MATLAB实验报告,遗传算法解最短路径以及函数最小值问题讲解

硕士生考查课程考试试卷考试科目：MATLAB教程考生姓名：考生学号：学院：专业：考生成绩：任课老师(签名)考试日期：20 年月日午时至时《MATLAB 教程》试题：A 、利用MATLAB 设计遗传算法程序，寻找下图11个端点的最短路径，其中没有连接的端点表示没有路径。

要求设计遗传算法对该问题求解。

ad ehkB 、设计遗传算法求解f (x)极小值，具体表达式如下：321231(,,)5.12 5.12,1,2,3i i i f x x x x x i =⎧=⎪⎨⎪-≤≤=⎩∑ 要求必须使用m 函数方式设计程序。

C 、利用MATLAB 编程实现：三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人手中，商人们怎样才能安全渡河？D 、结合自己的研究方向选择合适的问题，利用MATLAB 进行实验。

以上四题任选一题进行实验，并写出实验报告。

选择题目： A 一、问题分析（10分）141011如图如示，将节点编号，依次为 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11，由图论知识，则可写出其带权邻接矩阵为：0 2 8 1 500 500 500 500 500 500 500 2 0 6 500 1 500 500 500 500 500 500 8 6 0 7 500 1 500 500 500 500 500 1 500 7 0 500 500 9 500 500 500 500 500 1 500 500 0 3 500 2 500 500 500 500 500 1 500 3 0 4 500 6 500 500 500 500 500 9 500 4 0 500 500 1 500 500 500 500 500 2 500 500 0 7 500 9 500 500 500 500 500 6 500 7 0 1 2 500 500 500 500 500 500 1 500 1 0 4 500 500 500 500 500 500 500 9 2 4 0 注：为避免计算时无穷大数吃掉小数，此处为令inf=500。

问题要求求出任意两点间的最短路径，Floyd 算法采用的是在两点间尝试插入顶点，比较距离长短的方法。

我思考后认为，用遗传算法很难找到一个可以统一表示最短路径的函数，但是可以对每一对点分别计算，然后加入for 循环，可将相互之间的所有情况解出。

观察本题可发现，所有节点都是可双向行走，则可只计算i 到j 的路径与距离，然后将矩阵按主对角线翻折即可得到全部数据。

二、实验原理与数学模型（20分）实现原理为遗传算法原理：按所选择的适应度函数并通过遗传中的复制、交叉及变异对个体进行筛选，使得适应度高的个体被保留下来，组成新的群体，新的群体既继承了上一代的信息，又优于上一代。

这样周而复始，群体中个体适应度不断提高，直到满足一定的条件。

数学模型如下： 设图G 由非空点集合12{,...}n V V V V = 和边集合12{,...}m E e e e = 组成，其中121221(,)e ,P ,)(P ,P ),i i i i i i i i e P P E P =∈≠且若（则G 为一个有向图； 又设i e 的值为i a ，12{,...},m A a a a = 故G 可表示为一个三元组{,,}G P E A = 则求最短路径的数学模型可以描述为：1min *..ni ii i i A E s t A A E E=⎧⎪⎨⎪∈∈⎩∑ 实验具体：第一：编码与初始化因采用自然编码，且产生的编码不能重复，于是我采用了randperm 函数产生不重复的随机自然数。

因解题方法是使用的是计算每一对点，则我们编码时将第一个节点单独放入，合并成完整编码。

因为节点有11个，可采用一个1行11列的矩阵储存数据，同时，由于编号为数字，可直接使用数字编码表示路径的染色体。

具体如下：采用等长可变染色体的方式，例如由2到9的路径，染色体编码可能为（2，5，1，8，4，6，9，3，10，7，11），超过9之后的编码，用来进行算子的运算，不具备实际意义。

第二：计算适应度，因取最短路径值，即最小值，常用方法为C-F(x)或C/F(x)（C 为一常数），此处采用前一种方式。

于是，可进一步计算相对适应度。

第三：选择与复制采用轮盘赌算法，产生一个随机值，比较它与累计相对适应度的关系，从而选择出优良个体进入下一代。

第四：交叉。

因编码是不重复的数字，所以采用传统的交叉方法，即上一行与下一行对位交叉，会产生无效路径，于是，采用了不同的交叉方法，具体如下：（1）在表示路径的染色体Tx 和Ty 中，随机选取两个基因座（不能为起点基因座）i 和j, 即将i 个基因座和第j 个基因座之间的各个基因座定义为交叉域，并将交叉的内容分别记忆为temp1和temp2。

（2）根据交叉区域中的映射关系，在个体Tx 中找出所有与temp2相同的元素，在个体Ty 中找出所有与temp1相同的元素，全部置为0。

（3）将个体Tx 、Ty 进行循环左移，遇到0就删除，直到编码串中交叉区域的左端不再有0：然后将所有空位集中到交叉区域，而将交叉区域内原有的基因依次向后移动。

因0元素可能较多，在程序实现时，我是将非零元素提出，后面再合成。

（4）将temp2插入到Tx 的交叉区域，temp1插入到Ty 的交叉区域。

形成新的染色体[1]。

第五：变异染色体编码为从1到11的无重复编码，所以不能采用一般的生成一个随机数替代的办法。

此处采用交换变异法。

即随机产生两个数，交换两个节点的顺序。

例：[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],13,28p K K === 则新染色体编码为：[1,2,8,4,5,6,7,3,9,10,11]p =三、实验过程记录（含基本步骤、程序代码及异常情况记录等）（60分）首先，写程序，修复Bug 。

