学法大视野·数学·九年级(上册)(湘教版)·答案
学法大视野·数学·九年级上册(湘教出版)·规范标准答案
课时参考答案(课前预习、课堂探究、课堂训练、课后提升)第1章 反比例函数1.1 反比例函数课前预习1.y=k x≠ 零课堂探究【例1】 探究答案:-1 k ≠0 B变式训练1-1:解:判断某函数是否是反比例函数,不是看表示变量的字母是不是有x 与y ,而要看它能否化为y=k x(k 为常数,k ≠0)的形式.所以(2)是反比例函数,其中k=-6;(3)是反比例函数, 其中k=-3.变式训练1-2:解:(1)由三角形的面积公式,得12xy=36, 于是y=72x.所以,y 是x 的反比例函数.(2)由圆锥的体积公式,得13xy=60,于是y=180x. 所以y 是x 的反比例函数.【例2】 探究答案:1.y=k x (k ≠0) 2.(√2,-√2) 解:设反比例函数的解析式为y=k x(k ≠0), 因为图象过点(√2,-√2), 将x=√2,y=-√2代入,得-√2=√2,解得k=-2. 因此,这个反比例函数的解析式为y=-2x , 将x=-6,y=13代入,等式成立.所以函数图象经过-6,13.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:(1)设y 1=k 1x ,y 2=k 2x(k 1,k 2为常数,且k 1≠0,k 2≠0),则y=k 1x+k 2x.∵x=1,y=4;x=2,y=5,∴{k 1+k 2=4,2k 1+k 22=5.解得{k 1=2,k 2=2.∴y 与x 的函数表达式为y=2x+2x.(2)当x=4时,y=2×4+24=812.课堂训练1.B2.C3.A4.-25.解:设大约需要工人y 个,每人每天生产纪念品x 个.∴xy=100,即y=100x(x>0) ∵5≤x ≤8,∴1008≤y ≤1005, 即1212≤y ≤20,∵y 是整数,∴大约需工人13至20人.课后提升1.D2.A3.C4.B5.C6.27.4008.-129.解:(1)∵y 是x 的正比例函数, ∴m 2-3=1, m 2=4, m=±2.∵m=2时,m-2=0, ∴舍去. ∴m=-2.(2)∵y 是x 的反比例函数, ∴m 2-3=-1, m 2=2,m=±√2.10.解:(1)由S=12xy=30,得y=60x,x 的取值范围是x>0.(2)由y=60x可知,y 是x 的反比例函数,系数为60.1.2 反比例函数的图象与性质第1课时 反比例函数的图象课前预习 3.(1)一、三 (2)二、四课堂探究【例1】 探究答案:第一、三象限 >解:(1)∵这个反比例函数图象的一支分布在第一象限, ∴m-5>0,解得m>5.(2)∵点A (2,n )在正比例函数y=2x 的图象上, ∴n=2×2=4,则A 点的坐标为(2,4). 又∵点A 在反比例函数y=m -5x的图象上, ∴4=m -52,即m-5=8. ∴反比例函数的解析式为y=8x.变式训练1-1:C 变式训练1-2:-52【例2】 探究答案:1.(1,5) 2.{y =kx ,y =3x +m解:(1)∵点(1,5)在反比例函数y=k x的图象上,∴5=k 1,即k=5,∴反比例函数的关系式为y=5x.又∵点(1,5)在一次函数y=3x+m 的图象上, ∴5=3+m , ∴m=2.∴一次函数的关系式为y=3x+2.(2)由题意可得{y =5x ,y =3x +2, 解得{x 1=1,y 1=5或{x 2=−5,y 2=−3.∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为-53,-3.变式训练2-1:A变式训练2-2:解:(1)将A (-1,a )代入y=-x+2中, 得a=-(-1)+2,解得a=3.(2)由(1)得,A (-1,3),将A (-1,3)代入y=k x中, 得到3=k -1,即k=-3,即反比例函数的表达式为y=-3x.(3)如图:过A 点作AD ⊥x 轴于D , ∵A (-1,3),∴AD=3,在直线y=-x+2中,令y=0,得x=2, ∴B (2,0),即OB=2, ∴△AOB 的面积S=12×OB ×AD=12×2×3=3.课堂训练1.A2.C3.B4.m>15.解:(1)∵反比例函数y=k x与一次函数y=x+b 的图象,都经过点A (1,2),∴将x=1,y=2代入反比例函数解析式得, k=1×2=2,将x=1,y=2代入一次函数解析式得, b=2-1=1,∴反比例函数的解析式为y=2x,一次函数的解析式为y=x+1. (2)对于一次函数y=x+1, 令y=0,可得x=-1; 令x=0,可得y=1.∴一次函数图象与x 轴,y 轴的交点坐标分别为(-1,0),(0,1).课后提升1.C2.B3.A4.D5.C6.-37.-248.解:m 2=(-4)×(-9)=36,∴m=±6.∵反比例函数y=m x的图象位于第一、三象限,∴m>0, ∴m=6.9.解:(1)∵y=m -5的一支在第一象限内,∴ m-5>0. ∴m>5.对直线y=kx+k 来说,令y=0,得kx+k=0,即k (x+1)=0. ∵k ≠0,∴x+1=0,即x=-1. ∴点A 的坐标为(-1,0).(2)过点M 作MC ⊥AB 于点C ,∵点A 的坐标为(-1,0),点B 的坐标为(3,0), ∴AB=4,AO=1.∵S △ABM =12×AB ×MC =1×4×MC=8,∴MC=4.又AM=5,∴AC=3,又OA=1,∴OC=2.∴点M 的坐标为(2,4).把M (2,4)代入y=m -5x, 得4=m -52,则m=13,∴y=8x. 第2课时 反比例函数的性质课前预习 1.在每一象限内 减小 在每一象限内 增大2.y=±x 坐标原点课堂探究【例1】 探究答案:1.一、三 >0 2.减小 >解:(1)图象的另一支在第三象限,则2n-4>0,解得n>2. (2)把点(3,1)代入y=2n -4x,得2n-4=3, 解得n=72.(3)因为在每个象限内,y 随x 的增大而减小,所以由a 1<a 2,得b 1>b 2. 变式训练1-1: A 变式训练1-2:< 【例2】 探究答案:|k||k|解:设点A 的坐标为a ,2a,则点B 的坐标为-a ,-2a,∵BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,∴AC ⊥BC ,又由题意可得BC=2a ,AC=4a,S △ABC =12BC ·AC=12·2a ·4a=4.变式训练2-1:1变式训练2-2:解:设A 的坐标是(m ,n ),则n=k ,即k=mn ,∵OB=-m ,AB=n ,S 长方形ABOC =OB ·AB=(-m )n=-mn=3, ∴mn=-3,∴k=-3,则反比例函数的解析式是y=-3x.课堂训练1.A2.C3.64.25.解:设一次函数的解析式为y=kx+b (k ≠0).∵点A 是直线与反比例函数y=2x的交点, ∴把A (1,a )代入y=2x,得a=2. ∴A (1,2).把A (1,2)和C (0,3)代入y=kx+b ,得{k +b =2,b =3.解得k=-1,b=3.所以一次函数的解析式为:y=-x+3.课后提升1.D2.D3.A4.C5.C6.C7.x<-2或0<x<18.69.解:(1)图象的另一支在第三象限, ∵图象在一、三象限,∴5-2m>0,∴m<52.(2)b 1<b 2.理由如下:∵m<52,∴m-4<m-3<0,∴b 1<b 2.1.3 反比例函数的应用课堂探究【例1】 探究答案:1.反比例 v=P F2.减小 解:(1)设反比例函数解析式为v=P F, 把(3000,20)代入上式, 得20=P3000,P=3000×20=60000, ∴v=60000F. (2)当F=1200时,v=600001200=50(米/秒)=180(千米/时), 即当它所受的牵引力为1200牛时,汽车的速度为180千米/时. (3)由v=60000F≤30,得F ≥2000. 所以,若限定汽车的速度不超过30米/秒,则F 应不小于2000牛.变式训练1-1:C 变式训练1-2:0.5【例2】 探究答案:1.k 2 -2 2.图象 解:(1)∵双曲线y=k 2x经过点A (1,2),∴k 2=2.∴双曲线的解析式为y=2x. ∵点B (m ,-1)在双曲线y=2x上,∴m=-2,则B (-2,-1).由点A (1,2),B (-2,-1)在直线y=k 1x+b 上,得{k 1+b =2,-2k 1+b =−1,解得{k 1=1,b =1.∴直线的解析式为y=x+1. (2)y 2<y 1<y 3.(3)x>1或-2<x<0.变式训练2-1:C变式训练2-2:解:(1)直线y=12x+b 经过第一、二、三象限,与y 轴交于点B ,∴OB=b ,∵点A (2,t ),△AOB 的面积等于1.∴12×2×b=1,可得b=1,即直线为y=12x+1.(2)由点A (2,t )在直线y=12x+1上, 可得t=2,即点A 坐标为(2,2),反比例函数y=k x(k 是常量,k ≠0)的图象经过点A ,可得k=4, 所求反比例函数解析式为y=4x.课堂训练1.C2.C3.B4.(1,-2)5.解:(1)将A (2,4)代入反比例函数解析式得m=8,∴反比例函数解析式为y 2=8x,将B (-4,n )代入反比例函数解析式得n=-2, 即B (-4,-2),将A 与B 坐标代入一次函数解析式得,{2k +b =4,-4k +b =−2,解得{k =1,b =2.则一次函数解析式为y 1=x+2.(2)联立两函数解析式得{y =x +2,y =8x,解得{x =2,y =4或{x =−4,y =−2,则y 1=y 2时,x 的值为2或-4. (3)利用题图象得,y 1>y 2时,x 的取值范围为-4<x<0或x>2.课后提升1.D2.D3.C4.D5.x<0或1<x<46.1.67.(3,2)8.19.解:(1)∵反比例函数y=k x的图象过B (4,-2)点,∴k=4×(-2)=-8,∴反比例函数的解析式为y=-8x. ∵反比例函数y=-8的图象过点A (-2,m ), ∴m=-8=4,即A (-2,4).∵一次函数y=ax+b 的图象过A (-2,4),B (4,-2)两点,∴{-2a +b =4,4a +b =−2,解得{a =−1,b =2.∴一次函数的解析式为y=-x+2. (2)∵直线AB :y=-x+2交x 轴于点C , ∴C (2,0).∵AD ⊥x 轴于D ,A (-2,4), ∴CD=2-(-2)=4,AD=4, ∴S △ADC =12·CD ·AD=12×4×4=8.10.解:(1)把A (m ,2)代入反比例函数解析式y=2x得2=2m,所以m=1. ∴A (1,2).(2)把A (1,2)代入正比例函数解析式y=kx 得2=k ,所以k=2,因此正比例函数的解析式为y=2x. (3)因为正比例函数的解析式为y=2x ,当x=2时,y ≠3,所以点B (2,3)不在正比例函数图象上.第2章 一元二次方程2.1 一元二次方程课前预习 1.一个 2 整式 3.相等 课堂探究【例1】 探究答案:1.2 =2 2.≠0 解:根据题意,得m 2-2=2,且m-2≠0. 解得m=±2,且m ≠2.所以m=-2. 则m 2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=-4. 变式训练1-1:C 变式训练1-2:≠±1 =12【例2】 探究答案:1.移项 合并同类项 2.符号 0 解:(1)去括号,得4t 2+12t+9-2(t 2-10t+25)=-41, 去括号、移项、合并得2t 2+32t=0,所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2,32,0. (2)去括号,得12x 2-x+12=3x+13, 移项、合并,得12x 2-4x+16=0,所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为1,-4,1.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:{m2-2=2, m+2≠0,解得m=±2且m≠-2.∴m=2.【例3】探究答案:1.根2.≠0解:根据题意,得(m-2)×12+(m2-3)×1-m+1=0,即m2-4=0,故m2=4,解得m=2或m=-2.∵方程(m-2)x2+(m2-3)x-m+1=0是关于x的一元二次方程,∴m-2≠0,即m≠2.故m=-2.变式训练3-1:1变式训练3-2:解:把x=0代入方程得a2-1=0,∴a=±1,∵a-1≠0,∴a≠1,∴a=-1.课堂训练1.C2.A3.-104.-25.解:去括号,得9x2+12x+4=4x2-24x+36.移项、合并同类项得,5x2+36x-32=0.∴它的二次项为5x2二次项系数为5,一次项为36x,一次项系数为36,常数项为-32.课后提升1.D2.D3.C4.C5.D6.x(x+5)=300x2+5x-300=015-3007.18.≠1=19.解:(1)去括号,得x2-4=3x2+2x,移项,得-2x2-2x-4=0,二次项系数为-2,一次项系数为-2,常数项为-4.(2)去括号,移项合并,得(1-2a)x2-2ax=0,二次项系数为1-2a,一次项系数为-2a,常数项为0.10.解:小明的话有道理.理由:若方程为一元二次方程,则m+1=2,m=1.而m=1时,m2+m-2=0,所以此方程不可能为一元二次方程.2.2 一元二次方程的解法2.2.1 配方法第1课时用配方法解简单的一元二次方程课前预习1.(1)平方根2.(1)a2±2ab+b2(2)完全平方式课堂探究【例1】探究答案:-a±√b没有解:移项,得2(x+1)2=92, 两边同时除以2,得(x+1)2=94,∴x+1=±32,∴x 1=-1+32=12,x 2=-1-32=-52.变式训练1-1:m ≥7变式训练1-2:解:(1)移项,得(2x-1)2=25, 开平方得2x-1=±5, ∴2x-1=5或2x-1=-5,解这两个方程得:x 1=3,x 2=-2. (2)两边同除以3,得(x-2)2=4, 开平方得:x-2=±2, ∴x-2=2或x-2=-2.解这两个方程,得x 1=4,x 2=0.【例2】 探究答案:一次项系数一半的平方 解:移项,得x 2-12x=12, 配方,得x 2-12x+(14)2=916,(x -14)2=916, ∴x-14=34或x-14=-34,∴x 1=1,x 2=-12.变式训练2-1:±43变式训练2-2:解:移项,得x 2-2x=2,配方,得(x-1)2=3, 解得x=1±√3.∴x 1=1+√3,x 2=1-√3.课堂训练1.D2.B3.±324.±85.解:(1)移项得x 2-2x=1,配方,得x 2-2x+1=2, 即(x-1)2=2,开方,得x-1=±√2, 则x 1=1+√2,x 2=1-√2.(2)移项,得x 2-4x=-1,配方,得x 2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3, 开方,得x-2=±√3,∴原方程的解是x 1=2+√3,x 2=2-√3.课后提升1.D2.B3.D4.B5.36.-37.900 cm 28.解:(1)直接开平方得,x-1=±√3,即x-1=√3或x-1=-√3,∴x 1=1+√3,x 2=1-√3.(2)配方,得x 2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5. ∴x-1=±√5,即x-1=√5或x-1=-√5 ∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.(3)方程两边都除以2,得x 2-32=-52x , 移项,得x 2+52x=32.配方,得x 2+52x+542=32+542,即x+542=4916. 开平方得,x+54=±74,∴x 1=12,x 2=-3.9.解:用配方法解方程a 2-10a+21=0,得a 1=3,a 2=7.当a=3时,3、3、7不能构成三角形; 当a=7时,三角形周长为3+7+7=17. 10.解:移项得x 2+px=-q ,配方得x 2+px+p 22=-q+p 22,即x+p 22=p 2-4q4.∵p 2≥4q , ∴p 2-4q ≥0,∴x+p2=±√p 2-4q 2.∴x 1=-p+√p 2-4q2,x 2=-p -√p 2-4q2.第2课时 用配方法解复杂的一元二次方程课前预习(1)1(2)二次项和一次项 常数项 (3)一次项系数一半的平方课堂探究【例1】 探究答案:1.1 2.完全平方式 解:两边同时除以2,得x 2-32x+12=0, 移项,得x 2-32x=-12, 配方,得x 2-32x+(-34)2=-12+(-34)2, 即(x -34)2=116,两边开平方,得x-34=±14,x-34=14或x-34=-14,∴原方程的解为x 1=1,x 2=12.变式训练1-1:D变式训练1-2:解:(1)二次项系数化为1, 得x 2-16x-2=0, 移项,得x 2-16x=2,配方, 得x 2-16x+1144=2+1144, 即x-1122=289144, ∴x-112=±1712,∴x 1=32,x 2=-43.(2)二次项系数化为1,得x 2-12x-12=0. 移项,得x 2-12x=12.配方得x 2-12x+142=12+142,即x-142=916, ∴x-14=±34, ∴x 1=1,x 2=-12.【例2】 探究答案:1.1 2.减去解:2x 2-4x+5=2(x 2-2x )+5 =2(x 2-2x+12-12)+5 =2(x-1)2+3 ∵2(x-1)2≥0, ∴2(x-1)2+3>0,∴代数式2x 2-4x+5的值总是一个正数. 变式训练2-1:13变式训练2-2:解:x 2-4x+5=x 2-4x+22-22+5 =(x-2)2+1.∵(x-2)2≥0,且当x=2时值为0, ∴当x=2时,代数式x 2-4x+5的值最小,最小值为1.课堂训练1.A2.B3.x 1=-2,x 2=124.3或-75.-3或36.解:由题意得2x 2-x=x+6,∴2x 2-2x=6,∴x 2-x=3,∴x 2-x+14=3+14,∴x-122=134,∴x-12=±√132, ∴x 1=1+√132,x 2=1−√132. ∴x=1+√132或1−√132时,整式2x 2-x 与x+6的值相等. 课后提升1.D2.D3.B4.D5.x 1=1+√3,x 2=1-√36.87.38.1±2√29.解:去括号,得4x 2-4x+1=3x 2+2x-7,移项,得x 2-6x=-8,配方,得(x-3)2=1, ∴x-3=±1,∴x 1=2,x 2=4.10.解:由题意,得2x 2+x-2+(x 2+4x )=0, 化简,得3x 2+5x-2=0. 系数化为1,得x 2+53x=23,配方,得x+562=4936,∴x+56=±76, ∴x 1=-2,x 2=13.2.2.2 公式法课前预习1.x=-b±√b 2-4ac2a(b 2-4ac ≥0)2.求根公式课堂探究【例1】 探究答案:1.一般形式 2.a 、b 、c解:原方程可化为x 2+2x-1=0, ∵a=1,b=2,c=-1.b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8>0,∴x=-2±√82×1=-2±2√22=-1±√2.∴x 1=-1+√2,x 2=-1-√2.变式训练1-1:D变式训练1-2:解:(1)移项,得2x 2+3x-1=0, ∵a=2,b=3,c=-1,∴b 2-4ac=17>0,∴x=-3±√174,∴x 1=-3+√17,x 2=-3-√17. (2)化简得,x 2+5x+5=0,∴a=1,b=5,c=5, ∴b 2-4ac=5>0,∴x=-5±√52,∴x 1=-5+√52,x 2=-5-√52. 【例2】 探究答案:1.一元二次方程有实数根 2.相等 解:原方程可化为2x 2+2√2x+1=0,∵a=2,b=2√2,c=1, ∴b 2-4ac=(2√2)2-4×2×1=0, ∴x=-2√2±√02×2=-√22. ∴x 1=x 2=-√22.变式训练2-1:解:(1)b 2-4ac=(-2)2-4×1×1=4-4=0.∴此方程有两个相等的实数根.(2)b 2-4ac=72-4×(-1)×6=49+24=73>0. ∴此方程有两个不相等的实数根. 变式训练2-2:C课堂训练1.D2.C3.24.解:(1)b 2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=16+8=24>0.∴x=-b±√b 2-4ac 2a =4±√242×2=4±2√64=2±√62.∴x 1=2+√62,x 2=2−√62. (2)整理,得4x 2+12x+9=0,所以a=4,b=12,c=9.因为b 2-4ac=122-4×4×9=0, 所以方程有两个相等的实数根,所以x=-b±√b 2-4ac 2a=-12±√02×4=-128=-32. ∴x 1=x 2=-32.课后提升1.C2.A3.D4.D5.-1+√32,-1-√326.x 1=1,x 2=17.25或168.解:整理得x 2+2x-1=0, b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8,x=-2±√82×1=-2±2√22=-1±√2,∴x 1=-1+√2,x 2=-1-√2.9.解:(1)x 2-4x-1=0,∵a=1,b=-4,c=-1,∴Δ=(-4)2-4×1×(-1)=20,∴x=4±√20=2±√5, ∴x 1=2+√5,x 2=2-√5.(2)∵3x (x-3)=2(x-1)(x+1),∴x 2-9x+2=0, ∵a=1,b=-9,c=2,∴Δ=(-9)2-4×1×2=73>0,∴x=-b±√b 2-4ac =9±√73, ∴x 1=9+√732,x 2=9−√732. 10.解:由题意得,m 2+1=2, 且m+1≠0, 解得m=1.所以原方程为2x 2-2x-1=0, 这里a=2,b=-2,c=-1.b 2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12.∴x=2±2√34=1±√32, ∴x 1=1+√32,x 2=1−√32.2.2.3 因式分解法课前预习 1.(2)(a-b )(a+b ) (a ±b )2 2.一次因式 0 0课堂探究【例1】 探究答案:x [(x+2)-4] 3(x-5)2-2(5-x )=0 (x-5)(3x-13)解:(1)x (x+2)-4x=0,x [(x+2)-4]=0, 即x (x-2)=0, ∴x=0或x-2=0, ∴x 1=0,x 2=2.(2)3(x-5)2=2(5-x ), 3(x-5)2-2(5-x )=0, (x-5)[3(x-5)+2]=0, ∴x-5=0或3x-15+2=0,∴x 1=5,x 2=133.变式训练1-1:C变式训练1-2:解:(1)(3x-4)2=3(3x-4), ∴(3x-4)(3x-7)=0,∴x 1=43,x 2=73.(2)3(x+2)2=(x+2)(x-2), (x+2)[3(x+2)-(x-2)]=0, ∴(x+2)(2x+8)=0, ∴x 1=-2,x 2=-4.【例2】 探究答案:直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 解:(1)公式法:∵a=1,b=-3,c=1, ∴b 2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0,∴x=-(-3)±√52×1,∴x 1=3+√52,x 2=3−√52. (2)因式分解法:原方程可化为x (x-3)=0,∴x=0或x-3=0 ∴x 1=0,x 2=3.(3)配方法:配方,得x 2-2x+1=4+1, 即(x-1)2=5,∴x-1=±√5, ∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.变式训练2-1:C变式训练2-2:解:(1)用直接开平方法:原方程可化为 (x-3)2=4, ∴x-3=±2,∴x 1=5,x 2=1.(2)用配方法:移项,得x 2-4x=7. 配方,得x 2-4x+4=7+4, 即(x-2)2=11,∴x-2=±√11∴x-2=√11或x-2=-√11, ∴x 1=2+√11,x 2=2-√11.(3)用因式分解法:方程两边分别分解因式,得 (x-3)2=2(x-3)(x+3),移项,得(x-3)2-2(x-3)(x+3)=0. 方程左边分解因式,得 (x-3)[(x-3)-2(x+3)]=0, 即(x-3)(-x-9)=0, ∴x-3=0或-x-9=0. ∴x 1=3,x 2=-9.课堂训练1.C2.D3.74.-1或45.解:(1)∵a=3,b=1,c=-1,∴b 2-4ac=12-4×3×(-1)=13>0,∴x=-1±√132×3∴x 1=-1+√136,x 2=-1-√136. (2)移项,得(3x-2)2-4(3-x )2=0,因式分解,得[(3x-2)+2(3-x )][(3x-2)-2(3-x )]=0, 即(x+4)(5x-8)=0, ∴x+4=0或5x-8=0,∴x 1=-4,x 2=85.(3)将原方程整理,得x 2+x=0, 因式分解,得x (x+1)=0, ∴x=0或x+1=0, ∴x 1=0,x 2=-1.课后提升1.A2.D3.B4.B5.B6.x 1=3,x 2=97.68.-19.解:(1)用求根公式法解得y 1=3,y 2=-8. (2)用分解因式法解得x 1=52,x 2=-1. (3)用求根公式法解得y 1=-2+√22,y 2=-2-√22.10.解:解方程x(x-7)-10(x-7)=0,得x1=7,x2=10.∵4<第三边长<10,∴x2=10(舍去).第三边长为7.这个三角形的周长为3+7+7=17.2.3 一元二次方程根的判别式课前预习1.a≠02.(1)> (2)= (3)<课堂探究【例1】探究答案:1.一般形式2.a、b、c b2-4ac解:(1)原方程可化为x2-6x+9=0,∵Δ=b2-4ac=(-6)2-4×1×9=0,∴原方程有两个相等的实数根.(2)原方程可化为x2+3x+1=0,∵Δ=b2-4ac=32-4×1×1=5>0,∴原方程有两个不相等的实数根.(3)原方程可化为3x2-2√6x+3=0.∵Δ=b2-4ac=(-2√6)2-4×3×3=-12<0,∴原方程无实数根.变式训练1-1:A变式训练1-2:B【例2】探究答案:1.≥解:由题意知:b2-4ac≥0,即42-8k≥0,解得k≤2.∴k的非负整数值为0,1,2.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:∵a=2,b=t,c=2.∴Δ=t2-4×2×2=t2-16,令t2-16=0,解得t=±4,当t=4或t=-4时,原方程有两个相等的实数根.课堂训练1.D2.A3.D4.k<-15.解:(1)当m=3时,Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8<0,∴原方程没有实数根.(2)当m=-3时,x2+2x-3=0,x2+2x=3,x2+2x+1=3+1,(x+1)2=4,∴x+1=±2,∴x1=1,x2=-3.课后提升1.D2.A3.C4.C5.D6.m>17.m<2且m≠18.6或12或109.解:由题意,得{ b 2-4ac =(−2√k +1)2-4(1-2k)(-1)>0 ①1−2k ≠0 ②k +1≥0 ③由①,得4(k+1)+4-8k>0,即-4k>-8,解得k<2.由②得,k ≠12,由③得,k ≥-1. ∴-1≤k<2且k ≠1.10.解:(1)Δ=b 2-4ac =4-4(2k-4) =20-8k. ∵方程有两个不等的实根, ∴20-8k>0,∴k<52.(2)∵k 为正整数, ∴0<k<52(且k 为整数),即k 为1或2,∴x=-1±√5−2k . ∵方程的根为整数,∴5-2k 为完全平方数.当k=1时,5-2k=3;当k=2时,5-2k=1. ∴k=2.*2.4 一元二次方程根与系数的关系课前预习-b a c a 课堂探究【例1】 探究答案:1.-1 2.2ab a+b ab解:因为方程x 2-x-1=0的两实根为a 、b.