2021高考数学专题复习：周期函数

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专题06 函数的奇偶性与周期性复习资料(解析版)

小正周期．
3．函数的对称性常见的结论
a＋b (1)函数 y＝f(x)关于 x＝对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．
2
特殊：函数 y＝f(x)关于 x＝a 对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；函数 y＝f(x)关于 x＝0 对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)． (2)函数 y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b. 特殊：函数 y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；函数 y＝f(x)关于(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)． (3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称； y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数 y＝f(x)关于点(a,0)对称． [知识拓展]
数
f(x)就叫做奇函数
称
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，
那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最
综上可知：对于定义域内的任意 x，总有 f(－x)＝－f(x)成立，∴函数 f(x)为奇函数.
【解法小结】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关

高考数学(一轮复习)最基础考点：函数的周期性

专题6 函数的周期性函数的周期性★★★○○○○1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．周期函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f x，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝1f x，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b, 0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x ＋T)＝f(x)(T≠0)即可．(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT(k ∈Z 且k≠0)也是函数的周期．[典例] (1)(·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x ，0≤x ≤1，x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝，那么f 2 016(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝________.[解析] (1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f 2 016(2)＝f 3×672(2)＝f 3(2)＝2，故选C.1．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4.答案：(－1,4)2．奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．3．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2.答案：21．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0＜x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝( )A ．0B ．1 C.12D ．－1解析：选D 因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－2＝－1，故选D.2．(·沈阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值为( )A.12B.14 C ．－14D ．－12解析：选A ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12. 3．(·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．4．若对任意x ∈R ，函数f (x )满足f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，且f (2 018)＝－2 017，则f (－1)＝________.解析：由f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，得f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 017＋1)，令x ＋2 017＝t ，即f (t ＋1)＝－f (t )，所以f (t ＋2)＝f (t )，即函数f (x )的周期是2.令x ＝0，得f (2 017)＝－f (2 018)＝2 017，即f (2 017)＝2 017，又f (2 017)＝f (1)＝f (－1)，所以f (－1)＝2 017. 答案：2 0175．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值．解：∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝f (2 011)＋f (2 012)＋…＋f (2 016)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝1×2 0166＝336.而f (2 017)＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝1＋2＝3.∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝336＋3＝339.____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________。

高中函数周期知识点总结

高中函数周期知识点总结一、函数的周期性1. 周期函数的概念在数学中，周期函数是指以某个值T为周期的函数。

如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意x∈R，有f(x+T)=f(x)，那么我们就称函数f(x)是周期函数，并且周期T称为f(x)的周期。

通常情况下，周期函数的图像在一定区间内重复出现相同的形状。

2. 周期函数的性质（1）周期函数的性质周期函数的基本性质包括：a. 周期函数在每一个周期内有相同的函数值。

b. 周期函数的图像可以在一个周期内被重复出现。

c. 若T为周期，则kT也是周期，其中k为非零的常数。

d. 若T1和T2都是周期，则它们的最小公倍数也是周期。

e. 三角函数sin(x)和cos(x)都是周期为2π的周期函数。

（2）求周期函数的周期当给定一个函数f(x)时，我们需要计算出它的周期。

求周期的方法主要有两种：a. 观察法：观察函数的图像，找出重复的模式，从而确定周期。

b. 利用公式法：若函数f(x)满足f(x+T)=f(x)，我们可以通过解方程来求出T。

3. 常见周期函数常见的周期函数主要有三种：a. 正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)：它们的周期都是2π。

b. 正切函数tan(x)和余切函数cot(x)：它们的周期都是π。

c. 任意形式的三角函数：假设f(x)是一个周期函数，那么af(bx+c)+d也是一个周期函数，其中a、b、c、d为常数。

4. 函数的不同周期有些函数可能有多个周期，称为多周期函数。

常见的多周期函数有正弦函数和余弦函数。

此外，有些函数可能存在最小正周期和最小整数周期不相等的现象，称为非自由振荡。

（见以下部分）5. 周期函数的应用周期函数在很多领域都有广泛应用，例如在物理学、工程学、生物学和经济学中。

在物理学中，振动系统的运动可以用周期函数来描述。

在经济学中，周期函数可以描述商品价格和经济增长等现象。

二、函数周期性的相关概念1. 最小正周期对于周期函数f(x)，如果存在一个最小正数T，使得对于任意x∈R，有f(x+T)=f(x)，那么我们称T为函数f(x)的最小正周期。

高中高考函数的周期性复习资料

函数的周期性一．知识点：1.周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内任何值f(x+T)=f(x)，那么就称f(x)为周期函数，T为f(x)的周期。

2.周期函数的性质：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。

（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。

（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。

（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。

（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合3.判定定理：定理1. 若f（x）是在数集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f（x）+C（K≠0）和1/ f（x）分别是集M和集{X/ f（x）≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。

定理2. 若f（x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f（ax+b）是集{x|ax+b∈M}上的以T/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。

定理3. 设f（u）是定义在集M上的函数，u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g（x）∈M，则复合函数f（g（x））是M1上的周期函数。