然后，调试种群数量，遗传代数，交叉概率，变异概率等，不断运行程序，以达到较理想的状态。

有一次异常情况：算出来的最短距离均为0，最短路径没有终点出现，经过分析发现，因为交叉处的代码较复杂，弄错了一点，导致新基因有部分为非法基因。

最后采用提出非零数值组成向量，再合成新基因的方式解决。

Matlab程序代码如下：clc;clear;%初始化参数%注：popsize=200,MaxGeneration=100,约跑2分钟。

若不要求太精确，可减少循环次数。

pointnumber=11; %节点个数Popsize=200; %种群规模，只能取偶数（因67行的循环）MaxGeneration=100; %最大代数Pc=0.8;Pm=0.3; %交叉概率和变异概率A=[0 2 8 1 50 50 50 50 50 50 502 0 6 50 1 50 50 50 50 50 508 6 0 7 50 1 50 50 50 50 501 50 7 0 50 50 9 50 50 50 5050 1 50 50 0 3 50 2 50 50 5050 50 1 50 3 0 4 50 6 50 5050 50 50 9 50 4 0 50 50 1 5050 50 50 50 2 50 50 0 7 50 950 50 50 50 50 6 50 7 0 1 250 50 50 50 50 50 1 50 1 0 450 50 50 50 50 50 50 9 2 4 0]; %带权邻接矩阵。

A(A==50)=500; %取值50过小而修正为500；Bestindividual=zeros(MaxGeneration,1);outdistance=zeros(11,11);outpath=cell(11,11); %用于存放11个点相互之间的最短路径%****** 生成初始种群******for a=1:pointnumber %起点的编号%a=1;tempvary=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11];tempvary(a)=[]; %暂时剔除起点tempmatrix=a*ones(Popsize,1); %将起点单独放一矩阵path=zeros(Popsize,pointnumber-1); %声明矩阵大小，避免减慢速度for i=1:Popsizetemprand=randperm(pointnumber-1);path(i,:)=tempvary(temprand(1:end)); %生成一系列剔除起点的随机路线endpath=[tempmatrix path]; %合成包括起点的完整路线[row,col]=size(path);for b=a:pointnumber %终点的编号%b=10;for k=1:1:MaxGenerationfor i=1:rowposition2=find(path(i,:)==b); %找出终点在路线中的位置pathlong(i)=0;for j=1:position2-1pathlong(i)=pathlong(i)+A(path(i,j),path(i,j+1));endend%计算适应度Fitness=length(A)*max(max(A))-pathlong; %因要求最小值，采且常数减函数值构造适应度Fitness=Fitness./sum(Fitness);%****** Step 1 : 选择最优个体******Bestindividual(k)=min(pathlong);[Orderfi,Indexfi]=sort(Fitness); %按照适应度大小排序Bestfi=Orderfi(Popsize); %Oderfi中最后一个即是最大的适应度BestS=path(Indexfi(Popsize),:); %记录每一代中最优个体的路线%****** Step 2 : 选择与复制操作******temppath=path;roulette=cumsum(Fitness);for i=1:PopsizetempP=rand(1);for j=1:length(roulette)if tempP<roulette(j)break;endendpath(i,:)=temppath(j,:);end%************ Step 3 : 交叉操作************temppath2=path;for i=1:2:rowtempP2=rand(1);if(tempP2<rand(1))temPm2=fix((rand(1)+0.2)*10); %因起点基因不能改变temPm3=fix((rand(1)+0.2)*10); %随机取出两个位置为2到11基因座temPm4=min(temPm2,temPm3);temPm5=max(temPm2,temPm3);temp1=path(i,temPm4:temPm5); %将两点之间的基因储存，方便交叉temp2=path(i+1,temPm4:temPm5);[c d]=find(ismember(path(i,:),temp2));path(i,d)=0; %找出i行在i+1行取出区域中的数，置为0[e f]=find(ismember(path(i+1,:),temp1));path(i+1,f)=0; %找出i+1行在i行取出区域中的数，置为0[g h]=find(path(i,:)~=0);v1=path(i,h); %取出i行的非零元素，成一向量[l m]=find(path(i+1,:)~=0);v2=path(i+1,m); %取出i+1行的非零元素，成一向量path(i,:)=[v1(1:temPm4-1) temp2 v1(temPm4-1+size(temp1):end)];path(i+1,:)=[v2(1:temPm4-1) temp1 v2(temPm4-1+size(temp2):end)]; %基因交叉endendpath(Popsize,:)=BestS;%************ Step 4: 变异操作**************for i=1:PopsizetempPm=rand(1);if(tempPm<Pm)temPm6=fix((rand(1)+0.2)*10);temPm7=fix((rand(1)+0.2)*10); %产生两个用于交换的随机数tempvessel=path(i,temPm6); %交换前用一临时容器存放数据path(i,temPm6)=path(i,temPm7);path(i,temPm7)=tempvessel; %变异交换endendpath(Popsize,:)=BestS;end[aa bb]=find(BestS==b); %找出终点Bestpath=BestS(1:bb); %剔除后面无用的点，留下实际路线outdistance(a,b)=Bestindividual(k); %将最短距离写入矩阵outpath{a,b}=Bestpath; %写入路径，因数据类型为矩阵，所以采用元胞数组储存endendfor i=1:pointnumberfor j=1:ioutdistance(i,j)=outdistance(j,i); %实现距离的对称outpath{i,j}=fliplr(outpath{j,i}); %实现路径的对称与翻转endend%*************** 结果输出*****************outdistancecelldisp(outpath)%xlswrite('tempdata.xls', outpath) %存入excel中进行操作四、实验结果与总结（10分）距离矩阵：a(i,j) i表示起点，j表示终点。