所以(1)a+b=1;(2)ab=-1;(3)a 2+b 2=(a+b )2-2ab=12-2×(-1)=3;(4)1a +1b =a+b ab=-1. 变式训练1-1:-2变式训练1-2:-658【例2】 探究答案:1.2(m+1) 2.>0解:∵方程有两个不相等的实数根, ∴Δ=b 2-4ac=[-2(m+1)]2-4×1×(m 2-3) =16+8m>0,解得m>-2;根据根与系数的关系可得x 1+x 2=2(m+1), ∵(x 1+x 2)2-(x 1+x 2)-12=0, ∴[2(m+1)]2-2(m+1)-12=0,解得m 1=1或m 2=-52. ∵m>-2,∴m 2=-52(舍去),∴m=1.变式训练2-1:1变式训练2-2:解:∵x 1+x 2=2,∴m=2. ∴原方程为x 2-2x-3=0,即(x-3)(x+1)=0,解得x 1=3,x 2=-1. 课堂训练1.B2.A3.-24.55.解:设x 1,x 2是方程的两个实数根,∴x 1+x 2=-32,x 1x 2=1−m 2. 又∵1x 1+1x 2=3,∴x 1+x 2x 1x 2=3, ∴-31−m=3, ∴-3=3-3m ,∴m=2,又∵当m=2时,原方程的Δ=17>0, ∴m 的值为2. 课后提升1.B2.B3.D4.B5.B6.-20147.68.20149.解:将-2代入原方程得:(-2)2-2+n=0,解得n=-2,因此原方程为x 2+x-2=0,解得x 1=-2,x 2=1, ∴m=1.10.解:(1)根据题意得m ≠1Δ=(-2m )2-4(m-1)(m+1)=4,∴x 1=2m+22(m -1)=m+1m -1, x 2=2m -22(m -1)=1. (2)由(1)知x 1=m+1m -1=1+2m -1 又∵方程的两个根都是正整数,∴2m -1是正整数, ∴m-1=1或2. ∴m=2或3.2.5 一元二次方程的应用第1课时增长率与利润问题课前预习1.a(1±x)2.(1)单件售价(2)单件利润课堂探究【例1】探究答案:(1)10000(1+x)10000(1+x)2(2)12100(1+x)解:(1)设捐款增长率为x,根据题意列方程得,10000(1+x)2=12100,解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去);答:捐款增长率为10%.(2)12100×(1+10%)=13310元.答:第四天该单位能收到13310元捐款.变式训练1-1:A变式训练1-2:B3-2-x【例2】探究答案:200+40x0.1解:设应将每千克小型西瓜的售价降低x元.-24=200.根据题意,得(3-2-x)200+40x0.1解这个方程,得x1=0.2,x2=0.3.答:应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元.变式训练2-1:2或6变式训练2-2:解:设每件童装应降价x元.根据题意得(40-x)(20+2x)=1200,解这个方程得x1=10,x2=20.因为在相同利润的条件下要扩大销售量,减少库存,所以应舍去x1=10.答:每件童装应降价20元.课堂训练1.B2.D3.B4.20%5.解:设每千克核桃应降价x元.×20)=2240根据题意得(60-x-40)(100+x2解这个方程得x1=4,x2=6.答:每千克核桃应降价4元或6元.课后提升1.C2.C3.D4.B5.10%6.30007.40(1+x)2=48.48.10%9.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人,由题意,得1+x+x(1+x)=64,解之,得x1=7,x2=-9.答:每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)7×64=448.答:又有448人被传染.10.解:(1)设每年市政府投资的增长率为x,根据题意,得:2+2(1+x)+2(1+x)2=9.5,整理,得x2+3x-1.75=0,解之,得x1=0.5, x2=-0.35(舍去)所以每年市政府投资的增长率为50%.=38(万平方米).(2)到2013年年底共建廉租房面积=9.5×82第2课时面积与动点问题课堂探究【例1】探究答案:1.(6-x)2x(6-x)·2x=82.12解:设经过x秒钟后,△PBQ的面积等于8 cm2.根据题意得1(6-x)·2x=8.解这个方程得x1=2,x2=4.答:经过2秒或4秒后,△PBQ的面积等于8 cm2.变式训练1-1:解:(1)由勾股定理:AC=5 cm,设x秒钟后,P、Q之间的距离等于5 cm,这时PC=5-x,CQ=2x,则(5-x)2+(2x)2=52,即x2-2x=0.解这个方程,得x1=0,x2=2,其中x1=0不合题意,舍去.答:再运动2秒钟后,P、Q间的距离又等于5 cm.(2)设y秒钟时,可使△PCQ的面积等于4 cm2.1×(5-y)×2y=4,2即y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.经检验,它们均符合题意.答:1秒钟或4秒钟时,△PCQ的面积等于4 cm2.变式训练1-2:解:设应移动x米.OA=√AB2-OB2=3米.则由题意得(3+x)2+(4-x)2=52.解这个方程得x1=1,x2=0(不合题意,舍去).答:应移动1米.【例2】探究答案:(100-2x)(50-2x)解:设正方形观光休息亭的边长为x米.依题意,有(100-2x)(50-2x)=3600.整理,得x2-75x+350=0.解得x1=5,x2=70.∵x=70>50,不合题意,舍去,∴x=5.答:矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:设P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽都为x 米,根据题意,得(40-2x )(60-3x )=60×40×14,解之,得x 1=10, x 2=30(不符合题意,舍去).答:两块绿地周围的硬化路面的宽都是10米. 课堂训练1.B2.C3.D4.15.解:设花边的宽为x 米,根据题意,得(2x+6)(2x+3)=40.解得x 1=1,x 2=-112.但x 2=-112不合题意,舍去.答:花边的宽为1米. 课后提升1.D2.C3.C4.B5.D6.97.24 458.10009.解:(1)设小货车原计划每辆每次运送帐篷x 顶,则大货车原计划每辆每次运送帐篷(x+200)顶,根据题意,得 2[8x+2(x+200)]=16800,解得x=800, x+200=800+200=1000.故大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶,800顶.(2)根据题意,得2(1000-200m )1+12m +8(800-300)(1+m )=14400, 化简为m 2-23m+42=0,解得m 1=2,m 2=21.∵1000-200m 不能为负数,且12m 为整数,∴m 2=21(不符合实际,舍去),故m 的值为2.10.解:设x 秒后四边形APQB 的面积是△ABC 面积的23,在Rt △ABC 中,AB=10,AC=8,由勾股定理,得 BC 2=AB 2-AC 2=102-82=36, ∴BC=6.则12(8-2x )(6-x )=13×12×6×8,解得x 1=2,x 2=8(不合题意,舍去), ∴2秒后四边形APQB 的面积是△ABC 面积的23. 第3章 图形的相似3.1 比例线段 3.1.1 比例的基本性质 课前预习1.(1)比值 比值 (2)比例内项2.(1)bc课堂探究 【例1】 探究答案:1.3x 3y =2y 3yx y =23 2.7y=4x 7∶4解:(1)∵3x=2y ,∴3x 3y =2y 3y,即x y =23.(2)∵7=4, ∴7y=4x ,x y =74. 变式训练1-1:D变式训练1-2:4【例2】 探究答案:1.2解:∵AD AB =AE AC =DE BC =23, ∴AD+AE+DE AB+AC+BC =23, 即△ADE 的周长△ABC 的周长=23. 设△ADE 和△ABC 的周长分别为2x cm 和3x cm,则有3x-2x=15,得x=15. ∴△ABC 的周长为45 cm,△ADE 的周长为30 cm .变式训练2-1:D变式训练2-2:解:设x 3=y 5=z 7=k ,则x=3k ,y=5k ,z=7k , ∴x -y+z x+y -z =3k -5k+7k 3k+5k -7k =5k k=5. 课堂训练1.C2.A3.2∶3=4∶6(答案不唯一)4.135.解:因为m -n n =23, 所以3(m-n )=2n ,,. 化简得3m=5n ,所以m n =53,则3m+2n n =3m n +2=m n ×3+2=53×3+2=7.课后提升1.C2.C3.D4.C5.A6.52 727.3√38.2或-19.解:∵a ∶b ∶c=1∶2∶4,设a=k ,b=2k , c=4k ,则a+2b+3ca -b+c =k+4k+12kk -2k+4k =17k 3k =173.10.解:∵a b =c d =e f =23,∴2a 2b =-c -d =-5e-5f =23.∴2a -c -5e2b -d -5f =23.3.1.2 成比例线段课前预习1.m ∶n AB CD =m n2.a b =c d3.BC AC 黄金比 √5-12≈0.618课堂探究【例1】探究答案:1.(12-x ) x 12−x =64 2.DB AB =EC AC解:(1)设AD=x cm,则DB=(12-x )cm .则有x 12−x =64,解这个方程得x=7.2,所以AD=7.2 cm .(2)DB AB =12−7.212=25,EC AC =46+4=25,所以DB AB =EC AC ,所以线段DB 、AB 、EC 、AC 是成比例线段. 变式训练1-1:B变式训练1-2:解:利用比例线段的定义, ∵a=1 mm =0.1 cm,b=0.8 cm, c=0.02 cm,d=4 cm,∴d>b>a>c ,而d b =40.8=5,a c =0.10.02=5, ∴d b =a c ,∴d 、b 、a 、c 四条线段是成比例线段.【例2】 探究答案:1.AC AB =CB AC 2.3x+3=x 3 解:设CB=x ,∵点C 为线段AB 的黄金分割点, ∴AC AB =CB AC ,即3x+3=x 3,得9=x (x+3), 解得x 1=3√5-32,x 2=-3√5-32(舍去). 故CB 的长为3√5-32. 变式训练2-1:C变式训练2-2:解:因为点C 是AB 的黄金分割点, 所以当AC>BC 时,AC AB =√5-12. 又因为AB=10 cm,所以AC=√5-12×10=(5√5-5)(cm),当AC<BC 时,BC AB =√5-12, 所以BC=√5-12×10=(5√5-5)(cm),所以AC=AB-BC=10-(5√5-5)=(15-5√5)(cm), 所以AC 的长为(5√5-5)cm 或(15-5√5)cm . 课堂训练1.D2.45 353.6-2√54.=5.解:(1)a ∶b=c ∶d ,即a ∶0.2=0.5∶1,则a=0.2×0.5=0.1.(2)a ∶b=c ∶d ,即3∶7=c ∶21,则7c=21×3,得c=9. 课后提升1.B2.D3.C4.B5.B6.6.987.168.√5-12或3−√529.解:设相邻两个钉子之间的距离为1个单位长度, 则AD=2,BD=5,BE=5,CE=1,CF=4,AF=3.在直角三角形ABD中,AB=√AD2+BD2=√22+52=√29,在直角三角形BCE中,BC=√BE2+CE2=√52+12=√26,在直角三角形ACF中,AC=√CF2+AF2=√42+32=5,所以AB=√29,BC=√26.10.解:设每一份为k,由(a-c)∶(a+b)∶(c-b)=(-2)∶7∶1,得{a-c=−2k,a+b=7k,c-b=k,解得{a=3k,b=4k,c=5k,而(3k)2+(4k)2=(5k)2,即a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形.3.2 平行线分线段成比例课前预习(1)在另一条直线上截得的线段也相等(2)对应线段(3)成比例课堂探究【例1】探究答案:1.352.DE DF解:∵l1∥l2∥l3,∴AB AC =DE DF,∵AB BC =32,∴ABAC=35,∴DE DF =3 5 ,由DF=20 cm,得DE=35DF=12 cm,∴EF=DF-DE=8 cm.变式训练1-1:D变式训练1-2:12【例2】探究答案:1.AEAC 2.x-4x-4x-4x-3=4xD变式训练2-1:B变式训练2-2:A 课堂训练1.B2.A3.A4.55.解:∵DE ⊥AB ,CB ⊥AB , ∴DE ∥BC ,∴AD AB =AE AC ,即35=5AC, ∴AC=253.∴BC=√AC 2-AB 2=√(253) 2-52=203. 课后提升1.C2.C3.A4.D5.D6.97.68.149.解:∵DE ∥BC ,DF ∥AC , ∴四边形EDFC 为平行四边形, ∴DE=FC=5,又∵DF ∥AC ,∴AD BD =CF BF ,即48=5BF,得BF=10. 10.解:∵DE ∥BC ,∴AD AB =AE AC. 又∵EF ∥CD ,∴AF =AE , ∴AD =AF , ∴AD 2=AB ·AF=36, ∴AD=6 cm .3.3 相似图形课前预习 1.(1)对应相等 对应成比例 (2)∽ △ABC 相似于△A'B'C'(3)相等 成比例2.(1)对应角 成比例 (2)相等 等于相似比 课堂探究【例1】 探究答案:1.∠A' ∠B' ∠C'2.180°-∠A-∠B解:∵△ABC ∽△A'B'C', ∴∠B=∠B'=60°,在△ABC 中,∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°. 变式训练1-1:50变式训练1-2:1∶2【例2】探究答案:(1)CD CB (2)77° 83° 解:因为四边形ABCD ∽四边形EFGH ,∴∠F=∠B=77°,∠G=∠C=83°,EF AB =GH CD =FG BC =418=29, ∴∠H=360°-(∠E+∠F+∠G )=83°, BC=FG ÷29=6×92=27, CD=GH ÷2=7×9=31.5.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:由四边形ABCD 与四边形A'B'C'D'相似得,x 21=12y =1015, ∠A=∠A'=120°,∴x=21×1015=14, y=12÷1015=12×32=18,∠α=360°-(∠A+∠B+∠C )=80°.课堂训练1.C2.B3.6 1.54.9或255.解:因为梯形AEFD ∽梯形EBCF , 所以AD EF =EF BC =AE EB, 又因为AD=4,BC=9,所以EF 2=AD ·BC=4×9=36, 所以EF=6, 所以AE EB =AD EF =46=23. 课后提升1.B2.D3.D4.D5.D6.2 30°7.60° 140° 18.√5+129.解:∵四边形ABCD 与四边形EFGH 相似, ∴∠E=∠A=70°,∠F=∠B=80°. ∴∠G=360°-70°-80°-150°=60°.∵AB EF =AD EH, ∴AB=EF ·AD EH =5×86=203. ∵BC FG =ADEH,∴BC=FG ·AD EH =7×86=566=283. 10.解:∵△ABC ∽△APQ ,∴AB AP =BCPQ , 即4040+60=30PQ, 解得PQ=75.答:PQ 的长为75 cm .3.4 相似三角形的判定与性质3.4.1 相似三角形的判定第1课时 两角对应相等或平行判定相似课前预习 (1)相似 (2)相等课堂探究【例1】 探究答案:1.EDA 2.DFC 3.△EDA △DFC 解:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD ,AD ∥BC ,∴△BEF ∽△CDF ,△BEF ∽△AED , ∴△BEF ∽△CDF ∽△AED. 当△BEF ∽△CDF 时,相似比k 1=BE CD =13; 当△BEF ∽△AED 时,相似比k 2=BE AE =14; 当△CDF ∽△AED 时,相似比k 3=CD AE =34. 变式训练1-1:3变式训练1-2:1∶2【例2】 探究答案:1.∠DAE 2.∠D 解:△ABC ∽△ADE ,理由如下: ∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC , 即∠BAC=∠DAE ,又∵在△AOB 与△COD 中, ∠AOB=∠COD ,∠1=∠3, ∴∠B=∠D ,∴△ABC ∽△ADE. 变式训练2-1:C变式训练2-2:证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,AB ∥CD ,∴∠ADF=∠CED ,∠B+∠C=180°, ∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B , ∴∠AFD=∠C , ∴△ADF ∽△DEC.课堂训练1.D2.C3.A4.∠ADE=∠C (答案不唯一)5.解:(1)在△ABC 中, ∵∠A=90°,∠B=50°, ∴∠C=40°.∴∠A=∠A'=90°,∠C=∠C'=40°.∴△ABC ∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似). (2)在△ABC 中, ∵∠A=∠B=∠C , ∴∠A=∠B=∠C=60°, ∴∠A=∠A',∠B=∠B',∴△ABC ∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似).课后提升1.A2.D3.C4.D5.66.2.57.解:∵∠A=36°,AB=AC , ∴∠ABC=∠ACB=72°, ∵BD 平分∠ABC , ∴∠CBD=∠ABD=36°, ∠BDC=72°,∴AD=BD ,BC=BD , ∴△ABC ∽△BDC ,∴BD AB =CD BC ,即AD AC =CD AD, ∴AD 2=AC ·CD ,设AD=x ,则CD=1-x , ∴x 2=1×(1-x ), x 2+x-1=0, x=-1±√1+42=-1±√52,x 1=-1+√52,x 2=-1-√52(舍去), ∴AD=√5-12,∴AD 的长是√5-12.8.解:(1)△ABC ∽△FOA ,理由如下:在矩形ABCD 中,∠BAC+∠BCA=90°, ∵l 垂直平分AC ,∴∠OFC+∠BCA=90°, ∴∠BAC=∠OFC=∠OFA , 又∵∠ABC=∠FOA=90°, ∴△ABC ∽△FOA.(2)四边形AFCE 是菱形,理由如下: ∵AE ∥FC ,∴∠AEO=∠OFC ,∠EAO=∠OCF , ∴△AOE ∽△COF , ∵OC=OA ,∴OE=OF , 即AC 、EF 互相垂直平分, ∴四边形AFCE 是菱形.第2课时 两边成比例夹角相等或三边成比例判定相似课前预习 (1)成比例 夹角 (2)成比例课堂探究【例1】探究答案:1.45452.△DCA 解:因为AB CD =45,BC AC =45, 所以AB CD =BC AC, 又因为∠B=∠ACD , 所以△ABC ∽△DCA , 所以AB DC =AC AD, 所以AD=DC ·AC AB=152×56=254.变式训练1-1:B变式训练1-2:证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AD=DC=BC ,∠D=∠C=90°,∵M 是CD 的中点,∴AD ∶DM=2∶1, ∵BP=3PC ,∴CM ∶PC=2∶1, 即AD DM =CMPC,且∠D=∠C , ∴△ADM ∽△MCP.【例2】探究答案:1.√5 √10 5 √2 2 √10 2.√10√10√10解:相似.理由如下:AB=√5,AC=√10,BC=5, DE=√2,DF=2,EF=√10, ∵AB DE =√102,AC DF =√102,BC EF =√102, 即AB DE =AC DF =BC EF, ∴△ABC ∽△DEF.变式训练2-1:A变式训练2-2:证明:∵D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点, ∴DE 、DF 、EF 分别为△ABC 的中位线,∴DE=12BC ,DF=12AC ,EF=12AB , ∴DE CB =DF CA =EF BA =12, ∴△DEF ∽△CBA.课堂训练1.A2.C3.B4.35.解:由题知AC=√2,BC=√12+32=√10,AB=4,DF=√22+22=2√2,EF=√22+62=2√10, ED=8,∴AC DF =BC EF =AB DE =12, ∴△ABC ∽△DEF.课后提升1.C2.C3.D4.C5.B6.20°7.(4,0)或(3,2)8.解:(1)△ABC ∽△EBD ,理由如下:∵BD ·AB=BE ·BC ,∴BD BC =BE AB, 又∵∠B 为公共角,∴△ABC ∽△EBD. (2)ED ⊥AB ,理由如下:由△ABC ∽△EBD 可得∠EDB=∠C , ∵∠C=90°,∴∠EDB=90°,即ED ⊥AB. 9.解:△A'B'C'∽△ABC ,理由如下:∵OA'OA =OC'OC=3,∠AOC=∠A'OC', ∴△AOC ∽△A'OC', ∴A'C'AC =OA'OA=3, 同理B'C'BC =3,A'B'AB=3, ∴A'C'AC =B'C'BC =A'B'AB, ∴△A'B'C'∽△ABC.3.4.2 相似三角形的性质课前预习1.相似比2.(1)相似比 相似比的平方 (2)相似比 相似比的平方课堂探究【例1】 探究答案:1.△ADE 2.DE 解:∵BC ∥DE ,∴∠ABC=∠ADE ,∠ACB=∠AED , ∴△ABC ∽△ADE ,所以MC NE =BC DE, 设DE 高为x m,则0.630=0.24x,x=12. 故旗杆大致高12 m .变式训练1-1:C 变式训练1-2:1∶2【例2】 探究答案:1.相似比的平方 2.916解:(1)∵△ABC ∽△ADE ,∴AB AD =AC AE, ∵AB=15,AC=9,BD=5, ∴AD=20,∴AE=AD ·AC AB =20×915=12. 即AE 的长为12. (2)∵△ABC ∽△ADE ,∴S△ABCS△ADE=AB 2AD2=916,∴S △ADE =16×279=48, ∴S 四边形BDEC =48-27=21.变式训练2-1:A变式训练2-2:D课堂训练1.D2.D3.1∶24.1∶2 1∶45.解:因为DE ∥BC ,所以∠ADE=∠ABC ,∠AED=∠ACB , 所以△ADE ∽△ABC. 又DE BC =13,△ADE 的周长是10 cm, 所以△ABC 的周长是30 cm,所以梯形BCED 的周长为30-8+2=24(cm).课后提升1.D2.A3.B4.A5.1∶96.37.60378.8 9.(1)证明:∵E 是AB 的中点, ∴AB=2EB ,∵AB=2CD ,∴CD=EB , 又∵AB ∥CD ,∴四边形CBED 是平行四边形, ∴DE ∥CB ,∴∠EDM=∠MBF ,∠DEM=∠MFB , ∴△EDM ∽△FBM. (2)解:∵△EDM ∽△FBM ,∴DM BM =DEBF,。
九年级上册数学学法大视野
九年级上册数学学法大视野一、一元二次方程。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 解法。
- 直接开平方法。
- 对于方程x^2=k(k≥0)，解得x=±√(k)。
- 例如，方程(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。
- 配方法。
- 步骤：先将方程化为x^2+bx = c的形式，然后在等式两边加上((b)/(2))^2，将左边配成完全平方式(x+(b)/(2))^2，再进行求解。
- 例如，解方程x^2+6x - 7 = 0。
- 移项得x^2+6x=7。
- 配方：x^2+6x + 9 = 7+9，即(x + 3)^2=16。
- 解得x=-3±4，即x = 1或x=-7。
- 公式法。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 例如，方程2x^2-5x + 1 = 0，其中a = 2，b=-5，c = 1。
- 先计算Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1 = 25 - 8 = 17。
- 代入求根公式得x=(5±√(17))/(4)。
- 因式分解法。
- 把方程化为一边是零，另一边是两个一次因式积的形式，然后使每个因式分别为零，从而求出方程的解。
- 例如，方程x^2-3x + 2 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2。
3. 根的判别式。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，Δ=b^2-4ac。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。
湘教版九年级上册数学第2章 一元二次方程含答案
湘教版九年级上册数学第2章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、某公司把500万元资金投入新产品的生产，第一年获得一定的利润，在不抽掉资金和利润的前提下，继续生产，第二年的利润率提高8%，若第二年的利润达到112万元，设第一年的利润率为x，则方程可以列为（）A.500（1+x）（1+x+8%）=112B.500（1+x）（1+x+8%）=112+500 C.500（1+x）•8%=112 D.500（1+x）（x+8%）=1122、若n（）是关于x的方程的根，则m＋n的值为（）A.－2B.－1C.1D.23、下列方程没有实数根的是（）A.x 2+4x=10B.3x 2+8x﹣3=0C.x 2﹣2x+3=0D.（x﹣2）（x ﹣3）=124、下列给出的方程：①（x+1）（x﹣1）﹣x2=0；②x2+1=0；③y2﹣2y﹣1=0；④x2﹣1= ．其中是一元二次方程的是（）A.①②③B.②③④C.①②④D.②③5、用配方法解方程，配方后的方程是（）A. B. C. D.6、若方程x2+9x-a=0有两个相等的实数根，则（）A. B. C. D.7、一元二次方程2x2-x-3=0的而次项系数、常数项分别是（）A.2，1，3B.2，1，﹣3C.2，﹣1，3D.2，﹣1，﹣38、方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.2，－3，1B.2，3，－1C.2，3，1D.2，－3，－19、下列各方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）A.2x 2+3=2x（5+x）B.ax 2+c=0C.（a+1）x 2+6x+1=0D.（a 2+1）x 2﹣3x+1=010、若关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=（）A.3B.4C.5D.611、某车间要生产220件产品，做完100件后改进了操作方法，每天多加工10件，最后总共用4天完成了任务，那么改进操作方法后，每天生产的产品件数为（）A.55B.60C.50D.6512、若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两个不相等的根，则α2﹣2β的值是（）A.10B.16C.﹣2D.﹣1013、已知α，β是关于x的一元二次方程x2+ (2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数根，且满足= -1，则m的值是（）.A.3或 -1B.3C.-1D.-3 或 114、已知−1是关于x的方程x2+4x−m=0的一个根,则这个方程的另一个根是( )A.-3B.-2C.-1D.315、已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为（）A. B. C.2或3 D. 或二、填空题(共10题，共计30分)16、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张作纪念，全班共送了2070张相片．若全班有x名学生，根据题意，列出方程为________17、已知一元二次方程x2﹣7x+10=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为________18、当________时，代数式比代数式的值大2.19、一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程为________．20、一元二次方程2x2+ax+2=0的一个根是x=2，则它的另一个根是________．21、m是方程x2-6x-5=0的一个根，则代数式11+6m-m2的值是________.22、已知是方程的根，求的值为________.23、一元二次方程的根是________．24、已知实数m是关于x的方程-3x-1=0的一根，则代数式2-6m+2值为________．25、已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是________。
