学而思讲义
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【例1】请画出拉力F的力臂、均匀杆的重力G及其力臂。
的力臂均匀杆的重力及其力臂物体重力示意图和力F的力臂。
图臂测量方便测量。
如图所示的四种用具中()如图所示的四种用具中，属于费力杠杆的是( )【例5】A．镊子B．钢丝钳C．核桃夹D．起子【例6】园艺师傅使用如图所示的剪刀修剪树枝时，常把树枝尽量往剪刀处靠近这样做的目的是为了轴O处靠近，这样做的目的是为了()A．增大阻力臂，减小动力移动的距离B．减小动力臂，减小动力移动的距离C．增大动力臂，省力【例7】如图所示，要把圆筒B推上台阶。
请在图中画出最小推力F。
【例8】如图所示，一位母亲推着婴儿车行走，当前轮遇到障碍物时，母亲向下按扶把，若把婴儿车视为障，，车杠杆，这时杠杆的支点是；当后轮遇到障碍物时，母亲向上抬起扶把，这时婴儿车可视为杠杆(填“省力”或“费力”)。
向不变将杠杆从位置的过程中力向不变，将杠杆从A位置匀速提升到B位置的过程中，力F将。
N。
挂(AO＝3OB)，当在B端挂一个重物时，木棒恰在水平位置平衡。
求此重物的质量是多少？则杆重N。
如果绳重摩擦及风的阻力不计那么在守如果绳重、摩擦及风的阻力不计，那么在守桥士兵将吊桥由水平位置缓慢拉至图中虚线竖置缓慢拉图中虚线直位置的过程中，L1，L2，填F L2。
(填大小变化)＝杠杆(自重不计)，已知AO2OB、固定O点，使OB处于水平位置，此时B端挂一重为40N的物体，要使杠杆不发生转动，至少需在A 端施加F＝___N的力。
时秤杆又处于平衡状态那么被测物体的质量为量为m 2时，秤杆又处于平衡状态。
那么，被测物体的质量为。
物体B ．物体A 受到的重力为3N C ．物体B 向右移动1小格格，物体A 受到的拉力增大2N D ．物体B 1物体向右移动小格，物体A 受到桌面的支持力减小1N。
学而思初二语文讲义练习题答案
学而思初二语文讲义练习题答案第一单元：走进语文世界1. 题目：语文学习的重要性答案：语文学习在我们的学习生活中起着重要的作用。
通过语文学习，我们可以提高我们的语言表达能力，培养我们的思维能力和创造力。
而且，语文学习还可以帮助我们更好地理解和欣赏文学作品，丰富我们的文化知识，提升我们的审美能力。
因此，我们应该重视语文学习，努力提高自己的语文素养。
2. 题目：语文学习的方法答案：语文学习的方法有很多种。
首先，我们可以通过阅读书籍来提高自己的语文水平。
阅读可以帮助我们扩大词汇量，提高阅读理解能力，培养我们的想象力和阅读兴趣。
其次，我们还可以通过写作来锻炼我们的表达能力。
写作可以帮助我们学会用语言准确地表达自己的思想和观点，提高我们的写作技巧和写作能力。
此外，语文学习还需要我们进行积累和总结。
我们可以通过做语文练习题、背诵古诗词等方式来积累知识，通过总结语文知识点和规律来提高自己的语文能力。
3. 题目：语文学习的乐趣答案：语文学习可以给我们带来很多乐趣。
首先，通过阅读文学作品，我们可以欣赏到优美的语言和精彩的故事，体验到阅读的快乐和惊喜。
阅读文学作品可以帮助我们拓展视野，感受到不同的文化和思想，丰富自己的内心世界。
其次，通过写作，我们可以把自己的思想和感受倾注在纸上，感受到文字的魔力和创造的快乐。
写作可以让我们更加深入地思考问题，提高我们的思维能力和逻辑思维能力。
第二单元：语言基础知识1. 题目：词的分类答案：词按照词性可以分为名词、动词、形容词、副词、代词、介词、连词和感叹词等。
名词是表示人、事、物、地点等具体或抽象的名称；动词是表示动作、状态或变化的词；形容词是描述名词的特征和性质的词；副词是描述动词、形容词、副词等的词；代词是用来代替名词的词；介词是用来表示关系的词；连词是连接句子或词语的词；感叹词是表示强烈感情或感叹的词。
2. 题目：词义辨析答案：词义辨析是指在理解和使用词语时，准确地选择和区分词语的不同意思。
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分数基本计算与比例初步内容提要：分数比例分数分数的概念把整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数如25表示把整体平均分成5份，占其中的2份分母表示把一个物体平均分成几份，分子是表示取其中的几份注意：分母不能为0分数的种类真分数：分子比分母小的分数，如2 3假分数：分子比分母大的分数，如3 2带分数：把假分数化成整数和真分数加在一起的分数，如32＝1＋2１＝112分数的性质1．分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变如246369＝＝，8421005025＝＝2．约分与通分约分：分子分母同时除以公因数，如425025＝最简分数通分：把多个分数的分母变成一样，如224833412⨯⨯＝＝比较大小333944312⨯⨯＝＝注意：有时通分也可把分子变成一样3．