大学高等数学第一单元测试试卷A卷
《高等数学1(一)》课程考试试卷A及答案
--《高等数学1（一)》课程考试试卷(A 卷参考答案)注意:1、本试卷共3页; ２、考试时间:120分钟; 3、姓名、学号必须写在指定地方。
一. 单项选择题，请将答案填入题后的方括号内(每小题2分， 共２０分）1.与函数()f x =[ C ]. Ａ．lnx B.21()2ln x C ．lnx Ｄ.ln x2．若(1)(2)(3)(4)(5)lim (32)x x x x x x x αβ→∞-----=-,则α与β的值为［ D ]. Ａ．11,3αβ== B ．15,3αβ== C.511,3αβ== D ．515,3αβ==３．设函数()y f x =在点0x 处可导,dy 为()f x 在0x 处的微分,当自变量x 由0x 增加到0x x +∆时， 极限0limx y dyx∆→∆-∆等于[ B ]．A ．－１ Ｂ.0 C ．1 D.∞4.若()f x 在x a =的某个邻域内有定义,则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是[ D ].A ．1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在 Ｂ．0(2)()lim h f a h f a h h→+-+存在Ｃ.0()()lim2h f a h f a h h →+--存在 D.0()()lim h f a f a h h→--存在5．已知函数1sin ,0(),0x x f x xax b x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续，则a 与b 等于[ C ]．A.1,1a b ==B.0,a b R =∈ C ．,0a R b ∈= D.,a R b R ∈∈6.若函数32()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-,则下列结论中正确的是[ B ].Ａ.3,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极小值点B.0,3a b ==-,且1x =为函数()f x 的极小值点 C ．1,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极大值点D.0,3a b ==-,且1x =为函数()f x 的极大值点７．设1()1f x x =-，其n 阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项()n R x 等于[ Ｃ ]. A.11,(01)(1)(1)n n x n x θθ++<<+- B ．11(1),(01)(1)(1)n n n x n x θθ++-<<+-C.12,(01)(1)n n x x θθ++<<- D.11(1),(01)(1)n n n x x θθ++-<<-8.若sin 2x 为函数()f x 的一个原函数，则()xf x dx ⎰等于[ Ｄ ]． A.sin 2cos2x x x C ++ B ．sin 2cos2x x x C -+Ｃ．1sin 2cos 22x x x C -+ D.1sin 2cos 22x x x C ++9．若非零向量,,a b c 满足0a b ⋅=与0a c ⨯=，则b c ⋅等于[ A ]． A ．0 B ．-1 C.1 D.310.直线2020x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面1x y z ++=的位置关系是[ Ｃ ］.A ．直线在平面内B ．平行C ．垂直 D.相交但不垂直二.填空题(每小题2分，共１0分)1.一质点作直线运动，其运动规律为426s t t t =-+,则速度增加的时刻t = １ . 2．若21arctan (1)2y x x ln x =-+，则dy =arctan xdx . ３．已知21adx x π+∞-∞=+⎰，则a = １ .４．已知()xf x e =，则()f lnx dx x'=⎰ x C + ． 5.设向量,,m n p 满足0m n p ++=,且6m =，8n =,10p =,则m n n p p m ⨯+⨯+⨯= 1４4 ．三．求解下列各题（每小题5分，共10分）1．11lim(1)21n n n +→∞-+解：原式=((21)(1)1)/21lim(1)21n n n -+-+→∞-+ 2 ＝(21)(1/2)(1/2)11lim(1)lim(1)2121n n n n n -+-→∞→∞-⋅-++ ４1/2e -= ５2．20(13)lim (sec cos )x ln x x x →+-解:原式＝203cos lim (1cos )(1cos )x x xx x →-+ 2=2023cos lim1(1cos )2x x x x x →+ 4=6 5四. 求解下列各题（每小题6分,共12分）1.若方程arctan 1xyy e =+确定了y 是x 的函数,求函数y 的微分dy . 