D15极限运算法则

高等数学——极限的四则运算法则

极限的四则运算法则§1.3介绍了极限的概念，并用观察法求出了一些简单函数的极限。

但对于较复杂的函数的极限就很难用观察法求得，因此，还需研究极限的运算。

本节主要是建立极限的四则运算法则，并利用该法则求一些常见类型极限。

1.5.1极限的四则运算法则定理1.5.1 设A x f x =→)(lim ?，B x g x =→)(lim ?，则（1）B A x g x f x g x f x x x ±=±=±→→→)(lim )(lim )]()([lim ???（2）B A x g x f x g x f x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim ???（3）BA x g x f x g x f x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim ???（0≠B ）证明略。

注：（1）定理中，记号“?lim →x ”表示该定理对于自变量各种变化趋势的极限均成立。

（2）法则（2）中，若C x g =)(（C 为常数），则有)(lim )(lim ??x f C x Cf x x →→=（3）法则（1）、（2）均可推广到有限个函数的情形：设函数)()()(21x f x f x f n ，，，当?→x 时的极限均存在，则有 )(lim )(lim )(lim )]()()([lim ?2?1?21?x f x f x f x f x f x f n x x x n x →→→→±±±=±±±)(lim )(lim )(lim )]()()([lim ?2?1?21?x f x f x f x f x f x f n x x x n x →→→→⋅⋅⋅=⋅⋅⋅特殊地，当)()()()(21x f x f x f x f n ==== 时，个个n x x x n x x f x f x f x f x f x f )(lim )(lim )(lim ])()()([lim ????→→→→⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 即n x n x x f x f )](lim [)]([lim ??→→=另注：（1）该定理给求极限带来了极大方便，但应注意，运用该定理的前提是被运算的各个变量的极限必须存在，并且，在除法运算中，还要求分母的极限不为零。

极限的运算法则

x2 2lim
x
1
3
2 2
1
1 3
．
x1
x1
x1
结论一般地，当有理分式函数中分母的极限不为零时，有理分式在 x0 处的极限也等于其在 x0 处的函数值．
1.1 极限的四则运算法则
例3
求
lim
x1
4x 3 x2 3x
2
．
解因为分母的极限 lim(x2 3x 2) 12 31 2 0 ，故不能直接用商的极限 x1
lim
xx0
(a0
xn
a1xn1
an1x an ) a0 x0n a1x0n1
an1x0 an ．
1.1 极限的四则运算法则
例2
求
lim
x1
3x2
2x 2x
1
．
解这里分母的极限不为零，故
lim
x1
3x2
2x 2x
1
lim 2x
x1
lim(3x2 2x
1)
3lim
2lim x x1
a1 x n 1 b1 x m 1
0， n m ，
an bm
a0 b0
，
n m ，（其中 a0 0 ，b0 0
， n m ，
1.1 极限的四则运算法则
例9
求
lim
n
2n 2n1
5n 5n1
．
解当 n 时，分子、分母都是无穷大，故不能直接用商的极限法则，但可以将分子、分母同除以 5n ，再利用极限四则运算法则计算．
高等数学
极限的运算法则
本节讨论极限的求法，主要是建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限．以后我们还将介绍求极限的其他方法．

