上海市延安中学2018-2019学年高二上期中考试数学试题(无答案)
延安中学2018-2019学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷
一、填空题
1.计算行列式41 =-3
2________.
2.已知向量()()，
，，2162-===-________. 3.已知向量()()，
，，，x b a 643-==且∥则实数=x ________. 4.直线l 过点A(2,1),且l 的一个法向量为()，
，32-=n 则直线l 的方程为_______. 5.已知线性方程组的增广矩阵为 ⎝⎛1a b 1- ⎪⎪⎭⎫15，若该方组的解为，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛34则=+b a ________. 6.已知向量()
52-=，,则的单位向量0a 的坐标为_________. 7.行列式433- 172
- 3
5k 中第2行第1列元素的代数余子的值为-10,则=k ______.
8.已知点()()()，，，，，，7451200B A O 若()，，r AB OB OA ∈=-μλμλ3则=+μλ______.
9.若点P ()a ，1-到直线0134:=--y x l 的距离不大于2,则实数a 的取值范围是_______.
10.已知O 为坐标原点,点P 是曲线532:22=-+y xy x D 上一动点,则线段OP 中点M 的轨迹方程为________.
11.设21e e 为单位向量,且21e e 的夹角为，π3若1212e e e =+=则向量在方向上的投影为_________.
12.若光线经过点P(4,3)射到直线01=++y x 上,反射后经过点Q(1,1)，则反射光线所在的直线方程为___________.
13.若实数y x 、满足，x y x 21≤≤+则x y 23-的最小值是_____.
14.如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 、F 是AD 上两个三等分点,，，515=∙=∙则=∙___________.
二、选择题
15.设直线0=++c by ax 的倾斜角为α,且，0cos sin =+αα则b a 、满足
A.1=+b a
B.1=-b a
C.0=+b a
D.0=-b a
16.在△ABC 中,AD 是BC 边上的中钱,E 是AD 的中点,则=EB A.AC AB 4143- B.AC AB 4143+ C.AC AB 4341- D.AC AB 4
341+ 17.若点A(3,1)和B(-4,6)在直线023=+-a y x 的两侧,则a 的取值范围是
A.247＜＜a -
B.724＜＜a -
C.247-＜或＞a a
D.247＞或＜a a -
18.设θ为两个非零向量的夹角,若对任意实数t -的最小值为2,则下列说法中正确的是
A.若θ确定,唯一确定
B.若θ确定,
C.确定,则θ唯一确定
D.,则θ唯一确定
三、解答题
19.求直线12+=x y 被曲线0422=-+y x 截得的线段AB 的长。
20.解关于y x 、的方程组，
⎩⎨⎧=-++=+0
21m my x m y mx 并对解的情况进行讨论。
21.a ，21==与b 的夹角为，π
3若.R k b k a n b a m ∈+=+=，， (1)若⊥求实数k 的值；
(2)若与的夹角为
，π3
2求实数k 的值。
22.已知等腰三角形△ABC 的两腰AB 和AC 所在直线的方程分别为0197=--y x 和 ，0117=+-y x ()143，P 是底边BC 上一点,求:
(1)底边BC 所在直线的方程；
(2)△ABC 的面积。
23.已知△ABC 中,顶点A(1,0)、重心G ，，⎪⎭
⎫ ⎝⎛3133垂心H ().2435，- (1)求边BC 所在直线的方程；
(2)求边AB 、AC 所在直线的方程；
(3)若P 是△ABC 内部(包括边界)一动点,求()+∙的最大值.。
精品解析：上海市延安中学2018-2019学年高二下学期期中数学试题(解析版)
延安中学2018-2019高二下期中考试卷一、填空题（本大题共有12题，1~6题每题3分，7~12题每题4分，满分42分）1.空间不共面的四个点可以确定__________个平面. 【答案】4 【解析】 【分析】由三点确定一个平面可知共有4种情况，由此得到结果.【详解】不共面的四个点中任意三个点可构成一个平面，则共可确定4个平面 故答案为：4【点睛】本题考查空间中平面的确定，属于基础题.2.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，异面直线BD 与11A B 的距离为__________. 【答案】a 【解析】 【分析】根据线面垂直性质可得1BB BD ⊥，又111BB A B ⊥，可知所求距离为1BB ，从而得到结果.【详解】1BB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1B B B D∴⊥ 又111BB A B ⊥ ∴异面直线BD 与11A B 之间距离为1BB a = 故答案：a【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.3.在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1C AB D --的大小为__________. 【答案】4π【解析】【分析】由线面垂直性质得1BC AB ⊥，又BC AB ⊥，可得二面角平面角为1C BC ∠，由14C BC π∠=得到结果.【详解】AB ⊥Q 平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B 1B C A B ∴⊥又BC AB ⊥，BC ⊂平面ABD 1C B C ∴∠即为二面角1C AB D --的平面角14C BC π∠=∴二面角1C AB D --的大小为4π 故答案为：4π【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解，关键是能够根据二面角平面角的定义找到二面角的平面角. 4.如图，在棱长为3cm 的正四面体A BCD -中，若以ABC ∆为视角正面，则其主视图的面积是__________2cm .【答案】2【解析】 【分析】确定正视图为三角形，且底边长为底面三角形边长，高为四面体的高；求得正四面体的高后，即可求得结果.【详解】由题意可得，正视图是以底面三角形边长为底边长，正四面体A BCD -的高为高的三角形正四面体棱长为3 ∴=∴正四面体的高AO ==∴正视图的面积为：1322⨯=【点睛】本题考查几何体三视图的求解问题，关键是能够根据给定视角确定正视图的图形构成，属于基础题.5.若正六棱柱的所有棱长均为m ，且其体积为123m =__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据底面为边长为m 的正六边形可求得底面面积，进而利用棱柱体积公式构造方程求得结果. 【详解】正六棱柱底面为边长为m 的正六边形 ∴底面面积为：()23332m m += ∴正六棱柱体积233123V m =⋅=2m =故答案为：2【点睛】本题考查棱柱体积的相关计算，关键是能够熟悉正棱柱的定义，并准确求解出底面面积. 6.给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共面的；②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量； ③空间向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++；④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上：__________. 【答案】①③④【解析】 【分析】根据起点和终点3点共面，可知①正确；由相等向量定义可知②错误；根据向量加法运算律和线性运算法则可知③④正确.【详解】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有3个点，则3点共面，可知两向量共面，①正确； ②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误； ③中，空间向量加法满足结合律，③正确； ④中，由向量加法的三角形法则可知④正确. 故答案为：①③④【点睛】本题考查向量部分相关命题的判定，涉及到相等向量的概念、向量加法的运算律和三角形法则的运用等知识，属于基础题.7.已知球的半径为5cm ，有两个平行平面截球所的截面面积分别等于29cm π与216cm π，则这两个平行平面的距离为__________cm . 【答案】1或7 【解析】 【分析】利用截面面积求得截面圆半径，利用勾股定理可求得球心到两截面距离；由两截面与球心的相对位置可确定两平行平面间距离.