解：原方程两边同时对x 求导，有2()1xyy e y xy y ''=++ 则22(1)1(1)xy xy y y e y x y e +'=-+ ４ 则22(1)1(1)xyxyy y e dy dx x y e +=-+ 62．设参数方程21cos x t y t⎧=+⎨=⎩确定了y 是x 的函数,求22d ydx .解：sin 2dy tdx t-=３ 222cos sin 122t t td y t dx t-=- 5 3sin cos 4t t tt-= 6五.求解下列各题(每小题６分,共18分)1.222()lnx dx xlnx +⎰解：原式=212()()d xlnx xlnx ⎰ ４2C xlnx-=+ 6 2.222max{,}x x dx -⎰解：原式＝0122221x dx xdx x dx -++⎰⎰⎰ 4323012201[][][]323x x x -=++ 5＝１1/2 ６3．设21sin ()x tf x dt t =⎰,求10()xf x dx ⎰解：21100()()()2x xf x dx f x d =⎰⎰ ２221100[()](())22x x f x d f x =-⎰ 422112200sin 02sin 2x x xdx x x dx x =-=-⎰⎰ 2101[cos ]2x =cos112-= 6六. (本题10分)y已知星形线33cos sin x a ty a t ⎧=⎨=⎩如右图所示，其中0a >， a 1） 计算星形线的全长； a - ０ a x2） 求星形线与坐标轴所围成图形的面积.解：1）长度4L =⎰2 a -4=⎰４6a = ５2)面积024202443sin cos a S ydx a t tdt π==-⎰⎰ 82422012sin cos at tdt π=⎰238a π= 1０七． (本题７分)已知某直角三角形的边长之和为常数,求该直角三角形面积的最大值. 解：设两直角边与斜边分别为,,x y z ,其和为常数k ，所求面积为S因x y z k ++=及222x y z +=,则222()kx k y x k -=- 3则221224()kx xk S xy x k -==-，且222(24)()4()k x kx k S x x k -+'=-有驻点22x k -= ５则22max34S k -==为所求 7八. (本题7分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线方程. 解：记直线111:321x y zL +-==-,设过点(2,1,3)M 且垂直相交于直线1L 的平面为π 则平面π方程为3(2)2(1)(3)0x y z -+---= ２令11321x y zt +-===-则13,12,x t y t z t =-+=-+=- 代入平面π得3/7t =，即交点为2133(,,)777A - 4以12624(,,)777MA --=为所求直线的方向向量得到所求直线为:213214x y z ---==- 7九. (本题6分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续且0()1f x <<，试判断方程02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有几个实根,并证明你的结论. 证：记0()2()1x g x x f t dt =--⎰则10(0)10,(1)1()0g g f t dt =-<=->⎰2且0()1f x <<知()2()0g x f x '=->,即在闭区间[0,1]上单调增加 ４ 故02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有一个实根 6。
高数第一章测试题
高数第一章测试题高等数学作为大学课程中的重要基础学科，对于很多同学来说是一个不小的挑战。
而第一章往往是为后续的学习打下基石的关键部分。
接下来，就让我们一起通过这份测试题来检验一下对第一章知识的掌握程度。
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）1、函数＼（f(x) ＝＼frac{1}｛x 1}＼）的定义域为（）A ＼（x ＼neq 1\）B ＼（x ＞ 1\）C ＼（x ＜ 1\）D ＼（x ＼neq 0\）2、设＼（f(x) ＝＼sqrt{x}＼），则＼（f(f(4)）＼）的值为（）A 2B ＼（＼sqrt{2}＼）C 4D ＼（＼sqrt{4}＼）3、当＼（x ＼to 0\）时，下列函数中与＼（x\）等价无穷小的是（）A ＼（x^2\）B ＼（＼sin x\）C ＼（1 ＼cos x\）D ＼（e^x 1\）4、函数＼（f(x) ＝ x^3 3x ＋ 1\）的单调递增区间是（）A ＼（（＼infty, －1)＼）和＼（（1, ＋＼infty)＼）B ＼（（－1,1)＼）C ＼（（＼infty, ＋＼infty)＼）D 以上都不对5、曲线＼（y ＝ x^2 ＋ 1\）在点＼（（1, 2)＼）处的切线方程为（）A ＼（2x y ＝ 0\）B ＼（x 2y ＋ 3 ＝ 0\）C ＼（2x ＋ y 4 ＝ 0\）D ＼（x ＋ 2y 5 ＝ 0\）6、设函数＼（f(x)＼）在＼（x ＝ 0\）处连续，且＼（f(0) ＝2\），则＼（＼lim_{x ＼to 0} f(x)＼）的值为（）A 0B 1C 2D 不存在二、填空题（每题 5 分，共 30 分）1、函数＼（f(x) ＝＼ln(x ＋ 1)＼）的导数为________。
