《高等数学一》第二章极限与连续历年试题模拟试题课后习题(汇总)(含答案解析)
考研数学一(函数、极限、连续)模拟试卷10(题后含答案及解析)
考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷10(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．以下3个命题，①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A；②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A；③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．正确的个数为( )A．0B．1C．2D．3正确答案：D解析：对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{un}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有｜un一A｜＜ε．可知当ni ＞N时，恒有｜uni一A｜＜ε．因此数列{uni}也收敛于A，可知命题正确．对于命题②，不妨设数列{xn}为单调增加的，即x1≤x2≤…≤xn≤…，其中某一给定子数列{xni}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当ni＞N时，恒有｜xni—A｜＜ε．由于数列{xn}为单调增加的数列，对于任意的n>N，必定存在ni≤n≤ni+1，有一ε，由极限的定义可知，对于任意给定的ε>0，必定存在自然数N1，N2：当2n＞N1时，恒有｜x2n一A｜＜ε；当2n+1＞N2时，恒有｜x2n+1一A｜＜ε．取N=max{N1，N2}，则当n＞N时，总有｜xn一A｜＜ε．因此．可知命题正确．故答案选择D．知识模块：函数、极限、连续2．设f(x)是偶函数，φ(x)是奇函数，则下列函数(假设都有意义)中，是奇函数的是( )A．f(φ(x))B．f(f(x))C．φ(f(x))D．φ(φ(x))正确答案：D解析：令g(x)=φ(φ(x))，注意φ(x)是奇函数，有g(一x)=φ(φ(一x))=φ(一φ(x))=一φ(φ(x))=一g(x)．知识模块：函数、极限、连续3．设f(x)=sin(cosx)，φ(x)=cos(sinx)，则在区间内( )A．f(x)是增函数，φ(x)是减函数B．f(x)，φ(x)都是减函数C．f(x)是减函数，φ(x)是增函数D．f(x)，φ(x)都是增函数正确答案：B解析：注意在内，sinx是增函数，cosx是减函数．任取x1，x2∈，且x1sin(cosx2)，即f(x)是减函数；由于sinx1cos(sinx2)，即φ(x)是减函数．知识模块：函数、极限、连续4．设则当n＞1时，fn(x)= ( )A．B．C．D．正确答案：C解析：知识模块：函数、极限、连续5．设则f(一x)等于( )A．B．C．D．正确答案：D解析：知识模块：函数、极限、连续6．设f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)一v(x)，并设都不存在，下列论断正确的是( )A．若不存在，则必存在B．若不存在，则必不存在C．若存在，则*]必不存在D．若存在，则必存在正确答案：C解析：令，当x→0时可排除A；令当x→0时可排除B；令当x→0时可排除D．知识模块：函数、极限、连续7．两个无穷小比较的结果是( )A．同阶B．高阶C．低阶D．不确定正确答案：D解析：如当x→0时，都是无穷小．但不存在，故α(x)和β(x)无法比较阶的高低．知识模块：函数、极限、连续8．函数f(x)=xsinx ( )A．在(一∞，+∞)内无界B．在(一∞，+∞)内有界C．当x→∞时为无穷大D．当x→∞时极限存在正确答案：A解析：对于任意给定的正数M，总存在着点故f(x)在(一∞，+∞)内无界．C 错，对于任意给定的正数M，无论x取多么大的正数，总有xn=｜2nπ｜＞x(只要)，使f(xn)=xnsinxn=0的充要条件是( )A．α＞1B．α≠1C．α＞0D．与α无关正确答案：B解析：令知识模块：函数、极限、连续10．设当x→x0时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是( )A．设当x+x0时，g(x)是无穷小，则f(x)g(x)必是无穷小B．设当x→x0时，g(c)不是无穷小，则f(x)g(x)必不是无穷小C．设在x=x0的某邻域g(x)无界，则当x→x0时，f(x)g(x)必是无穷大D．设在x=x0的某邻域g(x)有界，则当x→x0时，f(x)g(x)必不是无穷大正确答案：D解析：设当x→0时为无界变量，不是无穷大，令g(x)=x，当x→0时为无穷小，可排除A．设x→0时，令f(x)=x2,可排除B，C．知识模块：函数、极限、连续填空题11．设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又x(1)=a，a为常数，n为整数，则f(n)=__________．正确答案：m解析：令x=一1，则f(1)=f(-1)+f(2)，因f(x)是奇函数，得到f(2)=f(1)一f(-1)=2f(1)一2a．再令x=1，则f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用数学归纳法证明f(n)=na．当n=1，2，3时，已知或者已证．假设n≤k时，有f(k)=ka．当n=k+1时，f(k+1)=f(k 一1)+f(2)=(k一1)a+2a=(k+1)a，故对一切正整数n，有f(n)=na，令x=0，则f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0.a，又f(x)是奇函数，故对一切负整数n有f(n)=一f(-n)=一(一m)=na．所以对一切整数n，均有f(n)=na．知识模块：函数、极限、连续12．对充分大的一切x，以下5个函数：100x，log10x100，e10x，，最大的是__________．正确答案：解析：当x充分大时，有重要关系：eαx》xβ》lnγx，其中α，β，γ＞0，故本题填．知识模块：函数、极限、连续13．正确答案：0解析：知识模块：函数、极限、连续14．极限正确答案：2解析：知识模块：函数、极限、连续15．设则α，β的值为_________．正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
