人教版九年级数学精品专题6.抛物线中的压轴题
中考数学专题抛物线中的角度问题(初三数学压轴题讲解)
中考数学压轴题专题一：利用抛物线中的角度求点的坐标（原创）二次函数中的角度问题通常要构造直角、相似、全等三角形把角度问题转化为边的问题，求抛物线中的点坐标方法一般采用两种方法，第一种是求线与线的交点，这时需要联立方程；第二种是几何法，过点做坐标轴的垂线，再利用三角函数或者是相似三角形去求解！例1.抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．解题思路：1.利用∠BCO+2∠PCB＝90°和∠BCO+∠CBO＝90°推出∠CBO=2∠PCB2.得出∠CMB=∠MCB得到BC=BM3.求出M的坐标，进而求出直线CM的直线解析式4.联立直线CM方程和抛物线方程，求交点坐标例2.已知抛物线y＝x2+x﹣3与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线点第三象限上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．且∠CPD＝45°，求点P的坐标；解题思路：45度可以联想到等腰直角三角形1.延长PC交x轴于点E，得出等腰直角三角形2.求出E点坐标，进而求出直线CE的解析式3.联立直线CE方程和抛物线方程，求交点坐标例3.抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；解题思路1.分情况讨论，分P在原点的左右侧进行讨论2.P在原点右侧比较简单3.P在原点左侧要结合P在原点右侧的情况，可以得出等腰△OGD，求出G点坐标4.利用GD的直线直线方程或相似三角形求出P点坐标例4.已知抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．tan ∠ACM＝2时，求M点的横坐标；解题思路：1.构造一线三垂直利用相似求出点F坐标2.求出直线CF的解析式3.联立直线CF方程和抛物线方程，求交点坐标（求交点可以利用韦达定理）例5.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P 的坐标；解题思路：1.分情况讨论，P在直线BC的上方和下方2.P在直线BC上方，利用∠PCB＝∠CBD得出PC平行BD，利用斜率相等求出直线PC解析式联立PC方程和抛物线方程，求交点坐标3.P在直线BC的下方，∠PCB＝∠CBD得出等腰三角形CFB，4.可以得出△BCD为直角三角形，，推出F为BD的中点5.求出直线CF的方程，再联立抛物线方程求出交点坐标例6.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；解题思路：1.过点B做OA平行线2.∠ABD＝2∠BAC得出∠ABD=2∠EBA，得出∠FBD=∠BAC3.利用tan∠FBD=tan∠BAC求出D点做坐标例7.已知抛物线y＝（x﹣1）2，D为抛物线的顶点，直线y＝kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．求证：∠PDQ＝90°；解题思路思路1.构造一线三垂直思路2.证明直线PD和直线DQ斜率之积为-1思路3.利用勾股定理逆定理证明例8.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝6．连接BD，F为抛物线上一动点，当∠F AB ＝∠EDB时，求点F的坐标；解题思路：1.分点F在x轴下方时和上方时进行分类讨论2.AB在x轴上，利用tan∠FAB＝tan∠EDB去求最简便例9.如图，已知抛物线C1：交x轴于点A，B，交y轴于点C．在抛物线上存在点D，使，求点D的坐标．解题思路：1.分D在BC上方和下方讨论2.找到特殊点发现tan∠OBC=3.利用角平分线的性质去求F坐标4.求联立直线BF和抛物线方程求D点坐标例10，平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+5x﹣4与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求点D的坐标；解题思路：利用tan∠ACB=tan∠FDB去求解例11.已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2，BC平分∠PCO时，求点P的横坐标．解题思路：1.角平分线联想到角平分线＋平行线得到等腰三角形2.利用PE=PC去求解（两点之间的距离公式）例12.抛物线y＝x2﹣1，M（﹣4，3），N是抛物线上两点，N在对称轴右侧，且tan∠OMN ＝，求N点坐标；解题思路：构造一线三垂直课后练习1.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．直线DC交x轴于点E，tan∠AED＝，求a的值和CE的长；2.已知抛物线y＝（x+1）2+1，点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上。
【精品】人教版九年级数学中考压轴试题(含答案解析)
【精品】人教版九年级数学中考压轴试题（含答案）1．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是线段AB上的一点（不与A、B重合）．过点B作BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C顺时针旋转90°，得到线段CF，连结EF．设∠BCE度数为α．（1）①补全图形．②试用含α的代数式表示∠CDA．（2）若=，求α的大小．（3）直接写出线段AB、BE、CF之间的数量关系．【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②利用三角形的外角的性质计算即可；（2）只要证明△FCE∽△ACB，可得==，Rt△CFA中，∠CFA=90°，cos∠FCA=，推出∠FCA=30°，即α=30°．（3）在Rt△ABC，和Rt△CBE中，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：（1）①补全的图形如图所示：②∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∴∠CDA=∠DBC+∠BCD=45°+α．（2）在△FCE和△ACB中，∠CFE=∠CAB=45°，∠FCE=∠ACB=90°，∴△FCE∽△ACB，∴=∵=∴=连结FA，∵∠FCA=90°﹣∠ACE，∠ECB=90°﹣∠ACE，∴∠FCA=∠BCE=α，在Rt△CFA中，∠CFA=90°，cos∠FCA=∴∠FCA=30°，即α=30°．