2014上海交大附中高一数学下学期期末试卷含答案沪教版
2014上海交大附中高一数学下学期期末试卷（含答案沪教版）一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1. 数列 2,3,2,1的一个通项公式为=n a ． 【答案】n a n =试题分析：因为数列 2,3,2,1,,n因此该数列一个通项公式为na =2.若三个数5,5m +-m=________．1±3. 数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，51a =，则10a = ．试题分析：设公差为d ，由已知，21111()(2)41a d a a d a d ⎧+=+⎨+=⎩，解得110a d =⎧⎨=⎩，所以，10a =1．4. 设是等差数列的前项和，已知，则等于 ．49【解析】在等差数列中，.5. 数列的前n 项和为，若，，则___________【解析】因为a n ＋1＝3S n ，所以a n ＝3S n －1(n ≥2)，两式相减得：a n ＋1－a n ＝3a n ， 即＝4(n ≥2)，所以数列a 2，a 3，a 4，…构成以a 2＝3S 1＝3a 1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a 6＝a 2·44＝3×446. =∈=x x x 则角，已知),,2(32sin ππ__________（用反三角函数符号表示）. 【答案】2a r c s i n 3π-7. 方程()sin x π-=1x 2014 的实数解的个数是______________4029 8. 函数)2tan(x y -=π )044(≠≤≤-x x 且ππ的值域是 ．试题分析：44-ππ≤≤x 且0≠x ,所以3-,,24224x πππππ⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦,根据正切函数的图像可知值域为1≥x 或1-≤x .9. 函数f(x)＝-2sin(3x ＋4π)表示振动时，请写出在[)02π，内的初相________． f(x)＝-2sin(3x ＋4π)=2sin(3x ＋54π)，所以在[)02π，内的初相为54π。
10. 观察下列等式3235,=+337911,=++3413151719,=+++352123252729,=++++，若类似上面各式方法将3m 分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m 等于____．试题分析：依题意可得3m 分拆得到的等式右边最后一个数5,11,19,29， .所以第n 项的通项为*5(4)(1) n a n n n N =++-∈.所以5(4)(1)109,9n n n ++-=∴=.所以10m =.11. 已知数列{}n a 满足：1a ＝m （m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时。
若6a ＝1，则m 所有可能的取值为__________。
【答案】4 5 3212. 设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12b b <，且2(1,2,3)i i b a i ==，则 数列{b n }的公比为 ．方法二：由题意可知422213a a a =，则2213a a a =±．若2213a a a =，易知123a a a ==，舍去；若2213a a a =-，则21313()2a a a a +=-且10a <，则22113360a a a a ++=，所以23311()6()10a a a a ++=，则313a a =-±，又2223332111()b a a q b a a ===，且1q >，所以3q =+二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分） 13. 将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的僻析式是( ) A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π=-C ．1sin()26y x π=-D ．sin(2)6y x π=-试题分析：将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数sin()3y x π=-，再将所得的图象向左平移3π个单位，得函数1sin[()]23y x π=+，即1sin()26y x π=-故选C ．考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．14. 函数f(x)＝xxcos 2cos 1-( )A ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π， 、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ2,23上递减 B ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤ ⎝⎛23ππ，上递增，在⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223，上递减 C ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，2、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223，上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤ ⎝⎛23ππ， 上递减D ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ2,23上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2上递减试题分析：|sin |()cos cos x f x x x ==，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π， 、⎥⎦⎤⎝⎛ππ,2上()f x x =递增，在3,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭、3,22ππ⎛⎤⎥⎝⎦上，()f x x =递减，故选A 15. 数列满足表示前n 项之积，则的值为( )A. -3B.C. 3D.【解析】由得，所以，，，所以是以3为周期的周期数列，且，又，所以，选A.16. 已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为( ) A. B.C. D. 不存在所以，当且仅当即取等号，此时，所以时取最小值，所以最小值为，选A.三、解答题(本大题共4题，满分48分8’+12’ +12’+16’=48’)17. 已知1sin sin 3x y +=，求2sin cos y x -的最大值 【解】由已知条件有1sin sin 3y x =-且[]1sin sin 1,13y x =-∈-（结合[]sin 1,1x ∈-）得2sin 13x -≤≤，而2sin cos y x -=1sin 3x -2cos x -=22sin sin 3x x =--令2sin 13t x t ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭则原式=222133t t t ⎛⎫---≤≤ ⎪⎝⎭根据二次函数配方得：当23t =-即2sin 3x =-时，原式取得最大值49。