《高等数学一》第二章 极限与连续 历年试题模拟试题课后习题(汇总)(含答案解析)
第二章极限与连续[单选题]1、若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（）A、0B、C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶无穷小.根据高阶无穷小的定义，有.[单选题]2、与都存在是函数在点处有极限的（）.A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限.[单选题]3、（）.A、B、1C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]4、如果则（）.A、0B、1C、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】根据重要极限,[单选题]5、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】分子分母同除以，即[单选题]（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、设，则（）. A、B、2C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、当时，与等价的无穷小量是（）. A、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】由于故与等价,推广，当时，[单选题]9、时，与等价的无穷小量是（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】由于，故与等价,推广，当时，[单选题]函数的间断点是（）.A、x=6、x=-1B、x=0、x=6C、x=0、x=6、x=-1D、x=-1、x=0【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】由于,所以的间断点是x=0，x=6，x=-1. [单选题]11、设,则是的（）.A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】，即的左右极限存在且相等，但极限值不等于函数值，故为可去型间断点.[单选题]12、计算（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]13、计算（）.B、C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]14、（）.A、1B、﹣1C、2D、﹣2【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题析】[单选题]15、下列各式中正确的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】A，当时，极限为，错误；B，，错误；C，，错误，D正确. [单选题]16、函数的间断点个数为（）.A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】在x=0和x=1处，无定义，故间断点为2个.[单选题]17、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）A、B、C、D、arctanx【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】，.[单选题]18、（）A、0B、1C、不存在，但不是∞D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数，则x=0是f(x)的( )A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】故为可去间断点.[单选题]20、（）.A、-1B、2C、1D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】为有界函数，故原式=. [单选题]21、（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]22、下列极限存在的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】当x趋近于0时，为有界函数，故极限存在. [单选题]23、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】，，，不存在,[单选题]极限=( )A、0B、2/3C、3/2D、9/2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]25、函数f(x)=的所有间断点是( )A、x=0B、x=1C、x=0，x=-1D、x=0，x=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】x=1时，分母为0，无意义。
考研数学一(函数、极限、连续)模拟试卷8(题后含答案及解析)
考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷8(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设η1，η2，η3均为线性方程组AX=B的解向量，若ξ1=2η1-aη2+3b η3，ξ2=2aη1-bη2+η3，ξ3=3bη1-3aη2+4η3也是AX=B的解，则a，b 应满足( )．A．a=0，b=-1.B．a=1，b=0.C．a=0，b=1.D．a=1，b=1.正确答案：B 涉及知识点：函数、极限、连续2．设A是n(n≥3)阶矩阵，满足A3=0，则下列方程组中有惟一零解的是( )．A．(A2+A+E)X=0.B．(A2-A)X=0.C．(A2+A)X=0.D．A2X=0.正确答案：A 涉及知识点：函数、极限、连续3．设A，B为满足AB=0.的任意两个非零矩阵，则( )．A．A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关.B．A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.C．A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关.D．