定理4. 设f1（x）、f2（x）都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍数为它们的周期。

4.几个常见常考周期函数的关系式：（其中a≠0）（1）f(x+a)= -f(x) =>f(x+2a)=f(x)（2）f(x+a)=1/f(x) =>f(x+2a)=f(x)（3）f(x+a)= -1/f(x) =>f(x+2a)=f(x)（4）若奇函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x+4a)=f(x)（5）若偶函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x+2a)=f(x)二．典型例题（难）：例题1：已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线x=1对称，则f(1)+f(2)+…+f(2019)=_______例题2：已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=12f(x)且当x∈[0,2]时，f(x)= -2sinπ2x①若当x∈[ -4,-2]时，f(x)≥t➖9t恒成立，则t的取值范围为________②函数g(x)=f(x) ➖12log16X 零点的个数为________例题答案：例题一：0 例题二：t≤9或0＜t≤1 ； 5三．基础例题1.若函数f（x）=x2+bx+c对一切实数都有f（x+2）=f（2 -x）则有（）A．f（2）＜f（1）＜f（4）B．f（1）＜f（2）＜f（4）C．f（2）＜f（4）＜f（1）D．f（4）＜f（2）＜f（1）2.已知定义在R上的函数f（x）满足f（-x）= - f（x），f（3-x）=f(x)，则f（2019）=（）A．- 3 B.0 C.1 D.33.已知定义在R上的函数f（x）满足：y=f（x - 1）的图像关于点（1，0）对称，且当0≥0时恒有f（x）=f（x+2），当x∈[0,1]时，f（x）=ex – 1，则f（2016）+f（-2015）=（）A．1 – e B. e – 1 C. – 1 – e D.e+14.定义在R上奇函数f（x）满足f（x+2）= -f（x），且在[0，2）上单调递减，则下列结论正确的是（）A．0＜f（1）＜f（3） B. f（3）＜0＜f（1）C．f（1）＜0＜f（3） D. f（3）＜f（1）＜05.已知函数f（x）的图像关于点（- 3 ，2 ）对称，则函数h（x）=f（x+1）- 3的图像的对称中心是_______6.设f（x）是定义在R上的奇函数，且在( -∞，0 )上是减函数，f（-2）=0，则xf（x）＜0的解集为________7.已知f（x）,g（x）都是定义在R上的函数，且f（x）为奇函数，g（x）的图像关于直线x=1对称，则下列四个结论中错误的是（）A．y=g[f(x)+1]为偶函数 B.y=g[f(x)]为奇函数C.函数y=f[g(x)]的图像关于直线x=1对称D．y=f[g(x+1)]为偶函数8.定义在R上得函数f(x)满足f( - x)=f(x),且当x≥0时，f(x)={−x2+1，0≤x≤12−2x，x≥1若对任意得x∈[m,m+1]，不等式f（1-x）≤f（x+m）恒成立，则实数m的最大值是（）A．- 1 B.12C. - 13D.13答案：1. A由已知得：对称轴为x=2，由于抛物线开口向上，所以越靠近对称轴值越小2.B∵f（- x）= - f（x）,∴f（3 - x）= - f（x - 3），且f（0）=0.又∵f（3 - x）=f（x），∴f（x）= - f（x - 3），∵f（x - 3）= - f（x - 6）,∴f（x）=f（x - 6），∴f（x）是周期为6的函数，∴f（2019）=f（6×336+3）=f（3）=（0）=03.A∵y=f（x - 1）的图像关于点（1，0）对称，∴f（x）的图像关于远点对称，∵当x≥0时恒有f（x）=f（x+2），∴函数f（x）的周期为2∴f（2016）+f（- 2015）=f（0）- f（1）=1 – e4.C由函数f（x）时定义在R上的奇函数，得f（0）=0，由f（x+2）= - f（x），得f（x+4）= - f （x+2）=f（x），故函数f（x）是以4为周期的周期函数∴f（3）=f（- 1）又∵f（x）在[0,2）上单调递减，∴函数f（x）在（- 2，2 ）上单调递减∴f（-1）＞f（0）＞f（1）5.（- 4，- 1）函数h（x）=f（x+1）- 3的图象是由函数f（x）的图像向左平移1个单位，再向下平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f（x）的图像关于点（- 3，2）对称，所以函数h（x）的图像的对称中心为（-4，-1）6．(-∞，-2]∪[0，2]（1）x=0时，xf（x）=0，满足要求；（2）x＜0时xf（x）≤0，所以，f（x）≥0f（x）在（-∞，0）上是减函数，f（-2）=0所以，x≤-2（3）x＞0时，xf（x）≤0，所以，f（x）≤0f（x）为R上的奇函数，且在（-∞，0）上是减函数，所以在（0，+∞）上是减函数，f（2）=0f（x）≤0，解得，0＜x≤2所以，不等式 xf（x）≤0 的解集为(-∞，-2]∪[0，2]7. B已知得f （- x ）= - f （x ），g （1 - x ）=g （1+x ）， ∵g[f(-x)+1]=g[ - f(x)+1]=g[f(x)+1]，∴y=g[f(x)+1]为偶函数∵f[g(x)]=f[g(2 - x)]∴y=f[g(x)]得图像关于直线x=1对称∵f[g( - x+1)]=f[g(x+1)]∴y=f[g(x+1)]为偶函数∵g[f( - x)]=g[ - f(x)]=g[2+f(x)]∴y=g[f(x)]不是基函数8. C由题知函数f(x)为偶函数，且当x ≥0时，函数f(x)为减函数，则当x ＜0时，函数f （x ）为增函数。

高考数学专题《函数的奇偶性、对称性、周期性》填选压轴题及答案

5.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，则
6．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()
A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数
专题03函数的奇偶性、对称性、周期性
【方法点拨】
1.常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝ (a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
对于，是函数的一条对称轴，且函数是周期为4的周期函数，则是函数的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线是函数图象的一条对称轴，正确；
对于，函数在，上有7个零点：分别为，，，0，2，4，6；错误；
对于，在区间，上为增函数且其周期为4，函数在，上为增函数，
又由为函数图象的一条对称轴，则函数在，上为减函数，正确；
2.函数奇偶性、对称性间关系：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.

高考数学二级结论快速解题：专题05 函数周期性问题(原卷版)