18. 已知函数f(x)＝2sin 2x －cos 2x －12，x ∈R ．(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cf(C)＝0，若sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值．【答案】（1）－2 π （2）a ＝1且b ＝2(2)f(C)＝sin(2C －6π)－1＝0，则sin(2C －6π)＝1． ∵0<C<π， ∴－6π<2C －6π<116π，因此2C －6π＝2π，∴C ＝3π． ∵sin B ＝2sin A 及正弦定理，得b ＝2a ．① 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcos 3π，且c∴a 2＋b 2－ab ＝3，②由①②联立，得a ＝1且b ＝2．19. 在等差数列{}n a 中，127a a +=，38a =．令11=n n n b a a +，数列{}n b 的前n 项和为n T . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）是否存在正整数m ，n （1m n <<）,使得1T ，m T ，n T 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由.试题解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由12378a a a +=⎧⎨=⎩得111728a a d a d ++=⎧⎨+=⎩解得12a =，3d =∴23(1)31n a n n =+-=- （2）∵1111111()(31)[3(1)1](31)(32)33132n n n b a a n n n n n n +====--+--+-+ ∴12n n T b b b =+++111111111()()()32535833132n n =-+-++--+ 111()3232n =-+ 2(32)nn =+（3）由（1）知，1110T =，2(32)m m T m =+，2(32)n n T n =+ 假设存在正整数m 、n (1)m n <<，使得1T 、m T 、n T 成等比数列，则 21m n T T T =⋅， 即 21[]2(32)102(32)m nm n =⨯++经化简，得22(32)5(32)m nm n =++ ∴222(32)1510m n m n m +=+∴22(362)5m m n m -++= （*） 当2m =时，（*）式可化为 220n =，所以10n = 当3m ≥时，223623(1)570m m m -++=--+≤-<又∵250m >，∴（*）式可化为 2250362m n m m =<-++，所以此时n 无正整数解. 综上可知，存在满足条件的正整数m 、n ，此时2m =，10n =.20. 已知函数2()31,()2f x x g x x =+=，数列{}n a 满足对于一切*n N ∈有0n a >，且13(1)()()2n n n f a f a g a ++-=+．数列{}n b 满足log n n a b a=，设*11,,,1313k l k l N b b l k∈==++． （1）求证：数列{}n a 为等比数列，并指出公比；（2）若9k l +=，求数列{}n b 的通项公式；（3）若0k l M +=（0M 为常数），求数列{}n a 从第几项起，后面的项都满足1n a >．解（1）13(1)()()2n n n f a f a g a ++-=+2211133(1)312(),6232n n n n n n na a a a a a a +++∴+--=+=⇒=即故数列{}n a 为等比数列，公比为３.（Ⅱ）1log log n n a a n n b a a b =⇒=1111log log 3n a a n n na b b a ++⇒-==所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11b 为首项,公差为 log a 3的等差数列.又111313log 33k l a l kb b k l k l -+--===---113313()3a -⇒==又111(1)(3)k k b b =+--=1+3l ,且9k l += 113()225k l b =+-=1125(1)(3)283283n n n n b b n ∴=+--=-⇒=-（Ⅲ）0k l M +=01132M b ⇒=-00132(1)(3)331n M n M n b ∴=-+--=-+。
上海交大附中2023-2024学年高一下学期期末化学试卷
上海交大附中2023-2024学年高一下学期期末化学试卷一、解答题1．连二亚硫酸钠224Na S O ，俗称保险粉，采用锌粉法制保险粉的部分装置如图。
(加热装置、夹持装置和搅拌装置已省略)(1)仪器a 的名称为 ，写出装置A 中生成2SO 的化学方程式： 。
(2)硫的不同存在形态结构不同，下列含硫物下列说法不正确．．．的是_______。
A ．110g 22Na S 固体中含有的阴离子个数为N AB ．常温常压下，22.4L 2SO 气体含有的分子数大于N AC ．32g 硫在足量的氧气中充分燃烧转移的电子数为4N AD ．64g 8S 中的共价键数目为2N A(3)C 装置中发生的离子反应方程式为 。
(4)装置B 中，2SO 与锌粉和水的悬浊液在35~45℃下应生成24ZnS O (aq)，冷却至28~35℃，加入烧碱溶液，搅拌，生成224Na S O 和2Zn(OH)的悬浊液，经过滤、冷却，边搅拌边向滤液中加入一定量的()NaCl s ，经静置后加热至58~60℃，脱水，再加乙醇醇洗，经干燥后制得连二亚硫酸钢成品。
℃反应过程中加热至58~60℃的最佳加热方式为 ，每生成1mol 24ZnS O ，转移的电子数为 。
℃向2SO 的水溶液中加入锌粉时，水的电离平衡 (填“正向”或“逆向”)移动。
(5)测定保险粉样品纯度的操作如下：℃配溶液：称取2.0g 224Na S O 样品溶于冷水中，配成100mL 溶液。
℃滴定：取0.1000mol/L 的4KMnO 酸性溶液24.00mL ，加入过量KI 溶液，充分反应后放于锥形瓶，用Na 2S 2O 4样品溶液滴定至终点。
重复上述操作2次，平均消耗样品溶液20.00mL上述过程中-4MnO 被还原为2+Mn ，2-24S O 被氧化为2-4SO 滴定过程中可选择 作指示剂，滴定终点的现象是： ，样品中224Na S O 的质量分数为 %。
若其他操作均正确，滴定前滴定管的尖嘴处有气泡，滴定后消失，则测得的结果会 。
2014-2015年上海市交大附中高一(下)期中数学试卷和答案
13． （3 分）方程 x2﹣cosx=0 的解可视为函数 y=cosx 的图象与函数 y=x2 的图象交 点的横坐标．方程 14． （3 分）某同学对函数 实数解的个数为 ．
进行研究后，得出以下五个结论：
①函数 y=f（x）的图象是轴对称图形； ②函数 y=f（x）对任意定义域中 x 值，恒有|f（x）|＜1 成立； ③函数 y=f（x）的图象与 x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等； ④当常数 k 满足 k≠0 时， 函数 y=f （x） 的图象与直线 y=kx 有且仅有一个公共点． 其中所有正确结论的序号是 ．
， 则下列不等式恒成立的是 （ B．a2+b2≥1 D．
，cosC= ．
，求 BC 的长． ）+2sin（x﹣ 上的值域． sin（x+
20． （10 分）已知函数 f（x）=cos（2x﹣ ，求函数 f（x）在区间
