晶格振动、声子
固体物理学中的晶格振动和声子
固体物理学中的晶格振动和声子晶体是由原子、离子或分子组成的三维周期性结构，在固体物理学中起着重要的作用。
而晶体中的晶格振动是指晶体中原子的振动行为，它是固体物理学中的一个重要研究领域。
在这个领域中，声子是一种非常重要的概念，它可以用来描述晶体中各个原子的振动状态。
晶格振动是由于晶格结构的周期性而出现的。
当我们把晶体简化成最简单的一维线性链结构来研究，就可以更好地理解晶格振动的性质。
假设晶体中的原子按照一定的规则排列，形成一个周期性的结构。
当晶体中的原子发生微小的振动时，它会传递给相邻的原子，从而引起整个晶体的振动。
声子是晶体中的一种元激发，它描述了晶体中各个原子的振动状态，并且可以传递能量和动量。
在一维线性链结构中，我们可以通过人为设定边界条件来研究声子的行为。
假设链的两端被固定住，这意味着链中的第一个和最后一个原子不能移动。
在这种情况下，我们称之为固定边界条件。
根据固定边界条件，声子的振动模式可以分为两种类型，即长波动和短波动。
在长波动中，链中的每个原子振动的幅度大致相同，而在短波动中，链中的原子振动的幅度逐渐减小，直到最后一个原子完全不振动。
在晶体中，声子的振动模式可以更加复杂。
由于晶体的周期性结构，声子的能量和动量也有一定的限制。
根据晶体的对称性和周期性，声子的振动模式可以分为不同的类型，称之为晶格振动模式。
在固体物理学中，研究晶体中声子的行为是非常重要的，因为声子的能量影响了晶体的热传导性能，而声子的动量则影响了晶体的电导性能。
在研究晶体中的声子时，科学家们发现了一些有趣的现象。
例如，在一些特殊的晶体结构中，声子的能带结构会出现禁带。
这意味着在某些能量范围内，声子是无法存在的。
这种现象与电子在固体中的行为非常相似，因为晶体中的声子和电子都具有波粒二象性。
这种禁带结构对于理解固体的热传导性和光学性质都是非常重要的。
此外，声子还可以与其他凝聚态物理中的激发类似，例如声子与电子之间的相互作用。
固体物理学中的晶格振动与声子
固体物理学中的晶格振动与声子固体物理学是研究材料的基本结构和性质的学科，而晶格振动作为固体材料中重要的物理现象，一直受到学者们的广泛关注。
晶格振动的研究能够帮助我们更深入地了解固体的热力学性质、热传导和声学性质等方面的现象。
而在理解晶格振动方面，声子概念的引入起到了至关重要的作用。
晶格振动是固体中原子间相互作用引起的离子和电子共振运动。
在固体中，原子离子个体的振动耦合在一起形成了晶格振动的谐振模式。
通过经典动力学的分析，我们可以得到晶格振动与波矢k和频率ω的关系，这种关系被称为色散关系。
色散关系的性质能够揭示晶体结构中的周期性和对称性，从而对研究固体的性质和特性提供了重要的线索。
而声子则是用来描述晶格振动的一种理论模型。
声子可以看作是固体晶格振动的量子，具有粒子的特性。
声子实际上是一种被激发出来的晶格离子振动，其能量和动量由色散关系决定。
声子的产生和吸收可以产生热导和声波传播等现象。
由于晶格振动的复杂性，研究声子的理论模型是必要的，而声子理论为我们提供了一种描述晶格振动的有效工具。
声子的产生和吸收在固体物理学中占据重要地位。
首先，晶格振动的产生和吸收可以引起热传导。
固体材料的热导率与晶格振动的散射有关，而声子散射是其中的重要机制。
通过理解声子的产生和吸收过程，我们可以更好地理解热导过程中的能量传递和耗散机制。
其次，声子在声学性质中也发挥着重要作用。
声波是固体中晶格振动的传播现象，而声子理论可以提供对声波传播的描述。
通过研究声子的色散关系和模式结构，我们可以预测和解释声波的传播特性，如色散曲线和声速。
这对于材料声学性质的研究和设计具有重要意义。
此外，由声子理论还可以推导出材料的热容、热膨胀等热力学性质。
研究声子对材料的热力学性质的影响，可以深入理解固体中的热平衡和热平衡破缺等现象。
