计算方法-95线性多步法资料
线性多步法
多步法应用于常微分方程的数值解。
从概念上讲，数值方法从初始点开始，然后在时间上向前迈出一小步，以找到下一个求解点。
该过程的下一步是绘制解决方案。
一步法（例如Euler方法）仅引用前一点及其导数来确定当前值。
诸如Runge Kutta之类的方法采取一些中间步骤（例如，半个步骤）来获得高阶方法，但是在进行第二步之前会丢弃所有先前的信息。
多步尝试通过保留和使用先前步骤中的信息而不是丢弃信息来提高效率。
因此，多步法涉及前几个要点和导数。
在多步的情况下，使用先前点和导数的线性组合。
简单的介绍多步法应用于常微分方程的数值解。
从概念上讲，数值方法从初始点开始，然后在时间上向前迈出一小步，以找到下一个求解点。
该过程的下一步是绘制解决方案。
一步法（例如Euler方法）仅引用前一点及其导数来确定当前值。
诸如Runge Kutta之类的方法采取一些中间步骤（例如，半个步骤）来获得高阶方法，但是在进行第二步之前会丢弃所有先前的信息。
多步尝试通过保留和使用先前步骤中的信息而不是丢弃信息来提高效率。
因此，多步法涉及前几个要点和导数。
在多步的情况下，使用先前点和导数的线性组合。
[1-3]具体定义常微分方程的数值方法近似地解决了形式初值问题结果是离散时间的Ti的Y（T）的近似值其中h是时间步长，而I是整数。
Multistep使用上一步中的信息来计算下一个值。
特别地，多步法使用Yi和f（Ti，Yi）来计算所需当前步长的Y值。
因此，多步方法是以下形式的方法：确定系数AI和Bi。
该方法的设计者选择系数平衡了对实际解决方案的需求，以便获得一种易于使用的方法。
通常，许多系数为零以简化该方法。
显式和隐式方法可以区分。
如果Bi = 0，则该方法称为“显式”，因为它可以直接计算yn + s。
如果Bi≠0，则该方法称为“隐式”，因为YN + s的值取决于f（TN + s，yn + s），并且必须为yn + s。
迭代方法（例如牛顿法）通常用于求解隐式公式。
【论文】线性三步法的性质及其应用
摘要本文主要研究线性三步法的性质及其应用问题，在已有线性多步法基本公式的及线性二步法的基础上，本文又推导出了一个线性三步法公式，并对其进行性质分析验证。
对构造出的线性三步法公式进行相容性、稳定性、收敛性的判断。
对于一些简单而典型的微分方程模型，是可以设法求出其解析解的，并有理论上的结果可利用。
但在数学模型中遇到的常微分方程初值问题模型，通常很难直接求出结果，甚至根本无法求出其解析解，而只能求其近似解。
因此，研究其数值方法，以便快速求得数值解有其重大意义。
对此，本文对常微分方程初值问题模型用线性三步法进行了计算机实现。
本文工作如下：首先，介绍线性多步法公式的基本概念、构造方法、误差分析。
然后，在已有的线性多步法公式特别是线性二步法的基础上，推导出线性三步法的公式，并对其性质进行分析判断。
最后，对构造的线性三步法公式进行应用，主要分析出口服药物在体内吸收变化的情况，用Matlab程序对饮食和非饮食两种情况进行作图比较。
关键词：线性三步法,常微分方程数值解,初值问题,口服药AbstractThis paper studies the nature of the linear three-step method and its application,the existing basic formula of linear multi-step and linear two-step method,the paper has derived a linear three-step formula,and verify the nature of their conduct.Of the constructed linear three-step formula for compatibility,stability,convergence of the judge.For some simple and typical differential equation model,is to derive its analytical solution,and the results are theoretically available.However,mathematical models encountered in the ODEs model,the results are usually difficult to acquire,or even impossible to derive its analytical solution,but can only seek its approximate solution. Therefore,to