《高等数学E》期末复习资料
《高等数学》(下)期末考试考前复习提纲
《高等数学》下册期末考试考前复习提纲第一部分 空间解析几何与向量代数一、向量代数 1、向量的概念 （1）向量的定义有大小有方向的线段a（自由向量） （2）向量的表示1）),,(z y x a a a a =， 为向量的直角坐标表示2）0a a a=，其中a 为向量的模（大小），222zy x a a a a ++= 0a 为a的单位向量，0(cos ,cos ,cos )(,,)y x z a a a a a a aαβγ==，)cos ,cos ,(cos γβα为a的方向余弦，1cos cos cos 222=++γβα注：若有两点：111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则向量AB 为 212121{(),(),()}A B x x y y z z =--- 2、向量的运算 （1）线性运算),,(z z y y x x b a b a b a b a +++=+),,(z y x a a a a λλλλ=（2）数量积（标积，点积） 1）cos ,,a b a b a b ϕϕ⋅≡≡(0)ϕπ≤≤2）z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅特例：当b a ⊥时，0=⋅b a（两向量垂直的判据）（3）向量积（矢积，叉积）1）0sin c b a c b a ϕ=≡⨯，b a ,与c为右手螺旋关系2）()()()xy z y z z yz x x z x y y x xy zij ka b a a a i a b a b j a b a b k a b a b b b b ⨯==-+-+-特例：当b a//时，0=⨯b a ，或z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ::::=↔==（两向量平行的判据）3、两点的间距公式212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=4、平面π外一点0000(,,)P x y z 到平面π的距离公式：Dd =平面π的点法式方程为： 0Ax By Cz D +++= 二、空间解析几何1、空间曲面与空间曲线 （1）方程曲面方程 0),,(=z y x F （三元方程）曲线方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 或)(),(),(t z z t y y t x x ===（2）常见的曲面与曲线1） 柱面—— 一直线l （母线）沿着一平面曲线C （准线）作平行于一定直线L 的移动所得的曲面 母线z //轴的柱面： 0),(=y x F母线y //轴的柱面： 0),(=x z F 母线x //轴的柱面： 0),(=z y F2） 旋转面—— 一平面曲线（母线）绕着同一平面内的定直线（转轴）旋转一周所得的曲面例(,)00z y f y z x =⎧⎨=⎩绕z 不变，旋转曲面0),(22=+±z y x f 3）空间螺旋线t k z a y a x ωθθθθ====,,c o s ,s i n4）二次曲面（三元二次方程） )(a 椭球面1222222=++cz b y a x椭球面与平行于坐标面平面的交线：→⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221z z c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(z z z c c b yz c c a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221y y c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(y y y b b c z y b b a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221x x c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(x x x a a c z x a a b y 分别为在1z z =，1y y =与1x x =平面内的椭圆。
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《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
高数e总复习
第二章 1. 导数概念
导数与微分
第一节 导数的概念
f ( x0 x ) f ( x0 ) dy y lim . f ( x0 ) lim x 0 x 0 x x dx x x0
x x0
0, 0,
使当 | x x0 | 时， 恒有 | f ( x ) f ( x0 ) | .