21． （12 分）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平 铺设污水净化管道（Rt△FHE，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水 净化效果越好． 设计要求管道的接口 H 是 AB 的中点， E， F 分别落在线段 BC， AD 上．已知 AB=20 米， 米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度 L 表示为 θ 的函数，并写出定义域； （2）若 ，求此时管道的长度 L；
（3）当 θ 取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．
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22． （12 分） 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f （x） 的全体， 存在非零常数 T， 对任意 x∈R，有 f（x+T）=Tf（x）成立． （1）函数 f（x）=x 是否属于集合 M？说明理由； （2）设 f（x）∈M，且 T=2，已知当 1＜x＜2 时，f（x）=x+lnx，求当﹣3＜x＜ ﹣2 时，f（x）的解析式； （3）若函数 f（x）=sinkx，f（x）∈M，求实数 k 的取值范围．
上海市高一下学期期末考试数学试卷含答案
上海市高一数学下学期期末考试试卷考试范围： 必修二 ；总分：150分；考试时间：120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 4． 测试范围：高二下+高三全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与β角均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ，射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -．若6BOC π∠=，则cos()βα-的值是_________．2．化简sin sin()tan(3)23cos sin()2παπαπαπαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭________． 3．复数112z i =-+，21z i =-，332z i =-，它们所对应的点分别为A 、B 、C ，若(),OC xOA yOB x y R =+∈，则yx=________. 4．设z ＝1－i ，则复数22()z z+·z ＝________． 5．已知向量()()1,3,3,3a b ==-，则a 与b 的夹角大小为___________.6．已知向量()()()2,1,0,1,4,3a b c ===，若λ为实数，且()a b c λ+⊥，则λ=___________.7．若函数()cos f x x =,[]2π,2πx ∈-,则不等式()0xf x >的解集为______. 8．若1sin 33πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.9．已知1sin 64x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______.10．已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是________． 11．若函数()2sin 21()6f x x a a R π⎛⎫=++-∈ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点12,x x ，则12x x a +-的取值范围是______________.12．已知将函数()sin()(06,)22f x x ππωθωθ=+<<-<<的图象向右平移3π个单位长度得到画()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ωθ⋅=________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．把复数z 1与z 2对应的向量OAOB ，分别按逆时针方向旋转4π和53π后，重合于向量OM 且模相等，已知21z =-，则复数1z 的代数式和它的辐角主值分别是（ ）A ．，34π B ．3,4πC ．,4πD ．,4π14．已知两非零向量b 与a 的夹角为120︒，且2243a a b =-=，，则b =（ ） A ．8B ．6C ．4D ．215．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数B ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在[,]-ππ有4个零点D ．()f x 的值域为[2,2]-16．在ABC 中，已知2b =，45B =︒，c =C 为（ ） A ．60︒B ．150︒C ．60︒或120︒D ．120︒三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．若不等式m 2－(m 2－3m )i <(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值.18．已知向量33cos,sin ,cos ,sin 2222x x a x x b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求： （1）a b ⋅及||a b +；（2）若()2||f x a b a b λ=⋅-+的最小值为32-，求实数λ的值．19．已知函数21())sin ()(02)632f x x x ππωωω=+++-<<，且()04f π=．（1）求()f x 的解析式;（2）先将函数()y f x =图象上所有的点向右平移6π个单位长度，再将所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数()y g x =的图象．若()g x 在区间,44ππαα⎛⎫-+⎪⎝⎭有且只有一个0x ，使得0()g x 取得最大值，求α的取值范围．20．在①sinsin sin A b cB C b a+=--；②c a =③2S CB =⋅，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，C ，S 为ABC 的面积，若__________（填条件序号） （1）求角C 的大小；（2）若边长2c =，求ABC 的周长的最大值．21．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知222(2sin )4sin sin A B C B =-． （1）求角C 的大小；（2）若1,b c ==，求cos()B C -的值．高一数学下学期期末答案解析考试范围： 必修二 ；总分：150分；考试时间：120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：5． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．6． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．7． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 8． 测试范围：高二下+高三全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
2014上海交大附中高二数学下学期期末试卷(含答案沪教版)
2014上海交大附中高二数学下学期期末试卷（含答案沪教版）2014上海交大附中高二数学下学期期末试卷（含答案沪教版）（满分150分，120分钟完成，答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）1.设复数满足,则____________。