声子可以看作是材料中产生和吸收热量的“粒子”，通过研究声子的行为可以揭示材料的热力学特性。
总之，固体物理学中的晶格振动与声子是一个复杂而有趣的领域。
声子的概念和特点
声子的概念和特点声子（Phonon）是固体物理学中描述晶体中晶格振动的量子发生器的概念。
声子是晶体中的一个虚拟粒子，它表示的是晶格振动的量子。
声子的概念是为了描述固体中的宏观振动现象及其与固体中其他粒子相互作用的研究提供一个有用的理论框架。
声子的特点有以下几个方面：1. 粒子性质：声子是晶格振动的量子化现象，其具有粒子性质。
晶体中的振动能量按量子化的方式传递，其中每个声子对应一个能量和动量，其传播速度与晶体中的声速有关。
2. 统计性质：声子是一种玻色子，遵循玻色-爱因斯坦分布。
根据玻色子性质，声子之间是可以相互叠加的。
这使得声子能够形成声子气体，从而影响固体的热导率、声学性质等。
3. 激发行为：声子在晶体中的产生可以通过热激发或外加能量的方式。
当系统受到外界扰动时，原子或分子之间的相互作用使得晶格发生振动，这些振动以声子的形式传播。
4. 能量谱：声子能量与动量之间存在一个关系，称为能谱。
能谱基本上是晶体中离子力学矩阵的函数，它描述了声子的能量与其频率和波矢之间的关系。
在一维晶格中，能谱是连续的，而在二维和三维晶格中，能谱是分散的。
5. 声子晶体学：声子是晶体中晶格振动的变分量子，声子晶体学是一种将振动波矢（声子）引入到晶体学中的方法。
在声子晶体学中，声子的离散能谱导致了晶体中声学和光学模式的出现。
6. 热传导：声子在固体中的传播是晶体的热传导的基础。
因为声子具有一定的动量，当声子在晶格中传播时，会导致晶格的振动，进而导致晶格的温度升高。
声子的能量传递机制是固体中热传导的重要机制之一。
总之，声子作为固体物理学中的基本概念，在研究固体中的振动性质、热传导机制、声学行为等方面起着重要作用。
通过对声子的理解和研究，可以更好地解释晶体的宏观性质和固体的热力学行为。
同时，声子也是新材料、热电材料等领域的重要研究方向，这些研究有望为材料设计和能源利用提供新的思路。
第25、26讲 声子 晶格振动的热容理论
第 二 三 讲
晶 格 每一独立模式对应一个振动态(q) 。 振 可以用独立简谐振子的振动来表述格波的独立动 的 模式。 热 声子——晶格振动中的独立简谐振子的能量量容 子。 理 论
第 三 章 晶 格 振 动 和 晶 体 的 热 学 性 质
3.2.2 格波能量量子化 1. 三维晶格振动能量
第 二 三 讲 声 子 长 波 近 似 晶 格 振 动 的 热 容 理 论
CV 3 25J /(k mol)
CV
第 二 三 讲 声 子 长 波 近 似 晶 格 振 动 的 热 容 理 论
杜隆—珀替定律的困难
杜隆—珀替定律在高 温时与实验结果很吻合。 但在低温时，CV 的实验 值并不是一个恒量，在 T0时，CvT3。
3R
T
第 三 章 晶 格 振 动 和 晶 体 的 热 学 性 质
i 2 i 1 i 2 晶 ( ) [1 ( ) ] k BT k BT 2! k BT kB 格 i 2 i 1 i 2 振 ( ) [1 ( ) ] 动 k BT k BT 4 k BT
的 热 容 理 论
所以具有N个原子的热容为3NkB，与经典理论 值一致，说明在高温时杜隆-珀替定律成立。
第 三 章 晶 格 振 动 和 晶 体 的 热 学 性 质
3. 声子的性质 光子 对于电磁波，爱因斯坦引入了“光子” 的 概念。光子是传递电磁相互作用的媒介粒子， 带电粒子通过发射或吸收光子而相互作用。 一个光子的能量为 =hv。 光子能量的多少与波长相关, 波长越短, 能 量越高。当一个光子被原子吸收时,就有一个电 子获得足够的能量从而从内轨道跃迁到外轨道, 具有电子跃迁的原子就从基态变成了激发态。 光子具有能量，也具有动量，更具有质量， E=mc2，由于光子无法静止，所以其静止质量 为0 。
