(完整版)求抛物线的标准方程
抛物线的标准方程(五大题型)(原卷版)
3．3．1 抛物线的标准方程定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．知识点诠释：（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值（2）定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上，若F 在l 上，抛物线变为过F 且垂直与l 的一条直线．（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化．【即学即练1】（2023·高二课时练习）若动点P 到点()3,0的距离和它到直线3x =-的距离相等，则动点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．抛物线C ．直线D ．双曲线知识点02 抛物线的标准方程标准方程的推导如图，以过F 且垂直于l 的直线为x 轴，垂足为K ．以F ，K的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xOy ．设KF p =（0p >），那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-． 设点(,)M x y 是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d ．由抛物线的定义，抛物线就是集合||MF =2p d x =+ 将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>．①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p 它的准线方程是2p x =-． 抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >．知识点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线220x y =-的一次项为20y -，故其焦点在y 轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线220x y =-的一次项20y -的系数为20-，故其焦点坐标是(0,5)-．一般情况归纳：首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论．⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p ，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况．【即学即练2】（2023·全国·高二随堂练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为()2,0F -；(2)准线方程为：4y =-；(3)焦点到准线的距离为6.题型一：抛物线的定义例1．（2023·江苏盐城·高二校联考阶段练习）抛物线24y x =的焦点到准线的距离是（ ）.A ．116B ．18C ．2D ．4例2．（2023·江苏·高二假期作业）若点P 到直线=1x -的距离比它到点(2)0，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线例3．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为2，焦点为F ，则PF =（ ）A．2 B ．3 C D ．变式1．（2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）若动点(,)M x y 满足3412x y =-+，则点M 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线题型二：抛物线的标准方程例4．（2023·全国·高二期中）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线方程为4y =；(2)顶点在原点，且过点()3,2-；(3)顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线34120x y --=上；(4)焦点在x 轴上，且抛物线上一点()3,A m 到焦点的距离为5.例5．（2023·全国·高二课堂例题）已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在原点，并且经过点()1,2P .求该抛物线的标准方程.例6．（2023·全国·高二课堂例题）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为()0,4F -；(2)准线方程为12x =. 变式2．（2023·高二课前预习）已知抛物线对称轴为坐标轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求抛物线的标准方程.变式3．（2023·高二课前预习）一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图，已知接收天线的口径（直径）为，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.题型三：轨迹方程—抛物线例7．（2023·全国·高二专题练习）设圆22:4O x y +=与y 轴交于A ，B 两点（A 在B 的上方），过B 作圆O 的切线l ，若动点P 到A 的距离等于P 到l 的距离，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．28x y =B ．216x y =C ．28y x =D ．216y x =例8．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到直线1x =的距离比它到定点()2,0-的距离小1，则P 的轨迹方程为（ ）A ．22y x =B ．24y x =C ．24y x =-D ．28y x =-例9．（2023·高二课时练习）已知在平面直角坐标系中有一定点(1,0)F ，动点(,)(0)P x y x ≥到y 轴的距离为d ，且||1PF d -=，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．2y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．22y x =变式4．（2023·江苏·高二专题练习）与圆C ：2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（ ）A ．28y x =B ．2y x =（0x >）和0y =（0x <）C ．28y x =（0x >）D ．28y x =（0x >）和0y =（0x <）变式5．（2023·全国·高二专题练习）若点P 到点(0,2)的距离比它到直线1y =-的距离大1，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．24y x =B ．24x y =C ．28y x =D ．28x y =变式6．（2023·福建宁德·高二统考期末）已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y变式7．（2023·江苏·高二专题练习）已知圆C 与过点()1,0-且垂直于x 轴的直线l 仅有1个公共点，且与圆22:650C x y x '+-+=外切，则点C 的轨迹方程为（ ）A ．212y x =B ．26y x =C ．22143x y += D ．22110x y += 变式8．（2023·高二课时练习）已知动圆过点(1,0)，且与直线=1x -相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）A ．221x y +=B ．221x y -=C ．24y x= D ．0x = 题型四：抛物线距离和与差的最值问题例10．（2023·高二课时练习）已知点,A B 分别是抛物线2:4C y x =-和圆22:2440E x y x y +-++=上的动点，点A 到直线:2l x =的距离为d ，则AB d +的最小值为 ．例11．（2023·陕西延安·高二校考期末）已知点M 为抛物线24x y =上任意一点，点N 为圆223204x y y +-+=上任意一点，点()1,2P -，则MP MN +的最小值为 . 例12．（2023·全国·高二专题练习）已知点()0,4M ，点P 在抛物线28x y =上运动，点Q 在圆22(2)1x y +-=上运动，则2||PM PQ 的最小值 . 变式9．（2023·全国·高二专题练习）已知P 是抛物线24x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是()8,7，则PA PQ +的最小值为 ．变式10．（2023·全国·高二假期作业）已知P 为抛物线24y x =上的动点，F 为抛物线的焦点，点Q ，则PQF △周长的最小值为 .变式11．（2023·西藏日喀则·高二统考期末）若点A 的坐标为(3,2)，F 为抛物线22y x =的焦点，点M 在抛物线上移动，为使||||MA MF +最小，点M 的坐标应为 ．