，（3）特殊位置关系的两向量的和①当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；②当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，③当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）向量加法的运算律①向量加法的交换律：a +b =b +a②向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )知识点二：向量的减法（1）相反向量：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a 。
平面向量的练习题及答案
平面向量的练习题及答案平面向量的练习题及答案典例精析题型一向量的有关概念下列命题：①向量AB的长度与BA的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.其中真命题的序号是.①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.下列各式：①|a|＝a?a；② ?c＝a? ；③OA－OB＝BA；④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋＝2；⑤a＝，b＝，且a与b不共线，则⊥.其中正确的个数为A.1B.C.D.4选D.| a|＝a?a正确；?c≠a? ； OA－OB＝BA正确；如下图所示，MN=++且MN=++，两式相加可得2MN＝AB＋DC，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b 为菱形的两条对角线，即得⊥.所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，点M在线段DO上，且=，点N在线段OC上,且=,设=a, =b,试用a、b 表示，，1313.在?ABCD中，AC，BD交于点O， 111所以＝＝a－b)，22＝2＝2＝2.11又＝，＝，31所以＝AD＋＝b＋1115＝b＝a，266111＝＋＝＋4412＝＝a＋b). 323所以＝－1511＝－＋)＝a.6626向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足OP＝1OA＋λ，若λ＝2时，则PA?的值为 .由已知得－＝λ，11即AP＝λ，当λ＝时，得AP＝，2所以2AP＝AB＋AC，即AP －AB＝AC－AP，所以BP＝PC，所以PB＋PC＝PB ＋BP＝0，所以? ＝?0＝0，故填0.题型三向量共线问题设两个非零向量a与b不共线.若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，求证：A，B，D三点共线；试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，所以BD＝BC ＋CD＝2a＋8b＋3＝5＝5AB，所以AB， BD共线.又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线.因为ka＋b和a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ，所以a＝b.因为a与b是不共线的两个非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.已知O是正三角形BAC内部一点，+2+3=0，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是如图，在三角形ABC中， OA＋2OB＋3OC＝0，整理可得OA＋OC＋2＝0.1令三角形ABC中AC边的中点为E，BC边的中点为F，则点O 在点F与点E连线的处，即OE＝2OF.1hh1设三角形ABC中AB边上的高为h，则S△OAC＝S△OAE＋S△OEC?OE? 的情形，而向量平行则包括共线的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用如图?ABCD中,M,N分别是DC，BC中点.已知AM=a,=b,试用a，b表示，AD与AC易知AM＝AD＋DM 1＝＋，1AN＝AB＋BN＝AB2AD， 1a,??2即? ??1?b.?2?22所以＝b－a)，＝2a－b).32所以＝＋＝a＋b).运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＋＋＝0等于 1B.C.1 D.1A.由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知PB＋PC＝2PD，因此结合PA＋BP＋CP＝0即得PA＝2PD，因此易得P，A，D三点共线且D是PA＝1，即选C.题型二向量的坐标运算已知a＝，b＝，u＝a＋2b，v＝2a－b.若u＝3v，求x；若u∥v，求x.因为a＝，b＝，所以u＝＋2＝＋＝，v＝2－＝.u＝3v?＝3＝，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.u∥v ?＝λ2x?1??,－3＝0?x＝1.对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.nπnπ已知向量an＝sinn∈N*)，|b|＝1.则函数y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋ (77)＋|a141＋b|2的最大值为.π设b＝，所以y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝2＋b2＋2＋…＋2＋b2＋2＝282＋2cos，所以y的最大7777 值为284.题型三平行向量的坐标运算已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝，n＝，p＝.若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；π若m⊥p，边长c＝2，角CABC的面积.证明：因为m∥n，所以asin A＝bsin B.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△ABC为等腰三角形.因为m⊥p，所以m·p＝0，即a＋b＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝2－3ab，所以2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1.113所以S△ABC＝absin C3.22设m＝，n＝，则①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m ＝，n＝.若m⊥n，且a＋b＝10，则△ABC周长的最小值为A.10－3C.10－23B.10＋5D.10＋231由m⊥n得2cos2C－3cos C－2＝0，解得cos C＝－cos C＝2，所以c2＝a2＋b2－2abcos例题讲解1、下列命题中,正确的是A.若a?b,则a与b的方向相同或相反B.若a?b,b?c,则a?cC.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等D.若a=b,b=c,则a=c.122、已知平面内不共线的四点0,A,B,C满足OB?OA?OC,则33|AB|:|BC|?A.3:1B.1:C.2:1D.1:23、已知向量a= ,b= ,若2a–b与b共线,则实数n的值是 A.6B. C.3?23D3?234、向量AB?按向量a?平移后得向量A?B?,则A?B?的坐标为A. B.C. D.