晶格振动的量子化-声子
显然方程表示一系列相互独立的简谐振子，对于其中每一个 简正坐标都有： 1 2 2 2 2 Q 2 i Qi (Qi ) i (Qi ) 2 i
1 i ( ni )i 独立谐振子能量量子化 谐振子的解是大家熟知的： 2
是量子力学的结论。
给出原子集体运动 的方式，确定色散 关系和态密度。
揭示了原子热运 动的本质表现： 能量量子化。
一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子 组成的三维晶体，有 3N 种格波，即有 3N种声子。当一种 振动模式处于其能量本征态时，称这种振动模有nj 个声子。
当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 i 为单 元交换能量，若电子交给晶格 i 的能量，称为发射 一 个声子；若电子从晶格获得 i 的能量，则称为吸收一 个声子。
q 又具有一定的动量性质，所以叫做“准动量”。
声子气体不受 Pauli 原理的限制，粒子数目不守恒，故 属于波色子系统，服从 Bose-Einstein 统计，当系统处于热 平衡状态时，频率为ω i 的格波的平均声子数由波色统计给 出：
◆
ni
1
e 1 i i 公式第一项是T=0K 其平均能量： i i 时的零点能。 2 k BT e 1 k BT i , i k BT
4.2 晶格振动的量子化－声子
一. 简谐近似和简正坐标 二. 晶格振动的量子化 三. 声子 一.简谐近似和简正坐标： 从经典力学的观点看，晶格振动是一个典型的小振动 问题，由于质点间的相互作用，多自由度体系的振动使用 拉格朗日方程处理比上节中使用的牛顿方程要简单明了。 本节采用简正坐标重新处理。（见黄昆书p79-82）
N个原子组成的晶体，平衡位置为 的位移矢量为：un (t )
第二章晶格振动与声子
m2 eiaq eiaq 2 2 cosaq 1
解得
2 sin 1 aq
m2
—— 色散关系
原子链的分立性与布里渊区
un
(q
2
a
)
un
(q)
(q)
q
- - 2 a
0
a
2 aa
q —— 布里渊区
a
a
(q 2 ) (q)
a
➢晶格振动的所有可能状态都 包含在该布里渊区中，这个 区域之外的波矢q不提供任何 新的振动状态。
简约区中波数q的取值总数 q 2 Na 2
a 2 a
＝N＝晶体链的原胞数
晶格振动格波的总数=N·1 =晶体链的自由度数
*波矢的分立性，与系统限度的有限性有关，L无限长 时，波矢是连续的。
一维双原子链的振动
考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链
一、运动方程及其解
2a
Mm
{
n 2n+2 2n-1 2n+1
当q0时， 0, 原胞内两种原子的振动位相完全相同。
q0时
2
M
Mm
m
1
1
4Mm
M m2
sin
2
aq
M
m
1
Mm
1
4Mm
M m2
aq
2
2
M
Mm
m
2Mm
M m2
aq 2
2
M m
aq 2
a
2 q q
M m
这与连续介质的弹性波 ＝vq 一致。
当q0时
u2n u2n1
q0
1
在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振 幅和位相均相同，这时的格波非常类似于声波，所以我们 将这种晶格振动称为声学波或声学支。
固体物理学中的晶格振动与声子理论
固体物理学中的晶格振动与声子理论晶体是由原子或分子按照一定的规则排列形成的三维空间周期性结构。
在晶体中，原子或分子不是静止不动的，而是以不同的方式振动。
这种振动称为晶格振动，它是固体物理学中的一个重要研究课题，与晶体的性质和行为密切相关。
