第13 控制系统的根轨迹分析与校正
根轨迹,频率分析
（a）
（b）
该命令将打开rltool工具的界面，显示原开环模型的根轨迹图，如图 （a）所示。单击该图形菜单命令Analysis中的Response to Step Command 复选框，则将打开一个新的窗口，绘制系统的闭环阶跃响 应曲线，如图（b）所示。可见这样直接得出的系统有很强的振荡， 就需要给这个对象模型设计一个控制器来改善系统的闭环性能。
线性系统的根轨迹
根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的 根在s平面上的变化轨迹。这个参数一般选为开环系统的增益K。 用MATLAB可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化 对特征根位置的影响。 假设系统的对象模型可以表示为
b1 s m + b2 s m−1 + ⋯ + bm s + bm+1 G ( s ) = KG0 ( s ) = K n s + a1 s n−1 + ⋯ + bn−1 s + an
练习：请绘制下面系统的根轨迹曲线
K G (s) = 2 2 s ( s + 2 s + 2)( s + 6 s + 13)
K (0.05 + 1) G (s) = 2 s (0.0714 s + 1)(0.012 s + 0.1s + 1)
线性系统的频域分析 频域分析法是应用频域特性研究控制系统的一种经典方法。 它是通过研究系统对正弦信号下的稳态和动态响应特性来分 析系统的。采用这种方法可直观的表达出系统的频率特性， 分析方法比较简单，物理概念明确。
2）Bode图的绘制与分析 对数坐标图 ） 图的绘制与分析(对数坐标图 图的绘制与分析 对数坐标图)
系统的Bode图又称为系统频率特性的对数坐标图 对数坐标图。Bode 对数坐标图 图有两张图，分别绘制开环频率特性的幅值和相位与角频率 ω 的关系曲线，称为对数幅频特性曲线 对数相频特性曲线 对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线 对数幅频特性曲线 对数相频特性曲线。 MATLAB中绘制系统Bode图的函数调用格式为： bode(num,den) 频率响应w的范围由软件自动设定 bode(num,den,w) 频率响应w的范围由人工设定 [mag,phase,w]=bode(num,den,w) 指定幅值范围和相角范 围的伯德图
控制系统校正的根轨迹方法
控制系统校正的根轨迹方法用根轨迹法进行校正的基础，是通过在系统开环传递函数中增加零点和极点以改变根轨迹的形状，从而使系统根轨迹在S 平面上通过希望的闭环极点。
根轨迹法校正的特征是基于闭环系统具有一对主导闭环极点，当然，零点和附加的极点会影响响应特性。
应用根轨迹进行校正，实质上是通过采用校正装置改变根轨迹的，从而将一对主导闭环极点配置到期望的位置上。
在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右方移动，从而降低系统的相对稳定性，增大系统调节时间。
等同于积分控制，相当于给系统增加了位于原点的极点，因此降低了系统的稳定性。
在开环传递函数中增加零点，可以使根轨迹向左方移动，从而提高系统的相对稳定性，减小系统调节时间。
等同于微分控制，相当于给系统前向通道中增加了零点，因此增加了系统的超调量，并且加快了瞬态响应。
根轨迹超前校正计算步骤如下。
(1)作原系统根轨迹图；(2)根据动态性能指标，确定主导极点i s 在S 平面上的正确位置； 如果主导极点位于原系统根轨迹的左边，可确定采用微分校正，使原系统根轨迹左移，过主导极点。
(3)在新的主导极点上，由幅角条件计算所需补偿的相角差φ； 计算公式为：is s=︒±=(s)][G arg -180o ϕ (1)此相角差φ表明原根轨迹不过主导极点。
为了使得根轨迹能够通过该点，必须校正装置，使补偿后的系统满足幅角条件。
