山东省威海市2019届高三二模考试理科数学试题(解析版)
2019年山东省威海市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足z（1+i）=（3+i）2，则|z|=（）A. B. C. D. 82.已知集合，，，则A∩B=（）A. B. C. D.3.如图所示茎叶图中数据的平均数为89，则x的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 94.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，M，为其终边上一点，则cos2α=（）A. B. C. D.5.若x，y满足约束条件，，，则z=3x-y的最大值为（）A. 2B. 1C. 0D.6.函数的图象可由y=2cos2x的图象如何变换得到（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位7.若P为△ABC所在的平面内一点，且，则△ABC的形状为（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形8.已知函数f（x）=ln x+ln（a-x）的图象关于直线x=1对称，则函数f（x）的值域为（）A. B. C. D.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（）A. 6B. 8C.D.10.在△ABC中，AC=3，向量在向量的投影的数量为-2，S△ABC=3，则BC=（）A. 5B.C.D.11.已知函数f（x）的定义域为R，，对任意的x∈R满足f'（x）＞4x，当α∈[0，2π]时，不等式f（sinα）+cos2α＞0的解集为（）A. B. C. D.12.设F1，F2为双曲线＞，＞的左右焦点，点P（x0，2a）为双曲线上的一点，若△PF1F2的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在的展开式中，x4的系数是______．14.已知抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M到x轴的距离为4，到焦点的距离为5，则p=______．15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AA1=2，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O-ABC的体积为1，则球O表面积的最小值为______．16.“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1．已知正整数m经过6次运算后得到1．则m的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是递增的等比数列，a5=48，4a2，3a3，2a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b1=a2，b n+1=b n+a n，求数列{b n}的前n项和S n．18.如图，四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，△ABC为等边三角形，PA=2AB=2，AC⊥CD，PD与平面PAC所成角的正切值为C2．（Ⅰ）证明：BC∥平面PAD；（Ⅱ）若M是BP的中点，求二面角P-CD-M的余弦值．19.某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元．现统计甲、乙两市场以往100个销售周期该蔬菜的市场需求量的频数分布，如表：甲市场以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲、乙两市场同时销售，以X（单位：吨）表示下个销售周期两市场的需求量，T（单位：元）表示下个销售周期两市场的销售总利润．（Ⅰ）当n=19时，求T与X的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；（Ⅱ）以销售利润的期望为决策依据，判断n=17与n=18应选用哪一个．20.在直角坐标系xOy中，设椭圆：＞＞的左焦点为F1，短轴的两个端点分别为A，B，且∠AF1B=60°，点，在C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆C和圆O分别相切于P，Q两点，当△OPQ 面积取得最大值时，求直线l的方程．21.已知函数＞．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当m∈[0，1）时，函数＞有最大值．设g（x）的最大值为h（m），求函数h（m）的值域．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，且曲线C1与C2恰有一个公共点．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）已知曲C1上两点，A，B满足，求△AOB面积的最大值．23.已知正实数a，b满足a+b=2．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若对任意正实数a，b，不等式|x+1|-|x-3|≥ab恒成立，求实数x的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由z（1+i）=（3+i）2，得z=，∴|z|=||=．故选：C．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵集合，∴A={y|-1≤y≤2}，B={x|0≤x≤4}，∴A∩B={x|0≤x≤2}=[0，2]．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查集合的运算及关系，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据茎叶图中数据，计算平均数为×（86+80+x+90+91+91）=89，解得x=7．故选：B．根据茎叶图中数据计算平均数即可．本题考查了利用茎叶图中数据计算平均数的应用问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：∵M，∴OM==．∴sinα==．∴cos2α=1-2sin2α=1-2×（）2=．故选：D．易得OM的长度，利用二倍角的三角函数，任意角的三角函数的定义即可求解．本题主要考查了二倍角的三角函数，任意角的三角函数的定义，考查了转化思想，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：z=3x-y，得y=3x-z，平移直线y=3x-z，由图象可知当直线y=3x-z经过点B（1，1）时，直线y=3x-z的截距最大，此时z最大，z max=3×1-1=2．即z的最大值是2．故选：A．作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：函数=2，把函数的图象向左平移个单位，得到：y=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故：要得到y=2sin（）的图象，只需将y=2cos2x的图象向右平移个单位即可．故选：B．直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.【答案】C【解析】，解：∵，∴||=||∴y根据向量加法及减法的平行四边形法则可知，以为邻边所作的平行四边形的对角线相等即ABCD为矩形，C=则△ABC的形状为直角三角形故选：C．由已知可得||=||，根据向量加法及减法的平行四边形法则可知，以为邻边所作的平行四边形的对角线相等，可判断本题主要考查了向量加法及减法的平行四边形法则的简单应用，属于基础试题8.【答案】D【解析】解：根据题意，对于函数f（x）=lnx+ln（a-x），有f（a-x）=ln（a-x）+ln[a-（a-x）]=lnx+ln（a-x）=f（x），则函数f（x）的图象关于直线x=对称，若函数f （x ）=lnx+ln （a-x ）的图象关于直线x=1对称，则有=1，则a=2， 则f （x ）=lnx+ln （2-x ）=ln （2x-x 2），其定义域为（0，2）， 设t=2x-x 2，则y=lnt ，又由t=-（x-1）2+1，0＜x ＜2，则有0＜t≤1，则y=lnt≤0，即函数f （x ）的值域为（-∞，0]； 故选：D ．根据题意，分析可得f （a-x ）=f （x ），即可得函数f （x ）的图象关于直线x=对称，据此可得a 的值，进而可得f （x ）=lnx+ln （2-x ）=ln （2x-x 2），设t=2x-x 2，则y=lnt ，由换元法分析可得答案．本题考查函数的对称性，涉及换元法求函数的值域，关键是求出a 的值，属于基础题． 9.【答案】B【解析】解：根据三视图知，该几何体是镶嵌在长方体中的四棱锥P-ABCD ， 且长方体的长、宽、高分别为4、2、3，如图所示；结合图中数据，计算该四棱锥的体积为：V 四棱锥P-ABCD =V 三棱锥C-BDP +V 三棱锥D-ABP =××4×2×3+××4×3×2=8． 故选：B ．根据三视图知该几何体是镶嵌在长方体中的四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．10.【答案】C【解析】解：AC=3，向量在向量的投影的数量为-2，S△ABC=3，可得|AB|cosA=-2，|AB|•|AC|•sinA=3，即|AB|sinA=2，即tanA==-1，内角A=135°，|AB|==2，|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB|•|AC|•cosA=8+9-2•2•3•（-）=29，即|BC|=，故选：C．由向量的投影和三角形的面积公式，可得A，|AB|，再由余弦定理可得所求值．本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查向量的投影的定义，以及化简运算能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：令g（x）=f（x）+1-2x2，则g′（x）=f′（x）-4x＞0，故g（x）在R上单调递增，又g（）=f（）+1-2×=-+1-=0，∴g（x）＞0的解集为x＞，∵cos2α=1-2sin2α，故不等式f（sinα）+cos2α＞0等价于f（sinα）+1-2sin2α＞0，即g（sinα）＞0，∴sinα＞，又α∈[0，2π]，∴＜α＜．故选：A．令g（x）=f（x）+1-2x2，求导可得g（x）单调递增，且g（）=0，故不等式f（sinα）+cos2α＞0的解集为g（sinα）＞0的解集．本题考查了导数与函数单调性的关系，考查函数单调性的应用，根据所求不等式构造函数是解题关键，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：如图设P在第一象限，内切圆的圆心为I，内切圆与PF1，PF2，F1F2分别切与点E，F，G，根据圆的切线的性质得：PE=PF，F1E=F1G，F2F=F2G，根据双曲线的定义知：PF1-PF2=2a，即（PE+F1E）-（PF-F2F）=2a，∴F1G-F2G=2a，①又F1G+F2G=2c，②，联立①②解得F1G=a+c，F2G=c-a，∴G（a，0），∴内心I的横坐标为a，∵△PF1F2的重心和内心的连线与x轴垂直，∴△PF1F2的重心的横坐标为a，由三角形的重心坐标公式可得a=，解得x0=3a，∴P（3a.2a），将P的坐标代入双曲线可得：-=1，即9-=1，化简得3a2=2c2，所以离心率e==．故选：A．根据双曲线的定义和切线长定理可得内心的横坐标，从而可得重心的横坐标，再根据重心的坐标公式可得x0=3a，再将P的坐标代入双曲线可得．本题考查了双曲线的性质，属难题．13.【答案】80【解析】解：在的展开式的通项公式为T r+1=•25-r•，令5-=4，可得r=2，可得x4的系数是•23=80，故答案为：80．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.【答案】2或8【解析】解：抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M到x轴的距离为4，到焦点的距离为5，如图：可得|FQ|=3，所以p=5±|FQ|，所以P=2或8．故答案为：2或8．画出图形，利用抛物线的性质转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．15.【答案】16π【解析】解：如图，因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，设AB=a，BC=b，球的半径为r．连接AC1∩A1C=O，取AC的中点D，连接BD，则O到三棱柱六个顶点的距离相等，即O为三棱柱外接球的球心．OD=，又因为三棱锥O-ABC的体积为1，即，即，所以r==≥=2，当且仅当a=b时等号成立，所以球O表面积的最小值为S=4πr2=16π．故填：16π．设AB=a，BC=b，球的半径为r．连接AC1∩A1C=O，取AC的中点D，连接BD，则O到三棱柱六个顶点的距离相等，即O为三棱柱外接球的球心．OD=，三棱锥O-ABC的体积为1，即，即，表示出r，根据基本不等式可得r的最小值，从而得到球的表面积的最小值．本题借助直三棱柱的外接球，考查了基本不等式、球的表面积等．属于中档题．16.【答案】64、10、1、8．【解析】解：根据题意，正整数m经过6次运算后得到1，则正整数m经过5次运算后得到2，经过4次运算后得到4，经过3次运算后得到8或者1，分2种情况讨论：①，当经过3次运算后得到8时，经过2次运算后得到16，则经过1次运算后得到32或5，则m的值为64或10，②，当经过3次运算后得到1时，经过2次运算后得到2，则经过1次运算后得到4，则m的值为1或8；综合可得：m的值可能为64、10、1、8．故答案为：64、10、1、8．根据题意，利用正整数m经过6次运算后得到1，结合变化的规则，进行逐项逆推即可得答案．本题考查数列的应用，涉及归纳推理的应用，利用变换规则，进行逆向验证是解决本题的关键．17.【答案】解：（Ⅰ）设首项为a1，公比为q的递增的等比数列，a5=48，4a2，3a3，2a4成等差数列．故：，解得：q=2或1（舍去），整理得：a1=3，所以：，（Ⅱ）数列{b n}满足b1=a2，b n+1=b n+a n，所以：b1=6．则：b n=（b n-b n-1）+（b n-1-b n-2）+…+（b2-b1）+b1，=a n-1+a n-2+…+a2+a1+b1，=，=3•2n-1+3所以：S n=b1+b2+…+b n=．【解析】（Ⅰ）利用已知条件求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用叠加法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在数列通项公式的求法中的应用，数列的求和的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.【答案】证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCVD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，CA∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，∴∠DPC为PD与平面PAC所成角，在Rt△PAC中，tan∠DPC==，在Rt△PAC中，PC=，∴CD=，在Rt△ACD中，AD=2，∠CAD=60°，∵∠BCA=60°，∴在底面ABCD中，BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD．解：（Ⅱ）设BC的中点为N，连结AN，则AN⊥BC，由（Ⅰ）知BC∥AD，∴AN⊥AD，分别以AN，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），C（，，0），D（0，2，0），M（，-，1），则=（-，，0），=（0，2，-2），=（，，），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，=（，，），设平面CDM的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，得=（，，），设二面角P-CD-M的平面角为θ，则cosθ===．故二面角P-CD-M的余弦值为．【解析】（Ⅰ）推导出PA⊥CD，CD⊥平面PAC，∠DPC为PD与平面PAC所成角，由此能证明BC∥平面PAD．（Ⅱ）设BC的中点为N，连结AN，则AN⊥BC，分别以AN，AD，AP为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向时法能求出二面角P-CD-M的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知，当X≥19，T=500×19=9500；当X＜19，T=500×X-（19-X）×100=600X-1900，所以T与X的函数解析式为T=，，＜，由题意可知，一个销售周期内甲市场需求量为8，9，10的概率分别为0.3，0.4，0.3；乙市场需求量为8，9，10的概率分别为0.2，0.5，0.3，设销售的利润不少于8900元的事件记为A，当X≥19，T=500×19=9500＞8900，当X＜19，600X-1900≥8900，解得X≥18，由题意可知，P（X=16）=0.3×0.2=0.06；P（X=17）=0.3×0.5+0.4×0.2=0.23；所以P（A）=P（X≥18）=1-0.06-0.23=0.71．（Ⅱ）当n=17时，E（T）=（500×16-1×100）×0.06+500×17×0.94=8464；当n=18时，E（T）=（500×16-2×100）×0.06+（500×17-1×100）×0.23+18×500×0.71=8790；因为8464＜8790，所以应选n=18．【解析】（Ⅰ）先分2段求出T与X的函数关系式，再利用函数的解析式求得概率；（Ⅱ）计算两个期望比较大小，作出决策．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由∠AF1B=60°，可得a=2b，由点，在C上，可得+=1，∴b2=1，a2=4，∴椭圆C的方程为+y2=1，（Ⅱ）联立，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，∵直线l与椭圆相切，∴△=16（4k2+1-m2）=0，即4k2+1=m2，设P（x1，y1），可得x1==-，则y1==，∴|OP|2=+===4-又直线l与圆O相切，可得|OQ|=，则|OQ|2===4-∴|PQ|===，∴S△OPQ=|PQ|•|OP|=•=•=•≤，当且仅当k=1时取等号，此时m2=1+4=5，则m=±，故直线l的方程为y=x+或y=x-．【解析】（Ⅰ）由∠AF1B=60°，可得a=2b，由点在C上，可得+=1，解得b2=1，a2=4，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）联立，根据判别式求出4k2+1=m2，即可求出点P的坐标，可得|OP|，再求出|OQ|，表示出三角形的面积，根据基本不等式即可求出．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，三角形面积公式与基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=e2x+2×e2x=e2x，x＞-1，令h（x）=-2x2+（2a-2）x+a-1，△=4（a2-1），当-1≤a≤1时，△≤0，则h（x）≤0，即f′（x）≤0，∴f（x）在（-1，+∞）上单调递增，当a＜-1或a＞1时，此时△＞0，设h（x）=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1=，x2=，若a＜-1，可知x1＜-1＜x2，则x∈（x2，+∞），f′（x）＜0，x∈（-1，x2），f′（x）＞0，若a＞1，可知-1＜x1＜x2，则x∈（-1，x1），（x2，+∞），f′（x）＜0，x∈（x1，x2），f′（x）＞0，综上所述，当a＜-1时，f（x）在（，+∞）上单调递减，在（-1，）上单调递增，（，+∞）上单调递减，在（，）当a＞1时，f（x）在（-1，），上单调递增，证明：（Ⅱ）＞，∴g′（x）====，由（Ⅰ）可知当a=1时，f（x）=e2x在（0，+∞）单调递减，且f（0）=1，f（1）=0，∴对任意m∈[0，1），存在唯一x m∈（0，1]，使f（x m）=m，（反之对任意x m（0，1]存在唯一m∈[0，1），f（x m）=m），∴当x∈（0，x m）时，f（x）＞m，此时g′（x）＞0，函数g（x）在（0，x m）上单调递增，当x∈（x m，+∞）时，f（x）＜m，此时g′（x）＜0，函数g（x）在（x m，+∞）上单调递减，∴当x=x m时，g（x）取得最大值，即最大值h（m）=g（x m）====令p（x）=e2x，p′（x）=-e2x≤0，（0＜x≤1），∴p（x）在（0，1]上单调递减，∴p（1）≤h（m）＜p（0），即-e2≤h（m）＜-2，∴h（m）的值域为[-e2，-2）．【解析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调的关系即可求出，（Ⅱ）先求导，g′（x）=，由（Ⅰ）可知当a=1时，构造函数，再根据导数和函数最值的关系即可证明．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，可得C2的直角坐标方程为：x+-6=0，即曲线C2为直线．曲线C1是圆心为（2，0），半径为|r|的圆．因为圆C1与直线C2恰有一个公共点，可得|r|==2，圆C1的普通方程为x2+y2-4x=0，所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由题意可设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），S△AOB=|OA||OB|sin=ρ1ρ2=4cosθcos（θ+）=4（cos2θ-sinθcosθ）=4（-）=2+2cos（2θ+），所以△AOB面积的最大值为2+2．【解析】（Ⅰ）消参可得C1的普通方程，再根据互化公式可得C1的极坐标方程．（Ⅱ）根据极径的几何意义和三角形面积公式可得面积，再根据三角函数的性质可得最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】（Ⅰ）证明：正实数a，b满足a+b=2，则=2（a+b）+2+2•≤6+2（a+b）+2=12，∴；（Ⅱ）解：对任意正实数a，b，有a+b≥2，所以2≤2，即ab≤1，当且仅当a=b 时取“=”；所以对任意a、b∈R+，不等式|x+1|-|x-3|≥ab恒成立，即|x+1|-|x-3|≥1恒成立；若x≤-1，则不等式化为-x-1-（3-x）≥1，即-4≥1，不等式无解；若-1＜x＜3，则不等式化为x+1-（3-x）≥1，解得≤x≤3；若x≥3，则不等式化为x+1-（x-3）≥1，即4≥1，不等式恒成立；综上，实数x的取值范围是[，+∞）．【解析】（Ⅰ）根据题意，利用完全平方公式和基本不等式，即可证明；（Ⅱ）利用基本不等式得出ab≤1，把问题转化为|x+1|-|x-3|≥1恒成立，再利用分段讨论法求出不等式的解集．本题考查了基本不等式应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题．。