晶格振动是晶体中原子或分子的协同振动。
晶格振动可以分为长波和短波两种类型。
长波振动是指原子或分子在晶格中以相对偏移的方式振动，而短波振动则是指原子或分子在晶格中以体积变化的方式进行振动。
晶格振动是通过声波传播的，因为声波是介质中粒子振动的传递方式。
声子理论是描述固体中晶格振动的重要理论框架。
根据声子理论，晶体中的振动可以看做是自由度离散的量子力学系统。
它引入了一个新的物理量，即声子，它代表了晶格中的元激发，类似于固体中的粒子。
声子具有能量和动量，并且可以在固体中传播和相互作用。
声子的能量与振动模式相关。
在晶体中，存在不同的振动模式，每种振动模式对应一个特定的波矢和频率。
通过声子理论，可以计算出不同振动模式的能量，进而获得晶体中的频谱信息。
频谱信息反映了晶体中的振动性质，可以用来解释和预测材料的热力学性质、电子结构等。
声子理论还可以解释和预测晶体的热传导性能。
晶体的热传导是通过声子的散射传递热量的，因此理解声子的传播性质对于研究和优化热传导材料至关重要。
通过声子理论，可以计算声子的群速度和散射率，进而预测材料的热导率。
这对于设计新的热障涂层、热电材料等具有重要意义。
声子理论也在纳米材料和低维材料中发挥着重要作用。
在这些材料中，表面效应和尺寸效应导致晶格振动的变化，进而影响材料的性质。
声子理论可以用来研究这种尺寸效应，并解释纳米材料的热力学性质、凝聚态物理行为等。
总之，固体物理学中的晶格振动与声子理论是研究晶体性质和行为的重要工具。
通过声子理论，可以揭示晶体中振动模式的能量、频率和传播性质，进而解释和预测材料的热力学性质、热传导性能等。
声子理论在材料科学和凝聚态物理研究中具有广泛的应用前景。
3-3 晶格振动量子化与声子
2.声子是一种准粒子
粒子数不守恒，例如温度升高后声子数增加。
声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互作用， 满足能量守恒。 不具有通常意义下的动量，常把q称为声子的
准动量。
3.准动量选择定则
准动量的确定只能准确到可以附加任何 一个倒格矢Gh
ω(q)= ω(q+ Gh) Ex: 二声子作用 q1＋q2＝q3＋Gh q1＋q2＝q3＋Gh
1 （ n ） 2
（3－58‘)
其中
1 n( , T )＝ exp K T B 1 －
（3－59)
意义：
频率为ω的格波温度为T时的平均声子数。 当 ＝KBT时， n ≈0.6,定性地讲，此格波已激 发，以此为界，温度为T时，只有ω≤KBT的格波才 能被激发。
1 2 E＝T W＝ m U n U n1 U n 2 n 2 n
2
该表示式中有（Un+1×Un）的交叉项存 在，对建立物理模型和数学处理都带来 困难。用坐标变换的方法
消去交叉项。
2．坐标变换（变量置换） 设
1 iqna U n t ＝ Qq t e Nm q
由于声子间相互作用很弱除了碰撞外可不考虑它们之间的相互作用故可把声子视为近独立子系这时玻色爱因斯坦统计与经典的玻尔兹曼统计是一致的
§3 .3晶格振动量子化与声子
问题的提出：
在简谐近似下，晶体中存在3NS个独立 的简谐格波，晶体中任一原子的实际振动 状态由这3NS个简谐格波共同决定，那么，
晶格振动的系统能量是否可表示 成3NS个独立谐振子能量之和？
＝
n
N nn N
（这里的N并不是晶体的格波总数）
的声子在同 ω 的格波间均可存在，某一 ω 的
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• 对应某个给定频率ω (q)，这表示每个原子的 位移随时间的变化，n取遍所有原胞，共N个 • 不同位置的原子，不同的位移，但由Bloch定 理决定，不同原胞(n)的等同原子位移仅差一 个相因子 xn Aeiqna t , n为整数 , 共有N个原胞 • 需要N个位移来描写在不同原胞中原子具有这 个频率的集体振动，互相有关