(2) 左右连续：
f ( x 0) f ( x0 ), f ( x0 0) f ( x0 ). (3) 闭区间 I 上的连续函数： 指该函数在 I 的每一
第三章 中值定理和导数的应用
第一节 中值定理
名称 罗尔 定理 拉格 朗日 定理 条件 (1) f ( x ) 在 [a , b] 上连续 (2) f ( x ) 在 (a , b ) 内可导 (3) f (a ) f (b) (1) f ( x ) 在 [a , b] 上连续 (2) f ( x ) 在 (a , b ) 内可导 (1) f ( x )、F ( x ) 在 [a , b]上连续 (2) f ( x )、F ( x ) 在 (a , b )内可导 ( 3) F ( x ) 0
lim f ( x ) g ( x ) A B
2. 复合函数的极限 0 设 lim ( x ) a 且 u ( x ) a( x U ( x0 )), x x0 又 lim f ( u) A， 则 lim f [ ( x )] lim f ( u) A. ua 3. 极限求法小结
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期末高数考点总结
期末高数考点总结1. 函数与极限函数与极限是高等数学的基础。
在这部分内容中，主要包括函数的概念、性质和常见类型，以及极限的概念、性质和计算方法。
其中，重点考查函数的性质和极限的计算方法。
需要掌握函数的奇偶性、周期性、单调性等基本性质；理解函数的极限定义，并能够应用极限的四则运算法则和夹逼定理等进行计算。
2. 一元函数微分学微分学是高等数学的重要内容之一。
在这部分内容中，主要包括导数的概念、计算方法和应用。
需要掌握函数的导数定义，了解导数的几何意义和物理意义；掌握导数的四则运算法则和链式法则，熟练掌握常见函数的导数计算方法，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等；掌握导数的应用，如求函数的单调性、极值点、凹凸区间等。
3. 一元函数积分学积分学是高等数学的另一个重要内容。
在这部分内容中，主要包括不定积分和定积分。
需要掌握不定积分和定积分的定义；掌握常见函数的基本积分公式和换元积分法；掌握定积分的计算方法，如定积分的几何意义、定积分的性质、定积分的换元法和分部积分法等。
4. 无穷级数无穷级数是高等数学的重难点内容之一。
在这部分内容中，主要包括数项级数、幂级数和函数项级数等。
需要掌握数项级数的概念、判断级数是否收敛的常用方法，以及幂级数和函数项级数的收敛域判断方法。
5. 常微分方程常微分方程是高等数学的另一个重要内容。
在这部分内容中，主要包括一阶常微分方程、二阶常微分方程和变量可分离的方程等。
需要掌握一阶常微分方程和二阶常微分方程的基本概念，以及一阶常微分方程和二阶常微分方程的解法，包括变量可分离的方程、齐次线性方程、非齐次线性方程等。
6. 多元函数微分学多元函数微分学是高等数学的另一个重点和难点内容。
在这部分内容中，主要包括偏导数、全微分、梯度、方向导数和极值等。
需要掌握多元函数的偏导数定义和计算方法，了解全微分的概念和性质，掌握多元函数的梯度、方向导数的定义和计算方法，以及多元函数的极值点的判定方法。
高数复习重点梳理
高数复习重点梳理
第一章：导数与微分
在高数复习中，导数与微分是非常重要的概念，它们是微积分的基础。
导数表
示函数在某一点上的变化率，微分则表示函数在该点附近的近似线性变化。
在学习导数与微分时，需要掌握的重点包括：
1.导数的定义与性质
2.基本导数的求法
3.高阶导数
4.微分的定义与性质
5.隐函数与参数方程的导数与微分
6.微分中值定理
第二章：不定积分与定积分
不定积分与定积分是微积分的另一个重要内容，它们是对函数积分的不同形式。
在学习不定积分与定积分时，需要注意以下内容：
1.不定积分的基本性质
2.基本的不定积分表
3.定积分的定义与性质
4.定积分的应用：计算面积、求解定积分方程等
5.变限积分与定积分的运算法则
6.定积分的几何应用
第三章：微分方程
微分方程是数学中一个重要的研究对象，它描述了函数的导数与自身之间的关系。
在学习微分方程时，需要了解以下内容：
1.微分方程的分类与基本概念
2.一阶微分方程的求解方法
3.高阶微分方程的求解方法
4.微分方程的初值问题
5.线性微分方程
6.微分方程的物理应用
第四章：级数
级数是数学分析中的一个重要概念，它描述了无穷序列之和的性质。
在学习级数时，需要牢记以下要点：
1.级数收敛与发散的判别法
2.正项级数收敛的性质
3.常用级数的收敛性质
4.级数的运算：加法、乘法、除法
5.幂级数及其收敛半径
6.泰勒级数与麦克劳林级数的应用
以上是高等数学复习中的重点内容梳理，希望对你的复习有所帮助。