（3）结论：AB2=2CF2+2BE2．理由：∵AB2=AC2+BC2=2BC2，BC2=CE2+BE2=CF2+BE2，∴AB2=2CF2+2BE2．【点评】本题考查相似三角形综合题、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．2．（8分）已知在平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下的定义：若在图形G上存在一点Q，使得P、Q之间的距离等于1，则称P为图形G的关联点．（1）当⊙O的半径为1时，①点P1（，0），P2（1，），P3（0，3）中，⊙O的关联点有P1，P2．②直线经过（0，1）点，且与y轴垂直，点P在直线上．若P是⊙O的关联点，求点P的横坐标x的取值范围．（2）已知正方形ABCD的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直．若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r的取值范围．【分析】（1）①利用两圆的位置关系即可判断；②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，﹣x），根据两点间的距离公式即可得到结论；（2）根据关联点的定义求出圆的半径r的最大值与最小值即可解决问题；【解答】解：（1）①∵点P1（，0），P2（1，），P3（0，3）∴OP1=，OP2=2，OP3=3，∴半径为1的⊙P1与⊙O相交，半径为1的⊙P2与⊙O相交，半径为1的⊙P3与⊙O相离1，∴⊙O的关联点是P1，P2；故答案为：P1，P2；②如图，以O为圆心，2为半径的圆与直线y=1交于 P1，P2两点．线段P1，P2上的动点P（含端点）都是以O为圆心，1为半径的圆的关联点．故此﹣≤x≤．（2）由已知，若P为图形G的关联点，图形G必与以P为圆心1为半径的圆有交点．∵正方形ABCD边界上的点都是某圆的关联点，∴该圆与以正方形边界上的各点为圆心1为半径的圆都有交点故此，符合题意的半径最大的圆是以O为圆心，3为半径的圆；符合题意的半径最小的圆是以O为圆心，2﹣1 为半径的圆．综上所述，2﹣1≤r≤3．【点评】本题考查一次函数综合题、圆、正方形的有关性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．3．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm．动点D沿着A→C→B的方向从A点运动到B点．DE⊥AB，垂足为E．设AE长为xcm，BD长为ycm（当D与A重合时，y=4；当D与B重合时y=0）．小云根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小云的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4y/cm 4 3.5 3.2 2.8 2.1 1.4 0.7 0补全上面表格，要求结果保留一位小数．则t≈ 2.9 ．（2）在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为2.3 cm．【分析】（1）按题意，认真测量即可；（2）利用数据描点、连线；（3）当DB=AE时，y=x，画图形测量交点横坐标即可．【解答】解：（1）根据题意量取数据为2.9故答案为：2.9（2）根据已知数据描点连线得：（3）当DB=AE时，y与x满足y=x，在（2）图中，画y=x图象，测量交点横坐标为2.3．故答案为：2.3【点评】本题以考查画函数图象为背景，应用了数形结合思想和转化的数学思想．4．（7分）已知抛物线：y=mx2﹣2mx+m+1（m≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标．（2）若直线l1经过（2，0）点且与x轴垂直，直线l2经过抛物线的顶点与坐标原点，且l1与l2的交点P在抛物线上．求抛物线的表达式．（3）已知点A（0，2），点A关于x轴的对称点为点B．抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象写出m的取值范围．【分析】（1）利用配方法把解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标；（2）先确定P点坐标，然后把P点坐标代入y=mx2﹣2mx+m+1求出m 即可；（3）分别把A、B点的坐标代入y=mx2﹣2mx+m+1求出对应的m的值，然后根据二次函数的性质确定满足条件的m的范围．【解答】（1）解：∵y=mx2﹣2mx+m+1=m（x﹣1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1）；（2）易得直线l2的表达式为y=x，当x=2时，y=x=2，则P（2，2），把P（2，2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得4m﹣4m+m+1=2，解得m=1，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x+2；（3）点A（0，2）关于x轴的对称点B的坐标为（0，﹣2），当抛物线过A（0，2）时，把A（0，2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得m+1=2，解得m=1，结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB恰有一个公共点时，0＜m≤1；当抛物线过B（0，﹣2）时，把B（0，﹣2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得m+1=﹣2，解得m=﹣3，结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB恰有一个公共点时，﹣3≤m＜0；综上所述，m的取值范围是 0＜m≤1或﹣3≤m＜0．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．5．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点， =．过点B作⊙O的切线，连接AC并延长交于点E，连接AD并延长交于点F．（1）求证：AC=CE．（2）若AE=8，sin∠BAF=求DF长．【分析】（1）连接BC，想办法证明AC=BC，EC=BC即可解决问题；（2）首先证明∠DBF=∠BAF，可得sin∠BAF=sin∠DBF==，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连结BC．