【详解】由截面面积可知截面圆半径分别为：3cm 和4cm∴球心到两截面的距离分别为：12594d =-=，225163d =-= ∴当两截面在球心同侧时，两平行平面间距离为：431-=当两截面在球心两侧时，两平行平面间距离为：437+= 故答案为：1或7【点睛】本题考查球的平行截面间距离的问题，易错点是忽略两平行平面可位于球心的同侧或两侧，求解时丢失其中一种情况.8.如图，在空间直角坐标系O xyz -中，四面体C OAB -的主视图AOC 是面积为CO =OAB ∆是正三角形，且点B 在平面xOy 上，则此四面体的左视图的面积等于__________.【答案】6 【解析】 【分析】作//BD AO ，根据AO ⊥平面yOz 可知BD ⊥平面yOz ，得到左视图为COD ∆；根据AOC S ∆可求得底面正三角形边长，进而求得OD ，从而得到左视图面积. 【详解】作//BD AO ，交y 轴于D ，连接CDAO ⊥Q 平面yOz ，//BD AO BD ∴⊥平面yOz∴此四面体的左视图为COD ∆12AOC S AO CO ∆=⋅== 4AO ∴= 122BD AO ∴==OD ∴== 11622CODS CO OD ∆∴=⋅=⨯= 故答案为：6【点睛】本题考查空间几何体的三视图问题的求解，关键是能够根据垂直关系确定左视图的图形，从而利用长度关系来进行求解.9.已知()cos ,1,sin a θθ=，()sin ,1,cos b θθ=，则向量a b +与a b -的夹角是__________. 【答案】2π【解析】 【分析】利用向量坐标运算表示出a b +与a b -，根据数量积运算法则可求得()()0a b a b +⋅-=，即两向量垂直，得到夹角.【详解】()sin cos ,2,sin cos a b θθθθ+=++，()cos sin ,0,sin cos a b θθθθ-=--()()2222cos sin sin cos 0a b a b θθθθ∴+⋅-=-+-= ()()a b a b ∴+⊥-，即a b +与a b -的夹角为2π 故答案为：2π 【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过向量的坐标运算求得两向量的数量积，属于基础题. 10.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π 考点：圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.【此处有视频，请去附件查看】11.已知函数2,01()3x x f x x ≤≤=<≤，将f （x ）的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________． 【答案】203π【解析】 试题分析：将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为2，棱锥的底面半径为2，高为1，所以所得旋转体的体积为23114202123233πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 考点：旋转体体积12.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经90︒榫卯起来.若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）【答案】30π 【解析】 【分析】由榫卯结构可确定球形容器半径的最小值，进而利用球的表面积公式求得结果. 22213052122++=∴该球形容器表面积的最小值为：230430ππ⨯=⎝⎭故答案为：30π 【点睛】本题考查球的表面积的求解问题，关键是能够根据位置关系确定球的半径的最小值，进而应用球的表面积公式求得结果. 二、选择题（本大题共5题，每题3分，共15分）13.“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】 【分析】两直线没有公共点则平行或异面；根据异面直线定义可知异面直线无公共点，从而得到结果. 【详解】两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面，充分条件不成立； 若两条直线为异面直线，则两条直线不共面，则必然没有公共点，必要条件成立∴“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的必要非充分条件故选：B【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到异面直线定义的应用，属于基础题.14.集合{M =正四棱柱}，{P =直四棱柱}，{N =长方体}，{Q =正方体}，则这四个集合之间的关系是（ ） A.P N M QB. P M NQC. QM NPD. QNMP【答案】C 【解析】 【分析】根据直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的定义可得到结果. 【详解】直四棱柱是底面为四边形，侧棱和底面垂直的四棱柱； 长方体是底面为矩形的直四棱柱； 正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱； 正方体是侧棱长和底面边长相等的正四棱柱；∴QM NP故选：C【点睛】本题考查空间几何体的结构特征，需熟练掌握直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的结构特征，属于基础题.15.(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛【答案】B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 【此处有视频，请去附件查看】16.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值（ ）正视图 侧视图 俯视图 A.15B.16C.12D.18【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可确定截面为平面11AB D ，可知截掉部分为三棱锥111A AB D -，由三棱锥体积公式求得111A A B D V -，即为截去部分体积，从而得到剩余部分体积为3316a a -，作比得到结果.【详解】由三视图可知，剩余部分为正方体1111ABCD A B C D -沿平面11AB D 截掉三棱锥111A AB D -后得到的图形设正方体棱长为a 11113A B C D A B C DV a -∴=，111111111311136A AB D A A B D A B D V V S AA a --∆==⋅= ∴截去部分体积与剩余部分体积之比为：333111:665a a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查正方体截面的问题，关键是能够通过三视图确定截面，从而得到确定截掉的部分的体积.17.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（ ）A. 8B. 4C. 2D. 1【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量运算法则可知2i iAB AP AB AB BP ⋅=+⋅，由线面垂直性质可知0i AB BP ⋅=，从而得到21i AB AP AB ⋅==，进而得到结果.【详解】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅AB ⊥Q 平面286BP P P i AB BP ∴⊥ 0i AB BP ∴⋅= 21i A B A P A B ∴⋅==则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为1个 故选：D【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想.三、解答题（本大题共5题，共43分，解答时写出必要的步骤）18.已知向量b 与向量()2,1,2a =-共线，且18a b ⋅=，()()ka b ka b +⊥-，求实数k 的值. 【答案】2k =± 【解析】 【分析】根据向量共线可设b a λ=，由18a b ⋅=可构造方程求得λ，得到b ；由向量垂直可得()()0ka b ka b +⋅-=，由数量积运算律可构造方程求得k .【详解】,a b 共线 ∴可设()2,,2b a λλλλ==-44918a b λλλλ∴⋅=++==，解得：2λ= ()4,2,4b ∴=-()()ka b ka b +⊥- ()()2220ka b ka b k ab ∴+⋅-=-=即()()2414164160k ++-++=，解得：2k =±【点睛】本题考查根据向量的平行、垂直关系求解参数值的问题，关键是能够明确向量共线的条件、向量垂直的坐标表示，属于基础题.19.