考点40 空间几何体的三视图(解析版)
考点40 空间几何体的三视图1．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评理）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】三视图还原为如图所示三棱锥A-BCD：BC BCD ACD为直角三角形，ABD为正三角形由正方体的性质得A,,故选：C2．（辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试理）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）A ．5πB ．6πC ．62π+D ．52π+【答案】D 【解析】由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成，其表面积为22π1π12π11215π2⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+，故选D.3．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷理）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．22【答案】C 【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如图：由三视图可知底面三角形是边长为2，顶角120︒的三角形，所以外接圆半径可由正弦定理得；224sin30r ==︒，由侧面为两等腰直角三角形，可确定出外接圆圆心，利用球的几何性质可确定出球心，且球心到底面的距离1d =，所以球半径225R d r +=，故选C.4．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷理）已知一个几何体的三视图如图所示，则被挖去的几何体的侧面积的最大值为（ ）A ．3πB ．2πC ．3π D ．22π 【答案】A 【解析】根据三视图，圆锥内部挖去的部分为一个圆柱，设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则323h r-=，∴332h r =-.故232233(2)3(1)132rh r r r r r S πππππ⎛⎫⎡⎤=-=-=--+ ⎪⎣=⎦ ⎪⎭侧，当1r =，S 侧的最大值为3π.5．（江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试理）如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．40B ．103C ．163D ．803【答案】D【解析】根据几何体三视图可得，该几何体是三棱柱BCE AGF -割去一个三棱锥A BCD -所得的几何体；如图所示：所以其体积为11118044444423223V ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选D6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）A ．23B 3C ．3πD ．3π 【答案】B 【解析】解：根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的． 故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径222111322r ++==，则：3433322V ππ⎛⎫=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B ．7．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试理）已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448π+，则r =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】通过三视图可知：该几何体是一个三棱锥和14圆锥组成的几何体，设组合体的体积为V , 所以21111943342448,24332V r r r r r r ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⇒+=，故本题选B.8．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是（ ）A ．163πB ．283πC ．11πD ．323π【答案】B 【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体为：下底面为边长为2的等边三角形，有一长为2的侧棱垂直于下底面的三棱锥体， 故：下底面的中心到底面顶点的长为：233， 所以：外接球的半径为：22232171393R ⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭故：外接球的表面积为：27284433S R πππ==⋅=． 故选：B ．9．（广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试）一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A ．72＋6πB ．72＋4πC ．48＋6πD ．48＋4π【答案】A【解析】由三视图知，该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π. 故答案为：A.10．（北京市房山区2019年第二次高考模拟检测高三数学理）已知某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该四面体的四个面中直角三角形的个数为( )A．4B．3C．2D．1【答案】A【解析】由三视图可知该几何体如下图所示，CB⊥AB，CB⊥DA，DA∩AB＝A，所以，CB⊥平面DAB，所以，CB⊥BD，即△DBC是直角三角形，因此，△ABC，△DAB，△DAC，△DBC都是直角三角形，所以，选A．11．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。
2019届山东省威海市高三下学期质量检测数学(理)试题解析
绝密★启用前2019届山东省威海市高三下学期质量检测数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合(){}lg 82A x N y x =∈=-，{B y y ==，则A B =I ( )A ．[]0,2B ．[)0,4C ．{}0,1D ．{}0,1,2答案：C由集合{}4A x N x =∈<，{}02B y y =≤<，能求出A ∩B ． 解析：∵集合(){}{}{}lg 828204A x N y x x N x x N x =∈=-=∈->=∈<,又()()[)24204,+20,x x ∈∞∈--∞，，， ∴{}02B y y =≤<， ∴A ∩B ={0，1}. 故选：C . 点评：本题考查交集及其运算，结合函数定义域、值域知识的考查，属于基础题. 2．在复平面内，若复数()*22N nn z i n i=++∈所对应的点位于第一象限，则n 的最小值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：C根据复数的幂运算规律，分别计算()*441,42,43n k k k k k N =+++∈，时z 所对应的点位于的象限，可得*43()n k n N =+∈满足条件，求出最小值即可. 解析： ∵复数()*22nn z i n N i=++∈， 当()*4n k k N=∈时1ni=,此时5z =，z 的对应点在实轴上，当*41()n k k N =+∈时n i i =,此时22222z i i i i i=++=-+=-,z 的对应点在第四象限，当*42()n k k N =+∈时1n i =-,此时1z =-,z 的对应点在实轴， 当*43()n k k N =+∈时n i i =-,此时22222+z i i i i i=--+=-++=,z 的对应点在第一象限，∴*43()n k n N =+∈， ∴当0k =时n 取得最小值3， 故选:C . 点评：本题考查复数的幂运算及复数的几何表示，属于基础题.3．下列函数中，既是偶函数，又在(],0-∞内单调递增的为( ) A ．2y x -= B ．22x xy -=- C ．2xy -=D ．12log y x =答案：C分析给定四个函数的奇偶性和单调性，可得答案． 解析：函数2y x -=是偶函数，定义域0x ≠，不满足条件； 函数22xxy -=-是奇函数，不满足条件； 函数2x y -=是偶函数,在(],0-∞内单调递增，满足条件；函数12log y x =是偶函数,又定义域0x ≠，不满足条件；故选：C . 点评：本题考查函数单调性的判断及函数奇偶性的判断，考点为从函数解析式看函数的基本性质，属于基础题.4．在等比数列{}n a 中，“61a =±”是“2a ，10a 是方程2410x x ++=的两根”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B由韦达定理可得2101a a ⋅=，且a 2和a 10均为负值，由等比数列的性质可得61a =-，故必要性满足充分性不满足.解析：∵由2a ，10a 是方程2410x x ++=的两根， ∴2102104,1a a a a +=-⋅=， ∴a 2和a 10均为负值，由等比数列的性质可知a 6为负值,且622101a a a =⋅=，∴61a =-，故“61a =±”是“2a ，10a 是方程2410x x ++=的两根”的必要不充分条件， 故选：B . 点评：本题考查充分条件、必要条件，根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质、二次方程根与系数关系等进行判断即可，属于基础题.5．设变量x ，y 满足约束条件230220220x y x y x y +->⎧⎪--<⎨⎪-+>⎩，则1yx +的取值范围为( )A ．27,99⎛⎫⎪⎝⎭B ．27,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．22,93⎛⎫⎪⎝⎭D ．22,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：A本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件230220220x y x y x y +->⎧⎪--<⎨⎪-+>⎩的可行域，然后分析1yx +的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解． 解析：x ，y 满足的约束条件表示的平面区域如图为三角形ABC 表示的区域，A ,C 坐标为4751(,),(,)5542，而1ys x =+,设点N (1,0)-，s 表示斜率， 由图可知NC 位置斜率最小为1225914=+，NA 位置斜率最小为7754915=+，所以27,991y x ⎛∈+⎫ ⎪⎝⎭， 故选：A . 点评：本题考查简单线性规划，先画出约束条件的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解，属于基础题.6．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾七步，股二十四步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为7步，股（长直角边）长为24步，问该直角三角形的容圆（内切圆）直径为多少步？”现若向此三角形内投米粒，则米粒落在其内切圆内的概率为( ) A ．320πB ．328π C ．20πD ．28π答案：B利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，然后分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率公式即可求出所求． 解析：由题意，可得直角三角形，斜边长为25， 由等面积，可得内切圆半径724372425r ⨯==++，∴向此三角形内投米，则落在其内切圆内的概率是2331287242ππ⋅=⨯⨯，故选：B . 点评：本题考查几何概型求概率，分别计算出所求面积与总面积作比即可，涉及平面几何知识的应用，属于基础题.7．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-<=⎨-->⎩，若()0.32a f =，()20.3b f =，()2log 0.3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．c a b >>答案：B根据题意，由分段函数的性质分析可得f （x ）为在定义域的减函数，又由20.32log 0.300.32<<<，分析可得答案．解析：因为函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-<=⎨-->⎩，当()2020,x f x x x <=->，且单调递减，2()2()f x x x f x -=-+=-，当()2020,x f x x x >=--<且单调递减，2()2()f x x x f x -=+=-，()f x ∴为单调递减的奇函数，0.3221>=Q ，2100.30.092<=<，22log 0.3log 10<=， 20.32log 0.300.32∴<<<，()()()0.32220.3log 0.3f f f ∴<<，a b c <<Q .故选：B . 点评：本题考查分段函数的单调性与函数值大小比较，此类问题先判断函数的单调性，再根据自变量的大小关系确定答案，自变量为指对数时可以化同底或者利用特殊值判断大小，属于中等题.8．已知椭圆22195y x +=的上焦点为F ，M 是椭圆上一点，点()A ，当点M 在椭圆上运动时，MA MF +的最大值为( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．4答案：B如图所示，设椭圆的下焦点为F ′，||4AF AF '==，|MF |+|MF ′|=2a =6，利用|MA |-|MF ′|≤|AF ′|，AMF V 的周长为最大值时MA MF +取得最大值即可得出． 解析： 如图所示,设椭圆的下焦点为F ',则||4AF AF '==，||26MF MF a '+==∵||MA MF AF ''-≤,当且仅当A ,F ′,M 共线且F ′在线段AM 上时等号成立,∴AMF V 的周长为||||||||||6AF MA MF AF MA MF '++=++-46414≤++=， 所以AMF V 的周长的最大值为14， 此时||1441140A MA MF F ==--=+， 故选：B . 点评：本题考查椭圆的简单性质，解题关键是数形结合，根据三角形的三边性质及椭圆几何性质可得最值，属于中等题.9．已知三棱锥S ABC -的顶点都在球O 的球面上，ABC V 是边长为6的正三角形，SC 为球O 的直径，且8SC =，则此三棱锥的体积为( )A ．43B ．3C ．123D ．163答案：C根据题意，利用截面圆的性质即可求出点O 到平面ABC 的距离，进而求出点S 到平面ABC 的距离，即可计算出三棱锥的体积．解析：因为△ABC 是边长为6的正三角形,所以△ABC 外接圆的半径r =3SC 为球O 的直径，且8SC =，球O 半径R =4，所以点O 到平面ABC 的距离2d ===，SC 为球O 的直径,点S 到平面ABC 的距离为2d =4，此棱锥的体积为11126643322ABC V S d =⨯=⨯⨯⨯⨯=V 故选C . 点评：本题考查外接球问题及棱锥的体积计算，外接球问题一般构造直角三角形利用勾股定理解决，棱锥的体积计算需要求出高及底面积代入公式即可，属于简单题.10．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，对称轴为x θ=，且函数()f x 的图象与函数()()2cos g x A x ϕ=-的图象在y 轴上有交点，则2sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A ．13 B ．23C ．15D ．45答案：D函数()f x 的最小正周期为π，可得2ω=，()f x 的对称轴为x θ=，可得=2+,2k k Z πϕθπ-+∈，函数()f x 的图象与函数()g x 的图象在y 轴上有交点，可得()()22cos2=4sin 2θθ，利用同角三角函数关系可解出()()2241cos 2=sin 255θθ=，，利用诱导公式可得2sin 22πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭值. 解析：函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π， 可得22=2T ππωπ==， 函数()f x 的对称轴为x θ=， 可得2=+,2k k Z πθϕπ+∈，则=2+,2k k Z πϕθπ-+∈，函数()f x 的图象与函数()()2cos g x A x ϕ=-的图象在y 轴上的交点分别为：()()0,sin 0,2cos A A ϕϕ，，所以sin =2cos A A ϕϕ，可得sin 2+=2cos 2+22k k ππθπθπ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 利用诱导公式化简可得()()22cos 2=4sin 2θθ①，又()()22cos2+sin 21θθ=②，①②联立可得：()()2241cos2=sin 255θθ=，，()224sin 2cos 225πθθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故选：D . 点评：本题考查三角函数图象及性质，属于综合题，涉及到知识点包括三角函数周期性、对称性、诱导公式、同角三角函数关系等等，属于中等题.11．已知1F ，2F 是双曲线()222104x y b b -=>的两个焦点，点A 是双曲线的右顶点，()()0000,0,0M x y x y >>是双曲线渐近线上一点，满足21MF MF ⊥，若以A 为焦点的抛物线()220y px p =>经过点M ，则此双曲线的离心率为( )ABC ．2D答案：D设F 1（-c ，0），F 2（c ，0），由MF 1⊥MF 2以及点M （x 0，y 0）在直线by x a=上，列出方程，根据抛物线的定义可知|MA |=x 0+a =2a ，然后最后求解双曲线的离心率即可． 解析：设F 1（-c ，0），F 2（c ，0），A (a ,0)，M （x 0，y 0），由21MF MF ⊥可知1212OM F F c ==， 又点M （x 0，y 0）在直线by x a=上，所以0022200+b y x a x y c⎧=⎪⎨⎪=⎩， 解得00,x a y b ==，所以M （a ，b ），MA x ⊥轴，于是根据抛物线的定义可知02MA x a a =+=， 所以b =2a ，即2222=5+c a b a =，由ce a=，故选：D . 点评：本题考查双曲线的离心率问题，涉及抛物线的基本性质，圆锥曲线问题的基本思路是利用题目条件得出a 、b 、c 的等量关系，确定离心率，属于简单题. 12．若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为( ) A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭答案：A化简函数f （x ），根据f （x ）在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，f ′（x ）≤0恒成立，由此解不等式求出a 的取值范围． 解析： 由函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-， 且f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,f ′(x )=−sin 2x +3a (cosx −sinx )+2a −1≤0恒成立，∵设4t cosx sinx x π=⎛⎫ ⎪⎝=-⎭-，∴当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,444x πππ-⎥∈-⎡⎤⎢⎣⎦，,t ∈[−1,1]，即−1≤cosx −sinx ≤1， 令t ∈[−1,1],sin 2x =1−t 2∈[0,1]，原式等价于t 2+3at +2a −2≤0，当t ∈[−1,1]时恒成立， 令g (t )=t 2+3at +2a −2，只需满足312(1)510a g a ⎧-≤-⎪⎨⎪=-≤⎩或312(1)10ag a ⎧-≥⎪⎨⎪-=--≤⎩或3112(1)510(1)10a g a g a ⎧-<-<⎪⎪=-≤⎨⎪-=--≤⎪⎩，解得∅或213a -≤≤-或2135a -<≤，综上，可得实数a 的取值范围是11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：A . 