2、极限＼（＼lim_{x ＼to 1} ＼frac{x^2 1}｛x 1}＼）的值为________。
3、曲线＼（y ＝ e^x\）在点＼（（0, 1)＼）处的切线斜率为________。
大学数学1试题(A)参考答案
大学数学1试题（A）参考答案一、选择题1. 答案：C解析：题目中要求求出f(x)=3x2-7x+5的导数。
根据求导法则，导数的求法为f'(x)=[3*(2x)^(2-1)-7*(1x)^(1-1)]，即f'(x)=6x-7。
根据选项，可知C选项是正确答案。
2. 答案：B解析：题目中要求求出f(x)=2sin(x)+cos(x)的导数。
根据求导法则，导数的求法为f'(x)=2*cos(x)-sin(x)。
根据选项，可知B选项是正确答案。
3. 答案：A解析：题目中要求求出下列等差数列的前n项和。
根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
根据选项，可知A选项是正确答案。
4. 答案：D解析：题目中要求求出平面上一点到x轴的距离。
根据平面几何知识，点P(x,y)到x轴的距离为|y|，即D选项是正确答案。
5. 答案：C据求导法则，在极值点处的导数为零。
对函数f(x)求导得到f'(x)=3x2-3=0，解得x=±1。
根据选项，可知C选项是正确答案。
二、填空题1. 答案：-√3解析：题目中要求求出方程x2+3x+3=0的解。
根据二次方程求根公式，解出x=(-b±√(b2-4ac))/(2a)，代入a=1，b=3，c=3，可得到x=(-3±√(3^2-4*1*3))/(2*1)，计算得x=-√3。
2. 答案：15解析：题目中要求求出3,5,7...97的等差数列的前n项和，根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n 为项数。
根据选项，可得n=16，代入公式计算得Sn=16*(3+97)/2=15*100/2=1500/2=750。
3. 答案：-1解析：题目中要求求出方程sin(x)=cos(x)的解。
根据三角函数的定义，sin(x)=cos(π/2-x)，即sin(x)=sin(π/2-x)，因此x=π/2-x+2kπ，化简得到x=-1/2+2kπ，其中k为整数。
高等数学A1(1)答案.
08-09学年第一学期《高等数学A1》试卷(A卷得分：题号一二三四五六得分阅卷人一、填空题（每小题3分，共18分）1．设，则。
2．曲线的斜渐近线为。
3．设函数处处可导，则。
4. 。
5.已知，则满足的特解为。
6. 函数。
二、计算下列各题（满分18分，每小题6分）1. 求解：2．求定积分的值。
解：3. 求不定积分解：三、解答题（满分16分，每小题8分）1. 求解：原式=2．求的值。
解：而故四、应用题（满分16分，每小题8分）1、求心形线的全长。
解：2、试求的经过点，且在此点与相切的积分曲线。
解：由得：，由题设可得：，得：，所以所求的积分曲线为：五、综合题（满分16分，每小题8分）1、设常数，试确定函数在内的零点的个数。
解：，令得驻点。
由于当时，，即在单调递增，当时，，即在单调递减，所以在取得最大值，而所以在及各有的一个零点，即在内的零点的个数为2.2、求曲线的极值、拐点和凹凸区间。
解：令得驻点，令得单增（凸）极大值（）单减（凸）拐点（）单减（凹）六、证明题（满分16分，每小题8分）1、设试证明存在，并求。
证明：先证明由于，所以，假设，则，所以由数学归纳法，对一切，有。
下面证明单调递增。
由单调有界原理可得：存在，记为，则由可得：，解得：或（舍去）。
2、设函数在上连续，在内可导，，证明至少存在一点使得。
证明：取，则在上连续，在内可导，并且，由罗尔中值定理得：至少存在一点，使得：，即，因此。
高等数学第一章单元测验试题及答案
4．k 取何值时，函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0,20,2tan )(x k x x x x x f 在0=x 处连续.5.判别函数11arctan )(2++=xx x x f 在0=x 处的间断点的类型.6.用极限定义证明：123182lim 23=--→x x x .（δε-定义）.7.求极限n n n 25sin 2lim ∞→。
8.求极限145lim 1---→x x x x 。
9.若0)11lim(2=--++∞→b ax x x x ，试确定常数a 、b 的值.10.已知函数)(x f 在],[b a 上连续，且b b f a a f 2)(,2)(≤≥，证明存在],[b a ∈ξ，使得ξξ2)(=f 。