分数的倒数倒数：乘积为1的两个数互为倒数分数：分子与分母的位置互换注意：0没有倒数分数和小数互化分数化小数：分子除以分母小数化分数：小数点后有1位数，2位数，3位数…，分母分别为10，100，1000…分子就是小数点后的数注意要化成最简分数如2250.4 5÷＝＝0.012＝123 1000250＝分数的运算1．加减法同分母加减法：分母不变，分子相加减，结果化为最简分数异分母加减法：先通分，变为分母相同的分数，分子再相加减如：347888＋＝23342761 917153153153 +=+=2．乘除法乘法：分子乘分子，分母乘分母如3312311 88882243⨯4⨯4=⨯====1⨯133123 8884010 443⨯4⨯=⨯===55⨯5除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数如33121 888242 343⨯4÷=⨯===43⨯3注意：分数的乘除法运算过程中可以先约分分数的四则混合运算的规律与整数一样特殊的约分连锁约分 整体约分连锁约分：4433221⨯⨯⨯=122⨯33⨯44⨯1=整体约分：3333123123246369123(123)13526103915135(123)⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++＝＝33(123)⨯++13⨯335(123)⨯⨯++25＝我们来看看分数的乘除法 计算下列各式：28157549⨯＝__________；315711÷＝__________。
学而思讲义
计算常考题型与方法总结本讲学习任务：一、分数运算技巧二、叠分数运算三、放缩法求近似值板块一、分数运算⑴152531112 211113 3799111223⨯⨯⨯⨯⨯⨯⑵341344134441344444444134444444441 2389 275277527775277777777527777777775 +⨯+⨯++⨯+⨯(1)7121432381 379111223⨯⨯⨯⨯⨯=14(2) 例1计算：711471826213581333416⨯+⨯-÷例3(2008年“希望杯”五年级第2试) 计算：333111(128)(128)2008100425120081004251++÷++=201120112011200920092009()()2008100425120081004251++÷++=1112011()200810042511112009()20081004251⨯++⨯++=20112009例2计算：72772727327391()273273727727227-⨯=7271001273100191()27310017271001227⨯⨯-⨯⨯⨯ =72727391()273727227-⨯=2272727391()727273727273227-⨯⨯⨯=22(727273)91()727273227-⨯⨯=100045491727273227⨯⨯⨯=20002181例5计算：133.875380.090.1550.45418529112[(4.32 1.681)]116251173524⨯+⨯-÷+--⨯-÷+例4【阶段总结1】1.分数、小数四则混合运算： ①乘除法运算时：“带化假、除化乘，先约分、后运算”。
②注意运算顺序：括号＞乘除＞加减；把握好整体性。
2.平方差公式①计算22727273-时，由于两数和比较 “整”，平方差公式有奇效。
学而思讲义(乘法巧算)
乘法巧算精品文档
[乐乐带你课前测]
1. 鸡比鸭多10只，且鸡的数量是鸭的3倍，请问：鸭有多少只？
2.书架有两层，上面一层的书的数量是下面一层的2倍多4本，已知两层书架相差13本，那么一共有多少本书？
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3.大胖吃的包子的数量比小胖的4倍还多五个，已知大胖比小胖多吃了35个，那么小胖吃了多少个？
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速算思想：
（1）“整”比“散”好！
（2）“小”比“大”好！
（3）“乘”比“加”好！精品文档
课前活动
1.计算：
（1）2×5= （2）4×25= （3）8×125 （4）16×625=
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2.计算
（1）37×3= （2）37×27= 精品文档
3.计算
7×11×13 精品文档
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学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型(1)