极限的算法技巧

极限的算法技巧极限是数学中重要的概念，被广泛应用于微积分、数列和级数等领域。

在计算极限时，一些算法技巧可以帮助我们更好地理解和计算极限。

下面将介绍一些常用的极限算法技巧，以及它们的应用场景。

1. 极限的基本性质：极限有许多基本性质，包括四则运算法则、幂函数法则、三角函数法则等。

这些基本性质可以帮助我们计算复杂的极限。

例如，利用四则运算法则，可以将一个复杂的极限表达式分解为几个简单的部分，从而简化计算过程。

2. 夹逼定理：夹逼定理是计算极限的重要工具。

它可以帮助我们确定极限的上下界，从而求得极限的具体值。

夹逼定理的基本思想是将一个待求的极限表达式夹在两个已知的极限表达式之间。

3. 极限的展开：当计算复杂的极限时，可以利用泰勒级数或幂级数等展开式来逼近极限的值。

这种方法一般适用于在某点附近的极限计算，即使用级数展开确定一个函数在某点附近的值。

4. 极限的换元：通过对变量进行适当的换元，可以简化极限的计算。

例如，当计算一个复杂的无穷对数极限时，可以将极限表达式中的自变量用一个新的变量替换，然后计算新变量对应的极限。

5. 极限的递推关系：一些数列和级数问题中，可以利用递推关系来计算极限。

递推关系一般通过递推式来表示，通过对递推式的变形和化简，可以得到极限的表达式。

6. 极限的积分：有时，计算一个极限可以通过对其进行积分来求解。

利用积分定义和定理，可以将极限转化为积分形式，然后利用积分算法来计算。

7. 极限的逼近法：当确定一个函数在某点的极限较为困难时，可以使用逼近法进行估算。

逼近法包括切线逼近法、线性逼近法、二分法等，通过逐步逼近函数在某点的极限值，从而得到极限的近似值。

以上是一些常用的极限算法技巧，它们广泛应用于数学和工程领域。

在实际问题中，我们可以根据具体的极限表达式选择合适的算法技巧，从而更精确地计算和理解极限。

同时，需要注意的是，在使用这些算法技巧时，要注意问题的合理性和极限的存在性，并合理使用数值计算和近似方法来求解极限。

14和15极限运算法则19页PPT

推论1: 如l果 im f(x)存,在而 c为常 ,则数 lim cf([x)]clim f(x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2: 如果 lim f(x)存,在而 n是正整 ,则数 limf([x)n ][lim f(x)n ].
定理4 如 φ (x ) 果 (x )而 ,liφ ( m x ) a ,lim (x ) b ,
那 a b .么
三、复合函数极限
定理5: (复合函数极限运算法则 — 变量代换法则）
设 x l ix0m (x)u 0,但x0的在去U 0心 (x0,0)邻内 (x域 )u 0,
又 lim f(u)A ,则 lim f[(x) ]lim f(u)A
u u 0
x x0
u u 0
定理表明: 若f(u)与(x)满足定理条件, 则可作代换:
x
x
x
(e)lim six n, lim coxs均不存在
x
x
§1.5 极限运算法则
一、无穷小的运算性质:
定理1: 在自变量的同一变化过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 ,n时,1是无穷但小n个，1之和的极限 1. 为
2、极限的四则运算法则及其推论；
u=(x), 把求 limf[(x)]转化为求 lim f (u),
xx0
uu0
而其中u0
=
lim(x).
xx0
——极限过程的转化
注:如果将 lim(x)a换成 lim(x)
limf(u)A换成 limf定理。
四、求极限方法举例
例1 求lx im 2x2x33x15. 多项式与分式函数代入法

极限运算法则

x1 1 . lim x 1 x 3 2
(消去零因子法)
2x3 3x2 5 例3 求 lim . 3 2 x 7 x 4 x 1
解
x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .( 型 )
3
先用x 去除分子分母 , 再求极限 .
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x 5 x3 2. 1 7 x3
例4
1 2 n 求 lim( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无限多个无穷小之和．
解
先变形再求极限.
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
3 x 1 2 1 7 x2 lim 2 . 2 x2 x 3 x 5 3 lim( x 3 x 5) 3
3
lim( x 3 1)
x2
小结: 1. 设 f ( x ) a0 x n a1 x n 1 a n , 则有
x x0
lim f ( x ) a0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
x x0 u a
但在点 x0 的某去心邻域内 ( x ) a，又 lim f ( u) A，则复合函数 f [ ( x )] 当 x x0 时的极限也存在，且
x x0
lim f [ ( x )] lim f ( u) A.
u a
意义：
x x0

第五讲极限的运算法则及存在准则

练习：
x - 16 求 lim . x 4 x - 4 x 2 - 16 解 lim = lim( x + 4) = 4 + 4 = 8 x 4 x - 4 x 4
2
3) 型 ( 记号 ) 3 x2 + x + 1 lim 2 例4 x 2 x - x + 1 = 3 2 1 + + 3 x = lim x 1 2- + x 1 lim ( 3 + 2 x = x 1 lim( 2 x2 x 1 + x 1 + x 1 2) x 1 2) x
x+ 2-4 4 1 = lim 2 解 lim - 2 x 2 x - 2 x - 4 x2 x - 4 x-2 1 1 = lim 2 = lim = x2 x - 4 x2 x + 2 4
C 5) 型 0
2x + 4 例7 求 lim . x -1 x + 1 x+1 因为 lim =0 x -1 2 x + 4
小结
一、函数极限的四则运算
二、多项式商的极限三、复合函数的极限
第五讲 • 内容提要
函数极限的运算法则与存在准则
1. 极限的运算法则；
2. 两个极限存在准则。
• 教学要求
1. 熟练掌握极限的四则运算法则； 2. 了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界法则）.
一、极限的运算法则
+ x x 对于下面仅给出x x0时的运算法则， 0 x x0 , x , x + , x - 等情况的运算
x 0
lim cos x = 1
x 0
定义1 对于数列 { x n }, 如果存在正数M, 使得对于一切 xn , 都满足不等式 | xn | M ,

极限的性质与四则运算法则

。
0
2lim( x212x)2 。
x 3x2 1
计
3lim ( x x x x)。
算
x
极限
4xl im 2(x12x3128)。
5limarctan1 。
x0Biblioteka x思考题若 li(m a xx2x 1 b )0， a 、求 b。 x
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如l果 im fi(x)存,而在 ai为常 (i1 数 ,2,,n)则 ,
lim a1f1 [(x)a2f2(x)anfn(x)] lim a1f1(x)lim a2f2(x)lim anfn(x)
推论3 如果 limfi(x)存在 (i1,2,,n),则 l i mf1[(x)f2(x) fn(x)]
0

lx i m b am nxxm n a bm n 1 1xxn m 11 a b00

a b
n m

nm nm nm
消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。
例求极l限 im (2)n 3n 。计算过程 n(2)n1 3n1
注求分式极限，楚一是 0定还看是。清 0
4、有理化法若分子或分母有根号(特别是有根号相减)时，可将之
有理化。
例求极l限 im 5 4x。计算过程 x1 13 x
练习求 li极 ( x m a ) x ( b ) 限 ( x a ) x ( b ) 。 x
二、四则运算法则根据极限的定义, 只能验证某个常数 A是否为某个函数
ƒ(x)的极限, 而不能求出函数ƒ(x)的极限. 为了解决极限的计算问题, 下面介绍极限的运算法则; 并利用这些法则和一些已知结果来求函数极限。

极限的运算法则

lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求极限;
例：lim（x2 3x 5）. x2
代入法
解： lim( x2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
22 3 2 5 3
课本例题：lim(x2 2x) x2
例：
x2 1
lim
.
x3 x 4
解： lim( x 4) lim x lim 4 3 4 1 0
x3
x3
x3
lim
x3
x2 1 lim（x2 1）
x4
x3
lim（x
4）
91 34
10.
x3
目录
未定式极限
定义：无穷小之比或无穷大之比的极限等，这类极限可能存在，也可能不存在，极限存在也会有各种不同的结果。 ——这种类型的极限称为未定式极限。
主要的未定式的极限有:
不能直接使用极
1“, 0”“”“0 ”“ ” 限的四则运算法
型
)
lim
x
3 x
1
x2 2
2
x3 3