祝你取得优异的成绩！。
高数期末知识总结
高数期末知识总结一、微积分部分：1. 函数的概念和性质：包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。
2. 极限与连续：掌握函数趋于无穷时的极限和函数在某点处的极限计算方法。
了解连续函数的定义和性质。
3. 导数与微分：熟悉导数的定义、性质和计算方法，掌握基本的导数法则。
了解微分的概念和微分形式的变化。
4. 微分中值定理和泰勒公式：熟练掌握拉格朗日中值定理和柯西中值定理的条件和应用。
了解泰勒公式及其在函数逼近中的应用。
5. 一元函数的极值和最值：熟练掌握函数的极值和最值的判定方法，了解约束条件下的极值和最值问题。
6. 定积分和不定积分：掌握定积分的定义和计算方法，了解不定积分的概念和性质。
7. 微分方程：了解微分方程的基本概念和分类，熟悉一阶常微分方程的求解方法。
二、线性代数部分：1. 向量的概念和运算：熟练掌握向量的定义和运算法则，了解向量的数量积和向量积的定义和性质。
2. 矩阵的概念和运算：了解矩阵的定义和基本性质，熟练掌握矩阵的加法、数乘和乘法运算。
3. 行列式和矩阵的初等变换：熟练掌握行列式的定义、性质和计算方法，了解矩阵的初等行变换和初等列变换的基本法则。
4. 线性方程组：熟悉线性方程组的定义和基本性质，了解线性方程组的求解方法。
5. 特征值和特征向量：了解特征值和特征向量的定义和计算方法，掌握矩阵的对角化与相似对角化。
6. 线性空间和线性映射：了解线性空间和线性映射的基本概念，掌握线性映射的定义和性质。
以上是高等数学期末知识的基本总结。
在考试前，我们应该提前整理好复习资料，了解每个知识点的要点和考点，合理安排时间进行复习，并多做一些练习题来巩固所学知识。
希望以上总结对大家的期末考试有所帮助，祝大家取得好成绩！。
高数复习知识点及公式
高数复习知识点及公式一、知识点1、 求直线方程和平面方程2、 求条件极值3、 二重积分4、 曲线积分（弧长积分、坐标积分）5、 曲面积分6、 格林公式7、 高斯公式→空间闭曲面 ※8、 幂级数（求收敛半径、判断正项级数收敛性） 9、 傅里叶级数二、公式空间解析几何和向量代数：。
代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。
是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-==（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y m tx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d c zb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy yvdx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuFv u G F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx yx x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。
高等数学期末总复习PPT课件
函数性质
包括有界性、单调性、奇偶性、 周期性等，这些性质反映了函数 图像的形态和变化趋势。
常见函数类型
包括一次函数、二次函数、指数 函数、对数函数、三角函数等， 每种函数都有其独特的图像和性 质。
极限概念与性质
01
极限定义
极限是描述当自变量趋近于某个 特定值时，函数值趋近于某个确 定值的过程。
极限性质
空间曲面与平面的交线
求空间曲面与给定平面的交线方程，以及交 线的性质。
空间曲面与曲面的交线
求两空间曲面的交线方程，以及交线的性质。
08
多元函数微分学及其应用举 例
多元函数概念及性质
多元函数定义
设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组( x1,x2,…,xn)∈D，通 过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。
全微分计算方法
全微分反映的是多元函数在某一点附近的全增量与自变量增量之间的线性关系。对于多元函数z=f(x,y)， 其在点(x0,y0)处的全微分dz可以用公式dz=∂z/∂xΔx+∂z/∂yΔy计算。
多元函数极值问题求解方法
无条件极值求解方法
通过求解多元函数的驻点（即偏导数等 于零的点），然后利用二阶偏导数判断 驻点是否为极值点。若驻点的二阶偏导 数矩阵正定，则该点为极小值点；若负 定，则为极大值点；若不定，则需要进 一步判断。