(4)根据相角差φ，确定微分校正装置的零极点位置； 微分校正装置的传递函数为：11++=sTp sTz KcGc (2)例题：已知系统开环传递函数： 试设计超前校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数Kv ≤4.6，闭环主导极点满足阻尼比ζ=0.2，自然振荡角频率ωn=12.0rad/s ，并绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线和根轨迹。
解： 由6.4)(*)(0*lim 0==→s Gc s G s Kv s 得kc=2计算串联超前校正环节的matlab 程序如下： 主函数: close; num=2.3;den=conv([1,0],conv([0.2,1],[0.15,1])); G=tf(num,den) %校正前系统开环传函 zata=0.2;wn=12.0; %要求参数 [num,den]=ord2(wn,zata); %追加系统动态特性 s=roots(den); s1=s(1);kc=2; %增益kc Gc=cqjz_root(G,s1,kc)GGc=G*Gc*kc %校正后系统开环传函 Gy_close=feedback(G,1) %校正前系统闭环传函 Gx_close=feedback(GGc,1) %校正后系统闭环传函 figure(1);step(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位阶跃响应 hold onstep(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位阶跃响应 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(2);0 2.3s(1+0.2s)(1+0.15s)G =impulse(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位冲激响应 hold onimpulse(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位冲激响应 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(3);rlocus(G,GGc); %根轨迹图 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的');为使校正后系统的根轨迹能经过期望闭环主导极点，其闭环特征方程跟必须满足幅值和相角条件，即πθj j e e M Tp s Tz s Kcs G S Gc 111)(0)(0011=++=-，式中，M 0是校正前系统在1s 处的幅值，θ0是对应的相角。
控制系统的根轨迹分析与校正
MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8.
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13.1 控制系统的根轨迹法分析
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13.1.1 根轨迹及根轨迹法概述
以绘制根轨迹的基本规则为基础的图解 法是获得系统根轨迹是很实用的工程方 法。通过根轨迹可以清楚地反映如下的 信息：
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zi )
G(s)H (s)
i 1 n
(s p j )
j 1
系统的闭环传递函数为
(s)
G(s)
1 G(s)H (s)
系统的闭环特征方程为1 G(s)H (s) 0
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13.1.2 MATLAB根轨迹分析的相关函数
MATLAB中提供了 rlocus()函数， 可以直接用于系统的根轨迹绘制。 还允许用户交互式地选取根轨迹上 的值。其用法见表13.1。更详细的 用法可见帮助文档
MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8.
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临界稳定时的开环增益；闭环特征
根进入复平面时的临界增益；选定
开环增益后，系统闭环特征根在根
平面上的分布情况；参数变化时，
系统闭环特征根在根平面上的变化 趋势等。
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例2：若单位反馈控制系统的开环传递函 数为，绘制系统的根轨迹，并据根轨迹 判定系统的稳定性。
国家开放大学《机电控制工程基础》章节自测参考答案
国家开放大学《机电控制工程基础》章节自测参考答案第1章控制系统的基本概念一、单项选择题（共20道题，每题3分，共60分）1.产生与被控制量有一定函数关系的反馈信号的是（）a.反馈元件b.校正元件c.控制元件d.比较元件2.产生控制信号的是（）a.校正元件b.比较元件c.反馈元件d.控制元件3.以下（）是随动系统的特点。
a.输出量不能够迅速的复现给定量的变化b.给定量的变化规律是事先确定的c.输出量不能够准确复现给定量的变化d.输出量能够迅速的复现给定量的变化4.以下（）的给定量是一个恒值。
a.有静差系统b.恒值控制系统c.无静差系统d.脉冲控制系统5.反馈控制系统通常是指（）a.混合反馈b.干扰反馈c.正反馈d.负反馈6.如果系统的输出端和输入端之间不存在反馈回路，这样的系统一定是（）a.闭环控制系统b.正反馈环控制系统c.开环控制系统d.复合反馈系统7.开环控制系统的精度主要取决于（）a.系统的校准精度b.放大元件c.校正元件d.反馈元件8.数控机床系统是由程序输入设备、运算控制器和执行机构等组成，它属于以下（）a.程序控制系统b.恒值控制系统c.开环系统d.随动控制系统9.根据控制信号的运动规律直接对控制对象进行操作的元件是（）a.校正元件b.执行元件c.反馈元件d.比较元件10.没有偏差便没有调节过程，通常在自动控制系统中，偏差是通过（）建立起来的。
a.放大元件b.校正元件c.反馈d.控制器11.用来比较控制信号和反馈信号并产生反映两者差值的偏差信号的元件是（）a.反馈元件b.校正元件c.控制元件d.比较元件12.输入量为已知给定值的时间函数的控制系统被称为（）a.程序控制系统b.有静差系统c.脉冲控制系统d.恒值控制系统13.输入量为已知给定值的时间函数的控制系统被称为（）a.程序控制系统b.随动系统c.有静差系统d.恒值控制系统14.输出端与输入端间存在反馈回路的系统一定是（）a.开环控制系统b.正反馈环控制系统c.闭环控制系统d.有差控制系统15.（）是指系统输出量的实际值与希望值之差。
自动控制原理-控制系统的校正
自动控制原理
第6章 控制系统的校正
1. 基于根轨迹法的超前校正
当系统的性能指标为时域指标时，用根轨迹
法设计校正装置比较方便。
应用根轨迹法设计校正装置的基本思路是： 认为经校正后的闭环控制系统具有一对主导共轭 复数极点，系统的暂态响应主要由这一对主导极 点的位置所决定。
明，网络在正弦信号作用
下的稳态输出电压，在相 位上超前于输入。这也就
m
T
1
是所谓超前网络名称的由
来。
m
arcsin1 1
Lc
(m
)
10
lg
1
自动控制原理
在对数幅频特性中，截 止频率附近的斜率为– 40dB/dec，并且所占频率范 围较宽，此系统的动态响应 振荡强烈，平稳性很差。对 照相频曲线可明显看出，在 范围内，对–π线负穿越一次， 故系统不稳定。
一般来说，串联校正设计比反馈校正设计简 单，也比较容易对信号进行各种必要形式的变换。
反馈校正所需元件数目比串联校正少。反馈 校正可消除系统原来部分参数波动对系统性能的 影响。在性能指标要求较高的控制系统设计中， 常常兼用串联校正与反馈校正两种方式。
自动控制原理
6.1.5 基本控制规律
1. 比例控制规律(P)
虚线表示超前网络的对 数频率特性。加入超前网络 后会有增益损失，不利于稳 态精度，但可以通过提高开 环增益给予补偿。
第6章 控制系统的校正
自动控制原理
第6章 控制系统的校正