M 0 (T )
这正是普朗克公式。
2hc
2
5
(
1 e
hc / kT
1
)
33
两种极限情况 （1）在高频范围，
/kT >>1，这时
/ kT
e
普朗克公式为
1 e
V c
3
/ kT
U ( , T )d
与维恩公式一致。
2 3
e
/ kT
d
可见， U ( , T )随的增大而迅速趋于零，说 明在温度为T 的平衡辐射中，空腔内几乎不存在 /kT >>1的高频光子，也就几乎不可能发射这 样的高频光子。
V x x x 2 2
2 n 1 n n n
2 n 1
x 2 xn 1 xn
2 n
• 代入势能后可得
V
e eiqna eiq'( n1) a eiqna eiq'na eiq( n1) a eiq'na i ( q q ') a iqa iq'a i ( q q ') na 1 e e e QqQq' e 2 Nm q ,q' n i ( q q ') a iqa iq'a Q Q e 1 e e N q , q' q q' 2 Nm q ,q' 2 2 iqa iqa 1 cos( qa ) q QqQq 2 e e m 2m q 1 2 QqQq 1 cos(qa) q QqQq m q 2 q
3
U ( , T ) 8h d (T )d d = V c 3 e h / kT 1
32
利用 c 和
上式化为
d =
cd
2
并考虑
d = d
) 1
(T )
8hc
5
(
1 e
hc / kT
将上式代入单色辐出度M (T ) ，将M (T) 改为 M 0 (T)，得到
• 如果能简化交叉项，就可以分离变量。为此， 需要改基轴x，通过变换使晶格振动的描写简 化
分析
• 用 xn表示格点n处原子位移时，假定x是坐标轴 • 需要选基轴，使势能的表示简单，没有交叉项 • 比如一个质点的一维运动，如果随意放置坐标 轴，可能需要三个变量x，y，z来描写它的运 动 • 当然这三个变量并不独立，有两个约束条件 • 但从形式上，会有三个变量x，y，z出现在运 动方程中，这样的表示是不方便的 • 现在描写晶格振动的情况类似：每个原胞中等 价原子的振动是不独立的，把它们的位移都表 示出来的描写是不方便的
1 3N 2 2 2 H ( pn n Qn ) 2 n1
从正则方程得到
H 2 pn n Qn Qn
2Q 0 Q n n n
这是3N个相互无关的方程－简正坐标描述独立的简谐振动
Qn A sin(nt )
只考察一个Qn振动时
uj
1 1 Q Qq Qq ' q , q ' Q q q 2 q ,q ' 2 q
• 利用
• 最终可得
2 1 2 2 H Qq q Qq 2 q
* Qq Qq
• 其中
2 1 cos( qa ) m
• 这表示的是一系列无相互作用的简谐振子，可 以分离变量，记
E l
l 1 3N
Q1 , Q2 ,...,Q3 N n Ql
l 1
l
3N
• 得
2 1 2 2 2 l Ql Ql l Ql 2 2 Q l
补充：
9.4玻色统计和费米统计
一、玻色系统和费米系统的最概然分布 (1) 玻色分布 玻色系统粒子的最概然分布
al
和由宏观约束条件确定
e
l
l
1
称为玻色-爱因斯坦分布或玻色分布。
N
l
l
e
+ l
1
, U
l
l l
e
+ l
1
27
(1) 费米分布
费米系统粒子的最概然分布为
al
和由宏观约束条件确定
称为费米狄拉克分布，或费米分布。
e
l
l
1
l l
e
+ l
N
l
l
e
+ l
1
, U
l
1
两种分布的 β和α为
1 , kT kT
28
是化学势。
二、光子气体 (photon gas) 光子是玻色子，空腔的电磁辐射是黑体辐射。空 腔的辐射场看作光子气体系统，遵从玻色分布。
