方差分析的步骤
方差分析
方差分析方差分析是比较多个总体的均值是否相等，但本质上它所研究的是变量之间的关系。
在研究一个（或多个）分类型自变量与一个数值型因变量之间的关系时，方差分析就是其中的只要方法之一。
一、方差分析引论假设需要检验4个总体的均值分别为4321,,,μμμμ，如果用一般假设检验方法，如t 检验，一次只能研究两个样本，要检验4个总体的均值是否相等，需要做6次检验，如果在0.05的置信水平下检验，每次检验犯第Ⅰ类错误的概率都是0.05，检验完成时，犯第Ⅰ类错误的概率会大于0.05，即连续作6次检验第Ⅰ类错误的概率为6)1(1α--=0.265,而置信水平则会降低到0.735（即695.0）。
随着增加个体显著性检验的次数，偶然因素导致差别的可能性也会增加（并非均值真的存在差别）。
而方差分析方法则是同时考虑所有的样本，因此排除了错误累计的概率，从而避免拒绝一个真实的原假设。
1、方差分析及其有关术语方差分析：就是通过检验各总体均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。
例1：为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的企业作为样本。
其中零售业7家，旅游业抽取6家，航空公司抽取5家，家电制造业抽取5家。
最后统计出最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数。
如下表所示。
消费者对四个行业的投诉次数行业零售业 旅游业 航空业 家电制造业57 68 31 44 66 39 49 51 49 29 21 65 40 45 34 77 34 56 40 58 53 51 44要分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，实际上就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响，做出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等。
在方差分析中，要检验的对象称为因素或因子。
因素不同的表现称为水平或处理。
每个因子水平下得到的样本数据称为观测值。
在例1中，“行业”是要检验的对象，称为“因素”或“因子”；零售业，旅游业，航空公司，家电制造业是行业这一因素的具体表现，称为“水平”或“处理”；在每个行业下得到的样本数据（被投诉次数）称为观测值。
SPSS 教程 第五章 方差分析
目录1、单因素方差分析1)准备分析数据2)启动分析过程3)设置分析变量4)设置多项式比较5)多重比较6)提交执行7)结果与分析2、多因素方差分析1)准备分析数据2)调用分析过程3)设置分析变量4)选择分析模型5)选择比较方法6)选择均值图7)选择多重比较8)保存运算值9)选择输出项10)提交执行11)结果分析方差分析是用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。
由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状，造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
方差分析的基本思想是：通过分析研究不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
方差分析主要用途：①均数差别的显著性检验，②分离各有关因素并估计其对总变异的作用，③分析因素间的交互作用，④方差齐性检验。
在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处理方法对实验结果的影响。
通常是比较不同实验条件下样本均值间的差异。
例如医学界研究几种药物对某种疾病的疗效；农业研究土壤、肥料、日照时间等因素对某种农作物产量的影响；不同化学药剂对作物害虫的杀虫效果等，都可以使用方差分析方法去解决。
方差分析原理方差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间的差别基本来源有两个：(1) 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差异，称为组内差异，用变量在各组的均值与该组内变量值之偏差平方和的总和表示，记作SS w，组内自由度df w。
(2) 实验条件，实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间差异。
用变量在各组的均值与总均值之偏差平方和表示，记作SS b，组间自由度df b。