study the numerical method to quickly obtain the numerical solution to be of significance.In this regard,this paper model of Ordinary Differential Equation of linear three-step method using a computer to achieve.This works as follows:First,the introduction of linear multi-step formula the basic concepts,construction methods,error analysis.Then,in the existing formula,especially linear multi-step linear two-step method based on the derived formula of linear three-step method,and the nature of its judgments.Finally,structural formula of linear three-step application,the main export services of the in vivo absorption of changing circumstances,using Matlab program on food and non food plot comparison of two situations.Key words：Linear three-step method,Numerical Solution of Ordinary Differential Equations,Initial Value Problem,Oral目录第一章绪论 (1)第二章线性多步法的基本理论 (3)2.1常微分方程的数值解法 (3)2.2线性三步法的构造 (4)第三章线性三步法相容性、稳定性、收敛性的研究 (7)3.1相容性 (7)3.2稳定性 (7)3.3收敛性 (8)第四章口服药物在体内的变化 (10)4.1问题的基本概述 (10)4.2建立口服药物的吸收模型 (11)4.2.1问题的提出 (11)4.2.2模型的假设 (11)4.2.3模型的符号及意义 (12)4.2.4应用线性三步法求解 (12)第五章结论与展望 (16)5.1结论 (16)5.2进一步展望 (16)参考文献 (17)致谢 (18)附录 (19)声明 (22)第一章绪论自然界和工程技术中的很多现象，例如自动控制系统的运行、电力系统的运行、飞行器的运动、化学反应的过程、生态平衡的某些问题等，都可以抽象成为一个常微分方程初值问题。
数值积分
1.183 215 957
1.264 911 064
0.125267 7 101
0.16571813 101
0.4
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.358 212 600
1.435 132 919 1.508 966 254 1.580 338 238 1.649 783 431 1.717 779 348 1.784 770 832
上式称为欧拉公式，或称为矩形法。若已知初值，就可以经过上式的 迭代计算求得近似值。
f ( x)
o
a
b
x
yy = f ( x) Nhomakorabeaf2f1
f...
fn
O
a
b
x
梯形法
基于欧拉思想的近似思想，我们现用梯形的面积来代替前面的矩形面积，可以得到梯 形公式
h yn 1 yn ( K1 K 2 ) 2
yn1 i yni h i f n i
i 0 i 1
k 1
k 1
i , i 均为待定系数。如果 1 0 ，且上式的右端不含 式中 fi f ( yi , ti ) ， 有 y n 1，公式称为显式。如果 1 0 上式的右端含有 yn 1 ，称为隐式 公式。
欧拉法
欧拉法（Euler）是最简单的一种数值积分法。虽然它的计算精度较低，实际中很 少采用，但推导简单，能说明构造数值解法一般计算公式的基本思想。 已知一阶微分方程 dy
f (t , y ) dt y (t 0 ) y0
tn1 tn
y(tn1 ) y(t n )
ki f (t ci h, y(t ) h a j k j )(i 1, 2,3,......, r )
线性多步法
线性多步法：线性多步法（linear multistep method）是1993年发布的数学名词。