1 N
e
n 0
i q q ' na
q ,q '
展开
xn t
1 iqna Qq t e Nm q
• Qq(t)就是简正坐标，意义即xn在基矢轴eiqna的 分量，m为原子的质量 • 看动能和势能在这个基矢轴下能不能表示得简 洁些 1 1 2 2 n T mx p n 2 n 2m n
基矢的选择
xn Aq t e
q
iqna
• 用什么做基矢？ • eiqna对于不同的q，是N维的 • 本征矢eiqna，做基矢 1 e iqna
N
• 本征矢eiqna本身满足正交归一性，即按q求和， 1 N / 2 iqn n ' a e n,n ' N q N / 21 • 或按n求和， N 1
V d 2 3 / kT c e 1
2
在空腔V内、到 +d范围内辐射场的能量为
V d U ( , T ) d ( 2 3 / kT ) π c e 1 3 V d 2 3 / kT π c e 1
2
此式称为普朗克公式，给出了辐射场的能量按 频率的分布，与实验结果完全一致。
31
上式与普朗克公式是一致的，下面 证明之。
普朗克公式
2π hc 1 Mλ 0 T hc KT 5 λ 1 e
2
辐射场能量密度按波长的分布 (T )与其单色 辐出度M (T )存在下面关系
利用
= 2，可以得到
c M (T ) (T ) 4
1 l nl l 2
• 这样的量子谐振子的频率就是经典振动的频率 • 这样的量子谐振子称为声子——晶格振动的能 量子 • 利用声子的概念处理晶体中相互作用问题就比 较简单明了，比如： • 晶格振动与晶格振动的相互作用； • 晶格振动与电子的相互作用； • 晶格振动与光子的相互作用等 • 声子是玻色子，遵从玻色统计
• 或者说，提到某个频率的振动，就得与这N个 的位移联系起来
讨论：位移
xn Ae
i qna t
• 现在波矢的取值由周期性边界条件决定
2 N N q l , l , 共N个值， N原胞数 Na 2 2
• 这是振动的状态数目，一个状态q对应s个频率， s即自由度，一维单原子，s=1 • 这些振动互相之间独立，没有关系 • 思考：那么多波矢都是解，那么，原子到底怎 么振动？ • 或问：原子在任意时刻t，到底处在什么位置？
讨论：一维单原子链的解
• 方程
d xn m 2 ( xn1 xn 1 2 xn ) dt
2
• 解
xn Ae
i qna t
qa ( q) 2 sin m 2
• 那么解应该是什么
l 2 q , l取整数 N a
讨论：ω(q)
xn Aeiqna t
能量与动量的关系
2 = m02 c4 + c2 p2 因为光子m =0，所以 = cp 光子满足德布罗意关系 = , p = k
0
k是波矢量，是光的角频率。 引入拉氏乘子 ，得到的光子气体的分布为
al
e
ห้องสมุดไป่ตู้
l
l
1
29
用上式代替简并度 l ，在空腔V内、到 +d 范围内的平均光子数为
• 解为厄密多项式，其本征值为
1 l nl l 2
1 uj Mj
a
n 1
3N
jn
Qn
• 由
~ u Qn M j a jn j
j
• 可知：一个简正振动并不是表示某一个原子的 振动，而是整个晶体所有原子都参与的振动频 率相同的振动 • 这种集体振动称为振动模 • 振动能量是分裂的，量子化的。即
1 uj Mj
a
n 1
3N
jn
Qn
• 通过线性变换消除交叉项，将动能和势能同时 简化为简正坐标Qn平方项的和
1 3N 2 T Qn 2 n 1
1 3N 2 2 V n Qn 2 n1
那么正则动量为：
(T V ) pn Qn Q n
哈密顿量为
• 如果晶格振动中各个不同的波矢、不同频率的 格波的振幅知道了，振动情况也就完全确定了 —格波之间的没有相互作用 • 就没有必要去知道每个原子的空间坐标 • 什么是原子关联，看势能