变式12．（2023·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点()3,2Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为变式13．（2023·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知点P 为抛物线C ：24y x =上的动点，直线l ：=1x -，点T 为圆M ：()()22341x y ++-=上的动点，设点P 到直线l 的距离为d ，则PT d +的最小值为 ．题型五：抛物线的实际应用例13．（2023·高二课时练习）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛物线形的拱桥（图2）跨度30m AB =，拱高5m OP =，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱11A B 的长度为 m .（精确到m ）例14．（2023·河南周口·高二校联考期中）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm ，则该抛物线的焦点到准线的距离为 cm.例15．（2023·广东·高二统考期末）图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，水面宽4m ，水面下降2m 后，水面宽8m ，则桥拱顶点O 离水面l 的距离为 .变式14．（2023·全国·高二专题练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为，若行车道总宽度为，则车辆通过隧道时的限制高度为 m.变式15．（2023·福建福州·高二校联考期末）如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2cm 时，水面宽度为6cm ，当水面再上升2cm 时，水面宽度为 cm.变式16．（2023·黑龙江鸡西·高二鸡西实验中学校考期中）如图抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面3米时，水面宽12米，则水面上升1米后，水面宽度为 米.变式17．（2023·海南海口·高二校考期中）已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差为1.5m ，暴雨后的水面宽为2m ，暴雨来临之前的水面宽为4m ，则暴雨后的水面离拱顶的距离为 m .一、单选题1．（2023·湖南·高三雅礼中学校联考阶段练习）圆22420x x y y -+-=的圆心在抛物线22y px =上，则该抛物线的焦点坐标为（ ）A ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,02．（2023·贵州贵阳·高二校考期中）抛物线216=x y 的焦点到圆22:(3)1C x y -+=上点的距离的最大值为（ ） A ．6 B ．2 C ．5 D ．83．（2023·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知ABC 的顶点在抛物线22y x =上，若抛物线的焦点F 恰好是ABC 的重心，则||||||FA FB FC ++的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．（2023·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐101中学校考阶段练习）在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，则动点的轨迹是（ ）A ．抛物线B ．直线C ．抛物线或直线D ．以上结论均不正确5．（2023·高二课时练习）O 为坐标原点，F 为抛物线2:8C y x =的焦点，M 为C 上一点，若||6=MF ，则MOF △的面积为（ ）A．B ．C ．D ．86．（2023·广东·高三校联考阶段练习）抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，点M 在抛物线上，且||3MF =，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 为线段FN 的中点，则p =（ ）A ．2B ．C ．4D ．67．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知抛物线E ：28x y =的焦点为F ，点P 为E 上一点，Q 为PF 靠近点P 的三等分点，若10PF =，则Q 点的纵坐标为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．88．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过C 上一点A 作l 的垂线，垂足为B .若3AF =，则AFB △的外接圆面积为（ ）.A ．27π8B ．64π27C ．9π4D ．25π16二、多选题9．（2023·贵州黔西·高二校考阶段练习）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，O 为坐标原点，点00(,)M x y 在抛物线C 上，若5MF =，则（ ）A ．F 的坐标为()1,0B ．04y =C ．||OM =D ．2OFM S =10．（2023·高二课时练习）（多选）设斜率为2的直线l 过抛物线()20y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF △（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）A ．24y x =-B ．28y x =-C ．24y x =D ．28y x =11．（2023·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）对于抛物线上218x y =，下列描述正确的是（ ） A ．开口向上，焦点为()0,2B ．开口向上，焦点为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．焦点到准线的距离为4D ．准线方程为2y =-12．（2023·云南保山·高二校联考阶段练习）已知抛物线2:4C y x =的焦点为,F O 为坐标原点，点00(,)M x y 在抛物线C 上，若4MF =，则（ ）A ．03x =B ．0y =±C ．OM =D ．F 的坐标为()0,1三、填空题13．（2023·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考阶段练习）已知直线()()21350m x m y m +++--=过定点A且该点在抛物线()220x py p =>上，则p 的值为 .14．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知抛物线22x py =上一点()0,2A x 到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍，则p = ．15．（2023·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，直线4y =与抛物线交于点M ，且4MF =，则p = ．16．（2023·广东深圳·高三校联考期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，线段AB 的中点为M ，其中点A 的横坐标为3，4AF =，则点M 到y 轴的距离为 .四、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）倾斜角为60︒的直线l 过抛物线2:4C y x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点(1)求抛物线的准线方程；(2)求OAB 的面积（O 为坐标原点）.18．（2023·江西上饶·高二校考阶段练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点P 横坐标为3，且点P 到焦点F 的距离为4.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(2,0)作直线交抛物线于点,A B ，求ABO 面积的最小值（其中O 为坐标原点）.19．（2023·云南大理·高二云南省下关第一中学校考期中）从抛物线22(0)y px p =>上各点向x 轴作垂线段.(1)求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线；(2)直线2y x =-与抛物线22y x =交于A 、B 两点，求证：原点O 在以AB 为直径的圆上.20．（2023·河北邯郸·高二校考阶段练习）设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 且斜率为k （0k >）的直线l 与C 交于A ，B 两点，8AB =．(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．21．（2023·江苏连云港·高二统考期中）在①焦点到准线的距离是2，②准线方程是=1x -，③通径的长等于4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：()220y px p =>，___________.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线28y x =-与抛物线C 相交于点A ，B ，求证：OA OB ⊥. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 22．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：22y px =过点()2,4A ．(1)求抛物线C 的方程；(2)P ，Q 是抛物线C 上的两个动点，直线AP 的斜率与直线AQ 的斜率之和为4，证明：直线PQ 恒过定点．。