2.三个平面最多把空间分割成8个部分。
3.若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为180 的扇形，则这个圆锥的体积是。
4.如图,在正三棱柱中,,异面直线与所成角的大小为,该三棱柱的体积为。
5.的展开式中的常数项是60。
6.8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有512种。
7.将三个1、三个2、三个3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，则不同的填写方法共有12种。
8.用4种颜色给一个正四面体的4个顶点染色，若同一条棱的两个端点不能用相同的颜色，那么不同的染色方法共有_____24________种。
9.从个正整数中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于的概率为,则8。
10.用0、1、2、3、4、5组成一个无重复数字的五位数，这个数是偶数的概率为。
11.设复数，，在复平面上所对应点在直线上，则=。
12.如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为。
13.在直三棱柱中，底面ABC为直角三角形，，.已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度的最小值为。
【解】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ轴，则（），，，（）。
所以，。
因为，所以，由此推出。
又，，从而有。
14.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是．解]如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因，故，从而．记此时小球与面的切点为，连接，则．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2．记正四面体的棱长为，过作于．因，有，故小三角形的边长．小球与面不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）．又，，所以．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15.已知为异面直线,平面,平面.平面α与β外的直线满足,则（D）A．,且B．,且C．与相交,且交线垂直于D．与相交,且交线平行于16.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为（A）A．B．C．D．17.三个人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有2人上了同一车厢的概率为（B）A．B．C．D．18.除以100的余数是(C)A．1B．79C．21D．81解：==4即除以100的余数为21。
上海交大附中高一数学下学期年末试卷解析
上海交大附中高一数学下学期年末试卷解析【解析】【解析】的三个内角A.B.C成等差数列，所以，，又，所以，.设为边上的中点,那么,又,所以，，即，故△ABC为等边三角形，选.【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】i=1，S=0 S= ,i=2 S= ,i=3 S= + ,i=4 S= + + ,i=1007=1006+ 1，所以判断框内应填入的条件是i1006，应选D.【解析】【二】填空题【解析】【解析】【解析】【解析】【三】解答题(2)∵，，= =7【解析】【解析】(Ⅰ)设与夹角为，，而，，即又，所成与夹角为.(Ⅱ)∵所以.【解析】且对任意都有，且.所以对，对.于是.(2)由于对，对，所以二次函数的对称轴满足：，所以.由(1)知，，所以，于是.(3)因为的最大值为10，所以在的最大值为10，又因为二次函数开口向上且对称轴满足：，所以在单调递减，所以，于是.又由(1)知，，所以联立解得，所以的表达式为.【解析】【解析】证明：当角的终边在坐标轴上时，正弦线(余弦线)变成一个点，而余弦线(正弦线)的长等于r(r=1)，所以|sin|+|cos|=1.与当今〝教师〞一称最接近的〝老师〞概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问«示侄孙伯安»诗云：〝伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
〞于是看，宋元时期小学教师被称为〝老师〞有案可稽。
清代称主考官也为〝老师〞，而一般学堂里的先生那么称为〝教师〞或〝教习〞。
可见，〝教师〞一说是比较晚的事了。
如今体会，〝教师〞的含义比之〝老师〞一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称〝教师〞为〝教员〞。
当角的终边落在四个象限时，设角的终边与单位圆交于点P(x，y)时，过P 作PMx轴于点M(如图)，〝师〞之概念，大体是从先秦时期的〝师长、师傅、先生〞而来。
其中〝师傅〞更早那么意指春秋时国君的老师。
交大附中期末数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. 2/3C. √2D. 0.333...答案：C2. 已知等差数列的前三项分别为3，5，7，则第10项是（）A. 17B. 19C. 21D. 23答案：C3. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B4. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°答案：C5. 下列方程中，无解的是（）A. 2x + 3 = 7B. 3x - 5 = 2C. 4x - 6 = 0D. 5x + 10 = 0答案：D6. 若|a| = 5，|b| = 3，则|a + b|的最大值是（）A. 8B. 10C. 12D. 15答案：B7. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x) < 0，则x的取值范围是（）A. x < 1.5B. x < 3C. x > 1.5D. x > 3答案：A8. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 + 2ab - b^2答案：B9. 若等比数列的前三项分别为2，4，8，则该数列的公比是（）A. 1B. 2C. 4D. 8答案：B10. 已知圆的半径为5cm，则该圆的直径是（）A. 10cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm答案：A二、填空题（每题5分，共50分）11. 若等差数列的前三项分别为3，5，7，则该数列的公差是_________。
答案：212. 函数f(x) = 2x + 1在x = 0时的函数值为_________。
上海交通大学附属中学2013-2014学年高一下学期摸底考试数学试题Word版含答案[ 高考]
上海交通大学附属中学2013-2014学年度第二学期高一数学摸底试卷（满分100分，90分钟完成，答案一律写在答题纸上）一、填空题：（每题3分，共36分）1. 如果()f x 的定义域为[-1,2]，则2(1)f x -的定义域为 . [- , ]2. 设集合{|0}M x x m =-≤，{|21,}xN y y x R ==-∈，若M N ⋂=∅，则实数m 的 取值范围是 . (,1]-∞- 3 设()f x 为定义在R 上的奇函数，当x时，()221(xf x x b b =+++为常数），则(1)f -的值是 . -3 4 已知lg 2a =，103b=，则12log 5= .（用a 、b 表示）12aa b-+5若22x y +=，,x y R ∈，则42x y+的最小值为 。