A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关.正确答案：A 涉及知识点：函数、极限、连续4．设A是n阶矩阵，α是非齐次线性方程组AX=B的解，β1，β2，…，βr，是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，则( )．A．r(A)＜r.B．r(α，β1，β2，…，βr)=r.C．r(α，β1，β2，…，βr)=r+1.D．r(A)≥r.正确答案：C 涉及知识点：函数、极限、连续5．若矩阵A3×3的特征值为1，2，3，则下列矩阵中必定可逆的是( )．A．E3+A.B．2E3-A.C．A-2E3.D．E3-A.正确答案：A 涉及知识点：函数、极限、连续6．设随机变量X服从正态分布N(μ1，δ12)，随机变量Y服从正态分布N(μ2，δ22)，且P{|X-μ1|P{|Y-μ2|<1}，则必有( )．A．μ1＞μ2 .B．δ1＜δ2.C．μ1＜μ2 .D．δ1＞δ2 .正确答案：B 涉及知识点：函数、极限、连续7．若矩阵A与B相似，则( )．A．对任意常数λ，λE-A与λE-B相似.B．A与B有相同的逆矩阵.C．A与B有相同的特征值和特征向量.D．A与B都相似于同一个对角矩阵.正确答案：A 涉及知识点：函数、极限、连续填空题8．设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X=EX2}=________．正确答案：(1/2)e-1解析：由于X服从参数为1的泊松分布，故EX=1，DX=1，而EX2=DX+(EX)2=2，P{X=2}=(1/2!)e-1=(1/2)e-1，故答案为专(1/2)e-1. 知识模块：函数、极限、连续9．若n阶矩阵A满足r(A+E)+r(A-E)=n，且A≠E，则A必有一个特征值________．正确答案：-1 涉及知识点：函数、极限、连续10．设随机变量X服从均匀分布U[0，1]，求方程t2+t+X=0有实根的概率为________．正确答案：1/4 涉及知识点：函数、极限、连续11．据统计在一年内健康人的死亡率为2‰，保险公司开展生命保险业务，参加者每年支付1 200元保险费，若一年中死亡，保险公司赔偿A元(A>1 200)，要使保险公司获益，赔偿额A∈________．正确答案：(1 200，600 000) 涉及知识点：函数、极限、连续12．设3阶矩阵A满足|A-E|=|A+2E|=|2A+3E|=0，则|2A*-3E|=________．正确答案：126. 涉及知识点：函数、极限、连续13．设n阶实对称矩阵A的属于特征值λ的特征向量为α，P为n阶可逆矩阵，则矩阵(P-1AP)T的属于特征值λ的特征向量为________．正确答案：PTα. 涉及知识点：函数、极限、连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
极限与连续复习题答案
极限与连续复习题答案1. 极限的定义是什么？答：极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了一个函数在某一点附近的行为。
如果函数f(x)在点x=a的极限存在，那么当x趋近于a 时，f(x)的值会无限接近某个确定的数值L。
用数学符号表示为：lim(x→a) f(x) = L。
2. 连续函数的定义是什么？答：连续函数是指在定义域内，函数值与自变量之间没有跳跃的函数。
如果函数f(x)在点x=a处连续，那么当x趋近于a时，f(x)的极限值等于函数在该点的函数值，即lim(x→a) f(x) = f(a)。
3. 极限存在的必要条件是什么？答：极限存在的必要条件是函数在该点的左极限和右极限都存在且相等。
即lim(x→a-) f(x) = lim(x→a+) f(x)。
4. 连续函数与极限的关系是什么？答：连续函数与极限的关系是，如果函数在某点连续，那么该点的函数极限值等于函数值。
反之，如果函数在某点的极限存在且等于函数值，那么该函数在该点连续。
5. 极限的运算法则有哪些？答：极限的运算法则包括：- 和差法则：lim(x→a) [f(x) ± g(x)] = lim(x→a) f(x) ±li m(x→a) g(x)；- 乘法法则：lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) *lim(x→a) g(x)；- 商法则：如果lim(x→a) g(x) ≠ 0，则lim(x→a) [f(x) / g(x)]= lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)；- 幂法则：lim(x→a) [f(x)]^n = [lim(x→a) f(x)]^n；- 指数法则：lim(x→a) e^[f(x)] = e^lim(x→a) f(x)；- 对数法则：如果f(x) > 0，则lim(x→a) log[f(x)] = loglim(x→a) f(x)。
6. 无穷小量和无穷大量在极限中的作用是什么？答：无穷小量是指当x趋近于某个值时，函数值趋近于0的量。
考研数学一(函数、极限与连续)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（函数、极限与连续）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2003年)设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且则必有( )A．an＜bn对任意n成立B．bn＜cn对任意n成立C．极限不存在D．极限不存在正确答案：D解析：由于则由极限的保号性可知，存在N＞0，使得当n＞N时，an＜bn，但不是对任意的n都成立。
例如bn=1，n=1，2时不满足an＜bn，所以选项A错误。
类似地，选项B也是错误的。
例如bn=1，n=1，2时不满足bn＜cn。
由于因此是0·∞型的未定式，有可能收敛也有可能发散，所以选项C是错误的。
例如极限证明发散，可采用反证法。
假设是收敛的，由于可知也是收敛的，与已知条件矛盾，假设不成立，也即是发散的。
由此唯一正确的选项是D。