点评：本题考查三角函数的公式及导数的应用，解题的关键是利用换元将不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立问题，属于较难题.二、填空题13．已知()1,a λ=r ，()2,1b =r ，若向量a r 与()4,8c =r 共线，则b c +r r 在a b +r r方向上的投影为_________.答案：2根据向量共线求出λ，计算b c +r r在a b +r r及夹角余弦值，代入投影公式即可． 解析：因为()1,a λ=r ，()2,1b =r ，向量a r 与()4,8c =r共线，可得840λ-=，2λ=，得()1,2a =r则()=6,9b c +r r ，=(3,3)a b +r r，设b c +r r 与a b +r r的夹角为θ，则()()cos =26b c a b b c a bθ+⋅++⋅+r r r r r r r r ，则b c +r r 在a b +rr方向上的投影为：cos b c θ+⋅rr ， 故答案为：2. 点评：本题考查平面向量数量积的运算及向量的投影，解题关键是灵活掌握向量共线定理及向量投影公式，属于基础题.14．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中4x 的系数为___________. 答案：-48令x =1，解得a =1，再利用512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式，进而得出．解析：令x =1,()()5112a +-=2，解得a =1.又512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式()5521512r r rr r T C x --+=-⋅，令5−2r =3，5−2r =5. 解得r =1，r =0.∴该展开式中4x 的系数为()()141505512+12C C --=−80+32=−48， 故答案为：−48. 点评：本题考查二项式定理的应用，根据通项公式求系数，属于中等题.15．对于数列{}n a ，定义11222n n n a a a H n-+++=L 为{}n a 的“优值”.现已知某数列的“优值”为 12n n H +=，记数列()23n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，若对一切的*N n ∈，都有n S m <恒成立，则实数m 的取值范围为___________.答案：5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭本题可根据优值H n 的特点构造数列{b n }：令b n =2n -1a n ，n ∈N ，然后可通过先求出数列{b n }的通项公式来求出数列{a n }的通项公式，再可根据数列{a n }的通项公式写出数列()23n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和S n 的表达式，根据S n 为递增数列转化为求S n 最值问题，由此可得m 的取值范围． 解析：由题意，可知对于数列{}n a :1112222n n n n a a a H n-++++==L .∴1112222n n n a a a n -++++=⋅L .可构造数列{}n b :令12n n n b a -=,n ∈N ∗.设数列{}n b 的前n 项和为T n .∴12n n T n +=⋅.n ∈N ∗.∴①当n =1时,1111124b T +==⋅=；②当n ≥2时,()()1121212n n n n n n b T T n n n +-=-=⋅--⋅=+⋅.由①②,可得：()12nn b n =+⋅，n ∈N ∗.∴()()11122122nn n n n n ba n --+⋅===+，n ∈N ∗. ∴数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列.对于数列()23n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭通项为:()()()21111==331213n n a n n n n ⎛⎫- ⎪+++++⎝⎭，11111111111=2243546213n n n n S n ⎛⎫-+-+--+- ⎪+++⎝⎭L()()1111151122323122223n n n n ⎛⎫=+--=-- ⎪++++⎝⎭， 令()()()511122223f n n n =--++，则()f n 单调递增，当+n →∞，()512f n →， 则n S m <恒成立，∴512m ≤， 故答案为：5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 点评：本题考查数列的综合应用，涉及到的知识有递推公式求通项、裂项相消求和、函数单调性及最值思想，属于综合题，题目较复杂计算量大，属于难题.三、解答题16．若直线()300,0ax by a b -+=>>被圆222210x y x y ++-+=截得的弦长为2，则111a b++的最小值为___________. 答案：1先求圆的圆心和半径，求弦心距，用弦心距、半径、半弦长的关系得到a 、b 关系，再通过均值不等式求111a b++的最小值． 解析：圆222210x y x y ++-+=的圆心坐标(−1,1),半径是1, 直线()300,0ax by a b -+=>>被圆截得的弦长为2， 所以直线过圆心， 即：−a −b +3=0,∴a +b =3,因为a >0,b >0，将a +1+b =4代入得,()()11111111=1=2+2+21141414b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++++≥= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 当且仅当a +1=b 时等号成立. 故答案为：1. 点评：本题考查直线与圆的位置关系及基本不等式的应用，综合性强，难度中等.17．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的外接圆半径为R ，且sin sin cos 0A B b A --=. （1）求A ∠；（2）若tan 2tan A B =，求sin 2sin 2sin b Ca b B c C+-的值.答案：（1）6π；（2）10-.（1）由正弦定理化简已知三角等式，根据sin 0B ≠可得tan A =，即可求出角A ；（2）由（1）可得tan B =，利用2sin 1A =及正弦定理将分式化简，再利用余弦定理化简分式得()1tan 2A B -+，最后利用正切和角公式代入tan A ，tan B ，可求出结果. 解析：（1）∵sin sin cos 0A B b A -=，由正弦定理得：sin sin 2sin cos 0A B R B A -=，即)sin cos 0BA A -=，∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，cos A A =，tan 3A =， ∵()0,A π∈，∴6A π∠=.（2）由（1）知：tan 3A =，tan B =，1sin 2A =，∴2sin 1A =， ∴sin 2sin sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin b C Ab Ca b B c C Aa b B c C =+-+-222sin ab C a b c=+- 由余弦定理得：()sin sin 11tan tan 2sin 2sin 2cos 22b C C C A B a b Bc C C ===-++-1tan tan 21tan tan A B A B +=-⨯=-. 点评：本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查学生数形结合、转化与化归以及运算求解能力，解决此类问题的关键是灵活运用正、余弦定理进行边角的互化，属于中等题.18．已知PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，D ，E 分别为PB ，PC 上的点，且AD PB ⊥，AE PC ⊥.（1）求证：PC DE ⊥；（2）若22AB BC ==，直线AB 与平面ADE 所成角的正弦值为23，求二面角C DA E --的余弦值.答案：（1）证明见解析；（26（1）先证明BC ⊥平面PAB ，可得BC ⊥AD ，证明AD ⊥平面PBC ，得PC ⊥AD ，再证明PC ⊥平面ADE ，即可证明PC ⊥DE ；（2）过点B 作BE ∥AP ，则BZ ⊥平面ABC ，分别以BA ，BC ，BZ 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设PA a =，根据PC ⊥平面ADE ，可得()2,1,PC a =--u u u r是平面ADE 的一个法向量，从而向量PC uuu r 与AB u u u r 所成的角的余弦值的绝对值为23，可求PA的值，利用题目条件求出平面CAD 的一个法向量，利用夹角公式可得二面角C DA E --的余弦值.解析：（1）证明：因为PA ⊥PA ⊥平面ABC ，∴PA BC ⊥， 又BC AB ⊥，AB PA A ⋂=， ∴BC ⊥平面PAB ，∴BC DA ⊥. 又AD PB ⊥，BC PB B =I ， ∴DA ⊥平面PBC ，∴AD PC ⊥. 又PC AE ⊥，AE DA A ⋂=， ∴PC ⊥平面DEA ，∴PC DE ⊥.（2）过点B 作BZ PA //，则BZ ⊥平面ABC ，如图所示分别以BA ，BC ，BZ 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 设PA a =，则()2,0,0A ，()0,1,0C ，()2,0,P a ， 因为PC ⊥平面ADE ，∴()2,1,PC a =--u u u r是平面ADE 的一个法向量，∴向量PC uuu r 与AB u u u r所成的角的余弦值的绝对值为23， 又()2,0,0AB =-u u u r，242cos ,325PC AB PC AB PC AB a ⋅<>===⋅+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2a =，∴2PA =.在PAB △中，PA AB =，又AD PB ⊥， ∴D 为PB 中点，∴()1,0,1D ，∴()2,1,0AC =-u u u r ，()1,0,1DA =-u u u r， 设平面CAD 的一个法向量为(),,n x y z =r， 则00n AC n DA ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，∴200x y x z -+=⎧⎨-=⎩，∴()1,2,1n =r ，又()2,1,2PC =--u u u r是平面ADE 的法向量， ∴cos n <r ，6114414PC >==++⋅++u u ur 二面角C DA E --6点评：本题考查空间垂直关系的证明与二面角所成平面角的计算，考查空间推理能力与空间建模思想，对学生计算求解能力要求较高，属于中等题.19．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部学生的数学成绩按1∶20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表： 分数段（分） [)50,70 [)70,90 [)90,110 [)110,130 []130,150总计 频数b频率 a0.25（1）求表中a ，b 的值及成绩在[)70,80[90100)，范围内的样本数； （2）从成绩在[)90,110内的样本中随机抽取4个样本，设其中成绩在[)90,100内的样本个数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）若把样本各分数段的频率看作总体相应各分数段的概率，现从全校高三期中考试数学成绩中随机抽取5个，求其中恰有2个成绩在[]110,150内的概率.答案：（1）0.1a =，8b =，成绩在[)70,80，[90100)，范围内的样本数分别为2人，3人；（2）分布列见解析，32；（3）135512.（1）由茎叶图知成绩在[50，70）范围内的有2人，成绩在[)70,90有0.25205⨯=人，在[)90,110有2025328----=人，即8b =，根据茎叶图数据作差可得出成绩在[)70,80[90100，）范围内的样本数； （2）由茎叶图知成绩在[)90,110内的共有8人，其中成绩在[)90,100内的共有3人，于是X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列及数学期望E （X ）；（3）该校高三期中考试数学成绩在[]110,150的概率为51204p ==，设随机抽取5个，其中恰有2个成绩在[]110,150的事件为A ，由二项分布概率公式能求概率． 解析：（1）由茎叶图知成绩在[)50,70范围内的有2人，得20.120a ==， 在[)70,90有0.25205⨯=人，在[)90,110有2025328----=人，即8b =， 在[)70,80范围内的样本数为532-=人，在[90100，）范围内的样本数为853-=人；（2）由茎叶图知成绩在[)90,110内的共有8人，其中在[)90,100内的共有3人，于是X 的可能取值为0，1，2，3.得()45481014C P X C ===，()133548317C C P X C ===， ()223548327C C P X C ===，()3135481314C C P X C ===. 得X 的分布列为：故()1331301231477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）该校高三期中考试数学成绩在[]110,150的概率为51204p ==， 设随机抽取5个，其中恰有2个成绩在[]110,150的事件为A ，则根据题设有()232511135144512P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.点评：本题考查茎叶图、频率分布直方表、离散型随机变量及其分布列、期望等知识，考点较多，考查学生分析求解能力，属于中等题.20．过点(P 做圆22:2O x y +=的切线，切点分别为S ，T .直线ST 恰好经过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右顶点A 和上顶点B .（1）求椭圆C 的方程；（2）设Q 是椭圆C 上一点，直线QA 交y 轴于点M ，直线QB 交x 轴于点N ，求证：AN BM ⋅为定值.答案：（1）22142x y +=；（2）证明见解析. （1）利用圆的切线的性质即可求直线ST 方程，可得椭圆的右顶点和上顶点，进而即可得到椭圆的方程；（2）设出点Q 的坐标，易求得AQ 、BQ 方程，求得M 、N 坐标即可得出AN BM 、，代入关系式AN BM ⋅，利用Q 点满足椭圆方程，化简即可证明． 解析：（1）因为点(P 在圆外，所以PS PT =， 且OS PS ⊥，OT PT ⊥，PSO PTO ≅V V连结OP ，ST ，∴OP ST ⊥，12ST OP k k =-=-.由题意知，其中一个切点为(，所以直线ST 的方程2y x =-+∴()2,0A ，(B ，∴2a =，b =所以椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）设()00,Q x y ，则002AQ y k x =-，∴AQ 方程为()0022y y x x =--， 令0x =，∴022M y y x =-，∴0022y MB x ==-同理，00BQ y k x =， ∴BQ方程为00y y x x =， 令0y =，∴N x =∴2AN ==∴AN MB ⋅==∴由于点()00,Q x y 在椭圆上，所以2200248x y +=，∴AN MB ⋅==.点评：本题考查椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题，求椭圆方程一般思路是根据题意列关系式解a 、b ，椭圆中定值问题一般思路为设参数、代入求值、消参、定值出现，但是过程复杂且计算量大，属于中等题. 21．已知函数()()22ln xf x ex m =-+，()()2122ln 1g x x kx x =+--+.曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线平行于x 轴.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，()()f x g x ≥恒成立，求实数k 的取值范围.答案：（1）()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增；（2）2k ≥-.（1）对()f x 求导，根据题意()00f '=可得1m =，即可得到()f x 解析式，()f x '在()1,-+∞上单增，且()00f '=，可得()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增；（2）令()()()h x f x g x =-，不等式转化为()min 0h x ≥，对()h x 求导进行分类讨论可得实数k 的取值范围.解析：（1）()222x f x e x m '=-+，由题意()2020f m'=-=， ∴1m =.∴()()22ln 1x f x ex =-+， ∴()2221x f x e x '=-+， ∴()f x '在()1,-+∞上单增，且()00f '=，∴()1,0x ∈-时，()0f x '<，()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增.（2）令()()()2212x h x f x g x e x kx =-=--+，即()0h x ≥恒成立，必有()min 0h x ≥.∵()()2222221x x h x e kx e kx '=-+=-+，()()222x h x e k ''=+.（i ）当2k ≥-时，()0h x ''≥恒成立，()h x '在[)0,+∞单调递增，()()min 000h x h ==≥满足题意，所以2k ≥-.（ii ）当2k <-时，由()0h x ''≥得1ln 22k x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭， 由()0h x ''<得1ln 22k x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭， ∴()h x '在10,ln 22k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在1ln ,22k ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增. 又()00h '=，所以当10,ln 22k x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时()0h x '<恒成立， ∴()h x 在10,ln 22k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减.而()00h =，∴10,ln 22k x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时()0h x ≤与()0h x ≥恒成立不符， ∴2k <-不满足题意.综上所述，k 的取值范围2k ≥-.点评：本题考查导数的应用问题，利用导数求参数、利用导数求单调性、利用导数研究不等式恒成立参数取值问题，难点为求参数取值范围问题，此类问题通常利用构造函数法将问题转化，利用分类讨论方法求新构造的函数最值存在时参数的取值范围，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤≤）.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度.已知曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 经过点()2,0，与曲线C 交于A ，B 两点，求AB .答案：（1）28y x =；（2）16.（1）等式两边同时乘ρ，再利用极坐标与直角坐标关系x =ρcos θ，y =ρsin θ，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）由直线l 经过点()2,0，得tan 1α=-，可求出直线l 的参数方程，代入28y x =，利用韦达定理及弦长公式可得AB .解析：（1）由2sin 8cos ρθθ=得：22sin 8cos ρθρθ=，即曲线C 的直角坐标方程为28y x =.（2）由直线l 经过点()2,0，得tan 1α=-， 可得直线l的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入28y x =，得288t ++=，设方程两根为1t ，2t，则12t t +=-128t t =，∴1216AB t t =-===.点评： 本题考查极坐标与直角坐标的转化及圆锥曲线弦长问题，极坐标方程利用公式进行转化即可得到直角坐标方程，圆锥曲线弦长问题通常联立求出利用韦达定理代入弦长公式即可，属于中等题.23．设函数()1f x x =-，()24g x x =-.（1）求不等式()()f x g x <的解集；（2）若x R ∃∈，使不等式()()211f x g x ax ++<+成立，求实数a 的取值范围.答案：（1）()5,3,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）32a >或4a <-. （1）两边平方求出不等式的解集即可；（2）通过讨论x 的范围，去掉绝对值，分离参数a ，结合x 的范围从而求出a 的范围即可． 解析： （1）由124x x -<-两边平方得：222141616x x x x -+<-+∴2314150x x -+>即()()3530x x -->，解得53x <，或3x >， ∴不等式()()f x g x <的解集为()5,3,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）∵()()44021=2+24402442x x f x g x x x x x x -+<⎧⎪++-=≤≤⎨⎪->⎩，，，，当0x <时，441x ax -+<+，即34a x<-在(),0-∞上有解，故4a <-， 当0x =时，41<不成立，当02x <≤时，41ax <+即3a x >在(]0,2上有解，故32a >， 当2x >时，441x ax -<+，即54a x >-在()2,+∞上有解，故32a >，综上：32a 或4a<-.点评：本题考查绝对值不等式的解法及不等式能成立问题参数取值问题，解绝对值不等式一般利用分类讨论或者平方法去绝对值求解，不等式能成立问题参数取值问题综合性较强，可以用分离参数法转化为求函数最值问题，属于中等题.。