专题05函数周期性问题一、结论已知定义在R 上的函数()f x ,若对任意x R ,总存在非零常数T ,使得()()f x T f x ,则称()f x 是周期函数,T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果()()f x a f x (0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a (2)如果1()()f x a f x(0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a .(3)如果1()()f x a f x(0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a .(4)如果()()f x a f x c (0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a .(5)如果()()f x a f x b (0,0a b ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期||T a b .(6)如果()()()f x f x a f x a (0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期6T a .二、典型例题1．（2021·全国·高考真题）已知函数 f x 的定义域为R ， 2f x 为偶函数， 21f x 为奇函数，则（）A ．102fB ． 10f C ． 20f D ． 40f 【答案】B 【解析】因为函数 2f x 为偶函数，则 22f x f x ，可得 31f x f x ，因为函数 21f x 为奇函数，则 1221f x f x ，所以， 11f x f x ，所以， 311f x f x f x ，即 4f x f x ，故函数 f x 是以4为周期的周期函数，因为函数 21F x f x 为奇函数，则 010F f ，故 110f f ，其它三个选项未知.故选：B.解法二：因为函数(2)f x 为偶函数，所以其图象关于0x 对称，则函数()f x 的图象关于直线2x 对称；所以()(4)(1)f x f x ；又函数(21)f x 为奇函数，所以其关于(0,0)对称；121(21)(2+1)=(2)()2f x f x f x f x 横坐标向右平移个单位横坐标伸长为原来2倍（）通过图象平移伸缩变换，可以得到(2)f x 关于1(,0)2对称，进而()f x 关于(1,0)对称；可得：()(2)(2)f x f x ；综合（1）（2）可得(4)(2)(2)()f x f x f x f x ；利用结论()()f x a f x 的周期为2T a ,故本题中()f x 的周期为4T 利用()(2)(2)f x f x 可得13(34)(1)2(1)0(1)0f f f f f f 【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.对称性问题：①轴对称问题：()f x 关于x a 对称，可得到如下结论中任意一个：()()()(2)()(2)f a x f a x f x f a x f x f a x；②点对称问题：()f x 关于(,0)a 对称，可得到如下结论中任意一个：()()()(2)()(2)f a x f a x f x f a x f x f a x；2．（2021·全国·高考真题（理））设函数 f x 的定义域为R ， 1f x 为奇函数， 2f x 为偶函数，当 1,2x 时，2()f x ax b ．若 036f f ，则92f（）A ．94B ．32C ．74D ．52【答案】D 【解析】令1x ，由①得： 024f f a b ，由②得： 31f f a b ，因为 036f f ，所以 462a b a b a ，令0x ，由①得： 11102f f f b ，所以 222f x x ．因为 1f x 是奇函数，所以 1f x 图象关于(0,0)对称，1(1)()f x f x 横坐标向右平移个单位所以()f x 关于(1,0)对称，得：()(2)(1)f x f x因为 2f x 是偶函数，所以 2f x 图象关于0x 对称；22()f x f x 横坐标向右平移个单位，所以()f x 关于2x 对称，得：()(4)(2)f x f x ；综合（1）（2）得到：(4)(2)(2)()f x f x f x f x 得到4T 所以9122f f，再利用()(2)(1)f x f x 令12x 代入：135(()222f f 故选：D．【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.三、针对训练举一反三1．（2008·湖北·高考真题（文））已知()f x 在R 上是奇函数，且(4)()f x f x ，当(0,2)x 时，2()2f x x ，则(7)f A ．-2B ．2C ．-98D ．982．（2021·全国·模拟预测（文））已知定义在R 上的偶函数 f x ，对x R ，有(6)()(3)f x f x f 成立，当03x 时，()26f x x ，则 2021f （）A ．0B ．2C ．4D ．23．（2021·江西·三模（理））已知函数 f x 的图象关于原点对称，且满足 0(3)1f x f x ，且当)4(2x ，时，12()log (1)f x x m ，若(2021)1(1)2f f ，则m （）A ．43B ．34C ．43D ．344．（2021·四川·石室中学模拟预测（理））已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(4)()(2)f x f x f ，当(0,2)x 时，2()231 f x x x ，则函数()y f x 在[4,4] 上零点的个数为（）A ．10B ．11C ．12D ．135．（2021·广西玉林·模拟预测（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x ，且当(0,3)x ，()e x f x x ，则下面结论正确的是（）A ．19(ln 3)(e)2f f fB ．19(e)(ln 3)2f f fC ．19(e)(ln 3)2f f fD ．19(ln 3)(e)2f f f6．（2021·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知 y f x 为奇函数且对任意x R ， 2f x f x ，若当 0,1x 时， 2log a f x x ，则 2021f （）A ．1B ．0C ．1D ．27．（2021·浙江·瑞安中学模拟预测）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，满足 2f x f x ，且当 0,1x 时， 2log 1f x x ，则函数 3y f x x 的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．58．（2021·陕西·模拟预测（文））已知定义在R 上的奇函数 f x 满足 2f x f x ．当12x 时， 2log 7f x x ，则 2021f （）A ．3B ．3C ．5D ．59．（2021·全国·模拟预测）已知 f x 是定义在R 上的偶函数，且x R ，40f x f x ．若 136f f ，则 21f ______．10．（2021·陕西·二模（理））已知定义在R 上的奇函数()y f x 满足(8)()0f x f x ，且(5)5f ，则(2019)(2024)f f ___________.。

【高中数学函数专题】函数的周期性(解析版)