∵AB是的直径，C在⊙O上∴∠ACB=90°，∵=，∴AC=BC∴∠CAB=45°．∵AB是⊙O的直径，EF切⊙O于点B，∴∠ABE=90°，∴∠AEB=45°，∴AB=BE，∴AC=CE．（2）在Rt△ABE中，∠ABE=90°，AE=8，AE=BE ∴AB=8，在Rt△ABF中，AB=8，sin∠BAF=，解得：BF=6，连结BD，则∠ADB=∠FDB=90°，∵∠BAF+∠ABD=90°，∠ABD+∠DBF=90°，∴∠DBF=∠BAF，∵sin∠BAF=，∴sin∠DBF=，∴=，∴DF=．【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是（﹣2，0）或（6，0）．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用三角形的面积公式求出PA的长即可解决问题；【解答】解：（1）∵一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），∴2+b=0，∴b=﹣2，∴y=x﹣2，当x=3时，y=1，∴B（3，1），代入y=中，得到k=3，∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵△PAB的面积是2，∴PA=4，∴P（﹣2，0）或（6，0）．【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】作AH⊥BN于H，设AH=xm，根据正切的概念表示出CH、BH，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：如图，作AH⊥BN于H，设AH=xm，∵∠ACN=45°，∵tanB=，∴BH=x，则BH﹣CH=BC，即x﹣x=100，解得x=50（+1）．答：这座山的高度为50（+1）m；【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．8．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．【分析】（1）由平行四边形的性质知CD∥AB，即∠DAF=∠CDE，再由CE⊥AD、DF⊥BA知∠AFD=∠DEC=90°，据此可得；（2）根据△ADF∽△DCE知=，据此求得DC=9，再根据平行四边形的性质可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠DAF=∠CDE，又∵CE⊥AD、DF⊥BA，∴∠AFD=∠DEC=90°，∴△ADF∽△DCE；（2）∵AD=6、且E为AD的中点，∴DE=3，∵△ADF∽△DCE，∴=，即=，解得：DC=9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=9．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质．9．（5分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称性和待定系数法求解即可；（2）根据二次函数的性质可得．【解答】解：（1）把点（1，﹣2）代入y=x2﹣2mx+5m中，可得：1﹣2m+5m=﹣2，解得：m=﹣1，所以二次函数y=x2﹣2mx+5m的对称轴是x=﹣，（2）∵y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣6，由表可知当x=﹣4时y=3，当x=﹣1时y=﹣6，∴当﹣4≤x≤1时，﹣6≤y≤3．【点评】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．10．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．【分析】（1）直接利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠ACD=∠ABC，进而得出答案；（2）首先得出DC的长，即可得出FC的长，再利用已知得出BC的长，结合勾股定理求出答案．【解答】（1）证明：连接DC，∵AC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°，∵⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，∴∠BCA=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ABC，∴∠ABC=∠AED；（2）解：连接BF，∵在Rt△ADC中，AD=，tan∠AED=，∴tan∠ACD==，∴DC=AD=，∴AC==8，∵AF=6，∴CF=AC﹣AF=8﹣6=2，∵∠ABC=∠AED，∴tan∠ABC==，∴=，解得：BD=，故BC=6，则BF==2．【点评】此题主要考查了切线的性质与判定以及勾股定理等知识，正确得出∠ACD=∠ABC是解题关键．11．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A （﹣1，0）和B（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P 关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）分别求出点Q落在直线BC和x轴上时的t的值即可判断；【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）如图，易知抛物线的顶点坐标为（1，4）．观察图象可知当点P关于直线y=t的对称点为点Q中直线BC上时，t=3，当点P关于直线y=t的对称点为点Q在x轴上时，t=2，∴满足条件的t的值为2＜t＜3．【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型．。
人教版中考数学中考压轴题突破 一、选填题压轴题突破 重难点突破六 多结论选填题
B．②④
C．③④
D．②③
3．★(2022·广元)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所
示，图象过点(－1, 0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc<0；② 1
4a＋c>2b；③ 3b－ 2c>0；④若点A(－2，y1)，点B －2，y2 ，点 7
C 2，y3 在该函数图象上，则y1<y3<y2；⑤ 4a＋2b≥m (am＋b) (m为常 数)．