2019届山东省威海市高三二模考试数学(理)试题(解析版)
2019届山东省威海市高三二模考试数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足2(1i)(3i)z +=+，则||z =（ ）A BC ．D ．8【答案】C【解析】先根据复数的乘除法求出复数z 的代数形式，然后再求出||z 即可． 【详解】∵2(1)(3)z i i +=+，∴2(3)86(86)(1)(43)(1)711(1)(1)i i i i z i i i i i i i +++-====+-=-+++-，∴||z === 故选C ． 【点睛】本题考查复数的运算和复数模的求法，解题的关键是正确求出复数的代数形式，属于基础题．2．已知集合x y y A 2log |{==，14}2x ≤≤，{|2}B x =≤，则A B ⋂=( ) A ．[1,2]- B ．]2,0[C ．[1,4]-D ．[0,4]【答案】B【解析】根据对数的单调性求出集合A ，解不等式得到集合B ，然后再求出B A 即可得到答案． 【详解】由题意得2214}{|log log {|}[1,212]2A y y y y ≤≤=≤≤=-=-，又{|2}[0,4]B x =≤=，∴[0,2]A B ⋂=． 故选B ．本题考查集合的交集，解题的关键是根据题意得到集合,A B ，属于基础题． 3．下图所示茎叶图中数据的平均数为89，则x 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】根据茎叶图中的数据及平均数的定义得到关于x 的方程，解方程可得所求． 【详解】茎叶图中的数据为：86,80,90,91,91x +，由数据平均数为89得1(8680909191)895x +++++=， 解得7x =． 故选B ． 【点睛】解答本题时首先要由茎叶图得到相关数据，解题的关键是要明确茎叶图中茎中的数字表示十位数字，叶中的数字表示各位数字，属于基础题．4．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，M 为其终边上一点，则cos2α=( ) A ．32-B ．23C ．13-D ．13【答案】D【解析】先根据三角函数的定义求出36cos =α，然后再根据二倍角的余弦公式求出cos2α．【详解】∵M 为角α终边上一点，∴cos 3α===，∴221cos 22cos 12(133αα=-=⨯-=．【点睛】本题考查三角函数的定义和倍角公式，考查对基础知识的掌握情况和转化能力的运用，属于基础题．5．若,x y 满足约束条件210,220,20,x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则3z x y =-的最大值为( )A ．2B ．1C ．0D ．-1【答案】A【解析】画出不等式组表示的可行域，由3z x y =-得z x y -=3，平移直线并结合z 的几何意义得到最优解，进而可得所求最大值． 【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由3z x y =-得z x y -=3，所以z 表示直线z x y -=3在y 轴上截距的相反数．平移直线z x y -=3，结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 取得最大值．由21020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩，所以)1,1(A ，所以max 3112z =⨯-=． 故选A ． 【点睛】利用线性规划求目标函数的最值问题是常考题型，一般以选择题、填空题的形式出现，难度适中．解题时要熟练画出可行域，把目标函数适当变形，把所求最值转化为求直线的斜率、截距、距离等问题处理，主要考查数形结合在解题中的应用和计算能力．6．函数sin 22y x x =的图象可由2cos 2y x =的图象如何变换得到( )A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位【答案】B【解析】由题意化简得sin 222cos[2()]12y x x x π=+=-，然后再把函数2cos 2y x =的图象经过平移后可得到所求答案．【详解】 由题意得sin 222sin(2)2cos[(2)]2cos(2)3236y x x x x x ππππ==+=-+=-+2cos(2)2cos[2()]612x x ππ=-=-，所以将函数2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位可得到函数2cos[2()]12y x π=-，即函数sin 22y x x =的图象． 故选B ． 【点睛】在进行三角函数图象的变换时要注意以下几点：①变换的方向，即由谁变换到谁；②变换前后三角函数名是否相同；③变换量的大小．特别注意在横方向上的变换只是对变量x 而言的，当x 的系数不是1时要转化为系数为1的情况求解．7．若P 为ABC ∆所在平面内一点，且|||2|PA PB PA PB PC -=+-u u r u u r u u r u u r u u u r，则ABC ∆的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 【答案】C【解析】由条件可得||||BA CA CB =+uu r uu r uu r ，即||||C A C B C A C B -=+u r u r u r ur ，进而得到CA CB ⊥，所以ABC ∆为直角三角形． 【详解】∵|||2|PA PB PA PB PC -=+-u u r u u r u u r u u r u u u r ，∴|||()()|||BA PA PC PB PC CA CB =-+-=+u u r u u r u u u ru u r u u u r u u r u u r， 即||||CA CB CA CB -=+u u r u u r u u ru u r， 两边平方整理得0CA CB ⋅=， ∴CA CB ⊥，∴ABC ∆为直角三角形． 故选C ． 【点睛】由于向量具有数和形两方面的性质，所以根据向量关系式可判断几何图形的形状和性质，解题时需要对所给的条件进行适当的变形，把向量的运算问题转化为几何中的位置关系问题，解题中要注意向量线性运算的应用，属于中档题．8．已知函数()ln ln()f x x a x =+-的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 的值域为( ) A ．)2,0( B ．[0,)+∞C ．(2]-∞D ．(,0]-∞【答案】D【解析】根据函数()f x 的图象关于直线1x =对称可得(1)(1)f x f x +=-，由此可得2a =，所以()ln ln(2)f x x x =+-，再结合函数的单调性和定义域求得值域．【详解】∵函数()ln ln()f x x a x =+-的图象关于直线1x =对称 ∴(1)(1)f x f x +=-，即ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)x a x x a x -+-+=++--， ∴(1)(1)(1)(1)x a x x a x --+=+--， 整理得(2)0a x -=恒成立， ∴2a =，∴()ln ln(2)f x x x =+-，定义域为)2,0(． 又2()ln ln(2)ln(2)f x x x x x =+-=-， ∵02x <<时，2021x x <-≤，∴2ln(2)0x x -≤，∴函数()f x 的值域为(,0]-∞． 故选D ． 【点睛】解答本题时注意两点：一是函函数()y f x =的图象关于x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-()(2)f x f a x ⇔=-；二是求函数的值域时首先要考虑利用单调性求解．本题考查转化及数形结合等方法的利用，属于中档题．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为( )A ．6B ．8C ．26D ．【答案】B【解析】根据三视图画出四棱锥的直观图，然后再结合四棱锥的特征并根据体积公式求出其体积即可． 【详解】由三视图可得四棱锥为如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中的四棱锥11C DEE D -，其中在长方体1111ABCD A B C D -中，14,2,3AB AD AA ===，点1,E E 分别为11,AB A B 的中点．由题意得CE DE ==CE DE ⊥，又1CE EE ⊥， 所以CE ⊥平面11DEE D 即线段CE 即为四棱锥的高．所以111111(3833DEE D C DEE D V S CE -=⋅⋅=⨯⨯⨯=四棱锥. 故选B ． 【点睛】本题考查三视图还原几何体和几何体体积的求法，考查空间想象能力和计算能力，解题的关键是由三视图得到几何体的直观图，属于中档题．10．在ABC ∆中，3AC =，向量 在AC 上的投影的数量为2,3ABC S ∆-=，则=BC ( )A ．5B ．72CD ．24【答案】C【解析】由向量AB 在AC 上的投影的数量为2-可得||cos 2AB A =-，由3=∆ABC S 可得1||||sin 32AB AC A =，于是可得3,||224A AB π==求得BC 的长度． 【详解】∵向量 在上的投影的数量为2-， ∴||cos 2AB A =-．① ∵3=∆ABC S ， ∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==， ∴||sin 2AB A =．② 由①②得tan 1A =-， ∵A 为ABC ∆的内角，∴43π=A ，∴2||3sin4AB π==在ABC ∆中，由余弦定理得2222232cos323()2942BC AB AC AB AC π=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴BC =故选C ． 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义和解三角形，解题的关键是根据题意逐步得到运用余弦定理时所需要的条件，考查转化和计算能力，属于中档题． 11．已知函数()f x 的定义域为R ，1122f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，对任意的x R ∈满足()4f x x '>.当[0,2]απ∈时，不等式(sin )cos 20f αα+>的解集为( )A ．711,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．45,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意构造函数2()()21g x f x x =-+，则()()40g x f x x ''=->，所以得到()g x 在R 上为增函数，又2111()()2()10222g f =-⨯+=．然后根据(sin )cos 20f αα+>可得21(sin )(sin )2sin 1(sin )cos 20()2g f f g ααααα=-+=+>=，于是21sin >α，解三角不等式可得解集． 【详解】由题意构造函数2()()21g x f x x =-+， 则()()40g x f x x ''=->， ∴函数()g x 在R 上为增函数． ∵1122f ⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴2111()()2()10222g f =-⨯+=． 又(sin )cos 20f αα+>，∴21(sin )(sin )2sin 1(sin )cos 20()2g f f g ααααα=-+=+>=，∴21sin >α， ∵02απ≤≤， ∴566ππα<<， ∴不等式(sin )cos 20f αα+>的解集为5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故选D ． 【点睛】解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解，构造时要结合所求的结论进行分析、选择，然后根据所构造的函数的单调性求解．本题考查函数和三角函数的综合，难度较大．12．设1F ，2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点()0,2P x a 为双曲线上一点，若21F PF ∆的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为( )A B C D 【答案】A【解析】设21F PF ∆的重心和内心分别为,G I ，则02(,)33x aG ．设(,)I I I x y ，根据双曲线的定义和圆的切线的性质可得I x a =，于是3x a =，03x a =，所以()3,2P a a ．然后由点P 在双曲线上可得2212b a =，于是可得离心率．【详解】画出图形如图所示，设21F PF ∆的重心和内心分别为,G I ，且圆I 与21F PF ∆的三边1212,,F F PF PF 分别切于点,,M Q N ，由切线的性质可得1122||||,||||,||||PN PQ FQ F M F N F M ===．不妨设点()0,2P x a 在第一象限内， ∵G 是21F PF ∆的重心，O 为12F F 的中点，∴1||||3OG OF =， ∴G 点坐标为02(,)33x a．由双曲线的定义可得121212||||2||||||||PF PF a FQ F N F M F M -==-=-， 又12||||2F M F M c +=， ∴12||,||F M c a F M c a =+=-， ∴M 为双曲线的右顶点． 又I 是21F PF ∆的内心， ∴12IM F F ⊥．设点I 的坐标为(,)I I x y ，则I x a =． 由题意得GI x ⊥轴， ∴3x a =，故03x a =， ∴点P 坐标为()3,2a a ．∵点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上，∴22222294491a a a a b b -=-=，整理得2212b a =，∴2c e a ====． 故选A ． 【点睛】本题综合考查双曲线的性质和平面几何图形的性质，解题的关键是根据重心、内心的特征及几何图形的性质得到点P 的坐标，考查转化和计算能力，难度较大．二、填空题13．在5(2x +的展开式中，4x 的系数是__________． 【答案】80.【解析】先求出二项展开式的通项，然后可求出4x 的系数． 【详解】由题意得，二项展开式的通项为5552155(2)2(0,1,2,3,4,5)r r rr rr r T C x C xr ---+=⋅⋅==，令2r =得4x 的系数为325280C ⋅=．故答案为：80． 【点睛】解答此类问题的关键是求出二项展开式的通项，然后再根据所求问题通过赋值法得到所求，属于基础题．14．已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到x 轴的距离为4,到焦点的距离为5,则=p __________．【答案】2或8.【解析】设00(,)M x y ，则0||4y =，由题意可得052px +=，0162px =，两式消去0x 后解方程可得所求值． 【详解】设00(,)M x y ，则0||4y =， ∴0162px =．①又点M 到焦点的距离为5， ∴052px +=．② 由①②消去0x 整理得210160p p -+=，解得2p =或8p =． 故答案为：2或8． 【点睛】本题考查抛物线定义的应用，即把曲线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，属于基础题．15．直三棱柱111ABC A B C -中，190,2BC A A A ︒∠==，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O ABC -的体积为1，则球O 表面积的最小值为__________． 【答案】16π.【解析】设,AB c BC a ==，由三棱锥O ABC -的体积为1可得6=ac ．然后根据题意求出三棱柱外接球的半径为221R =+，再结合基本不等式可得外接球表面积的最小值． 【详解】如图，在Rt ABC ∆中，设,AB c BC a ==，则AC =分别取11,AC A C 的中点12,O O ，则12,O O 分别为111C B A Rt ∆和Rt ABC ∆外接圆的圆心， 连12,O O ，取12O O 的中点O ，则O 为三棱柱外接球的球心． 连OA ，则OA 为外接球的半径，设半径为R ．∵三棱锥O ABC -的体积为1， 即1()1132O ABC acV -=⨯⨯=， ∴6=ac ．在2Rt OO C ∆中，可得22222212()()112224O O AC a c R +=+=+=+，∴222244(1)4(1)1644a c acS R ππππ+==+≥+=球表，当且仅当c a =时等号成立，∴O 球表面积的最小值为16π． 故答案为：16π． 【点睛】解答几何体外接球的体积、表面积问题的关键是确定球心的位置，进而得到球的半径，解题时注意球心在过底面圆圆心且垂直于底面的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等．在确定球心的位置后可在直角三角形中求出球的半径，此类问题考查空间想象力和计算能力，难度较大．16．“克拉茨猜想”又称“31n +猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为__________．【答案】10或64.【解析】从第六项为1出发，按照规则逐步进行逆向分析，可求出m 的所有可能的取值． 【详解】如果正整数m 按照上述规则经过6次运算得到1， 则经过5次运算后得到的一定是2； 经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1（不合题意）； 经过2次运算后得到的是16； 经过1次运算后得到的是5或32； 所以开始时的数为10或64． 所以正整数m 的值为10或64． 故答案为：10或64． 【点睛】本题考查推理的应用，解题的关键是按照逆向思维的方式进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．三、解答题17．已知{}n a 是递增的等比数列，548a =，2344,3,2a a a 成等差数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列{}n b 满足21a b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(Ⅰ) 123-⋅=n n a .(Ⅱ) 323(1)nn S n =⋅+-.【解析】(Ⅰ)由条件求出等比数列的首项和公比，然后可得通项公式．(Ⅱ)由题意得1n n n b b a +-=，再利用累加法得到1323n n b -=⋅+，进而可求出n S ．【详解】(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >， ∵24a ，33a ，42a 成等差数列，∴324642a a a =+，即23111642a q a q a q =+，∴0232=+-q q ，解得2q =或1q =（舍去）又45111648a a q a ===，∴31=a .∴123-⋅=n n a .(Ⅱ)由条件及（Ⅰ）可得12326b a ==⨯=． ∵1n n n b b a +=+， ∴1n n n b b a +-=， ∴11(2)n n n b b a n ---=≥， ∴()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+123216n n n a a a a a ---=++++++L1332612n --⋅=+-1323(2)n n -=⋅+≥．又16b =满足上式，∴1323(*)n n b n N -=⋅+∈∴11223(122)332233323(1)12nn n n n S b b b n n n --⋅=+++=+++++=+=⋅+--L L ． 【点睛】对于等比数列的计算问题，解题时可转化为基本量（首项和公比）的运算来求解．利用累加法求数列的和时，注意项的下标的限制，即注意公式的使用条件．考查计算能力和变换能力，属于中档题．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆为等边三角形，22PA AB ==，AC CD ⊥，PD 与平面PAC 所成角的正切值为515.(Ⅰ)证明：//BC 平面PAD ；(Ⅱ)若M 是BP 的中点，求二面角P CD M --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）25511.【解析】(Ⅰ)先证明DPC ∠为PD 与平面PAC 所成的角，于是可得CD =，于是60CAD ∠=︒．又由题意得到60BCA ∠=︒，故得AD BC //，再根据线面平行的性质可得所证结论． (Ⅱ) 取BC 的中点N ，连接AN ，可证得AN AD ⊥．