函数的周期专题六性1．周期函数的定义对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )；如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．函数周期性常用的结论结论1：若f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )的一个周期为2a ；结论2：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论3：若f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a ；结论4：若f (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )(a ≠0)，则f (x )的一个周期为6a ；结论5：若f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论6：若f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论7：若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论8：若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论9：若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为4|b －a |．结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．考点一已知函数的周期性(显性的)，求函数值【方法总结】利用函数的周期性，可将其他区间上的求值等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例1](1)若f (x )是R 上周期为2的函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝__________．答案－1解析由f (x ＋2)＝f (x )可得f (3)－f (4)＝f (1)－f (2)＝1－2＝－1．(2)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )x 2－2，－2≤x ≤0，，0<x <1，则＝________．答案14解析由题意可得－2＝14，＝14．(3)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＋a ，－1≤x <0，|25－x|，0≤x <1，其中a ∈R ．若5(2f -＝9(2f ，则f (5a )的值是________．答案－25解析：由题意可得5()2f -＝＝－12＋a，9()2f ＝|25－12|＝110，则－12＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25．【高中数学函数专题】(4)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)cosπx2，0<x≤2，x＋12|，－2<x≤0，则f(f(15))的值为________．答案22解析由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝|－1＋12|＝12，所以f(f(15))＝cosπ4＝22．(5)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)的值等于()A．403B．405C．806D．809答案B解析定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405．【对点训练】1．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．1．答案7解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x．又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0．又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．2．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)1≤x<0，0≤x≤1，其中a，b∈R．若＝a＋3b的值为________．2．答案－10解析因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f f(－1)＝f(1)，故＝，从而12b＋212＋1＝－12a＋1，即3a＋2b＝－2，①．由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋22，即b＝－2a，②．由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10．3．已知函数f(x)(1－x)，0≤x≤1，－1，1<x≤2，如果对任意的n∈N*，定义f n(x)＝{[()]}n ff f f x⋅⋅⋅个，那么f2019(2)的值为()A．0B．1C．2D．33．答案C解析∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，f4(2)＝f(2)＝1，∴f n(2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故选C．4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝__________．4．答案337解析由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，由已知条件可得f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2022)＝337×1＝337．5．已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，f(6)＝()A．－2B．－1C．0D．25．答案D解析当x>12时，由可得当x>0时，f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，而f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝2，故选D．6．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝()A．0B．2C．3D．46．答案B解析∵y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数．令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0．则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，即函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，故选B．考点二已知函数的周期性(隐性1)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性1)，可利用周期性的性质结论1到结论6，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例2](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)，－1＜x≤0，1，0＜x≤1，则下列函数值为1的是()A．f(2.5)B．f(f(2.5))C．f(f(1.5))D．f(2)答案D解析由f(x＋1)＝－f(x)知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，于是f(x)是以2为周期的周期函数，从而f(2.5)＝f(0.5)＝－1，f(f(2.5))＝f(－1)＝f(1)＝－1，f(f(1.5))＝f(f(－0.5))＝f(1)＝－1，f(2)＝f(0)＝1，故选D．(2)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2018)的值为()A．2018B．－2018C．0D．4答案C解析依题意得，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，因此函数y＝f(x)是偶函数，且f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(2)＋f(2)，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的函数，f(2018)＝f(4×504＋2)＝f(2)＝0．(3)已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2022)＝__________．答案2解析由f(x＋2)＝1f(x)得f(x＋4)＝1f(x＋2)＝f(x)，所以T＝4，f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝2．(4)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f(x)，则f(2020)＝________．答案－2－3解析由f(x＋2)＝1－f(x)，得f(x＋4)＝1－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f (2020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2020)＝－2－3．(5)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1．则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)的值为________．答案1348解析∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4．又x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1，∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f (1)＝－1，f (4)＝－1f (2)＝－13．∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2)＝＋3－11＋3＝1348．【对点训练】7．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则5(2f 的值为()A ．12B ．14C ．－14D ．－127．答案A解析由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，则5()2f ＝2×12×＝12，故选A ．8．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝()A ．－2B ．2C ．－98D ．988．答案A解析由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (7)＝－f (5)＝f (3)＝－f (1)＝－2．故选A ．9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2019)＝()A ．5B ．12C ．2D ．－29．答案D解析由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2．10．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，且f (2)＝4，则f (2014)＝()A ．0B ．－4C ．－8D ．－1610．答案B解析由题意可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f [(x ＋6)＋6]＝－f (x ＋6)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝12．把y ＝f (x －1)的图象向左平移1个单位得y ＝f (x －1＋1)＝f (x )的图象，关于点(0，0)对称，因此函数f (x )为奇函数，∴f (2014)＝f (167×12＋10)＝f (10)＝f (10－12)＝f (－2)＝－f (2)＝－4．故选B ．11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2018)＝()A ．－2－3B ．－2＋3C ．2－3D ．2＋311．答案A解析由f (x ＋2)＝1－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )．所以函数f (x )的周期为4，所以f (2018)＝f (2)．又f (4)＝f (2＋2)＝1－f (2)＝2－3，所以－f (2)＝12－3＝2＋3，即f (2)＝－2－3，故选A ．12．已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则________．12．答案52解析∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴2≤x ≤3时，f (x )＝x ，∴＝52，∴＝52．考点三已知函数的周期性(隐性2)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性2)，可利用周期性的性质结论7到结论9，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例3](1)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝()A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3答案B解析由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2)．∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4．所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3．(2)函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于()A ．－9B ．9C ．－3D ．0答案B解析因为f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (－x )＝－f (x －2)．又因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝－f (x －2)＝f (x －4)，故f (x )的周期为4，所以f (0.5)＝f (8.5)＝9．故选B ．(3)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为()A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)．∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A ．(4)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2，4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝________．答案解析因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝0．(5)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有33()()22f x f x +=--成立．若f (1)＝2，则f (2)＋f (3)＝________．答案－2解析由33()()22f x f x +=--，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f 32＋－f 32－＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2．(6)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50答案C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x －1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0．又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2，故选C．【对点训练】13．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)是偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x(3－2x)，则()A．12B．－12C．－1D．113．答案C解析∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵函数y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期是4，∴f－12＝－＝－12·(3－1)＝－1，故选C．14．已知偶函数f(x)的定义域为R，若f(x－1)为奇函数，且f(2)＝3，则f(5)＋f(6)的值为() A．－3B．－2C．2D．314．答案D解析因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x－2)．又因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，故f(x)的周期为4，所以f(5)＋f(6)＝f(1)＋f(2)＝0＋3＝3．选D．15．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．15．答案3解析解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)．又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3．16．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________．16．答案2解析根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)，又由函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，则有f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)，则f(x)的最小正周期是12，故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2．17．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(1)＝a，则f(2)＋f(3)＋f(4)＝() A．0B．－a C．a D．3a17．答案B解析因为函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)，f(3)＝f(－1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又由f(1＋x)＝f(1－x)可得f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因此，函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(4)＝f(0)，又f(1)＝a，因此f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(0)＋f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝－a．故选B．18．函数y＝f(x)满足对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值为________．18．答案4解析∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，∴f(x)是R上的奇函数，又f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4，∴f(2017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，∴f(2016)＋f(2018)＝f(2016)＋f(2016＋2)＝f(2016)－f(2016)＝0，∴f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝4．。

周期函数知识点总结

周期函数知识点总结一、周期函数的定义周期函数是指具有周期性的函数。

在数学上，如果存在一个正数T，对于所有实数x，都有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)就被称为周期函数，而T被称为函数的周期。