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课时参考答案(课前预习、课堂探究、课堂训练、课后提升) 第1章 反比例函数反比例函数 课前预习=k x≠ 零 课堂探究【例1】 探究答案:-1 k ≠0 B变式训练1-1:解:判断某函数是否是反比例函数,不是看表示变量的字母是不是有x 与y ,而要看它能否化为y=k x (k 为常数,k ≠0)的形式. 所以(2)是反比例函数,其中k=-6;(3)是反比例函数, 其中k=-3.变式训练1-2:解:(1)由三角形的面积公式,得12xy=36,于是y=72x .所以,y 是x 的反比例函数.(2)由圆锥的体积公式,得13xy=60,于是y=180x . 所以y 是x 的反比例函数.【例2】 探究答案:=k x (k ≠0) 2.(√2,-√2)解:设反比例函数的解析式为y=k x (k ≠0),因为图象过点(√2,-√2),将x=√2,y=-√2代入,得-√2=√2,解得k=-2. 因此,这个反比例函数的解析式为y=-2x ,将x=-6,y=13代入,等式成立. 所以函数图象经过-6,13.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:(1)设y 1=k 1x ,y 2=k 2x (k 1,k 2为常数,且k 1≠0,k 2≠0),则y=k 1x+k 2x. ∵x=1,y=4;x=2,y=5,∴{k 1+k 2=4,2k 1+k 22=5.解得{k 1=2,k 2=2.∴y 与x 的函数表达式为y=2x+2x .(2)当x=4时,y=2×4+24=812. 课堂训练5.解:设大约需要工人y 个,每人每天生产纪念品x 个.∴xy=100,即y=100x (x>0) ∵5≤x ≤8,∴1008≤y ≤1005, 即1212≤y ≤20,∵y 是整数,∴大约需工人13至20人. 课后提升9.解:(1)∵y 是x 的正比例函数, ∴m 2-3=1, m 2=4, m=±2. ∵m=2时,m-2=0, ∴舍去. ∴m=-2. (2)∵y 是x 的反比例函数, ∴m 2-3=-1, m 2=2,m=±√2.10.解:(1)由S=12xy=30,得y=60x, x 的取值范围是x>0.(2)由y=60x可知,y 是x 的反比例函数,系数为60. 反比例函数的图象与性质第1课时 反比例函数的图象课前预习3.(1)一、三 (2)二、四课堂探究 【例1】 探究答案:第一、三象限 > 解:(1)∵这个反比例函数图象的一支分布在第一象限, ∴m -5>0,解得m>5.(2)∵点A (2,n )在正比例函数y=2x 的图象上, ∴n=2×2=4,则A 点的坐标为(2,4).又∵点A 在反比例函数y=m -5x的图象上, ∴4=m -52,即m-5=8. ∴反比例函数的解析式为y=8x .变式训练1-1:C变式训练1-2:-52【例2】 探究答案:1.(1,5) 2.{y =k x ,y =3x +m解:(1)∵点(1,5)在反比例函数y=k x的图象上, ∴5=k 1,即k=5,∴反比例函数的关系式为y=5x .又∵点(1,5)在一次函数y=3x+m 的图象上, ∴5=3+m , ∴m=2. ∴一次函数的关系式为y=3x+2. (2)由题意可得{y =5x ,y =3x +2,解得{x 1=1,y 1=5或{x 2=-53,y 2=-3. ∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为-53,-3.变式训练2-1:A 变式训练2-2:解:(1)将A (-1,a )代入y=-x+2中, 得a=-(-1)+2,解得a=3.(2)由(1)得,A (-1,3),将A (-1,3)代入y=k x中,得到3=k -1,即k=-3,即反比例函数的表达式为y=-3x .(3)如图:过A 点作AD ⊥x 轴于D , ∵A (-1,3),∴AD=3, 在直线y=-x+2中,令y=0,得x=2, ∴B (2,0),即OB=2, ∴△AOB 的面积 S=12×OB ×AD=12×2×3=3. 课堂训练>15.解:(1)∵反比例函数y=k x与一次函数y=x+b 的图象,都经过点A (1,2), ∴将x=1,y=2代入反比例函数解析式得, k=1×2=2, 将x=1,y=2代入一次函数解析式得, b=2-1=1,∴反比例函数的解析式为y=2x ,一次函数的解析式为y=x+1. (2)对于一次函数y=x+1, 令y=0,可得x=-1; 令x=0,可得y=1. ∴一次函数图象与x 轴,y 轴的交点坐标分别为(-1,0),(0,1). 课后提升8.解:m 2=(-4)×(-9)=36,∴m=±6.∵反比例函数y=m x的图象位于第一、三象限,∴m>0,∴m=6.9.解:(1)∵y=m -5x 的一支在第一象限内,∴ m-5>0. ∴m>5. 对直线y=kx+k 来说,令y=0,得kx+k=0,即k (x+1)=0. ∵k ≠0,∴x+1=0,即x=-1. ∴点A 的坐标为(-1,0). (2)过点M 作MC ⊥AB 于点C , ∵点A 的坐标为(-1,0),点B 的坐标为(3,0), ∴AB=4,AO=1.∵S △ABM =12×AB ×MC=12×4×MC=8, ∴MC=4. 又AM=5,∴AC=3, 又OA=1,∴OC=2.∴点M 的坐标为(2,4).把M (2,4)代入y=m -5x , 得4=m -52,则m=13,∴y=8x. 第2课时 反比例函数的性质 课前预习1.在每一象限内 减小 在每一象限内 增大 =±x 坐标原点课堂探究 【例1】 探究答案:1.一、三 >0 2.减小 > 解:(1)图象的另一支在第三象限,则2n-4>0,解得n>2.(2)把点(3,1)代入y=2n -4x,得2n-4=3, 解得n=72.(3)因为在每个象限内,y 随x 的增大而减小,所以由a 1<a 2,得b 1>b 2. 变式训练1-1: A 变式训练1-2:<【例2】 探究答案:|k| |k|2 解:设点A 的坐标为a ,2a ,则点B 的坐标为-a ,-2a,∵BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,∴AC ⊥BC ,又由题意可得BC=2a ,AC=4a,S △ABC =12BC ·AC=12·2a ·4a=4.变式训练2-1:1变式训练2-2:解:设A 的坐标是(m ,n ),则n=k ,即k=mn , ∵OB=-m ,AB=n ,S 长方形ABOC =OB ·AB=(-m )n=-mn=3,∴mn=-3,∴k=-3,则反比例函数的解析式是y=-3. 课堂训练5.解:设一次函数的解析式为y=kx+b (k ≠0).∵点A 是直线与反比例函数y=2x 的交点,∴把A (1,a )代入y=2x ,得a=2.∴A (1,2).把A (1,2)和C (0,3)代入y=kx+b ,得{k +b =2,b =3. 解得k=-1,b=3.所以一次函数的解析式为:y=-x+3. 课后提升<-2或0<x<19.解:(1)图象的另一支在第三象限, ∵图象在一、三象限,∴5-2m>0,∴m<52.(2)b 1<b 2.理由如下: ∵m<52,∴m -4<m-3<0,∴b 1<b 2. 反比例函数的应用课堂探究【例1】 探究答案:1.反比例 v=P 2.减小解:(1)设反比例函数解析式为v=P F ,把(3000,20)代入上式,得20=P 3000,P=3000×20=60000, ∴v=60000F. (2)当F=1200时,v=600001200=50(米/秒)=180(千米/时),即当它所受的牵引力为1200牛时,汽车的速度为180千米/时.(3)由v=60000F≤30,得F ≥2000. 所以,若限定汽车的速度不超过30米/秒,则F 应不小于2000牛. 变式训练1-1:C 变式训练1-2: 【例2】 探究答案: -2 2.图象解:(1)∵双曲线y=k 2x经过点A (1,2),∴k 2=2. ∴双曲线的解析式为y=2x .∵点B (m ,-1)在双曲线y=2x 上,∴m=-2,则B (-2,-1). 由点A (1,2),B (-2,-1)在直线y=k 1x+b 上,得{k 1+b =2,-2k 1+b =-1,解得{k 1=1,b =1.∴直线的解析式为y=x+1. (2)y 2<y 1<y 3. (3)x>1或-2<x<0. 变式训练2-1:C变式训练2-2:解:(1)直线y=12x+b 经过第一、二、三象限,与y 轴交于点B , ∴OB=b , ∵点A (2,t ),△AOB 的面积等于1.∴12×2×b=1,可得b=1,即直线为y=12x+1.(2)由点A (2,t )在直线y=12x+1上,可得t=2,即点A 坐标为(2,2),反比例函数y=k x (k 是常量,k ≠0)的图象经过点A ,可得k=4,所求反比例函数解析式为y=4x . 课堂训练4.(1,-2)5.解:(1)将A (2,4)代入反比例函数解析式得m=8,∴反比例函数解析式为y 2=8x,将B (-4,n )代入反比例函数解析式得n=-2, 即B (-4,-2), 将A 与B 坐标代入一次函数解析式得,{2k +b =4,-4k +b =-2,解得{k =1,b =2.则一次函数解析式为y 1=x+2. (2)联立两函数解析式得{y =x +2,y =8x ,解得{x =2,y =4或{x =-4,y =-2,则y 1=y 2时,x 的值为2或-4. (3)利用题图象得,y 1>y 2时, x 的取值范围为-4<x<0或x>2. 课后提升<0或1<x<4 7.(3,2)9.解:(1)∵反比例函数y=k x的图象过B (4,-2)点, ∴k=4×(-2)=-8,∴反比例函数的解析式为y=-8x.∵反比例函数y=-8x 的图象过点A (-2,m ),∴m=-8-2=4,即A (-2,4). ∵一次函数y=ax+b 的图象过A (-2,4),B (4,-2)两点, ∴{-2a +b =4,4a +b =-2,解得{a =-1,b =2. ∴一次函数的解析式为y=-x+2. (2)∵直线AB :y=-x+2交x 轴于点C , ∴C (2,0). ∵AD ⊥x 轴于D ,A (-2,4), ∴CD=2-(-2)=4,AD=4,∴S △ADC =12·CD ·AD=12×4×4=8.10.解:(1)把A (m ,2)代入反比例函数解析式y=2x 得2=2m ,所以m=1. ∴A (1,2). (2)把A (1,2)代入正比例函数解析式y=kx 得2=k ,所以k=2,因此正比例函数的解析式为y=2x. (3)因为正比例函数的解析式为y=2x ,当x=2时,y ≠3,所以点B (2,3)不在正比例函数图象上. 第2章 一元二次方程一元二次方程课前预习1.一个 2 整式 3.相等课堂探究 【例1】 探究答案: =2 2.≠0 解:根据题意,得m 2-2=2,且m-2≠0. 解得m=±2,且m ≠2.所以m=-2. 则m 2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=-4. 变式训练1-1:C变式训练1-2:≠±1 =12【例2】 探究答案:1.移项 合并同类项 2.符号 0 解:(1)去括号,得 4t 2+12t+9-2(t 2-10t+25)=-41, 去括号、移项、合并得2t 2+32t=0, 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2,32,0.(2)去括号,得12x 2-x+12=3x+13,移项、合并,得12x 2-4x+16=0,所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为12,-4,16.变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:{m 2-2=2,m +2≠0,?解得m=±2且m ≠-2. ∴m=2. 【例3】 探究答案:1.根 2.≠0 解:根据题意,得(m-2)×12+(m 2-3)×1-m+1=0, 即m 2-4=0,故m 2=4, 解得m=2或m=-2. ∵方程(m-2)x 2+(m 2-3)x-m+1=0是关于x 的一元二次方程, ∴m -2≠0,即m ≠2.故m=-2. 变式训练3-1:1 变式训练3-2:解:把x=0代入方程得a 2-1=0, ∴a=±1, ∵a -1≠0,∴a ≠1, ∴a=-1. 课堂训练5.解:去括号,得9x 2+12x+4=4x 2-24x+36. 移项、合并同类项得,5x 2+36x-32=0. ∴它的二次项为5x 2 二次项系数为5, 一次项为36x , 一次项系数为36,常数项为-32. 课后提升(x+5)=300 x 2+5x-300=0 1 5 -300 8.≠1 =19.解:(1)去括号,得x 2-4=3x 2+2x , 移项,得-2x 2-2x-4=0,二次项系数为-2,一次项系数为-2,常数项为-4. (2)去括号,移项合并,得(1-2a )x 2-2ax=0,二次项系数为1-2a ,一次项系数为-2a ,常数项为0. 10.解:小明的话有道理. 理由:若方程为一元二次方程,则m+1=2,m=1. 而m=1时,m 2+m-2=0, 所以此方程不可能为一元二次方程.一元二次方程的解法配方法 第1课时 用配方法解简单的一元二次方程 课前预习1.(1)平方根2.(1)a 2±2ab+b 2 (2)完全平方式课堂探究 【例1】 探究答案:-a ±√b 没有解:移项,得2(x+1)2=92,两边同时除以2,得(x+1)2=9, ∴x+1=±32,∴x 1=-1+32=12,x 2=-1-32=-52.变式训练1-1:m ≥7 变式训练1-2:解:(1)移项,得(2x-1)2=25, 开平方得2x-1=±5, ∴2x-1=5或2x-1=-5, 解这两个方程得:x 1=3,x 2=-2. (2)两边同除以3,得(x-2)2=4, 开平方得:x-2=±2, ∴x -2=2或x-2=-2. 解这两个方程,得x 1=4,x 2=0. 【例2】 探究答案:一次项系数一半的平方解:移项,得x 2-12x=12,配方,得x 2-12x+(14)2=916,(x -14)2=916, ∴x -14=34或x-14=-34,∴x 1=1,x 2=-12.变式训练2-1:±43变式训练2-2:解:移项,得x 2-2x=2,配方,得(x-1)2=3,解得x=1±√3.∴x 1=1+√3,x 2=1-√3.课堂训练3.±324.±85.解:(1)移项得x 2-2x=1,配方,得x 2-2x+1=2,即(x-1)2=2,开方,得x-1=±√2,则x 1=1+√2,x 2=1-√2.(2)移项,得x 2-4x=-1, 配方,得x 2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3,开方,得x-2=±√3, ∴原方程的解是x 1=2+√3,x 2=2-√3.课后提升cm 28.解:(1)直接开平方得,x-1=±√3,即x-1=√3或x-1=-√3,∴x 1=1+√3,x 2=1-√3.(2)配方,得x 2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5.∴x -1=±√5,即x-1=√5或x-1=-√5∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.(3)方程两边都除以2,得x 2-32=-52x ,移项,得x 2+52x=32.配方,得x 2+52x+542=32+542, 即x+542=4916. 开平方得,x+54=±74,∴x 1=12,x 2=-3.9.解:用配方法解方程a 2-10a+21=0,得a 1=3,a 2=7. 当a=3时,3、3、7不能构成三角形; 当a=7时,三角形周长为3+7+7=17. 10.解:移项得x 2+px=-q ,配方得x 2+px+p22=-q+p22,即x+p 22=p 2-4q 4. ∵p 2≥4q , ∴p 2-4q ≥0,∴x+p 2=±√p 2-4q 2. ∴x 1=-p+√p 2-4q2,x 2=-p -√p 2-4q2.第2课时 用配方法解复杂的一元二次方程课前预习 (1)1 (2)二次项和一次项 常数项 (3)一次项系数一半的平方课堂探究【例1】 探究答案: 2.完全平方式解:两边同时除以2,得x 2-32x+12=0,移项,得x 2-32x=-12,配方,得x 2-32x+(-34)2=-12+(-34)2, 即(x -34)2=116, 两边开平方,得x-34=±14,x-34=14或x-34=-14, ∴原方程的解为x 1=1,x 2=12.变式训练1-1:D 变式训练1-2:解:(1)二次项系数化为1,得x 2-16x-2=0,移项,得x 2-16x=2,配方,得x 2-16x+1144=2+1144, 即x-1122=289144, ∴x -112=±1712,∴x 1=32,x 2=-43.(2)二次项系数化为1,得x 2-12x-12=0.移项,得x 2-12x=12. 配方得x 2-12x+142=12+142,即x-142=916, ∴x -14=±34,∴x 1=1,x 2=-12.【例2】 探究答案: 2.减去 解:2x 2-4x+5=2(x 2-2x )+5 =2(x 2-2x+12-12)+5 =2(x-1)2+3 ∵2(x-1)2≥0, ∴2(x-1)2+3>0, ∴代数式2x 2-4x+5的值总是一个正数.变式训练2-1:13 变式训练2-2:解:x 2-4x+5=x 2-4x+22-22+5 =(x-2)2+1. ∵(x-2)2≥0,且当x=2时值为0, ∴当x=2时, 代数式x 2-4x+5的值最小,最小值为1. 课堂训练=-2,x 2=12或-7 或3 6.解:由题意得2x 2-x=x+6,∴2x 2-2x=6, ∴x 2-x=3,∴x 2-x+14=3+14, ∴x-122=134,∴x -12=±√132, ∴x 1=1+√132,x 2=1-√132. ∴x=1+√132或1-√132时,整式2x 2-x 与x+6的值相等. 课后提升=1+√3,x 2=1-√3±2√29.解:去括号,得4x 2-4x+1=3x 2+2x-7, 移项,得x 2-6x=-8,配方,得(x-3)2=1, ∴x -3=±1,∴x 1=2,x 2=4. 10.解:由题意,得2x 2+x-2+(x 2+4x )=0, 化简,得3x 2+5x-2=0.系数化为1,得x 2+53x=23, 配方,得x+562=4936,∴x+56=±76, ∴x 1=-2,x 2=13.公式法课前预习=-b±√b 2-4ac2a (b 2-4ac ≥0)2.求根公式 课堂探究【例1】 探究答案:1.一般形式 、b 、c 解:原方程可化为x 2+2x-1=0, ∵a=1,b=2,c=-1. b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8>0,∴x=-2±√82×1=-2±2√22=-1±√2. ∴x 1=-1+√2,x 2=-1-√2.变式训练1-1:D 变式训练1-2:解:(1)移项,得2x 2+3x-1=0, ∵a=2,b=3,c=-1,∴b 2-4ac=17>0,∴x=-3±√174, ∴x 1=-3+√174,x 2=-3-√174. (2)化简得,x 2+5x+5=0, ∴a=1,b=5,c=5, ∴b 2-4ac=5>0,∴x=-5±√5,∴x 1=-5+√52,x 2=-5-√52. 【例2】 探究答案:1.一元二次方程有实数根 2.相等 解:原方程可化为2x 2+2√2x+1=0,∵a=2,b=2√2,c=1,∴b 2-4ac=(2√2)2-4×2×1=0,∴x=-2√2±√02×2=-√22. ∴x 1=x 2=-√22. 变式训练2-1:解:(1)b 2-4ac=(-2)2-4×1×1=4-4=0. ∴此方程有两个相等的实数根. (2)b 2-4ac=72-4×(-1)×6=49+24=73>0. ∴此方程有两个不相等的实数根. 变式训练2-2:C 课堂训练4.解:(1)b 2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=16+8=24>0.∴x=-b±√b 2-4ac 2a =4±√242×2=4±2√64=2±√62. ∴x 1=2+√62,x 2=2-√62. (2)整理,得4x 2+12x+9=0, 所以a=4,b=12,c=9. 因为b 2-4ac=122-4×4×9=0, 所以方程有两个相等的实数根,所以x=-b±√b 2-4ac 2a =-12±√02×4=-128=-32. ∴x 1=x 2=-32.课后提升5.-1+√32,-1-√32=1,x 2=12或16 8.解:整理得x 2+2x-1=0, b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8,x=-2±√82×1=-2±2√22=-1±√2,∴x 1=-1+√2,x 2=-1-√2.9.解:(1)x 2-4x-1=0, ∵a=1,b=-4,c=-1, ∴Δ=(-4)2-4×1×(-1)=20,∴x=4±√202×1=2±√5,∴x 1=2+√5,x 2=2-√5.(2)∵3x (x-3)=2(x-1)(x+1), ∴x 2-9x+2=0, ∵a=1,b=-9,c=2, ∴Δ=(-9)2-4×1×2=73>0,∴x=-b±√b 2-4ac =9±√73,∴x 1=9+√732,x 2=9-√732.10.解:由题意得,m 2+1=2, 且m+1≠0, 解得m=1. 所以原方程为2x 2-2x-1=0, 这里a=2,b=-2,c=-1. b 2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12.∴x=2±2√34=1±√32,∴x 1=1+√32,x 2=1-√32.因式分解法 课前预习1.(2)(a-b )(a+b ) (a ±b )22.一次因式 0 0课堂探究【例1】 探究答案:x [(x+2)-4] 3(x-5)2-2(5-x )=0(x-5)(3x-13) 解:(1)x (x+2)-4x=0,x [(x+2)-4]=0, 即x (x-2)=0, ∴x=0或x-2=0, ∴x 1=0,x 2=2. (2)3(x-5)2=2(5-x ), 3(x-5)2-2(5-x )=0, (x-5)[3(x-5)+2]=0, ∴x -5=0或3x-15+2=0,∴x 1=5,x 2=133.变式训练1-1:C 变式训练1-2:解:(1)(3x-4)2=3(3x-4), ∴(3x-4)(3x-7)=0, ∴x 1=43,x 2=73.(2)3(x+2)2=(x+2)(x-2), (x+2)[3(x+2)-(x-2)]=0, ∴(x+2)(2x+8)=0, ∴x 1=-2,x 2=-4.【例2】 探究答案:直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 解:(1)公式法:∵a=1,b=-3,c=1, ∴b 2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0, ∴x=-(-3)±√52×1, ∴x 1=3+√52,x 2=3-√52. (2)因式分解法:原方程可化为x (x-3)=0, ∴x=0或x-3=0 ∴x 1=0,x 2=3. (3)配方法:配方,得x 2-2x+1=4+1, 即(x-1)2=5,∴x -1=±√5,∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.变式训练2-1:C 变式训练2-2:解:(1)用直接开平方法:原方程可化为 (x-3)2=4, ∴x -3=±2, ∴x 1=5,x 2=1. (2)用配方法:移项,得x 2-4x=7. 配方,得x 2-4x+4=7+4, 即(x-2)2=11,∴x -2=±√11∴x -2=√11或x-2=-√11,∴x 1=2+√11,x 2=2-√11.(3)用因式分解法:方程两边分别分解因式,得 (x-3)2=2(x-3)(x+3), 移项,得(x-3)2-2(x-3)(x+3)=0. 方程左边分解因式,得(x-3)[(x-3)-2(x+3)]=0, 即(x-3)(-x-9)=0, ∴x -3=0或-x-9=0. ∴x 1=3,x 2=-9. 课堂训练或45.解:(1)∵a=3,b=1,c=-1, ∴b 2-4ac=12-4×3×(-1)=13>0,∴x=-1±√132×3∴x 1=-1+√136,x 2=-1-√136. (2)移项,得(3x-2)2-4(3-x )2=0, 因式分解, 得[(3x-2)+2(3-x )][(3x-2)-2(3-x )]=0, 即(x+4)(5x-8)=0, ∴x+4=0或5x-8=0,∴x 1=-4,x 2=85.(3)将原方程整理,得x 2+x=0, 因式分解,得x (x+1)=0, ∴x=0或x+1=0, ∴x 1=0,x 2=-1. 课后提升=3,x 2=9 9.解:(1)用求根公式法解得y 1=3,y 2=-8.(2)用分解因式法解得x 1=52,x 2=-1.(3)用求根公式法解得 y 1=-2+√22,y 2=-2-√22. 10.解:解方程x (x-7)-10(x-7)=0, 得x 1=7,x 2=10. ∵4<第三边长<10, ∴x 2=10(舍去).第三边长为7. 这个三角形的周长为3+7+7=17.一元二次方程根的判别式课前预习≠0 2.(1)> (2)= (3)<课堂探究 【例1】 探究答案:1.一般形式 、b 、c b 2-4ac 解:(1)原方程可化为x 2-6x+9=0, ∵Δ=b 2-4ac=(-6)2-4×1×9=0, ∴原方程有两个相等的实数根.(2)原方程可化为x2+3x+1=0,∵Δ=b2-4ac=32-4×1×1=5>0,∴原方程有两个不相等的实数根.(3)原方程可化为3x2-2√6x+3=0.∵Δ=b2-4ac=(-2√6)2-4×3×3=-12<0,∴原方程无实数根.变式训练1-1:A变式训练1-2:B【例2】探究答案:1.≥解:由题意知:b2-4ac≥0,即42-8k≥0,解得k≤2.∴k的非负整数值为0,1,2.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:∵a=2,b=t,c=2.∴Δ=t2-4×2×2=t2-16,令t2-16=0,解得t=±4,当t=4或t=-4时,原方程有两个相等的实数根.课堂训练<-15.解:(1)当m=3时,Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8<0,∴原方程没有实数根.(2)当m=-3时,x2+2x-3=0,x2+2x=3,x2+2x+1=3+1,(x+1)2=4,∴x+1=±2,∴x1=1,x2=-3.课后提升>1<2且m≠1或12或109.