建立空间直角坐标系，分别求出平面PCD 和平面CDM 的法向量，根据两个法向量夹角的余弦值得到二面角的余弦值． 【详解】(Ⅰ)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PA CD ⊥又AC CD ⊥,CA PA A =I , 所以CD ⊥平面PAC ，所以DPC ∠为PD 与平面PAC 所成的角．在Rt PCD V 中，PC ==，所以CD =所以在Rt PCD V 中，2AD =,60CAD ∠=︒. 又60BCA ∠=︒，所以在底面ABCD 中，AD BC //, 又AD ⊂平面PAD ，BC Ë平面PAD ， 所以//BC 平面PAD ．(Ⅱ)解：取BC 的中点N ，连接AN ，则AN BC ⊥,由(Ⅰ)知AD BC //， 所以AN AD ⊥，分别以AN ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .则(0,0,2)P，1,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,2,0)D，1,14M ⎫-⎪⎪⎝⎭所以3,022CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，(0,2,2)PD =-，9,144DM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu u r设平面PCD 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由1100n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111130220y y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得1111x z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令11y =，则1(3,1,1)n =．设平面CDM 的一个法向量为()2222,,n x y z =，由2200n CD n MD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222230940y y z ⎧+=⎪-+=，得222232x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令21y =，则232n ⎫=⎪⎭u u r ．所以121212331cos ,||||n n n n n n ++⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r 由图形可得二面角P CD M --为锐角， 所以二面角P CD M --的余弦值为25511． 【点睛】空间向量是求解空间角的有利工具，根据平面的法向量、直线的方向向量的夹角可求得线面角、二面角等，解题时把几何问题转化为向量的运算的问题来求解，体现了转化思想方法的利用，不过解题中要注意向量的夹角和空间角之间的关系，特别是求二面角时，在求得法向量的夹角后，还要通过图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后才能得到结论．19．某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），己知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100 元.现统计甲、乙两市场以往100个销售周期该蔬菜的市场需求量的频数分布，如下表:以市场需求量的频率代替需求量的概率.设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在 甲、乙两市场同时销售，以X （单位：吨）表示下个销售周期两市场的需求量，T (单位：元）表示下个销售周期两市场的销售总利润.(Ⅰ)当19n =时，求T 与X 的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的槪率； (Ⅱ)以销售利润的期望为决策依据，判断17n =与18n =应选用哪—个. 【答案】(Ⅰ)解析式见解析；槪率为0.71；(Ⅱ) 18n =. 【解析】(Ⅰ) 根据题意可得解析式为分段函数9500,?19,6001900,19X T X X ≥⎧=⎨-<⎩．分析题意可得当18X ≥时可满足利润不少于8900元，求出16,17X X ==的概率后再根据对立事件的概率公式求解即可． (Ⅱ) 结合题意中的销售情况，分别求出当17n =和18n =时的销售利润的期望，比较后可得结论． 【详解】(Ⅰ)由题意可知，当19X ≥，500199500T =⨯=； 当19X <，500(19)1006001900T X X X =⨯--⨯=-， 所以T 与X 的函数解析式为9500,?19,6001900,19X T X X ≥⎧=⎨-<⎩.由题意可知，一个销售周期内甲市场需求量为8,9,10的概率分别为0.3,0.4,0.3；乙市场需求量为8，9，10的概率分别为0.2，0.5，0.3. 设销售的利润不少于8900元的事件记为A . 当19X ≥，5001995008900T =⨯=>， 当19X <，60019008900X -≥，解得18X ≥， 所以()(18)P A P X =≥．由题意可知，(16)0.30.20.06P X ===⨯；(17)0.30.50.40.20.23P X ⨯⨯==+=；所以()(18)10.060.230.71P A P X ==--=≥. (Ⅱ)由题意得(16)0.06P X ==，(17)0.23P X ==，(18)0.40.50.30.30.30.20.35P X ⨯⨯⨯==++=，(19)0.40.30.30.50.27P X ⨯⨯==+=， (20)0.30.30.09P X ===⨯．①当17n =时，()(500161100)0.06500170.948464E T =⨯-⨯⨯+⨯⨯=；②当18n =时，()(500162100)0.06(500171100)0.23185000.718790E T ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-+-+=．因为84648790<， 所以应选18n =． 【点睛】本题考查应用概率解决生活中的实际问题，解题的关键是深刻理解题意，然后再根据题中的要求及数学知识进行求解，考查应用意识和转化、计算能力，是近年高考的热点之一，属于中档题．20．在直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ,短轴的两个端点分别为,A B ，且160AF B ∠=︒，点1)2在C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线:(0)l y kx m k =+>与椭圆C 和圆O 分别相切于P ,Q 两点，当OPQ ∆面积取得最大值时，求直线l 的方程.【答案】(Ⅰ) 2214x y +=.(Ⅱ) y x =±【解析】(Ⅰ) 由160AF B ∠=︒，可得2a b =；由椭圆C 经过点1)2，得2231144b b+=，求出22,a b 后可得椭圆的方程． (Ⅱ)将直线方程与椭圆方程联立消元后根据判别式为零可得1422+=k m ，解方程可得切点坐标为41(,)k P m m -，再根据直线和圆相切得到||OQ =三角形中求出||PQ ，进而得到OPQS∆=，将1422+=k m 代入后消去m 再用基本不等式可得当三角形面积最大时1k =，于是可得m =于是直线方程可求． 【详解】(Ⅰ)由160AF B ∠=︒，可得2a b =，① 由椭圆C经过点1)2，得2231144b b +=，② 由①②得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(Ⅱ)由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 整理得()222148440k x kmx m +++-=（），由直线l 与椭圆相切得，()()222264161140k m m k ∆=--+=，整理得1422+=k m ，故方程（）化为2228160m x kmx k ++=，即2(4)0mx k +=， 解得4kx m-=， 设()11,P x y ，则124414km k x k m--==+，故111y kx m m =+=， 因此41(,)k P m m-． 又直线:(0)l y kx m k =+>与圆O相切，可得||OQ =所以||PQ ==所以1||||2OPQS PQ OQ ∆=⋅= 将1422+=k m 式代入上式可得OPQS ∆===21321k k =⋅+3112k k=⋅+， 由0k >得12k k +≥，所以313124OPQ S k k∆=⋅≤+，当且仅当1k =时等号成立，即1k =时OPQ S ∆取得最大值．由22415m k =+=，得m = 所以直线l的方程为y x =± 【点睛】解决解析几何问题的关键是将题中的信息坐标化，然后再利用一元二次方程根与系数的关系进行转化处理，逐步实现变量化一的目的．由于解题中要涉及到大量的计算，所以要注意计算的合理性，通过“设而不求”、“整体代换”等方法进行求解，考查转化和计算能力，属于难度较大的问题． 21．已知函数2()(1)1xa x f x e x x -=>-+. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ)证明：当[0,1]m ∈时，函数222()(0)xmx m e g x x x+-=>有最大值.设()g x 的最大值为)(m h ，求函数)(m h 的值域. 【答案】(Ⅰ)答案见解析.(Ⅱ)答案见解析.【解析】(Ⅰ)2222(22)1()(1)(1)xx a x a f x e x x -+-+-'=>-+，令2()2(22)1h x x a x a =-+-+-)1(->x ，然后根据判别式()241a ∆=-的符号讨论函数()h x 函数值的情况，进而得到()f x '的符号，于是可得函数的单调情况．(Ⅱ)由题意得23312(1)[]2(1)[()]1()xx x e m x f x m x g x x x -+-+-+'==，结合（Ⅰ）得当1a =时，21()1xx f x e x -=+在(0,)+∞上单调递减，且(0)1,(1)0f f ==，因此得到对任意)1,0[∈m ，存在唯一的(0,1]m x ∈，使()m f x m =，且()g x 在(0,)m x 单调递增，在(,)m x +∞单调递减，所以()g x 的最大值2()()21mx mm h x g x e x ==-+．设22()1xp x e x-=+(01)x <≤，则()p x 在]1,0(单调递减，可得(1)()(0)p h m p ≤<，进而可得所求值域． 【详解】 (Ⅰ)由2()(1)1xa x f x e x x -=>-+， 得222222112(22)1()2(1)(1)1(1)x x xa x x a x a f x e e e x x x x '----+-+-=+=>-+++． 令2()2(22)1(1)h x x a x a x =-+-+->-， 则()241a ∆=-，（1）当11≤≤-a 时，()2041a =∆-≤，所以()0h x ≤，()0f x '≤，所以()f x 在(1,)-+∞上单调递减．（2）当1a <-或1a >时，()241a ∆=->0，设0)(=x h 的两根为12,x x 且12x x <，则1211,22a a x x ---+==，①若1a <-，可知121x x <-<，则当()2,x x ∈+∞时，()0,()f x f x '<单调递减；当()21,x x ∈-时，()0,()f x f x '>单调递增．②若1a >，可知121x x -<<，则当()()121,,x x x ∈-+∞U 时，()0,()f x f x '<单调递减； 当()12,x x x Î时，()0,()f x f x '>单调递增． 综上可知：当1a <-时，()f x在(1)2a -+∞上单调递减，在11,2(a -+-上单调递增；当11≤≤-a 时，()f x 在(1,)-+∞上单调递减；当1a >时，()f x在11,2(a -+-，(1)2a -++∞上单调递减，在11(22a a ---上单调递增．(Ⅱ)由222()(0)xmx m e g x x x +-=>，得()()22224322222(1)2(1)()xx x m e xmx m e x x e m x g x x x --+---+'==23312(1)2(1)[()]1x x x e m x f x m x x x -⎡⎤+-⎢⎥+-+⎣⎦==，由(Ⅰ)可知当1a =时，21()1xx f x e x -=+在(0,)+∞上单调递减，且(0)1,(1)0f f ==， 所以对任意)1,0[∈m ，存在唯一的(0,1]m x ∈，使()m f x m =（反之对任意(0,1]m x ∈， 也存在唯一)1,0[∈m ，使()m f x m =）.且当0m x x <<时，m x f >)(，()0g x '>，()g x 在(0,)m x 单调递增； 当m x x >时，()f x m <，()0g x '<，()g x 在(,)m x +∞单调递减.因此当m x x =时，()g x 取得最大值，且最大值222()()mx m m mmx m e h x g x x +-== 22(21)m x m m m x e x +-=()()2222121m mx x m m m mf x x e e x x +--==+， 令22()(01)1xp x e x x-=<≤+， 则2242()0(1)xx p x e x +'=-≤+，所以()p x 在]1,0(单调递减，所以(1)()(0)p h m p ≤<，即2()2e h m -≤<-，所以)(m h 的值域为2[,2)e --． 【点睛】解答关于导数的综合问题时要熟练掌握函数单调性的判断方法，理解函数单调性与导数的关系．在解题中，对于含参数问题要注意对隐含条件的挖掘，利用函数的单调性解不等式，注意对参数的讨论；对于函数的最值问题首先要考虑利用函数的单调性求解．本题综合考查利用导数研究单调性、求函数的最值等，难度较大． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且曲线1C 与2C 恰有一个公共点. (Ⅰ)求曲线1C 的极坐标方程；(Ⅱ)已知曲线1C 上两点A ，B 满足4AOB π∠=，求AOB ∆面积的最大值.【答案】(Ⅰ) 4cos ρθ=.(Ⅱ) 2+.【解析】(Ⅰ) 由题意得曲线2C 为直线，曲线1C 为圆，根据直线和圆相切可得圆的半径，进而可得圆的极坐标方程． (Ⅱ) 设()2121(,),0,0,4(),B A πθρρρθρ+>>，可得MON S ∆12ρρ=cos 4πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后转化为三角函数的知识求解即可． 【详解】(Ⅰ)曲线2C 的极坐标方程为1sin()sin cos 3622πρθρθρθ+=+=，将sin ,cos y x ρθρθ==代入上式可得2C 直角坐标方程为1322y x +=，即60x -=，所以曲线2C 为直线．又曲线1C 是圆心为(2,0),半径为||r 的圆， 因为圆1C 与直线1C 恰有一个公共点， 所以|26|||22r -==，所以圆1C 的普通方程为2240x y x +-=，把222,cos x y x ρρθ+==代入上式可得1C 的极坐标方程为0cos 42=-θρρ，即4cos ρθ=.(Ⅱ)由题意可设()2121(,),0,0,4(),B A πθρρρθρ+>>，121||sin cos 2444MON S OA OB ππρρθθ∆⎛⎫===+ ⎪⎝⎭uu r uu u r ‖ ()21cos 2sin 24cos sin cos 422θθθθθ+⎛⎫=-=-⎪⎝⎭224πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以当cos 214πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，AOB ∆的面积最大，且最大值为2+. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的转化和极坐标方程的应用，利用极坐标方程解题时要注意用点的极径可解决长度问题，解题中往往涉及到三角变换，然后再转化成三角函数的问题求解，属于中档题． 23．选修4-5：不等式选讲 已知正实数,a b 满足2a b +=. (Ⅰ)(Ⅱ) 若对任意正实数,a b ，不等式|1||3|x x ab +--≥恒成立，求实数x 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ) 3[,)2+∞.【解析】(Ⅰ)由题意得22()2a b =+++利用基本不等式可得所证结论成立． (Ⅱ)先求出1ab ≤，故得对任意正实数,a b ，|1||3|x x ab +--≥恒成立，然后对x 进行分类讨论可得所求范围． 【详解】(Ⅰ)22()262()212a b a b =+++≤+++=(Ⅱ)对正实数,a b有a b +…所以2≤，解得1ab ≤，当且仅当a b =时等号成立． 因为对任意正实数,a b ，|1||3|x x ab +--≥恒成立， 所以|1||3|1x x +--≥恒成立．当1-≤x 时，不等式化为1(3)1x x ----≥，整理得41-≥，所以不等式无解； 当13x -<<时，不等式化为1(3)1x x +--≥，解得332x ≤≤； 当3x ≥时，不等式化为1(3)1x x +--≥，整理得41≥，不等式恒成立． 综上可得x 的取值范围是3[,)2+∞． 【点睛】（1）利用基本不等式解题时注意“一正二定三相等”三个条件要缺一不可，一定要点明等号成立的条件．（2）解绝对值不等式的常用方法是根据对变量的分类讨论去掉绝对值，然后转化为不等式（组）求解．。
2019年最新(统考)山东省高考第二次模拟考试数学(理)试卷及答案解析A
13．在 的展开式中，含 的项的系数是__________．
14．圆 和圆 恰有三条公切线 ，则 的最小值为_________．
15．已知函数 若存在三个不相等的实数 使得 的取值范围为___________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
4．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》中，有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣
A．104人B．108人C．112人D．120人
5．过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆锥的体积为
A．1
B．
C．
D．
6．在区间[0，8]上随机取一个 的值，执行下面的程序框图，则输出的 ≥3的概率为
(I)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)已知点 ，若直线l过椭圆C的右焦点 ，证明： 为定值；
(Ⅲ)若直线l过点(0，2)，设N为椭圆C上一点，且满足 ，求实数 的取值范围.
21．(本小题满分14分)
已知函数 (m为实数，e=2.71828…是自然对数的底数)．
(I)当m>1时，讨论 的单调性；
(Ⅱ)若 内有两个零点，求实数m的取值范围．
(I)若甲随机从中抽取3个红包，求甲抽到的3个红包中装有的金额总数小于10元的概率
(Ⅱ)若甲、乙、丙按下列规则抽取：
①每人每次只抽取一个红包，抽取后不放回；
②甲第一个抽取，甲抽完后乙再抽取，乙抽完后丙再抽取，丙抽完后甲再抽取……，依次轮流；
③一旦有人抽到装有5元的红包，游戏立即结束．
求甲抽到的红包的个数X的分布列及数学期望．
2019届高三数学二模考试试题理(含解析)