2．(2022·临沂)二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的部分图象如图所示，
1 其对称轴为直线x＝－ 2 ，且与x轴的一个交点坐标为(－2，0)．下列结
论：①abc>0；②a＝b；③2a＋c＝0；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋
c－1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是
( D)
A．①③
其中正确的结论有 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
(C)
4．★(2021·荆门)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)开口向下且过
点A(1，0)，B(m，0)(－2<m<－1)，下列结论：① 2b＋c>0；② 2a＋
c<0；③ a(m＋1)－b＋c>0；④若方程a(x－m)(x－1)－1＝0有两个不等
对称轴x＝－
b 2a
＝1，得b＝－2a，∴y＝ax2－
2ax－1,
确 当x＝－1时，
y>0，∴aa＋＋2a2－a－1>0, 1
11 ∴a>33
，故②正正确；当m＝1时，m(am＋b)＝ 确
aa＋＋b，故③错错误 ；∵点(－2, y1)到对称轴的距离大大于点(2, y3)到
人教版中考数学解答题压轴题突破 重难点突破七 二次函数的实际应用 类型二：抛物线型问题
解：∵a＝－510，b＝190，∴y＝－510x2＋190x＋66， ∵基准点K到起跳台的水平距离为75m， ∴y＝－510×752＋190×75＋66＝21， ∴基准点K的高度h为21 m.
9 ②若a＝－510时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为bb＞＞10 ； 【分层分析】运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞221 1，故－ 510×752＋75b＋66＞2211 ，即可解得答案；
(1)求抛物线的解析式； 解：由题意知， 点(5，3.2)是抛物线 y＝a(x－h)2 ＋k的顶点，∴y＝a(x－5)2 ＋3.2. 又∵抛物线经过点(0，0.7)， ∴ 0.7＝a(0－5)2 ＋ 3.2，解得a＝－ 0.1. ∴抛物线的解析式为 y＝－0.1(x－5)2 ＋3.2(或y＝－0.1x2 ＋x ＋0.7)．
解： b＝6，c＝1.
(2)求大棚的最高处到地面的距离；
解：∵y＝－16x2＋76x＋1＝－16x－722＋7234， ∴当x＝72时，y有最大值7234，
73 即大棚最高处到地面的距离为24 m.
37 (3)小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为 24 m的竹竿支架若 干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共 需要准备多少根竹竿？
【分层分析】运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76 m，即是抛物线的顶点为((225，5，76)7，6)设抛物线解析式为y＝＝a(xa－(x225)25＋ ，可得抛物线解析式为y＝－－1225((xx－－2255))2＋2＋7676，当x＝777556时，y＝ 3366，从而可知他的落地点能超超 过K点．
解：令y＝－16x2＋76x＋1＝3274， 1 13
解得x1＝2，x2＝ 2 ， 1 11
人教版九年级上册数学期末二次函数压轴题(最值问题)专题训练(含解析)
人教版九年级上册数学期末二次函数压轴题（最值问题）专题训练(1)求三个点，，的坐标；(2)当点运动至抛物线的顶点时，求此时(3)设点的横坐标为，的长度为范围；是否存在最值，如有写出最值．(1)求二次函数的解析式；(2)当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值；(3)在抛物线上是否存在点，若存在，请求出点A B C N N t MN L 8AOP S =△(1)求抛物线的表达式和点D 的坐标．(2)连接AD ，交y 轴于点E ，P 是抛物线上的一个动点．Q 是抛物线对称轴上一个点，是否存在以B ，E ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出存在，请说明理由．(3)如图，点P 在第四象限的抛物线上，连接AP 、BE 交于点G ，设（1）求二次函数解析式；（2）设的面积为，试判断PCD ∆S S请说明理由；（3）在上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请写出点的坐标若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线与轴相交于两点（点位于点的左侧），与轴相交于点，是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为．（1）求抛物线的解析式．（2）已知为线段上一个动点，过点作轴于点．若的面积为．①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②当取得最值时，求点的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图，已知二次函数，回答下列问题：（1）求出此抛物线的对称轴和顶点坐标；MB P PCD ∆P 2y x bx c =-++x ,A B A B y C M 1x =C (0,3)P MB P PD x ⊥D ,PD m PCD =∆S S m m S P MB P PCD ∆P 243y x x =++（2）写出抛物线与轴交点、的坐标，与轴的交点的坐标；（3）写出函数的最值和增减性；（4）取何值时，①，②．7．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为B (3，0)，C (0，3)，点M 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式；（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．若OD ＝m ，△PCD 的面积为S ，①求S 与m 的函数关系式，写出自变量m 的取值范围．②当S 取得最值时，求点P 的坐标；（3）在MB 上是否存在点P ，使△PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．8．