线性：线性特性是卷积运算的性质之一，即设a，b为任意常数，则对于函数f(z，y)，h(x，y)和g(x，y)，{af(x，Y)+bh(z，y)}*g(z，y)=af(x，y)*g(x，y)+bh(x，y)*g(z，y)。
同样有：f(x，y)*{ah(x，y)+bg(x，y)=af(x，y)*h(x，y)+bf(x，y)*g(x，y)。
定义：卷积(Convolution)既是一个由含参变量的无穷积分定义的函数，又代表一种运算。
其运算性质在线性系统理论、光学成像理论和傅里叶变换及其应用中经常用到。
卷积的运算性质有线性特性，复函数的卷积，可分离变量，卷积符合交换律，卷积符合结合律，坐标缩放性质，卷积位移不变性，函数f（x，y）与函数的卷积。
其中线性特性可描述为：设a，b为任意常数，则对于函数f(z，y)，h(x，y)和g(x，y)，{af(x，Y)+bh(z，y)}*g(z，y)=af(x，y)*g(x，y)+bh(x，y)*g(z，y)。
同样有：f(x，y)*{ah(x，y)+bg(x，y)=af(x，y)*h(x，y)+bf(x，y)*g(x，y)。
多步法：多步法用于普通微分方程的数值解。
从概念上讲，一个数值方法从一个初始点开始，然后在时间上向前迈出一小步，找到下一个解点。
该过程以后的步骤来绘制解决方案。
单步方法（如欧拉方法）只指一个前一点及其导数来确定当前值。
诸如Runge-Kutta的方法采取一些中间步骤（例如，半步）来获得更高阶的方法，但是在进行第二步之前丢弃所有先前的信息。
多步法尝试通过保留和使用先前步骤的信息而不是丢弃它来提高效率。
因此，多步法是指前几个点和导数值。
在多步法的情况下，使用先前点和导数值的线性组合。
数值计算方法 线性多步法 - 线性多步法
由四阶Adams隐示公式有
h yn1 yn 24 (9 fn1 19 fn 5 fn1 fn2 )
1
典
24 (0.9 yn1 22.1 yn 0.5 yn1 0.1 yn2 0.24n 0.12)
型
例
由上式可解出
题
1
yn1 24.9 (22.1 yn 0.5 yn1 0.1 yn2 0.24n 0.12)
式公式对预测值进行校正，求出 y( xn1)的近似值 yn1.
思 考 题
线性多步法的构造基于泰勒展开或数值积分， 从数值积分出发，如何推导出线性多步法？ 如何估计误差？
的数值解.
典
y x y 0 x 1
y(0)
0
取h 0.1
型 例
根据题意， xn nh 0.1n, fn xn yn,
题
由四阶Adams显示公式有
h yn1 yn 24 (55 fn 59 fn1 37 fn2 9 fn3 )
1 24 (18.5 yn 5.9 yn1 3.7 yn2 0.9 yn3 0.24n 0.12)
一 般 公
Rn k
L[
y(
xn
);
h]
k 1
k
y( xnk ) i y( xni ) h i y( xni )
式
i0
i0
若Rn+k=O(hp+1)，则称方法是 p阶的.
对Rn+k在xn处泰勒展开，由于
线
y( xn
ih)
y( xn ) ihy(xn )
(ih)2 2!
y(xn )
式
其中 c0 1 (0 1 k1 ),
c1 k [1 22 (k 1)k1] (0 1 k ),
科学计算2
注 对形式简单的方程，可以由差分方程解的表达式 取极限导出收敛性。 例如对初值问题：
y′ = ay用Euler法得近似解表达式
y n = y n −1 + hay n −1 = (1 + ha ) y n −1 = (1 + ha ) n
对 x = nh， 当 h → 0 时有
h2 h p ( p) ′ y ( xn +1 ) = y n + hy ′ + y n′ + ⋯ + y n + O ( h p +1 ) n 2 p! r ∑ α i = 1 i=0 ⇒≥ r r ( −i ) k α + k ( −i ) k −1 β = 1 ∑ i i ∑ i = −1 i =1
i=0 i = −1
r
r
其中 f n −i = f ( xn −i , yn −i ), α i , β i 为待定系数.
若 β−1 = 0 为显式公式 β−1 ≠ 0 为隐式公式 , .
3.1 线性多步公式的导出 利用Taylor展开
h2 hp ( ′ ′ yn−i = y(xn − ih) = yn + (−i)hyn + (−i)2 h2 yn +⋯+ (−i) p ynp) + O(hp+1) 2 p! hp−1 ( p) ′ ′ fn−i = y′(xn−i ) = yn + (−i)hyn +⋯+ yn + O(hp ) ( p −1)! hp−1 ( p) ′ ′ fn+1 = f (xn+1, yn+1) ≈ y′(xn+1) = yn + hyn +⋯+ yn + O(hp ) ( p −1)!