解:由题意,得{b2-4ac=(-2√k+1)2-4(1-2k)(-1)>0①1-2k≠0②k+1≥0③由①,得4(k+1)+4-8k>0,即-4k>-8,解得k<2.由②得,k≠12,由③得,k≥-1.∴-1≤k<2且k≠12. 10.解:(1)Δ=b2-4ac=4-4(2k-4)=20-8k.∵方程有两个不等的实根,∴20-8k>0,∴k<52.(2)∵k 为正整数, ∴0<k<52(且k 为整数),即k 为1或2,∴x=-1±√5-2k . ∵方程的根为整数,∴5-2k 为完全平方数. 当k=1时,5-2k=3;当k=2时,5-2k=1. ∴k=2. * 一元二次方程根与系数的关系课前预习-b a c a课堂探究【例1】 探究答案: a+b ab解:因为方程x 2-x-1=0的两实根为a 、b. 所以(1)a+b=1; (2)ab=-1; (3)a 2+b 2=(a+b )2-2ab=12-2×(-1)=3;(4)1a +1b =a+b ab=-1. 变式训练1-1:-2变式训练1-2:-658【例2】 探究答案:(m+1) 2.>0 解:∵方程有两个不相等的实数根, ∴Δ=b 2-4ac=[-2(m+1)]2-4×1×(m 2-3) =16+8m>0, 解得m>-2; 根据根与系数的关系可得x 1+x 2=2(m+1), ∵(x 1+x 2)2-(x 1+x 2)-12=0, ∴[2(m+1)]2-2(m+1)-12=0,解得m 1=1或m 2=-52. ∵m>-2,∴m 2=-52(舍去),∴m=1. 变式训练2-1:1 变式训练2-2:解:∵x 1+x 2=2,∴m=2. ∴原方程为x 2-2x-3=0,即(x-3)(x+1)=0, 解得x 1=3,x 2=-1. 课堂训练5.解:设x 1,x 2是方程的两个实数根,∴x 1+x 2=-32,x 1x 2=1-m 2. 又∵1x 1+1x 2=3,∴x 1+x 2x 1x 2=3, ∴-3=3, ∴-3=3-3m ,∴m=2, 又∵当m=2时,原方程的Δ=17>0, ∴m 的值为2. 课后提升9.解:将-2代入原方程得:(-2)2-2+n=0, 解得n=-2, 因此原方程为x 2+x-2=0, 解得x 1=-2,x 2=1, ∴m=1. 10.解:(1)根据题意得m ≠1 Δ=(-2m )2-4(m-1)(m+1)=4,∴x 1=2m+22(m -1)=m+1m -1, x 2=2m -22(m -1)=1. (2)由(1)知x 1=m+1m -1=1+2m -1 又∵方程的两个根都是正整数,∴2m -1是正整数, ∴m -1=1或2. ∴m=2或3.一元二次方程的应用第1课时 增长率与利润问题 课前预习(1±x ) 2.(1)单件售价 (2)单件利润课堂探究 【例1】探究答案:(1)10000(1+x ) 10000(1+x )2(2)12100(1+x ) 解:(1)设捐款增长率为x ,根据题意列方程得, 10000(1+x )2=12100, 解得x 1=,x 2=(不合题意,舍去); 答:捐款增长率为10%. (2)12100×(1+10%)=13310元. 答:第四天该单位能收到13310元捐款. 变式训练1-1:A变式训练1-2:B【例2】探究答案:200+40x3-2-x0.1解:设应将每千克小型西瓜的售价降低x元.-24=200.根据题意,得(3-2-x)200+40x0.1解这个方程,得x1=,x2=.答:应将每千克小型西瓜的售价降低元或元.变式训练2-1:2或6变式训练2-2:解:设每件童装应降价x元.根据题意得(40-x)(20+2x)=1200,解这个方程得x1=10,x2=20.因为在相同利润的条件下要扩大销售量,减少库存,所以应舍去x1=10.答:每件童装应降价20元.课堂训练%5.解:设每千克核桃应降价x元.×20)=2240根据题意得(60-x-40)(100+x2解这个方程得x1=4,x2=6.答:每千克核桃应降价4元或6元.课后提升%(1+x)2=%9.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人,由题意,得1+x+x(1+x)=64,解之,得x1=7,x2=-9.答:每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)7×64=448.答:又有448人被传染.10.解:(1)设每年市政府投资的增长率为x,根据题意,得:2+2(1+x)+2(1+x)2=,整理,得x2+=0,解之,得x1=,x2=(舍去)所以每年市政府投资的增长率为50%.=38(万平方米).(2)到2013年年底共建廉租房面积=×82第2课时面积与动点问题课堂探究【例1】探究答案:1.(6-x)2x2.1(6-x)·2x=82解:设经过x秒钟后,△PBQ的面积等于8cm2.根据题意得1(6-x)·2x=8.解这个方程得x1=2,x2=4.答:经过2秒或4秒后,△PBQ的面积等于8cm2.变式训练1-1:解:(1)由勾股定理:AC=5cm,设x秒钟后,P、Q之间的距离等于5cm,这时PC=5-x,CQ=2x,则(5-x)2+(2x)2=52,即x2-2x=0.解这个方程,得x1=0,x2=2,其中x1=0不合题意,舍去.答:再运动2秒钟后,P、Q间的距离又等于5cm.(2)设y秒钟时,可使△PCQ的面积等于4cm2.1×(5-y)×2y=4,2即y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.经检验,它们均符合题意.答:1秒钟或4秒钟时,△PCQ的面积等于4cm2.变式训练1-2:解:设应移动x米.OA=√AB2-OB2=3米.则由题意得(3+x)2+(4-x)2=52.解这个方程得x1=1,x2=0(不合题意,舍去).答:应移动1米.【例2】探究答案:(100-2x)(50-2x)解:设正方形观光休息亭的边长为x米.依题意,有(100-2x)(50-2x)=3600.整理,得x2-75x+350=0.解得x1=5,x2=70.∵x=70>50,不合题意,舍去,∴x=5.答:矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米,根据题意,得,(40-2x)(60-3x)=60×40×14解之,得x1=10,x2=30(不符合题意,舍去).答:两块绿地周围的硬化路面的宽都是10米.课堂训练5.解:设花边的宽为x米,根据题意,得(2x+6)(2x+3)=40..解得x1=1,x2=-112不合题意,舍去.但x2=-112答:花边的宽为1米. 课后提升459.解:(1)设小货车原计划每辆每次运送帐篷x 顶,则大货车原计划每辆每次运送帐篷(x+200)顶,根据题意,得 2[8x+2(x+200)]=16800,解得x=800, x+200=800+200=1000.故大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶,800顶.(2)根据题意,得2(1000-200m )1+12m +8(800-300)(1+m )=14400, 化简为m 2-23m+42=0,解得m 1=2,m 2=21.∵1000-200m 不能为负数,且12m 为整数,∴m 2=21(不符合实际,舍去),故m 的值为2.10.解:设x 秒后四边形APQB 的面积是△ABC 面积的23,在Rt △ABC 中,AB=10,AC=8, 由勾股定理,得 BC 2=AB 2-AC 2=102-82=36, ∴BC=6.则12(8-2x )(6-x )=13×12×6×8,解得x 1=2,x 2=8(不合题意,舍去), ∴2秒后四边形APQB 的面积是△ABC 面积的23. 第3章 图形的相似比例线段比例的基本性质课前预习1.(1)比值 比值 (2)比例内项2.(1)bc课堂探究 【例1】 探究答案:1.3x 3y =2y3y x y =23 =4x 7∶4 解:(1)∵3x=2y ,∴3x 3y =2y 3y,即x y =23.(2)∵7x =4y, ∴7y=4x ,x y =74. 变式训练1-1:D 变式训练1-2:4【例2】 探究答案:1.23解:∵AD AB =AE AC =DE BC =23, ∴AD+AE+DE =2, 即△ADE 的周长△ABC 的周长=23. 设△ADE 和△ABC 的周长分别为2x cm 和3x cm,则有3x-2x=15,得x=15. ∴△ABC 的周长为45 cm,△ADE 的周长为30 cm . 变式训练2-1:D变式训练2-2:解:设x 3=y 5=z 7=k ,则x=3k ,y=5k ,z=7k , ∴x -y+z x+y -z =3k -5k+7k 3k+5k -7k =5k k=5. 课堂训练∶3=4∶6(答案不唯一) 4.135.解:因为m -n n =23, 所以3(m-n )=2n , 化简得3m=5n ,所以m n =53,则3m+2n n =3m n +2=m n ×3+2=53×3+2=7. 课后提升6.52 72 √3 或-19.解:∵a∶b∶c=1∶2∶4, 设a=k ,b=2k , c=4k ,则a+2b+3c a -b+c =k+4k+12k k -2k+4k =17k 3k =173. 10.解:∵a b =c d =e f =23,∴2a 2b =-c -d =-5e -5f =23. ∴2a -c -5e 2b -d -5f =23. 成比例线段课前预习∶n AB =m 2.a b =c d3.BC AC 黄金比 √5-12≈ 课堂探究【例1】探究答案:1.(12-x ) x 12-x =64 2.DB AB =EC AC 解:(1)设AD=x cm,则DB=(12-x )cm .则有x 12-x =64,解这个方程得x=, 所以AD= cm .(2)DB AB =12-7.212=25,EC AC =46+4=25, 所以DB AB =EC AC , 所以线段DB 、AB 、EC 、AC 是成比例线段. 变式训练1-1:B变式训练1-2:解:利用比例线段的定义, ∵a=1 mm = cm,b= cm, c= cm,d=4 cm,∴d>b>a>c ,而d b =40.8=5,a c =0.10.02=5, ∴d b =a c,∴d 、b 、a 、c 四条线段是成比例线段.【例2】 探究答案:1.AC AB =CB AC 2.3x+3=x 3 解:设CB=x ,∵点C 为线段AB 的黄金分割点,∴AC AB =CB AC ,即3x+3=x 3,得9=x (x+3), 解得x 1=3√5-32,x 2=-3√5-32(舍去). 故CB 的长为3√5-32.变式训练2-1:C 变式训练2-2:解:因为点C 是AB 的黄金分割点,所以当AC>BC 时,AC =√5-1. 又因为AB=10 cm,所以AC=√5-12×10=(5√5-5)(cm),当AC<BC 时,BC =√5-1, 所以BC=√5-12×10=(5√5-5)(cm),所以AC=AB-BC=10-(5√5-5)=(15-5√5)(cm), 所以AC 的长为(5√5-5)cm 或(15-5√5)cm .课堂训练2.45 35 √5 4.=5.解:(1)a∶b=c∶d ,即a∶=∶1, 则a=×=. (2)a∶b=c∶d ,即3∶7=c∶21,则7c=21×3,得c=9. 课后提升8.√5-12或3-√529.解:设相邻两个钉子之间的距离为1个单位长度, 则AD=2,BD=5,BE=5, CE=1,CF=4,AF=3. 在直角三角形ABD 中,AB=√AD 2+BD 2=√22+52=√29,在直角三角形BCE 中,BC=√BE 2+CE 2=√52+12=√26,在直角三角形ACF 中,AC=√CF 2+AF 2=√42+32=5,所以AB =√29,BC =√26. 10.解:设每一份为k , 由(a-c )∶(a+b )∶(c-b )=(-2)∶7∶1,得{a -c =-2k,a +b =7k,c -b =k,解得{a =3k,b =4k,c =5k,而(3k )2+(4k )2=(5k )2, 即a 2+b 2=c 2, 所以△ABC 是直角三角形.平行线分线段成比例课前预习(1)在另一条直线上截得的线段也相等 (2)对应线段 (3)成比例课堂探究 【例1】探究答案:1.35 2.DE DF 解:∵l 1∥l 2∥l 3,∴AB AC =DE DF , ∵AB BC =32,∴AB AC =35, ∴DE DF =35, 由DF=20 cm,得DE=3DF=12 cm,∴EF=DF -DE=8 cm . 变式训练1-1:D变式训练1-2:12【例2】 探究答案:1.AE AC x-4 x -4x -3=4x D 变式训练2-1:B 变式训练2-2:A 课堂训练5.解:∵DE ⊥AB ,CB ⊥AB , ∴DE ∥BC ,∴AD AB =AE AC ,即35=5AC, ∴AC=253.∴BC=√AC 2-AB 2=√(253)?2-52=203. 课后提升9.解:∵DE ∥BC ,DF ∥AC , ∴四边形EDFC 为平行四边形, ∴DE=FC=5, 又∵DF ∥AC ,∴AD BD =CF BF ,即48=5BF,得BF=10. 10.解:∵DE ∥BC ,∴AD AB =AE AC. 又∵EF ∥CD ,∴AF AD =AE AC , ∴AD AB =AF AD, ∴AD 2=AB ·AF=36, ∴AD=6 cm .相似图形课前预习1.(1)对应相等 对应成比例 (2)∽ △ABC 相似于△A'B'C'(3)相等 成比例 2.(1)对应角 成比例 (2)相等 等于相似比 课堂探究【例1】 探究答案:1.∠A' ∠B' ∠C' °-∠A-∠B 解:∵△ABC ∽△A'B'C', ∴∠B=∠B'=60°, 在△ABC 中,∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°. 变式训练1-1:50 变式训练1-2:1∶2 【例2】探究答案:(1)CD CB (2)77° 83° 解:因为四边形ABCD ∽四边形EFGH , ∴∠F=∠B=77°,∠G=∠C=83°,EF AB =GH CD =FG BC =418=29, ∴∠H=360°-(∠E+∠F+∠G )=83°,BC=FG ÷29=6×92=27,CD=GH ÷29=7×92=.变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:由四边形ABCD 与四边形A'B'C'D'相似得, x =12=10, ∠A=∠A'=120°,∴x=21×1015=14,y=12÷1015=12×32=18,∠α=360°-(∠A+∠B+∠C )=80°. 课堂训练或25 5.解:因为梯形AEFD ∽梯形EBCF ,所以AD EF =EF BC =AE EB, 又因为AD=4,BC=9, 所以EF 2=AD ·BC=4×9=36,所以EF=6,所以AE EB =AD EF =46=23. 课后提升30° ° 140° 1 8.√5+129.解:∵四边形ABCD 与四边形EFGH 相似, ∴∠E=∠A=70°,∠F=∠B=80°. ∴∠G=360°-70°-80°-150°=60°.∵AB EF =AD EH, ∴AB=EF ·AD EH =5×86=203. ∵BC FG =AD EH, ∴BC=FG ·AD EH =7×86=566=283. 10.解:∵△ABC ∽△APQ ,∴AB AP =BC PQ, 即4040+60=30PQ , 解得PQ=75. 答:PQ 的长为75 cm .相似三角形的判定与性质相似三角形的判定 第1课时 两角对应相等或平行判定相似课前预习 (1)相似 (2)相等课堂探究【例1】 探究答案: 3.△EDA △DFC 解:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD ,AD ∥BC , ∴△BEF ∽△CDF ,△BEF ∽△AED , ∴△BEF ∽△CDF ∽△AED.当△BEF ∽△CDF 时,相似比k 1=BE CD =13; 当△BEF ∽△AED 时,相似比k 2=BE AE =14; 当△CDF ∽△AED 时,相似比k 3=CD AE =34. 变式训练1-1:3变式训练1-2:1∶2 【例2】 探究答案:1.∠DAE 2.∠D 解:△ABC ∽△ADE ,理由如下: ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC , 即∠BAC=∠DAE , 又∵在△AOB 与△COD 中, ∠AOB=∠COD ,∠1=∠3, ∴∠B=∠D , ∴△ABC ∽△ADE. 变式训练2-1:C 变式训练2-2:证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,AB ∥CD , ∴∠ADF=∠CED ,∠B+∠C=180°, ∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B , ∴∠AFD=∠C , ∴△ADF ∽△DEC. 课堂训练4.∠ADE=∠C (答案不唯一)5.解:(1)在△ABC 中, ∵∠A=90°,∠B=50°, ∴∠C=40°. ∴∠A=∠A'=90°,∠C=∠C'=40°. ∴△ABC ∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似).(2)在△ABC 中, ∵∠A=∠B=∠C , ∴∠A=∠B=∠C=60°, ∴∠A=∠A',∠B=∠B', ∴△ABC ∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似). 课后提升解:∵∠A=36°,AB=AC ,∴∠ABC=∠ACB=72°, ∵BD 平分∠ABC , ∴∠CBD=∠ABD=36°, ∠BDC=72°,∴AD=BD ,BC=BD , ∴△ABC ∽△BDC ,∴BD AB =CD BC ,即AD AC =CD AD, ∴AD 2=AC ·CD , 设AD=x ,则CD=1-x , ∴x 2=1×(1-x ), x 2+x-1=0,x=-1±√1+42=-1±√52, x 1=-1+√52,x 2=-1-√52(舍去), ∴AD=√5-12,∴AD 的长是√5-12.8.解:(1)△ABC ∽△FOA ,理由如下:在矩形ABCD 中,∠BAC+∠BCA=90°, ∵l 垂直平分AC , ∴∠OFC+∠BCA=90°, ∴∠BAC=∠OFC=∠OFA , 又∵∠ABC=∠FOA=90°, ∴△ABC ∽△FOA. (2)四边形AFCE 是菱形,理由如下: ∵AE ∥FC , ∴∠AEO=∠OFC ,∠EAO=∠OCF , ∴△AOE ∽△COF , ∵OC=OA ,∴OE=OF , 即AC 、EF 互相垂直平分, ∴四边形AFCE 是菱形.第2课时 两边成比例夹角相等或 三边成比例判定相似 课前预习(1)成比例 夹角 (2)成比例 课堂探究【例1】探究答案:1.45 45 2.△DCA解:因为AB CD =45,BC AC =45, 所以AB CD =BC AC, 又因为∠B=∠ACD , 所以△ABC ∽△DCA ,所以AB DC =AC AD, 所以AD=DC ·AC =152×5=25. 变式训练1-1:B 变式训练1-2:证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AD=DC=BC ,∠D=∠C=90°, ∵M 是CD 的中点,∴AD∶DM=2∶1, ∵BP=3PC ,∴CM∶PC=2∶1,即AD DM =CM PC,且∠D=∠C , ∴△ADM ∽△MCP.【例2】探究答案:1.√5 √10 5 √2 2 √102.√102 √102 √102解:相似.理由如下:AB=√5,AC=√10,BC=5,DE=√2,DF=2,EF=√10,∵AB DE =√102,AC DF =√102,BC EF =√102, 即AB DE =AC DF =BC EF , ∴△ABC ∽△DEF. 变式训练2-1:A 变式训练2-2:证明:∵D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点, ∴DE 、DF 、EF 分别为△ABC 的中位线,∴DE=12BC ,DF=12AC ,EF=12AB ,∴DE CB =DF CA =EF BA =12, ∴△DEF ∽△CBA. 课堂训练5.解:由题知AC=√2,BC=√12+32=√10,AB=4,DF=√22+22=2√2,EF=√22+62=2√10,ED=8,∴AC DF =BC EF =AB DE =12, ∴△ABC ∽△DEF.课后提升° 7.(4,0)或(3,2)8.解:(1)△ABC ∽△EBD ,理由如下:∵BD ·AB=BE ·BC ,∴BD BC =BE AB ,又∵∠B 为公共角,∴△ABC ∽△EBD. (2)ED ⊥AB ,理由如下: 由△ABC ∽△EBD 可得∠EDB=∠C , ∵∠C=90°,∴∠EDB=90°,即ED ⊥AB.9.解:△A'B'C'∽△ABC ,理由如下:∵OA'OA =OC'OC =3,∠AOC=∠A'OC',∴△AOC ∽△A'OC',∴A'C'AC =OA'OA =3,同理B'C'BC =3,A'B'AB =3,∴A'C'=B'C'=A'B',∴△A'B'C'∽△ABC.相似三角形的性质 课前预习1.相似比2.(1)相似比 相似比的平方 (2)相似比 相似比的平方课堂探究【例1】 探究答案:1.△ADE 解:∵BC ∥DE , ∴∠ABC=∠ADE ,∠ACB=∠AED , ∴△ABC ∽△ADE ,所以MC NE =BC DE ,设DE 高为x m,则0.630=0.24x ,x=12.故旗杆大致高12 m . 变式训练1-1:C变式训练1-2:1∶2【例2】 探究答案:1.相似比的平方 2.916解:(1)∵△ABC ∽△ADE ,∴AB =AC ,∵AB=15,AC=9,BD=5,∴AD=20,∴AE=AD ·AC AB =20×915=12.即AE 的长为12.(2)∵△ABC ∽△ADE ,∴S △ABC S △ADE =AB 2AD 2=916, ∴S △ADE =16×279=48, ∴S 四边形BDEC =48-27=21. 变式训练2-1:A 变式训练2-2:D 课堂训练∶2 ∶2 1∶45.解:因为DE ∥BC ,所以∠ADE=∠ABC ,∠AED=∠ACB , 所以△ADE ∽△ABC.又DE BC =13,△ADE 的周长是10 cm, 所以△ABC 的周长是30 cm, 所以梯形BCED 的周长为30-8+2=24(cm). 课后提升∶9 7.60379.(1)证明:∵E 是AB 的中点, ∴AB=2EB , ∵AB=2CD ,∴CD=EB , 又∵AB ∥CD , ∴四边形CBED 是平行四边形, ∴DE ∥CB , ∴∠EDM=∠MBF ,∠DEM=∠MFB , ∴△EDM ∽△FBM.(2)解:∵△EDM ∽△FBM ,∴DM BM =DE BF , 又∵F 是BC 的中点, ∴DE=2BF , ∴DM=2BM. ∴BM=13DB=3. S △EDM S △FBM =DE BF 2=4.相似三角形的应用课堂探究【例1】 探究答案:1.△ABF △EFG2.DF BF FG BG解:∵CD ∥EF ∥AB , ∴可以得到△CDF ∽△ABF ,△ABG ∽△EFG ,∴CD AB =DF BF ,EF AB =FG BG, 又∵CD=EF ,∴DF =FG , ∵DF=3,FG=4,BF=BD+DF=BD+3,BG=BD+DF+FG=BD+7,∴3DB+3=4BD+7, ∴BD=9,BF=9+3=12,∴1.6AB =312,解得,AB= m . 变式训练1-1:A 变式训练1-2:【例2】 探究答案:1.△EDC 2.△EDC BC DC解:(1)DE=AB ,理由如下: ∵AB ⊥BF ,ED ⊥BF , ∴∠ABC=∠EDC. ∵∠ACB=∠ECD ,BC=CD , ∴△ABC ≌△EDC (ASA), ∴AB=DE ,即DE 的长就是A 、B 的距离. (2)能,∵∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD , ∴△ABC ∽△EDC ,∴AB DE =BC CD ,AB=DE ·BC CD =30×1020=15(米). 即A 、B 之间的距离为15米. 变式训练2-1:C 变式训练2-2:解:设AB=x 米, 因为BC ∥DE ,所以∠ABC=∠D , 又∠A=∠A ,所以△ABC ∽△ADE ,则AB BC =AD DE ,即x 70=20+x 90, 解得x=70.答:A 、B 两村相距70米. 课堂训练3.87米 5.解:由光的反射定律可知∠1=∠2,∴∠ABS=∠CBP. ∵SA ⊥AC ,PC ⊥AC ,∴∠SAB=∠PCB=90°, ∴△ASB ∽△CPB.∴SA PC =AB CB,∴SA=AB ·PC CB =10×2420=12(cm). 答:点光源S 与平面镜的距离SA 的长是12 cm . 课后提升m 解:∵∠DEF=∠BCD=90°,∠D=∠D ,∴△DEF ∽△DCB ,∴BC EF =DC DE, ∵DE=40 cm = m,EF=20 cm = m,AC= m,CD=10 m .∴BC 0.2=100.4, ∴BC=5(m), ∴AB=AC+BC=+5=(m),∴树高为 m .位 似课前预习1.同一个点O 位似中心 相似比2.位似 坐标原点课堂探究 【例1】 探究答案:∶2 ∶4 解:(1)△ABC 与△A'B'C'的周长之比为AB A'B'=36=12. 设S △ABC 周长为x cm,△A'B'C'周长为2x cm, 则2x-x=12,解得x=12, 所以△ABC 的周长为12 cm .(2)△ABC 与△A'B'C'的面积之比为AB AB 2=14, 设S △ABC =y cm 2,则S △A'B'C'=4y cm 2, 则y+4y=25,解得y=5, 所以△A'B'C'的面积为20 cm 2. 变式训练1-1:B 变式训练1-2:解:(1)、(3)中的两个图形都是位似图形,位似中心分别为点A 、O ;(2)中的两个图形不是位似图形. 【例2】 探究答案:1.位似中心 2.位似中心解:(1)如图所示.(2)A'C'=√22+22=2√2,AC=4√2, ∴四边形AA'C'C 的周长为AA'+A'C'+C'C+CA=2+2√2+2+4√2=4+6√2.变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:作法:(1)连接OA ,并延长OA 到A',使得AA'=OA ; (2)连接OB ,并延长OB 到B',使得BB'=OB ; (3)连接OC ,并延长OC 到C',使得CC'=OC ; (4)连接OD ,并延长OD 到D',使得DD'=OD ; (5)连接A'B',B'C',C'D',D'A'(如图所示),则四边形A'B'C'D'是四边形ABCD 关于O 点的位似图形, 且四边形A'B'C'D'与四边形ABCD 的相似比为2.【例3】 探究答案:1.位似中心 ∶(-2) 解:(1)延长BO 到B',使B'O=2BO ,延长CO 到C',使C'O=2CO ,连接B'C'.则△OB'C'即为△OBC 的位似图形(如图所示). (2)观察图形可知,B'(-6,2)、C'(-4,-2). (3)M'(-2x ,-2y ). 变式训练3-1:C 变式训练3-2:6 课堂训练4.(-4,-4)5.解:(1)OAE 与△OBF 相似.理由:∵AC ∥BD ,∴OA OB =OC OD. 又CE ∥DF ,∴OE OF =OC OD , ∴OA OB =OE OF, ∴AE ∥BF , ∴△OAE ∽△OBF. △OAE 与△OBF 位似.理由: 已证△OAE ∽△OBF ,又△OAE 和△OBF 对应点的连线都经过点O , ∴△OAE 与△OBF 位似. (2)△ACE 与△BDF 位似.理由:由(1)得AE ∥BF ,∴AE BF =OA OB , 又AC ∥BD ,∴AC BD =OA OB =OC OD . 又CE ∥DF ,∴CE DF =OC OD. ∴AC BD =CE DF =AE BF, ∴△ACE ∽△BDF. 又△ACE 和△BDF 对应点的连线都经过点O , ∴△ACE 与△BDF 位似. 课后提升,32或-2,-32 8.解:∵矩形ABCD 与矩形AB'C'D'是位似图形,且点A 为位似中心, ∴AB AB'=AD AD', 即AB AB+4=AD AD+2, ∴2AB=4AD ,即AB AD =21, 又∵矩形ABCD 的周长为24,即AB+AD=12, ∴AB=8,AD=4. 第4章 锐角三角函数正弦和余弦第1课时 正 弦 课前预习1.大小2.对边 斜边 sin A∠A 的对边斜边 3.12 √22 √32课堂探究【例1】 探究答案:1.直角 2.对 斜 角的大小 无关 解:∵BC 2+AC 2=62+82=102=AB 2, ∴△ABC 是直角三角形,∠C=90°,∴sin A=BC AB =610=35,sin B=AC AB =810=45. 变式训练1-1:√55 变式训练1-2:34【例2】 探究答案: 12.倒数 正 311 3。