总偏差平方和 SS t = SS b + SS w。
组内SS t、组间SS w除以各自的自由度(组内dfw =n-m，组间dfb=m-1，其中n为样本总数，m为组数)，得到其均方MS w和MS b，一种情况是处理没有作用，即各组样本均来自同一总体，MS b/MS w≈1。
方差分析(单因素、多因素方差分析)
单因素方差分析1.基本理解方差分析：是一种利用实验获取数据并进行分析的统计方法，经常用于研究不同效应对指定实验的影响是否显著。
方差分析用于检验连续型随机变量在三及以上分类数据不同水平上的差异情况。
方差分析包括：单因素方差分析、多元素方差分析、多元方差分析、协方差分析、重复测量方差分析。
在问卷数据中：单因素方差分析使用较多。
单因素方差分析：用于检验单个因素取不同水平是某因变量的均值是否有显著的变化，也可进一步用于因变量均值的多重比较（检验某些水平下的实验结果具体区别于其他水平的显著差异）。
图1检验步骤2.单因素方差分析操作步骤操作步骤第一步：首先将数据导入spss中并进行赋值后，点击分析、比较平均值、单因素ANOVA检验。
图2单因素方差分析第一步操作步骤第二步：进入图中对话框后将需检验的变量放入因变量列表中，在因子中放入分类变量，点击事后比较勾选假定等方差（LSD），不假定等方差（塔姆黑泥T2）点击继续。
图3单因素方差分析事后比较勾选3.当因素方差分析结果后点击线性进入图中下方选项框、勾选描述、方差齐性检验点击继续、确定。
图4单因素方差分析选项勾选然后单因素方差分析的描述、方差齐性、假设检验就出来了。
图5单因素方差分析结果单因素方差分析事后两两比较结果。
图6事后比较结果4.结果整理将首先将描述统计的结果粘贴复制到Excel表格中进行整理，保留均值和标准差及前面的内容，后在后面加入ANOVA表中的F和p值，将整理好的两两比较结果粘贴到表格的最后，最后将整理好的结果粘贴到Word文档中进行整理。
可参考图中结果整理。
（注：一般在看结果时首先看ANOVA表的结果，看显著情况，显著（p<0.05）看方差齐性检验的结果，若方差齐性检验的结果方差齐（p>0.05），然后再看事后比较的结果，方差齐看LSD，方差不齐看塔姆黑泥的结果，同样差异的显著看事后比较每行对应的显著性（若p<0.05，代表比较的对象显著。
单因素方差分析的计算步骤
单因素方差分析的计算步骤Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】一、 单因素方差分析的计算步骤假定实验或观察中只有一个因素（因子）A ,且A 有m 个水平，分别记为,,,21m A A A 在每一种水平下，做n 次实验，在每一次试验后可得一实验值，记做ij x 表示在第j 个水平下的第i 个试验值()m j n i ,2,1;,2,1==。
结果如下表：m A A A ,,21看成是m 个正态总体，而()m j n i x ij ,2,1;,2,1==看成是取自第j 总体的第i 个样品，因此，可设()m j n i a N x j ij ,2,1;,2,1,,~2==σ。
可以认为j j j a εεμ,+=是因素A 的第j 个水平j A 所引起的差异。
因此检验因素A 的各水平之间是否有显着的差异，就相当于检验：μ====m a a a H 210:或者 具体的分析检验步骤是：（一）计算水平均值令j x 表示第j 种水平的样本均值，式中，ij x 是第j 种水平下的第i 个观察值，j n 表示第j 种水平的观察值次数（二）计算离差平方和在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和，组内离差平方和以及组间平方和。
首先，总离差平方和，用SST 代表，则，其中,n x x ij ∑∑=它反映了离差平方和的总体情况。
其次，组内离差平方和，用SSE 表示，其计算公式为：其中j x 反映的是水平内部或组内观察值的离散状况，即反映了随机因素带来的影响。
最后，组间平方和，用SSA 表示，SSA 的计算公式为：用各组均值减去总均值的离差的平方，乘以各组观察值个数，然后加总，即得到SSA 。
可以看出，它所表现的是组间差异。
其中既包括随机因素，也包括系统因素。
根据证明，SSA SSE SST ,,之间存在着一定的联系，这种联系表现在： 因为：在各组同为正态分布，等方差的条件下，等式右边最后一项为零，故有，即 SSA SSE SST +=（三）计算平均平方用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。
variance analysis公式