由于超前网络对数幅频特性在1/T至1/αT之间 具有正斜率，所以原系统中频段的斜率由– 40dB/dec变成了－20dB/dec，增加平稳性；还是由 于这个正斜率，使系统的截止频率增大到c2 ，系
自动控制原理实验报告根轨迹分析法
相关根轨迹知识
根轨迹的概念 根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷大时， 闭环系 统特征根在 s 平面上变化的轨迹。 增设零、极点对根轨迹的影响 (1)增加开环零点对根轨迹的影响 第一，加入开环零点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环零点，相当于增加微分作用，使根轨迹向左 移动或弯曲，从而提高了系统的相对稳定性。系统阻尼增加，过 渡过程时间缩短； 第三，增加的开环零点越接近坐标原点，微分作用越强，系 统的相对稳定性越好。 (2)增加开环极点对根轨迹的影响 第一，加入开环极点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环极点，相当于增加积分作用，使根轨迹向右 移动或弯曲，从而降低了系统的相对稳定性。系统阻 尼减小，过渡过程时间加长；
-4-
五、实验过程
第一题 Gc=1：
Gc=s+5：
Gc=(s+2)(s+3)：
-5-
Gc=1/(s+5)：
第二题 第 一 步 : 在 MATLAB 的 命 令 窗 口 中 键 入 “ num=[1 3];den=[1 2 0];rlocus(num,den)” ，得图如下：
第二步： 第三步：
第三题 第一步：由已知条件 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％得
s ( s 2)
1 。作 s5
确定系统具有最大的超调量时的根轨迹增益，并作时域 仿真验证;(2)确定系统阶跃响应无超调时的根轨迹取值 范围，并作时域仿真验证 3、已知一单位反馈系统的开环传递函数为 ss 0.8试加入一 个串联超前校正控制（其中，|z|<|p|） ，使得闭环系统 的 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％。
-7-
本为图标的切线与 K 的横坐标的交点所得的纵坐标再减去延迟时间。 随后按图慢慢调整数值，一定要有耐心。 第二题中，Step 的属性不能忘改，否则横轴（0，1）处恒为 1。 分母出 S 前的系数必须小于 1（阻尼比小于 1） ，之后改改分子，调整 调整 S 前的系数并保持 S^2 前的系数不变 （因为分子分母都可约分） ， 曲线即可得出。
自动控制原理(胥布工)第二版 (2)
自动控制原理(胥布工)第二版引言自动控制是现代工程技术的重要组成部分，它广泛应用于工业生产、交通运输、电力系统、自动化设备等领域。
自动控制原理是理解和应用自动控制技术的基础，掌握自动控制原理可以帮助我们设计和优化控制系统，提高工作效率和质量。
本文档介绍了《自动控制原理(胥布工)第二版》的内容和主要特点，希望能帮助读者更好地理解自动控制原理，并应用于实际工程中。
内容概述《自动控制原理(胥布工)第二版》全书共分为八章，分别介绍了控制系统的基本概念、数学模型和信号流图、系统的稳定性和脉冲响应、系统的频率特性和频域分析、系统的校正和稳态误差、系统的动态性能和根轨迹分析、系统的校正与稳态误差、系统的稳态误差。
第一章是引言章节，主要介绍了自动控制的概念、发展历程以及控制系统的重要性。
第二章介绍了控制系统的数学模型和信号流图，为后续章节的讲解打下基础。
第三章是关于控制系统稳定性和脉冲响应的内容，介绍了系统的稳定性判据和脉冲响应的分析方法。
第四章介绍了系统的频率特性和频域分析，包括频率响应曲线的绘制和系统频率特性的分析方法。
第五章主要讲解了系统的校正和稳态误差，包括校正方法和稳态误差的计算。
第六章介绍了系统的动态性能和根轨迹分析，包括系统的快速响应性能和稳定性分析方法。
第七章介绍了系统的校正与稳态误差，重点介绍了系统校正的设计方法和稳态误差的计算。
第八章是关于系统的稳态误差的内容，介绍了不同类型系统的稳态误差分析方法和校正技术。