九年级上册的学法大视野
九年级上册的学法大视野学法大视野是九年级上册的一本教材，它涵盖了九年级上学期的各个科目的内容。
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学法大视野·数学·九年级上册(湘教版)·答案
学法大视野·数学·九年级上册（湘教版）·答案第1章反比例函数1.1反比例函数课前预习1.y=kx≠零课堂探究【例1】探究答案:-1k≠0 B 变式训练1-1:解:判断某函数是否是反比例函数,不是看表示变量的字母是不是有x与y,而要看它能否化为y=kx(k为常数,k≠0)的形式所以(2)是反比例函数,其中k=-6;(3)是反比例函数, 其中k=-3. 变式训练1-2:解:(1)由三角形的面积公式,得12xy=36 于是y=72x 所以,y是x的反比例函数. (2)由圆锥的体积公式,得13xy=60,于是y=180 所以y是x的反比例函数.【例2】探究答案:1.y=kx(k≠0) 2.(2,-2 解:设反比例函数的解析式为y=kx(k≠0 因为图象过点(2,-2), 将x=2,y=-2代入,得-2=k2,解得k=-2 因此,这个反比例函数的解析式为y=-2x 将x=-6,y=13代入,等式成立所以函数图象经过-6,13. 变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:(1)设y1=k1x,y2=k2x(k1,k2为常数,且k1≠0,k2≠0),则y=k1x+ ∵x=1,y=4;x=2,y=5,∴k 解得k ∴y与x的函数表达式为y=2x+2x (2)当x=4时,y=2×4+24=81课堂训练 1.B 2.C 3.A 4.-2 5.解:设大约需要工人y个,每人每天生产纪念品x个. ∴xy=100,即y=100x(x>0∵5≤x≤8,∴1008≤y≤100 即1212≤y≤20 ∵y是整数,∴大约需工人13至20人.课后提升 1.D 2.A 3.C 4.B 5.C 6.27.4008.-12 9.解:(1)∵y是x的正比例函数, ∴m2-3=1, m2=4, m=±2. ∵m=2时,m-2=0, ∴舍去. ∴m=-2. (2)∵y是x的反比例函数, ∴m2-3=-1, m2=2, m=±2. 10.解:(1)由S=12xy=30,得y=60 x的取值范围是x>0. (2)由y=60x可知,y是x的反比例函数,系数为601.2反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象课前预习3.(1)一、三(2)二、四课堂探究【例1】探究答案:第一、三象限> 解:(1)∵这个反比例函数图象的一支分布在第一象限, ∴m-5>0,解得m>5. (2)∵点A(2,n)在正比例函数y=2x的图象上, ∴n=2×2=4,则A点的坐标为(2,4). 又∵点A在反比例函数y=m-5 ∴4=m-52,即m-5 ∴反比例函数的解析式为y=8x 变式训练1-1:C 变式训练1-2:-5【例2】探究答案:1.(1,5) 2.y 解:(1)∵点(1,5)在反比例函数y=kx的图象上∴5=k1,即k=5 ∴反比例函数的关系式为y=5x 又∵点(1,5)在一次函数y=3x+m的图象上, ∴5=3+m, ∴m=2. ∴一次函数的关系式为y=3x+2. (2)由题意可得y解得x1= ∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为-53,-3. 变式训练2-1:A 变式训练2-2:解:(1)将A(-1,a)代入y=-x+2中, 得a=-(-1)+2,解得a=3. (2)由(1)得,A(-1,3),将A(-1,3)代入y=kx中得到3=k-1,即k=- 即反比例函数的表达式为y=-3x (3)如图:过A点作AD⊥x轴于D,∵A(-1,3),∴AD=3, 在直线y=-x+2中,令y=0,得x=2, ∴B(2,0),即OB=2, ∴△AOB的面积S=12×OB×AD=12×2×3=课堂训练1.A 2.C 3.B 4.m>15.解:(1)∵反比例函数y=kx 与一次函数y=x+b的图象,都经过点A(1,2 ∴将x=1,y=2代入反比例函数解析式得, k=1×2=2, 将x=1,y=2代入一次函数解析式得,b=2-1=1, ∴反比例函数的解析式为y=2x 一次函数的解析式为y=x+1. (2)对于一次函数y=x+1, 令y=0,可得x=-1; 令x=0,可得y=1. ∴一次函数图象与x轴,y轴的交点坐标分别为(-1,0),(0,1).课后提升 1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6.-37.-24 8.解:m2=(-4)×(-9)=36,∴m=±6. ∵反比例函数y=mx的图象位于第一、三象限,∴m>0 ∴m=6. 9.解:(1)∵y=m-5x的一支在第一象限内,∴ m-5 ∴m>5. 对直线y=kx+k来说,令y=0,得kx+k=0,即k(x+1)=0. ∵k≠0,∴x+1=0,即x=-1. ∴点A的坐标为(-1,0). (2)过点M 作MC⊥AB于点C, ∵点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0),∴AB=4,AO=1. ∵S△ABM=12×AB× =12×4× =8, ∴MC=4. 又AM=5,∴AC=3, 又OA=1,∴OC=2.∴点M的坐标为(2,4). 把M(2,4)代入y=m- 得4=m-52,则m=13,第2课时反比例函数的性质课前预习1.在每一象限内减小在每一象限内增大2.y=±x坐标原点课堂探究【例1】探究答案:1.一、三>0 2.减小> 解:(1)图象的另一支在第三象限,则2n-4>0,解得n>2. (2)把点(3,1)代入y=2n-4x,得2n- 解得n=72 (3)因为在每个象限内,y随x的增大而减小,所以由a1<a2,得b1>b2. 变式训练1-1: A 变式训练1-2:<【例2】探究答案:|k|解:设点A的坐标为a,2a,则点B的坐标为-a,-2a, ∵BC‖x轴,AC‖y轴,∴AC⊥BC, 又由题意可得BC=2a,AC=4a S△ABC=12BC·AC=12·2a·4a 变式训练2-1:1 变式训练2-2:解:设A的坐标是(m,n),则n=km,即k=mn ∵OB=-m,AB=n,S长方形ABOC=OB·AB=(-m)n=-mn=3, ∴mn=-3,∴k=-3,则反比例函数的解析式是y=-3x课堂训练 1.A 2.C 3.6 4.25.解:设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0). ∵点A是直线与反比例函数y=2x的交点∴把A(1,a)代入y=2x,得a=2 ∴A(1,2). 把A(1,2)和C(0,3)代入y=kx+b,得k 解得k=-1,b=3. 所以一次函数的解析式为:y=-x+3.课后提升 1.D 2.D 3.A 4.C 5.C 6.C7.x<-2或0<x<1 8.6< span="">9.解:(1)图象的另一支在第三象限, ∵图象在一、三象限,∴5-2m>0, ∴m<52 (2)b1<b2.理由如下:∵m<52,∴m-4<m-3<0,∴b1<="" span="">【例1】探究答案:1.反比例v=PF2.解:(1)设反比例函数解析式为v=PF 把(3000,20)代入上式, 得20=P3000,P=3000×20=60000 ∴v=60000F (2)当F=1200时,v=600001200=50(米/秒)=180(千米/时即当它所受的牵引力为1200牛时,汽车的速度为180千米/时. (3)由v=60000F≤30,得F≥2000 所以,若限定汽车的速度不超过30米/秒,则F应不小于2000牛. 变式训练1-1:C 变式训练1-2:0.5【例2】探究答案:1.k2-2 2.图象解:(1)∵双曲线y=k2x 经过点A(1,2),∴k2= ∴双曲线的解析式为y=2x ∵点B(m,-1)在双曲线y=2x上∴m=-2,则B(-2,-1). 由点A(1,2),B(-2,-1)在直线y=k1x+b上, 得k 解得k ∴直线的解析式为y=x+1. (2)y2<y11或-2<x<0. < span="">变式训练2-1:C 变式训练2-2:解:(1)直线y=12x+b经过第一、二、三象限,与y轴交于点B ∴OB=b, ∵点A(2,t),△AOB的面积等于1. ∴12×2×b=1,可得b=1 即直线为y=12x+1 (2)由点A(2,t)在直线y=12x+1上可得t=2,即点A坐标为(2,2), 反比例函数y=kx(k是常量,k≠0)的图象经过点A,可得k=4 所求反比例函数解析式为y=4x 课堂训练 1.C 2.C 3.B 4.(1,-2) 5.解:(1)将A(2,4)代入反比例函数解析式得m=8, ∴反比例函数解析式为y2=8x 将B(-4,n)代入反比例函数解析式得n=-2, 即B(-4,-2), 将A与B坐标代入一次函数解析式得, 2 解得k 则一次函数解析式为y1=x+2. (2)联立两函数解析式得y 解得x=2 则y1=y2时,x的值为2或-4. (3)利用题图象得,y1>y2时, x的取值范围为-4<x<0或x>2. 课后提升1.D 2.D 3.C 4.D 5.x<0或1<x<4 6.1.67.(3,2) 8.19.< span="">解:(1)∵反比例函数y=kx的图象过B(4,-2)点∴k=4×(-2)=-8, ∴反比例函数的解析式为y=-8x ∵反比例函数y=-8x的图象过点A(-2,m ∴m=-8-2= 即A(-2,4). ∵一次函数y=ax+b的图象过A(-2,4),B(4,-2)两点, ∴- 解得a ∴一次函数的解析式为y=-x+2. (2)∵直线AB:y=-x+2交x轴于点C, ∴C(2,0).∵AD⊥x轴于D,A(-2,4), ∴CD=2-(-2)=4,AD=4,∴S△ADC=12·CD·AD=12×4×4= 10.解:(1)把A(m,2)代入反比例函数解析式y=2 得2=2m 所以m=1. ∴A(1,2). (2)把A(1,2)代入正比例函数解析式y=kx得2=k,所以k=2,因此正比例函数的解析式为y=2x. (3)因为正比例函数的解析式为y=2x,当x=2时,y≠3,所以点B(2,3)不在正比例函数图象上.第2章一元二次方程2.1一元二次方程课前预习1.一个2整式 3.相等课堂探究【例1】探究答案:1.2=2 2.≠0 解:根据题意,得m2-2=2,且m-2≠0. 解得m=±2,且m≠2.所以m=-2. 则m2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=-4. 变式训练1-1:C 变式训练1-2:≠±1=1【例2】探究答案:1.移项合并同类项 2.符号0 解:(1)去括号,得4t2+12t+9-2(t2-10t+25)=-41, 去括号、移项、合并得2t2+32t=0, 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2,32,0.(2)去括号,得12x2-x+12=3x+ 移项、合并,得12x2-4x+16= 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为12,-4,1 变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:m 解得m=±2且m≠-2. ∴m=2.【例3】探究答案:1.根 2.≠0 解:根据题意,得(m-2)×12+(m2-3)×1-m+1=0, 即m2-4=0,故m2=4, 解得m=2或m=-2. ∵方程(m-2)x2+(m2-3)x-m+1=0是关于x的一元二次方程, ∴m-2≠0,即m≠2.故m=-2. 变式训练3-1:1 变式训练3-2:解:把x=0代入方程得a2-1=0, ∴a=±1, ∵a-1≠0,∴a≠1, ∴a=-1.课堂训练1.C 2.A 3.-10 4.-2 5.解:去括号,得9x2+12x+4=4x2-24x+36. 移项、合并同类项得,5x2+36x-32=0. ∴它的二次项为5x2 二次项系数为5, 一次项为36x, 一次项系数为36, 常数项为-32.课后提升 1.D 2.D 3.C 4.C 5.D 6.x(x+5)=300x2+5x-300=015-3007.18.≠1=1 9.解:(1)去括号,得x2-4=3x2+2x, 移项,得-2x2-2x-4=0,二次项系数为-2,一次项系数为-2,常数项为-4. (2)去括号,移项合并,得(1-2a)x2-2ax=0,二次项系数为1-2a,一次项系数为-2a,常数项为0. 10.解:小明的话有道理. 理由:若方程为一元二次方程,则m+1=2,m=1. 而m=1时,m2+m-2=0, 所以此方程不可能为一元二次方程.2.2一元二次方程的解法2.2.1配方法第1课时用配方法解简单的一元二次方程课前预习1.(1)平方根2.(1)a2±2ab+b2(2)完全平方式课堂探究【例1】探究答案:-a±b没有解:移项,得2(x+1)2=92 两边同时除以2,得(x+1)2=94 ∴x+1=±32 ∴x1=-1+32=12,x2=-1-32 变式训练1-1:m≥7 变式训练1-2:解:(1)移项,得(2x-1)2=25, 开平方得2x-1=±5, ∴2x-1=5或2x-1=-5, 解这两个方程得:x1=3,x2=-2. (2)两边同除以3,得(x-2)2=4, 开平方得:x-2=±2, ∴x-2=2或x-2=-2. 解这两个方程,得x1=4,x2=0.【例2】探究答案:一次项系数一半的平方解:移项,得x2-12x=1 配方,得x2-12x+142=916, ∴x-14=34或x-14=-34,∴x1=1,x 变式训练2-1:±4 变式训练2-2:解:移项,得x2-2x=2,配方,得(x-1)2=3, 解得x=1±3. ∴x1=1+3,x2=1-3.课堂训练1.D 2.B 3.±32 4.± 5.解:(1)移项得x2-2x=1,配方,得x2-2x+1=2, 即(x-1)2=2,开方,得x-1=±2, 则x1=1+2,x2=1-2. (2)移项,得x2-4x=-1, 配方,得x2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3, 开方,得x-2=±3, ∴原方程的解是x1=2+3,x2=2-3.课后提升1.D 2.B 3.D 4.B 5.3 6.-37.900 cm2 8.解:(1)直接开平方得,x-1=±3,即x-1=3或x-1=-3, ∴x1=1+3,x2=1-3. (2)配方,得x2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5. ∴x-1=±5,即x-1=5或x-1=-5∴x1=1+5,x2=1-5. (3)方程两边都除以2,得x2-32=-52 移项,得x2+52x=3 配方,得x2+52x+542=32+542, 即x+542=4916. 开平方得,x+54=±74,∴x1=12,x2 9.解:用配方法解方程a2-10a+21=0,得a1=3,a2=7. 当a=3时,3、3、7不能构成三角形; 当a=7时,三角形周长为3+7+7=17. 10.解:移项得x2+px=-q, 配方得x2+px+p22=-q+p22, 即x+p22=p2- ∵p2≥4q, ∴p2-4q≥0, ∴x+p2=±p ∴x1=-p+p2-4第2课时用配方法解复杂的一元二次方程课前预习(1)1 (2)二次项和一次项常数项(3)一次项系数一半的平方课堂探究【例1】探究答案:1.1 2.完全平方式解:两边同时除以2,得x2-32x+12= 移项,得x2-32x=-1 配方,得x2-32x+-342=- 即x-34 两边开平方,得x-34=±14,x-34=14或x- ∴原方程的解为x1=1,x2=12 变式训练1-1:D 变式训练1-2:解:(1)二次项系数化为1, 得x2-16x-2=0 移项,得x2-16x=2,配方得x2-16x+1144=2+ 即x-1122=289144, ∴x-112=±1712,∴x1=32,x2 (2)二次项系数化为1,得x2-12x-12= 移项,得x2-12x=1 配方得x2-12x+142=12+142, 即x-142=916, ∴x-14=±3 ∴x1=1,x2=-12【例2】探究答案:1.1 2.减去解:2x2-4x+5=2(x2-2x)+5=2(x2-2x+12-12)+5 =2(x-1)2+3 ∵2(x-1)2≥0, ∴2(x-1)2+3>0, ∴代数式2x2-4x+5的值总是一个正数. 变式训练2-1:13 变式训练2-2:解:x2-4x+5=x2-4x+22-22+5 =(x-2)2+1. ∵(x-2)2≥0,且当x=2时值为0, ∴当x=2时, 代数式x2-4x+5的值最小,最小值为1.课堂训练1.A 2.B 3.x1=-2,x2=1 4.3或-7 5.-3或3 6.解:由题意得2x2-x=x+6,∴2x2-2x=6, ∴x2-x=3,∴x2-x+14=3+1∴x-122=134,∴x-12=±13 ∴x1=1+132,x2 ∴x=1+132或1-132时,整式2x2课后提升1.D 2.D 3.B 4.D 5.x1=1+3,x2=1-3 6.87.3 8.1±22 9.解:去括号,得4x2-4x+1=3x2+2x-7, 移项,得x2-6x=-8,配方,得(x-3)2=1, ∴x-3=±1,∴x1=2,x2=4. 10.解:由题意,得2x2+x-2+(x2+4x)=0, 化简,得3x2+5x-2=0. 系数化为1,得x2+53x=2 配方,得x+562=4936,∴x+56=±7 ∴x1=-2,x2=132.2.2公式法课前预习 1.x=-b±b2-4ac2 2.求根公式课堂探究【例1】探究答案:1.一般形式 2.a、b、c 解:原方程可化为x2+2x-1=0, ∵a=1,b=2,c=-1. b2-4ac=22-4×1×(-1)=8>0,∴x=-2±82×1= ∴x1=-1+2,x2=-1-2. 变式训练1-1:D 变式训练1-2:解:(1)移项,得2x2+3x-1=0, ∵a=2,b=3,c=-1,∴b2-4ac=17>0, ∴x=-3 ∴x1=-3+174,x (2)化简得,x2+5x+5=0, ∴a=1,b=5,c=5, ∴b2-4ac=5>0, ∴x=-5 ∴x1=-5+52,x【例2】探究答案:1.一元二次方程有实数根 2.相等解:原方程可化为2x2+22x+1=0, ∵a=2,b=22,c=1,∴b2-4ac=(22)2-4×2×1=0, ∴x=-22± ∴x1=x2=-22 变式训练2-1:解:(1)b2-4ac=(-2)2-4×1×1=4-4=0. ∴此方程有两个相等的实数根.(2)b2-4ac=72-4×(-1)×6=49+24=73>0. ∴此方程有两个不相等的实数根. 变式训练2-2:C课堂训练 1.D 2.C 3.2 4.解:(1)b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=16+8=24>0. ∴x=-b±b2-4a∴x1=2+62,x2 (2)整理,得4x2+12x+9=0, 所以a=4,b=12,c=9. 因为b2-4ac=122-4×4×9=0, 所以方程有两个相等的实数根, 所以x=-b± =-128=- ∴x1=x2=-32课后提升 1.C 2.A 3.D 4.D 5.-1+ 6.x1=1,x2=1 7.25或16 8.解:整理得x2+2x-1=0, b2-4ac=22-4×1×(-1)=8, x=-2±82×1=∴x1=-1+2,x2=-1-2. 9.解:(1)x2-4x-1=0, ∵a=1,b=-4,c=-1,∴Δ=(-4)2-4×1×(-1)=20, ∴x=4±202×1 ∴x1=2+5,x2=2-5.(2)∵3x(x-3)=2(x-1)(x+1), ∴x2-9x+2=0, ∵a=1,b=-9,c=2,∴Δ=(-9)2-4×1×2=73>0, ∴x=-b±b ∴x1=9+732,x2 10.解:由题意得,m2+1=2, 且m+1≠0, 解得m=1. 所以原方程为2x2-2x-1=0, 这里a=2,b=-2,c=-1. b2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12. ∴x=2±23∴x1=1+32,x22.2.3因式分解法课前预习1.(2)(a-b)(a+b)(a±b)22.一次因式课堂探究【例1】探究答案:x[(x+2)-4]3(x-5)2-2(5-x)=0 (x-5)(3x-13) 解:(1)x(x+2)-4x=0,x[(x+2)-4]=0, 即x(x-2)=0, ∴x=0或x-2=0,∴x1=0,x2=2. (2)3(x-5)2=2(5-x), 3(x-5)2-2(5-x)=0, (x-5)[3(x-5)+2]=0,∴x-5=0或3x-15+2=0, ∴x1=5,x2=133 变式训练1-1:C 变式训练1-2:解:(1)(3x-4)2=3(3x-4), ∴(3x-4)(3x-7)=0, ∴x1=43,x2=7(2)3(x+2)2=(x+2)(x-2), (x+2)[3(x+2)-(x-2)]=0, ∴(x+2)(2x+8)=0,∴x1=-2,x2=-4.【例2】探究答案:直接开平方法配方法公式法因式分解法解:(1)公式法:∵a=1,b=-3,c=1, ∴b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0, ∴x=-(-3 ∴x1=3+52,x2 (2)因式分解法:原方程可化为x(x-3)=0,∴x=0或x-3=0 ∴x1=0,x2=3. (3)配方法:配方,得x2-2x+1=4+1, 即(x-1)2=5, ∴x-1=±5, ∴x1=1+5,x2=1-5. 变式训练2-1:C 变式训练2-2:解:(1)用直接开平方法:原方程可化为(x-3)2=4, ∴x-3=±2,∴x1=5,x2=1. (2)用配方法:移项,得x2-4x=7. 配方,得x2-4x+4=7+4, 即(x-2)2=11, ∴x-2=±11 ∴x-2=11或x-2=-11, ∴x1=2+11,x2=2-11. (3)用因式分解法:方程两边分别分解因式,得(x-3)2=2(x-3)(x+3), 移项,得(x-3)2-2(x-3)(x+3)=0. 方程左边分解因式,得(x-3)[(x-3)-2(x+3)]=0, 即(x-3)(-x-9)=0, ∴x-3=0或-x-9=0.∴x1=3,x2=-9.课堂训练 1.C 2.D 3.7 4.-1或4 5.解:(1)∵a=3,b=1,c=-1, ∴b2-4ac=12-4×3×(-1)=13>0, ∴x=- ∴x1=-1+136,x (2)移项,得(3x-2)2-4(3-x)2=0, 因式分解, 得[(3x-2)+2(3-x)][(3x-2)-2(3-x)]=0,即(x+4)(5x-8)=0, ∴x+4=0或5x-8=0, ∴x1=-4,x2=85 (3)将原方程整理,得x2+x=0, 因式分解,得x(x+1)=0, ∴x=0或x+1=0, ∴x1=0,x2=-1.课后提升1.A 2.D 3.B 4.B 5.B 6.x1=3,x2=97.68.-1 9.解:(1)用求根公式法解得y1=3,y2=-8. (2)用分解因式法解得x1=52,x2=-1 (3)用求根公式法解得y1=-2+22,y 10.解:解方程x(x-7)-10(x-7)=0, 得x1=7,x2=10. ∵4<第三边长<10, ∴x2=10(舍去).第三边长为7. 这个三角形的周长为3+7+7=17.2.3一元二次方程根的判别式课前预习1.a≠02.(1)>(2)=(3)<课堂探究【例1】探究答案:1.一般形式 2.a、b、c b2-4ac 解:(1)原方程可化为x2-6x+9=0, ∵Δ=b2-4ac=(-6)2-4×1×9=0, ∴原方程有两个相等的实数根. (2)原方程可化为x2+3x+1=0,∵Δ=b2-4ac=32-4×1×1=5>0, ∴原方程有两个不相等的实数根. (3)原方程可化为3x2-26x+3=0. ∵Δ=b2-4ac=(-26)2-4×3×3=-12<0, ∴原方程无实数根. 变式训练1-1:A 变式训练1-2:B【例2】探究答案:1.≥ 解:由题意知:b2-4ac≥0, 即42-8k≥0,解得k≤2. ∴k的非负整数值为0,1,2. 变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:∵a=2,b=t,c=2. ∴Δ=t2-4×2×2=t2-16, 令t2-16=0,解得t=±4, 当t=4或t=-4时,原方程有两个相等的实数根.课堂训练 1.D 2.A 3.D 4.k<-1 5.解:(1)当m=3时,Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8<0, ∴原方程没有实数根. (2)当m=-3时,x2+2x-3=0, x2+2x=3, x2+2x+1=3+1, (x+1)2=4, ∴x+1=±2,∴x1=1,x2=-3.课后提升 1.D 2.A 3.C 4.C 5.D 6.m>17.m<2且m≠1 8.6或12或10 9.解:由题意,得b 由①,得4(k+1)+4-8k>0, 即-4k>-8,解得k<2. 由②得,k≠12,由③得,k≥-1 ∴-1≤k<2且k≠12 10.解:(1)Δ=b2-4ac =4-4(2k-4) =20-8k. ∵方程有两个不等的实根,∴20-8k>0,∴k<52 (2)∵k为正整数, ∴0<k<52(且k为整数即k为1或2,∴x="-1±5-" ∵方程的根为整数,∴5-2k为完全平方数.="" 当k="1时,5-2k=3;当k=2时,5-2k=1." ∴k="2.2.4一元二次方程根与系数的关系课前预习-ba课堂探究【例1】探究答案:1.-1 2.2ab a 解:因为方程x2-x-1=0的两实根为a、b. 所以(1)a+b=1; (2)ab=-1;(3)a2+b2=(a+b)2-2ab=12-2×(-1)=3; (4)1a+1b=a+ 变式训练1-1:-2变式训练1-2:-65【例2】探究答案:1.2(m+1) 2.>0 解:∵方程有两个不相等的实数根, ∴Δ=b2-4ac=[-2(m+1)]2-4×1×(m2-3) =16+8m>0, 解得m>-2; 根据根与系数的关系可得x1+x2=2(m+1),∵(x1+x2)2-(x1+x2)-12=0, ∴[2(m+1)]2-2(m+1)-12=0, 解得m1=1或m2=-52 ∵m>-2,∴m2=-52(舍去∴m=1. 变式训练2-1:1 变式训练2-2:解:∵x1+x2=2,∴m=2. ∴原方程为x2-2x-3=0,即(x-3)(x+1)=0, 解得x1=3,x2=-1.课堂训练 1.B 2.A 3.-2 4.5 5.解:设x1,x2是方程的两个实数根, ∴x1+x2=-32,x1x2=1 又∵1x1+1x2=3,∴∴-31-∴-3=3-3m,∴m=2, 又∵当m=2时,原方程的Δ=17>0, ∴m的值为2.课后提升 1.B 2.B 3.D 4.B 5.B 6.-20147.68.2014 9.解:将-2代入原方程得:(-2)2-2+n=0, 解得n=-2, 因此原方程为x2+x-2=0, 解得x1=-2,x2=1, ∴m=1. 10.解:(1)根据题意得m≠1Δ=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4, ∴x1=2m+2 x2=2m-2 (2)由(1)知x1=m+1m- 又∵方程的两个根都是正整数, ∴2m- ∴m-1=1或2. ∴m=2或3.2.5一元二次方程的应用第1课时增长率与利润问题课前预习 1.a(1±x) 2.