抛物线及其标准方程
抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质1(1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay ，是焦点在y 轴上的抛物线．3．结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)，S △OAB ＝p 22sin α；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．(7)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点O (0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A ，B (如图)．则直线AB 过定点M (2p,0)；反之，若过点M (2p,0)的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)，交于两点A ，B ，则必有OA ⊥OB ．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛0,4a，准线方程是x ＝－a 4.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是()A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝()A ．2B ．3C ．4D ．84．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝()A ．6B ．8C ．9D ．105．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是()A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 6．(教材改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．7．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为_______________抛物线的定义及应用例:1．动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(3)若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y(4)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是()A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)(5)．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(6).已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3,2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为__________．(7).若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为()A ．(0,0)B ．⎪⎭⎫⎝⎛121C ．(1，2)D ．(2,2)(8).已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是___________.(9).已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是()A ．3B ．5C ．2D ．5－1(10).已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝______.抛物线的标准方程例:(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(2)(2021·山西吕梁二模)如图，过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝2，则p ＝()A ．1 B.2C ．2D ．2－2(3).顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(4).如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x(5).已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为()A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y(6).抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为()A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x(7).抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为__________．抛物线的几何性质例：(1)(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，B ．⎪⎭⎫⎝⎛021，C ．(1,0)D ．(2,0)(2)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2(3)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为______________．(4).若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是____________.(5).在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_____________(6).已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为()A ．4B ．5C ．8D ．10(7)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为__________________．(8).过抛物线：y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为()A.213B.13C.233D.5(9).如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x －1)2＋y 2＝14于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |的值是()A ．6B ．7C ．8D ．9直观想象、数学运算——抛物线中最值问题的求解方法与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法【典例1】(2021·上海虹口区一模)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．2．平移直线法【典例2】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．[切入点]解法一：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，从而求两平行线间的距离．解法二：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点坐标，从而求切点到已知直线的距离．3．函数法【典例3】若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．[切入点]P、Q都是动点，转化为圆心与点P的最值．1．(2021·东北三省四市二模)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2 B.12C.14D.182．(2021·云南省高三统一检测)设P，Q分别为圆x2＋y2－8x＋15＝0和抛物线y2＝4x上的点，则P，Q两点间的最小距离是________．直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系2＝2px，＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.