5.判别函数11arctan )(2++=xx x x f 在0=x 处的间断点的类型.解：函数在0=x 处无定义，所以函数在0=x 处间断，…………3分又)(lim 0x f x →)11arctan (lim 20++=→xx x x 1100=++=，所以0=x 是第一类可去间断点.…….10分6.用极限定义证明：123182lim 23=--→x x x .（δε-定义）.证明：0>∀ε，要使|123)3)(3(2||123182|2--+-=---x x x x x ε<-=-+=|3|2|1262|x x ，………….4分只要2|3|ε<-x 。
取2εδ=，………….8分则当δ<-<|3|0x 时，有|123182|2---x x ε<-=|3|2x ，从而有123182lim 21=--→x x x 。
………….10分7.求极限n n n 25sin 2lim ∞→。
解：n n n 25sin 2lim ∞→=nn n 2125sin lim ∞→--------------------------------------------------------------------------------5分52525sin lim ⋅=∞→nn n 5=-----------------------------------------------------------------------10分8.求极限145lim 1---→x x x x 。
15-16 .1高等数学A(一)试卷(A)
第 1 页 共 3 页考生答题不得过此线··················密····························封·························线···························· 院系 专业年级 班级 姓名 学号··················装····························订·························线····························一、填空题(本大题含12个小题，每小题2分,共24分)1．当0→x 时，x cos 1-是x 的 阶无穷小.2．若⎩⎨⎧≥+<=0 ,0,)(x x a x e x f x 在x =0处连续，则=a ___________.3. 函数231)(22+--=x x x x f 的可去间断点是 . 4. 曲线x e y -=在)1,0(处的切线方程为 .5. 落在平静水面上的石头，产生同心波纹.若最外一层波半径的增大速率是6m/s,则在2s 末扰动水面面积增大的速率是 .6.曲线 232++=x x y 在1=x 处的曲率为______ .7.x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 取极值，则=a .8.若x 的一个原函数是)(x f 且0)0(=f 则=)(x f __ . 9.小轿车以每小时72公里速度直线行驶，到某处需减速停车.设小轿车以等加速度2/5-s m 刹车，则从开始刹车到停车，小轿车驶过的距离为_______.10.=+⎰-dx x x x 411)sin ( ______ .11.反常积分⎰+∞+0211dx x =______ . 12.2x y =与x y =2所围成平面图形的面积为__ . 二、计算题（每小题7分，共56分）13．求极限 31lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛+x x x x14．求极限xx xx x sin sin lim20-→15．设函数)(x y y =由方程y xe y -=1确定，求dy16．求由参数方程⎩⎨⎧+==)1ln(arctan 2t y t x 所确定的函数的一阶导数dx dy17．求不定积分 dx x x ⎰+)ln 23(118．求不定积分xdx x ln 2⎰ 19．求定积分⎰++40122dx x x20．求定积分⎰-23cos cos πdx x x三、应用与证明（共20分，其中第21,22题各7分，第23题6分）21．证明： 当x >1时，x 2>x13-22．某地区的防空洞的截面拟建成矩形加半圆.截面总面积为5平方米.问底宽为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省.23．一圆柱形的贮水桶高为5米，底圆半径为3米，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功.。
高等数学第一章综合测试卷含答案