特点和亮点《自动控制原理(胥布工)第二版》具有以下特点和亮点：1.理论与实践结合：本书在讲解自动控制原理的基础理论的同时，注重实践应用。
通过大量的实际案例和实验分析，读者可以更好地理解控制原理的应用。
2.图文并茂：全书配有丰富的图例和实例，有助于读者理解和记忆控制原理的概念和方法。
3.编排合理：本书章节编排合理，内容连贯且层次清晰，从基本概念到实际应用，循序渐进，易于对知识的理解和掌握。
第13章 控制系统的根轨迹分析与校正
rlocus(G) rlocus(G1,G2,...) rlocus(G,k) [r,k] = rlocus(G) r = rlocus(G,k)
绘制指定系统的根轨迹 绘制指定系统的根轨迹。多个系统绘于同 一图上 绘制指定系统的根轨迹。K为给定增益向 量 返回根轨迹参数。r为复根位置矩阵。r有 length(k)列，每列对应增益的闭环根 返回指定增益k的根轨迹参数。r为复根位 置矩阵。r有length(k)列，每列对应增 益的闭环根 MATLAB与控制系统仿真实践，
*
(s z )
i i 1 j
m
(s p
j 1
n
)
系统的闭环传递函数为
G(s) ( s) 1 G( s) H ( s)
系统的闭环特征方程为 1 G( s) H ( s) 即 G( s) H ( s)
K * (s zi )
i 1 m
0
(s p
j 1
例2：若单位反馈控制系统的开环传递函 数为，绘制系统的根轨迹，并据根轨迹 判定系统的稳定性。
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num=[1 3]; den=conv([1 1],[1 2 0]); G=tf(num,den); rlocus(G) figure(2) %新开一个图形窗口 Kg=4; G0=feedback(tf(Kg*num,den),1); step(G0)
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图13.6 例3系统时的阶跃响 应
例4:若单位反馈控制系统的开环传递函数为
Gk ( s)
Kg s( s 2)
根轨迹校正实验报告
根轨迹校正实验报告一、实验目的本实验旨在通过观察系统的根轨迹，对系统进行校正，以达到控制系统的稳定性、快速性和精确性要求。
二、实验原理1. 根轨迹根轨迹是指在极坐标系下，由系统特征方程的根在复平面内的运动轨迹。
2. 根轨迹的性质- 当系统的开环传递函数中，理论上根轨迹的起点是传递函数零点的位置。
- 根轨迹对称于实轴。
- 根轨迹总是从系统的零点出发，逐渐趋向于系统的极点。
3. 根轨迹设计的基本要求- 所有根轨迹应该位于左半平面。
- 根轨迹的密度越大，系统的稳定性越好。
- 根轨迹与虚轴的交点个数为系统开环传递函数的极点数与零点数之差。
- 根轨迹经过的区域越小，系统的快速性越好。
三、实验步骤本次实验使用了MATLAB软件进行根轨迹校正实验，具体步骤如下：1. 给定开环控制系统的传递函数，并画出其对应的零极点分布图。
通过观察零极点的位置，确定系统的初始根轨迹起点。
2. 使用MATLAB的rlocus函数，绘制出开环根轨迹。
通过该函数，我们可以根据系统传递函数的特点，得到根轨迹的形状。
3. 根据根轨迹的形状和性质，校正系统。
可以通过调整控制器的参数或改变系统的结构等方式，来使根轨迹满足系统的要求。
4. 经过多次调整和校正，得到符合要求的根轨迹。
通过观察根轨迹的形状和分布，判断系统是否稳定、快速和准确。
四、实验结果与分析经过根轨迹校正，我们得到了一条符合要求的根轨迹。
通过分析根轨迹的形状和性质，我们可以得出以下结论：1. 系统的稳定性由于根轨迹位于左半平面，且大部分根轨迹较为密集，因此系统的稳定性较好。
没有根轨迹位于右半平面，避免了系统的不稳定性。
2. 系统的快速性根轨迹的起点与旁边的极点较近，根轨迹与虚轴的交点附近也没有极点，因此根轨迹经过的区域较小。
这意味着系统的快速性较好，能够快速响应输入变化。
3. 系统的准确性根轨迹与实轴的交点个数与系统的极点数与零点数之差相符，说明系统的准确性较好。