variance analysis公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：方差分析（variance analysis）是一种常用的统计方法，用于比较和分析数据集中的变异情况。
通过计算方差，我们可以了解不同组别或因素之间的差异程度，从而帮助我们进一步探索数据背后的规律和趋势。
方差分析通常用于研究实验设计中不同处理组之间的差异，以及分析市场调查、商业报告等领域中的数据变化。
方差分析的基本公式为：\[SS_{total} = SS_{between} + SS_{within}\]\(F\)代表F统计量，\(MS_{between}\)代表组间均方，\(MS_{within}\)代表组内均方。
方差分析的步骤如下：1. 计算总平方和：首先计算所有数据点与整体平均值的离差的平方和，得到总平方和\(SS_{total}\)。
4. 计算F统计量：通过总平方和、组间平方和和组内平方和的比较，计算F统计量，用于判断不同组别之间的差异是否显著。
在进行方差分析时，通常需要进行假设检验，以确定数据之间的差异是否具有统计学意义。
常见的假设包括：- 零假设（\(H_0\)）：不同组别或因素之间没有显著差异，即各组别或因素的均值相等。
- 备择假设（\(H_1\)）：不同组别或因素之间存在显著差异，即至少有一个组别或因素的均值与其他组别或因素不同。
在方差分析中，我们利用F统计量进行假设检验，当F值大到足以拒绝零假设时，我们可以认为不同组别或因素之间的差异具有统计学意义。
除了用于比较不同组别或因素之间的差异，方差分析也可以用于研究单个组别或因素内部的数据变化。
通过计算组内平方和，我们可以了解同一组别或因素内部不同数据点之间的差异情况，从而更深入地分析数据的特征和规律。
第二篇示例：方差分析是一种用于比较实际结果与预期结果之间差异的统计方法。
在商业和财务领域，方差分析通常被用来评估实际成本与预算成本之间的差异。
这种分析可以帮助企业了解其业绩表现是否符合预期，以及对差异做出有效的管理决策。
方差分析（ANOVA）（转）
⽅差分析（ANOVA）（转）转⾃：⽅差分析（analysis of variance，ANOVA），即变量分析，是对多个样本平均数差异显著性检验的⽅法。
在⼀个多处理试验中，可以得到⼀系列不同的观测值。
造成观测值不同的原因是多⽅⾯的，有的是不同的处理引起的，即处理效应；有的是试验过程中偶然性因素的⼲扰和测量误差造成的，即误差效应。
⽅差分析的基本思想就是将测量数据的总变异按变异原因不同分解为处理效应和试验误差，并作出其数量估计。
要正确认识观测值的变异是由处理效应还是误差效应引起的，我们可以计算出处理效应的均⽅和误差效应的均⽅，在⼀定意义下进⾏⽐较，从⽽检验处理间的差异显著性。
假设⼀个试验有k个处理，每个处理有n个观测数据，则总共有nk的观测值。
⽤表⽰第i个处理的第j个观测值，其中i=1，2，3，...，k；j=1，2，3，...，n。
表⽰第i个处理观测值的总体平均数，表⽰试验误差，则有：，即第i个处理的第j个观测值是由该处理的总体平均数加上不可避免的试验误差组成的。
⽽对于总体平均数（所有nk个观测数据的平均数），则有。
若将各⾃处理⽔平上的总体平均数视为在总体平均数的基础上施加了不同的处理效应造成了，则有。
综上，，即任⼀个观测数据都是由总体平均数加上处理效应以及试验误差组成的。
同理，对于由样本估计的线性模型为：，为样本平均数，为第i个处理的效应，为试验误差。
根据的不同假定，上述模型可分为： 固定模型（fixed model）：各个处理的效应值是固定的，即除去随机误差外每个处理所产⽣的效应是固定的，是个常量且之和为0。
此时的试验处理⽔平常是根据⽬的事先主观选定的，如⼏种不同温度下⼩麦籽粒的发芽情况。
随机模型（random model）：各个处理的效应值不是固定的，⽽是由随机因素所引起的效应。
是从期望均值为0，⽅差为的正态总体中得到的随机变量。
如调查不同⽣境下某物种的⽣长状况时，不同⽣境的⽓候、⼟壤条件及⽔分条件等属于⽆法认为控制的因素，就要⽤随机模型来处理。
第一节-方差分析的基本原理与步骤
第一节方差分析的基本原理与步骤方差分析有很多类型，无论简单与否，其基本原理与步骤是相同的。
本节结合单因素试验结果的方差分析介绍其原理与步骤。
一、线性模型与基本假定假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n次重复，共有nk个观测值。
这类试验资料的数据模式如表6-1所示。