多元函数的性质
包括有界性、单调性、周期性、连续性等。这些性质在研究和应用多元函数时非常重要。
偏导数和全微分计算方法
偏导数计算方法
偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率，可以通过求导法则和链式法则进行计算。对于多元函数 z=f(x,y)，其关于x的偏导数记为∂z/∂x或fx(x,y)，关于y的偏导数记为∂z/∂y或fy(x,y)。
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《高等数学E 》期末复习提纲试卷分数比例第一二章(函数、极限、导数）： 约20% 第三章（导数的应用部分）：约20% 第四章 积分： 约35% 第五章 无穷级数：约25% 题型填空、选择、计算、论述 复习重点：前三章（函数；极限与连续；导数及其应用） 重要知识点1、 无穷小与无穷大；用极限的四则运算法则求型极限；用第二个重要极限公式求1∞型极限；用洛必达法则求未定式极限；2、 导数定义；微分定义；基本初等函数导数公式；求导的四则运算法则；二、三阶导数；复合函数求导法则；隐函数求导法；3、 函数单调性和曲线凹凸性的判定；极值的第一、第二充分条件及其用法；闭区间上函数的最值；拐点的定义及其求法；例题（计算部分）1、 求极限322lim 21x x x x x →∞+-+，22468lim 54x x x x x →-+-+，130lim(1)xx x →-，23lim(1)x x x →∞+， lim x 20lim ln x x x +→，201lim ln(12)x x e x x →--+，30sin lim x x x x →-，011lim()sin x x x→- 2、 求下列函数或隐函数的导数（1）求52y x =,y =cos x y e ,2ln (23)y x =+,2arctan xy x =的导数 （2）求22xxy e +=，cos3xy x e -=⋅的二阶导数（3）求隐函数的导数2x xe y y +=，2yy x x e --=， 231x y xy +-=3、 划分函数3226187y x x x =---的单调区间、凹凸区间，并求出极值点和拐点● 第四章 积分 重要知识点1、原函数、不定积分定义，积分与求导（求微）的逆运算关系；2、用基本积分公式及两个运算法则（加减、数乘）求积分；3、用第一类换元法求积分；4、定积分的几何意义，及利用几何意义求积分；5、定积分的基本性质；6、变上限积分的求导；7、第一类换元法、分部积分法求定积分；求在积分区间上分段的函数的积分； 8、曲线围成的平面图形的面积计算；由平面图形旋转所得的旋转体的体积的计算。
例题（计算部分） 1、求积分(1)(34)d xx +⎰，d 2x x x +⎰，2sec 2d x x ⎰,515d x -⎰,12431(3sin )d x x x x -+⎰(2)5cos sin d x x x ⋅⎰，22d (1)xx x +⎰，(3)94d x ⎰，31210d x x e x +⎰，81(ln 2)d e x x x +⎰，312d x x --⎰,2231d x x --⎰ ， 2、求由曲线ln y x =与,0x e y ==围成的图形的面积。
3、求由曲线1,1,2y x x x===以及x 轴围成的图形的面积，以及由该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
4、求由曲线,y x y ==x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
● 第六章 无穷级数1、级数收敛、发散的概念，级数收敛的性质，掌握等比级数和p-级数的收敛性；2、用比较法、比值法判断正项级数的收敛性；3、一般数项级数的判敛，莱布尼兹判别法、条件收敛与绝对收敛的概念4、幂级数的收敛半径和收敛区间5、1,,sin 1xe x x-等常见函数的麦克劳林级数展开式，以及用间接展开法求其他相应函数的麦克劳林展开式。