(1)相切：k2≠0，Δ＝0.(2)相交：k2≠0，Δ>0.(3)相离：k2≠0，Δ<0.2．焦点弦的重要结论抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AF|＝x1＋p2＝p1－cosθ；|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosθ；|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.(3)抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．(4)S△AOB＝p22sinθ.(5)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切．(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与抛物线有且仅有1个公共点，则它们相切．()(2)所有的焦点弦中，以通径的长为最短．()(3)直线l过(2p,0)，与抛物线y2＝2px交于A、B两点，O为原点，则OA⊥OB.()(4)过准线上一点P作抛物线的切线，A、B为切点，则直线AB过抛物线焦点．() 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝()A ．9B ．8C ．7D ．64．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．直线与抛物线的位置关系【例1】(1)过点(0,3)的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则直线l 的方程为__________．(2)已知抛物线C ：x 2＝2py ，直线l ：y ＝－p2，M 是l 上任意一点，过M 作C 的两条切线l 1，l 2，其斜率为k 1，k 2，则k 1k 2＝________.焦点弦问题【例2】(1)(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于()A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶3(2)(2021·湖南五市十校摸底)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M 、N 两点(其中M 点在第一象限)，若MN →＝3FN →，则直线l 的斜率为________．(3)过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于()A ．2B ．3C ．4D ．5(2020·山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.直线与抛物线的综合问题例题1：已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点P (1，－2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，且OM →＋OP →＝λOF →.(1)当λ＝3，求点M 的坐标；(2)当OA →·OB →＝12时，求直线l 的方程．例题2：设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .例题3：已知抛物线P ：y 2＝2px (p >0)上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，43到其焦点的距离为1.(1)求p 和a 的值；(2)求直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线P 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于C ，D 两点，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆．例题4.如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程；(2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．例题5：已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎪⎭⎫ ⎝⎛250，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．。
抛物线及其标准方程
例2 根据下列条件求抛物线的标准 方程 1)已知抛物线的焦点是F(2,0)； 2)已知抛物线的准线方程是x=-2
Байду номын сангаас
3)已知抛物线方程是y2 = 2px,焦点 到准线的距离为2；
练习：课本36页练习1-4
例3、求动点M(x,y)到定点A(1,0)的 距离与它到直线x=-1的距离相等的 轨迹方程.
解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直 y 线为x轴，线段KF的中垂线为y轴 l 设︱KF︱= p ( p> 0) M p p N 则F（ 2 ，0），L：x =2 设动点M的坐标为（x，y） K o F 由抛物线的定义可知，
· ·
x
p2 p ( x ) y2 x 2 2
化简得
2 y
练习：动圆M经过点A（1，0）且与 直线x=-1相切，求圆心M的轨迹方程. （图形可参考课本34页图2-17）
答案：y 4 x
2
例3、抛物线y2=12x上一点A到焦点 的距离是4，求点A的纵坐标. 练习：抛物线y2=4x，直线L过其焦 点与抛物线交于A、B两点，且 AB=20,则线段AB的中点C到准线 的距离是 。
抛物线及其标准方程
金台高中
一 抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直 线L的距离相等的点的轨迹叫做抛 物线。
即: MN MF M点的轨迹是抛物线
L
M
N
注:1 定点F 叫做抛物线的焦点.
· F ·
2 定直线L叫做抛物线的准线
3 点F在直线外(若点在直线上呢 ?)
二 抛物线标准方程的推导
= 2px（p＞0）
三 抛物线的标准方程
抛物线定义及标准方程
y2=-x
y2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4y
y2=16x或x2=-12y
焦点（7，0），准线x=-7
焦点(0,1/16a), 准线y=-1/16a;
焦点（0，3/16），准线y=-3/16
焦点（-5/8，0），准线x=5/8
例4 :在抛物线y2=4x上求点M，使它到定点P（2，2）和焦点F的距离之和为最小。
抛物线及标准方程（一）
抛物线是怎样形成的呢？
平面内与一个定点F和一条定直线L（F不在L上）的距离相等的点的轨迹是什么？
思考：
请看动画演示
平面内与一个定点F和一条定直线L（F不在L上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
01
02
03
定点F叫做抛物线p=
9 4
9 2
4 3
∴抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = - x
o
x
y
A
(3)
2 3
得 p=
变式训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程 (1)焦点是F（3，0）； (2)准线方程是x=1/4； (3)焦点到准线的距离是2； (4)焦点在直线3x-4y-12=0上. 2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程 (1)y2=28x; (2)4x2=3y; (3)2y2+5x=0; (4)y=4ax2
开口与y轴正向同向:x2=2py
开口与y轴正向反向:x2=-2py
+
+
已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程时，应先“定位”；后“定量”。
一次项变量对称轴，开口方向看正负
如何确定抛物线对称轴及开口方向
例1
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 (1)y2=6x （2）2x2+5y=0 (3)x=ay2(a≠0)
抛物线标准方程公式
抛物线标准方程公式
抛物线是一种几何图形，它的标准方程是y=ax2+bx+c，其中a、b、c是常数，x是变量。
抛物线的形状取决于a的值，当a>0时，抛物线是一个开口向上的曲线；当a<0时，抛物线是一个开口向下的曲线。
b和c的值决定了抛物线的位置，当b=0时，抛物线的顶点在原点；当b≠0时，抛物线的顶点在(b/2a,c-b2/4a)处。
抛物线的应用非常广泛，它可以用来描述物体的运动轨迹，如抛物线可以用来描述一个物体以恒定的加速度从一个高度抛出后的运动轨迹。
此外，抛物线也可以用来描述热能传递的过程，如抛物线可以用来描述一个物体在不同温度下的热能传递过程。
抛物线的标准方程是一个非常重要的数学公式，它可以用来描述物体的运动轨迹和热能传递的过程，因此在物理学、力学和热学等领域都有着广泛的应用。
抛物线及其标准方程
x
不同建系下的方程比较yyy.K
F
l
2 = 2px − 2
x
.