46. 幂函数()32221----=m mx m m y 当()+∞∈,0x 时为减函数，则实数m 的值为 . 27 已知]1,(-∞∈x 时，不等式04)(212>-++xxa a 恒成立，则a 的取值范围是 .)23,21(- 8 某商人将进货单位为8元的商品按每件10元售出时,每天可销售100件,现在它采用提高销售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品涨1元,其销售数就减少10个.问他将售出价定为________元时,利润获得最大。
149 已知函数212log (35)y x ax =-+在[1,)-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是________。
（-8，-6]10 )21( 22<<-=x x x y 反函数是_____________________________。
)10( 112<<-+=x x y11 设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2()97a f x x x=++,若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为 . 87a ≤-.12设定义域为R 的函数()2l g,02,0x x f x x x x⎧>⎪=⎨--≤⎪⎩ ,则关于x 的函数()22()3()1f x f x f x =-+的零点的个数为 .7二、选择题(每题4分，共16分) 13、函数||(0110)x b y aa b +=<<-<<、的大致图像为 ( C )14、已知0a b ab >≠、。
高一下学期期末考试数学试卷含答案(沪教版)
高一数学下学期期末考试试卷（沪教版）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．考试范围：必修二一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知()1sin 753α+=，则()cos 15α-的值为________． 2．已知(1,0),(5,5)a b ==，则向量b 在向量a 方向上的投影向量的坐标为_______．3．已知向量()1,1a =-，(),2b m =，若存在实数λ，使得a b λ=，则m =___________.4．设复数z 满足i 32i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则Im z =___________．5．已知角α的终边上的一点(4,3)(0)t t t ->，则sin α=________．6．已知单位向量a ，b 满足，则,a b =_________．7．将正弦函数sin y x =的图像向右平移m ()0m >个单位，可以得到余弦函数cos y x =的图象，则m 的最小值为________．8．赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的个大正方形，如图是一张弦图已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为________．9．已知函数22()2x x x a f x x x a ⎧--≤=⎨-+>⎩，若存在实数0x ，使得对于任意的实数x 都有()0()f x f x ≤成立，则实数a 的取值范围是___________.10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____. 11．函数()212log 23y x x =+-的单调递减区间是_____ ． 12．已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0>ω）有且仅有三个零点，则ω的取值范围是______．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知a ，b ∈R ，若11:||,||;:||122a b a b αβ<<+<；则α是β的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件14．下列幂函数在区间(0,)+∞上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是（ ）A ．32y x =B ．23y x =C ．13y x =D ．13y x -= 15．我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为23π，AB 长为403π，CD 长为10π，则扇面ABCD 的面积为（ ）A ．1753πB ．3503πC ．21759πD ．23509π16．函数1|1|1y x =--与|sin 2|,[4,8]y x x =∈-交点的个数是（ ） A ．9B ．10C ．11D ．12三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．已知向量a 、b 的夹角为2,||1,||23a b π==.（1）求a ·b 的值（2）若2a b -和ta b +垂直，求实数t 的值.18．求函数223cos 2sin cos 3222x x x y =+-的值域与单调增区间.19．如图所示，甲船在距离A 港口24海里，并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．（1）求ABC ∠的大小；（2）当乙船行驶20海里到达D 处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？20．已知复数12cos sin z i θθ=+，21sin z i θ=-，其中i 为虚数单位，R θ∈.（1）当1z 、2z 是实系数一元二次方程20x mx n ++=的两个虚根时，求m 、n 的值.（2）求12z z ⋅的值域.21．随着生活水平的逐步提高，越来越多的人开始改善居住条件，搬家成了生活中经常谈及的话题，在搬运大型家具的过程中，经常需要考虑家具能否通过狭长的转角过道，如果我们能够根据过道的宽度和家具的尺寸，用数学的方法预先判断家具能否转弯，必将为搬运家具提供实用的依据，从而避免因家具尺寸过大而不能转弯的麻烦，有经验的搬运工的做法是∶将家具推进过道的转角，让家具的一侧抵住过道的拐角，然后转动并推进家具，若家具过长或过宽，家具都会卡在过道内，家具将不能转过转角.（1）请你提出一个数学问题，并将你的问题填入答题纸对应题号的方框内；（2）为了解决问题，我们需要作出一些合理的假设∶假设1∶家具呈长方体的形状∶假设2∶转角两侧的过道宽度相同∶假设3∶墙壁是光滑的平面，且地面是水平面；假设4∶家具转动时其侧面始终保持与水平面垂直∶假设5∶过道的转角为直角∶假设6∶忽略家具转动时家具与墙壁､地面的摩擦影响；等等.根据上述假设和你提出的数学问题，画出搬运家具时一个转角过道的示意图，设定相关参数或变量，构建相应的数学模型，并将示意图和建立的数学模型填写在答题纸对应题号的方框内.高一数学下学期期末参考答案（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：4． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．5． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．6． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 考试范围：必修二二、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知()1sin 753α+=，则()cos 15α-的值为________． 【答案】13【分析】由三角函数的诱导公式即可求解.【详解】()()()1cos 15cos 9075sin 753ααα⎡⎤-=-+=+=⎣⎦， 故答案为：13. 2．已知(1,0),(5,5)a b ==，则向量b 在向量a 方向上的投影向量的坐标为_______．【答案】（5，0）【分析】根据定义即可求出投影向量.【详解】b →在a →方向上投影向量为()()5··1,05,01a b a a a ⋅==，所以b →在a →方向上投影向量为（5,0）. 故答案为：（5,0）.3．已知向量()1,1a =-，(),2b m =，若存在实数λ，使得a b λ=，则m =___________.【答案】2- 【分析】由于a b λ=，所以//a b ，从而列方程可得m 的值.【详解】因为a b λ=，则//a b ，所以120m -⨯-=，得2m =-.故答案为：2-.4．设复数z 满足i 32i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则Im z =___________．【答案】－3【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，即可求解.【详解】由i 32i z ⋅=+可得：()()()32i i 32i 23i i i i z +⋅-+===-⋅-， 所以Im 3z =-， 故答案为：3-. 5．已知角α的终边上的一点(4,3)(0)t t t ->，则sin α=________． 【答案】35【分析】由三角函数定义即可得到答案. 【详解】因为，t >0，所以()()223333sin 5||5543t t t t t t t α---====-+-. 故答案为：35. 6．已知单位向量a ，b 满足，则,a b =_________． 【答案】π3 【分析】将已知条件两边同时平方，由向量数量积的定义结合1a b ==可得cos ,a b 的值，结合向量夹角的范围即可求解.【详解】因为向量a ，b 是单位向量，所以1a b ==， 由3a b +=可得()23a b+=，即2223a b a b ++⋅=， 所以222cos ,3a b a b a b ++⋅=，所以112cos ,3a b ++=，所以1cos ,2a b =， 因为0,πa b <<，所以,a b =π3， 故答案为：π3. 7．将正弦函数sin y x =的图像向右平移m ()0m >个单位，可以得到余弦函数cos y x =的图象，则m 的最小值为________．【答案】3π2【分析】利用三角函数的诱导公式以及图象的平移变换即可求解.【详解】因为3πcos sin 2y x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以正弦函数sin y x =的图像向右平移3π2个单位可得3πsin cos 2y x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 并且此时是将正弦函数sin y x =的图像向右平移最少的单位，所以m 的最小值为3π2， 故答案为：3π2. 8．赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的个大正方形，如图是一张弦图已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为________．【答案】17- 【分析】结合已知条件设直角三角形两直角边分别为x 、1x +，由勾股定理求出x 的值，进而可得tan α的值，由两角差的正切公式即可求解.【详解】设直角三角形的较小的直角边为x ，则较长的直角边为1x +，因为大正方形的面积为25，所以有正方形的边长为5，每一个直角三角形中由勾股定理可得：()22125x x ++=，即2120x x +-=，解得3x =或4x =-（舍），直角三角形较小的锐角为α，可得3tan 14x x α==+， 所以π3tan tan1π144tan π3471tan tan 1144ααα--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭++⨯， 故答案为：17-.9．已知函数22()2x x x a f x x x a ⎧--≤=⎨-+>⎩，若存在实数0x ，使得对于任意的实数x 都有()0()f x f x ≤成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1a ≥【分析】作出分段函数的图象，再结合图形就可以得到a 的取值范围.【详解】分别作出22y x x =--、2y x =-+的图象中下图所示，由图可以看出当1a ≥时，()f x 有确定的最大值()11f -=，所以这时存在0x ，使得对于任意x 都有0()()f x f x ≤.故答案为：1a ≥.10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____. 【答案】3⎫∞⎪⎪⎝⎭【分析】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m 的范围，再利用根与系数的关系可得2||1z m =-.【详解】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，z 是关于x 的方程x 2+mx +m 2−1=0的一个虚根，可得()22410m m ∆=--<，即243m >， 则由根与系数的关系，2221z z a b m ⋅=+=-，则23||1z m =-， 所以z 的取值范围是：3⎫∞⎪⎪⎝⎭.故答案为33⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭,+. 【点睛】本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.11．函数()212log 23y x x =+-的单调递减区间是_____ ．【答案】(1,)+∞【分析】先计算定义域，再根据复合函数的单调性求减区间.【详解】()2212log 232301y x x x x x =+-⇒+->⇒>或3x <-12log y x=为减函数，要求()212log 23y x x =+-的单调递减区间 即2()23f x x x =+-的增区间：1x ≥-综上所诉：1x >故答案为(1,)+∞【点睛】本题考查了复合函数的单调性，同增异减.忽略定义域是常犯的错误.12．已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0>ω）有且仅有三个零点，则ω的取值范围是______．【答案】[2,4)【分析】根据函数在[],ππ-上为偶函数的性质可知x =0为函数的一个零点，求得a =-1，再根据三角函数的图像和性质求得ω的取值范围.【详解】因为函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0>ω）有且仅有三个零点，故必有一个零点为x =0，所以101a a +=⇒=-.所以问题等价于函数cos y x ω=与直线y =1的图像在[,]-ππ上有3个交点，如图所示：所以02424ωωπππωω>⎧⎪⇒≤<⎨≤<⎪⎩. 故答案为：[2,4).