已知地球的半径为R ，在北纬30°圈上有A 、B 两点.若点A 的经度为东经65︒，点B 的经度为西经25︒，求A 、B 两点的球面距离.【答案】1arccos 4R ⋅ 【解析】【分析】根据纬度的定义可知30OBO '∠=，从而得到纬线圈所在圆的半径，根据经度差可知90AO B '∠=，由勾股定理求得AB ；在AOB ∆中，由余弦定理求得cos AOB ∠，从而得到AOB ∠，由扇形弧长公式可求得球面距离.【详解】设北纬30的纬线圈的圆心为O '由题意可知：90AO B '∠=，30OBO '∠=122R OO OB '∴==，3322O B OB R '== 32O A O B R''∴== 226AB O A O B R ''∴=+=在AOB ∆中，由余弦定理得：2222312cos 24R R R AOB R +-∠==1arccos 4AOB ∴∠= ,A B ∴两点的球面距离为：1arccos 4R ⋅【点睛】本题考查球面距离的求解问题，关键是能够熟练掌握经度和纬度的定义，从而得到图形中的角度关系.20.底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是正三角形123PP P ，如图所示.求：（1）123PP P ∆的各边长； （2）三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）各边均为4；（2）3【解析】 【分析】（1）由123PP P ∆为正三角形，可知三边长均为2AB ，根据2AB =可得结果；（2）根据正三棱锥的特点可求得三棱锥的高，求得底面面积后，根据三棱锥体积公式可求得结果. 【详解】（1）123PP P ∆为正三角形12231324PP P P PP AB ∴====（2）23234ABC S ∆=⨯=立体图形中求三棱锥的高：()22323633h ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭11222363333P ABC ABC V S h -∆∴=⨯⨯==【点睛】本题考查正三棱锥的结构特征、三棱锥体积的求解问题，属于基础题.21.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10.（1）求直线1A B 与平面1ADD 所成的角的大小； （2）求点1D 到平面11A BC 的距离.【答案】（1）2arctan 3；（2）11【解析】 【分析】设长方体高为h ，由长方体体积减去截掉的三棱锥体积可得几何体111ABCD AC D -体积，由此建立方程求得3h =；（1）根据直线与平面所成角定义可知1BA A ∠即为所求角，由112tan 3AB BA A AA ∠==可得结果； （2）设所求距离为d ，由等体积法可知111111D A BC B A D C V V --=，由此构造关于d 的方程，解方程求得结果.【详解】设长方体的高1AA h =则几何体111ABCD AC D -体积：142103V h h =-⨯⨯=，解得：3h = （1）AB ⊥Q 平面11ADD A ∴直线1A B 与平面1ADD 所成角即为1BA A ∠112tan 3AB BA A AA ∠== ∴所求线面夹角为：2arctan 3（2）设点1D 到平面11A BC 的距离为d则由111111D A BC B A D C V V --=得：1111111133A BC A D C S d S BB ∆∆⋅⋅=⋅⋅ 11A BC ∆为等腰三角形，11A B BC ==，11AC ==∴=1112A BC S ∆∴=⨯=又11112222A D C S ∆=⨯⨯= 112333d ∴=⨯⨯，解得：11d =即点1D 到面11A BC 的距离为11【点睛】本题考查立体几何中直线与平面所成角、点到面的距离的求解问题；立体几何中求解点到面的距离常采用等体积法，将问题转化为三棱锥高的求解，从而利用等体积转化构造方程求得结果，属于常考题型.22.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，PO =OA 、OB 是底面半径，且：0OA OB ⋅=，M 为线段AB 的中点，N 为线段PB 的中点，如图所示：（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线PM 和OB 所成的角的大小，并求A 、N 两点在圆锥侧面上的最短距离. 【答案】（1）12π；（2）PM 、OB 夹角为132522- 【解析】 【分析】（1）由22r l PO =-（2）作//MH BO ，根据异面直线所成角定义可知所成角为PMH ∠；根据向量数量积为零可知OA OB ⊥，进而得到MH AO ⊥，根据线面垂直性质知MH PO ⊥，得到线面垂直关系MH ⊥平面AOP ，由线面垂直性质得MH PH ⊥，根据长度关系可求得tan PMH ∠，进而求得异面直线所成角；求得圆锥侧面展开图圆心角后，根据弧长关系可求得APB ∠，由余弦定理可求得结果.【详解】（1）由题意得：底面圆半径2r ===∴圆锥表面积28412S rl r πππππ=+=+=（2）作//MH BO ，交OA 于H ，连接PH∴异面直线PM 与OB 所成角即为PM 与MH 所成角，即PMH ∠0OA OB ⋅= OA OB ∴⊥，又//MH BO MH AO ∴⊥PO ⊥平面OAB ，MH ⊂平面OAB MH PO ∴⊥ ,AO PO ⊂平面AOP ，AO PO O ⊥= MH ∴⊥平面AOP又PH ⊂平面AOP MH PH ∴⊥M 为AB 中点，//MH BO H ∴为AO 中点112MH OB ∴==，221121132PH PO OA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭tan 13PHPMH MH∴∠==13PMH ∴∠= 即异面直线PM 与OB 所成角大小为13由44πα=得：απ=，即圆锥侧面展开图扇形圆心角为π 圆锥侧面展开图如下图所示：124AB r ππ=⋅= 4APB BP ππ∴∠==N Q 为BP 中点 2PN ∴=在APN ∆中，由余弦定理可得：2222cos 20AN AP PN AP PN APN =+-⋅∠=-AN ∴=,A N 两点在圆锥侧面上的最短距离为【点睛】本题考查圆锥表面积的求解、异面直线所成角的求解、利用侧面展开图求解两点间的最短距离问题；求解最短距离的方法为利用侧面展开图，通过两点之间线段最短，从而确定所求的线段，利用余弦定理求得结果.。
上海2018-2019学年高二数学上册期中试题2
上师大附中2018学年第一学期期中考试高二年级 数学学科（考试时间：120分钟 满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 直线230x y --= 关于x 轴对称的直线方程为________．2. 向量(3,4)a =r 在向量(1,0)b =r方向上的投影为____ __.3. 已知向量(1,2),(,2)a b x =-=r r，若a b ⊥r r ，则b r ＝________．4. 已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -=_______． 5. 若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y += ． 6. 若a 、b 、c 是两两不等的三个实数，则经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的倾斜角为__ ____．(用弧度制表示) 7. 若行列式212410139xx =-，则=x ．8. 直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________. 9. 已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM mAB =u u u u ru u u r，AN nAD =u u u ru u u r(0m n ⋅≠), 若//MN BE u u u u ru u u r，则nm=______________. 10. 已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π，则m 的值为 . 11. 下面结论中，正确命题的个数为_____________．①当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2. ②如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.