(1)单件售价(2)单件利润课堂探究【例1】探究答案:(1)10000(1+x)10000(1+x)2 (2)12100(1+x) 解:(1)设捐款增长率为x,根据题意列方程得, 10000(1+x)2=12100, 解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去); 答:捐款增长率为10%. (2)12100×(1+10%)=13310元. 答:第四天该单位能收到13310元捐款. 变式训练1-1:A 变式训练1-2:B【例2】探究答案:200+40x0.1解:设应将每千克小型西瓜的售价降低x元. 根据题意,得(3-2-x)200+40x0.1-24= 解这个方程,得x1=0.2,x2=0.3. 答:应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元. 变式训练2-1:2或6 变式训练2-2:解:设每件童装应降价x 元. 根据题意得(40-x)(20+2x)=1200, 解这个方程得x1=10,x2=20. 因为在相同利润的条件下要扩大销售量,减少库存, 所以应舍去x1=10. 答:每件童装应降价20元.课堂训练 1.B 2.D 3.B 4.20% 5.解:设每千克核桃应降价x元. 根据题意得(60-x-40)(100+x2×20)= 解这个方程得x1=4,x2=6. 答:每千克核桃应降价4元或6元.课后提升 1.C 2.C 3.D 4.B 5.10% 6.30007.40(1+x)2=48.48.10% 9.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人, 由题意,得1+x+x(1+x)=64, 解之,得x1=7,x2=-9. 答:每轮传染中平均一个人传染了7个人. (2)7×64=448. 答:又有448人被传染. 10.解:(1)设每年市政府投资的增长率为x, 根据题意,得:2+2(1+x)+2(1+x)2=9.5, 整理,得x2+3x-1.75=0, 解之,得x1=0.5, x2=-0.35(舍去) 所以每年市政府投资的增长率为50%. (2)到2013年年底共建廉租房面积=9.5×82=38(万平方米)第2课时面积与动点问题课堂探究【例1】探究答案:1.(6-x)2x 2.12(6-x)·2x= 解:设经过x秒钟后,△PBQ的面积等于8 cm2. 根据题意得12(6-x)·2x=8 解这个方程得x1=2,x2=4. 答:经过2秒或4秒后,△PBQ的面积等于8 cm2. 变式训练1-1:解:(1)由勾股定理:AC=5 cm,设x秒钟后,P、Q之间的距离等于5 cm,这时PC=5-x,CQ=2x, 则(5-x)2+(2x)2=52,即x2-2x=0. 解这个方程,得x1=0,x2=2,其中x1=0不合题意,舍去. 答:再运动2秒钟后,P、Q间的距离又等于5 cm. (2)设y秒钟时,可使△PCQ的面积等于4 cm2. 12×(5-y)×2y=4 即y2-5y+4=0, 解得y1=1,y2=4. 经检验,它们均符合题意. 答:1秒钟或4秒钟时,△PCQ的面积等于4 cm2. 变式训练1-2:解:设应移动x米.OA=AB2-O 则由题意得(3+x)2+(4-x)2=52. 解这个方程得x1=1,x2=0(不合题意,舍去). 答:应移动1米.【例2】探究答案:(100-2x)(50-2x) 解:设正方形观光休息亭的边长为x米. 依题意,有(100-2x)(50-2x)=3600. 整理,得x2-75x+350=0.解得x1=5,x2=70. ∵x=70>50,不合题意,舍去,∴x=5. 答:矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米. 变式训练2-1:B 变式训练2-2: 解:设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米, 根据题意,得(40-2x)(60-3x)=60×40×14 解之,得x1=10, x2=30(不符合题意,舍去). 答:两块绿地周围的硬化路面的宽都是10米.课堂训练1.B 2.C 3.D 4.1 5.解:设花边的宽为x米, 根据题意,得(2x+6)(2x+3)=40. 解得x1=1,x2=-112 但x2=-112不合题意,舍去答:花边的宽为1米.课后提升 1.D 2.C 3.C 4.B 5.D 6.97.24458.1000 9.解:(1)设小货车原计划每辆每次运送帐篷x顶,则大货车原计划每辆每次运送帐篷(x+200)顶,根据题意,得2[8x+2(x+200)]=16800,解得x=800, x+200=800+200=1000. 故大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶,800顶. (2)根据题意,得2(1000-200m)1+12m+8(800-300)(1+m)=14400, 化简为m2-23m+42=0,解得m1=2,m2=21. ∵1000-200m不能为负数,且12m为整数∴m2=21(不符合实际,舍去),故m的值为2. 10.解:设x秒后四边形APQB的面积是△ABC面积的23 在Rt△ABC中,AB=10,AC=8, 由勾股定理,得BC2=AB2-AC2=102-82=36,∴BC=6. 则12(8-2x)(6-x)=13×12×6 解得x1=2,x2=8(不合题意,舍去), ∴2秒后四边形APQB的面积是△ABC面积的23 第3章图形的相似3.1比例线段3.1.1比例的基本性质课前预习 1.(1)比值比值(2)比例内项 2.(1)bc课堂探究【例1】探究答案:1.3x3y=2y 2.7y=4x7∶4 解:(1)∵3x=2y, ∴3x3y 即xy=2 (2)∵7x=4 ∴7y=4x, xy=7 变式训练1-1:D 变式训练1-2:4【例2】探究答案:1.2 解:∵ADAB=AEA ∴AD+A 即△ADE 设△ADE和△ABC的周长分别为2x cm和3x cm,则有3x-2x=15,得x=15. ∴△ABC的周长为45 cm,△ADE的周长为30 cm. 变式训练2-1:D 变式训练2-2:解:设x3=y5=z7=k,则x=3k,y=5k,z= ∴x-y+zx+y 课堂训练 1.C 2.A 3.2∶3=4∶6(答案不唯一) 4.1 5.解:因为m-nn 所以3(m-n)=2n, 化简得3m=5n, 所以mn=53,则3m+2nn=3mn+2=mn×3+课后提升 1.C 2.C 3.D 4.C 5.A 6.52727.338.2或9.解:∵a∶b∶c=1∶2∶4, 设a=k,b=2k, c=4k, 则a+2b+3ca 10.解:∵ab=cd=ef ∴2a2b=-c- ∴2a-c3.1.2成比例线段课前预习 1.m∶n ABC 2.ab=c 3.BCAC黄金比课堂探究【例1】探究答案:1.(12-x)x12-x=64 2 解:(1)设AD=x cm,则DB=(12-x)cm. 则有x12-x=64,解这个方程得x= 所以AD=7.2 cm.(2)DBAB=12-7.212= 所以DBAB 所以线段DB、AB、EC、AC是成比例线段. 变式训练1-1:B 变式训练1-2:解:利用比例线段的定义, ∵a=1 mm=0.1 cm,b=0.8 cm, c=0.02 cm,d=4 cm,∴d>b>a>c, 而db=40.8=5,ac ∴db=a ∴d、b、a、c四条线段是成比例线段.【例2】探究答案:1.ACAB=CBAC 解:设CB=x,∵点C为线段AB的黄金分割点, ∴ACAB=CBAC,即3x+3= 解得x1=35-32,x2=- 故CB的长为35 变式训练2-1:C 变式训练2-2:解:因为点C是AB的黄金分割点, 所以当AC>BC时,ACAB 又因为AB=10 cm, 所以AC=5-12×10=(55-5 当AC<bc时,bcab 所以bc="5-12×10=(55-5" 所以ac="AB-BC=10-(55-5)=(15-55)(cm)," 所以ac的长为(55-5)cm或(15-55)cm. <="" span="">课堂训练 1.D 2.4535 3.6-25 5.解:(1)a∶b=c∶d,即a∶0.2=0.5∶1, 则a=0.2×0.5=0.1. (2)a∶b=c∶d,即3∶7=c∶21,则7c=21×3,得c=9.课后提升 1.B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.6.987.168.5-1 9.解:设相邻两个钉子之间的距离为1个单位长度, 则AD=2,BD=5,BE=5, CE=1,CF=4,AF=3. 在直角三角形ABD中, AB=AD2+BD 在直角三角形BCE中, BC=BE2+CE 在直角三角形ACF中, AC=CF2+AF 所以ABAC=295, 10.解:设每一份为k, 由(a-c)∶(a+b)∶(c-b)=(-2)∶7∶1, 得a-c 而(3k)2+(4k)2=(5k)2, 即a2+b2=c2, 所以△ABC是直角三角形.3.2平行线分线段成比例课前预习(1)在另一条直线上截得的线段也相等(2)对应线段(3)成比例课堂探究【例1】探究答案:1.35 2. 解:∵l1‖l2‖l3, ∴ABAC∵ABBC=32,∴∴DEDF 由DF=20 cm,得DE=35DF=12 cm∴EF=DF-DE=8 cm. 变式训练1-1:D 变式训练1-2:1【例2】探究答案:1.AEAC 2.x-4x-4 D 变式训练2-1:B 变式训练2-2:A课堂训练 1.B 2.A 3.A 4.5 5.解:∵DE⊥AB,CB⊥AB,∴DE‖BC, ∴ADAB=AEAC ∴AC=253 ∴BC=AC2-AB课后提升 1.C 2.C 3.A 4.D 5.D 6.97.68.14 9.解:∵DE‖BC,DF‖AC, ∴四边形EDFC为平行四边形, ∴DE=FC=5, 又∵DF‖AC, ∴ADBD=CFBF,即48 10.解:∵DE‖BC, ∴ADAB 又∵EF‖CD, ∴AFAD ∴ADAB ∴AD2=AB·AF=36, ∴AD=6 cm.3.3相似图形课前预习 1.(1)对应相等对应成比例(2)∽△ABC相似于△A'B'C' (3)相等成比例 2.(1)对应角成比例(2)相等等于相似比课堂探究【例1】探究答案:1.∠A'∠B'∠C' 2.180°-∠A-∠B解:∵△ABC∽△A'B'C', ∴∠B=∠B'=60°, 在△ABC中,∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°. 变式训练1-1:50 变式训练1-2:1∶2【例2】探究答案:(1)CD CB(2)77°83°解:因为四边形ABCD∽四边形EFGH, ∴∠F=∠B=77°,∠G=∠C=83°, EFAB=GHCD= ∴∠H=360°-(∠E+∠F+∠G)=83°, BC=FG÷29=6×92=CD=GH÷29=7×92=31. 变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:由四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似得, x21=12y= ∠A=∠A'=120°,∴x=21×1015=14 y=12÷1015=12×32=∠α=360°-(∠A+∠B+∠C)=80°.课堂训练 1.C 2.B 3.6 1.5 4.9或25 5.解:因为梯形AEFD∽梯形EBCF, 所以ADEF=E 又因为AD=4,BC=9, 所以EF2=AD·BC=4×9=36, 所以EF=6, 所以AEEB=ADE课后提升 1.B 2.D 3.D 4.D 5.D 6.230°7.60°140°18.5 9.解:∵四边形ABCD与四边形EFGH相似,∴∠E=∠A=70°,∠F=∠B=80°. ∴∠G=360°-70°-80°-150°=60°.∵ABEF ∴AB=EF·ADE ∵BCFG ∴BC=FG·ADEH= 10.解:∵△ABC∽△APQ, ∴ABAP 即4040+60 解得PQ=75. 答:PQ的长为75 cm.3.4相似三角形的判定与性质3.4.1相似三角形的判定第1课时两角对应相等或平行判定相似课前预习(1)相似(2)相等课堂探究【例1】探究答案:1.EDA 2.DFC 3.△EDA△DFC 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB‖CD,AD‖BC,∴△BEF∽△CDF,△BEF∽△AED, ∴△BEF∽△CDF∽△AED. 当△BEF∽△CDF时,相似比k1=BECD 当△BEF∽△AED时,相似比k2=BEAE 当△CDF∽△AED时,相似比k3=CDAE 变式训练1-1:3 变式训练1-2:1∶2【例2】探究答案:1.∠DAE 2.∠D 解:△ABC∽△ADE,理由如下: ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC, 即∠BAC=∠DAE,又∵在△AOB与△COD中, ∠AOB=∠COD,∠1=∠3, ∴∠B=∠D, ∴△ABC∽△ADE. 变式训练2-1:C 变式训练2-2:证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD‖BC,AB‖CD,∴∠ADF=∠CED,∠B+∠C=180°, ∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B,∴∠AFD=∠C, ∴△ADF∽△DEC.课堂训练 1.D 2.C 3.A 4.∠ADE=∠C(答案不唯一) 5.解:(1)在△ABC中, ∵∠A=90°,∠B=50°, ∴∠C=40°.∴∠A=∠A'=90°,∠C=∠C'=40°. ∴△ABC∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似). (2)在△ABC中, ∵∠A=∠B=∠C,∴∠A=∠B=∠C=60°, ∴∠A=∠A',∠B=∠B', ∴△ABC∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似).课后提升1.A 2.D 3.C 4.D 5.6 6.2.5 7.解:∵∠A=36°,AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=72°, ∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD=36°, ∠BDC=72°, ∴AD=BD,BC=BD,∴△ABC∽△BDC, ∴BDAB=CDBC ∴AD2=AC·CD, 设AD=x,则CD=1-x, ∴x2=1×(1-x), x2+x-1=0, x=-1±1 x1=-1+52,x2= ∴AD=5-∴AD的长是5- 8.解:(1)△ABC∽△FOA,理由如下: 在矩形ABCD 中,∠BAC+∠BCA=90°, ∵l垂直平分AC, ∴∠OFC+∠BCA=90°,∴∠BAC=∠OFC=∠OFA, 又∵∠ABC=∠FOA=90°,∴△ABC∽△FOA. (2)四边形AFCE是菱形,理由如下: ∵AE‖FC,∴∠AEO=∠OFC,∠EAO=∠OCF, ∴△AOE∽△COF,∵OC=OA,∴OE=OF, 即AC、EF互相垂直平分, ∴四边形AFCE是菱形.第2课时两边成比例夹角相等或三边成比例判定相似课前预习(1)成比例夹角(2)成比例课堂探究【例1】探究答案:1.45 2.△DCA 解:因为ABCD=45, 所以ABCD 又因为∠B=∠ACD, 所以△ABC∽△DCA, 所以ABDC 所以AD=DC·ACA 变式训练1-1:B 变式训练1-2:证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=DC=BC,∠D=∠C=90°, ∵M是CD的中点,∴AD∶DM=2∶1, ∵BP=3PC,∴CM∶PC=2∶1, 即ADDM=CMPC, ∴△ADM∽△MCP.【例2】探究答案:1.51052210 2.102102 解:相似.理由如下: AB=5,AC=10,BC=5, DE=2,DF=2,EF=10,∵ABDE=102,ACDF 即ABDE=A ∴△ABC∽△DEF. 变式训练2-1:A 变式训练2-2:证明:∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点, ∴DE、DF、EF分别为△ABC的中位线, ∴DE=12BC,DF=12AC,EF=1∴DECB=DFC ∴△DEF∽△CBA.课堂训练 1.A 2.C 3.B 4.3 5.解:由题知AC=2,BC=12+32=10 DF=22+22=22,EF=2 ED=8,∴ACDF=BCE∴△ABC∽△DEF.课后提升1.C 2.C 3.D 4.C 5.B 6.20°7.(4,0)或(3,2) 8.解:(1)△ABC∽△EBD,理由如下: ∵BD·AB=BE·BC,∴BDBC 又∵∠B 为公共角,∴△ABC∽△EBD. (2)ED⊥AB,理由如下: 由△ABC∽△EBD可得∠EDB=∠C, ∵∠C=90°,∴∠EDB=90°,即ED⊥AB. 9.解:△A'B'C'∽△ABC,理由如下: ∵OA'OA=OC'OC∴△AOC∽△A'OC', ∴A'C'AC 同理B'C'BC=3 ∴A'C'AC∴△A'B'C'∽△ABC.3.4.2相似三角形的性质课前预习1.相似比2.(1)相似比相似比的平方(2)相似比相似比的平方课堂探究【例1】探究答案:1.△ADE 2.DE 解:∵BC‖DE,∴∠ABC=∠ADE,∠ACB=∠AED, ∴△ABC∽△ADE, 所以MCNE 设DE高为x m,则0.630=0. 故旗杆大致高12 m. 变式训练1-1:C 变式训练1-2:1∶2【例2】探究答案:1.相似比的平方 2.9解:(1)∵△ABC∽△ADE,∴ABAD ∵AB=15,AC=9,BD=5,∴AD=20,∴AE=AD·ACA 即AE的长为12.(2)∵△ABC∽△ADE,∴S△ABCS ∴S△ADE=16×279 ∴S四边形BDEC=48-27=21. 变式训练2-1:A 变式训练2-2:D课堂训练 1.D 2.D 3.1∶2 4.1∶21∶4 5.解:因为DE‖BC, 所以∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB, 所以△ADE∽△ABC. 又DEBC=13,△ADE的周长是所以△ABC的周长是30 cm, 所以梯形BCED的周长为30-8+2=24(cm).课后提升 1.D 2.A 3.B 4.A 5.1∶9 6.37.60378. 9.(1)证明:∵E是AB的中点, ∴AB=2EB, ∵AB=2CD,∴CD=EB, 又∵AB‖CD, ∴四边形CBED是平行四边形, ∴DE‖CB,∴∠EDM=∠MBF,∠DEM=∠MFB, ∴△EDM∽△FBM. (2)解:∵△EDM∽△FBM,∴DMBM 又∵F是BC的中点, ∴DE=2BF, ∴DM=2BM. ∴BM=13DB=3 S△EDMS△FB3.5相似三角形的应用课堂探究【例1】探究答案:1.△ABF△EFG 2.DFB 解:∵CD‖EF‖AB, ∴可以得到△CDF∽△ABF,△ABG∽△EFG, ∴CDAB=DFB 又∵CD=EF,∴DFBF∵DF=3,FG=4,BF=BD+DF=BD+3,BG=BD+DF+FG=BD+7, ∴3DB+∴BD=9,BF=9+3=12,∴1.6AB=312,解得,AB=6 变式训练1-1:A 变式训练1-2:5.6【例2】探究答案:1.△EDC 2.△EDC B 解:(1)DE=AB,理由如下: ∵AB⊥BF,ED⊥BF, ∴∠ABC=∠EDC. ∵∠ACB=∠ECD,BC=CD, ∴△ABC≌△EDC(ASA), ∴AB=DE,即DE的长就是A、B的距离.∵∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD, ∴△ABC∽△EDC,∴ABDE=BCCD,AB=DE·即A、B之间的距离为15米. 变式训练2-1:C 变式训练2-2:解:设AB=x米, 因为BC‖DE,所以∠ABC=∠D, 又∠A=∠A,所以△ABC∽△ADE, 则ABBC=ADDE 解得x=70.答:A、B两村相距70米. 课堂训练 1.A 2.B 3.874.1.55.解:由光的反射定律可知∠1=∠2,∴∠ABS=∠CBP.∵SA⊥AC,PC⊥AC,∴∠SAB=∠PCB=90°, ∴△ASB∽△CPB. ∴SAPC ∴SA=AB·PCCB=10 答:点光源S与平面镜的距离SA的长是12 cm.课后提升 1.C 2.A 3.A 4.D 5.22.5 6.8 m7.4.2 8.解:∵∠DEF=∠BCD=90°,∠D=∠D, ∴△DEF∽△DCB, ∴BCEF∵DE=40 cm=0.4 m,EF=20 cm=0.2 m,AC=1.5 m,CD=10 m. ∴BC0.∴BC=5(m), ∴AB=AC+BC=1.5+5=6.5(m),∴树高为6.5 m.3.6位似课前预习 1.同一个点O位似中心相似比 2.位似坐标原点课堂探究【例1】探究答案:1.1∶2 2.1∶4 解:(1)△ABC与△A'B'C'的周长之比为ABA'B' 设S△ABC周长为x cm,△A'B'C'周长为2x cm, 则2x-x=12,解得x=12, 所以△ABC的周长为12 cm. (2)△ABC与△A'B'C'的面积之比为ABAB2=1 设S△ABC=y cm2,则S△A'B'C'=4y cm2, 则y+4y=25,解得y=5, 所以△A'B'C'的面积为20 cm2. 变式训练1-1:B 变式训练1-2:解:(1)、(3)中的两个图形都是位似图形,位似中心分别为点A、O;(2)中的两个图形不是位似图形.【例2】探究答案:1.位似中心 2.位似中心解:(1)如图所示.(2)A'C'=22+22=22, ∴四边形AA'C'C的周长为AA'+A'C'+C'C+CA=2+22+2+42=4+62. 变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:作法: (1)连接OA,并延长OA到A',使得AA'=OA; (2)连接OB,并延长OB到B',使得BB'=OB; (3)连接OC,并延长OC到C',使得CC'=OC;(4)连接OD,并延长OD到D',使得DD'=OD; (5)连接A'B',B'C',C'D',D'A'(如图所示),则四边形A'B'C'D'是四边形ABCD关于O点的位似图形, 且四边形A'B'C'D'与四边形ABCD的相似比为2.【例3】探究答案:1.位似中心 2.1∶(-2) 解:(1)延长BO到B',使B'O=2BO,延长CO到C',使C'O=2CO,连接B'C'.则△OB'C'即为△OBC的位似图形(如图所示). (2)观察图形可知,B'(-6,2)、C'(-4,-2).(3)M'(-2x,-2y). 变式训练3-1:C 变式训练3-2:6课堂训练 1.B 2.D 3.20 4.(-4,-4) 5.解:(1)OAE与△OBF相似.理由: ∵AC‖BD,∴OAOB 又CE‖DF,∴OEOF ∴OAOB ∴AE‖BF,∴△OAE∽△OBF. △OAE与△OBF位似.理由: 已证△OAE∽△OBF, 又△OAE和△OBF对应点的连线都经过点O,∴△OAE与△OBF位似. (2)△ACE与△BDF位似.理由: 由(1)得AE‖BF,∴AEBF 又AC‖BD,∴ACBD=O 又CE‖DF,∴CEDF ∴ACBD=C∴△ACE∽△BDF. 又△ACE和△BDF对应点的连线都经过点O, ∴△ACE与△BDF位似.课后提升 1.D 2.A 3.D 4.2,32或-2,-32 5.4 6.187.10 8.解:∵矩形ABCD与矩形AB'C'D'是位似图形,且点A为位似中心, ∴ABAB 即ABAB ∴2AB=4AD,即ABAD 又∵矩形ABCD的周长为24,即AB+AD=12, ∴AB=8,AD=4.第4章锐角三角函数 4.1正弦和余弦第1课时正弦课前预习 1.大小 2.对边斜边sin A∠A 3.1222课堂探究【例1】探究答案:1.直角 2.对斜角的大小无关解:∵BC2+AC2=62+82=102=AB2, ∴△ABC是直角三角形,∠C=90°, ∴sin A=BCAB=610=35,sin B=A 变式训练1-1:5 变式训练1-2:3 【例2】探究答案:1.1 1 2.倒数正311 3 3.3 解:原式=12+1-3-2×3 =23+1-3-3 =3-2. 变式训练2-1:45°变式训练2-2:2 课堂训练 1.C 2.D 3.4 4.4 5.解:(1)原式=2+3-2×1 =2+3-1 =4. (2)原式=3-1-4×32+2 =3-1-23+23 =2.课后提升 1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.0.64217.538. 9.解:∵sin 30°=12 ∴∠A=30°, ∵sin 60°=32 ∴∠C=60°, 则∠B=180°-30°-60°=90°, ∴△ABC是直角三角形. 10.解:过点A作AD⊥BC于D, ∴sin ∠ABC=ADAB ∴AD=2114×AB=2114×10= 在Rt△ACD中,sin ∠ACB=ADAC第2课时余弦课前预习 1.邻边斜边 b 2.(90°-α)(90°-α) 3.3222课堂探究【例1】探究答案:1.BCAB AB2 2.ACAB解:∵sin A=BCAB 设BC=8x,AB=17x, ∴AC=AB2-B ∴cos A=ACAB=15 sin B=ACAB=cos cos B=BCAB=sin 变式训练1-1:D 变式训练1-2:27 变式训练1-3:0.5684【例2】探究答案:1.非负非负非负0 2.30°60° D 变式训练2-1:C 变式训练2-2:(1)6 (2)解:原式=22×22-32+2 =22-32+62 =2-62+ =2.课堂训练 1.B 2.B 3.513 4. 5.解:∵BC∶CA∶AB=5∶12∶13, 设BC=5k, 则CA=12k,AB=13k,∵(5k)2+(12k)2=(13k)2, 即BC2+CA2=AB2, ∴∠C=90°. 在Rt△ABC 中, sin A=BCAB=5 cos A=ACAB=12 sin B=cos A=1213 cos B=sinA=513课后提升 1.A 2.B 3.B 4.A 5.C 6.310107.18 9.解:(1)原式=2×22-1=1-1=0 (2)原式=-1-12+12+1= 10. 解:(1)过点B作BC⊥x轴于C, ∴sin ∠BOA=BCOB ∵OB=5, ∴BC=3, ∴OC=OB2- ∴点B的坐标为(4,3). (2)∵点A的坐标为(10,0), ∴AC=6. ∵BC=3,∴AB=62+32 ∴cos ∠BAO=ACAB=64.2正切课前预习 1.对边邻边ab 2.(2)正弦余弦正切 3.12 2232322212课堂探究【例1】探究答案:1.ACA 2.平行四边形ABED三角形ACD 三角形CDE B 变式训练1-1:C 变式训练1-2:A 【例2】探究答案:1.原式 2.2 解:(1)cos245°+tan 30°·sin 60° =222+33×3 =12+12= (2)cos 30°tan 30°+sin 60°tan 45°tan 60° =32×33+32× =12+ =2. 变式训练2-1:D变式训练2-2:1课堂训练 1.B 2.D 3.(1)0.3057(2)72.2° 4.3 5.解:(1)在Rt△ACD中,cos∠ADC=CDAD 设CD=3k,AD=5k, 由AD=BC得:5k=3k+4, ∴k=2.∴CD=3k=6. (2)∵BC=3k+4=10, AC=AD2-CD∴tan B=ACBC=8课后提升 1.A 2.C 3.B 4.C 5.A 6.337.58.②③④9. 10.解:11- ∴1-tan α=0,tan α=1, ∴α=45°, sin(α+15°)+cos(α-15°) =sin 60°+cos 30° =32+ =3.4.3解直角三角形课前预习 1.32未知 2.