知识模块：函数、极限与连续2．(2007年)设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f”(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)，则下列结论正确的是( )A．若u1＞u2，则(un}必收敛B．若u1＞u2，则{un}必发散C．若u1＜u2，则{un}必收敛D．若u1＜u2，则{un}必发散正确答案：D解析：方法一：设f(x)=x2，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f”(x)＞0，u1＜u2，但{un}={n2}发散，排除C；设则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f”(x)＞0，u1＞u2，但收敛．排除B；设f(x)=一lnx，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f”(x)＞0，u1＞u2，但{un}={一lnn}发散，排除A。
故应选D。
方法二：由拉格朗日中值定理，有un+1一un=f(n+1)一f(n)=f′(ξn)(n+1—n)=f′(ξn)，其中n＜ξn＜n+1(n=1，2，…)。
由f”(x)＞0知，f′(x)单调增加，故f′(ξ1)＜f′(ξ2)＜…＜f′(ξn)＜…，所以于是当u2一u1＞0时，有故选D。
高等数学作业集第2章极限与连续及答案
x+ x �
（4） 1 + x − 1 − x � x ， 1 阶，等价 x = x1/8 ，1/8 阶，
12．求下列极限 （1） lim
x →+∞
x sin x 2x + 3
x sin x 2x + 3 1 sin x lim = � 0 （无穷小与有界量的乘积） x →+∞ x (2 + 3 / x)
(1/ 2) n 4 4n +1 + 2n 4 + (1/ 2) n 4 + nlim →+∞ 解： = lim lim = = n →+∞ 3 ⋅ 4 n − 3n n →+∞ 3 − (3 / 4) n 3 − lim(3 / 4) n 3
n →∞
（3） lim ( n + 1 − n − n )
2 1/2
− 1 (3) cos( x 2 ) − 1 ,(4) tan( x3 )
x�
3 3 （4） tan( x ) � x [3 阶]； （3） x [1/2 阶]； （2） (1 + x 2 )1/2 − 1 � x 2 / 2 [2 阶]；
cos( x 2 ) − 1 � − x 4 / 2 [4 阶]
2 3 − x x2 2 3 − =1 + 0 − 0 =1 x x2
(5) lim
4 x3 + 3x 2 x →∞ 5 x 4 + 2 x
4 x3 + 3x 2 1 4 + 3(1/ x) 1 4 + 3(1/ x) 4 解: lim =lim =lim �lim =0 × =0 x →∞ 5 x 4 + 2 x x →∞ x 5 + 2(1/ x 3 ) x →∞ x x →∞ 5 + 2(1/ x 3 ) 5
高等数学习题详解-第2章 极限与连续(精品范文).doc
【最新整理，下载后即可编辑】习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1n n x n =+ ; (2)2(1)n n x =--；(3)13(1)nn x n=+-； (4)211n x n=-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+ 所以lim 1n n x →∞=。
(2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====-- 所以原数列极限不存在。
(3)1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n=-=+=-=+=+-所以lim 3n n x →∞=。
(4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=- 所以lim 1n n x →∞=-2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。
(2) 错误 例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。
(3) 正确。
(4) 错误 例如数列21(1)nn x n ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。
*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1) 1(1)lim1n n n n-→∞+-=;(2) 222lim 11n n n n →∞-=++； (3)323125lim -=-+∞→n n n证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε>即可，所以可取正整数1N ε≥.因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以1(1)lim 1n n n n-→∞+-=. (2) 对于任给的正数ε，当3n >时，要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n nε---+-=-==<<<+++++++，只要2n ε>即可，所以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，总有22211n n n ε--<++，所以222lim 11n n n n →∞-=++. (3)对于任给的正数ε，要使25221762()()131333(31)313n n x n n n n ε+--=--=<=<----，只要123n ε->即可，所以可取正整数213N ε≥+.因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有522()133n n ε+--<-，所以323125lim-=-+∞→n n n . 习题2-21. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1)21lim x x →∞ ; (2) -lim x x e →∞； (3) +lim x x e -→∞； (4) +lim cot x arc x →∞; (5) lim2x →∞;(6) 2-2lim(1)x x →+； (7) 1lim(ln 1)x x →+； (8) lim(cos 1)x x π→- 解：(1)21lim 0x x →∞= ;(2) -lim0x x e →∞=；(3) +lim 0x x e -→∞=； (4) +lim cot 0x arc x →∞=; (5) lim 22x →∞= ;(6) 2-2lim(1)5x x →+=； (7) 1lim(ln 1)1x x →+=； (8) lim(cos 1)2x x π→-=- 2. 函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的( D )(A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。