简单来说，如果以某个固定的间隔T，函数值会重复出现，则该函数是周期函数。

周期函数的周期并不是唯一的，存在多个周期的正整数倍也是周期。

周期函数的周期通常记作T。

二、周期函数的性质1. 周期性：周期函数在每个周期内具有相同的性质，即满足f(x+T) = f(x)。

2. 周期的加法性：如果函数f(x)的周期为T1，函数g(x)的周期为T2，则函数f(x)g(x)的周期为T1和T2的最小公倍数。

3. 周期函数的奇偶性：若f(x)为周期函数，则它可以是奇函数、偶函数或者既非奇又非偶。

4. 周期函数的连续性：周期函数可以在周期内连续，也可以在周期的边界处不连续。

5. 周期函数的有界性：周期函数可以是有界函数，也可以是无界函数。

三、周期函数的图像周期函数的图像通常以周期为一个完整周期的图像展现。

其图像特点可以通过周期函数的性质进行推断。

1. 若函数f(x)为偶函数，则其图像关于y轴对称。

2. 若函数f(x)为奇函数，则其图像关于原点对称。

3. 若函数f(x)为有界函数，则其图像在一定范围内波动，不会趋于无穷。

四、常见周期函数1. 正弦函数：y = sin(x)，其周期为2π。

正弦函数在周期内呈现周期性波动，其图像为一条类似正弦曲线的波动函数。

2. 余弦函数：y = cos(x)，其周期为2π。

余弦函数也呈现周期性波动，其图像为一条类似余弦曲线的波动函数。

3. 正切函数：y = tan(x)，其周期为π。

正切函数在周期内也呈现周期性波动，其图像为一条类似正切曲线的波动函数。

4. 正弦函数的变形函数：y = Asin(Bx + C) + D，其中A、B、C、D为常数，称为正弦函数的变形函数。

这类函数在正弦函数的基础上进行了挤压、平移和拉伸等变换。

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2021高考专题复习(1)周期函数定义一、定义:1.对于函数(),x f 如果存在一个大于零的实数,T 使当x 取定义域内的每一个值时,都有()(),x f T x f =+ 则函数()x f y =的最小正周期为()()2f x f x T +=⇒=()()4f x f x T -=⇒=()()6f x f x T =+⇒=2.若()(),b x f a x f +=+则函数()x f y =的最小正周期为()()27f x f x T +=+⇒=()()720f f x =⇒= ()()f f x =⇒=1 ⇒=2x ⇒=3x()()36f x f x T -=+⇒=()()f f x =⇒=0 ⇒=1x ⇒=2x ⇒=3x3.对于非零常数,A 若函数()x f y =满足()(),x f A x f -=+则函数()x f y =的最小正周期为 ()()()()⇒=-⇒⎪⎭⎪⎬⎫=+⇒-=+x f A x f x f A x f =⇒T()()2f x f x T +=-⇒=()()1f x f x T -=-⇒=4.对于非零常数,A 函数()x f y =满足()(),1x f A x f =-则函数()x f y =的最小正周期为 ()()()()⇒=⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=-⇒=-x f A x f x f A x f 11=⇒T()()11f x T f x +=⇒=()()12f x T f x -=⇒=5.对于非零常数,A 函数()x f y =满足()(),1x f A x f -=+则函数()x f y =的最小正周期为 ()()()()⇒=-⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=+-=+x f A x f x f A x f 11=⇒T()()14f x T f x +=-⇒= ()=⇒2020f , ()=2021f()()15f x T f x --=⇒= ()=⇒2020f , ()=2019f6.对于非零常数,A 函数()x f y =满足()()(),11x f x f A x f +-=+则函数()x f y =的最小正周期为7.已知函数()x f 满足()(),x a f x a f -=+则()x f y =对称轴为()()⇒-=+x f x f 22 ()()⇒-=+22x f x f已知函数()x f 满足()(),x b f x a f -=+则()x f y =对称轴为()()⇒-=+x f x f 26 ()()⇒-=+26x f x f()()⇒-=x f x f 2 ()()⇒=+x f x f 28.已知函数()x f 满足()(),x a f x a f --=+则()x f y =对称中心为()()⇒--=+x f x f 22 ()()⇒--=+22x f x f已知函数()x f 满足()(),x b f x a f --=+则()x f y =对称中心为()()⇒--=+x f x f 24 ()()⇒--=+24x f x f()()⇒--=x f x f 8 ()()⇒+-=x f x f 82021高考专题复习(2):周期函数求值1.()x f 在R 上是奇函数()(),2,x f x f -=+当(]0,1x ∈时()2,x f x =计算:(1)()4.5f =(2)()3.5f =(3)()2.5f =(4)()1.5f =(5)()2020f =(6)()2019f =(7)()2022f =(8)()2021f =(9)20172f⎛⎫= ⎪⎝⎭(10)20212f⎛⎫= ⎪⎝⎭(11)20192f⎛⎫= ⎪⎝⎭(12)()f e=(13)f=(14)f=(15)f=2.奇函数()()24,f x f x -=-当01x ≤≤时()()21f x x x =⋅-周期=T52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=⎪⎭⎫ ⎝⎛313f=⎪⎭⎫ ⎝⎛310f3.设函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R x ∈都有()(),4+=x f x f 当()0,2-∈x 时(),2x x f =则()()=-20192020f f4.()x f 是R 上偶函数()(),24,-=+x f x f 若当[]0,3-∈x 时(),6xx f -=()=919f5.定义在R 上的函数()x f 满足()(),42+=-x f x f 当13-≤≤-x 时()()2,2f x x =-+ 当31<<-x 时(),,x x f =则()()()()=++++2020321f f f f （）A.335B.338C.1678D.20126.R 上奇函数()x f 满足()()x f x f -=+2(),13,=f 周期=T()=2019f()81f =()2022f =7.奇函数()x f 满足有()()x f x f -=+2成立，且(),81=f 则()()()=++202320222021f f f8.已知定义在R 上的奇函数()x f 满足()(),2x f x f -=+(]1,0∈x 时(),2x x f =求值:(1)()2022f = (2)⎪⎭⎫⎝⎛217f = (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛3100f =(4)()=2015f (5)()=18log 2f (6)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36log 21f9.()x f 在R 上是奇函数()(),2,x f x f -=+当(]0,1时()2x f x =(1)()2log 21f =(2)()2log 15f =(3)()2log 7f =(4)()2log 3f =(5)()2log 2020f =(6)22019log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭10.定义在R 上的奇函数()x f 满足()()12f x f x +=-，且在()1,0上()x x f 3=.求值: (1)()=2020f(2)()=100log 3f(3)()=30log 3f(4)()=10log 3f(5)=⎪⎭⎫ ⎝⎛151log 3f(6)()=2020log 3f11.函数()x f 对于任意实数x 满足条件()(),12x f x f =+若()15,f =-则()()5f f =12.偶函数()x f 对任意,R x ∈都有()(),13x f x f -=+当[]2,3--∈x 时(),4,x x f =()=53f13.设定义在R 上的函数()x f 满足()()213f x f x ⋅+=，若()32f =，则()2021f = ( ) A ．13 B.2 C.132 D.21314.设定义在R 上的偶函数()x f 满足()()()32020,11,f x f x f ⋅+=-=则()2020f = ( ) A ．0 B.1 C.1010 D.202015.已知函数()x f 是R 上的偶函数，且满足()(),31=++x f x f 当[]1,0∈x 时(),2,x x f -=则()=2021f[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11 4.50.52 3.50.50.53 2.50.54 1.50.50.55202000.6201911 2.72022200.820211 2.91008.50.5101010.5 2.50.5111009.5 1.50.50.512f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ===-=-==-==--=====-=-=-==-=======-===--==()()())(())(())[][]()()()42224132********.451112,22221314,33910224.333934202020190ee ef e fff f ff f f f f f f f f f f T f f f f -=--=-=-=-=-==-=--==-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⇒-=--()[]()()()[]()()()()()()()()()()()()[]()()()()()()()[]()()()()()()()()()()[]()11.24691911 6.511,22,31,40,51,60161202033664122020336121033864201931,81131,2022207420212022202312312120.81T