(1)a2+b2=c2(2)∠A+∠B=90°课堂探究【例1】探究答案:1.CD AB BD CD 2.BC BD BE D 解:(1)在△ABC中,AD是BC边上的高, ∴∠ADB=∠ADC=90°. 在△ADC中,∠ADC=90°,∠C=45°,AD=1, ∴DC=AD=1. 在△ADB中,∠ADB=90°,sin B=13,AD=1 ∴AB=ADsinB ∴BD=AB2-A∴BC=BD+DC=22+1. (2)∵AE是BC边上的中线, ∴BE=12BC=2+1∴DE=BD-BE=2-12 ∴tan∠DAE=DEAD=2 变式训练1-1:C 变式训练1-2:24【例2】探究答案:1.AB 2.AC·cos A AC·sin A CD 3.AD BD 解:过点C作CD⊥AB于D, ∵∠A=30°,AC=10 cm, sinA=CDAC,cos ∴CD=AC·sin A=10×sin 30°=5(cm), AD=AC·cos A=10×cos 30°=53(cm). ∵∠B=45°,∴BD=CD=5(cm).∴AB=AD+BD=53+5=5(3+1)cm. 变式训练2-1:D 变式训练2-2:21 课堂训练1.A 2.B 3.6 4.6 5.解:(1)∵∠C=90°,∴∠B=90°-∠A=60°. ∵cos A=bc ∴c=bcosA=3cos ∴a=12c=1.即∠B=60°,a=1,c=2 (2)∵∠C=90°,∴c2=a2+b2, 即a2=c2-b2=42-(22)2=8, ∴a=22,sin A=ac=224 ∴∠A=45°,∴∠B=45°. 即a=22,∠A=∠B=45°.课后提升 1.A 2.B 3.D 4.A 5.A 6.107.0,528.2 9.解:在Rt△BDC中,∠C=90°,∠BDC=45°, BD=102, ∴BC=BD·sin∠BDC =102·sin 45° =10. 在Rt△ABC中,sin A=BCAB=10 ∴∠A=30°. 10.解:过点B作BE⊥AD于E, BF⊥CD于F, ∵∠A=30°,AB=10,∴DF=BE=AB·sin A =10·sin 30° =5, AE=AB·cos 30°=53,∵∠C=30°,BC=20, ∴DE=BF=BC·sin C=20·sin 30°=10, CF=BC·cosC=20·cos 30°=103, ∴AD=AE+DE=53+10, CD=CF+DF=103+5.4.4解直角三角形的应用第1课时利用仰角、俯角解直角三角形课前预习 2.仰角俯角课堂探究【例1】探究答案:1.AD 2.tan 36°BD 解:根据题意,有∠CAD=45°,∠CBD=54°,AB=112 m. 在Rt△ACD中,∠ACD=∠CAD=45°, 有AD=CD.又AD=AB+BD,∴BD=AD-AB=CD-112. 在Rt△BCD中,∠BCD=90°-∠CBD=36°,∴tan∠BCD=tan 36°=BD 得BD=CD·tan 36°. 于是,CD·tan36°=CD-112. ∴CD=1121-tan36°≈1121 答:天塔的高度CD约为415 m. 变式训练1-1:A 变式训练1-2:D【例2】探究答案:1.△CBD△CAD 2.x3x 解:过点C作CD⊥AB于点D, 设CD=x米, 在Rt△ACD中, ∠CAD=30°, 则AD=CDtan30°=3 在Rt△BCD中,∠CBD=45°, 则BD=CD=x, 由题意得,3x-x=4, 解得x=43-1=2(3+1)≈5 答:生命所在点C的深度约为5.5米. 变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:(1)根据题意得∠E=∠ABD-∠D=127°-37°=90°. 在Rt△BDE中,∠E=90°,∠D=37°. ∴cos D=DE ∴DE=BD·cos 37°≈520×0.8=416(m). 答:施工点E离D 约416米时,正好使A、C、E在一条直线上. (2)∵sin D=BE∴BE=BD·sin D=520×sin 37°≈312(m), ∴CE=BE-BC≈312-80=232(m). 答:公路CE段的长约为232 m.课堂训练 1.B 2.B 3.3871 m 4.7502 5. 解:如图,作CD⊥AB,垂足为D. 在Rt△ACD中,∠A=30°, ∴CD=12AC=5∴AD=CDtan30°=5 ∵∠B=45°,∴BD=CD=5,BC=52.∴AC+BC-AB=10+52-(53+5) =(5+52-53)(千米). 答:汽车从A地到B 地比原来少走(5+52-53)千米.课后提升1.A 2.A 3.D 4.D 5.A 6.607.2.78.90.6 第2课时利用坡度、方位角解直角三角形课前预习 1.坡角课堂探究【例1】探究答案:1.ABsin 45° 2.2ADcos 30°解:(1)已知AB=2 m,∠ABC=45°, ∴AC=BC=AB·sin 45°=2×22=2(m 答:舞台的高为2米. (2)不会触到大树.理由如下: 已知∠ADC=30°,∴AD=2AC=22. CD=AD·cos 30°=22×32=6(m)<3(m 故修新楼梯AD时底端D不会触到大树. 变式训练1-1:A 变式训练1-2:。
2023版初中数学九年级下册同步训练《学法大视野》(湘教版)含答案62页
2023版初中数学九年级下册同步训练《学法大视野》(湘教版)含答案62页概述本文档是关于2023版初中数学九年级下册同步训练《学法大视野》(湘教版)含答案62页的详细介绍。
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目录结构《学法大视野》(湘教版)含答案62页的目录结构如下：•Unit 1: 分析推理与证明–Section 1: 数列的前后关系–Section 2: 函数的概念–Section 3: 合成函数与反函数–Section 4: 不等式与绝对值•Unit 2: 线性方程与一次函数–Section 1: 一元一次方程–Section 2: 配方法与分式方程–Section 3: 一次函数的图象与性质•Unit 3: 二次根式与二次函数–Section 1: 二次根式的运算–Section 2: 二次函数的概念与图象–Section 3: 初等函数的图象与性质内容特点《学法大视野》(湘教版)含答案62页作为初中九年级数学的同步训练教材，具有以下内容特点：1.有机结合知识点：教材通过合理的章节划分，将数学知识点进行了有机组合，帮助学生更好地理解数学知识的内在联系。
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课时参考答案(课前预习、课堂探究、课堂训练、课后提升)第1章反比例函数1.1 反比例函数课前预习1.y=≠零课堂探究【例1】探究答案:-1k≠0B变式训练1-1:解:判断某函数是否是反比例函数,不是看表示变量的字母是不是有x与y,而要看它能否化为y=(k为常数,k≠0)的形式.所以(2)是反比例函数,其中k=-6;(3)是反比例函数,其中k=-3.变式训练1-2:解:(1)由三角形的面积公式,得xy=36,于是y=.所以,y是x的反比例函数.(2)由圆锥的体积公式,得xy=60,于是y=.所以y是x的反比例函数.【例2】探究答案:1.y=(k≠0)2.(,-)解:设反比例函数的解析式为y=(k≠0),因为图象过点(,-),将x=,y=-代入,得-=,k=-2.因此,这个反比例函数的解析式为y=-,将x=-6,y=代入,等式成立.所以函数图象经过-6,.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:(1)设y1=k1x,y2=(k1,k2为常数,且k1≠0,k2≠0),则y=k1x+.∵x=1,y=4;x=2,y=5,∴解得∴y与x的函数表达式为y=2x+.(2)当x=4时,y=2×4+=8.课堂训练1.B2.C3.A4.-25.解:设大约需要工人y个,每人每天生产纪念品x个.∴xy=100,即y=(x>0)∵5≤x≤8,∴≤y≤,即12≤y≤20,∵y是整数,∴大约需工人13至20人.课后提升1.D2.A3.C4.B5.C6.27.4008.-129.解:(1)∵y是x的正比例函数,∴m2-3=1,m2=4,m=±2.∵m=2时,m-2=0,∴舍去.∴m=-2.(2)∵y是x的反比例函数,∴m2-3=-1,m2=2,m=±.10.解:(1)由S=xy=30,得y=,x 的取值范围是x>0.(2)由y= 可知,y 是x 的反比例函数,系数为60. 1.2 反比例函数的图象与性质第1课时 反比例函数的图象 课前预习3.(1)一、三 (2)二、四 课堂探究 【例1】 探究答案:第一、三象限 >解:(1)∵这个反比例函数图象的一支分布在第一象限,∴m -5>0,解得m>5.(2)∵点A (2,n )在正比例函数y=2x 的图象上, ∴n=2×2=4,则A 点的坐标为(2,4).又∵点A 在反比例函数y=- 的图象上, ∴4=- ,即m-5=8. ∴反比例函数的解析式为y= . 变式训练1-1:C变式训练1-2:-【例2】 探究答案:1.(1,5) 2.解:(1)∵点(1,5)在反比例函数y=的图象上, ∴5= ,即k=5, ∴反比例函数的关系式为y= . 又∵点(1,5)在一次函数y=3x+m 的图象上,∴5=3+m , ∴m=2. ∴一次函数的关系式为y=3x+2.(2)由题意可得解得 或 - -∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为-,-3.变式训练2-1:A变式训练2-2:解:(1)将A(-1,a)代入y=-x+2中,得a=-(-1)+2,解得a=3.(2)由(1)得,A(-1,3),将A(-1,3)代入y=中,,即k=-3,得到3=-即反比例函数的表达式为y=-.(3)如图:过A点作AD⊥x轴于D,∵A(-1,3),∴AD=3,在直线y=-x+2中,令y=0,得x=2,∴B(2,0),即OB=2,∴△AOB的面积S=×OB×AD=×2×3=3.课堂训练1.A2.C3.B4.m>15.解:(1)∵反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象,都经过点A(1,2),∴将x=1,y=2代入反比例函数解析式得,k=1×2=2,将x=1,y=2代入一次函数解析式得,b=2-1=1,∴反比例函数的解析式为y=,一次函数的解析式为y=x+1.(2)对于一次函数y=x+1,令y=0,可得x=-1;令x=0,可得y=1.∴一次函数图象与x轴,y轴的交点坐标分别为(-1,0),(0,1).课后提升1.C2.B3.A4.D5.C6.-37.-248.解:m2=(-4)×(-9)=36,∴m=±6.∵反比例函数y=的图象位于第一、三象限,∴m>0,∴m=6.9.解:(1)∵y=-的一支在第一象限内,∴m-5>0.∴m>5.对直线y=kx+k来说,令y=0,得kx+k=0,即k(x+1)=0.∵k≠0,∴x+1=0,即x=-1.∴点A的坐标为(-1,0).(2)过点M作MC⊥AB于点C,∵点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0),∴AB=4,AO=1.∵S△ABM=×AB×MC=×4×MC=8,∴MC=4.又AM=5,∴AC=3,又OA=1,∴OC=2 ∴点M的坐标为(2,4).把M(2,4)代入y=-,得4=-,则m=13,∴y=.第2课时反比例函数的性质课前预习1.在每一象限内减小在每一象限内增大2 y=±x坐标原点课堂探究【例1】探究答案:1.一、三>02.减小>解:(1)图象的另一支在第三象限,则2n-4>0,解得n>2.(2)把点(3,1)代入y=-,得2n-4=3,解得n=.(3)因为在每个象限内,y随x的增大而减小,所以由a1<a2,得b1>b2.变式训练1-1: A变式训练1-2:<【例2】探究答案:|k|解:设点A的坐标为a,,则点B的坐标为-a,-,∵BC∥x轴,AC∥y轴,∴AC⊥BC,又由题意可得BC=2a,AC=,S△ABC=BC·AC=·2a·=4.变式训练2-1:1变式训练2-2:解:设A的坐标是(m,n),则n=,即k=mn,∵OB=-m,AB=n,S=OB·AB=(-m)n=-mn=3,长方形ABOC∴mn=-3,∴k=-3,则反比例函数的解析式是y=-.课堂训练1.A2.C3.64.25.解:设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).∵点A是直线与反比例函数y=的交点,∴把A(1,a)代入y=,得a=2.∴A(1,2).把A(1,2)和C(0,3)代入y=kx+b,得解得k=-1,b=3.所以一次函数的解析式为:y=-x+3.课后提升1.D2.D3.A4.C5.C6.C7.x<-2或0<x<18.69.解:(1)图象的另一支在第三象限,∵图象在一、三象限,∴5-2m>0,∴m<.(2)b1<b2.理由如下:∵m<,∴m-4<m-3<0,∴b1<b2.1.3 反比例函数的应用课堂探究【例1】探究答案:1.反比例v=2.减小解:(1)设反比例函数解析式为v=,把(3000,20)代入上式,得20=,P=3000×20=60000,∴v=.(2)当F=1200时,v==50(米/秒)=180(千米/时),即当它所受的牵引力为1200牛时,汽车的速度为180千米/时.(3)由v=≤30,得F≥2000.所以,若限定汽车的速度不超过30米/秒,则F应不小于2000牛.变式训练1-1:C变式训练1-2:0.5【例2】探究答案:1.k2-22.图象解:(1)∵双曲线y=经过点A(1,2),∴k2=2.∴双曲线的解析式为y=.∵点B(m,-1)在双曲线y=上,∴m=-2,则B(-2,-1).由点A(1,2),B(-2,-1)在直线y=k1x+b上,得--解得∴直线的解析式为y=x+1.(2)y2<y1<y3.(3)x>1或-2<x<0.变式训练2-1:C变式训练2-2:解:(1)直线y=x+b经过第一、二、三象限,与y轴交于点B,∴OB=b,∵点A(2,t),△AOB的面积等于1.∴×2×b=1,可得b=1,即直线为y=x+1.(2)由点A(2,t)在直线y=x+1上,可得t=2,即点A坐标为(2,2),反比例函数y=(k是常量,k≠0)的图象经过点A,可得k=4,所求反比例函数解析式为y=.课堂训练1.C2.C3.B4.(1,-2)5.解:(1)将A(2,4)代入反比例函数解析式得m=8,∴反比例函数解析式为y2=,将B(-4,n)代入反比例函数解析式得n=-2,即B(-4,-2),将A与B坐标代入一次函数解析式得,解得则一次函数解析式为y1=x+2.(2)联立两函数解析式得解得或--则y1=y2时,x的值为2或-4.(3)利用题图象得,y1>y2时,x的取值范围为-4<x<0或x>2.课后提升1.D2.D3.C4.D5.x<0或1<x<46.1.67.(3,2)8.19.解:(1)∵反比例函数y=的图象过B(4,-2)点,∴k=4×(-2)=-8,∴反比例函数的解析式为y=-.∵反比例函数y=-的图象过点A(-2,m),∴m=--=4,即A(-2,4).∵一次函数y=ax+b的图象过A(-2,4),B(4,-2)两点,∴--解得-∴一次函数的解析式为y=-x+2.(2)∵直线AB:y=-x+2交x轴于点C,∴C(2,0).∵AD⊥x轴于D,A(-2,4),∴CD=2-(-2)=4,AD=4,∴S△ADC=·CD·AD=×4×4=8.10.解:(1)把A(m,2)代入反比例函数解析式y=得2=,所以m=1.∴A(1,2).(2)把A(1,2)代入正比例函数解析式y=kx得2=k,所以k=2,因此正比例函数的解析式为y=2x.(3)因为正比例函数的解析式为y=2x,当x=2时,y≠3,所以点B(2,3)不在正比例函数图象上.第2章一元二次方程2.1 一元二次方程课前预习1.一个2整式3.相等课堂探究【例1】探究答案:1.2=22.≠0解:根据题意,得m2-2=2,且m-2≠0.解得m=±2,且m≠2.所以m=-2.则m2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=-4.变式训练1-1:C变式训练1-2:≠±1=【例2】探究答案:1.移项合并同类项2.符号0解:(1)去括号,得4t2+12t+9-2(t2-10t+25)=-41,去括号、移项、合并得2t2+32t=0,所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2,32,0.(2)去括号,得x2-x+=3x+,移项、合并,得x2-4x+=0,所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为,-4,.变式训练2-1:B-变式训练2-2:解:解得m=±2且m≠-2.∴m=2.【例3】探究答案:1.根2.≠0解:根据题意,得(m-2)×12+(m2-3)×1-m+1=0,即m2-4=0,故m2=4,解得m=2或m=-2.∵方程(m-2)x2+(m2-3)x-m+1=0是关于x的一元二次方程,∴m-2≠0,即m≠2.故m=-2.变式训练3-1:1变式训练3-2:解:把x=0代入方程得a2-1=0,∴a=±1,∵a-1≠0,∴a≠1,∴a=-1.课堂训练1.C2.A3.-104.-25.解:去括号,得9x2+12x+4=4x2-24x+36.移项、合并同类项得,5x2+36x-32=0.∴它的二次项为5x2二次项系数为5,一次项为36x,一次项系数为36,常数项为-32.课后提升1.D2.D3.C4.C5.D6.x(x+5)=300x2+5x-300=015-3007.18.≠1=19.解:(1)去括号,得x2-4=3x2+2x,移项,得-2x2-2x-4=0,二次项系数为-2,一次项系数为-2,常数项为-4.(2)去括号,移项合并,得(1-2a)x2-2ax=0,二次项系数为1-2a,一次项系数为-2a,常数项为0.10.解:小明的话有道理.理由:若方程为一元二次方程,则m+1=2,m=1.而m=1时,m2+m-2=0,所以此方程不可能为一元二次方程.2.2 一元二次方程的解法2.2.1 配方法第1课时用配方法解简单的一元二次方程课前预习1.(1)平方根2.(1)a2±2ab+b2(2)完全平方式课堂探究【例1】探究答案:-a±没有解:移项,得2(x+1)2=,两边同时除以2,得(x+1)2=,∴x+1=±,∴x1=-1+=,x2=-1-=-.变式训练1-1:m≥7变式训练1-2:解:(1)移项,得(2x-1)2=25,开平方得2x-1=±5,∴2x-1=5或2x-1=-5,解这两个方程得:x1=3,x2=-2.(2)两边同除以3,得(x-2)2=4,开平方得:x-2=±2,∴x-2=2或x-2=-2.解这两个方程,得x1=4,x2=0.【例2】探究答案:一次项系数一半的平方解:移项,得x2-x=,配方,得x2-x+=,-=,∴x-=或x-=-,∴x1=1,x2=-.变式训练2-1:±变式训练2-2:解:移项,得x2-2x=2,配方,得(x-1)2=3,解得x=1±.∴x1=1+,x2=1-.课堂训练1.D2.B3 ±4 ±85.解:(1)移项得x2-2x=1,配方,得x2-2x+1=2,即(x-1)2=2,开方,得x-1=±,则x1=1+,x2=1-.(2)移项,得x2-4x=-1,配方,得x2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3,开方,得x-2=±,∴原方程的解是x1=2+,x2=2-.课后提升1.D2.B3.D4.B5.36.-37.900 cm28.解:(1)直接开平方得,x-1=±,即x-1=或x-1=-,∴x1=1+,x2=1-.(2)配方,得x2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5.∴x-1=±,即x-1=或x-1=-∴x1=1+,x2=1-.(3)方程两边都除以2,得x2-=-x,移项,得x2+x=.配方,得x2+x+2=+2,即x+2=.开平方得,x+=±,∴x1=,x2=-3.9.解:用配方法解方程a2-10a+21=0,得a1=3,a2=7.当a=3时,3、3、7不能构成三角形;当a=7时,三角形周长为3+7+7=17.10.解:移项得x2+px=-q,配方得x 2+px+ 2=-q+ 2,即x+2= - . ∵p 2≥4q , ∴p 2-4q ≥0,∴x+ =± - .∴x 1=-- ,x 2=- - - .第2课时 用配方法解复杂的一元二次方程课前预习(1)1(2)二次项和一次项 常数项(3)一次项系数一半的平方课堂探究【例1】 探究答案:1.1 2.完全平方式解:两边同时除以2,得x 2- x+ =0,移项,得x 2- x=- ,配方,得x 2- x+ - =- + -, 即 -= , 两边开平方,得x-=± ,x- = 或x- =-, ∴原方程的解为x 1=1,x 2=.变式训练1-1:D变式训练1-2:解:(1)二次项系数化为1,得x 2-x-2=0,移项,得x2-x=2,配方,得x2-x+=2+,即x-2=,∴x-=±,∴x1=,x2=-.(2)二次项系数化为1,得x2-x-=0.移项,得x2-x=.配方得x2-x+2=+2,即x-2=,∴x-=±,∴x1=1,x2=-.【例2】探究答案:1.12.减去解:2x2-4x+5=2(x2-2x)+5=2(x2-2x+12-12)+5=2(x-1)2+3∵2(x-1)2≥0,∴2(x-1)2+3>0,∴代数式2x2-4x+5的值总是一个正数.变式训练2-1:13变式训练2-2:解:x2-4x+5=x2-4x+22-22+5=(x-2)2+1.∵(x-2)2≥0,且当x=2时值为0,∴当x=2时,代数式x2-4x+5的值最小,最小值为1.课堂训练1.A2.B3.x1=-2,x2=4.3或-75.-3或36.解:由题意得2x2-x=x+6,∴2x2-2x=6,∴x2-x=3,∴x2-x+=3+,∴x-2=,∴x-=±,∴x1=,x2=-.∴x=或-时,整式2x2-x与x+6的值相等.课后提升1.D2.D3.B4.D5.x1=1+,x2=1-6.87.38.1±29.解:去括号,得4x2-4x+1=3x2+2x-7,移项,得x2-6x=-8,配方,得(x-3)2=1,∴x-3=±1,∴x1=2,x2=4.10.解:由题意,得2x2+x-2+(x2+4x)=0,化简,得3x2+5x-2=0.系数化为1,得x2+x=,配方,得x+2=,∴x+=±,∴x1=-2,x2=.2.2.2 公式法课前预习1.x=--(b2-4ac≥0)2.求根公式课堂探究【例1】探究答案:1.一般形式2.a、b、c解:原方程可化为x2+2x-1=0,∵a=1,b=2,c=-1.b2-4ac=22-4×1×(-1)=8>0,∴x=-=-=-1±.∴x1=-1+,x2=-1-.变式训练1-1:D变式训练1-2:解:(1)移项,得2x2+3x-1=0,∵a=2,b=3,c=-1,∴b2-4ac=17>0,∴x=-,∴x1=-,x2=--.(2)化简得,x2+5x+5=0,∴a=1,b=5,c=5,∴b2-4ac=5>0,∴x=-,∴x1=-,x2=--.【例2】探究答案:1.一元二次方程有实数根2.相等解:原方程可化为2x2+2x+1=0,∵a=2,b=2,c=1,∴b2-4ac=(2)2-4×2×1=0,∴x=-=-.∴x1=x2=-.变式训练2-1:解:(1)b2-4ac=(-2)2-4×1×1=4-4=0.∴此方程有两个相等的实数根.(2)b2-4ac=72-4×(-1)×6=49+24=73>0.∴此方程有两个不相等的实数根.变式训练2-2:C课堂训练1.D2.C3.24.解:(1)b 2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=16+8=24>0.∴x=- - == = .∴x 1= ,x 2= - .(2)整理,得4x 2+12x+9=0,所以a=4,b=12,c=9.因为b 2-4ac=122-4×4×9=0,所以方程有两个相等的实数根,所以x=- - =-=- =- .∴x 1=x 2=- . 课后提升1.C2.A3.D4.D5.- ,- -6.x 1=1,x 2=7.25或168.解:整理得x 2+2x-1=0, b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8,x=- =- =-1± ,∴x 1=-1+ ,x 2=-1- .9.解:(1)x 2-4x-1=0, ∵a=1,b=-4,c=-1, ∴Δ=(-4)2-4×1×(-1)=20,∴x==2± ,∴x 1=2+ ,x 2=2- .(2)∵3x (x-3)=2(x-1)(x+1), ∴x 2-9x+2=0, ∵a=1,b=-9,c=2, ∴Δ=(-9)2-4×1×2=73>0,∴x=- - = ,∴x 1= ,x 2= - .10.解:由题意得,m2+1=2,且m+1≠0,解得m=1.所以原方程为2x2-2x-1=0,这里a=2,b=-2,c=-1.b2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12.∴x==,∴x1=,x2=-.2.2.3 因式分解法课前预习1.(2)(a-b)(a+b)(a±b)22.一次因式00课堂探究【例1】探究答案:x[(x+2)-4]3(x-5)2-2(5-x)=0(x-5)(3x-13)解:(1)x(x+2)-4x=0,x[(x+2)-4]=0,即x(x-2)=0,∴x=0或x-2=0,∴x1=0,x2=2.(2)3(x-5)2=2(5-x),3(x-5)2-2(5-x)=0,(x-5)[3(x-5)+2]=0,∴x-5=0或3x-15+2=0,∴x1=5,x2=.变式训练1-1:C变式训练1-2:解:(1)(3x-4)2=3(3x-4),∴(3x-4)(3x-7)=0,∴x1=,x2=.(2)3(x+2)2=(x+2)(x-2),(x+2)[3(x+2)-(x-2)]=0,∴(x+2)(2x+8)=0,∴x1=-2,x2=-4.【例2】探究答案:直接开平方法配方法公式法因式分解法解:(1)公式法:∵a=1,b=-3,c=1,∴b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0,∴x=--,∴x1=,x2=-.(2)因式分解法:原方程可化为x(x-3)=0,∴x=0或x-3=0∴x1=0,x2=3.(3)配方法:配方,得x2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5,∴x-1=±,∴x1=1+,x2=1-.变式训练2-1:C变式训练2-2:解:(1)用直接开平方法:原方程可化为(x-3)2=4,∴x-3=±2,∴x1=5,x2=1.(2)用配方法:移项,得x2-4x=7.配方,得x2-4x+4=7+4,即(x-2)2=11,∴x-2=±∴x-2=或x-2=-,∴x1=2+,x2=2-.(3)用因式分解法:方程两边分别分解因式,得(x-3)2=2(x-3)(x+3),移项,得(x-3)2-2(x-3)(x+3)=0.方程左边分解因式,得(x-3)[(x-3)-2(x+3)]=0,即(x-3)(-x-9)=0,∴x-3=0或-x-9=0.∴x1=3,x2=-9.课堂训练1.C2.D3.74.-1或45.解:(1)∵a=3,b=1,c=-1,∴b2-4ac=12-4×3×(-1)=13>0,∴x=-∴x1=-,x2=--.(2)移项,得(3x-2)2-4(3-x)2=0,因式分解,得[(3x-2)+2(3-x)][(3x-2)-2(3-x)]=0,即(x+4)(5x-8)=0,∴x+4=0或5x-8=0,∴x1=-4,x2=.(3)将原方程整理,得x2+x=0,因式分解,得x(x+1)=0,∴x=0或x+1=0,∴x1=0,x2=-1.课后提升1.A2.D3.B4.B5.B6.x1=3,x2=97.68.-19.解:(1)用求根公式法解得y1=3,y2=-8.(2)用分解因式法解得x1=,x2=-1.(3)用求根公式法解得y1=-,y2=--.10.解:解方程x(x-7)-10(x-7)=0,得x1=7,x2=10.∵4<第三边长<10,∴x2=10(舍去).第三边长为7.这个三角形的周长为3+7+7=17.2.3 一元二次方程根的判别式课前预习1.a≠02.