目录Contents第1讲平行线四大模型 (1)第2讲实数三大概念 (17)第3讲平面直角坐标系 (33)第4讲坐标系与面积初步 (51)第5讲二元—次方程组进阶 (67)第6讲含参不等式（组） (79)1 平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回顾平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP ,求证AE //CF .模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB∥DE，BF、 DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.练如图，已知AB∥DE，∠FBC=∠ABF，∠FDC=∠FDE.(1)若n=2,直接写出∠C、∠F的关系；(2)若n=3，试探宄∠C、∠F的关系；(3)直接写出∠C、∠F的关系（用含n的等式表示）.例3如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校 2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、 CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN 的平分线相交于点 F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EFA= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+∠CHG= .例6已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NAn，探索∠A1、∠A2、…、∠An，∠B1、∠B2…∠Bn-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NAn，探索∠A1、∠A2、…、∠An之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．挑战压轴题（粮道街2015—2016 七下期中）如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点，MN与CD、AB分别交于E、F．(1) 若∠EFB=55°，∠EDP= 30°，求∠MPD的度数；(2) 当点P在线段EF上运动时，∠CPD与∠ABP的平分线交于Q,问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P在线段EF的延长线上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第一讲平行线四大模型（课后作业）1.如图，AB // CD // EF , EH⊥CD于H ,则∠BAC+∠ACE +∠CEH等于( ).A. 180°B. 270°C. 360°D. 450°2．（武昌七校2015-2016七下期中）若AB∥CD，∠CDF=∠CDE，∠ABF=∠ABE，则∠E：∠F=( )．A．2:1 B．3:1 C．4:3 D．3:23.如图3，己知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C= .4.如图，已知直线AB∥CD，∠C =115°，∠A= 25°，则∠E= ．5．如阁所示，AB∥CD，∠l=l l0°，∠2=120°，则∠α= .6．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .8．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是 .。
乐读优课 学而思 讲义
乐读优课学而思讲义乐读优课是学而思教育集团旗下的在线学习平台，致力于提供高质量的教育资源和优质的教学体验。
作为学而思的核心产品之一，乐读优课的讲义扮演着重要的角色，为学生们提供全面而系统的学习资料。
本文将深入探讨乐读优课讲义的特色以及如何提升学生的学习效果。
第一部分：乐读优课讲义的特色乐读优课的讲义具有以下几个显著特点：1.全面系统的知识点：乐读优课的讲义准确覆盖了各个学科、各个年级的知识点，帮助学生建立起全面系统的学科知识体系。
讲义内容简洁明了，逻辑清晰，条理分明，对于学生的学习与理解起到了非常关键的作用。
2.精心制作的图文并茂：乐读优课的讲义采用了图文结合的方式进行设计，每一个知识点都配有精美的插图和生动的实例，帮助学生更好地理解和记忆知识，提高学习效果。
图文并茂的设计给学生带来视觉和感性上的享受，让学习过程更加生动有趣。
3.重点难点的剖析与解析：乐读优课的讲义对于每一个知识点都进行了深入的剖析与解析，针对学生容易理解和掌握困难的部分进行详细的解释和举例说明。
通过这种方式，讲义帮助学生克服学习中的难点，加深对知识的理解，提高学习效果。
第二部分：如何利用乐读优课讲义提高学习效果除了概述乐读优课讲义的特色外，本节将重点介绍如何利用讲义提高学生的学习效果。
1.认真阅读和理解：学生在使用乐读优课的讲义时应该养成认真阅读和理解的习惯。
每当学习一个新的知识点时，学生应该仔细阅读讲义中对应部分的内容，理解概念、原理和相关例题，确保掌握知识的核心内容。
2.做好笔记与总结：在阅读讲义的过程中，学生可以结合自己的理解和思考，做好笔记与总结。
可以记录关键性的知识点，整理一些重要的例题和解题思路，方便后期的复习和巩固。