f f f f f f f f f f f f f f B T f f f f f f f T f f f f f f f f f f =-=⇒==-====-==-=⇒++==⨯+⇒+++=++-+=⇒=⇒====-=-===⇒++=++=++-==()()()()2022200.171222f f f f f ==-=⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[]()()()()()()()()()()()()()()[]()()2223log 18l 422261222log 3622210042283233334201531 2.295log 18log 1842.4log 1851682166log 36log 36log 3666log 36.295log 36691log 21f f f f f f f f f f f f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-=-=-===<<⎛⎫=-=-=--=-=- ⎪⎝⎭<<=()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222222221log 21416162log 15log 1544log 151573log 7log 72.444log 3log 322log 3.320205log 2020log 202010.102420192019201920486log log 1010log 22220f f f f f f f f f f f f f -==-=--=-=--=-=--=-==--=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()33log 1004334log 30333333333319*********.1002log 100log 10043.8181273log 30log 3044log 303.3010194log 10.log 102101135log log 15.15log 152516log 2020log 20204lo f f f f f f f f f f f f f f f --===-===-=--=-=-=-=-=--⎛⎫=-== ⎪-⎝⎭=-=-()[]()()[]()()()()[]()()()()()()()[]()()()()()()()()[]()()()()()()3729.g 202062020111555.511125311.28131313131322420211.432202020202020202014336202042020.61113152213f f f f f f f x f x T f f f x f x f f x f x T f f f x f x f f f x f x f x f x f x f x =--=-⇒-=-=-==-=-+=⇒+=⇒=⇒===++=⇒+=⇒=⇒====+-++=⎧⎪⇒+=⇒⎨⇒+++=⎪⎩()()2202111T f f =⇒==2021高考数学专题复习(3):图像交点1.定义在R 上奇函数()x f 满足()(),4x f x f -=-且在区间[]2,0上是增函数,则 ( ) A.()()()801125f f f <<- B.()()()251180-<<f f f C.()()()258011-<<f f f D.()()()118025f f f <<-2.R 上的偶函数()x f 满足()(),2x f x f =+且在[]2,3--上是减函数,作图比较大小1:,2f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭3.函数()x f 满足()(),2x f x f =-且当[]1,1-∈x 时(),2x x f =则函数()x f y =与函数lg y x =的图像的交点个数为（） A.7个 B.8个 C.9个 D.10个4.定义在R 上的函数()x f 满足()(),2+=x f x f 当[]5,3∈x 时(),42--=x x f 则（） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛6cos 6sinππf f B.()()1cos 1sin f f < C.⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛32sin 32cosππf f D.()()2sin 2cos f f <（2）方程()()1log 3-=x x f 的解的个数为5（2011山东理）.()x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，当02x ≤<时(),3x x x f -=则函数()x f y =的图像在区间[]0,6上与x 轴的交点的个数为6.已知定义在R 上奇函数()x f 满足①对任意,x 都有()()14+=+x f x f 成立；②当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,0x 时(),22323x x f --=则()xx f 1=在[]4,4-上根的个数是（） A.4 B.5 C.6 D.77.定义在R 的函数()x f 满足()()()(),13,-=+-=-x f x f x f x f 当[)2,0∈x 时()()(),21.210.2⎩⎨⎧<≤-<≤=x x x x x f 则函数()x x f y 5log -=的零点个数为8.()x f y =满足,2321⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f x f []2,0∈x 时()(),12-=x x f ()()1log 3--=x x f x g 的所有零点之和为（） A.2 B.4 C.6 D.89.()x f 满足()()[]1,1,11-∈-=+x x f x f 时(),2x x f =函数()()x x f x F 4log -=的零点个数( )A.个B.2个C.3个D.4[]()()[]()()[]()[][]()1.2.3.41.25.57.6.74 5.8.92.D C B B T B T D >=⇒=⇒2021高考数学专题复习(4):三角函数模型结论一：()()()()=⇒⎩⎨⎧+=--=-T x a f x a f x f x f ()()()()=⇒⎩⎨⎧+=-=-T x a g x a g x g x g1.设定义在R 上的奇函数()x f 满足对任意t R ∈都有()(),1t f t f -=且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0x 时(),2x x f -=则()=⎪⎭⎫⎝⎛-+233f f2.()x f 是R 上偶函数()(),4,x f x f =-当[]2,0∈x 时(),22x x x f +=()=2011f ( )A.8B.3C.2011D.20123.函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且()()x f x f -=2成立，则()=2010f （） A.0 B.1 C.1- D.24.函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且()()T x f x f +=成立，则=⎪⎭⎫⎝⎛2T f5.定义在R 上奇函数()x f 对任意x 都有()(),41x f x f -=-且()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=23,0,x x x f ，则()()=-20102012f f6.R 上奇函数()x f 图像关于直线1=x 对称,[]0,1-∈x 时(),x x f -=()()=+20142013f f7.已知函数()x f 在实数集R 上具有下列性质: (1)直线1=x 是函数()x f 的一条对称轴 (2)()()x f x f -=+2 (3)当1213x x ≤<≤时()()()()21210f x f x xx -⋅-<.比较大小()()()2013,2012,2011:f f f8.（2009山东理）在R 上的奇函数(),x f 满足()(),4x f x f -=-且在区间[]2,0上是增函数,若方程()()0>=m m x f 在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,,x x x x 则1234x x x x +++=结论：定义在R 上的偶函数满足()()()=⎪⎭⎫⎝⎛⇒>⎪⎭⎫⎝⎛+=+20,2:a f a a f x f a x f =⇒T 定义在R 上的奇函数满足()()()=⎪⎭⎫⎝⎛⇒>⎪⎭⎫⎝⎛+=+20,2:a f a a f x f a x f =⇒T()()00222222a a a a a a x f f f f f f x a f x T a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒=-+⇒-=⇒=⇒+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令定义在R 上的偶函数满足()()()=⇒+=+T f x f x f 36: 定义在R 上的偶函数满足()()()=⇒+=+T f x f x f 48: 定义在R 上的偶函数满足()()()=⇒-+=+T f x f x f 12:9.定义在R 上的偶函数满足()()(),24:f x f x f +=+且当[]2,0∈x 时()x f y =单调递减，给出以下四个命题,正确命题的序号为 ①()02=f②4-=x 为函数()x f 图像的一条对称轴 ③函数()x f 在[]10,8单调递增④若方程()m x f =在[]2,6--上的两根为12,,x x 则821-=+x x10.函数()x f 在R 上为偶函数()(),1,f x f x +=-在[]0,1-上是增函数,下面判断正确的是 ①()x f 是周期函数 ②()x f 的图像关于直线1=x 对称 ③()x f 在[]1,0上是增函数 ④()x f 在[]2,1上是减函数 ⑤()()02f f = ⑥⎪⎭⎫⎝⎛0,21是一个对称中心11.偶函数()x f 满足()(),11+=-x f x f 且在[]1,0∈x 时(),3x x f =则关于x 的方程()xx f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=101 在[]3,2-上的根的个数是（） A.3 B.4 C.5 D.612.