线性多步法
常微分方程数值解的多步法。
从概念上讲，一种数值方法是从一个初始点开始的，然后在时间上向前迈出一小步，以找到下一个求解点。
以下过程绘制解决方案。
单步方法（例如欧拉方法）仅参考前一点及其导数来确定当前值。
诸如Runge-Kutta之类的方法采取了一些中间步骤（例如，半步骤）来获得高阶方法，但是在进行第二步之前会丢弃所有先前的信息。
多步方法试图通过保留和使用先前步骤的信息而不是丢弃信息来提高效率。
因此，多步法是指前几个点和导数值。
在多步法的情况下，使用先前点和导数值的线性组合。
常微分方程数值解的多步法。
从概念上讲，一种数值方法是从一个初始点开始的，然后在时间上向前迈出一小步，以找到下一个求解点。
以下过程绘制解决方案。
单步方法（例如欧拉方法）仅参考前一点及其导数来确定当前值。
诸如Runge-Kutta之类的方法采取了一些中间步骤（例如，半步骤）来获得高阶方法，但是在进行第二步之前会丢弃所有先前的信息。
多步方法试图通过保留和使用先前步骤的信息而不是丢弃信息来提高效率。
因此，多步法是指前几个点和导数值。
在多步法的情况下，使用先前点和导数值的线性组合。
具体定义常微分方程的数值方法近似地解决了形式初值的问题结果是离散时间ti处y（t）的近似值：其中h是时间步长，而i是整数。
多步方法使用上一个S步骤的信息来计算下一个值。
特别地，多步方法使用yi和f（ti，yi）来计算当前步骤所需的y值。
因此，多步方法是一种具有以下形式的方法：确定系数ai和bi的方法。
该方法的设计者选择系数来平衡对实际解决方案的需求，从而获得一种易于使用的方法。
通常，许多系数为零以简化方法。
可以区分显式和隐式方法。
如果bi = 0，则此方法称为“显式”，因为此公式可以直接计算yn + s。
如果bi≠0，则此方法称为“隐式”，因为yn + s的值取决于f（tn + s，yn + s），并且必须为yn + s。
迭代方法（例如牛顿法）通常用于求解隐式公式。
线性多步法
y ( x i 1 ) y ( x i ) x
xi 1 i
f ( x, y ( x ))dx
为了近似计算式中的积分，以xi−k , xi−k+1, , xi−1, xi 为插值节点，作函数f (x, y (x)) 的k 次插值多项 式pk (x)，从而有 f (x, y (x) ) = pk (x) + R (x), 其中，R (x)为插值余项
i 2, , N 1
将 f (x, y) = 2x + y, h = 0.1, xi = 0.1i 代入，得
1 yi 1 (0.9 yi 1 25.9 yi 0.5 yi 1 0.2 yi 2 0.48i 0.24) 24
本例可以解出yi+1 使其成为显式
几个常用的Adams外插公式如下 ① 单步法(k=0)
y i 1 y i hy i
1 2 ei 1 h y( i ) 2
② 二步法(k=1)
i 0,1,, N 1
h yi 1 yi (3 y y ) i 0,1, , N 1 i i 1 2
§5 线性多步法 /*Linear multistep method*/
一、Adams外插法 二、Adams内插法 三、Taylor级数法
求解初值问题的数值方法都是“步进式”的，即 求 解过程从初值y0开始，顺着节点的排列次序，一 步一步地向前推进．所以，在计算yi+1 时，前面 的i + 1 个值y0, y1, , y i 都是已知的．如果在计算 yi+1 时能充分利用这些已有的信息，而不是像单 步法中那样，只用其前一步的值yi，则可望构造 出精度高，但计算量小的求解公式．线性多步法 k k 就是基于这一思想发展起来的，其计算公式可表 yi 1 r yi r h r y 示为 i r
95置信区间计算公式
95置信区间计算公式
1、样本数量少的话可以直接算：可信区间为阳性样本平均值±标准差(X±SD) 。