通过做好笔记与总结，学生不仅可以提高记忆效果，还可以加深对知识的理解。
3.多做习题巩固知识：乐读优课的讲义中通常会配有大量的习题，学生可以利用这些习题进行复习与巩固。
在解题过程中，学生可以通过思考、分析和比对，找出解题的关键方法和技巧。
学而思讲义四年级数学第一讲：整数与数列.pdf
第一讲 整数与数列一、复习等差数列1、通项公式:什么时候用？——知道首项和公差，求某一项 第n 项=首项+公差×（n-1）2、项数公式：什么时候用？——知道首项、末项及公差，求项数 项数=（末项-首项）÷公差+13、求和公式（高斯公式）：什么时候用？——任何一个等差数列求和和=（首项+末项）×项数÷2辅助记忆：装皮鞋4、中项公式：什么时候用？——对于容易找到中项的等差数列求和 和=中项×项数 注意：高斯公式与中项公式的联系高斯公式：和=（首项+末项）×项数÷2二、常用公式 1、从1开始连续奇数求和=项数2即：1 + 3 + 5 + 7 + … +（2n-1）= n 2图示：2、金字塔数列=中项2 即：1 + 2 + 3 + … +（n-1）+ n +（n-1）+ … + 3 + 2 + 1 = n 2图示：1 3 5 7 9四年级秋季班（七级下） 1.2 三、平方差公式：a 2 - b 2=（a+b）×（a-b）……两数平方差=两数和×两数差几何证明：a 2 -b 2表示的是图中大正方形减去黑色小正方形后的空白部分的面积，沿虚线将空白部分减成两部分再拼接起来，即为一个长方形的面积。
该长方形长为a+b，宽为a-b，面积为（a+b）×（a-b），得证。
特例: 两数相差为1，其平方差就是两数和372-362=（37+36）×（37-36）=37+36四、平方差公式拓展：（逆向思维）既然平方差=和×差，那么两个数相乘能否转化为平方差的形式呢？1、若两数的奇偶性相同，则这两数的乘积可化为平方差的形式。
如：41×3941=a+b，39=a-b ，利用和差公式即可算出a=40，b=1（a 即是41与39的平均数）所以 41×39=（40+1）×（40-1）=402-122、进而，若两数相差不大，且两数和为整十整百时，乘积改写为平方差可简化计算如：68×72=（70-2）×（70+2）=702-22=4900-4=4896五、自然数列的平方和公式12+22+32+…+n 2=n（n+1）（2n+1）÷6图示证明：a b 12 23 3 3 ……n n n …左边的正三角形即为自然数列的平方和，将其翻转两次得到右边的两个三角形数表。
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分数基本计算与比例初步
内容提要：
分数
比例
分数
分数的概念
把整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数如2
5
表示把整体平均分成5份，占其中的2份
分母表示把一个物体平均分成几份，分子是表示取其中的几份注意：分母不能为0
分数的种类
真分数：分子比分母小的分数，如2
3
假分数：分子比分母大的分数，如3
2
带分数：把假分数化成整数和真分数加在一起的分数，如3
2＝1＋
2
１
＝11
2
1 / 16
分数的性质
1．分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变
如2463
6
9
＝＝，
842100
5025
＝＝
2．约分与通分
42
50
25
＝
最简分数
通分：把多个分数的分母变成一样，如 2248
3412
⨯⨯＝＝
比较大小
33394
43
12
⨯⨯＝＝
注意：有时通分也可把分子变成一样
1．加减法
同分母加减法：分母不变，分子相加减，结果化为最简分数
异分母加减法：先通分，变为分母相同的分数，分子再相加减
如： 347
888＋＝ 23342761
917153153153
+=+=
2．乘除法
乘法：分子乘分子，分母乘分母 如 331231188882243⨯4⨯4=⨯====1⨯1
33123
8884010
443⨯4⨯=⨯===
55⨯5
除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数 如331218
8
824
2
343⨯4÷=⨯===4
3
⨯3
注意： 分数的乘除法运算过程中可以先约分
分数的四则混合运算的规律与整数一样
整体约分
连锁约分：44
33
22
1⨯⨯⨯=122⨯33⨯4
4⨯1=
整体约分：3333123123246369123(123)13526103915135(123)⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++＝＝33
(123)⨯++13⨯335(123)⨯⨯++2
5
＝
我们来看看分数的乘除法
计算下列各式：28157549⨯＝；315711
÷＝。
例2
先看看分数的加减法吧 ！ 计算下列各式：2747111111
+＝；127
35
28
-
＝。
例1
5 / 16
计算：1233
1(
1.5)1 1.919725
--⨯÷＝。
例4
直接计算太麻烦，有没有简单算法呢？ 计算下列各式：99123124