2019届高三数学二模考试试题理（含解析）一､选择题1.已知是虚数单位，复数的共轭复数是（）A. B. C. 1 D. -1【答案】B【解析】【分析】先把复数化简，然后可求它的共轭复数.【详解】因为,所以共轭复数就是.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数的求解，把复数化到最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 2.已知集合，则满足的集合的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】先求解集合，然后根据可求集合的个数.【详解】因为，，所以集合可能是.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的运算，化简求解集合是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.设向量，满足，，则（）A. -2B. 1C. -1D. 2【答案】C【解析】【分析】由平面向量模的运算可得：，①，②，则①②即可得解．【详解】因为向量，满足，，所以，①，②由①②得：，即，故选：．【点睛】本题主要考查了平面向量模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．4.定义运算，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】图象题应用排除法比较简单，先根据函数为奇函数排除、；再根据函数的单调性排除选项，即可得到答案．【详解】根据题意得，且函数为奇函数，排除、；；当时，，令，令，函数在上是先递减再递增的，排除选项；故选：．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，考查根据解析式找图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．5.已知圆:，定点，直线:，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】通过圆心到直线的距离与圆的半径进行比较可得.【详解】若点在圆外，则，圆心到直线:的距离，此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则，即，此时点在圆外.故选：C.【点睛】本题主要考查以直线和圆的位置关系为背景的条件的判定，明确直线和圆位置关系的代数表示是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.6.某程序框图如图所示，若输入的，则输出的值是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第六次不满足判断框中的条件，执行输出结果．【详解】经过第一次循环得到经过第二次循环得到经过第三次循环得到经过第四次循环得到经过第五次循环得到经过第六次循环得到此时，不满足判断框中的条件，执行输出故输出结果为故选：．【点睛】本题主要考查解决程序框图中的循环结构，常按照程序框图的流程，采用写出前几次循环的结果，找规律．7.在公差不等于零的等差数列中，，且，，成等比数列，则（）A. 4B. 18C. 24D. 16【答案】D【解析】【分析】根据，，成等比数列可求公差，然后可得.【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，即有，解得，（舍），所以.故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，根据已知条件构建等量关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 8.已知，为椭圆的左右焦点，点在上（不与顶点重合），为等腰直角三角形，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据为等腰直角三角形可得，结合椭圆的定义可求离心率.【详解】由题意等腰直角三角形，不妨设，则，由椭圆的定义可得，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解，离心率问题的求解关键是构建间的关系式，侧重考查数学运算的核心素养.9.若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【详解】根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、4，由正视图知，三棱锥的高是4，该几何体的体积，故选：．【点睛】本题主要考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10.若的展开式中的各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为（）A. 672B. -672C. 5376D. -5376【答案】A【解析】【分析】先根据的展开式中的各项系数的和为1，求解，然后利用通项公式可得常数项.【详解】因为的展开式中的各项系数的和为1，所以，即；的通项公式为，令得，所以展开式中的常数项为.【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的常数项，利用通项公式是求解特定项的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11.已知函数，则的最大值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】【分析】先化简函数，然后利用解析式的特点求解最大值.【详解】，因为，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的最值问题，三角函数的最值问题主要是先化简为最简形式，结合解析式的特点进行求解.12.将边长为2的正方形(及其内部)绕旋转一周形成圆柱，点､分别是圆和圆上的点，长为，长为，且与在平面的同侧，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由弧长公式可得，，由异面直线所成角的作法可得为异面直线与所成角，再求解即可．【详解】由弧长公式可知，，在底面圆周上去点且，则面，连接，，，则即为异面直线与所成角，又，，所以，故选：．【点睛】本题主要考查了弧长公式及异面直线所成角的作法，考查了空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二､填空题13.向平面区域内随机投入一点，则该点落在曲线下方概率为______.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由几何概型概率面积比得答案．【详解】作出平面区域，及曲线如图，，．向平面区域，内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为．故答案为：．【点睛】本题主要考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14.设，满足约束条件，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的取值范围．【详解】作出，满足约束条件，则对应的平面区域（阴影部分），由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．此时的最大值为，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小．此时的最小值为，故答案为：，．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.设等差数列的前项和为，若，，，则______.【答案】8【解析】【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式可得.【详解】因为，所以，因为，所以，设等差数列的公差为，则，解得，由得，解得.故答案为：8.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的运算，熟记相关的求解公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则______.【答案】1【解析】【分析】分别设出两个切点，根据导数的几何意义可求.详解】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，则且，解得；同理可得且，解得；故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，设出切点建立等量关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三､解答题17.在中，内角，，的对边分别为，，，已知.（1）若，求和；（2）求的最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件求出的余弦函数值，然后求解的值，然后求解三角形的面积；（2）通过余弦定理结合三角形的面积转化求解即可．【详解】（1）因为，代入，得，所以，，由正弦定理得，所以，.（2）把余弦定理代入，得，解得.再由余弦定理得.当且仅当，即时，取最小值.【点睛】本题主要考查三角形的解法、正余弦定理的应用、三角形的面积以及基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．18.一只红玲虫的产卵数和温度有关.现收集了7组观测数据如下表:温度21产卵数/7个为了预报一只红玲虫在时的产卵数，根据表中的数据建立了与的两个回归模型.模型①:先建立与的指数回归方程，然后通过对数变换，把指数关系变为与的线性回归方程:；模型②:先建立与的二次回归方程，然后通过变换，把二次关系变为与的线性回归方程:.（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在时产卵数的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.（参考数据:模型①的残差平方和，模型①的相关指数；模型②的残差平方和，模型②的相关指数；，，；，，，，，，）【答案】（1），（2）模型①得到的预测值更可靠，理由见解析【解析】【分析】（1）把分别代入两个模型求解即可；（2）通过残差及相关指数的大小进行判定比较.【详解】(1)当时，根据模型①，得，，根据模型②，得.（2）模型①得到的预测值更可靠.理由1:因为模型①的残差平方和小于模型②的残差平方和，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由2:模型①的相关指数大于模型②的相关指数，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由3:因为由模型①，根据变换后的线性回归方程计算得到的样本点分布在一条直线的附近；而由模型②，根据变换后的线性回归方程得到的样本点不分布在一条直线的周围，因此模型②不适宜用来拟合与的关系；所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠.（注:以上给出了3种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得）【点睛】本题主要考查回归分析，模型拟合程度可以通过两个指标来判别，一是残差，残差平方和越小，拟合程度越高；二是相关指数，相关指数越接近1，则拟合程度越高.19.如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是上一点.（1）求证:平面平面；（2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，然后可得平面平面；（2）建立坐标系，根据二面角的余弦值是可得的长度，然后可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）平面，平面，得.又，在中，得，设中点为，连接，则四边形为边长为1的正方形，所以，且，因为，所以，又因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，分别以射线､射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则，，.又设，则，，，，.由且知，为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，则，即，取，，则，有，得，从而，.设直线与平面所成的角为，则.即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.20.设为抛物线:的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，为的中点，且.（1）求抛物线的方程；（2）过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求四边形面积的最小值.【答案】（1）（2）32【解析】【分析】（1）由题意画出图形，结合已知条件列式求得，则抛物线的方程可求；（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为，与抛物线方程联立，求出，，可得四边形的面积，利用基本不等式求最值．【详解】（1）如图，为的中点，到轴的距离为，，解得．抛物线的方程为；（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为．由，得．△，设，、，，则；同理设，、，，，则．四边形的面积．当且仅当时，四边形的面积取得最小值32．线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.是自然对数的底数，已知函数，.（1）求函数的最小值；（2）函数在上能否恰有两个零点?证明你结论.【答案】（1）（2）能够恰有两个零点，证明见解析【解析】【分析】（1）先求导数，再求极值。
山东省威海市2019届高三二模考试理科数学试题
高三理科数学 含解析本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．考试时间120分钟，共150分．第I 卷(选择题 共60分)注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 满足()()213z i i +=+，则z =A.B.C. D.82.已知集合{}21log ,4,22A y y x x B ⎧⎫==≤≤=≤⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂= A. []1,2- B. []0,2 C. []1,4- D. []0,4 3.右图所示茎叶图中数据的平均数为89，则x 的值为A.6B.7C.8D.94.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，M ⎡⎣为其终边上一点，则cos 2α= A. 23- B. 23 C. 13- D. 135.若,x y 满足约束条件210,220,20,x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩则3z x y =-的最大值为A.2B.1C.0D.－16.函数sin 2y x x =的图像可由2cos 2y x =的图像如何变换得到A.向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向右平移6π个单位 7.若P 为△ABC 所在的平面内一点，且2PA PB PA PB PC -=+-，则△ABC 的形状为A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形8.已知函数()()ln ln f x x a x =+-的图像关于直线1x =对称，则函数()f x 的值域为A. ()0,2B. [)0,+∞C. (],2-∞D. (],0-∞9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为A.6B.8C.D. 10.在△ABC 中，AC=3，向量AB 在向量AC 的投影的数量为－2，S △ABC =3，则BC=A.5B.C.D. 11.已知函数()f x 的定义域为R ，1122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对任意的x R ∈满足()4f x x '>，当[]0,2απ∈时，不等式()sin cos20f αα+>的解集为 A. 711,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 45,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭12.设F 1，F 2为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，点P ()0,2x a 为双曲线上的一点，若△PF 1F 2的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为A. B. C. D. 第II 卷(非选择题 共90分)注意事项：请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第II 卷答题纸的指定位置，在试题卷上答题无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.在(52x 的展开式中，4x 的系数是_______. 14.已知抛物线()220y px p =>上的一点M 到x 轴的距离为4，到焦点的距离为5，则p =_____.15.在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC=90°，AA 1=2，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O-ABC 的体积为1，则球O 表面积的最小值为_______.16.“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数m 经过6次运算后得到1.则m 的值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本大题满分12分）已知{}n a 是递增的等比数列，523448,4,3,2a a a a =成等差数列. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设数列{}n b 满足121,,n n n b a b b a +==+，求数列{}n b 的前n 项和S n.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，△ABC 为等边三角形，PA=2AB=2，AC⊥CD ，PD 与平面PAC （I ）证明：BC//平面PAD ；（II ）若M 是BP 的中点，求二面角P-CD-M 的余弦值。
山东省威海市高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
山东省威海市高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．设全集，，，则集合（）A. B. C. D.2．若复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.3．对任意非零实数，若的运算原理如图所示，则的值为（）A. 2B.C. 3D.4．设满足约束条件，则的最大值为（）A. B. C. 4 D. 55．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 18B. 24C. 32D. 366．《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节的容积为（）A. B. C. D.7．曲线：如何变换得到曲线：（）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位8．已知双曲线的左右焦点分别为，以为圆心，为半径的圆交的右支于两点，若的一个内角为，则的离心率为（）A. B. C. D.9．已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为（）A. B. C. D.10．已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.11．设均为小于1的正数，且，则（）A. B. C. D.12．在数列中，，一个5行6列的数表中，第行第列的元素为，则该数表中所有元素之和为（）A. B. C. D.二、填空题13．三位同学要从两门课程中任选一门作为选修课，则两门课程都有同学选择的概率为_______. 14．在平行四边形中，分别为边的中点，若（），则_______. 15．二项式的展开式中各项系数的和为，则该展开式中系数最大的项为_______.16．抛物线的焦点为，是抛物线上的两个动点，线段的中点为，过作抛物线准线的垂线，垂足为，若，则的最大值为______.三、解答题17．在中，边上一点满足，.（1）若，求边的长；（2）若，求.18．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知之间三组的人数可构成等差数列.（1）求的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替），其中19．多面体中，，，是边长为2的等边三角形，四边形是菱形，. （1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.20．已知椭圆：的左右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，面积的最大值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设分别为椭圆的左右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由.21．已知函数，为的导函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上存在最大值0，求函数在上的最大值；（3）求证：当时，.22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若直线与相切，求的直角坐标方程；（2）若，设与的交点为，求的面积.23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题答案一、单选题1．设全集，，，则集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析: 根据题意和集合的基本运算可知1B，3∈A，3B，从而得解.详解: 因为全集U={1，2，3，4，5}，，，则1B，3∈A，3B，则B={2，4，5}.故答案为：B点睛：(1)本题主要考查交集、并集和补集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用.本题运用韦恩图分析比较好.2．若复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先化简复数z，再根据z在复平面内对应的点在第一象限得到a的不等式，解不等式即得a 的取值范围.详解：由题得，因为z在复平面内对应的点在第一象限，所以故答案为：C点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对复数基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2)复数和点（a,b）是一一对应的关系.3．对任意非零实数，若的运算原理如图所示，则的值为（）A. 2B.C. 3D.【答案】D【解析】分析：先化简，再运行程序得解.详解：=因为4＞（-2），所以输出故答案为：D点睛：(1)本题主要考查程序框图、指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的运算能力.(2) 对数恒等式：(,且,), ,.4．设满足约束条件，则的最大值为（）A. B. C. 4 D. 5【答案】C【解析】分析：由题意作出其平面区域，当x，y都取到最大值时z有最大值，代入即可．