若R 上奇函数()x f 满足()()11,f x f x +=-且当10≤<x 时()x x f 2log =(1)=⎪⎭⎫⎝⎛22019f (2)=⎪⎭⎫⎝⎛439f(3)若方程()()0>=m m x f 在区间()4,2-上有四个不同的根1234,,,,x x x x 则1234x x x x +++=(4)若方程()m x f =在区间()2020,2018上有2个不同的根12,,x x 则12x x +=作函数x y x y cos ,sin ==的图像(1)如何由()⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f 2sin π的图像平移得到()⎪⎭⎫⎝⎛=x x g 2cos π的图像()x f ()x g 结论二：()()(),4,f x T a a f x g x g x T a =⎧⎪⎛⎫⇒+=⎨⎪=⎝⎭⎪⎩为奇函数为偶函数()()()()(),,,0,f x f x m g x m T g x ⎧⎪+=>⇒=⎨⎪⎩为奇函数周期函数为偶函数周期函数 ()()(),4,f x T a a f x g x g x T a =⎧⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪=⎝⎭⎪⎩为奇函数为偶函数()()()()(),,,0,f x f x g x n n T g x ⎧⎪=->⇒=⎨⎪⎩为奇函数周期函数为偶函数周期函数()()()(),4,f x T a a f x g x g x g x T a =⎧⎪⎪⎛⎫+=⇒⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎩为奇函数为偶函数 ()()(),4,g x T a a f x g x f x T a =⎧⎪⎪⎛⎫=-⇒⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎩为偶函数13.()x f 是在R 上偶函数()x g ,是R 上的奇函数,且()(),1-=x f x g 则()()=+20132011g g14.定义在R 上函数()x f 满足()023=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x f ,函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=43x f y 为奇函数，给出下列命题:①函数()x f 的最小正周期是32②函数()x f y =的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,43对称 ③函数()x f y =的图像关于y 轴对称．其中真命题是15.定义在R 上的偶函数满足()()3311,0222f x f x f f ⎛⎫⎛⎫+=--==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，则 ()()()()1232021f f f f ++++= （）A.2B.1C.0D.2-16.函数()x f 的图像关于直线0x =及直线1x =对称,[]1,0∈x 时(),,2x x f =则=⎪⎭⎫⎝⎛-23f ()=2021f =⎪⎭⎫⎝⎛22021f()()()()[]()()()()()[][]()()()[][][]()[]()()()()12123411.42.3.40.356,201000,2012211126 1.7201320122011.88.91,2,4.101,2,5,6.11.1242019311 1.22239712 2.444236B A x T f f f f f f f f C T f f f f f f x x x x x x -=⇒======⇒->>-=⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=-⎧⇒+⎨+=⎩()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()34444038.130.1442,3153,11,211,3021230123202167312312242416111233911202120211 1.2x x T f x T f f f f f f f f f f f f f f f f f f x f x f x f x f x T f f f x f x f f f ++==⇒⇒===-===-⇒++=++++=++++=-=⎧⎪⎛⎫⎛⎫⇒+=-=-⇒=⇒-==⎨⎪ ⎪+=-⎝⎭⎝⎭⎪⎩⎛⎫=== ⎪⎝⎭偶函数正确.11.24f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2021高考数学专题复习(5):拓展训练1.函数()x f y =的图像如图所示,下列说法正确的是（） ①()()x f x f -=- ②()()x f x f -=+2 ③()()x f x f =- ④()()x f x f =+2A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④2.定义在R 上的奇函数()x f 恒满足()()2,f x f x +=-当[]2,0∈x 时()22x x x f -=(1)求证:()x f 是周期函数 (2)当[]4,2∈x 时,求()x f 的解析式 (3)计算()()():122021f f f +++=3.函数()f x 的定义域为,R 且()1f x +与()2f x +都为奇函数，则正确的选项有 A.()f x 为奇函数 B.()f x 为周期函数 C.()3f x +为奇函数 D.()4f x +为偶函数4.设()x f 是定义在上的偶函数，对任意的R x ∈,都有()(),22+=-x f x f 且当[]0,2-∈x 时，()11,2xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭若关于x 的方程()()()1,02log >=+-a x x f a 在区间(]6,2-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是．5.()f x 是定义在R 上的偶函数,x R ∀∈都有()()22,f x f x -=+且当[]0,2x ∈时,()22x f x =-.若()()()log 1a g x f x x =-+在区间(]1,9-内恰有三个不同零点,则实数a 的取值范围是6.已知定义在R 上的函数()x f 对任意的x 都满足()()1,11f x f x x +=--≤<当时,()3f x x =,若函数()x x f y a log -=至少6个零点，则a 取值范围是（） A.()7,551,71 ⎥⎦⎤ ⎝⎛ B.[)+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,551,0 C.()+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛,551,0 D.[)7,551,71 ⎪⎭⎫⎝⎛7.定义域为R 的偶函数()x f 对x R ∀∈()()()12,f x f x f -=+当[]3,2∈x 时(),18122,2-+-=x x x f 若函数()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点，则a 的取值范围是()[]()()()()()()()()[]()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1.212222 4.22,420,22241120312340122021314050512342021 1.32211112.C f x f x f x f x x f x T x x f x f x x x f f f f f f f f f f f f f f f f f x f x f x f x f x T B f x f +=-⇒=-⇒+=-⇒=∈⇒-∈⇒=--=--=⎧⎪=⎪⇒+++=⇒+++⎨=-⎪⎪=⎩=⋅++++=⎡⎤⎣⎦-+=---=---+=-++=⇒=⇒⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-=()()()()()()()()()()()()())()()()()3311112.13.1263log 83824 4.632log 2log 434232,2log 3216,2log 72544,1log 01a a a a a x f x f x f x A f x f x C a f f a a T g a g x x a a g a a a T a ---=--+-=--=-⇒⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=+⇒⎧>⎧==⎧>⇒<⇒<⎪⎪⎪=⇒>⇒⇒∈⎨⎨⎨=+<⇒>⇒>⎪⎪⎪⎩⎩<⎩⎧⇒=⇒=⎪>⇒⇒⎨⇒=⇒=⎪⎩=⇒-⇒<<⇒()()()()()()()()()()()()()2111,3,7.5195115,1958,1log 91915156210151571102 2.3,232,2log 32.a aa a a a a f a t Ca f a x f f x f x T f x x x a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎛⎫⇒∈⎧⎨ ⎪=-⇒=⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫⇒⎨⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⇒=-⇒=⎪⎪⎩⎩>⇒=⇒=⎧⎪=⇒⇒⎨<<⇒=-⇒=⎪⎩=-⇒=⇒+=⇒==--≤≤⇒-⇒⎛=-⇒=⇒∈ ⎝⎭2021高考数学复习:周期函数练习1.()x f 在R 上是奇函数满足()()13,f x f x -=+当()2,0∈x 时()()22,2019f x x f == ( ) A.2- B.2 C.98- D.98()2019f =()82f =20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2.定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f -=+1且在[]0,1-上单调递增，设()(),2,3fb f a ==(),2f c =则c b a ,,大小关系是（）A.c b a >>B.b c a >>C.a c b >>D.a b c >>3.