2、可信区间介绍：按一定的概率或可信度(1-α)用一个区间来估计总体参数所在的范围，该范围通常称为参数的可信区间或者置信区间(confidenceinterval,CI),预先给定的概率(1-α)称为可信度或者置信度(confidencelevel),常取95%或99%。
3、总体参数的估计，是统计学一大重要的应用。
主要为均数和率的估计，本期做了一个简单的小结，实现该项功能，希望对大家有用。
SPSS对总体均数在探索里是默认实现的，然而对于率却不可以，本例采用比率方法实现。
扩展资料
例：估计该县成年人HBsAg阳性率的95%置信区间。
本例n＝100，p＝0.12，可采用正态近似法估计总体率的置信区间。
阳性率的95%的置信区间按式（p －Zα/2Sp，p＋Zα/2Sp）计算：
下限：p－1.96Sp＝0.12－1.96×0.0325＝0.0563
上限：p＋1.96Sp＝0.12＋1.96×0.0325＝0.1837
所以该县成年人HBsAg阳性率的95%置信区间为（5.63%，18.37%）。
数值分析(26) 线性多步法
fn
fn1 ]
yn1
Cn1
9 121
(Cn1
Pn1 )
预估 改进 校正 改进
数值分析
数值分析
算法
（1）输入 a, b, f ( x, y), N , y0
(2)
置h
ba N
,
x0
a,
n
1
(3) 计算 fn1 f ( xn1, yn1)
K1 hfn1
K2
hf
( xn1
h, 2
yn1
K1 ) 2
0满足方程组前三个
方程，故公式
h yn1 yn 2 ( fn1 fn )
此为二阶公式。
又如：解上面方程组得0
0,1
1, 1
1
1 3
,0
4 3
相应的线性二步四阶公式（Simpson公式)为
h yn1 yn1 3 ( fn1 4 fn fn1 )
数值分析
数值分析
二、常用的线性多步公式
（1）阿达姆斯(Adams)公式
yn1) 2 fn
fn1 )]
说明：
(1)以上两种预估—校正系统均为四阶公式，其起步值 通常用四阶R-K公式计算。
(2)有时为提高精度，校正公式可迭代进行多次，但迭
代次数一般不超过3次。
数值分析
数值分析
用局部截断误差进一步修正预测－校正公式
由Adams公式的局部截断误差公式
y( xn1 )
yn1
yn
h 24 [9 f ( xn1 , yn1 ) 19 fn
5 fn1
fn2 ]
预估 校正
数值分析
数值分析
Mi li ne Ham min g预估—校正系统
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a
k 0
r
k
yn k h
k 1
r
k f nk
其中, f nk f ( xnk , ynk )(k 1,0,1,..., r ).
当 10 时，为隐式公式；1=0 则为显式公式。
2019/1/30 2
构造线性多步法的主要方法：数值积分法和泰 勒展开法。 基于数值积分的构造法 将 y f ( x, y ) 在 [ xn r , xn 1 ] 上积分，得到
2019/1/30
5
若积分
xn1
xn1
xnr
y' ( x)dx 用节点
xn , xn1,, xnq
作为积分点，则有
xnr
y' ( x)dx h[a0 y' ( xn ) a1 y' ( xn1) aq y' ( xnq )] hRn1
局部截断误差
q
y' ( xn ) f ( xn , y( xn ))
y( xn1) y( xnr )
xn1
xnr
f ( x, y( x))dx
f ( x, y( x))dx ， 只要近似地算出右边的积分 I r xnr 则可通过 yn 1 yn r I r 近似y(xn+1) 。而选用不同近 似式 Ir，可得到不同的计算公式。
2019/1/30 3
xn1
3 9 y( xn1 ) y( xn2 ) hy( xn1 ) hy( xn1 ) 4 4
2019/1/30 4
(n 0,1,2,...)