详解：由题意作出其平面区域，由解得A（1，2），因为z=2x+y，所以y=-2x+z,所以直线y=-2x+z经过可行域A时，纵截距z最大，z取得最大值，此时x=1，y=2，z=2x+y有最大值2×1+2=4，故答案为：C点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对线性规划等基础知识的掌握能力. (2)解答线性规划时，要理解，不是纵截距最小，z最小，要看函数的解析式，如：y=2x-z,直线的纵截距为-z,所以纵截距-z最小时，z最大.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 18B. 24C. 32D. 36【答案】B【解析】分析：先利用模型法找到几何体原图，再求几何体的体积.详解:由三视图可知，几何体是三棱柱削去一个同底的三棱锥，如图，三棱柱的高为5，削去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，所以几何体的体积为故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三视图和几何体的体积，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2)通过三视图找原几何体一般有两种方法：直接法和模型法.本题利用模型法比较适宜.6．《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节的容积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设此等差数列为{a n}，公差d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，可得4a1+6d=3，3a1+21d=4，联立解出即可得出a1与d的值，由等差数列的通项公式计算可得答案．详解：根据题意，设该竹子自上而下各节的容积为等差数列{a n}，设其公差为d，且d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，则4a1+6d=3，3a1+21d=4，解可得a1=，d=，则第6节的容积a6=a1+5d=故答案为：A点睛：本题主要考查等差数列的通项，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力.7．曲线：如何变换得到曲线：（）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位【答案】D【解析】分析：化为正弦型函数，根据图象平移法则即可得出结论．详解：曲线C1：==所以图象向左平移个单位，即可得到曲线C2：的图象．故答案为：D点睛：（1）本题主要考查三角函数图像变换和三角恒等变换，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 三角恒等变换方法：观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）.8．已知双曲线的左右焦点分别为，以为圆心，为半径的圆交的右支于两点，若的一个内角为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由条件可知△PQF1为等边三角形，从而可得出P点坐标，代入双曲线方程化简得出离心率．详解：设双曲线方程为由对称性可知△PQF1为等腰三角形，若△PQF2的一个内角为60°，则△PQF1是等边三角形，∴△F1PQ的一个内角为600°，∴∠PF2Q=120°，设PQ交x轴于A，则|AF1|=|F1P|=c，|PA|=c，不妨设P在第二象限，则P（﹣2c，c），代入双曲线方程可得：∴令a=1可得：4c4﹣8c2+1=0，解得c2=1+或c2=1﹣（舍）．∴c=或c=﹣（舍）．∴e=.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质和离心率的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力. (2) 圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法. 公式法就是先根据已知条件求出和,或者的关系，再代入离心率的公式化简求解.方程法就是把已知的等式化简可以得到一个关于和的方程,再把该方程化为关于离心率的一次或二次方程，直接计算出离心率.9．已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求出底面三角形的外接圆的半径，再求三棱柱外接球的表面积，再利用基本不等式求最小值.详解：设BC=a,,则ab=.底面三角形外接圆的半径为r,则所以所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为故答案为：D点睛：(1)本题主要考查几何体的外接球问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2) 求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径就是几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心和截面圆的圆心，找到、球的半径、截面圆的半径确定的,再解求出球的半径.10．已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先判断函数f(x)的奇偶性，再利用导数求函数f(x)的单调性，再解不等式得解.详解：由题得=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.由题得.所以当x>0时，函数在单调递减，因为函数是奇函数，所以函数在单调递减，因为，所以f(2x+3)<-f(1)=f(-1), 所以2x+3>-1,所以x>-2. 故答案为：A点睛：(1)本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查抽象函数不等式的解法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答抽象函数不等式，一般先化成的形式，再利用函数的单调性化成具体的函数不等式解答. 11．设均为小于1的正数，且，则（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先设=m,再求出，再作商比较它们的大小关系.详解：设=m,因为均为小于1的正数，所以m ＜0，所以所以所以，同理，故答案为：B 点睛：（1）本题主要考查指数对数的换算，考查指数函数的性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键有二，其一是看到要想到设=m ，再对指互化.其二是想到作商比较大小，并把他们化成指数相同的数比较大小.12．在数列中，，一个5行6列的数表中，第行第列的元素为，则该数表中所有元素之和为（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先求出的表达式，再利用等比数列的求和公式分行求和，再相加得解.详解：由题得，所以，所以该数表中所有元素之和为==点睛：（1）本题主要考查等比数列求和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题关键有二，其一是要求出，其二是要准确分行求和，不能计算出错.二、填空题13．三位同学要从两门课程中任选一门作为选修课，则两门课程都有同学选择的概率为_______. 【答案】【解析】分析：先求出三位同学任意选的选法数，再求两门课程都有同学选择的选法数，最后利用古典概型求两门课程都有同学选择的概率.详解：由题得总的选法数为两门课程都有同学选择的选法数为所以两门课程都有同学选择的概率为.故答案为：点睛：（1）本题主要考查排列组合综合问题，考查概率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和逻辑分析能力. (2) 排列组合问题一般有直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.14．在平行四边形中，分别为边的中点，若（），则_______.【答案】2【解析】分析：先利用平面向量基本定理把表示出来，再由已知得到x,y的方程组，解方程组即得x,y的值.详解：由题得因为，所以解之得故答案为：2点睛：（1）本题主要考查平面向量的加法法则、平面向量基本定理等，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)基底法是平面向量的高频考点，即用两个不共线的向量作为基底表示其它向量，本题用就是选择为基底，表示,使问题迎刃而解.15．二项式的展开式中各项系数的和为，则该展开式中系数最大的项为_______.【答案】【解析】分析：先根据二项式的展开式中各项系数的和为求出a的值，再求该展开式中系数最大的项.详解：由题得二项式的展开式的通项为所以当r=4时，其展开式中系数最大，且为故答案为：点睛：（1）本题主要考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2) 二项展开式的系数的性质：对于,.16．抛物线的焦点为，是抛物线上的两个动点，线段的中点为，过作抛物线准线的垂线，垂足为，若，则的最大值为______.【答案】【解析】分析：设|PF|=2a，|QF|=2b，．由抛物线定义得|PQ|=a+b，由余弦定理可得（a+b）2=4a2+4b2﹣8abcos θ，进而根据基本不等式，求得的θ取值范围，从而得到本题答案.详解：设|PF|=2a，|QF|=2b，由抛物线定义，得|PF|=|PA|，|QF|=|QB|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|PA|+|QF|=2a+2b，∵|MN|=|PQ|，∴|PQ|=a+b，由余弦定理得，设∠PFQ=θ，（a+b）2=4a2+4b2﹣8abcosθ，∴a2+b2+2ab=4a2+4b2﹣8abcosθ，∴cosθ=，当且仅当a=b时取等号，∴θ≤，故答案为：点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系和基本不等式等，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键有二，其一是要联想到抛物线的定义解题，从而比较简洁地求出MN和PQ,其二是得到后要会利用基本不等式求最值. 三、解答题17．在中，边上一点满足，.（1）若，求边的长；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】分析：(1)先求出，再利用余弦定理求边的长.(2) 在中，利用正弦定理得到，再化简求sinB的值.详解：（1）∵，∴在中，，∴，中，，由余弦定理可得，所以（2）在中，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴，∴，∵∴∴∴，化简得，，∵，∴.点睛：（1）本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解三角形一般要知道三个元素，且至少一个为边长，对于缺少的元素放到其它三角形中去解答.18．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知之间三组的人数可构成等差数列.（1）求的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替），其中【答案】（1）（2）有的把握（3）395【解析】分析：（1）根据已知列关于m,n的方程组解之即得.(2)先完成2×2列联表，再计算的值判断.(3)先求调查对象的周平均消费，再求b的值.详解：（1）由频率分布直方图可知，，由中间三组的人数成等差数列可知，可解得（2）周平均消费不低于300元的频率为，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人.所以列联表为所以有的把握认为消费金额与性别有关.（3）调查对象的周平均消费为，由题意，∴.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查独立性检验和回归方程，意在考查学生对统计概率的基础知识的掌握情况. （2）频率分布直方图中，一般利用平均数的公式计算.其中代表第个矩形的横边的中点对应的数，代表第个矩形的面积.19．多面体中，，，是边长为2的等边三角形，四边形是菱形，. （1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）先证明平面，再证明平面平面.(2) 分别以为轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求二面角的余弦值.详解：（1）证明：取的中点，连结，是边长为2的等边三角形，所以，，四边形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，∴.又，所以平面.平面，所以平面平面.（2）由（1）知，两两垂直，分别以为轴正方向，建立空间直角坐标系，因为，所以四点共面，得.设平面的一个法向量为，由得，令得由题意知，，所以平面平面，所以平面的一个法向量为设二面角的大小为，则，所以二面角的余弦值为.点睛：（1）本题主要考查线面垂直的位置关系的证明，考查空间二面角的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力转化能力. (2) 求空间二面角的方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）.20．已知椭圆：的左右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，面积的最大值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设分别为椭圆的左右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由.【答案】（1）（2）3【解析】分析：(1)根据题意得关于a,b,c的方程组，解之即得椭圆的方程.(2)先求出点, 再证明点在椭圆上，最后求的值.详解：（1）由题意可知，解得所以椭圆的方程为（2）由（1）可知，因为过与圆相切的直线分别切于两点，所以，所以，设点，则，圆的半径为则直线的方程为的方程设为，则化简得由，得所以点,所以点在椭圆上，∴，即.点睛：（1）本题主要考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查定值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力计算能力. (2)解答本题的关键点有三个，其一是求点,其二是证明点P在椭圆上，其三是想到点P在椭圆上.21．已知函数，为的导函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上存在最大值0，求函数在上的最大值；（3）求证：当时，.【答案】（1）见解析（2） (3)见解析【解析】分析：（1）对a分类讨论，求函数的单调区间.(2)根据函数在上存在最大值0转化得到a=1,再求函数在上的最大值.(3)先利用第2问转化得到，再证明≤0.详解：（1）由题意可知，，则，当时，，∴在上单调递增；当时，解得时，，时，∴在上单调递增，在上单调递减综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）可知，且在处取得最大值，，即，观察可得当时，方程成立令，当时，，当时，∴在上单调递减，在单调递增，∴，∴当且仅当时，，所以，由题意可知，在上单调递减，所以在处取得最大值（3）由（2）可知，若，当时，，即，可得，令，即证令，∵∴，又，∴∴，在上单调递减，，∴，当且仅当时等号成立所以.点睛：（1）本题主要考查导数求函数的单调性、最值，考查导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力转化能力. (2)解答本题的难点在于先利用第2问转化得到，这实际上是放缩，再证明≤0.体现的主要是转化的思想.22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若直线与相切，求的直角坐标方程；（2）若，设与的交点为，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）先根据直线与C相切得到k的值，再写出直线的直角坐标方程.(2)先求AB的长，再求点C到直线AB的距离，最后求的面积.详解：（1）由可得的直角坐标方程为，即，消去参数，可得，设，则直线的方程为，由题意，圆心到直线的距离，解得，所以直线的直角坐标方程为.（2）因为，所以直线方程为，原点到直线的距离,联立解得或,所以，所以.点睛：（1）本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标方程的互化，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力。
山东省威海市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析
山东省威海市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（）A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过1 3【答案】D【解析】【分析】先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.【详解】年份2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 累计装机容量158.1 197.2 237.8 282.9 318.7 370.5 434.3 489.2 542.7 594.1 新增装机容量39.1 40.6 45.1 35.8 51.8 63.8 54.9 53.5 51.4 中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为19.77GW，选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量197.7GW，全球累计装机容量594.1158.1436GW-=，占比为45.34%，选项D正确.故选：D【点睛】本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.2．已知函数2()e (2)e x x f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ） A ．1 B ．12或0 C ．1或0 D ．2或0【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，当0t >时，只需(ln )0f t -=，即1ln 10t t -+=，令1()ln 1g t t t=-+，利用导数求其单调区间，即可求出参数t 的值，当0t =时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断； 【详解】 解：∵2()e (2)e xx f x t t x =+--（0t ≥），∴()()2()2e(2)e 1e 12e 1xx x x f x t t t '=+--=-+，∴当0t >时，由()0f x '=得ln x t =-，则()f x 在(),ln t -∞-上单调递减，在()ln ,t -+∞上单调递增， 所以(ln )f t -是极小值，∴只需(ln )0f t -=， 即1ln 10t t -+=.令1()ln 1g t t t =-+，则211()0g t t t'=+>，∴函数()g t 在(0,)+∞上单 调递增.∵(1)0g =，∴1t =；当0t =时，()2e x f x x =--，函数()f x 在R 上单调递减，∵(1)2e 10f =--<，2(2)22e 0f --=->，函数()f x 在R 上有且只有一个零点，∴t 的值是1或0. 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题.3．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB DC AD ===，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合为点F ，则三棱锥F DCE -的外接球的体积是（ ）A 6B 6C ．32π D ．23π【答案】A 【解析】 【分析】由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积． 【详解】由题意等腰梯形中DA AE EB BC CD ====，又60DAB ∠=︒，∴AED ∆，BCE ∆是靠边三角形，从而可得DE CE CD ==，∴折叠后三棱锥F DEC -是棱长为1的正四面体， 设M 是DCE ∆的中心，则FM ⊥平面DCE ，2331323DM =⨯⨯=，2263FM FD DM =-=， F DCE -外接球球心O 必在高FM 上，设外接球半径为R ，即OF OD R ==，∴22263()()R R =-+，解得6R =， 球体积为334466()33V R πππ==⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体．4．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40 B ．-20C ．20D ．40【答案】D 【解析】令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-．511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x. 故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=405．已知函数1()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,4] B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,3]【答案】D 【解析】 【分析】易知()f x 单调递增,由(1)0f =可得唯一零点1m =,通过已知可求得02n ≤≤,则问题转化为使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解,化简可得4121a x x =++-+,借助对号函数即可解得实数a 的取值范围. 