例题（计算部分）1、 判断下列级数的敛散性211111,n n n n n ∞∞∞===∑∑，11n n n ∞=+∑，132nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑，0(1)89n n nn ∞=-∑(若收敛并求和) 2、 判断正项级数的敛散性：21111113,,(1)2!nn n n n n n n n n ∞∞∞∞====++∑∑∑3、 判断级数是否收敛，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛121(1)n n n -∞=-∑，11(1)3n nn -∞=-∑，1(1)n n n ∞=-∑，n ∞=，∑∞=⋅-12)1(n n n 4、求幂级数101,2nn nn n n n n x n ∞∞∞===∑的收敛半径和收敛区间 5、 求下列函数的麦克劳林级数：211,,213xxe x x-+ 《高等数学E 》复习题答案前三章（函数；极限与连续；导数及其应用）4、 求极限322lim 21x x x x x →∞+=∞-+，224682lim 543x x x x x →-+=-+，11330lim(1)x x x e -→-=， 263lim(1)x x e x →∞+=，lim 0x =，20lim ln 0x x x +→=， 2011lim ln(12)2x x e x x →--=+，30sin 1lim 6x x x x →-=，011lim()0sin x x x →-=. 5、 求下列函数或隐函数的导数 （1）求52y x =,2y =cos x y e ,2ln (23)y x =+,2arctan xy x =的导数 答案: 3cos 2251;;);2x y x y y e x x '''==+=23262(1)arctan ln(23);.23(1)x x x y x y x x x -+''=+=++ （2）求22xxy e +=，cos3x y x e -=⋅的二阶导数答案:222(486);(6sin38cos3).xxx y x x e y x x e +-''''=++=-（3）求隐函数的导数2x xe y y +=，2y y x x e --=， 231x y xy +-=答案:2(1)212;;.1213x y x e x y xy y y y e y x ++-'''===---6、 划分函数3226187y x x x =---的单调区间、凹凸区间，并求出极值点和拐点答案:上升区间(,1)(3,);-∞-⋃+∞下降区间(1,3);-凹区间(1,);+∞凸区间 (,1)-∞，极大值(1)3;f -=极小值(3)61;f =-拐点(1,29)-第四章 积分 1、求积分(1)5223(34)d 43ln 3xxx x x C +=+++⎰，d 2ln 22x x x x C x =-+++⎰， 21sec 2d tan 22x x x C =+⎰,515d 30x -=⎰,12431(3sin )d 2x x x x -+=⎰(2)561cos sin d sin 6x x x x C ⋅=+⎰，2221d (1)2(1)x x C x x =-+++⎰， (3)9432d 3x =⎰，3121201d ()3x x e x e e +=-⎰，81(ln 2)1d 2139e x x x +=⎰， 312d 5x x --=⎰,223281d 3x x --=⎰2、求由曲线ln y x =与,0x e y ==围成的图形的面积。
(答案:1ln d 1eS x x ==⎰)3、求由曲线1,1,2y x x x===以及x 轴围成的图形的面积，以及由该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
(答案:222111d ln2,d2 S x V xx xππ====⎰⎰)4x轴旋转一周所得的旋转体的体积。
(答案:114()d,4315S x x V xπππ===-=⎰⎰)第六章无穷级数6、判断下列级数的敛散性211111,n n nn n∞∞∞===∑∑，11nnn∞=+∑，132nn∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑，0(1)89n nnn∞=-∑(若收敛并求和) (答案: 发散,发散,收敛,发散,发散,收敛于917)7、判断正项级数的敛散性：21111113,,(1)2!nnn n n nnn n n∞∞∞∞====++∑∑∑(答案: 收敛,收敛,收敛,收敛)8、判断级数是否收敛，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛121(1)nnn-∞=-∑，11(1)3nnn-∞=-∑，1(1)nnn∞=-∑∑∞=⋅-12)1(nnn(答案: 绝对收敛,绝对收敛,条件收敛,绝对收敛,条件收敛)9、求幂级数101,2n n nnnn n nxn∞∞∞===∑的收敛半径和收敛区间(答案:1113,(3,3);2,(2,2);,(,).333R R R=-=-=-)10、求下列函数的麦克劳林级数：211,,213xxex x-+(答案:21100211(),(22),!22nx n nnn nxe x x x xn x∞∞++===-∞<<+∞=-<<-∑∑111(1)3()1333n n nnx xx∞==--<<+∑。