这样的根轨迹设计使得系统能够准确响应输入信号，实现精确控制。
《机械控制工程基础》课程教学大纲
《机械控制工程基础》课程教学大纲一、课程基本信息1．课程编号：MACH4008012．课程体系 / 类别：专业类/专业核心课3．学时 /学分：56学时/ 3学分4．先修课程：高等数学、积分变换、理论力学、电工电子技术、机械设计基础、大学计算机基础、高级程序设计5．适用专业：机械大类专业（包括机械工程、车辆工程、测控技术与仪器、能源与动力工程和工业工程）二、课程目标及学生应达到的能力《机械控制工程基础》是西安交通大学机械类专业的一门专业核心课程，主要授课内容是运用现代数学知识、自动控制理论和信息技术来分析、设计典型机电控制系统。
旨在培养学生运用科学方法和工具来解决机械工程基本问题的系统分析设计能力、综合创新能力。
本课程的主要任务是通过课堂教学、计算机仿真实训、实验教学等教学方式，使学生掌握实现机械系统自动控制的基本理论；学会典型机电系统的数学建模、运行性能分析和系统设计、校正与补偿等基本知识和基本技能；具有基本的机电控制系统分析设计能力，以及对复杂机械系统的控制问题进行分析、求解和论证的能力，并了解机械控制领域的新理论和新技术，支撑毕业要求中的相应指标点。
课程目标及能力要求具体如下：课程目标 1. 掌握机械控制系统的基本概念和组成原理，具备自动控制原理与系统的基础概念；掌握典型机电传动单元与系统的数学建模方法；掌握机电系统的时域和频域分析设计校正方法。
（毕业要求中的第 1）课程目标 2. 培养学生对机械控制工程中复杂问题的分析能力，能够对复杂机械控制系统进行分析、设计，并能够采用相关软件进行模拟仿真，能够构建实验控制系统进行分析研究，具有研究和解决机械控制工程问题的能力。
（毕业要求中的第 2 、4）课程目标 3. 初步了解机械系统常用的控制方法，以及现代控制和智能控制的原理，了解机械控制理论的现状与发展趋势。
培养学生运用机械控制工程领域新技术新方法对复杂机械工程中的系统控制问题进行理论分析、实验研究的能力。
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绘制根轨迹的基本法则(续)
实轴上的某一区域，若其右端开环实 数零、极点个数之和为奇数，则该区 实轴上的根轨迹 域必是 180根轨迹 * 实轴上的某一区域，若其右端开环 实数零、极点个数之和为偶数，则该 区域必是 0根轨迹
绘制根轨迹的基本法则(续)
渐近线与实轴的交点
n
m
p j zi
a
j 1
i 1
Gk
(s)
s(s
kg 1)( s
5)
绘制系统的根轨迹。
13.1.3 MATLAB根轨迹分析实例
注：演示例2
已知单位反馈控制系统的开环传递函数， 绘制系统的根轨迹，并据根轨迹判定系 统的稳定性。
Gk
(s)
kg (s 3) s(s 1)(s 2)
13.1.3 MATLAB根轨迹分析实例
13.1.1 根轨迹及根轨迹法概述
以绘制根轨迹的基本规则为基础的图解法是获得 系统根轨迹很实用的工程方法。
通过根轨迹可以清楚地反映如下的信息： 临界稳定时的开环增益； 闭环特征根进入复平面时的临界增益； 选定开环增益后，系统闭环特征根在根平面上 的分布情况； 参数变化时，系统闭环特征根在根平面上的变 化趋势等。
nm
根轨迹的渐近线 渐近线与实轴夹角
a
(2k 1) nm
（180根轨迹）
*a
2k nm
(0根轨迹)
其中 k=0，±1，±2，…
绘制根轨迹的基本法则(续)
分离点的坐标 d 是方程
n
根轨迹的分离点
1
m
1
j1 d p j i1 d zi 的解
根轨迹与虚轴交点坐标 及其对应的 K 值可用
根轨迹与虚轴的 劳斯稳定判据确定 ，也可令闭环 特 征方程中
主要内容
13.1 控制系统的根轨迹法分析
13.1.1 MATLAB根轨迹分析的相关函数 13.1.2 MATLAB根轨迹分析实例
13.2 控制系统的根轨迹法校正
13.2.1 根轨迹法超前校正及基于MATLAB的 实例
13.2.2 根轨迹法滞后校正及基于MATLAB的 实例
主要内容（续）
13.1.2 MATLAB根轨迹分析的 相关函数