(2) 对右端定积分采用梯形 公式, 略去误差项有 h yn 1 yn （f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn 1 )) 2 这就是熟知的梯形公式 。 有望提高精度。 (n 0,1,2,...)
（3）如果对右端用高次插 值多项式代替被积函数 ,则
xn1
( x xn1 )(x xn1 ) ha1 dx 0 x n 2 ( x x n n 1 )(xn xn 1 )
xn1
2019/Байду номын сангаас/30 9
( x xn1)(x xn ) 9 ha2 dx h 4 xn2 ( xn 1 xn 1)(xn 1 xn )
xn1
对积分式分别采用矩形公式和梯形公式可得到
欧拉公式和改进欧拉公式，截断误差分别为O(h2) 和O(h3)。为此，我们自然可以想到，若用更高次 的插值多项式来代替f(x,y)，则所得公式的精度会更 高。这就是基于数值积分方法构造线性多步法的起
源思想。
(1) 对右端定积分采用左矩 形公式, 略去误差项有 y ( xn 1 ) y ( xn ) hf ( xn , y ( xn )) 由于每一步得到的y ( xn 1 )只能是近似值, 故有 y n 1 y n hf ( xn , y n ) 这就是著名的Euler 公式。
xn1
7 2 1 y( xn1 ) y( xn1 ) hy( xn ) hy( xn1 ) hy( xn2 ) 3 3 3
Rn 1
xn1
xn1
y ( 4) ( ) 1 4 ( 4) ( x xn )(x xn 1 )(x xn 2 )dx h y ( ) (3)! 3
y( xn1) y( xnr ) h
a f ( x
j j 0
n j , y( xn j )) hRn 1
积分系数 ha j
xn1
xn r
l j ( x)dx
xn1 y ( q 2) ( )
xnr
(q 1)!
q 1 ( x)dx
这是显式格式，q+1阶r+1步格式。
xn1
7
( x xn )(x xn2 ) 2 ha1 dx h xn1 ( x 3 n 1 xn )(xn 1 xn 2 )
xn1
( x xn )(x xn1 ) 1 ha2 dx h xn1 ( x 3 n 2 xn )(xn 2 xn 1 )
§ 9.5 线性多步法
单步法计算时只用到前一步的结果，因此只要 给定初值，计算就可以进行下去。但是Euler等单步 法的精度都较低，龙格-库塔方法虽然可以得到较高 的精度，但这类算法为了提高精度，需要增加一些 非节点处的函数值的计算，在每一步都需要先预报 这些非节点上的斜率值，计算量比较大。考虑到计 算yi+1之前已得出一系列节点上的斜率值，能否利用 这些已知值来减少计算量呢？这就是线性多步法的 设计思想，可以在计算量增加不多的情况下获得较 高的精度。
8
2019/1/30
例：建立r=2，q=2的隐格式
r=2，积分区间为
xn1
xn2
y' ( x)dx
q=2，隐式格式，积分节点为
xn 1 , xn , xn 1
所以
( x xn )(x xn1 ) 3 ha0 dx h xn2 ( x 4 n 1 xn )(xn 1 xn 1 )
2019/1/30 6
同样，若以 xn1, xn ,, xnq1 为积分节点，可以 构造r+1步q+1阶隐格式
例：建立r=1，q=2的显式格式
r=1，积分区间为
xn1
xn1
y' ( x)dx
q=2，显式格式，积分节点为 xn , xn 1 , xn 2 所以
2019/1/30
( x xn1 )(x xn 2 ) 7 ha0 dx h xn1 ( x x 3 n n 1 )(xn xn 2 )
2019/1/30 1
用已知的若干节点处的 y 及 y‘ 值的线性组合来近似 y(xn+1)。线性多步法通式可写为：
yn 1 a0 yn a1 yn 1 ... ar 1 yn r 1 ar yn r
h( 1 f n 1 0 f n 1 f n 1 ... r f n r )