第一章 函数与极限综合测试题A 卷一、填空题（每小题4分,共20分） 1、21lim(1)xx x→∞-= .2、当0x →+时,无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价,则常数A= .3、已知函数()f x 在点0x =处连续,且当0x ≠时,函数1()2x f x -=,则函数值 (0)f = . 4、111lim[]1223(1)n n n →∞+++⋅⋅+ = .5、若lim ()x f x π→存在,且sin ()2lim ()x xf x f x x ππ→=+-,则lim ()x f x π→= .二、选择题（每小题4分,共20分）1、当0x →+时, 无穷小量是 [ ].（A ） 1sin x x （B ） 1x e （C ） ln x (D) 1sin x x2、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的 [ ]. （A ） 连续点 （B ） 第一类非可去间断点 （C ） 可去间断点 (D) 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的 [ ]. （A ） 充分非必要条件 （B ） 必要非充分条件 （C ） 充要条件 (D) 无关条件4、已知极限22lim()0x x ax x→∞++=,则常数a 等于 [ ]. （A ）1- （B ）0 （C ）1 (D) 2 5、极限201limcos 1x x e x →--等于 [ ].（A ） ∞ （B ）2 （C ）0 (D) 2- 三、解答题（共60分）1、（7分）计算极限 222111lim(1)(1)(1)23n n →∞--- . 2、（7分）求极限 3tan sin limx x xx →-. 3、（7分）求极限 123lim()21x x x x +→∞++. 4、（7分）求极限1x e →-5、（7分）设3214lim 1x x ax x x →---++ 具有极限l ,求,a l 的值.6、（8分）设3()32,()(1)n x x x x c x αβ=-+=-,试确定常数,c n ,使得()()x x αβ .7、（7分）试确定常数a ,使得函数21sin 0()0x x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续.8、（10分）设函数()f x 在开区间(,)a b 内连续,12a x x b <<<,试证:在开区间(,)a b 内至少存在一点c ,使得11221212()()()()(0,0)t f x t f x t t f c t t +=+>>.综合测试题A 卷答案一、填空题1、2e - 2、3 3、0 4、1 5、1 二、选择题1、（A ）2、（C ）3、（D ）4、（A ）5、（D ） 三、解答题1、原式=132411111lim()()()lim 223322n n n n n n n n →∞→∞-++⋅⋅⋅=⋅= .2、 原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x xx x x x x x x →→→--===.3、原式= 232lim (1)(1)lim(1)2121x x x x x x x eee →∞→∞+-++++===.4、原式=201sin 12lim 2x x xx →=.5、 因为1lim(1)0x x →-+=,所以 321lim(4)0x x ax x →---+=,因此 4a =,代入原式得321144(1)(1)(4)limlim 1011x x x x x x x x l x x →-→---++--===++. 6、 此时,()()x x αβ7、 当0x >时,()f x 连续,当0x <时,()f x 连续.20001lim ()lim sin 0,lim ()lim()x x x x f x x f x a x a x+-→→→→===+= 所以,当0a =时,()f x 在0x =连续,因此,当0a =时,()f x 在(,)-∞+∞内连续. 8、 因为()f x 在(,)a b 内连续,12a x x b <<<,所以 ()f x 在12[,]x x 上连续,由连续函数的最大值、最小值定理知,()f x 在12[,]x x 上存在最大值M 和最小值m,即在12[,]x x 上,()m f x M ≤≤,所以12112212()()()()t t m t f x t f x t t M +≤+≤+,又因为 120t t +>,所以32221()32(1)(2)(1)(2)3lim ,3,2(1)α→=-+=-+-+=∴==- x x x x x x x x c n c x c112212()()t f x t f x m M t t +≤≤+,由连续函数的介值定理知:存在12(,)(,)c x x a b ∈⊂,使得112212()()()t f x t f x f c t t +=+.第一章 函数与极限综合测试题B 卷一、填空题（每小题5分,共30分） 1、若()2110x x f x x x ++⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭,则()f x =2、ln 12sin x x →+=3、102lim arccos xx x π→⎛⎫= ⎪⎝⎭4、limn →∞⋅=5、121limn n n n n n ββαααβ→∞⎡-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 6、()lim 1txtxt x e f x e →+∞+=+,()f x 的间断点是二、选择题（每小题5分,共30分）1、(),012,12,12x x f x x x x <<⎧⎪==⎨⎪-<≤⎩的连续区间为 [ ] .