(1)> (2)= (3)<课堂探究【例1】探究答案:1.一般形式2.a、b、c b2-4ac解:(1)原方程可化为x2-6x+9=0,∵Δ=b2-4ac=(-6)2-4×1×9=0,∴原方程有两个相等的实数根.(2)原方程可化为x2+3x+1=0,∵Δ=b2-4ac=32-4×1×1=5>0,∴原方程有两个不相等的实数根.(3)原方程可化为3x2-2x+3=0.∵Δ=b2-4ac=(-2)2-4×3×3=-12<0,∴原方程无实数根.变式训练1-1:A变式训练1-2:B【例2】探究答案:1.≥解:由题意知:b2-4ac≥0,即42-8k≥0,解得k≤2.∴k的非负整数值为0,1,2.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:∵a=2,b=t,c=2.∴Δ=t2-4×2×2=t2-16,令t2-16=0,解得t=±4,当t=4或t=-4时,原方程有两个相等的实数根.课堂训练1.D2.A3.D4.k<-15.解:(1)当m=3时,Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8<0,∴原方程没有实数根.(2)当m=-3时,x2+2x-3=0,x2+2x=3,x2+2x+1=3+1,(x+1)2=4,∴x+1=±2,∴x1=1,x2=-3.课后提升1.D2.A3.C4.C5.D6.m>17.m<2且m≠18.6或12或109.解:由题意,得由,得4(k+1)+4-8k>0,即-4k>-8,解得k<2.由得,k≠,由得,k≥-1.∴-1≤k<2且k≠.10.解: Δ=b2-4ac=4-4(2k-4)=20-8k.∵方程有两个不等的实根,∴20-8k>0,∴k<.(2)∵k为正整数,∴0<k<(且k为整数),即k为1或2,∴x=-1±-.∵方程的根为整数,∴5-2k为完全平方数.当k=1时,5-2k=3;当k=2时,5-2k=1.∴k=2.*2.4 一元二次方程根与系数的关系课前预习-课堂探究【例1】探究答案:1.-12.2ab解:因为方程x2-x-1=0的两实根为a、b.所以(1)a+b=1;(2)ab=-1;(3)a2+b2=(a+b)2-2ab=12-2×(-1)=3;(4)+==-1.变式训练1-1:-2变式训练1-2:-【例2】探究答案:1.2(m+1)2.>0解:∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=[-2(m+1)]2-4×1×(m2-3)=16+8m>0,解得m>-2;根据根与系数的关系可得x1+x2=2(m+1),∵(x1+x2)2-(x1+x2)-12=0,∴[2(m+1)]2-2(m+1)-12=0,解得m1=1或m2=-.∵m>-2,∴m2=-(舍去),∴m=1.变式训练2-1:1变式训练2-2:解:∵x1+x2=2,∴m=2.∴原方程为x2-2x-3=0,即(x-3)(x+1)=0,解得x1=3,x2=-1.课堂训练1.B2.A3.-24.55.解:设x1,x2是方程的两个实数根,∴x1+x2=-,x1x2=-.又∵+=3,∴=3,∴--=3,∴-3=3-3m,∴m=2,又∵当m=2时,原方程的Δ=17>0,∴m的值为2.课后提升1.B2.B3.D4.B5.B6.-20147.68.20149.解:将-2代入原方程得:(-2)2-2+n=0,解得n=-2,因此原方程为x2+x-2=0,解得x1=-2,x2=1,∴m=1.10.解:(1)根据题意得m≠1Δ=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4,∴x1=-=-,x2=--=1.(2)由(1)知x1=-=1+-又∵方程的两个根都是正整数,∴-是正整数,∴m-1=1或2.∴m=2或3.2.5 一元二次方程的应用第1课时增长率与利润问题课前预习1.a(1±x)2.(1)单件售价(2)单件利润课堂探究【例1】探究答案:(1)10000(1+x)10000(1+x)2(2)12100(1+x)解:(1)设捐款增长率为x,根据题意列方程得,10000(1+x)2=12100,解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去);答:捐款增长率为10%.(2)12100×(1+10%)=13310元.答:第四天该单位能收到13310元捐款.变式训练1-1:A变式训练1-2:B【例2】探究答案:200+3-2-x解:设应将每千克小型西瓜的售价降低x元.根据题意,得(3-2-x)200+-24=200.解这个方程,得x1=0.2,x2=0.3.答:应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元.变式训练2-1:2或6变式训练2-2:解:设每件童装应降价x元.根据题意得(40-x)(20+2x)=1200,解这个方程得x1=10,x2=20.因为在相同利润的条件下要扩大销售量,减少库存,所以应舍去x1=10.答:每件童装应降价20元.课堂训练1.B2.D3.B4.20%5.解:设每千克核桃应降价x元.根据题意得(60-x-40)(100+×20)=2240解这个方程得x1=4,x2=6.答:每千克核桃应降价4元或6元.课后提升1.C2.C3.D4.B5.10%6.30007.40(1+x)2=48.48.10%9.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人,由题意,得1+x+x(1+x)=64,解之,得x1=7,x2=-9.答:每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)7×64=448.答:又有448人被传染.10.解:(1)设每年市政府投资的增长率为x,根据题意,得:2+2(1+x)+2(1+x)2=9.5,整理,得x2+3x-1.75=0,解之,得x1=0.5, x2=-0.35(舍去)所以每年市政府投资的增长率为50%.(2)到2013年年底共建廉租房面积=9.5×=38(万平方米).第2课时面积与动点问题课堂探究【例1】探究答案:1.(6-x)2x2.(6-x)·2x=8解:设经过x秒钟后,△PBQ的面积等于8 cm2.根据题意得(6-x)·2x=8.解这个方程得x1=2,x2=4.答:经过2秒或4秒后,△PBQ的面积等于8 cm2.变式训练1-1:解:(1)由勾股定理:AC=5 cm,设x秒钟后,P、Q之间的距离等于5 cm,这时PC=5-x,CQ=2x,则(5-x)2+(2x)2=52,即x2-2x=0.解这个方程,得x1=0,x2=2,其中x1=0不合题意,舍去.答:再运动2秒钟后,P、Q间的距离又等于5 cm.(2)设y秒钟时,可使△PCQ的面积等于4 cm2.×(5-y)×2y=4,即y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.经检验,它们均符合题意.答:1秒钟或4秒钟时,△PCQ的面积等于4 cm2.变式训练1-2:解:设应移动x米.OA=-=3米.则由题意得(3+x)2+(4-x)2=52.解这个方程得x1=1,x2=0(不合题意,舍去).答:应移动1米.【例2】探究答案:(100-2x)(50-2x)解:设正方形观光休息亭的边长为x米.依题意,有(100-2x)(50-2x)=3600.整理,得x2-75x+350=0.解得x1=5,x2=70.∵x=70>50,不合题意,舍去,∴x=5.答:矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米,根据题意,得(40-2x)(60-3x)=60×40×,解之,得x1=10,x2=30(不符合题意,舍去).答:两块绿地周围的硬化路面的宽都是10米.课堂训练1.B2.C3.D4.15.解:设花边的宽为x米,根据题意,得(2x+6)(2x+3)=40.解得x1=1,x2=-.但x2=-不合题意,舍去.答:花边的宽为1米.课后提升1.D2.C3.C4.B5.D6.97.24458.10009.解:(1)设小货车原计划每辆每次运送帐篷x顶,则大货车原计划每辆每次运送帐篷(x+200)顶,根据题意,得2[8x+2(x+200)]=16800,解得x=800,x+200=800+200=1000.故大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶,800顶.(2)根据题意,得2(1000-200m)1+m+8(800-300)(1+m)=14400,化简为m2-23m+42=0,解得m1=2,m2=21.∵1000-200m不能为负数,且m为整数,∴m2=21(不符合实际,舍去),故m的值为2.10.解:设x秒后四边形APQB的面积是△ABC面积的,在Rt△ABC中,AB=10,AC=8,由勾股定理,得BC2=AB2-AC2=102-82=36,∴BC=6.则(8-2x)(6-x)=××6×8,解得x1=2,x2=8(不合题意,舍去),∴2秒后四边形APQB的面积是△ABC面积的.第3章图形的相似3.1 比例线段3.1.1 比例的基本性质课前预习1.(1)比值比值(2)比例内项2.(1)bc课堂探究【例1】探究答案:1.==2.7y=4x 7∶4解:(1)∵3x=2y,∴=,即=.(2)∵=,∴7y=4x,=.变式训练1-1:D变式训练1-2:4【例2】探究答案:1.解:∵===,∴=,即△的周长△的周长=.设△ADE 和△ABC 的周长分别为2x cm 和3x cm,则有3x-2x=15,得x=15. ∴△ABC 的周长为45 cm,△ADE 的周长为30 cm .变式训练2-1:D变式训练2-2:解:设 = = =k ,则x=3k ,y=5k ,z=7k , ∴ - - = - - = =5. 课堂训练1.C2.A3.2∶3=4∶6(答案不唯一)4.5.解:因为 - = ,所以3(m-n )=2n ,化简得3m=5n ,所以 = ,则 = +2= ×3+2= ×3+2=7. 课后提升1.C2.C3.D4.C5.A6. 7.3 8.2或-19.解:∵a ∶b ∶c=1∶2∶4,设a=k ,b=2k ,c=4k ,则 - =- == .10.解:∵ = = = ,∴ =- - =- - = .∴ - -- - = .3.1.2 成比例线段 课前预习1.m ∶n =2. =3. 黄金比 - ≈0.618课堂探究【例1】探究答案:1.(12-x)-=2.=解:(1)设AD=x cm,则DB=(12-x)cm.则有-=,解这个方程得x=7.2,所以AD=7.2 cm.(2)=-=,==,所以=,所以线段DB、AB、EC、AC是成比例线段.变式训练1-1:B变式训练1-2:解:利用比例线段的定义,∵a=1 mm=0.1 cm,b=0.8 cm,c=0.02 cm,d=4 cm,∴d>b>a>c,而==5,==5,∴=,∴d、b、a、c四条线段是成比例线段.【例2】探究答案:1.=2.=解:设CB=x,∵点C为线段AB的黄金分割点,∴=,即=,得9=x(x+3),解得x1=-,x2=--(舍去).故CB的长为-.变式训练2-1:C变式训练2-2:解:因为点C是AB的黄金分割点,所以当AC>BC时,=-.又因为AB=10 cm,所以AC=-×10=(5-5)(cm),当AC<BC时,=-,所以BC=-×10=(5-5)(cm),所以AC=AB-BC=10-(5-5)=(15-5)(cm),所以AC的长为(5-5)cm或(15-5)cm.课堂训练1.D2.3.6-24.=5.解:(1)a∶b=c∶d,即a∶0.2=0.5∶1,则a=0.2×0.5=0.1.(2)a∶b=c∶d,即3∶7=c∶21,则7c=21×3,得c=9.课后提升1.B2.D3.C4.B5.B-6.6.987.168.-或9.解:设相邻两个钉子之间的距离为1个单位长度,则AD=2,BD=5,BE=5,CE=1,CF=4,AF=3.在直角三角形ABD中,AB===,在直角三角形BCE中,BC===,在直角三角形ACF中,AC===5,所以=,=.10.解:设每一份为k,由(a-c)∶(a+b)∶(c-b)=(-2)∶7∶1,--得解得-而(3k)2+(4k)2=(5k)2,即a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形.3.2 平行线分线段成比例课前预习(1)在另一条直线上截得的线段也相等(2)对应线段(3)成比例课堂探究【例1】探究答案:1.2.解:∵l1∥l2∥l3,∴=,∵=,∴=,∴=,由DF=20 cm,得DE=DF=12 cm,∴EF=DF-DE=8 cm.变式训练1-1:D变式训练1-2:【例2】探究答案:1.2.x-4x-4--=D变式训练2-1:B变式训练2-2:A课堂训练1.B2.A3.A4.55.解:∵DE⊥AB,CB⊥AB,∴DE∥BC,∴=,即=,∴AC=.∴BC=-=-=.课后提升1.C2.C3.A4.D5.D6.97.68.149.解:∵DE∥BC,DF∥AC,∴四边形EDFC为平行四边形,∴DE=FC=5,又∵DF∥AC,∴=,即=,得BF=10.10.解:∵DE∥BC,∴=.又∵EF∥CD,∴=,∴=,∴AD2=AB·AF=36,∴AD=6 cm.3.3 相似图形课前预习1.(1)对应相等对应成比例(2)∽△ABC相似于△A'B'C'(3)相等成比例2.(1)对应角成比例(2)相等等于相似比课堂探究【例1】探究答案:1.∠A' ∠B' ∠C'2. °-∠A-∠B解:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B'= °在△ABC中,∠C= °-∠A-∠B= °- °- °= °.变式训练1-1:50变式训练1-2:1∶2【例2】探究答案:(1)CD CB ° °解:因为四边形ABCD∽四边形EFGH,∴∠F=∠B= ° ∠G=∠C= °====,∴∠H= °-(∠E+∠F+∠G)= °BC=FG÷=6×=27,CD=GH÷=7×=31.5.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:由四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似得,==,∠A=∠A'= °∴x=21×=14,y=12÷=12×=18,∠α= °-(∠A+∠B+∠C)= °.课堂训练1.C2.B3.61.54.9或255.解:因为梯形AEFD∽梯形EBCF,所以==,又因为AD=4,BC=9,所以EF2=AD·BC=4×9=36,所以EF=6,所以===.课后提升1.B2.D3.D4.D5.D6.2 °7. ° °18.9.解:∵四边形ABCD与四边形EFGH相似,∴∠E=∠A= ° ∠F=∠B= °.∴∠G= °- °- °- °= °.∵=,∴AB=·==.∵=,∴BC=·===.10.解:∵△ABC∽△APQ,∴=,即=,解得PQ=75.答:PQ的长为75 cm.3.4 相似三角形的判定与性质3.4.1 相似三角形的判定第1课时两角对应相等或平行判定相似课前预习(1)相似(2)相等课堂探究【例1】探究答案:1.EDA 2.DFC 3.△EDA △DFC解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,∴△BEF∽△CDF,△BEF∽△AED,∴△BEF∽△CDF∽△AED.当△BEF∽△CDF时,相似比k1==;当△BEF∽△AED时,相似比k2==;当△CDF∽△AED时,相似比k3==.变式训练1-1:3变式训练1-2:1∶2【例2】探究答案:1.∠DAE 2.∠D解:△ABC∽△ADE,理由如下:∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠BAC=∠DAE,又∵在△AOB与△COD中,∠AOB=∠COD,∠1=∠3,∴∠B=∠D,∴△ABC∽△ADE.变式训练2-1:C变式训练2-2:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠ADF=∠CED,∠B+∠C= °∵∠AFE+∠AFD= ° ∠AFE=∠B,∴∠AFD=∠C,∴△ADF∽△DEC.课堂训练1.D2.C3.A4.∠ADE=∠C(答案不唯一)5.解:(1)在△ABC中,∵∠A= ° ∠B= °∴∠C= °.∴∠A=∠A'= ° ∠C=∠C'= °.∴△ABC∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似).(2)在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C,∴∠A=∠B=∠C= °∴∠A=∠A',∠B=∠B',∴△ABC∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似).课后提升1.A2.D3.C4.D5.66.2.57.解:∵∠A= ° AB=AC,∴∠ABC=∠ACB= °∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD= °∠BDC= °∴AD=BD,BC=BD,∴△ABC∽△BDC,∴=,即=,∴AD2=AC·CD,设AD=x,则CD=1-x,∴x2=1×(1-x),x2+x-1=0,x=-=-,x1=-,x2=--(舍去),∴AD=-,∴AD的长是-.8.解:(1)△ABC∽△FOA,理由如下:在矩形ABCD中,∠BAC+∠BCA= °∵l垂直平分AC,∴∠OFC+∠BCA= °∴∠BAC=∠OFC=∠OFA,又∵∠ABC=∠FOA= °∴△ABC∽△FOA.(2)四边形AFCE是菱形,理由如下:∵AE∥FC,∴∠AEO=∠OFC,∠EAO=∠OCF,∴△AOE∽△COF,∵OC=OA,∴OE=OF,即AC、EF互相垂直平分,∴四边形AFCE是菱形.第2课时两边成比例夹角相等或三边成比例判定相似课前预习(1)成比例夹角(2)成比例课堂探究【例1】探究答案:1.2.△DCA解:因为=,=,所以=,又因为∠B=∠ACD,所以△ABC∽△DCA,所以=,·==.所以AD=变式训练1-1:B变式训练1-2:证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC=BC,∠D=∠C= °∵M是CD的中点,∴AD∶DM=2∶1,∵BP=3PC,∴CM∶PC=2∶1,即=,且∠D=∠C,∴△ADM∽△MCP.【例2】探究答案:1.522.解:相似.理由如下:AB=,AC=,BC=5,DE=,DF=2,EF=,∵=,=,=,即==,∴△ABC∽△DEF.变式训练2-1:A变式训练2-2:证明:∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点,∴DE、DF、EF分别为△ABC的中位线,∴DE=BC,DF=AC,EF=AB,∴===,∴△DEF∽△CBA.课堂训练1.A2.C3.B4.35.解:由题知AC=,BC==,AB=4,DF==2,EF==2,ED=8,∴===,∴△ABC∽△DEF.课后提升1.C2.C3.D4.C5.B6. °7.(4,0)或(3,2)8.解:(1)△ABC∽△EBD,理由如下:∵BD·AB=BE·BC,∴=,又∵∠B为公共角,∴△ABC∽△EBD.(2)ED⊥AB,理由如下:由△ABC∽△EBD可得∠EDB=∠C,∵∠C= ° ∴∠EDB= ° 即ED⊥AB.9.解:△A'B'C'∽△ABC,理由如下:∵==3,∠AOC=∠A'OC',∴△AOC∽△A'OC',∴==3,同理=3,=3,∴==,∴△A'B'C'∽△ABC.3.4.2 相似三角形的性质课前预习1.相似比2.(1)相似比相似比的平方(2)相似比相似比的平方课堂探究【例1】探究答案:1.△ADE 2.DE解:∵BC∥DE,∴∠ABC=∠ADE,∠ACB=∠AED,∴△ABC∽△ADE,所以=,设DE高为x m,则=,x=12.故旗杆大致高12 m.变式训练1-1:C变式训练1-2:1∶2【例2】探究答案:1.相似比的平方2.解:(1)∵△ABC∽△ADE,∴=,∵AB=15,AC=9,BD=5,∴AD=20,∴AE=·==12.即AE的长为12.==,(2)∵△ABC∽△ADE,∴△△∴S△ADE==48,∴S=48-27=21.四边形BDEC变式训练2-1:A变式训练2-2:D课堂训练1.D2.D3.1∶24.1∶21∶45.解:因为DE∥BC,所以∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,所以△ADE∽△ABC.又=,△ADE的周长是10 cm,所以△ABC的周长是30 cm,所以梯形BCED的周长为30-8+2=24(cm).课后提升1.D2.A3.B4.A5.1∶96.37.8.89.(1)证明:∵E是AB的中点,∴AB=2EB,∵AB=2CD,∴CD=EB,又∵AB∥CD,∴四边形CBED是平行四边形,∴DE∥CB,∴∠EDM=∠MBF,∠DEM=∠MFB,∴△EDM∽△FBM.(2)解:∵△EDM∽△FBM,∴=,又∵F是BC的中点,∴DE=2BF,∴DM=2BM.∴BM=DB=3.△△=2=4.3.5 相似三角形的应用课堂探究【例1】探究答案:1.△ABF △EFG2.解:∵CD∥EF∥AB,∴可以得到△CDF∽△ABF,△ABG∽△EFG,∴=,=,又∵CD=EF,∴=,∵DF=3,FG=4,BF=BD+DF=BD+3,BG=BD+DF+FG=BD+7,∴=,∴BD=9,BF=9+3=12,∴=,解得,AB=6.4 m.变式训练1-1:A变式训练1-2:5.6【例2】探究答案:1.△EDC 2.△EDC解:(1)DE=AB,理由如下:∵AB⊥BF,ED⊥BF,∴∠ABC=∠EDC.∵∠ACB=∠ECD,BC=CD,∴△ABC≌△EDC(ASA),∴AB=DE,即DE的长就是A、B的距离.(2)能,∵∠ABC=∠EDC= ° ∠ACB=∠ECD,∴△ABC∽△EDC,∴=,AB=·==15(米).即A、B之间的距离为15米.变式训练2-1:C变式训练2-2:解:设AB=x米,因为BC∥DE,所以∠ABC=∠D,又∠A=∠A,所以△ABC∽△ADE,则=,即=,解得x=70.答:A、B两村相距70米.课堂训练1.A2.B3.4.1.5米5.解:由光的反射定律可知∠1=∠2,∴∠ABS=∠CBP.∵SA⊥AC,PC⊥AC,∴∠SAB=∠PCB= °∴△ASB∽△CPB.∴=,∴SA=·==12(cm).答:点光源S与平面镜的距离SA的长是12 cm.课后提升1.C2.A3.A4.D5.22.56.8 m7.4.28.解:∵∠DEF=∠BCD= ° ∠D=∠D,∴△DEF∽△DCB,∴=,∵DE=40 cm=0.4 m,EF=20 cm=0.2 m,AC=1.5 m,CD=10 m.∴=,∴BC=5(m),∴AB=AC+BC=1.5+5=6.5(m),∴树高为6.5 m.3.6 位似课前预习1.同一个点O 位似中心相似比2.位似坐标原点课堂探究【例1】探究答案:1.1∶22.1∶4解:(1)△ABC与△A'B'C'的周长之比为==.设S△ABC周长为x cm,△A'B'C'周长为2x cm,则2x-x=12,解得x=12,所以△ABC的周长为12 cm.(2)△ABC与△A'B'C'的面积之比为2=,设S△ABC=y cm2,则S△A'B'C'=4y cm2,则y+4y=25,解得y=5,所以△A'B'C'的面积为20 cm2.变式训练1-1:B变式训练1-2:解:(1)、(3)中的两个图形都是位似图形,位似中心分别为点A、O;(2)中的两个图形不是位似图形.【例2】探究答案:1.位似中心2.位似中心解:(1)如图所示.(2)A'C'==2,AC=4,∴四边形AA'C'C的周长为AA'+A'C'+C'C+CA=2+2+2+4=4+6.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:作法:(1)连接OA,并延长OA到A',使得AA'=OA;(2)连接OB,并延长OB到B',使得BB'=OB;(3)连接OC,并延长OC到C',使得CC'=OC;(4)连接OD,并延长OD到D',使得DD'=OD;(5)连接A'B',B'C',C'D',D'A'(如图所示),则四边形A'B'C'D'是四边形ABCD关于O点的位似图形,且四边形A'B'C'D'与四边形ABCD的相似比为2.【例3】探究答案:1.位似中心2.1∶(-2)解:(1)延长BO到B',使B'O=2BO,延长CO到C',使C'O=2CO,连接B'C'.则△OB'C'即为△OBC的位似图形(如图所示).(2)观察图形可知,B'(-6,2)、C'(-4,-2).(3)M'(-2x,-2y).变式训练3-1:C变式训练3-2:6课堂训练1.B2.D3.204.(-4,-4)5.解:(1)OAE与△OBF相似.理由:∵AC∥BD,∴=.又CE∥DF,∴=,∴=,∴AE∥BF,∴△OAE∽△OBF.△OAE与△OBF位似.理由:已证△OAE∽△OBF,又△OAE和△OBF对应点的连线都经过点O,∴△OAE与△OBF位似.(2)△ACE与△BDF位似.理由:由(1)得AE∥BF,∴=,又AC∥BD,∴==.又CE∥DF,∴=.∴==,∴△ACE∽△BDF.又△ACE和△BDF对应点的连线都经过点O,∴△ACE与△BDF位似.课后提升1.D2.A3.D4.2,或-2,-5.46.187.108.解:∵矩形ABCD与矩形AB'C'D'是位似图形,且点A为位似中心,∴=,即=,∴2AB=4AD,即=,又∵矩形ABCD的周长为24,即AB+AD=12,∴AB=8,AD=4.第4章锐角三角函数4.1 正弦和余弦第1课时正弦课前预习1.大小2.对边斜边sin A ∠的对边斜边3.课堂探究【例1】探究答案:1.直角2.对斜角的大小无关解:∵BC2+AC2=62+82=102=AB2,∴△ABC是直角三角形,∠C= °∴sin A===,sin B===.变式训练1-1:变式训练1-2:【例2】探究答案:1.112.倒数正133.解:原式=+1-3-2×=2+1-3-=-2.变式训练2- : °变式训练2-2:2课堂训练1.C2.D3.44.5.解:(1)原式=2+3-2×=2+3-1=4.(2)原式=3-1-4×+2=3-1-2+2=2.课后提升1.C2.B3.C4.C5.B6.0.64217.8.9.解:∵sin °=,∴∠A= °∵sin °=,∴∠C= °则∠B= °- °- °= °∴△ABC是直角三角形.10.解:过点A作AD⊥BC于D,∴sin ∠ABC==,∴AD=×AB=×10=.在Rt△ACD中,sin ∠ACB==.第2课时余弦课前预习1.邻边斜边2. °-α °-α)3.课堂探究【例1】探究答案:1.AB2BC22.解:∵sin A==,设BC=8x,AB=17x,∴AC=-=15x,∴cos A===,sin B==cos A=,cos B==sin A=.变式训练1-1:D变式训练1-2:2变式训练1-3:0.5684【例2】探究答案:1.非负非负非负02. ° °D变式训练2-1:C变式训练2-2:(1)(2)解:原式=2×-+=-+=2-+=2.课堂训练1.B2.B3.4.5.解:∵BC∶CA∶AB=5∶12∶13,设BC=5k,则CA=12k,AB=13k,∵(5k)2+(12k)2=(13k)2,即BC2+CA2=AB2,∴∠C= °.在Rt△ABC中,sin A===,cos A===,sin B=cos A=,cos B=sin A=.课后提升1.A2.B3.B4.A5.C6.7.18.9.解:(1)原式=×-1=1-1=0.(2)原式=-1-++1=0.10.解:(1)过点B作BC⊥x轴于C,∴sin ∠BOA==,∵OB=5,∴BC=3,∴OC=-=4,∴点B的坐标为(4,3).(2)∵点A的坐标为(10,0),∴AC=6.∵BC=3,∴AB==3,∴cos ∠BAO===.4.2 正切课前预习1.对边邻边2.(2)正弦余弦正切3.1课堂探究【例1】探究答案:1.AC2.平行四边形ABED 三角形ACD 三角形CDEB变式训练1-1:C变式训练1-2:A【例2】探究答案:1.原式2.解:(1)cos2 °+tan °·sin °=2+×=+=1.。