固体物理习题3

x 2 n 1 x 2 n 1 2 x 2 n
m x 2 n 1 x 2 n 2 x 2 n 1x 2 n 1 x 2 n
x 2 n 2 x 2 n 2 x 2 n 1
设试探解为 x2n 1Ai te 2n 1 aq和 x2nAi e t2naq
uAe Ae iqn 2aωt
i1qn ω at
2
n
u B e Be n1
i q n 2 aq b ω t
i 1qn ω a t
2
代入运动方程，得
m ω 2 A β 2 B A β 1 A B iqe a m ω 2 B β 1 A iq B a e β 2 B A
关系。
12
3
n-1 n n+1 n+2 N-1 N
a 解：此题为一维双原子链。设第 n1n ,n,1n ,2个原子的
位移分别为 un1,un,un1,un2 。第 n1与第 n1 个原子属 于同一原子，第 n与第 n2个原子属于同一原子，于是
第 n和第 n1 原子受的力分别为
f n β 2 u n 1 u n β 1 u n u n 1
c t o n s 1 a 2 q ct o n s aq
因为
c t o n 1 s a c q t o n s a a q q c t o n s c a a o s q q t i s n n s a a in
因此
m 2 x n 2 A c t o n s c a a o 1 q q s
f n 1 β 1 u n 2 u n 1 β 2 u n 1 u n
其运动方程分别为
m d d 2u 2n tβ 2u n 1u nβ 1u nu n 1
m d2 d u n 2 1 tβ 1u n 2 u n 1β 2u n 1 u n
设格波的解分别为
(1)
要A、B有不全为零的解，方程(1)的系数行列式必须等于零， 从中解得
பைடு நூலகம்
2 m m M M m 2 M 2 2 m c4 a M o 1 2 q s (2)
式中的“+”“－”分别给出两种频率，对应光学支格波和声学支
格波。上式表明，是q的周期函数，14aq14a。当q取
边界值，即 q14a 时，从(2)式得
N4
2
又因为一维单原子链的色散关系为
ω2 4 β sin2aq 或者 ω2 2β1cosaq
m 2
m
所以 1mω2 β1cosaq
2
得平均总能量 ε 1 mω2A2 2
3.2 证明：在由两种不同质量M、m(M>m)的原子所组成的一维
复式格子中，如果波矢q取边界值 q 2a(a为相邻原子间
距)，则在声学支上，质量为m的轻原子全部保持不动；在光学 支上，质量为M的重原子保持不动。
证明：如图所示，设质量为m的轻原子位于2n-1，2n+2，2n+3，... 各点；设质量为M的轻原子位于2n-2，2n，2n+2，…各点。
a
mM
2n-3 2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2 2n+3
令 表示原子间的恢复力系数，运动方程写为
m x 2 n x 2 n 1 x 2 nx 2 n x 2 n 1
x n 1 x n 1 2 x n
(1)
式中，xnn1 ,2 ,3 ,为原子位移； 为恢复力常数。
依题设，原子的振动位移可表示为
xn1xn AAcocosstt nna1qaq
(2)
xn1 Acost n1aq
将(2)式代入(1)式，得
m 2 x n A co t n s 1 a q
2βxnco s1a q4βxnsi2 n a 2 q
故得格波的色散关系为
ω2 4 β sin2aq m 2
（2）原子链上总能量可写为
E n2 1m x n 2 n2 1βxnxn12
其中求和遍及链上的所有原子。
ET 10 T n2 1m x n 2 n2 1βxnxn 12 dt T 10 T2 1m x n 2d tT 10 T2 1β x nx n 12d t
第三章 晶格振动
3.1 原子质量为m，间距为a的一维单原子链，如果原子的振动
位移为 x ntA co t sna 试求q：
（1）格波的色散关系；
（2）每个原子对时间平均的总能量。
解：（1）在单原子晶格中，若只计相邻原子的互作用，第n
个原子的运动方程可写成
m x nx n 1 x nx n x n 1
由上式得到 A ,即B0 B
B 0,即A0 A
由此可见，当波矢q取边界值时，声学支中轻原子保持不动
(A=0)，光学支中重原子也保持不动(B=0)。
3.3 一维复式格子，原子质量都为m,晶格常数为a，任一个原 子与最近邻原子的间距为b,若原子与最近邻原子和次近邻原子
的恢复力常数为 β 和 β ，试列出原子的运动方程并求出色散
2m 12,2M 12,
将 和 依次代入(1)式，得到两种原子的振幅比分别为
光学支： B A 2 2 cM o a 2 sq 1c M o am sq
声学支： B A 2 2 cm o a s 2q 1c m o aM sq
因为 1M0,1m0,
m
M
而且 当 q 1 时，cosaq=0 4a
x ntA co t snax q n 1 t Aω c n o t1 a sq
T 10T2 1mxn 2d t 4 1mω2A2 T 10 T2 1βxnxn12d t2 1β2 A 1cosaq
E n4 1m ω 2A22 1β2 A 1cosaq
εE1m ω 2A21β2 A 1cos aq
式中，A为轻原子的振幅；B为重原子的振幅；为角频率； q2 为波矢。
将试探解代入运动方程有
m 2 A e ia e q ia B q 2 A
M 2 B e ia e q ia A q 2 B
经整理变成
m 22A 2co asB q0
2co asA qM 22B0