（A ）[]0,2； （B ）()0,2； （C ）[)(]0,11,2 ； （D ）()(]0,11,2 .2、01sinlimsin x x x x→的值为 [ ]. （A ）1 （B ）∞ （C ）不存在 （D ）0.3、若222lim 22x x ax bx x →++=--,则必有 [ ]. （A ）2,8a b == （B ）2,5a b == （C ）0,8a b ==- （D ）2,8a b ==-. 4、若0x →时,()f x 为无穷小,且()f x 是2x 的高阶无穷小, 则()20limsin x f x x→= [ ].（A ）0 （B ）1 （C ）∞ （D ）12. 5、()11121arccot1xxe f x xe-=+,则0x =是()f x 的 [ ]. （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点 （C ）无穷间断点 （D ）振荡间断点.6、(),0,0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩,要使()f x 在0x =处连续,则a = [ ].（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-. 三、计算题（每小题6分,共30分） 1、求13521lim 2482n n n →∞-⎛⎫++++⎪⎝⎭ .2、讨论函数()221lim1nn n x f x x x →∞-=+的连续性,若有间断点,判别其类型. 3、设()()()4,1,2122,1x ax bx x x x f x x ⎧++≠≠-⎪-+=⎨⎪=⎩在1x =处连续,求,a b 的值.4、求22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫+++⎪++++++⎝⎭ . 5、求()()222ln sin limln 2x xx x e x e x x→+---.四、证明题（共10分）1、若()f x 在[],a b 上连续,12n a x x x b <<<<< ,证明:在[]1,n x x 上必有ξ,使()()()()121n f f x f x f x nξ=+++⎡⎤⎣⎦ .综合测试B 卷答案一、填空题1、()20x x x -≠; 2、2; 3、2e π-; 4、2; 5、2βα+; 6、0x =二、选择题1、(D)2、(C)3、(D)4、(A)5、(B)6、(B) 三、计算题 1、()12121231,2,222n n n n n n n --++=-= ,13521lim 3.2482n n n →∞-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭2、()22,11lim0,11,1nnn x x x f x x x x x x →∞⎧->⎪-===⎨+⎪<⎩,1x =±也是第一类（跳跃）间断点.3、,2,3a b ==-.4、()()221111221n n n n n x n n n n n ++≤≤++++,由夹逼准则1lim 2n n x →∞=. 5、 原式()()222222002sin ln 1ln sin ln lim lim ln ln ln 1x x x x x x x x x x e e e x e x e e →→⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭==⎛⎫--- ⎪⎝⎭2222222000sin sin lim lim lim 1x x xx x x x x e x x e e x e xx --→→→==-=-=-- . 四、证明题因为()f x 在[],a b 上连续,[][]1,,n x x a b ⊂,故()f x 在[]1,n x x 上连续,因而在[]1,n x x 上()f x 必有最大值M 和最小值m .于是()(),1,2,i m f x Mi n ≤≤= ,作和,有()1ni i nm f x nM =≤≤∑,于是()11ni i m f x M n =≤≤∑.由介值定理的推论,[]1,n x x 上连续的函数()f x 必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值,即存在[]1,n x x ξ∈,使()()11ni i f f x n ξ==∑.。
大学数学试题a及答案
大学数学试题a及答案大学数学试题A一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数是（）。
A. 2x+2B. 2x+1C. x^2+2D. 2x答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 以下哪个函数是偶函数（）。