(完整版)高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()xef 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x （3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→xxax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a 13、=∞→x x x sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(110)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
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第二章极限与连续[单选题]1、若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（）A、0B、C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶无穷小.根据高阶无穷小的定义，有.[单选题]2、与都存在是函数在点处有极限的（）.A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限.[单选题]3、（）.A、B、1C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]4、如果则（）.A、0B、1C、2D、5【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】根据重要极限,[单选题]5、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】分子分母同除以，即[单选题]6、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、设，则（）.A、B、2C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、当时，与等价的无穷小量是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题由于故与等价,推广，当时，[单选题]9、时，与等价的无穷小量是（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】由于，故与等价,推广，当时，[单选题]10、函数的间断点是（）.A、x=6、x=-1B、x=0、x=6C、x=0、x=6、x=-1D、x=-1、x=0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】由于,所以的间断点是x=0，x=6，x=-1.[单选题]11、设,则是的（）.A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】，即的左右极限存在且相等，但极限值不等于函数值，故为可去型间断点.[单选题]12、计算（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]13、计算（）. A、B、C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]14、（）.A、1B、﹣1C、2D、﹣2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]15、下列各式中正确的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】A，当时，极限为，错误；B，，错误；C，，错误，D正确. [单选题]16、函数的间断点个数为（）.A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在x=0和x=1处，无定义，故间断点为2个. [单选题]17、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）A、B、C、D、arctan x【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】，.[单选题]18、（）A、0B、1C、不存在，但不是∞D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数，则x=0是f(x)的( )A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】故为可去间断点.[单选题]20、（）.A、-1B、2C、1D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】为有界函数，故原式=. [单选题]21、（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]22、下列极限存在的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】当x趋近于0时，为有界函数，故极限存在. [单选题]23、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】，，，不存在,[单选题]24、极限=( )A、0B、2/3C、3/2D、9/2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]25、函数f(x)=的所有间断点是( )A、x=0B、x=1C、x=0，x=-1D、x=0，x=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】 x=1时，分母为0，无意义。
x=0时，分子的指数分母为0，无意义。