③已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.④点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.⑥若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上.12. 直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_____________． 13. 如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7， 则AO →·BC →＝________.14．设A 是平面向量的集合，a ρ是定向量，对A x ∈ρ， 定义a x a x x f ρρρρρ⋅⋅-=)(2)(．现给出如下四个向量：①)0,0(=a ρ，②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42,42a ρ，③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22a ρ，④⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,21a ρ． 那么对于任意x ρ、A y ∈ρ，使y x y f x f ρρρρ⋅=⋅)()(恒成立的向量a ρ的序号是_______（写出满足条件的所有向量a ρ的序号）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15. “2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的【 】 （A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件16.已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===r r r，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是【 】(A) 0a b c ++=r r r r (B) a b c r r r、、两两平行 (C) a b r r // (D) a b c r r r、、方向都相同 17.如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是【 】 （A ）①是循环变量初始化，循环就要开始 （B ）②为循环体（C ）③是判断是否继续循环的终止条件（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.18.如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为6321,,,,A A A A Λ，则j i A A A A ⋅21，（}6,,3,2,1{,Λ∈j i ）的值组成的集合为【 】)(A {}21012、、、、-- )(B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---212102112、、、、、、 )(C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---23121021123、、、、、、)(D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧----2231210211232、、、、、、、、 三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置． 19．（本题满分12分）中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）．三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知ABC ∆的顶点(1,3)A ，AB 边上的中线所在的直线方程是1y =，AC 边上的高所在的直线方程是210x y -+=．求：（1）AC 边所在的直线方程； （2）AB 边所在的直线方程．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在直角坐标系中，已知两点),(11y x A ，),(22y x B ；1x ，2x 是一元二次方程042222=-+-a ax x 两个不等实根，且A 、B 两点都在直线a x y +-=上． （1）求OA OB u u u r u u u rg； （2）a 为何值时与夹角为3π． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第,3小题满分6分.已知O 为ABC ∆的外心，以线段OB OA 、为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OD OC 、为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H ．(1) 若,,,OA a OB b OC c OH h ====u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r，试用a r 、b r 、c r 表示h r ； (2) 证明：AH BC ⊥u u u r u u u r；(3) 若ABC ∆的60A ∠=o，45B ∠=o，外接圆的半径为R ，用R 表示h r．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，每小题满分6分.如图，射线OA 、OB 所在的直线的方向向量分别为),1(1k d =、),1(2k d -=（0>k ），点P 在AOB ∠内，OA PM ⊥于M ，OB PN ⊥于N . （1）若1=k ，⎪⎭⎫⎝⎛21,23P ，求||OM 的值； （2）若()1,2P ，△OMP 的面积为56，求k 的值； （3）已知k 为常数，M 、N 的中点为T ，且kS MON1Δ=，x当P 变化时，求||OT 的取值范围．上师大附中2018学年第一学期期中考试高二年级 数学学科参考答案 （考试时间：120分钟 满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 230x y +-=2. 33. . 2 5. 2 6. 4π7. 2或3- 8.－4 9. 2 10. 31-或3 11. 3 12. 50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦U ． 13. 52 14． ①③④ 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15. B 16. B 17. 18. D三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置． 19．（本题满分12分）解：设中国结每个x 元，记事本每本y 元，笔袋每个z 元，由题设有2103105230x y x y z y z +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，因为2101310052D == ，则方程组有无穷多组解或无解， 又101010312003052x D ==≠，210011014000302y D ==-≠，2110131010000530z D ==≠，从而该方程组无解。
精品解析：上海市延安中学 2018-2019学年高二上学期期末数学试题(解析版)