已知抛物线y ＝x 2﹣2ax+m ．（1）当a ＝2，m ＝﹣5时，求抛物线的最值；（2）当a ＝2时，若该抛物线与坐标轴有两个交点，把它沿y 轴向上平移k 个单位长度后，得到新的抛物线与x 轴没有交点，请判断k 的取值情况，并说明理由；（3）当m ＝0时，平行于y 轴的直线l 分别与直线y ＝x ﹣（a ﹣1）和该抛物线交于P ，Q 两点．若平移直线l ，可以使点P ，Q 都在x 轴的下方，求a 的取值范围．9．如图，Rt △OAB 如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA 与x 轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt △OAB 绕点O 逆时针旋转90°，点B 旋转到点C 的位置，一条抛物线正好经过点O ，C ，A 三点．x A B y C x 0y <0y >(1)填空：点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ．(2)如图1，连结，P 为x 轴上的动点，当以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)如图2，M 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，m ，连结，，与直线交于点E ．设别为和，设己，试求t 关于m 的函数解析式并求出OD (05)m <<MQ BQ MQ OB 1S 2S 12S t S =(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P为直线CB上方抛物线上一点，过P作PE∥y轴交BC于点E，连接CP，PD，DE，求四边形CPDE面积的最值及点P的坐标；(3)如图2，将抛物线沿射线CB方向平移得新抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），是否在新抛物线上存在点M，在平面内存在点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出此时新抛物线的顶点坐标，若不存在，请说明理由．13．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，与x轴交于A(4，0)、O两点，点D(2，－2)为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E交x轴于B、C两点，点M 为⊙E上一点．①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．14．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，D为抛物线顶点．连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．参考答案：∴β=1，∴A(-1，0)，B (3，0)，∴，解得：，∴抛物线的表达式为，当x =1时，y =1-2-3=-4，∴点D 的坐标为(1，4)；（2）解：∵A (-1，0)，B (3，0)，D (1，4)，设直线AD 的表达式为y =kx +c ，∴，解得，∴直线AD 的表达式为y =-2x -2，当x =0时，y =-2，∴点E 的坐标为(0，-2)，∵P 是抛物线上的一个动点，Q 是抛物线对称轴上一个点，∴设P (m ，)，Q (1，t )，①当BE 为边时，PQ BE 且PQ =BE ，当E 对应Q ，由(0，-2)变为(1，t )，要向右平移1个单位，则当B (3，0)对应P (m ，)，也要向右平移1个单位，即m =3+1=4，∴=5，∴P (4，5)；309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩12a b =⎧⎨=-⎩2=23y x x --04k c k c -+=⎧⎨+=⎩22k c =-⎧⎨=-⎩223m m --∥223m m --223m m --∵∠OBC=45°，∵轴∴时，轴∴，即，解得：，∴此时；②时，如图②，PD x ⊥90CDP ∠=︒//CP x 3c p y y ==263m -+=32m =3,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭90P CD ''∠=︒∵轴，∴，∴，又∵，∴，即，∵，，，P D x ''⊥//P D OC ''12∠=∠90P CD D OC '''∠=∠=︒P CD D OC '''∆∆∽OC CD CD P D '='''(0,3)C (,0)D m (,26)P m m -+【点睛】本题考查了二次函数的动点问题，掌握二次函数的性质以及解二次函数的方法是解题的关键．8．（1）-9；（2）当m=0时，k＞4或当m=4时，k＞0时，得到新的抛物线与x轴没有交点；（3）a＞1或a＜﹣1【分析】(1)把a＝2，m＝﹣5代入抛物线解析式即可求抛物线的最值；(2)把a＝2代入，当该抛物线与坐标轴有两个交点，分抛物线与x轴、y轴分别有一个交点和抛物线与x轴、y轴交于原点，分别求出m的值，把它沿y轴向上平移k个单位长度，得到新的抛物线与x轴没有交点，列出不等式，即可判断k的取值；(3)根据题意，分a大于0和a小于0两种情况讨论即可得a的取值范围．【详解】解：(1)当a＝2，m＝﹣5时，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9所以抛物线的最小值为﹣9．(2)当a＝2时，y＝x2﹣4x+m因为该抛物线与坐标轴有两个交点，①该抛物线与x轴、y轴分别有一个交点∴△=16-4m=0，∴m=4，∴y＝x2﹣4x+4=（x-2）2沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，则k＞0；②该抛物线与x轴、y轴交于原点，即m=0，∴y＝x2﹣4x∵把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，∴y＝x2﹣4x+k此时△＜0，即16﹣4k＜0解得k＞4;综上，当m=0时，k＞4或当m=4时，k＞0时，得到新的抛物线与x轴没有交点；(3)当m＝0时，y＝x2﹣2ax抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0）（2a，0），a≠0．直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣1）和该抛物线交于P，Q两点，平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，①当a＞0时，如图1所示，此时，当x＝0时，0﹣a+1＜0，解得a＞1；②当a＜0时，如图2所示，此时，当x＝2a时，2a﹣a+1＜0，解得a＜﹣1．