[K,POLES] = rlocfind(G)
[K,POLES]= rlocfind(G,P)
sgrid
sgrid(z,wn)
交互式地选取根轨迹增益。产生一个十字 光标，用此光标在根轨迹上单击一极点， 同时给出该增益所有对应极点值
返回P所对应根轨迹增益K，及K所对应的 全部极点值
i 1 n
1
(s pj )
j 1
相角条件
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j )
i 1
j 1
m
n
i j (2k 1) k 0, 1, 2, L
i 1
j 1
式中, i
j
分别代表所有开环零点、极点到根轨迹上 某一点的向量相角之和。
绘制根轨迹的基本法则
根轨迹绘制法则可用来求取根轨迹的起点和终 点，根轨迹的分支数、对称性和连续性，实轴 上的根轨迹，根轨迹的分离点和会合点，根轨 迹的渐近线，根轨迹的出射角和入射角，根轨 迹与虚轴的交点等信息，见下表。
13.3 MATLAB图形化根轨迹法分析与设计
13.3.1 MATLAB图形化根轨迹法分析与设计 工具rltool
13.3.2 基于图形化工具rltool的系统分析 与设计实例
本章小结
根轨迹概念
是指当开环系统某一参数从零变到无穷 大时，闭环系统特征根(闭环极点)在复 平面上移动的轨迹。
通常情况下根轨迹是指增益K由零到正无 穷大下的根的轨迹。
系统的闭环特征方程为
1 G(s)H(s) 0
即
m
K* (s zi )
G(s)H(s)
i1 n
1 （式8）
(s pj )
j 1
根轨迹方程（续）
在s平面上凡是满足上式的点，都是根轨 迹上的点。式8称为根轨迹方程。
式8可以用幅值条件和相角条件来表示。
幅值条件
m
(s zi )
G(s)H (s) K*
在零极点图或根轨迹图上绘制等阻尼线和 等自然振荡角频率线。阻尼线间隔0.1， 范围从0到1，自然振荡角频率间隔为 1rad/s，范围从0到10
在零极点图或根轨迹图上绘制等阻尼线和 等自然振荡角频率线。用户指定阻尼系数 值和自然振荡角频率值
13.1.3 MATLAB根轨迹分析实例
注：演示例 1：若单位反馈控制系统 的开环传递函数为
交点
s j ，然后分别令其实部和虚部为零求得
绘制根轨迹的基本法则(续)
m
n
i j (2k 1)
根 轨 迹 的 起 始 i1
j 1
角和终止角
m
n
* i j 2k
i 1
j 1
（ k 0,1,2, ） （ k 0,1,2, ）
根之和
n
n
i pi
i 1
i 1
(nm 2 )
13.1 控制系统的根轨迹法分析
根轨迹方程
闭环控制系统一般可用图所示的结构 图来描述。
R(s)
C(s)
G(s)
H(s)
根轨迹方程（续）
开环传递函数可表示为
m
K* (s zi )
G(s)H(s)
i 1 n
(s pj)
j 1
根轨迹方程（续）
系统的闭环传递函数为
(s) G(s) 1 G(s)H (s)
根轨迹方程（续）
表中以“*”标明的法则是绘制0根轨迹的法 则（与绘制常规根轨迹的法则不同），其余法 则不变 。
绘制根轨迹的基本法则(续)
根轨迹的起点 根轨迹起始于开环极点，终止于开
和终点
环零点
根轨迹的分支 根轨迹的分支数与开环零点数 m 和
数，对称性和 开环极点数 n 中的大者相等，根轨
连续性
迹是连续的，并且对称于实轴
13.1.2 MATLAB根轨迹分析的 相关函数
MATLAB中提供了 rlocus()函数，可以直 接用于系统的根轨迹绘制。还允许用户 交互式地选取根轨迹上的值。
注：查阅并导读帮助文档
13.1.2 MATLAB根轨迹分析的 相关函数
rlocus(G) rlocus(G1,G2,...) rlocus(G,k) [r,k] = rlocus(G)
r = rlocus(G,k)
绘制指定系统的根轨迹
绘制指定系统的根轨迹。多个系统绘于 同一图上
绘制指定系统的根轨迹。K为给定增益 向量
返回根轨迹参数。r为复根位置矩阵。r 有length(k)列，每列对应增益的闭环 根
返回指定增益k的根轨迹参数。r为复根 位置矩阵。r有length(k)列，每列对应 增益的闭环根