、如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是DC的中点,F是EC的中点,若AB?a,AC?b,则AF? A.14a?34b B.14a?34b C.18a?78bD.18a?78b6、若函数f?cos2x?1的图象按向量a平移后,得到的图象关于原点对称,则向量a可以是A. B. C.424二、填空题:共3小题7、设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka?2b与8a?kb的方向相反,则k?8、若a?b?c,化简3?2?2?、已知正△ABC的边长为 1 ,则BC?2CA?3AB等于检测题1、已知非零向量a,b满足a=?b,b=?a,则?= A.?1B.?1C.0D.02、设a,b是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是A.a?b??B.abC.a?b?a?bD.a?a?b、已知a=,b=,?,则实数k的值是A.53B.2511C.?12D.?174、已知平面向量a?,b?,则向量a?b. A.平行于第一、三象限的角平分线B.平行于y轴 C.平行于第二、四象限的角平分线D.平行于x轴5、将二次函数y?x2的图象按向量a平移后,得到的图象与一次函数y?2x?5的图象只有一个公共点,则向量a?A. B. C. D.6. 如图,在正六边形ABCDEF中,已知AC?c,AD?d,则AE? .巩固练习1. 若e1,e2是夹角为的单位向量，且a?2e1?e2,b??3e1?2e2，则a?b?377A.1B. ?4C. ?D.222. 设a?,b?,c?则?c? A. B.0C.?3D.?11 答案 C3. 在?ABC中,已知向量AB?,BC?,则?ABC的面积等于 A．22B．24C．32D．2答案A4. 在?ABC中,a?5,b?8,C?60?,则BC?CA的值为A．10 B．20C．－10D．205. 已知下列命题中：若k?R，且kb?0，则k?0或b?0，若a?b?0，则a?0或b?0若不平行的两个非零向量a,b，满足|a|?|b|，则??0 ??若a与b平行，则a?b?|a|?|b|p2?q2?2其中真命题的个数是A．0B．1C．2D．36. 已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA?OB?CO?0,则△ABC的内角A等于 A.30?B.60? C.90?D.120?. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE线与CD交于点F．若AC?a，BD?b，则AF?的延长bD．a?3123bA．14a?12b B．23a?13b C．12a?14答案 B8. 已知a?1,b?6,a??2，则向量a与向量b的夹角是 A．6B．4C．3D．2答案 C9. 在平行四边形ABCD中，若BC?BA?BC?AB，则必有A.ABCD是菱形B.ABCD是矩形C.ABCD是正方形D.以上皆错10.已知向量a?,向量b?则|2a?b|的最大值，最小值分别是A．42,0B．4,42C．16,0D．4,0 二.填空题11. 已知Rt△ABC的斜边BC=5，则AB?BC?BC?CA?CA?AB 的值等于 . 答案－2512. 设p = ，q = ，若p与q的夹角??[0,2)，则x的取值范围是13. 若平面向量a，b满足??1，a?b平行于x轴，b?，则a?答案-=解析 a?b?或，则a 或a.14. 在?ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则OA?的最小值是________。
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§ 2.2 平面向量的线性运算
重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量
共线的充要条件．
考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义．
②掌握向量数乘的运算及其意义。
理解两个向量共线的含义．
③了解向量线性运算的性质及其几何意义．
经典例题：如图，已知点 D , E, F 分别是ABC 三边AB , BC ,CA的中点，
uuur uuur uuur r
求证： EA FB DC0 ．
当堂练习：
1．a、b为非零向量，且|a b| |a| |b|，则（）A．a与b方向相
同B． a b
C．a b D． a与b方向相反
uuur uuur uuur uuur
a ，而b是一非零向量，则下列各结论：① a //
b ；②2．设( AB CD )( BC DA )
a b a ；③ a b b ；④ a b a b ，其中正确的是（）
A．①②B．③④C．②④D．①③
3． 3．在△ ABC中， D、 E、 F 分别 BC、 CA、 AB的中点，点 M是△ ABC的重心，
则
MA MB MC 等于（）
A．O B．4MD C．4MF D．4ME
4．已知向量a与b反向，下列等式中成立的是（）A．| a | | b | | a b |B．| a b | | a b |
C．| a | | b | | a b |D．| a | | b | | a b |
5．若a b c 化简3( a 2b) 2(3 b c)2( a b)（）
A．a B． b C． c D．以上都不对
uuur
6．已知四边形 ABCD是菱形，点 P 在对角线 AC上（不包括端点A、C），则AP =（）
A．
uuur uuur
(0,1)B．
uuur uuur2
) ( AB AD ).( AB BC ).(0,
2
C．
uuur uuur
(0,1)D
uuur uuur
(0,2 ) ( AB AD ).．( AB BC ).
2
uuur uuur
3 ，∠AOB=60，则 | a b | __________。
7．已知| OA | |a| 3，| OB | | b |
8．当非零向量a和b满足条件时，使得 a b 平分 a 和 b 间的夹角。
9．如图， D、 E、 F 分别是ABC边 AB、 BC、 CA上的
C
中点，则等式：
uuur uuur uuur ①FD DA AF
uuur uuur uuur ③ DE DA BE 0
uuur uuur uuur
②FD DE EF
uuur uuur uuur
④ AD BE AF
F E
A D B
10．若向量x、y满足2x3y a, 3x 2 y b ，a、b为已知向量，则x=__________；y =___________．
11．一汽车向北行驶 3 km，然后向北偏东60方向行驶 3 km，求汽车的位移 .
12. 如图在正六边形ABCDEF中，已知：
AB = a ,AF =b,试用a、b表示向量 BC , CD , AD ， BE .
§ 2.2 向量的线性运算
经典例题：
证明：连结DE , EF , FD ．因为 D , E, F 分别是ABC 三边的中点，所以四边形ADEF 为
uuur uuur uuur
平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得ED EF EA （1），同理在平行四边形
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
BEFD 中，FD FE FB (2)，在平行四边形CFDE 在中，DF DE DC (3)
将（ 1） (2) (3)相加，得
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
EA FB DC ED EF FD FE DE DF
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
( EF FE )( ED DE ) ( FD DF )
r
当堂练习：
1.C;
2.D;
3.A;
4.C;
5.D;
6.A;
7. 3;
8.| a | | b | ;
9.③，④; 10.（1） a, d（ 2）a, d（ 3）不存在（ 4）a, d，c ;
11.北偏东 30°方向，大小为3 3 km．
12. BC AO AB BO AB AF a b ；
CD AF b ；AD2BC 2 a b；BE 2 AF2b。