电动力学试题库十及其答案

简答题（每题5分，共15分）。

1． 请写出达朗伯方程及其推迟势的解．

2．

当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这

是为什么 3．

请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量和静止质

量的关系式。

证明题（共15分）。

当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时，电力线的曲折满足：

1

2

12εεθθ=tan tan ，其中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两侧电力线与法线的夹角。（15分） 四. 综合题（共55分）。

1．平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1l 和2l ，介电常数为1ε和

2ε，今在两板上接上电动势为U 的电池，若介质是漏电的，电导率分别为1σ和2σ，当电流达到稳恒时，求电容器两板上的自由电荷面密度f ω和介质分界面上的自由电荷面密度f ω。（15分）

2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ϖ

，求介质中球形空腔内的电场（分离变量法）。（15分）

3．一对无限大平行的理想导体板，相距为d ，电磁波沿平行于板面的z 轴方向传播，设波在x 方向是均匀的，求可能传播的波型和相应的截止频率．（15分）

4．一把直尺相对于∑坐标系静止，直尺与x 轴夹角为θ，今有一观察者以速度v 沿x 轴运动，他看到直尺与x 轴的夹角'θ有何变化（10分） 二、简答题

1、达朗伯方程：220221A A j c t μ∂∇-=-∂v v v 2222

1c t ϕρϕε∂∇-=-∂ 推迟势的解：()()00

,,, , ,44r r j x t x t c c

A x t dV x t dV r r

ρμμϕπ

π

⎛⎫⎛⎫

''-- ⎪

⎪

⎝⎭⎝

⎭''=

=⎰

⎰

v v v v v

v

2、由于电磁辐射的平均能流密度为22

232

0sin 32P

S n c R

θπε=

v &&v

v ，正比于2sin θ，反比于2R ，因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小和方向有关。

3

、能量：2

W =

；动量：),,iW P u ic P c μ⎛⎫

== ⎪⎝⎭v v ；能量、动量

和静止质量的关系为：22

22

02W P m c c

-=-

三、证明：如图所示

在分界面处，由边值关系可得： 切线方向 12t t E E = （1） 法线方向 12n n D D = （2）

1

ε

又 D E ε=v v

（3）

由（1）得：

1122sin sin E E θθ= （4） 由（2）（3）得：

111222cos cos E E εθεθ= （5） 由（4）（5）两式可得：

22

11

tan tan θεθε= 证毕。 四、综合题 1、 解：如图所示，

由电流稳定时，0j ∇⋅=v

，则介质分界面上有 12n n j j =，即： 1

1122212

, n n n n E E E E σσσσ==

由于E v 与n v

方向一致，

121112

, E E E E n σσ∴=

=v v v v

又由 1

2

121122l l U E dl E dl E dl E l E l =⋅=⋅+⋅=+⎰

⎰

⎰

v

v

v

v v v

1

1112

2 E l E l σσ=+

211

2112

122

U

U E l l l l σσσσσ∴=

=

++

由于均匀介质

121112112

U D E n l l εσεσσ∴==

+v v

v

1212222

12

2112

U D E E n l l σεσεεσσσ===+v v v

v

电容器上板面自由面电荷密度为： 12112112

0f n U

D l l εσωσσ=-=

+

下板面的为： 21122112

0f n U

D l l εσωσσ=-=-

+

介质分界面上自由面电荷密度为： ()21122112321211221122112

f n n U U U

D D l l l l l l εσεσεσεσωσσσσσσ-=-=

-=

+++ 2、解：如图所示，取0E ϖ

方向为z 轴方向。

由题意知，球内外均满足 02

=∇ϕ (1) 又轴对称，则 )](cos )(cos [1

1θθϕn n n

n n n

n P r b P r a ++

=∑ )(0R r < (2) )](cos )(cos [12θθϕn n n

n n

n

n P r

d P r

c ++

=

∑ )(0R r > (3) 当0→r 1ϕ有限，则 0=n b )(cos 1θϕn n

n

n P r

a ∑=

(4)

当∞→r θϕcos 02r E -→ ∑++

-=n

n

n n

P r d r E )(cos cos 102θθϕ (5) 在介质球面0R r =上有边值关系 0

21R r ==ϕϕ (6)

210r R r r

ϕϕ

ε

ε=∂∂=∂∂ (7)

将(4)、(5)代入(6)、(7)中解得 1003cos 2E r ε

ϕθεε

=-

+ (8)

3

000202

0cos cos 2E R E r r

εεθ

ϕθεε-=-++