A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = xD. f(x) = x^2 + x答案：B4. 以下哪个级数是收敛的（）。
A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...C. 1 + 1/2 + 2/3 + 3/4 + ...D. 1 + 2 + 4 + 8 + ...答案：B5. 矩阵A = [1 2; 3 4]的行列式是（）。
A. 2B. -2C. 10D. -10答案：C6. 以下哪个积分是正确的（）。
A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫e^x dx = e^x + CD. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C答案：D7. 以下哪个方程的解是x = 2（）。
A. x^2 - 4x + 4 = 0B. x^2 - 3x + 2 = 0C. x^2 - 5x + 6 = 0D. x^2 - 6x + 8 = 0答案：B8. 以下哪个是二阶偏导数（）。
A. ∂^2f/∂x∂yB. ∂f/∂xC. ∂^2f/∂x^2D. ∂f/∂y答案：A9. 以下哪个是二重积分（）。
A. ∫∫f(x, y) dx dyB. ∫f(x) dxC. ∫f(y) dyD. ∫∫f(x) dx答案：A10. 以下哪个是线性方程组（）。
A. x + y = 3B. x^2 + y^2 = 1C. x + 2y = 5D. x^3 + y^3 = 1答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^3 - 3x的极值点是______。
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《 高 等 数 学 》 第 一 单 元 测 试 题 （ A)
一、填空题
1.设 y f ( x) 的定义域是 (0,1] ， ( x) ln x ，则复合函数 y f [ ( x)] 的定义域为 2. lim
x
。
sin x = x
。
3
k
3.当 x 0 时， a x a ( a 0) 与 x 为等价无穷小，则 k
x 3
D. lim
x 3
arctan x 的极限为 5. 当 x 时，
2 三、判断题
1. 2. A.
f ( x) 1 x
（ ）
B.
C.
2
D.不存在,但有界
若数列 {x n } 不收敛， 则数列 {x n } 一定无界。 设函数 f ( x) 在点 x x 0 处连续， 则 f ( x) 在点 x x 0 处连续。
。
x2 1 4.函数 y 2 的间断点是 x 3x 2
。
5. 已 知 函 数 f ( x) 在 点 x 0 处 连 续 ， 且 当 x 0 时 ， 函 数 f ( x) x sin
1 ，则函数值 x
f (0) =
。
二、选择题
1.如果 lim f ( x) 与 lim f ( x) 存在， 则
x x 0 x x 0
（
）
A. lim f ( x) 存在且 lim f ( x) f ( x0 )
x x
0
x x
0
B. lim f ( x) 存在但不一定有 lim f ( x) f ( x0 )
x x
0
x x
0
C. lim f ( x) 一定不存在
x x
D. lim f ( x) 不一定存在
n
1 1 1 2 ... 2 )。 n n 2 n n
2
2.计算下列函数极限（1） lim
( 1 x sin x 1) x 0 x arctan x
； （2） lim (
x
1 x 3x ) 。 x
3.设 f ( x) 在 [0,1] 上连续，且 0 f ( x) 1 ，则必存在 (0,1) 使 f ( ) 。
x x
0
0
2. 当 x 0 时， 以下为无穷小量的是
(
)
A.
1 x sin x
B.
ห้องสมุดไป่ตู้
e
1 x
C.
ln x
D.
1 sin x x
（ )
3.函数 f ( x) 在点 x0 处有定义是其在 x0 处极限存在的 A. 充分非必要条件
x 3
B. 必要非充分条件
C.
充要条件
D.
无关条件 （ ）
4.已知 lim f ( x) 0 ， 且 f (3) 1 ， 那么 A. f ( x) 在 x 3 处连续 B. f ( x) 在 x 3 处不连续 C. lim f ( x) 不存在
ex , x 0 4.试确定常数 a ，使得函数 f ( x) , 在 (, ) 内连续。 a x , x 0
5.证明方程 x 3 x 1 至少有一根介于 1 和 2 之间。
5
（ （
） ）
贵州工程应用技术学院高等数学单元测试题
3. 4.
单调有界数列一定收敛。
（
）
若 x0 函数 f ( x) 的间断点，且在点 x x 0 处的左右极限存在，则 x0 是 f ( x) 的第一类间断点。 （ ） ）
5.
闭区间上的连续函数一定存在最大最小值。
（
四、综合题
1. 计算数列极限 lim n(