[单选题]26、极限（）．A、－∞B、0C、1D、＋∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P48～50．（2015年4月真题）[单选题]27、函数的所有间断点为（）．A、x＝0，x＝1B、x＝0，x＝2C、x＝1，x＝2D、x＝0，x＝1，x＝2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考查间断点，由定义可知答案为D。
参见教材P64．（2015年4月真题）[单选题]28、设函数f（x）＝2x2，g（x）＝sin x，则当x→0时（）．A、f（x）是比g（x）高阶的无穷小量B、f（x）是比g（x）低阶的无穷小量C、f（x）与g（x）是同阶但非等价的无穷小量D、f（x）与g（x）是等价无穷小量【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】当x→0时，sin x和x是等价无穷小量，2x2是x的高阶无穷小量．所以选择A．参见教材P59～61。
（2014年4月真题）[单选题]29、设函数在x＝2处连续，则（）．A、a＝1，b＝4B、a＝0，b＝4C、a＝1，b＝5D、a＝0，b＝5【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】在x＝2点连续，那么在这一点左右极限相等，且等于该点函数值．所以有3x2－4＋a＝b＝x＋2，解得a＝0，b＝4，选B．参见教材P63～64。
（2014年4月真题）[单选题]30、若函数在x＝0处连续，则常数k＝（）．A、1B、2C、3D、4【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】在x＝0点连续，因此因此选择D．参见教材P63～64。
（2014年10月真题）[单选题]31、函数的间断点的个数为（）．A、1B、2C、3D、4【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】解得x＝±1．因此选择B．参见教材P64。
（2014年10月真题）[单选题]32、设函数，则为（）。
A、不存在B、0C、1D、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】。
参见教材P48。
[单选题]33、当时，下列变量为无穷小量的是（）。
A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】当时，，，，。
参见教材P59。
[单选题]34、极限=（）.A、-2B、0C、2D、﹢∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P48。
[单选题]35、函数的所有间断点是（）.A、0B、-1C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】根据间断点的定义可知，均是函数的间断点。
参见教材P64。
[单选题]36、极限=（）.A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】等于最高次项的系数之比。
故选B。
[单选题]37、极限的所有间断点为（）.A、x=-1B、x=2C、x=2D、x=2，x=3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】当x=2，x=3时，f(x)没有意义，所以极限的所有间断点为2，3。
故选D。
[单选题]38、极限（）.A、0B、C、D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】等于最高次项的系数之比。
故选C。
参见教材P52。
[单选题]39、函数的全部间断点为（）.A、x=－1及x=4B、x=－1及x=－4C、x=1及x=－4D、x=1及x=4【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】当x=1，x=－4时，f(x)没有意义，所以函数的全部间断点为x=1，x=－4。
故选C。
参见教材P64。
[解答题]40、极限=_________．【从题库收藏夹删除】【正确答案】【您的答案】您未答题【答案解析】[解答题]41、极限_________.【从题库收藏夹删除】【正确答案】 1【您的答案】您未答题【答案解析】。
[解答题]42、讨论函数在x=0处的连续性．【从题库收藏夹删除】【正确答案】，，所以在x=0处连续。
【您的答案】您未答题[解答题]43、设求.【从题库收藏夹删除】【正确答案】故【您的答案】您未答题[解答题]44、计算【从题库收藏夹删除】【正确答案】【您的答案】您未答题[解答题]45、证明方程在区间(0,1)内必有根.【从题库收藏夹删除】【正确答案】设则在[0,1]上连续，当时，当时，即根据零点定理：存在，使得即在区间(0,1)内必有根.【您的答案】您未答题[解答题]46、设，在内连续，求的值.【从题库收藏夹删除】【正确答案】要使在内连续，则保证在和点连续，在处，所以，在处，所以.【您的答案】您未答题[解答题]47、计算极限【从题库收藏夹删除】【正确答案】【您的答案】您未答题[解答题]48、计算【从题库收藏夹删除】【正确答案】此题是0/0型，所以用洛必达法则上下求导得到此题还可以用等价替换来做【您的答案】您未答题[解答题]49、求a的值，使得函数f(x)=在x=0处连续.【从题库收藏夹删除】【正确答案】，所以当时函数f(x) 在x=0处连续.【您的答案】您未答题[解答题]50、求极限．【从题库收藏夹删除】【正确答案】e6【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P55～58．（2015年4月真题）[解答题]51、求常数a的值，使函数在x＝0处连续．【从题库收藏夹删除】【正确答案】a＝1【您的答案】您未答题【答案解析】当x≠0时，当x＝0时，f(x)＝a．由于函数在x＝0处连续，所以a＝1．参见教材P63～64．（2015年4月真题）[解答题]52、求极限．【从题库收藏夹删除】【正确答案】－3【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P59～61．（2015年4月真题）[解答题]53、求极限．【从题库收藏夹删除】【正确答案】【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P48～50。