立体几何好题及答案

A 1CBAB 1C 1D 1DO 高三数学·单元测试卷(九)第九单元 [简单几何体]，交角与距离(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有A ．18对B ．24对C ．30对D ．36对2．．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为A ．π28B ．π8C ．π24D ．π43．设三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA ＝QC 1，则四棱锥B －APQC 的体积为A ．V6B ．V4C ．V3D ．V24．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为A ．32B ．33 C ．34D ．325．设α、β、γ为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是A ．l m l ⊥=⋂⊥,,βαβαB ．γβγαγα⊥⊥=⋂,,mC ．αγβγα⊥⊥⊥m ,,D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,,6．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为A ．12B ．24C ．22D ．327．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 、C 1D 1的中点，则直线A 1B 1与平面A 1ECF所成角的正弦为A．63B．33C ．66D．229．在空间直角坐标系O—x yz中，有一个平面多边形，它在x Oy平面的正射影的面积为8，在yOz平面和zO x平面的正射影的面积都为6，则这个多边形的面积为A．246B．46C．234D．3410．将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为A．3623+B．2＋362C．4＋362D．36 234+题号12345678910答案二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上．11．正三棱锥P－ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为23，则正三棱锥的底面边长是_____________ ．12．如图，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°且PA＝AB＝BC＝a，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________．13．已知球面上A、B两点间的球面距离是1，过这两点的球面半径的夹角为60°，则这个球的表面积与球的体积之比是．14．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．其中，真命题的编号是______________（写出所有真命题的编号）．15．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，则①四边形BFD1E一定是平行四边形②四边形BFD1E有可能是正方形③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D以上结论正确的为（写出所有正确结论的编号）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分l2分)在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD．（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．D CV17．（本题满分12分）如图1，已知ABCD 是上、下底边长分别是2和6，高为3的等腰梯形．将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图2．（Ⅰ）证明AC ⊥BO 1；（Ⅱ）求二面角O －AC －O 1的大小．18．（本题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝2． （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；（3）在BC 边上是否存在一点G ，使得D 点到平面PAG 的距离为1，若存在，求出BG 的值；若不存在，请说明理由．ABOCO 1DPE19．（本题满分14分）如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A 与AB 、AC 均成45°角，且A 1E ⊥B 1B 于E ，A 1F ⊥CC 1于F ． ⑴求证：平面A 1EF ⊥平面B 1BCC 1； ⑵求直线AA 1到平面B 1BCC 1的距离； ⑶当AA 1多长时，点A 1到平面ABC 与平面B 1BCC 1的距离相等．20．(本题满分14分)如图直角梯形OABC 中，∠COA ＝∠OAB ＝2π，OC ＝2，OA ＝AB ＝1，SO ⊥平面OABC ，SO=1，以OC 、OA 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系O-xyz . ⑴求SC OB α与的夹角的大小（用反三角函数表示）； ⑵设:,),,,1(求平面满足SBC n q p n ⊥= ①;n 的坐标②OA 与平面SBC 的夹角β（用反三角函数表示）；③O 到平面SBC 的距离.ABCA 1 C 1 F E B1⑶设:.),,1(填写且满足OB k SC k s r k ⊥⊥=①的坐标为k .②异面直线SC 、OB 的距离为 .（注：⑶只要求写出答案）21．(本题满分14分)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝a ，∠BCA ＝90°，AA 1＝2a ，M 、N 分别是A 1B 1、AA 1的中点． （I ）求BN 的长；（II ）求cos 〈11,CB 〉； （III ）求证：A 1B ⊥C 1M ．[简单几何体]，交角与距离参考答案二、填空题11．3； 12．3； 13．π； 14．①③④ 15．①③④ 三、解答题 16．证明：（Ⅰ）作AD 的中点O ，则VO ⊥底面ABCD ．…………………………1分 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，…………………………2分 则A （12，0，0），B （12，1，0），C （－12，1，0），D （－12，0，0），V （0，0，2），∴1(0,1,0),(1,0,0),(,0,)22AB AD AV ===-………………………………3分 由(0,1,0)(1,0,0)0AB AD AB AD ⋅=⋅=⇒⊥……………………………………4分13(0,1,0)(,0,)022AB AV AB AV ⋅=⋅-=⇒⊥……………………………………5分又AB ∩AV ＝A∴AB ⊥平面VAD …………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(0,1,0)AB =是面VAD 的法向量………………………………7分 设(1,,)n y z =是面VDB 的法向量，则110(1,,)(,1,)0(1,1,220(1,,)(1,1,0)03x n VB y z n z n BD y z =-⎧⎧⎧⋅=⋅--=⎪⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨=-⋅=⎪⎪⎪⎩⋅--=⎩⎩……9分∴(0,1,0)(1,cos,AB n⋅-<>==11分又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为arccos7…………12分17．解法一（I）证明由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，3）O1（0，0，3）.从而.0333),3,3,0(),3,1,3(11=⋅+-=⋅-=-=BOACBOAC所以AC⊥BO1.（II）解：因为,03331=⋅+-=⋅BO所以BO1⊥OC，由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，1BO是平面OAC的一个法向量.设),,(zyxn=是0平面O1AC的一个法向量，由,3.0,0331=⎩⎨⎧==++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅zyzyxCOn取得)3,0,1(=n.设二面角O—AC—O1的大小为θ，由n、1BO的方向可知=<θ，1BO>，所以cos<=cosθn，1BO.43||||11=⋅BOn即二面角O—AC—O1的大小是.43arccos解法二（I）证明由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影.因为3tan11==∠OOOBBOO33tan111==∠OOCOOCO，所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1由三垂线定理得AC⊥BO1.图3ABOCO1D图4FE（II ）解 由（I ）AC ⊥BO 1，OC ⊥BO 1，知BO 1⊥平面AOC. 设OC ∩O 1B=E ，过点E 作EF ⊥AC 于F ，连结O 1F （如图4），则EF 是O 1F 在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O 1F ⊥AC. 所以∠O 1FE 是二面角O —AC —O 1的平面角. 由题设知OA=3，OO 1=3，O 1C=1，所以13,3221212121=+==+=C O A O AC OO OA A O ，从而1332111=⋅=AC C O A O F O ， 又O 1E=OO 1·sin30°=23，所以.413sin 111==∠F O E O FE O 即二面角O —AC —O 1的大小是.43arcsin 18．解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(12，0，)，D(0，2，0)，E(0，1，12)，P(0，0，1)．∴CD ＝(－1，0，0)，AD ＝(0，2，0)，AP ＝(0，0，1)，AE ＝(0，1，12) ，PC ＝(1，2，－1)，(1)00CD AD CD AD CD PAD CD AP CD AP CD PDC AP AD A ⎫=⇒⊥⎪⊥⎫⎪=⇒⊥⇒⇒⎬⎬⊂⎭⎪=⎪⎭平面平面平面PDC ⊥平面PAD ． (5)分(2)∵cos ,||||AE PCAE PC AE PC 〈〉=＝2－121+14·6＝3010， ∴所求角的余弦值为3010．………………………………………………………………9分 (3)假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，令BG ＝x ，则G(1，x ，0)，作DQ ⊥AG ，则DQ ⊥平面PAG ，即DQ ＝1．∵2S △ADG ＝S 矩形ABCD ，∴||||||||AG DQ AB AD =＝2∴||AG ＝2，又AG ＝x 2+1，∴x ＝3<2，故存在点G ，当BG ＝3时，使点D 到平面PAG 的距离为1．…………………………14分 19．解：⑴CC 1∥BB 1，又BB 1⊥A 1E ，∴CC 1⊥A 1E ，而CC 1⊥A 1F ，∴CC 1⊥平面A 1EF ，∴平面A 1EF ⊥平面B 1BCC 1………………………………………………………………4分⑵作A 1H ⊥EF 于H ，则A 1H ⊥面B 1BCC 1，∴A 1H 为A 1到面B 1BCC 1的距离，在△A 1EF 中，A 1E ＝A 1F ＝2，EF ＝2，∴△A 1EF 为等腰Rt △且EF 为斜边，∴A 1H 为斜边上中线，可得A 1H ＝12EF ＝1…………………………………………………………………………9分⑶作A 1G ⊥面ABC 于G ，连AG ，则A 1G 就是A 1到面ABC 的距离，且AG 是∠BAC 的角平分线，A 1G ＝1…………………………………………………………………………12分 ∵cos ∠A 1AG ＝cos45°cos30°＝63，∴sin ∠A 1AG ＝33，∴A 1A ＝133＝1………………14分20．解：（Ⅰ）如图所示： C （2，0，0），S （0，0，1），O （0，0，0），B （1，1，0）510arccos ,510252,cos )0,1,1(),1,0,2(==⋅>=<∴=-=∴αOB SC………………………………………………………4分（Ⅱ）①SBC n CB SB ⊥-=-= )0,1,1(),1,1,1(,,1010,:1,2,(1,1,2)n SB n CB n SB p q n CB p p q n ∴⊥⊥∴⋅=+-=⋅=-+===∴=解得……………………………………………………………………………7分②SOE BC E BC OE O 面则于作过⊥⊥,，SABSOE ⊥∴,,,,2,SE O OH SE H OH SBC OA CB F OF FH OFH OE SE ⊥⊥=∠=∴=又两面交于过作于则延长与交于则连则为所求又3,sin 326arcsin106SO OE OH SE ββ⋅∴===∴==∴=分③的坐标为k ()1,1,2-；36=OH ……………………………………14分． 21．以C 为原点建立空间直角坐标系（I ）B(0，a ，0)，N(a ，0，a )，∴a a a a BN 3)0()0()0(||222=-+-+-=．4分（II ）A 1(a ，0，2a )，C(0，0，0)，B 1(0，a ，2a )， ∴1BA ＝(a ，－a ，2a )，1CB ＝(0，a ，2a )，∴1BA ·1CB ＝a ×0＋(－a )×a ＋2a ×2a ＝3a 2，5分 |1BA |＝a a a a 6)2()(222=+-+，|1C B |＝a a a 5)2(0222=++，7分∴cos 〈11,CB BA 1030563||||1111=⋅=⋅CB BA ．9分 （III ）C 1(0，0，2a )，M(2a ，2a ，2a )，∴M C 1＝(2a ，2a，0)，B A 1＝(－a ，a ，2a )， ∴B A 1·M C 1＝(－a )×2a ＋a ×2a＋2a ×0＝0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M ．14分。