上海海市延安中学2018学年第学期期末考试高二年级数学试卷一、填空题（本大题共42分，每小题3分）1.2的平方根是_________.【答案】 【解析】 【分析】根据正实数的平方根的知识，求得2的平方根.【详解】正实数a 的平方根为a 2的平方根是2±. 故填：2±.【点睛】本小题主要考查正实数的平方根的知识，属于基础题. 2.若复数13z i =-，其中i 是虚数单位，则z z ⋅=_________. 【答案】10 【解析】 【分析】先求得z 的共轭复数z ，进而求得z z ⋅的值.【详解】依题意13z i =+，所以()()213131310z z i i ⋅=-+=+=.故填：10. 【点睛】本小题主要考查共轭复数的概念，考查复数乘法运算，属于基础题. 3.已知直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则实数k =_________.【答案】【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得k 的值.【详解】直线2y kx =+化为一般式得20kx y -+=，圆221x y +=的圆心为()0,0，半径为1，由于直1=，解得k =故填：【点睛】本小题主要考查根据直线和圆相切求直线的斜率，考查点到直线距离公式，考查圆的几何性质，属于基础题.4.方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是_______ 【答案】m <． 【解析】由D 2＋E 2－4F>0，得(－1)2＋12－4m>0，即m<12. 5.与椭圆22194x y +=有相同焦点，且长轴长为5_________.【答案】2212015x y +=【解析】 【分析】先求得椭圆22194x y +=的半焦距，再根据所求椭圆的长轴长求得,a b ，进而求得所求椭圆的方程.【详解】椭圆22194x y +=945-=5c =x 轴上，由于所求椭圆长轴长为2a =a =220515b =-=.所以所求椭圆方程为2212015x y +=.故填：2212015x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆焦距、长轴等概念，考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的几何性质，属于基础题.6.已知点()30A ，和()30B -，，动点P 满足4PB PA -=，则P 的轨迹方程是_________.【答案】()221045x y x -=>【解析】 【分析】根据双曲线的定义，判断出P 点的轨迹为双曲线的一支，由此求得P 点的轨迹方程.【详解】由于,A B 为定点，且4PB PA AB -=<，所以P 点的轨迹为双曲线的右支.由24,3a c ==得222945b c a =-=-=，所以P 点的轨迹方程为()221045x y x -=>. 【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查动点的轨迹方程的求法，属于基础题. 7.已知双曲线Γ的渐近线方程为3y x =，且)6,3P是Γ上的一点，则双曲线Γ的标准方程为_________. 【答案】22139x y -=【解析】 【分析】将双曲线的焦点分为在x 轴和y 轴上两种情况，根据双曲线的渐近线方程，设出双曲线的方程，将P 点坐标代入方程，由此求得双曲线的标准方程.【详解】当双曲线焦点在x 轴上时，由渐近线方程3y x =可知3ba=3b a =，设双曲线方程为222213x y a a -=，代入)6,3P 得226913a a -=，解得223,9a b ==，故双曲线方程为22139x y -=. 当双曲线焦点在y 轴上时，由渐近线方程y =可知a b =a ，设双曲线方程为222213y xb b-=，代入)P得229613b b -=，无解. 故填：22139x y -=【点睛】本小题主要考查已知双曲线渐近线方程和双曲线上一点的坐标求双曲线标准方程，属于基础题.8.已知复数()()()4231234a i z i i -=-+⋅-，且1z =，则实数a =_________.【答案】2± 【解析】 【分析】化简z 的表达式，根据1z =列方程，由此求得a 的值. 【详解】依题意，()()()433434a i z i i -=--⋅-()()()()44343434i i a i i ---⋅-=-42534a i i -⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭()()()()434253434a i i i i ⎡⎤-+=-⋅⎢⎥-+⎣⎦()434432525a a i ++-⎡⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦，由于1z =，即()4344325125a a i ++-⎡⎤-⋅=⎢⎥⎣⎦，即()()44344334431252525a a i a a i ++-++-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，即()24334125255a a i -++=，即223443125255a a +-⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22525125a +=，24a =，解得2a =±. 故填：2±【点睛】本小题主要考查复数的除法、乘法和乘方运算，考查复数模的运算，考查运算求解能力，属于中档题.9.设抛物线()2=0y mx m >的准线与直线1x =的距离为3，则该抛物线方程为_________.【答案】28y x = 【解析】 【分析】根据抛物线方程求得准线方程，结合题目所给准线与1x =的距离列方程，解方程求得m 的值，进而求得抛物线方程.【详解】由于0m >，所以抛物线的准线方程为4m x =-，依题意准线4mx =-与直线1x =的距离为3，即13,84mm +==，所以抛物线方程为28y x =. 故填：28y x =.【点睛】本小题主要考查抛物线的准线方程，属于基础题.10.在复平面上，若正方形OABC （按顺时针方向，O 表示原点）中的顶点A 对应复数为12i +，则顶点C 对应的复数为_________. 【答案】2i - 【解析】 【分析】根据正方形的几何性质，A 对应的复数乘以i -，得到C 对应的复数.【详解】由于顶点A 对应复数为12i +，OA 顺时针旋转90得到OC ，故C 对应的复数为()()122i i i +⋅-=-.故填：2i -.【点睛】本小题主要考查复数对应的点，考查复数的几何性质与乘法运算，属于基础题.11.直线1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）被双曲线221x y -=截得的弦长为_________.【答案】【解析】 【分析】将直线的参数方程代入双曲线方程，利用根与系数关系，结合弦长公式，求得弦长.【详解】将直线1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入221x y -=得221212t ⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即212302t t -++=，2460t t --=，所以12124,6t t t t +=⋅=-==.故填：.【点睛】本小题主要考查利用直线参数方程中参数的几何意义求弦长，考查直线和双曲线的位置关系，属于基础题.12.已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为_________米.【答案】6【解析】 【分析】根据实际问题建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程并通过条件求解出方程，再利用所求的方程计算水面下降1米后水面的宽度.【详解】据题意，建立平面直角坐标如下，设抛物线标准方程为：()220xpy p =->，则如图所示：根据条件可知：()0,2C -，()4,2B -，将B 代入()220x py p =->，解得：4p =，所以抛物线方程为：28x y =-，又因为()03E -，，所以3D E y y ==-，所以224Dx =，所以Dx =DE=，则此时水面宽为：2⨯=. 故答案为：【点睛】本题考查抛物线方程的实际应用，难度一般.处理抛物线方程有关的实际问题，关键是能通过题意正确将坐标系建立起来并设出抛物线方程的正确形式.13.已知虚数αβ、满足221010p p ααββ++=++=、（其中p ∈R ），若1αβ-=，则p =_________.【答案】【解析】 【分析】根据题意得到虚数αβ、满足方程210x px ++=，利用求根公式求得两根，结合1αβ-=列方程，解方程求得p 的值.【详解】依题意可知， 虚数αβ、满足的方程为210x px ++=，且240p -<.，故22441p i p αβ-=-=-=，23p =，所以3p =故填：3【点睛】本小题主要考查一元二次方程的虚数根，属于基础题.14.已知曲线C 到两定点()()2020M N -，、，距离乘积为常数16的动点P 的轨迹，以下结论正确的是_________.（1）曲线C 一定经过原点；（2）曲线C 与x 轴有且只有两个交点； （3）曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称； （4）MPN ∆的面积不大于8. 【答案】（2） 【解析】 【分析】设出P 点坐标，根据P 到,M N 两点距离乘积为16列方程，化简后求得曲线C 的轨迹方程，由此对四个结论进行分析，从而得出正确结论的序号.【详解】设(),P x y ，由于P 到,M N 两点距离乘积为1616=①.对于（1），将()0,0416=≠，故曲线C 不过原点，（1）错误.对于（2），对①式令0y =得222416x x x -⋅+=-=，由于20x ≥，所以2416,x x -==±，所以曲线C 与x 轴有两个交点()±.（2）正确.对于（4），由于（2）正确，所以,,M P N 不一定能围成三角形，故（4）错误.对于（3），将(),x y -16=，故曲线C 关于x 轴对称.将(),x y -代16=，故曲线C 关于y 轴对称.故（3）错误.综上所述，正确结论的序号为（2）. 故填：（2）【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查化归与转化的数学思想方法，考查曲线的对称性，属于中档题.二、选择题（本大题共12分，每小题3分）15.已知复数z ，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：当0z =时，满足0z z +=，此时z 为实数；而当z 为纯虚数时，0z z +=，所以“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件，故选B ． 考点：1、复数的概念；2、充分条件与必要条件．16.方程0x y +=对应的曲线是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】x y+=化简为22+=4,0,0x y x y≥≥，即可选出答案。