⨯＝；2010201020102011
÷＝。
例3
计算：⑴1111
2008(1)(1)(1)(1)2
3
4
1000
⨯+⨯+⨯+⨯⨯+
…＝； ⑵1324264839724129612424836124816
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯＝；
例5
比和比例初步
一、比的意义
1．比的定义：两个数相除又叫做两个数的比。
例：一面红旗，长3分米，宽2分米。
如何表示红旗的长和宽的关系呢？
⑴长是宽的几倍？
3
列式：3÷2＝
2
⑵宽是长的几倍？
2
列式：2÷3＝
3
总结：A是B的几倍＝A是B的几分之几÷B
有时我们也把这两个数量之间的关系说成：
3长和宽的比是3比2
3÷2＝
2
7 / 16
2233
÷＝
宽和长的比是2比3
例：
12
12:15121515
÷↑↑↑＝＝
前 后比项
项
值
2．比、除法和分数的区别和联系：
如：12∶15可以表示成12÷15，也可写为12
15，但仍读作：12比15
或15分之12。
3．比的基本性质：
比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数(0除外)，比值不
变。
4．最简比：比的前项和后项为两个互质的数 例：20∶48＝(20÷4)∶(48÷4)＝5∶12
二、比例的意义
9 / 16
1．比例的定义：表示两个比相等的式子叫做比例。
例：9612:154:512
8
＝＝
组成比例的四个数，叫做比例的项。
例：
2．比例的基本性质：
在以上3个比例中，我们可以发现：
12:154:5
12515460
96
9812672128
2.4:1.660:40 2.440 1.66096⇒⨯⨯⇒⨯⨯⇒⨯⨯＝ ＝＝＝＝＝＝＝＝
比例的基本性质：在比例中 内项积＝外项积
交叉相乘相等
3．解比例：求比例中的未知项，就叫做解比例。
例：
:1201:5
512011201524
x x x x ⨯⨯＝＝＝＝
4．比和比例的区别：
比的特征
⑴比是表示两个数相除的关系； ⑵比由两项组成(前项、后项)； ⑶任意两个数都能组成比。
比例的特征
⑴比例是表示两个比相等的关系；
⑵比例由四项组成(两个内项、两个外项)； ⑶任意四个数不一定都能组成比例。
5．正比例和反比例
⑴正比例：相对应的两个数的商一定(你大我就大)，这两个数就叫做成正比例
正比例关系表示：y÷x＝k（一定）
⑵反比例：相对应的两个数的积一定(你大我就小)，这两个数就叫做成反比例
反比例关系表示：x×y＝k（一定）
6．正比例和反比例的重点应用
行程问题：
⑴路程＝速度×时间
路程一定时，速度和时间成反比；
⑵时间＝路程÷速度
时间一定时，路程和速度成正比；
⑶速度＝路程÷时间
速度一定时，路程和时间成正比。
三角形问题：
⑴三角形面积＝底×高÷2
三角形面积一定时，底和高成反比；
⑵底＝三角形面积÷高×2
底一定时，三角形面积和高成正比；
⑶高＝三角形面积÷底×2
高一定时，三角形面积和底成正比。
11 / 16
试试看解比例吧！
解下列比例：⑴():4358:129 ＝；⑵
32()
95361
＝
例7
学完了比和比例后让我们先来化简比吧 把下面比化成最简比：271148:60
:99
45
例6
计算：1111111
1248163264128643216842
++++++＝。
例
解比例：(
):2:34:5:() ＝
例9
解比例：⑴:(
)5:38a a ＝；⑵
2639
:1:1.537()
＝ 例8
13 / 16
例
计算：14117.636 2.6412.54
5
⨯+÷+⨯＝。
例
计算：317[100(0.625)22] 6.258
4
9
⨯+⨯÷－＝。
例
(2008年华杯赛决赛)
1
640149401621
34014360244
⨯+⨯+⨯+⨯+
＝。
例
111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)22339999
+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯－－…－＝。
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测试题
1．计算下列各式(第一届小学《数学报》数学竞赛)
11450()59⨯-=； 11450()59÷-=； ()1
450-3505
÷=。
2． 计算下列各式： 111111111
2345678256128643216842+++++++=。
3．111111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2
4
6
8
103579
+⨯+⨯+⨯+⨯+
⨯-⨯-⨯-⨯-= 。
4．下面4个数，能写成比例吗？如果能，请写出全部比例： 3.5,5,7,10
5．解比例：():9:1524:36:()
答案
1.40；1
5062
2
；500
2.
255 36
256
3.11 10
4.7:10，10:7，5:10，10:5
5.6；60。