综上：a＞1或a＜﹣1．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的最值问题和根据题意进行分类讨论是解本题的关键.9．(1)、y=﹣x2+4x；(2)、10；(3)、N1（2+2，﹣4），N2（2﹣2，﹣4）【详解】试题分析：(1)、根据旋转的性质可求出C的坐标和A的坐标，又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出该抛物线的解析式；(2)、四边形PEFM的周长有最大值，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，所以EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，利用函数的性质即可求出四边形PEFM的周长的最大值；(3)、在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，由（1）可求出抛物线的顶点坐标，过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4，解方程即可求出交点坐标．试题解析：(1)、因为OA=4，AB=2，把△AOB绕点O逆时针旋转90°，可以确定点C的坐标为（2，4）；由图可知点A的坐标为（4，0），又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，得，解得所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；(2)、四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：由题意，如图所示，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，∴当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，L max=10；=2+，﹣2+，﹣，，点Q 的横坐标为m ()1,16N MN ∴--=， (,Q m m ∴，()2245KQ m m m m m ∴=--=-+()121122B E S QK x x S MN =-= ，()21S 115QK m m ∴==--=-【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，最值，是解题的关键．13．（1）；（2）①m=2或4+2和．【分析】（1）用抛物线顶点式表达式得：y=a 2122y x x =-50.5-50.5+（2）∵点P在第四象限的抛物线上，设直线AP的解析式为代入，∵，∴，y=(1,0)A-2(,2P m m-03m<<10m+≠∵点C 与点关于对称轴对称∴设直线的解析式为解得：∴直线的解析式为：C '1x =()2,3C '-AC 'y kx b =+13432k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩AC '3y =-设点在中，当时，在中，由勾股定理知：即：化简得：解得：（舍），233,384R k k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭Rt OBC 222BC OC OB =+190BCR ∠= 1Rt BCR ()222334384k k k k ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭29+140k k =()9+14=0k k 0k =14k =-。
中考数学抛物线压轴题
在中考数学中，抛物线是一个常见的考点，经常以压轴题的形式出现。
以下是一个关于抛物线的中考压轴题的示例：题目：已知抛物线y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)经过点(-1,-1)，(0,1)，当x=-2时，与其对应的函数值y>1。
1. 请你求出abc的值，并判断抛物线的开口方向。
2. 设直线y=kx+d(k≠0)经过点(1,-1)，且与抛物线的对称轴平行。
请你求出该直线的解析式。
3. 设E(m,n)是抛物线y=ax^2+bx+c上的一个动点，且满足∠APE=90°，请你求出m的值。
解析：1. 根据题目条件，抛物线经过点(-1,-1)，(0,1)，可得到方程：$a-b+c=-1$ ①$c=1$ ②将x=-2，y>1代入解析式得：$4a-2b+1>1$化简得：$2a-b>0$ ③由①②③解得：$a>0$$b>0$$c=1$所以，abc=1。
由于a>0，抛物线开口向上。
2. 由题意知：直线y=kx+d经过点(1,-1)，则有：k+d=-1 ④又因为直线与对称轴平行，所以其斜率等于对称轴的斜率，即：k=-b/2a=-1/2 ⑤由④⑤解得：d=-3/2所以，直线的解析式为：y=-x/2-3/2。
3. 根据题意知：E(m,n)在抛物线上，则有：$n=am^2+bm+c$ ⑥由于∠APE=90°，所以AE与PE垂直。
根据两直线垂直的条件：斜率之积等于-1。
即：$(m-1)/(n+1)=-1$ ⑦由⑥⑦解得：m=0或m=-2综上所述，m的值为0或-2。
人教版九年级上册数学期末动点问题压轴题(含答案)
(1)直接写出C点的坐标；
(2)求证：MD＝MN；
(3)如图2，若M（1，0），在OD上找一点P，使四边形MNCP是平行四边形，求点P的坐标；
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，Oபைடு நூலகம்分别在x轴和y轴上， ， ，抛物线 经过点B，且与x轴交于点 和点E．
(1)求抛物线的表达式：
(2)若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；
(3)若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 过A，B，C三点，点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，动点P在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标．
14．在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
(2)
(3) ， ，
(4)正方形MNED的边长为 或
8．(2)3
(3)
9．(1)
(2) 周长的最小值为