2018-2019学年上海中学高二(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1．直线2x﹣y+3＝0的倾斜角为．2．行列式中元素0所对应的代数余子式的值为．3．若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则a＝．4．若＝（1，﹣2），＝（x，1），＝（1，2），且（）⊥，则x＝．5．以＝（﹣3，2）为方向向量的直线平分圆x2+y2+2y＝0，直线l的方程为．6．经过两条直线2x+3y+1＝0和3x﹣y+4＝0的交点，并且平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是．7．若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则a+b＝．8．如图，△ABC中D在边BC上，且＝2，E为AD的中点，记＝，＝，则＝（用、的线性组合表示）9．二阶方阵A＝称矩阵为A的转置矩阵记作A T，设M、N是两个二阶矩阵，对于下列四个结论：（1）（M T）T＝M；（2）（M+N）T＝M T+N T；（3）（MN）T＝M T N T；（4）“M＝”是“M T＝M”的充分不必要条件；其中真命题的序号为．10．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为．11．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点P（2，1）的直线l交y＝x（x＞0）于点Q，那么的最大值为．12．如图，已知向量的夹角为，|﹣|＝6，向量，的夹角为，|﹣|＝2，则与的夹角为，的最大值为．二.选择题13．“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要14．在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（）A．＝（0，0），＝（1，2）B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）C．＝（3，5），＝（6，10）D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）15．实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．416．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记•+•＝m，•+•＝n，则（）A．m＝2，n＝4B．m＝3，n＝1C．m＝2，n＝6D．m＝3n，但m，n的值不确定三、解答题（共4小题，满分0分）17．已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组．18．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61．（1）求与的夹角θ；（2）若，且＝0，求t及||19．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．20．已知a、b、c为△ABC的三边长，直线l的方程ax+by+c＝0，圆M：（x+a）2+（y+b）2＝c2．（1）若△ABC为直角三角形，c为斜边长，且直线l与圆M相切，求c的值；（2）若△ABC为正三角形，对于直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，求c的取值范围；（3）点E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，1）、G（1，1）、H（1，﹣1），设E、F、G、H四点到直线l的距离之和为S，求S的取值范围．2018-2019学年上海中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．直线2x﹣y+3＝0的倾斜角为arctan2．【解答】解：因为直线2x﹣y+3＝0的斜率为k＝﹣＝2，设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，所以θ＝arctan2，故填：arctan2．2．行列式中元素0所对应的代数余子式的值为﹣6．【解答】解：行列式中元素0所对应的代数余子式的值为：（﹣1）5•＝﹣6．故答案为：﹣6．3．若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则a＝﹣2．【解答】解：直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，由于直线的斜率存在，所以斜率乘积为﹣1，即﹣1•（）＝﹣1，所以a＝﹣2．故答案为：﹣2．4．若＝（1，﹣2），＝（x，1），＝（1，2），且（）⊥，则x＝1．【解答】解：；∵；∴；∴x＝1．故答案为：1．5．以＝（﹣3，2）为方向向量的直线平分圆x2+y2+2y＝0，直线l的方程为2x+3y+3＝0．【解答】解：根据题意，要求直线的方向向量为＝（﹣3，2），设其方程为2x+3y+m ＝0，圆x2+y2+2y＝0，即x2+（y+1）2＝1，其圆心为（0，﹣1），若要求直线平分圆，则圆心在要求直线上，则有2×0+3×（﹣1）+3＝0，解可得m＝3，则要求直线的方程为2x+3y+3＝0；故答案为：2x+3y+3＝0．6．经过两条直线2x+3y+1＝0和3x﹣y+4＝0的交点，并且平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是3x+4y+＝0．【解答】解：联立直线的方程，得到两直线的交点坐标为（﹣，），平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是3x+4y+c＝0，则3（﹣）+4×+c＝0，解得c＝，所以直线方程为3x+4y+＝0．故填：3x+4y+＝0．7．若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则a+b＝3．【解答】解：根据题意，圆x2+y2+4x﹣1＝0的圆心为（﹣2，0），若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则有，解可得a＝1，b＝2；则a+b＝3；故答案为：3．8．如图，△ABC中D在边BC上，且＝2，E为AD的中点，记＝，＝，则＝（用、的线性组合表示）【解答】解：∵E为AD的中点，，∴＝＝＝＝＝，故答案为：．9．二阶方阵A＝称矩阵为A的转置矩阵记作A T，设M、N是两个二阶矩阵，对于下列四个结论：（1）（M T）T＝M；（2）（M+N）T＝M T+N T；（3）（MN）T＝M T N T；（4）“M＝”是“M T＝M”的充分不必要条件；其中真命题的序号为（1）（2）（4）．【解答】解：对于（1），设M＝，则M T＝，（M T）T＝，所以（M T）T＝M，（1）正确；对于（2），设M＝，N＝，则M+N＝，∴（M+N）T＝；M T＝，N T＝，则M T+N T＝，∴（M+N）T＝M T+N T，（2）正确；对于（3），设M＝，N＝，则MN＝，∴（MN）T＝；M T＝，N T＝，则M T N T＝，∴（MN）T≠M T N T，（3）错误；对于（4），M＝时，M T＝，充分性成立，M T＝M时，M不一定为，如M＝，即必要性不成立，是充分不必要条件，（4）正确．综上，其中真命题的序号是（1）、（2）、（4）．故答案为：（1）、（2）、（4）．10．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为3．