二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知a ，b ∈R ，若11:||,||;:||122a b a b αβ<<+<；则α是β的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】根据绝对值不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：①若1||2a <，1||2b <时， 11||||||122a b a b ++<+=，∴充分性成立， ②当2a =-， 2.5b =时，满足||1a b +<，但1||2a <，1||2b <不成立，∴必要性不成立， α是β的充分不必要条件，故选：C ．14．下列幂函数在区间(0,)+∞上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是（ ）A ．32y x =B ．23y x =C ．13y x =D ．13y x -= 【答案】C【分析】利用函数的奇偶性、单调性逐个判断即可得出答案．【详解】解：A ．32y x =的定义域[0，)+∞，为非奇非偶函数，不符合题意；B ．23y x =，定义域为R ，且为偶函数，不符合题意；C ．13y x =，定义域为R ，且为奇函数，且在R 递增，符合题意；D ．13y x -=，在区间(0,)+∞上是严格减函数，不符合题意．故选：C.15．我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为23π，AB 长为403π，CD 长为10π，则扇面ABCD 的面积为（ ）A．1753πB．3503πC．21759πD．23509π【答案】A【分析】依题意分别求得AO，CO，进而由扇形OAB的面积减去扇形OCD的面积可得结果.【详解】根据题意40233AOππ=⋅，则20AO，2103OCπ=⋅，则15OC=，所以扇面ABCD的面积14011752015102323 OAB OCDS S Sπππ=-=⨯⨯-⨯⨯=扇形扇形.故选：A.16．函数1|1|1yx=--与|sin2|,[4,8]y x x=∈-交点的个数是（）A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B【分析】分别作出111yx=--和sin2y x=图象，由数形结合可得结果.【详解】用图形计算器分别作出111yx=--和sin2y x=在[]4,8-上的图象，由图可知两函数图象有10个交点.故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．已知向量a、b的夹角为2,||1,||23a bπ==.（1）求a ·b 的值（2）若2a b -和ta b +垂直，求实数t 的值.【答案】（1）1-；（2）2.【解析】（1）利用数量积的定义直接计算即可．（2）利用()()20t b a b a +=-可求实数t 的值．【详解】（1）21cos 12132a b a b π⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． （2）因为2a b -和ta b +垂直，故()()20t b a b a +=-，整理得到：()22220ta t a b b +--=即()12212402t t ⎛⎫+-⨯⨯⨯--= ⎪⎝⎭， 解得2t =．【点睛】本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个非零向量,a b 垂直的等价条件是0a b ⋅=，本题属于基础题．18．求函数22sin cos 222x x x y =+的值域与单调增区间. 【答案】值域[-2，2]，增区间52,266k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 【分析】先利用二倍角公式及辅助角公式将函数的解析式化简，然后由正弦函数的有界性以及单调性求解即可.【详解】函数22sin cos 222x x x y =+cos )sin sin 2sin()3x x x x x π++=+=+ 因为sin()[1,1]3x π+∈-，所以[2,2]y ∈-， 令22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈， 解得52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 故函数的增区间为5[2,2]66k k ππππ-++，k Z ∈. 19．如图所示，甲船在距离A 港口24海里，并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．（1）求ABC ∠的大小；（2）当乙船行驶20海里到达D 处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？【答案】（1）123arcsin 31ABC =∠；（2）21海里． 【分析】（1）由正弦定理可得结果；（2）由余弦定理可得结果.【详解】（1）根据题意知，24AC =，31BC =，204060CAD ∠=︒+︒=︒，在中，由正弦定理得，2431sin sin 60ABC =∠︒，解得123sin ABC ∠= 由AC BC <，知ABC ∠为锐角，所以123ABC =∠ （2）由（1）得2231sin cos 31ABC ABC ∠∠=-=， 在BCD △中，由余弦定理得，22233120231202131CD =+-⨯⨯⨯=（海里）， 所以，此时甲、乙两船之闻的距离为21海里． 20．已知复数12cos sin z i θθ=+，21sin z i θ=-，其中i 为虚数单位，R θ∈.（1）当1z 、2z 是实系数一元二次方程20x mx n ++=的两个虚根时，求m 、n 的值.（2）求12z z ⋅的值域.【答案】（1）2m =-，74n =；（2）732,⎡⎢⎦. 【分析】（1）由于1z 、2z 是方程20x mx n ++=的两个虚根，得出12z z =，求出cos θ的值，再根据根与系数的关系可求出m 、n ；（2）直接求出12z z ⋅的表达式，利用三角函数以及二次函数的性质，求出值域即可.【详解】（1）已知复数12cos sin z i θθ=+，21sin z i θ=-，1z 、2z 是方程20x mx n ++=的两个虚根，所以12z z =，即2cos sin 1sin i i θθθ+=+，所以2cos 1sin sin θθθ=⎧⎨=⎩，所以，1cos 2θ=， 由韦达定理可得()122cos 12m z z θ=-+=--=-，212171sin 1144n z z θ⎛⎫==+=+-= ⎪⎝⎭； （2）()()()()2122cos sin 1sin 2cos sin sin 2sin cos z z i i θθθθθθθθ⋅=+⋅+=-++=====⎦【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法：①利用sin x 和cos x 的最值直接求；②把形如sin cos y a x b x =+的三角函数化为()sin y A ωx φ=+的形式求最值；③利用sin cos x x ±和sin cos x x 的关系转换成二次函数求最值；④形如2sin sin y a x b x c =++或2cos cos y a x b x c =++转换成二次函数求最值.21．随着生活水平的逐步提高，越来越多的人开始改善居住条件，搬家成了生活中经常谈及的话题，在搬运大型家具的过程中，经常需要考虑家具能否通过狭长的转角过道，如果我们能够根据过道的宽度和家具的尺寸，用数学的方法预先判断家具能否转弯，必将为搬运家具提供实用的依据，从而避免因家具尺寸过大而不能转弯的麻烦，有经验的搬运工的做法是∶将家具推进过道的转角，让家具的一侧抵住过道的拐角，然后转动并推进家具，若家具过长或过宽，家具都会卡在过道内，家具将不能转过转角.