K
F
l
2 = 2px + 2
x
.
K O
F
l
2 = 2px
x
y
K o
l
标准方程 2 = 2px( > 0)
的特点
M(x,y) （1）p的几何意义：焦点到准线的
距离.
(2）焦点坐标为
(
, 0)
x
F
2
准线方程为：
=−
例2.求适合下列条件的抛物线的标准方程
（1）焦点到准线距离为5
1
(2)准线为: =
4
(3)焦点在直线 = 3 − 6上
（4）过点(4, −2)
❖ 归纳2：求抛物线方程先确定开口方向，再
计算p值。即先定位，再定量。
例3.（1）如果抛物线的顶点在原点,焦点
.
在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距
离等于5,求抛物线方程
（2）点M与点F（2，0）的距离比它到直
线x=-4的距离小2，求M的轨迹方程。
y
N
F
A
. M(m,
-3)
x
N
y
M
O
F
x=-4 x=-2
归纳3：求解抛物线方程的两种方法——
待定系数法和定义法。
x
应用三、利用抛物线定义解决相关问题.
例4.已知抛物线
的焦点为F，准
2 = 8
y
y
.
K
F
l
x
y
.
K
F
l
x
高中数学公式—抛物线及抛物线标准方程_公式总结
高中数学公式—抛物线及抛物线标准方程_公式总结
高中数学公式之抛物线公式：
抛物线：y=ax^2+bx+c
就是y等于ax 的平方加上bx再加上c
a > 0时开口向上
a < 0时开口向下
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y = a(x+h)^2 + k
就是y等于a乘以(x+h)的平方+k
-h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 以上是小编为大家整理的高中数学公式的抛物线方程，希望便于大家牢记。
抛物线及其标准方程(1)
例 2 ．求分别满足下列条件的抛物线的标 准方程： （1）焦点坐标是F（－5，0） （2）经过点A（2，－3）
例3、点M与点F（4，0）的距离比它到直线
l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程． 分析： 如图可知原条件等价于 M 点到 F （ 4 ， 0 ）和到 x ＝－ 4 距离 相等，由抛物线的定义，点 M 的 轨迹是以F（4，0）为焦点，x＝ -5 － 4 为准线的抛物线．所求方程 是y2＝16x．
抛物线定义及其标准方程
独山子第一中学 wang
y
F
O
x
l
复习：椭圆、双曲线的第二定义：
当
e>1 时，点M的轨迹是双曲线；
平面内动点M到定点F的距离与到定直线l 的距离的比为e， 当 0<e<1 时，点M的轨迹是椭圆； 则
当 e=1 即( 点M 到点F的距离与到l 的距离相等 ) 时，
M的轨迹是
l
M F · F
图 p 解： （1）焦点在x轴负半轴上， ＝5，所以所求抛物线 2 2 的标准议程是 y 20x ． （ 2 ）经过点 A （ 2 ，－ 3 ）的抛物线可能有两种标准形式： y2＝2px 或 x2＝－2py． 9 点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝ 2 2＝－2py，即4＝6p，得 点A（ 2 ，－ 3 ）坐标代入 x 4 2 p＝ 3 9 4 ∴所求抛物线的标准方程是y2＝ 3 x或x2＝－ 2 y
y
M (x , y)
-4
F(4,0) x
例4、M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点
M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是X0 +————————————
— 2
p
y
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（2）若弦AB被焦点分成长为m，n的两部分，求证：
1/m＋1/n＝2/p。
（3）设θ为直线AB的倾斜角，求证：当θ＝90o时，取 得︱AB︱的最小值2p。
（4）求证：焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
（5）若弦AB过焦点，求证：以AB为直径的圆与准线 相切。
背 葡萄美酒夜光杯,
4cm
景
引 欲饮琵琶马上催.