【详解】易知函数1()2x f x e x -=+-单调递增且有惟一的零点为1m =，所以|1|1n -≤，∴02n ≤≤，问题转化为：使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解，即223(1)2(1)4412111x x x a x x x x ++-++===++-+++在区间[]0,2上有解，而根据“对勾函数”可知函数4121y x x =++-+在区间[]0,2的值域为[2,3]，∴23a ≤≤. 故选D ． 【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.6．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的前n 项和公式，判断出正确选项. 【详解】由于数列{}n a 是等比数列，所以20212021111q S a q -=⋅-，由于2021101q q ->-，所以 1202100a S <⇔<，故“10a <”是“20210S <”的充分必要条件.故选：C 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.7．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=I ，则“//a α”是“//a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理判断//a α与//b α的关系即可得到答案. 【详解】若//a α，根据线面平行的性质定理，可得//a b ； 若//a b ，根据线面平行的判定定理，可得//a α. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.8．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．34【答案】C 【解析】 【分析】设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可. 【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为,x y ，以12：00点为开始算起，则有5x yy x ≤⎧⎨-≤⎩，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：11101010105532210108P ?创-创==´. 故选：C 【点睛】本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力.9．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I =（ ） A ．4510 B ．4510-C ．32-D ．3210-【答案】D 【解析】 【分析】由1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭得lg 1210L I =-，分别算出1I 和2I 的值，从而得到12I I 的值.【详解】∵1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴()()1210lg lg1010lg 12L I I -=-=+，∴lg 1210LI =-， 当160L =时，1160lg 121261010L I =-=-=-，∴6110I -=， 当275L =时，2275lg 1212 4.51010L I =-=-=-，∴ 4.5210I -=， ∴36 1.5124.5210101010I I ----===， 故选：D. 【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.10．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-U 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案. 【详解】()f x 是奇函数，排除C ，D ；()2()ln 0f ππππ=-<，排除A.故选：B. 【点睛】本题考查函数图象的判断，属于常考题.11．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v ，2AB =u u u v，1AC =u u u v ，AO AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =uu u v （ ） A ．73B．2C ．7D【答案】D 【解析】 【分析】确定点O 为ABC ∆外心，代入化简得到56λ=，43μ=，再根据BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r 计算得到答案. 【详解】由OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r可知，点O 为ABC ∆外心，则2122AB AO AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，21122AC AO AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，又AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以2242,1,2AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ①因为42λμ-=，②联立方程①②可得56λ=，43μ=，1AB AC ⋅=-u u ur u u u r ，因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ， 所以22227BC AC AB AC AB =+-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即BC =u u u r故选：D 【点睛】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力. 12．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ） A ．c c a b> B ．22ac bc ＜ C ．lna lnb ＜ D ．11()()22ab<【答案】C 【解析】 【分析】A B 、利用不等式性质可判断，C D 、利用对数函数和指数函数的单调性判断.【详解】解：对于,A Q 实数0a b <<， 11,c ca b a b∴>> ，0c ≤不成立对于0B c =．不成立．对于C ．利用对数函数ln y x =单调递增性质，即可得出． 对于.D 指数函数1()2xy =单调递减性质，因此不成立． 故选：C ． 【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年最新(统考)山东省高考数学二模试卷(理科)及答案解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数 =（ ）
A．1﹣2iB．1+2iC．﹣1﹣2iD．﹣1+2i
2．已知集合A={x|y=lg（x+1）}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则（∁RA）∩B=（ ）
【解答】解：如图所示，由已知三视图可知：该几何体为正方体去掉两个倒立的三棱锥．
∴该多面体的体积V=23﹣ ﹣
=7．
故选：B．
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．已知奇函数f（x）= ，则f（﹣2）的值为﹣8．
【考点】3T：函数的值．
【分析】由f（x）为R上的奇函数可得f（0）=0，从而可得a值，设x＜0，则﹣x＞0，由f（﹣x）=﹣f（x）得3﹣x﹣1=﹣f（x），由此可得f（x），即g（x），即可求得f（﹣2）．
17．如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=6 ，BC=CD=6，E点在平面BCD内，EC=BD，EC⊥BD．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCDE；
（Ⅱ）设点G在棱AC上，若二面角C﹣EG﹣D的余弦值为 ，试求 的值．
18．甲乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是 和 ，假设两人投篮结果相互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响．
A． B． C． D．
【考点】3O：函数的图象．
【分析】利用函数的奇偶性以及函数的特殊值判断即可．
【解答】解：函数 = ，
f（﹣x）=﹣ =﹣f（x），函数是奇函数，排除选项A，C，
当x=π时，f（π）= ＞1，
排除B，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ故选：D．
山东省威海市2019-2020学年高考数学二模试卷含解析
山东省威海市2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数12()4324x x f x -=-⋅+（02x <<），则函数[]()y f x =的值域为（ ） A ．13,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．{}1,0,1- C ．{}1,0,1,2- D ．{}0,1,2【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法化简()f x 解析式为二次函数的形式，根据二次函数的性质求得()f x 的取值范围，由此求得[]()y f x =的值域.【详解】 因为12()4324x x f x -=-⋅+（02x <<），所以()21241324232424x xx x y =-⋅+=-⋅+，令2x t=（14t <<），则21()342f t t t =-+（14t <<），函数的对称轴方程为3t =，所以min 1()(3)2f t f ==-，max 3()(1)2f t f ==，所以13(),22f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，所以[]()y f x =的值域为{}1,0,1-. 故选：B 【点睛】本小题考查函数的定义域与值域等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，运算求解能力，转化与化归思想，换元思想，分类讨论和应用意识. 2．已知复数21aibi i-=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则a bi +=（ ） A ．12i -+ B ．1C ．5D【答案】D 【解析】 试题分析：由21aibi i-=-,得()21,1,2ai i bi b i a b -=-=+∴=-=,则12,12a bi i a bi i +=-+∴+=-+== D.考点：1、复数的运算；2、复数的模.3．连接双曲线22122:1x y C a b -=及22222:1y x C b a -=的4个顶点的四边形面积为1S ，连接4个焦点的四边形的面积为2S ，则当12S S 取得最大值时，双曲线1C 的离心率为（ ）AB．2CD【答案】D 【解析】 【分析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得12S S 取得最大值时有a b =，从而求得其离心率. 【详解】双曲线22221x y a b-=与22221y x b a -=互为共轭双曲线，四个顶点的坐标为(,0),(0,)a b ±±，四个焦点的坐标为(,0),(0,)c c ±±，四个顶点形成的四边形的面积112222S a b ab =⨯⨯=， 四个焦点连线形成的四边形的面积2212222S c c c =⨯⨯=，所以1222221222S ab ab ab S c a b ab ==≤=+， 当12S S 取得最大值时有a b =，c =，离心率c e a== 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目. 4．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．12B ．12-C ．1-D ．2【答案】A 【解析】 【分析】分别代值计算可得，观察可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，问题得以解决. 【详解】解：∵12a =，111n n a a -=-(2n ≥)， 211122a ∴=-=， 3121a =-=-，41(1)2a =--=，511122a =-=， …，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，201836722=⨯+Q ， 2018212a a ∴==， 故选：A. 【点睛】本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.5．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭U D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】先求出()f x 的值域，再利用导数讨论函数()g x 在区间()0,e 上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可. 【详解】因为()g x ax lnx =-，故()1ax g x x='-， 当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减；当1a e ≥时，()0g x '>，故()g x 在区间()0,e 上单调递增； 当10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()0g x '=，解得1x a=， 故()g x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,e a⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.又()11,1a g lna g e a e ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，且当x 趋近于零时，()g x 趋近于正无穷； 对函数()f x ，当()0,x e ∈时，()11,54f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 根据题意，对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==成立， 只需()111,54g g e a ⎛⎫<≥⎪⎝⎭， 即可得111,154alna e+<-≥， 解得746,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.6．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3 B ．3或7C ．5D ．5或8【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对称轴8x π=以及函数值，可得结果.【详解】函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，若88f x f x ππ+=-（）（），则()f x 的图象关于8x π=对称， 又58f π=（），所以25b +=或25b -+=， 所以b 的值是7或3. 故选：B.本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题7．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）A ．乙的数据分析素养优于甲B ．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数据分析最差 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项. 【详解】根据雷达图得到如下数据： 数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数学运算 数据分析 甲 4 5 4 5 4 5 乙343354由数据可知选C. 【点睛】本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.8．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，则k 的取值范围是( )A ．13(,)34B ．13(,)24C ．1(,1)3D ．1(,1)2【解析】 【分析】根据对称关系可将问题转化为()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究()f x 的单调性从而得到()f x 的图象；由直线1y kx =--恒过定点()0,1A -，通过数形结合的方式可确定(),AC AB k k k -∈；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得AC k 和AB k ，进而得到结果.【详解】()1g x kx =-关于直线1y =-对称的直线方程为：1y kx =--∴原题等价于()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点由1y kx =--可知，直线恒过点()0,1A - 当0x >时，()ln 12ln 1f x x x '=+-=-()f x ∴在()0,e 上单调递减；在(),e +∞上单调递增由此可得()f x 图象如下图所示：其中AB 、AC 为过A 点的曲线的两条切线，切点分别为,B C由图象可知，当(),AC AB k k k -∈时，()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点 设(),ln 2C m m m m -，0m >，则ln 21ln 10AC m m m k m m -+=-=-，解得：1m =1AC k ∴=-设23,2B n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，0n ≤，则23132220ABn n k n n ++=+=-，解得：1n =- 31222AB k ∴=-+=-11,2k ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，则1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭本题正确选项：D 【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.9．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题 D ．()p q ∧⌝为假命题【答案】B 【解析】 【分析】由2xy =的单调性，可判断p 是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q 是假命题，依次分析即得解 【详解】由函数2xy =是R 上的增函数，知命题p 是真命题． 对于命题q ，当10x +≥，即1x ≥-时，11x x x +=+>； 当10x +<，即1x <-时，11x x +=--， 由1x x --≤，得12x =-，无解，因此命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；p q ∨为真命题，B 正确；p q ∧为假命题，C 错误；()p q ∧⌝为真命题，D 错误．故选：B 【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题. 10．“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】cos cos αβαβ=⇒=所以cos cos αβαβ≠⇒≠ （逆否命题）必要性成立当cos cos αβαβ=-⇒=，不充分 故是必要不充分条件，答案选B 【点睛】本题考查了充分必要条件，属于简单题.11．已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m =.若3m =，则{{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=.若m =0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.12．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ）A B ．3C ．12D 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角B 的值，再利用正弦定理可求得sin b A 的值. 【详解】sin sin sin sin b c a b A A B C ++=+-Q，由正弦定理得b c a ba ab c++=+-，整理得222a c b ac +-=， 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，0B Q π<<，3B π∴=.由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin 1sin 32b A a B π==⨯=.故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。