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．联立，解得D（1，2）．∴＝．解得：a＝3或a＝﹣1．又a＞0，∴a＝3．即A的横坐标为3．故答案为：3．11．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点P（2，1）的直线l交y＝x（x＞0）于点Q，那么的最大值为．【解答】解：设l：y＝k（x﹣2）+1，要它与y＝x（x＞0）相交，则k＞1或k＜0．令y＝0，可得：M（2﹣，0），令y＝x，得Q．∴|MP|＝，|PQ|＝．∴u＝＝．于是u2＝＝g（k），k＞1或k＜0．g′（k）＝，可得：k＝﹣2，函数g（k）取得极大值，g（﹣2）＝5．∴u max＝．此时M（﹣，0）．故答案为：．12．如图，已知向量的夹角为，|﹣|＝6，向量，的夹角为，|﹣|＝2，则与的夹角为，的最大值为．【解答】解：如图，设，则，，，∴AB＝6，，AC＝，又，∴A，O，B，C四点共圆，在△ABC中，由正弦定理得，即，∴sin∠ABC＝，则．由同弧所对圆周角相等，可得，即与的夹角为；设∠OAC＝θ，则，在△AOC中，由正弦定理得：，∴OC＝，，∴＝＝＝64×＝64×（）＝64×（）＝64×（）＝64[]．∴当，即时，有最大值为．故答案为：，．二.选择题13．“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：圆的方程可化为：，故若D2＝4F且E≠0，则圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切，若圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切，则D2＝4F且E≠0，综上“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的充要条件．故选：C．14．在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（）A．＝（0，0），＝（1，2）B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）C．＝（3，5），＝（6，10）D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）【解答】解：根据，选项A：（3，2）＝λ（0，0）+μ（1，2），则3＝μ，2＝2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）＝λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3＝﹣λ+5μ，2＝2λ﹣2μ，解得，λ＝2，μ＝1，故选项B能．选项C：（3，2）＝λ（3，5）+μ（6，10），则3＝3λ+6μ，2＝5λ+10μ，无解，故选项C 不能．选项D：（3，2）＝λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3＝2λ﹣2μ，2＝﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．15．实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点B时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时2x+y＝9．由，解得，即B（4，1），∵B在直线y＝m上，∴m＝1，故选：A．16．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记•+•＝m，•+•＝n，则（）A．m＝2，n＝4B．m＝3，n＝1C．m＝2，n＝6D．m＝3n，但m，n的值不确定【解答】解：∵P，Q分别是AC，BC中点，∴m＝•+•＝＝＝＝＝2；∵P，Q分别是AC，BC中点，∴，，∴n＝•+•＝+＝＝＝6．故选：C．三、解答题（共4小题，满分0分）17．已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组．【解答】解：对于增广矩阵，当m＝2时，矩阵化为，此时方程组有无数个解；当m＝﹣2时，矩阵化为，此时方程组无解；当m≠±2，矩阵第二行有，（2+m）（2﹣m）•y＝（m+1）（2﹣m），得进第一行得，综上所述，当m＝2时，方程有无数个解；当m＝﹣2时，方程组无解；当m≠±2时，，．18．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61．（1）求与的夹角θ；（2）若，且＝0，求t及||【解答】解（1）∵||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61，∴•＝﹣6．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴cos θ＝＝＝﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又0≤θ≤π，∴θ＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）＝（）＝t+（1﹣t）＝﹣15t+9＝0∴t＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴||2＝（+）2＝，∴||＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）直线l1：y＝2，设l1交l于D，则D（2，2）．∵l的倾斜角为30°，∴l2的倾斜角为60°，…∴，∴反射光线l2所在的直线方程为y﹣2＝（x﹣2）．即．…已知圆C与l1切于点A，设C（a，b），∵圆心C在过点D且与l垂直的直线上，∴①…又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，∴②，由①②得，圆C的半径r＝3．故所求圆C的方程为．…（Ⅱ）设点B（0，﹣4）关于l的对称点B'（x0，y0），则，…得．固定点Q可发现，当B'、P、Q共线时，PB+PQ最小，故PB+PQ的最小值为为B'C﹣3．…，得，最小值．…（16分）20．已知a、b、c为△ABC的三边长，直线l的方程ax+by+c＝0，圆M：（x+a）2+（y+b）2＝c2．（1）若△ABC为直角三角形，c为斜边长，且直线l与圆M相切，求c的值；（2）若△ABC为正三角形，对于直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，求c的取值范围；（3）点E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，1）、G（1，1）、H（1，﹣1），设E、F、G、H四点到直线l的距离之和为S，求S的取值范围．【解答】解（1）因为若△ABC为直角三角形，c为斜边长，所以a2+b2＝c2，直线l与圆M相切，所以圆心（a，b）到直线ax+by+c＝0的距离为c，即，所以，即c2﹣c＝±c2，得c＝，或者c＝0（舍）．（2）若△ABC为正三角形，若△ABC为正三角形，则此时圆是以{c，c}为圆心，c为半径的圆，直线方程为x+y+1＝0，设圆心（c，c）到直线的距离为d，则d＝，要使直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，需满足同时成立，即，解得c≥．（3）依题意S＝+++，因为三角形的两边之和大于第三边，所以S可化为：S＝，∵c＜a+b，，∴S≤＝4，下面求S的最小值，从几何意义上看，S代表（1，1）到直线l的距离的二倍，而直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为﹣，三边中若c为最大值，则直线l在两坐标轴上的截距均小于﹣1，此时（1，1）到直线l 的最小距离大于2，即S＞4．若c不是最大值，不妨设a为最大值，则S＝＞＝＝2．综上2＜S＜．。
上海市延安中学2018年高二数学文联考试卷含解析
上海市延安中学2018年高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，] C．（﹣∞，2] D．[，2）参考答案：B【考点】5B：分段函数的应用．【分析】由已知可得函数f（x）在R上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数a的取值范围．【解答】解：若对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则函数f（x）在R上为减函数，∵函数f（x）=，故，解得：a∈（﹣∞，]，故选：B．2. 某学校有教师150人，其中高级教师15人，中级教师45人，初级教师90人。