入
8cm
问题1:如果测量得酒杯杯口宽 4cm，杯深8cm，试求出该抛 物线方程？
4cm 8cm
解：如图建立平面直角坐标系, 则可知A(-2,8),B(2,8) 所以设抛物线的方程
为： x2 = 2 py( p > 0)
A、B点在抛物线上，代入抛
1 物线方程，可得P= 4 ,
B
y2=2px(p>0)，由题意得，点A的坐标为
（40，30）代入方程得 p = 45
4
所以所求抛物线的标准方程是y2=
45
x
2
例2：过抛物线 y2 = 2 px( p > 0)
的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两 点,自A、B向准线作垂线,垂足分别为
C、D,求证: CFD = 90
２
１ ３ ６ ５ ４
(0,0)
e=1
y2 = -2 px x 0, ( p > 0) y R
关于x 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 = 2 py ( p > 0)
y 0, xR
关于y 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 = -2 py y 0,
关于y 轴 对称，无
(0,0) e=1
( p > 0) x R 对称中心
小结：
主要通过抛物线型酒杯研究 抛物线的几何性质及应用.体 现了数形结合的解析几何思 想.
则所求的抛物线方程为： x2 = 1 y. 2
问题2：研究酒杯轴截面 所在曲线的几何性质。
方程
范 对 顶 离心率 围称点
轴
x2 = 1 y y 0 y轴 (0,0) e=1
2
图形 标准方程 范围 对称性 顶点 离心率
y2 = 2 px ( p > 0)
x 0, yR
关于x 轴 对称，无 对称中心
例2：
过抛物线 y2 = 2 px( p > 0)
的焦点F的直线与抛物线 相交于A,B两点,自A、B 向准线作垂线,垂足分别 为C、D,求证: CFD = 90
证明：如图，由抛物线定义知|AF|=|AC|,
所以 ACF = AFC 。
同理，BFD= BDF 。又AC//BD，
因为 CAF DBF = 180
y2 = -2 px( p > 0) (- p ,0) 2
x2 = 2 py( p > 0) (0, p ) 2
x2 = -2 py( p > 0)
(0,-
p) 2
x=- p 2
x= p 2
y=- p 2
y= p 2
关于抛物线的两个重要结论
第一：一次项的变量如为 X（或Y） 则X轴（或Y轴） 为抛物线的对称轴，焦点 就在对称轴上。！ 第二：一次的系数决定了 开口方向
抛物线的简单几何性质
我们共同研究
知识回顾
1、抛物线的定义: 2、抛物线的标准方程
y2 = 2px( p > 0), y2 = -2px( p > 0) x2 = 2py(p > 0),x2 = -2py( p > 0)
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2 = 2 px( p > 0)
( p ,0) 2
所以 ACF AFC BFD BDF = 180 则 AFC BFD = 90 ，
可证 CFD = 90
变式1
若在上题的条件中,以线段CD 为直径的圆有与点F有什么关系?
N
M
变式2：以AB 直径的圆与抛 物线的准线的 位置关系是？
例4、已知AB是抛物线y2＝2px的任意一条焦点弦，且 A（x1，y1）、B（x2，y2）
A
F
B
例1 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分（如图） 光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm， 灯深40cm，求抛物线的标准方程。
y
A 分析：在探照灯的轴截面所在平面内
· o
F
x建 抛立 物直线角的坐顶标点系），与使原反点光 重镜 合的 ，x顶轴点垂（直即于 灯口直径。设抛物线的标准方程为
抛物线的几何性质特点
（1）只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸， 但没有渐进线。 （2）只有一条对称轴，没有对称中心。 （3）只ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一个顶点，一个焦点，一条准线。 （4）离心率e是确定的，即e =1
（5）一次项系数的绝对值越大，开口越大
引申：探照灯反射镜的轴截面是抛物线 的一部分。已知灯口圆的直径为 60cm，灯深40cm，则光源的位置 在_____________处 ，光线最亮。