表6-1k个处理每个处理有n个观测值的数据模式处理观测值合计平均A1 x11 x12 …x1j …x 1nA2 x21 x22 …x2j …x 2n……A i x i1 x i2 …x ij …x in……A k x k1 x k2 …x kj …x kn xk .合计表中表示第i个处理的第j个观测值（i=1,2,…,k；j=1,2,…,n）；表示第i个处理n 个观测值的和；表示全部观测值的总和；表示第i 个处理的平均数；表示全部观测值的总平均数；可以分解为(6-1)表示第i个处理观测值总体的平均数。
为了看出各处理的影响大小，将再进行分解，令(6-2)(6-3)则(6-4)其中μ表示全试验观测值总体的平均数，是第i个处理的效应（treatmenteffects）表示处理i对试验结果产生的影响。
显然有(6-5)εij是试验误差，相互独立，且服从正态分布N（0，σ2）。
（6-4）式叫做单因素试验的线性模型（linearmodel）亦称数学模型。
在这个模型中表示为总平均数μ、处理效应αi、试验误差εij之和。
由εij相互独立且服从正态分布N（0，σ2），可知各处理Ai(i=1，2，…，k)所属总体亦应具正态性，即服从正态分布N(μi,σ2)。
尽管各总体的均数可以不等或相等，σ2则必须是相等的。
所以，单因素试验的数学模型可归纳为：效应的可加性（additivity）、分布的正态性（normality）、方差的同质性（homogeneity）。
这也是进行其它类型方差分析的前提或基本假定。
若将表（6-1）中的观测值xij（i=1,2,…,k;j=1,2,…,n）的数据结构（模型）用样本符号来表示，则(6-6)与（6-4）式比较可知，、、分别是μ、（μi-μ）=、（xij-）=的估计值。
单因素方差分析步骤（1）
单因素方差分析步骤：对于只有一种因素影响的资料，例如本例只检测血型这一种变量是否影响肺活量。
我们先确立假设和确立检验标准H0：假设不同血型的人的肺活量是有差异的H1：假设不同血型的人的肺活量是没有差异的。
第一步：选择检验方式第二步：确定比较方式第三布：在选项里选择描述方式第四步：得出结果：由本图可知，p》0.05，可知肺活量的总体方差无差异，方差齐则可做方差分析再有下图可知：p= 0.789是大与0.05的，所以不是小概率事件，不拒绝H0，所以认为不同血型的人的肺活量是没有差异的。
随机区组设计资料的方差分析2.如果对四种饲料对猪体重增加量有无差异进行分析，则可将猪随机分组，本例中以a代表分组，b代表饲料，x代表体重增加量如图：对于这种资料分析，应选用单变量方差分析，主要是影响因素是多样的，主要描述的是体重增加量。
那么我们首先应1、确定假设：对于处理组：H0，假设三种处理方式体重增加量是相等的H1，假设三种处理方式体重增加量是不等的。
对于区组：H0，假设三组之间体重增加量是相等的H1，假设三组之间体重增加量是不等的。
2、确立检验标准a=0.053、计算统计量F F1=MS处理/MS误差F2=MS区组/MS误差4、确定p值，做出推断结论。
第一步：选择分析方式第二步：选择确立因变量，本题描述的是体重增加量，故选用x，确立区间，处理措施。
如图：第三步：确定模型，本题为确定区组a与处理措施b的交互作用，因此选用a，b交互模式。
如图：如需作图比较分组a 与处理措施b 的交互作用对体重影响有无差异可添加对比组，如图：确定观察均值的两两比较，主要针对与各分组的均值比较，及各处理方式的均值比较：在选项里设定输出，描述统计及方差齐性检验，显示分组及处理方式的均值。
最后得出结果：有本图可知F＜3，p＞0.05，可知各组间方差齐，可做方差检验。
如下图所示，可知p≥0.05，统计无差异，所以可知，三种处理方式对体重增加是无差异的。
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方差分析的基本步骤
Ⅰ 求平方和
①总平方和是所有观测值与总平均数的离差的平方总和 ()
22T G SS X N =-∑其中G 表示所有数据的总合，N 表示总共的数据个数
②组间平方和是每组的平均数与总平均数的离差的平方再与该组数据个数的乘积的总和 ()2
22i B i i T G SS n X G n N ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦∑∑，G 为数据总均值，i T 为每组数据和，i n 为该组数据个数
③组内平方和是各被试的数值与组平均数之间的离差的平方总和 W i SS SS =∑
（注：T B W SS SS SS =+推荐用于检验之前的计算，而不是被当作快
捷计算的方式）
Ⅱ 计算自由度
()1
1
1T B W df N df k df k n N k =-=-=-=-
Ⅲ 计算均方 B B B
SS MS df =
W W W
SS MS df =
Ⅳ 计算F 值 B W
MS F MS =
Ⅴ 查F 值表进行F 检验并做出判断
Ⅵ 陈列方差分析表
文章来源：博仁教育。