()x f 是R 上的周期为3的函数[)1,2,-∈x 时()()()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧<<≤≤--=421,10.02.242f f x x x x x f（） A.14-B.14C.34D.0 ()201f =()2020f =20172f ⎛⎫= ⎪⎝⎭20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭4.定义在R 上的奇函数()x f 满足()()12f x f x +=-，且在()1,0上()xx f 3=.则()=54log 3f ( ) A. 32B.23C. 32-D. 23-()2020f =172f ⎛⎫= ⎪⎝⎭20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()3log 18f =()3log 8f =()=54log 3f5.定义在R 上的奇函数(),x f 满足()(),4x f x f -=+且在区间[]2,0上是增函数，则 ( ) A.()()()40310f f f <<- B.()()()10340-<<f f f C.()()()10403-<<f f f D.()()()34010f f f <<-6.R 上的奇函数()x f 图像关于1x =对称,且当(]1,0∈x 时()21f x x =+()462f =()2019f =20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭f=f=7.定义在R 上的奇函数()x f 满足()(),22x f x f -=+且(),11=f 则()2019f = （） A ．0 B ．1 C ．1- D ．2-8.定义在R 上的奇函数()x f 满足对任意R t ∈都有()(),1t f t f -=且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0x 时(),,2x x f =()332f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭ （）A.21-B.31-C.41- D.51-9.已知函数()x f 在实数集R 上具有下列性质: ①直线1x =是函数()x f 的一条对称轴 ②()()x f x f -=+2 ③当1213x x ≤<≤时()()()()()21210,2021,2020,2019f x f x f f f x x -<-大小关系为10.若函数()x f 满足()()()()()()()3,532,01+=+=-+x f x f x f x f 当10<≤x 时,()12-=xx f ,则()()=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛25223121f f f f f11.定义在R 上奇函数()x f 满足()(),4x f x f -=-且在区间[]2,0上是减函数,比较大小：()()()81,9,2020f f f -12.()x f y =为偶函数,且满足,2123⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f x f 当[]3,2∈x 时(),f x x =则当[]2,0x ∈-时()=x f , （） A.4x +B.2x -C.21x ++D.31x -+13.函数()()()()2 1.0,1.0x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若方程()a x x f +=有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是14.奇函数()x f 的定义域为,R 若()1f x +为偶函数，且(),21=f 则()()=+54f f （） A.2 B.1C. 1-D. 2-15.已知()x f 是定义在R 上的偶函数，满足()(),2x f x f -=当[]1,0∈x 时(),1-⋅=x ex x f 则方程()0lg =-x x f 的根的个数为16.已知函数()()()()⎩⎨⎧>-≤-=0.10.12x x f x x f x ,则方程()()12log 1f x x =+的根的个数为17.()x f 是定义在R 上奇函数,满足⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x f x f 2323,当⎪⎭⎫⎝⎛∈23,0x 时()(),1ln 2+-=x x x f 则函数()x f 在区间[]0,6上的零点个数是（） A ．3 B ．5 C ．7 D ．918.定义在R 上的函数()x f ,对任意R x ∈,都有()()()36f x f x f +=+成立,若函数()1+=x f y 的图像关于直线1-=x 对称,则()=2013f （） A.0 B.2013 C.3 D.2013-19.()()()()⎩⎨⎧≤<+-≤<-=31.1211.2x x f x x f x ,函数()()2-=x f x g 在区间(]3,1-上的零点个数是（）A.1B.2C.3D.420.设()x f 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()()4f x f x +=,且当[]2,0x ∈-时,()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()1,02log >=+-a x x f a 恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（） A.()1,2B.()2,+∞C.()34,1D.()2,4321.函数()x f 满足()(),53+=+x f x f (]1,1-∈x 时(),12x x f -=函数()()()⎩⎨⎧=≠=0.10.lg x x x x g则函数()()()x g x f x h -=在区间[]10,5-内零点的个数为（） A ．12 B ．14C ．13D ．822.定义在R 上的函数()x f 对任意x 满足()(),1x f x f -=+当11<≤-x 时(),3x x f =函数()()()log .0,1.0a x x g x x x⎧>⎪=⎨-<⎪⎩若函数()()x g x f y -=在[)+∞-,6上有7个零点,实数a 取值范围（）A.()+∞⎪⎭⎫⎝⎛,771,0 B.(]9,771,91 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ C.(]1,11,99⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.[)11,7,997⎛⎤ ⎥⎝⎦23.定义域为R 的函数()x f 满足()()22f x f x +=,当[)0,2x ∈时,()[)[)232,0,1,1,1,2,2x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩则当[)4,2x ∈--时,函数()x f 的最小值为（） A.116- B.14- C.12- D.18-24.定义在R 上的偶函数()x f ,且对任意实数x 都有()(),2x f x f =+当[)0,1x ∈时(),2x x f =若在区间[]1,3-内,函数()()k kx x f x g --=有4个零点,实数k 的取值范围是 .25.()x f 是定义在R 上的偶函数,()(),2x f x f =+当01x ≤≤时(),2x x f =若直线a x y +=与函数()x f y =的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为（） A.()Z n n ∈, B.2n ()Z n ∈, C.2n 或124n -()Z n ∈, D.n 或14n -()Z n ∈,26.设()x g 是定义在R 上,以1为周期的函数，若()()x g x x f +=在[]1,0上的值域为[]5,2-,则()x f 在区间[]3,0上的值域为27.()x f 是定义在R 上周期为2的函数,对任意的实数,x 恒有()(),0=--x f x f 当[]1,0∈x 时，(),12x x f --=则函数()()1+-=x e x f x g 在区间[]2017,2017-上零点的个数为（）A ．2016B ．2017 C.4032 D ．403428.函数()()()()()26.75,2.5x x f x f x x ⎧+-≤<-⎪=⎨-≥-⎪⎩若函数()()()1g x f x k x =-+有13个零点,则实数k 的取值范围为 ( )11A.,86⎛⎫ ⎪⎝⎭ 11B.,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 1111C.,,6886⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1111 D.,,6886⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭29.函数()x f 满足()()22,f x f x +=当[)0,2x ∈时()21,f x x =-计算:(1)()2.5f =(2)()3.5f =(3)()10f =(4)()21f =29.函数()x f 满足()()22,f x f x +=当[)0,2x ∈时()21,f x x =-计算: (5)()2020f = (6)20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(7)()f e =(8)()2log 5f =(9)()2log 9f =(10)()2log 18f =(11)()2log 35f =(12)()2log 2020f =(1)()2.5f =(2)()3.5f =(3)()4.5f =(4)()5.5f =(5)()2020f =(6)()2019f =(7)()f e =(8)()2log 5f =(9)()2log 9f =(10)()2log 18f =(11)()2log 35f =(12)()2log 2020f =(13)()2log 1000f =(1)()2.5f =(2)()3.5f =(3)()10f =(4)()21f =(5)()2020f = (6)20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭。