3第3章信息论课件
(信息论)第3章离散信源
k = 1, 2, L, N
② 连续无记忆信源 若在 N 维随机矢量 X 中，每个随机变量 X k 是连续随 机变量，且相互独立，则 N 维随机矢量 X 的联合概率密 度函数为
p (X ) = ∏ p k
k =1 N
6
有记忆信源
{
无限记忆信源
有限记忆信源
有限记忆信源可用有限状态马尔可夫链来描述。当信 源记忆长度为 m+1 时，也就是信源每次发出的符号仅与前 m 个符号有关，与更前面的符号无关。这样的信源称为 m 阶马尔可夫信源。此时可用条件概率分布描述信源的统计 特性。
H (X ) = E[I (xi )] = −∑ p(xi ) log p(xi )
i =1
q
(3.7)
信源熵 是从平均意义上表征信源总体统计特征的一个 量，是信源的统计平均不确定性的描述。
10
例：设信源符号集
1 率分别为 p ( x1 ) = , 2
X = {x1 , x2 , x3 , x4 }
k
或 a 2 的概率。
14
2、离散无记忆二进制信源 X 的三次扩展信源 、
N X 3 = ( X 1 , X 2 , X 3 ) 共输出 q 个消息 三次扩展信源
符号，q=2, N=3。所以二进制三次扩展信源的符号序列 共有8个， ai , i = 1, 2, L, 8。它可等效为一个具有8个消息 符号的新信源 X 。同时每个消息符号具有如下的概率分 布
(3.1)
其中
p ( xi ) ≥ 0
i = 1,2,L, q
∑ p(x ) = 1
i =1 i
q
即信源的概率空间是完备。
1
① 离散信源的数学模型 其数学模型为离散型的概率空间：
信息论讲义-第三章(8讲)
2006-11-61信息理论基础第8讲北京航空航天大学201教研室陈杰2006-11-62当前状态u l =(a l1, a l2, a l3, …, a lm )当前输出X l =a l1.信源状态S={S 1, S 2 ,…S J }, J =q m⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩()12|m q i j S S S p S S ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦()112|m mi i i i p a a a a + 状态转移概率p (S i |S j )由条件符号概率确定u lu l+1X l =a l新状态u l+1=(a l2, a l3, …, a lm ,a l )2.状态空间2006-11-633.极限熵当时间足够长时，遍历的m 阶马尔可夫信源可视为平稳信源()121lim |N N N H H X X X X ∞−→∞= ()112|m m H X X X X += 1m H +=()()|jj j s p S H X S =∑H (X|S j )是信源处于状态S j 时的条件熵()()()||log |jj i j i j S H X S p a S p a S =∑()()|log |ji j i j S p S S p S S =∑2006-11-64例3.7一阶马尔可夫信源的状态如例题图所示，信源X 的符号集为{0，1，2}。
（1）求平稳后的信源的概率分布；（2）求信源熵H ∞（3）求当p =0或p =1时信源的熵12pppppp2006-11-65解（1）状态转移矩阵令信源的平稳分布为则0 00 p p p p p p ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P []012 W W W =W 0011120121W pW pW W pW pW W W W =+⎧⎪=+⎨⎪++=⎩2006-11-66整理得，平稳后信源的概率分布（2）求信源熵H ∞。
根据平稳分布01213W W W ===()()jj k j s H p S H a S ∞=∑1113[lo g lo g ]3p p p p =×+11log logp p p p=+2006-11-67（3）p =0时p =1时∞→→=+=−=0311lim [loglog]lim ()log 0p p H p p ppp e∞→→=+=−=0311lim [loglog]lim ()log 0P P H p p ppp e3.5.3 马尔可夫信源解释：•信源熵表示的是信源的平均不确定性。
信息论-第三章PPT课件
一般简单的单符号离散信道的数学模型可以用概率空
间[X,p(y|x),Y]来描述。
a1
b1
X
P (b j | ai )
Y
ar
2021/6/7
bs
6
第一节 信道的数学模型及分类
表示成矩阵形式：
…
y1
y2
… x1 p(y1/x1) p(y2/x1)
[P]=
…
x2 p(y1/x2) p(y2/x2)
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27
第四节 信道容量及其一般计算方法
(3)无噪有损信道
x1
x2
y1
x3
x4
y2
x5
此时信道疑义度为0，而信道噪声熵不为0，从而
C=max{I(X;Y)}=max{H(Y)-H(Y/X)}=max{H(Y)}=logs
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28
第四节 信道容量及其一般计算方法
2、对称离散信道的信道容量
y1
y2
…
x1
p(y1/x1)
p(y2/x1)
…
[P]= x2
p(y1/x2)
p(y2/x2)
…
…
…
…
…
xn
p(y1/xn)
p(y2/xn)
…
ym p(ym/x1) p(ym/x2)
… p(ym/xn)
2021/6/7
10
第一节 信道的数学模型及分类
为了表述简便，可以写成 P(bj /ai)pij
因为H(X),表示传输前信源的不确定性，而H(X/Y)表示
收到一个符号后，对信源尚存的不确定性，所以二者之
差信道传递的信息量。
第3章-信息组织的原理与方法
❖ (3)圣西门和黑格尔的分类思想
•信息组织>>>第 3 章信息组织的原理与方法
21
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3.1 信息组织的原理
❖3.1.4 知识分类原理 ❖ (4)恩格斯的分类思想 ❖恩格斯把科学分为：数学、力学和天文学、
❖3.1.1 系统原理
❖ 在信息组织系统中，如果将大量的、分散的、杂 乱的信息组织成一个系统，建立起内在的关联， 那么信息系统的整体功能将大于各个信息单元的 功能之总和。也就是说，这将能充分发挥信息资 源的价值和作用。不仅如此，在信息组织活动中， 类目体系的展开、主题词族的编制、信息的分析 等都体现着系统的思想。基于这一原理，信息组 织的目标是要建立一个有效的方便检索的信息系 统。
物理学、化学、地学、生物学、社会科学 和关于人类思维规律的科学。
•信息组织>>>第 3 章信息组织的原理与方法
22
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3.1 信息组织的原理
❖3.1.4 知识分类原理 ❖ (5)毛泽东的分类思想
❖毛泽东同志在《整顿党的作风》一文中说 过：“什么是知识？自从有阶级的社会存 在以来，世界上的知识只有两门，一门叫 做生产斗争知识，一门叫做阶级斗争知识。 自然科学、社会科学就是这两门知识的结 晶，哲学则是自然知识和社会知识的概括 和总结。”
3.1 信息组织的原理
❖3.1.3 逻辑学原理
❖ 信息组织是一种智力活动，离不开人的逻辑思维， 信息组织本身是思维的一种表现形式，概念是思 维的元素，逻辑则是思维的规则。所以信息组织 自然包含相应的逻辑学问题。实践证明，逻辑思 维越强的信息组织者其信息组织工作也越好。事 实上，信息组织是对信息对象的各个元素(按内部 特征和外部特征划分)，经过从事物到概念再到语 言的层层递进的分析之后，运用科学思维使之序 化的一个复杂的过程。
信息论PPt(叶中行)
• 信道编码：是以提高信息传输的可靠性为目的的编 码。通常通过增加信源的冗余度来实现。采用的一 般方法是增大码率/带宽。与信源编码正好相反。
• 信源编码理论是信息论的一个重要分支，其理论基础 是信源编码的两个定理。 –无失真信源编码定理：是离散信源/数字信号编码 的基础； –限失真信源编码定理：是连续信源/模拟信号编码 的基础。 • 信源编码的分类：离散信源编码、连续信源编码和相 关信源编码三类 –离散信源编码：独立信源编码，可做到无失真编码； –连续信源编码：独立信源编码，只能做到限失真信 源编码； –相关信源编码：非独立信源编码。
*
3.5 通用信源编码
本节将主要介绍 • LZ算法， • 改进的LZ-Welcn 算法 • Kieffer-Yang算法， • LZ算法基于符号串匹配的算法，而LZWelcn 算法是基于字典的算法，它们都是 利用信源输出符号自身的信息来进行压缩 编码。Kieffer-Yang算法（简称YK算法）则 兼顾了字符串匹配和算术码结构的优点。
0 11 00 11
0 10 00 01
1 10 100 1000
1 01 001 0001
6 、同价码: 每个码字占相同的传输时间
7.码的N 次扩展: 若码C :{W1 , W2 ,..., Wq }，B :{Bi (Wi1Wi 2 ...WiN )}，则 码B称为码C的N 次扩展码
8、唯一可译码： 若码的任意一串有限长的码符号序列只能被唯一的译成 所对应的信源符号序列，则称此码为唯一可译码。 9、即时码（瞬时编码）：没有一个码字是其他码字的前缀 的唯一可译码称为~。 10、码分类
信源
信源编码器
等效信源 等效信宿
信道编码器
等效干扰 信道
信 道
第三章 信息论基础知识(Part2)
信息论基础知识主要内容：信源的数学模型 信源编码定理 信源编码算法 信道容量 通信的容限第 1 页 2011-2-21引言一、信息论的研究范畴 信息论是研究信息的基本性质及度量方法，研究信息的获取、传输、存储和处理的一般规律的科学。
狭义信息论：通信的数学理论，主要研究信息的度量方 法，各种信源、信道的描述和信源、信道的编码定理。
实用信息论：信息传输和处理问题，也就是狭义信息 论方法在调制解调、编码译码以及检测理论等领域的应用。
广义信息论，包括信息论在自然和社会中的新的应用， 如模式识别、机器翻译、自学习自组织系统、心理学、生物 学、经济学、社会学等一切与信息问题有关的领域。
第 2 页 2011-2-21二、信息论回答的问题通信信道中，信息能够可靠传 输的最高速率是多少？噪声信道编码定理 噪声信道编码定理信息进行压缩后，依然可以从已压 缩信息中以无差错或低差错恢复的 最低速率是多少？香农信源编码理论 香农信源编码理论最佳系统的复杂度是多少？第 3 页2011-2-21三、香农的贡献香农(Claude Elwood Shannon,1916～2001年)， 美国数学家，信息论的创始人。
创造性的采用概率论的方法来研究通信中的问题，并且对 信息给予了科学的定量描述，第一次提出了信息熵的概念。
1948年，《通信的数学理论》(A mathematical theory of communication ) 以及1949年，《噪声下的通信》标志了信息论的创立。
1949年，《保密通信的信息理论》，用信息论的观点对信息保密问题做了 全面的论述，奠定了密码学的基础。
1959年，《保真度准则下的离散信源编码定理》，它是数据压缩的数学基 础，为信源编码的研究奠定了基础。
1961年发表“双路通信信道”，开拓了多用户信息理论（网络信息论）的研 究；第 4 页 2011-2-21四、信息论发展历史1924年 奈奎斯特(Nyquist,H.)总结了信号带宽和信息速率之 间的关系。
信息论-第3章+信道的数学数学模型及分类
信道传递概率不同，平均互信息量不同 一定存在一种信道，使平均互信息量最小(0)
第3章 离散信道 及其信息容量
3.1 信道的数学模型及分类 3.2 平均互信息及平均条件互信息 3.3 平均互信息的特性
3.4 信道容量及其一般计算方法 3.5 离散无记忆扩展信道及其信道容量 3.6 独立并联信道及其信道容量 3.7 串联信道的互信息和数据处理定理 3.8 信源与信道的匹配
单用户（两端）信道
一个输入端、一个输出端 必须是单向通信 例：对讲机
多用户（多端）信道
输入输出至少有一端有两个以上用户 可以是双向通信 例：计算机网络
3.1.1 信道的分类 —— 按输入输出的关联分
无反馈信道
输出端无信号反馈到输入端 例：无线电广播
反馈信道
3.4.1 离散无噪信道的信道容量 —— 无损（有噪）信道
H(X)
H(X Y)：损失熵
信道
I ( X ;Y )
H (Y )
H(Y X ) ：噪声熵
H (X Y ) 0 ,H (YX ) 0
I(X ;Y ) H (X ) H ( Y )
C m { I ( X a ;Y )x } m { H ( X a ) x } lo r g
传递矩阵：
b1
b2
bs
a1 P(b1 a1) P(b2 a1) P(bs a1)
a2 P(b1 a2) P(b2 a2) P(bs a2)
ar P(b1 ar ) P(b2 ar ) P(bs ar )
3.2.1 信道疑义度 —— 先验熵
信源
X
信道
信息论基础第3章离散信道及其信道容量
《信息论基础》
3.6 多符号离散信道及其信道容量
【例】求图所示的二元无记忆离散对称信道的二次 扩展信道的信道容量。
【例】 已知两个独立的随机变量 X、Y 的分布律如下。
X P(x)
a1 0.5
a2 0.5
,
Y P( y)
b1 0.25
b2 b3 0.25 0.5
计算 H X , H Y , H XY , H X |Y , H Y | X , I X ;Y 。
《信息论基础》
3.4 信道容量的定义
I (ai ) 减去已知事件 bj 后对 ai 仍然存在的不确定性 I (ai | bj ) ，实际就是事件
bj 出现给出关于事件 ai 的信息量。
【例】 甲在一个16 16 的方格棋盘上随意放一枚棋
子，在乙看来棋子放入哪一个位置是不确定的。如果甲 告知乙棋子放入棋盘的行号，这时乙获得了多少信息 量？
《信息论基础》
第3章 离散信道及其信道容量
通信系统的基本功能是实现信息的传递，信道是信息 传递的通道，是信号传输的媒质。一般而言，信源发出的 消息，必须以适合于信道传输的信号形式经过信道的传输， 才能被信宿接收。
从信源的角度看，信源发出的每个符号承载的平均信 息量由信源熵来定量描述；而从信宿的角度看，信宿收到 的每个符号平均能提供多少信息量由平均互信息来定量描 述。在信息论中，信道问题主要研究在什么条件下，信道 能够可靠传输的信息量最大，即信道容量问题。
《信息论基础》
3.7 信源与信道的匹配
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干扰信道。
以下我们只研究无反馈、固定参数的单用户离散信道。
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信道分类
信息论与编码
第
三 章
❖ 按输入／输出信号之间的关系是否是确定关系:
❖ 无干扰信道：
信 道 与
▪ 输入/输出符号之间有确定的一一对应关系 ❖ 有干扰信道：
信 ▪ 输入/输出之间关系是一种统计依存的关系
道 ❖ 输入/输出的统计关系：
容 量
与 ➢根据输入端和输出端的关联：
信 无反馈信道：输出端信号对输入端信号无影响、无作用。
道 容
有反馈信道：输出端信号会影响输入端信号变化。
量 ➢根据输入输出随机变量个数的多少：
单符号信道：输入和输出端都只用一个随机变量表示。
多符号信道：输入和输出端用随机变量序列/随机矢量表示。
7
信道分类
第 三 ➢根据信道参数与时间的关系： 章 固定参数信道：信道的统计特性不随时间变化而变化。
第
三 ❖信道的功能：以信号形式传输和存储信息。
章 ❖信道传输信息的速率：与物理信道本身的特性、
信 载荷信息的信号形式和信源输出信号的统计特性
道 与
有关。
信 ❖信道容量研究内容：在什么条件下，通过信道的
道 信息量最大。
容
量
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4
信息论与编码
第
三 章
3.1 信道数学模型和分类
信
道
与 信
a r
bs
14
第 三
条件概率p(bj/ai)表示成矩阵形式：
章
信
…
道
b1
b2
bm
与
信
a1 p(b1/a1) p(b2/a1) … p(bm/a1)
道 容
[P]= a2 p(b1/a2) p(b2/a2) … p(bm/a2)
量
……
…… …
an p(b1/an) p(b2/an) … p(bm/an)
3第3章信息论课件
第三章
信道与信道容量
信息论与编码
内容
信息论与编码
第
三
第三章
章 信 3.1 信道数学模型和分类 A
信道与信道容量
道
与 3.2 平均互信息
B
信
道
3.3 离散单个符号信道及其容量
容
C
量
3.4 离散序列信道及其容量
3.5 信源于信道的匹配 D
2020/11/24
3
结束
重点
信息论与编码
3.1.2 信道数学模型
道
容
量
3.1.1 信道分类
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5
信道
信息论与编码
第
三 ❖信道：信息传输的通道
章 ▪ 在通信中,信道按其物理组成常被分成微波信
信
道、光纤信道、电缆信道等。信号在这些信
道
道中传输的过程遵循不同的物理规律, 通信技
与
术必须研究信号在这些信道中传输时的特性
信 道
▪ 信息论不研究信号在信道中传输的物理过程,
p
rs
p11
P
p21
...
pr1
p12 p22
pr2
... ...
...
p1s
p
2
s
...
p rs
18
3.2平均互信息
信息论与编码
第
三 章
❖设有两个随机事件X和Y ,X取值于信源发出的离
❖ 离散无记忆信道：
▪ 用条件概率矩阵来描述。
❖ 离散有记忆信道：
▪ 可像有记忆信源中那样引入状态的概念。
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10
无干扰(无噪声)信道
信息论与编码
第
三 章
❖ 无干扰(无噪声)信道
信 道
▪ 信道的输出信号Y与输入信号X之间有确定的 关系Y=f (X),已知X后就确知Y
与 ▪ 转移概率:
道 与
0 21
信
P 0 p 1 p 0
道 容
1
0
1 q
q
量
0
p
Байду номын сангаас
0
1-p
1-q
2
1
q
1
17
第 三
由此可见，一般单符号离散信道的传递概率可以用矩阵表示:
章
信
道
与 信
b1 b2
道 容
P
a1 a2
p11 p 21
p12 p 22
量
ar
pr1
pr2
bs
... ...
...
p1s
p
2
s
P(bj /ai)pij
道
容
量
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13
3.1.2 信道参数
第 三
单符号离散信道的数学模型
章
信 道
❖ 设输入X∈{a1 … an} ❖ 输出 Y∈{b1 … bm}
与 ❖ 信道转移概率/信道传递概率：条件概率p(bj /ai)。
信 ❖ 其信道模型如图所示。
道
容
a1
b1
量
a
2
b
2
P (b j | ai )
容
并假定信道的传输特性已知,这样信息论就可
量
以抽象地将信道用下图所示的模型来描述。
输入量X (随机过程)
p(Y|X) 信道
输出量Y (随机过程)
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3.1.1信道分类
第
三 章
➢ 根据信道用户的多少：
单用户信道：只有一个输入端和一个输出端。
信 道
多用户信道：至少有一端有两个以上的用户，双向通信。
信 道
时变参数信道：信道的统计特性随时间变化而变化。
与 ➢根据信道输入和输出的关系：
信 离散信道：输入、输出随机变量都取离散值。
道 容
连续信道：输入、输出随机变量都取连续值。
量
半离散半连续信道：输入变量取离散值而输出变量取连续值， 或反之。
波形信道
8
信道分类
第
三 ➢根据信道上有无记忆关系： 章 无记忆信道：输出仅与当前输入有关，而与过去输入无关
15
第
三
章 [例1] 二元对称信道（BSC）
信
X={0,1}; Y={0,1}; p(0/0)=p(1/1)=1-p; p(0/1)=p(1/0)=p;
道 与
01
信
P 0 1 p p
道 容
1
p
1
p
量
0 1-p 0
p p
1
1-p 1
16
第
三
章 [例2] 二元删除信道(BEC)
信 X={0,1}； Y={0,2,1}。
道 容
❖ 有干扰无记忆信道可分为:
量
▪ 二进制离散信道
▪ 离散无记忆信道
▪ 离散输入、连续输出信道
▪ 波形信道
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信息论与编码
第
三 ❖有干扰有记忆信道
章
一般情况都是如此，例如实际得数字信
信 道 与 信
道中，当信道特性不理想，存在码间干扰时，输 入信号不但与当前得输入信号有关，还和以前的 输入信号有关。
信 的信道。 道 有记忆信道：信道输出不仅与当前输入有关，还与过去输
与 入和（或）过去输出有关。
信 ➢根据信道上有无干扰关系：
道 容 量
有干扰信道：存在干扰或噪声或两者都有的信道。实际 信道一般都是有干扰信道。 无干扰信道：不存在干扰或噪声，或干扰和噪声可忽略
不计的信道。计算机和外存设备之间的信道可看作是无
信
道 容 量
p(Y| X)01,,
Yf(X) Yf(X)
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信息论与编码
第
三 ❖有干扰无记忆信道
章 ▪ 信道的输出信号Y与输入信号X之间没有确定
信
的关系,但转移概率满足:
道
与 信
p ( Y |X ) p ( y 1 | x 1 ) p ( y 2 | x 2 ) p ( y L | x L )