(3)N的坐标为 或 或
10．(1)解析式为 ；D（2， ）
(2)S△BCE有最大值为
(3)（ ）或（3，4）或（7，4）或（ ）
人教版九年级上册数学 抛物线中的压轴题
拔高专题 抛物线中的压轴题探究点一：因动点产生的平行四边形的问题例1: 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （-4，0），B （0，-4），C （2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ． 求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=-x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标。
解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax 2+bx+c （a ≠0），将A （-4，0），B （0，-4），C （2，0）三点代入函数解析式得：16404420a b c c a b c -+⎪-+⎪⎩+⎧⎨＝＝＝解得1412a b c -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝＝，所以此函数解析式为：y=12x 2+x −4； （2）∵M 点的横坐标为m ，且点M 在这条抛物线上，∴M 点的坐标为：（m ，12m 2+m −4）， ∴S=S △AOM +S △OBM -S △AOB =12×4×（-12m 2-m+4）+12×4×（-m ）-12×4×4=-m 2-2m+8-2m-8 =-m 2-4m=-（m+2）2+4，∵-4＜m ＜0，当m=-2时，S 有最大值为：S=-4+8=4．答：m=-2时S 有最大值S=4．（3）设P （x ，12x 2+x-4）． 当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ ∥OB ，且PQ=OB ，∴Q 的横坐标等于P 的横坐标，又∵直线的解析式为y=-x ，则Q （x ，-x ）．由PQ=OB ，得|-x-（12x 2+x-4）|=4， 解得x=0，-4，-2±x=0不合题意，舍去．如图，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP=4．四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4，Q 横坐标为4，代入y=-x 得出Q 为（4，-4）．由此可得Q （-4，4）或（-2-22+2 ）或（4，-4）．【变式训练】（2015•贵阳）如图，经过点C （0，-4）的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴相交于A （-2，0），B 两点．（1）a ＞ 0，b 2-4ac ＞ 0（填“＞”或“＜”）；（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接AC ，E 是抛物线上一动点，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）a＞0，b2-4ac＞0；（2）∵直线x=2是对称轴，A（-2，0），∴B（6，0），∵点C（0，-4），将A，B，C的坐标分别代入y=ax2+bx+c，解得：a=13，b=-43，c=-4，∴抛物线的函数表达式为y=13x2-43x-4；（3）存在，理由为：（i）假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示，则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，∵抛物线y=13x2-43x-4关于直线x=2对称，∴由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，又∵OC=4，∴E的纵坐标为-4，∴存在点E（4，-4）；（ii）假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，∴AC=E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，∵AC∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，∴E′G=CO=4，∴点E′的纵坐标是4，∴4=13x2-43x-4，解得：x1，x2，∴点E′的坐标为（，4），同理可得点E″的坐标为（，4）。
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6.拔高专题抛物线中的压轴题常见模型
思考在边长为1的正方形网格中有A, B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形
ABCD。
在射线BD上可以找出一点组成三角形，可得△ABC、△BEC、△CBD为等腰三角形。
探究点一：因动点产生的平行四边形的问题
例1: 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．
求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。
解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），
将A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点代入函数解析式得：
1640
4
420
a b c
c
a b c
-+
⎪
-
+
⎪
⎩+
⎧
⎨
＝＝
＝
解得1412a b c -
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
＝＝＝，所以此函数解析式为：y=12x 2+x −4； （2）∵M 点的横坐标为m ，且点M 在这条抛物线上，∴M 点的坐标为：（m ，
12m 2+m −4）， ∴S=S △AOM +S △OBM -S △AOB =12×4×（-12m 2-m+4）+12×4×（-m ）-12
×4×4=-m 2-2m+8-2m-8 =-m 2-4m=-（m+2）2+4，∵-4＜m ＜0，当m=-2时，S 有最大值为：S=-4+8=4．答：m=-2时S 有最大值S=4．
（3）设P （x ，12
x 2+x-4）． 当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ ∥OB ，且PQ=OB ，∴Q 的横坐标等于P 的横坐标，