（1）请你提出一个数学问题，并将你的问题填入答题纸对应题号的方框内；（2）为了解决问题，我们需要作出一些合理的假设∶假设1∶家具呈长方体的形状∶假设2∶转角两侧的过道宽度相同∶假设3∶墙壁是光滑的平面，且地面是水平面；假设4∶家具转动时其侧面始终保持与水平面垂直∶假设5∶过道的转角为直角∶假设6∶忽略家具转动时家具与墙壁､地面的摩擦影响；等等.根据上述假设和你提出的数学问题，画出搬运家具时一个转角过道的示意图，设定相关参数或变量，构建相应的数学模型，并将示意图和建立的数学模型填写在答题纸对应题号的方框内.【答案】问题见解析，答案见解析（答案不唯一）【分析】（1）作出图形，提出问题：家具长为l ，宽为h ，过道宽为d ，图中DON θ∠=，求出l 的最小值，求矩形的长l 与角度θ的函数关系式()l f θ=，对2d =，1h =时，求这个函数()l f θ=的最小值，（2）利用三角函数知识根据图中的等量关系可求矩形的长l 与角度θ的函数关系式()l f θ=，利用导数求最值解即可.【详解】（1）提出的问题为：如下图，在不同的角度θ()DON ∠下，求l 的最小值，这就是能通过的家具长的最大值，请你求矩形的长l 与角度θ的函数关系式()l f θ=，并对2d =，1h =时，求这个函数()l f θ=的最小值.（2）画出搬运家具时一个转角过道的示意图，如图所示：由图可知：cos cos sin tan d h l h d θθθθ-+=+02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 所以sin cos cos sin d h d h l θθθθ--=+02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 所以矩形的长l 与角度θ的函数关系式为sin cos cos sin d h d h l θθθθ--=+02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 当2d =，1h =时，2sin 2cos cos sin l θθθθ--=+02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ ()()()222cos cos sin 2sin sin cos 2cos cos sin l θθθθθθθθθ-⋅-----'=+ ()()2222222sin 1sin 12cos cos 2sin 112cos cos sin cos sin θθθθθθθθθθ-+---=+= ()()3322222sin cos sin cos cos sin θθθθθθ---=()()()()22222sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθ-++--+=()()2222sin cos 2sin 2sin cos 2cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθ-++--=()()22sin cos 22sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθ-+--=， 因为02πθ<<，所以0sin 1θ<<，0cos 1θ<<，所以2sin cos 0θθ-->，sin cos 0>θθ，可得2222sin cos sin cos 0cos sin θθθθθθ+-->， 由0l '>即sin θcos θ0，解得：42ππθ<<，由0l '<即sin cos 0θθ-<，解得：04πθ<<， 所以2sin 2cos cos sin l θθθθ--=+在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以当4πθ=时，min 2sin2cos 44222cos sin 44l ππππ--⎛⎛=+== ⎝⎭⎝⎭， 所以2d =，1h =时，函数()l f θ=的最小值为2.。
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2014 上海交大附中年高一数学下学期期末考试试卷答案
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高一数学下学期期末考试试卷答案
一、填空题(本大题共12 题，每题3 分，满分36 分)
1.数列的一个通项公式为.
【答案】
试题分析：因为数列可看做因此该数列一个通项公式为.
2.若三个数成等比数列，则m=________.
3.数列为等差数列，为等比数列，，则.
试题分析：设公差为，由已知，，解得，所以，.
4.设是等差数列的前项和，已知，则等于.49
【解析】在等差数列中，.
1。
2014上海交大附中高一数学下学期期末试卷含答案沪教版
2014 上海交大附中高一数学放学期期末试卷（含答案沪教版）一、填空题（本大题共12题，每题 3 分，满分 36分） 1.数列的一个通项公式为．【答案】试题分析：由于数列可看做所以该数列一个通项公式为 . 2. 若三个数成等比数列，则m=________． 3.数列为等差数列，为等比数列，，则．试题分析：设公差为，由已知，，解得，所以，．4.是等差数列的前和，已知，等于．49【解析】在等差数列中，.5.数列的前n和，若，，___________【解析】因an＋1＝3Sn，所以an＝3Sn－1(n≥2)，两式相减得：an＋1－an＝3an，即＝4(n≥2)，所以数列a2，a3 ，a4，⋯构成以a2＝3S1＝3a1＝3首，公比4的等比数列，所以a6＝a2?44＝3×44 6. __________（用反三角函数符号表示）.【答案】7.方程=的数解的个数是______________4029 8.函数的域是．分析：且,所以,根据正切函数的像可知域为或 .9.函数f(x)＝-2sin(3x＋)表示振动时，请写出在内的初相________．f(x)＝-2sin(3x＋ )=2sin(3x＋)，所以在内的初相为。
10.观察以下等式，若近似上边各式方法将分拆获得的等式右侧最后一个数是，则正整数等于____．试题分析：依题意可得分拆得到的等式右侧最后一个数 5,11,19,29， .所以第n 项的通项为.所以 .所以 .11.已知数列满足：（ m 为正整数），若，则 m 所有可能的取值为 __________ 。
【答案】453212.设数列{an} 为等差数列，数列{bn} 为等比数列．若，，且，则数列{bn}的公比为．方法二：由题意可知，则．若，易知，舍去；若，则且，则，所以，则，又，且，所以．二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分） 13.将函数的图象上全部点的横坐标伸长到本来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，获得的图象对应的僻析式是()A．B．C．D．试题分析：将的图象上全部点的横坐标伸长到本来的2倍（纵坐标不变），可得函数，再将所得的图象向左平移个单位，得函数，即故选 C．考点：函数 y=Asin（ω x+φ）的图象变换．14.函数f(x)＝()A．在、上递加，在、上递减B．在、上递加，在、上递减C．在、上递加，在、上递减D．在、上递加，在、上递减试题分析：，在、上递加，在、上，递减，故选 A15.数列满足表示前 n项之积，则的值为 ()A.-3B.C.3D.【分析】由得，所以，，，所以是以 3为周期的周期数列，且，又，所以，选A.16.已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为 ()A.B.C.D.不存在所以，当且仅当即取等号，此时，所以时取最小值，所以最小值为，选A.三、解答题(本大题共4题，满分48 分 8’+12’+12’+16’=48’) 17.已知，求的最大值【解】由已知条件有且（结合）得，而 = = 令则原式=依据二次函数配方得：当即时，原式获得最大值。