又∵直线的解析式为y=-x ，则Q （x ，-x ）．由PQ=OB ，得|-x-（12
x 2+x-4）|=4， 解得x=0，-4，-2±25．x=0不合题意，舍去．如图，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP=4．四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4，Q 横坐标为4，代入y=-x 得出Q 为（4，-4）．
由此可得Q （-4，4）或（-2+25，2-25）或（-2-2 5，2+2 5）或（4，-4）．
【变式训练】（2015•贵阳）如图，经过点C （0，-4）的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴相交于A （-2，0），B 两点．
（1）a ＞ 0，b 2-4ac ＞ 0（填“＞”或“＜”）；
（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，连接AC ，E 是抛物线上一动点，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若
存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）a＞0，b2-4ac＞0；（2）∵直线x=2是对称轴，A（-2，0），∴B（6，0），
∵点C（0，-4），将A，B，C的坐标分别代入y=ax2+bx+c，解得：a=1
3
，b=-
4
3
，c=-4，
∴抛物线的函数表达式为y=1
3
x2-
4
3
x-4；
（3）存在，理由为：
（i）假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，
过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示，
则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，
∵抛物线y=1
3
x2-
4
3
x-4关于直线x=2对称，∴由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，
又∵OC=4，∴E的纵坐标为-4，∴存在点E（4，-4）；
（ii）假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是
平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，
∴AC=E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，
∵AC∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，
又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，
∴E′G=CO=4，∴点E′的纵坐标是4，∴4=1
3
x2-
4
3
x-4，
解得：x17，x27，
∴点E′的坐标为（2+27，4），同理可得点E″的坐标为（2-27，4）。
【教师总结】因动点产生的平行四边形问题，在中考题中比较常见，考生一般都能解答，但是解题时需要考虑各种可能性，以免因答案不全面.主要有以下几种类型：
（1）已知三个定点，再找一个顶点构成平行四边形；（2）已知两个顶点，再找两个顶点构成平行四边形。
①确定两定点的线段为一边，则两动点连接的线段和已知边平行且相等；②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线。
探究点二：因动点产生的等腰三角形的问题
例2: （2015•铜仁市）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
10
3
b c
c
+
⎨
⎩
+
⎧＝
＝
，解得：b=-4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；
（2）令y=0，则x2-4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3
2
，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，2，∴2或2-3
∴P1（0，2），P2（0，2）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3，
∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，2）或（0，2）或（0，-3）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2-t，则DN=2t，∴S△MNB=
1
2
×（2-t）×2t=-t2+2t=-（t-1）2+1，
即当M（2，0）、N（2，2）或（2，-2）时△MNB面积最大，最大面积是1。
【变式训练】（2015•黔东南州）如图，已知二次函数y1=-x2+13
4
x+c的图象与x轴的一个交
点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b．
（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；
（2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；
（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）将A点坐标代入y1，得-16+13+c=0．解得c=3，
二次函数y1的解析式为y=-x2+13
4
x+3，B点坐标为（0，3）；
（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4，∴x＜0或x＞4时，y1＜y2；
（3）直线AB的解析式为y=-3
4
x+3，AB的中点为（2，
3
2
），
AB的垂直平分线为y=4
3
x-
7
6
，当x=0时，y=-
7
6
，P1（0，-
7
6
），
当y=0时，x=9
4
，P2（
7
8
，0），
综上所述：P1（0，-7
6
），P2（
7
8
，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形。
【教师总结】这类问题是以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成等腰特殊三角形，解决的基本思路时是：假设存在，数形结合，分类讨论，逐一解决.。