现按职称分层抽样选出30名教师参加教工代表大会，则选出的高、中、初级教师的人数分别为（）A、3，9，18B、5，10，15C、3，10，17D、5，9，16参考答案：3. 函数在[0,4]上的最大值和最小值分别是（）A．2，-18 B．-18，-25 C.2，-25 D．2，-20参考答案：C由，知．在递减，递增，最小值又故选C.4. 下列命题中的假命题是（）A．B．C．D．参考答案：D略5. 已知数列的前n项和，则的值为（）A．80 B．40 C．20D．10参考答案：C6. 已知f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），f4（x）=f3′（x），…，f n（x）=f n﹣1′（x），则f2015（x）等于（）A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx参考答案：【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】对函数连续求导研究其变化规律，可以看到函数解析式呈周期性出现，以此规律判断求出f2015（x）【解答】解：由题意f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，f5（x）=f4′（x）=cosx，…由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从0开始计，周期是4，∵2015=4×503+3，故f2015（x）=f3（x）=﹣cosx故选：D【点评】本题考查导数的运算，求解本题的关键是掌握正、余弦函数的求导公式，以及在求导过程中找出解析式变化的规律，归纳总结是解题过程中发现规律的好方式．本题考查了归纳推理．7. 已知A={x|y=x,x∈R},B={y|,x∈R},则A∩B等于（）A.{x|x∈R}B.{y|y≥0}C.{(0,0),(1,1)} D .参考答案：B9.已知，用数学归纳法证明时．假设当时命题成立，证明当时命题也成立，需要用到的与之间的关系式是（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】分别根据已知列出和，即可得两者之间的关系式.【详解】由题得，当时，，当时，，则有，故选C.9. 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1(n∈N*)，则a5=A.29B.30C.31D.32参考答案：C10. 过点平行于极轴的直线的极坐标方程是( )A．ρcosθ＝4 B．ρsinθ＝4 C．ρsinθ＝ D．ρcosθ＝参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. .3名男生，2名女生排成一排，女生不排两端，则有_______种不同排法.参考答案：36【分析】先从3名男生中任选两名排在两端，其余3名同学全排列，从而得到答案。
上海市延安中学2018-2019高三数学9月月考(解析版) - 副本
上海市延安中学2018-2019高三数学9月月考一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.“x ＞1”是“＜1”的（ ）1x A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.两个球的体积之比为8：27，则它们的表面积的比是（ ）A. 2：3 B. 4：9 C. D. 22：332：33.设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有⃗e 1⃗e 2⃗a =x 1⃗e 1+y 1⃗e 2⃗b=x 2⃗e 1+y 2⃗e 2结论：①若x 1y 2-x 2y 1=0，则；⃗a∥⃗b ②若x 1x 2+y 1y 2=0，则．⃗a⊥⃗b 关于以上两个结论，正确的判断是（ ）A. 成立，不成立 B. 不成立，成立①②①②C. 成立，成立 D. 不成立，不成立①②①②4.由9个正数组成的矩阵中，每行中三个数成等差数列，且(a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33)a 11+a 12+a 13、a 21+a 22+a 23、a 31+a 32+a 33成等比数列，给出下列判断：①第2列中，a 12、a 22、a 32必成等比数列；②第1列中的a 11、a 21、a 31不一定成等比数列；③a 12+a 32≥a 21+a 23；④若9个数之和等于9，则a 22≥1；其中正确的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知全集U ={1，2，3}，A ={1，3}，则集合∁U A =______．6.若log 2（x +1）=3，则x =______．7.1、1、3、3、5这五个数的中位数是______8.如果函数y =f （x ）的反函数为f -1（x ）=3x +1，则f （1）的值为______．9.若数列{a n }的前n 项和，则通项a n =______S n =13a n ‒110.三阶行列式中，元素-3的代数余子式的值为______∣1‒35403‒121∣11.过定点P （2，1），且倾斜角是直线x -2y -1=0的倾斜角的两倍的直线方程为______12.已知无穷等比数列{a n }各项的和是2，则首项a 1的取值范围是______．13.已知关于z 的方程z 2+5z +m =0的两根为z 1、z 2，满足|z 1-z 2|=3，则实数m 的值为______14.已知O 是坐标原点，点A （-1，1）．若点M （x ，y ）为平面区域上的{x +y ≥2x ≤1y ≤2一个动点，则的取值范围是______．⃗OA ⋅⃗OM15.设集合A ={（x 1，x 2，x 3，…，x 10）|x i ∈{-1，0，1}，i =1，2，3，…，10}，则集合A 中满足条件“1≤|x 1|+|x 2|+|x 3|+…+|x 10|≤9”的元素个数为______．16.设a ＞0，函数f （x ）=x +2（1-x ）sin （ax ），x ∈（0，1），若函数y =2x -1与y =f （x ）的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是______三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=3；（1）求四棱锥A 1-ABCD 的体积；（2）求异面直线A 1C 与DD 1所成角的大小．18.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ．（Ⅰ）若c =2，，且△ABC 的面积，求a ，b 的值；C =π3S =3（Ⅱ）若sin C +sin （B -A ）=sin2A ，试判断△ABC 的形状．19.已知美国苹果公司生产某款iphone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone 手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R （x ）万美元，且R （x ）={400‒6x ，0＜x ≤407400x‒40000x2，x＞40（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20.已知双曲线C ：-=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l 交双曲x 2a 2y 2b 2线于A 、B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A ，B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率k PA ，k PB 均存在，求证：k PA •k PB 为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点F 1，是否存在x 轴上的点M （m ，0），使得直线l 绕点F 1无论怎样转动，都有•=0成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，⃗MA ⃗MB 请说明理由．21.已知{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列（1）若a n =3n +1，是否存在m ，n ∈N *，有a m +a m +1=a k ？请说明理由；（2）若b n =aq n （a 、q 为常数，且aq ≠0）对任意m 存在k ，有b m •b m +1=b k ，试求a 、q 满足的充要条件；（3）若a n =2n +1，b n =3n 试确定所有的p ，使数列{b n }中存在某个连续p 项的和式数列中{a n }的一项，请证明．答案和解析1.【答案】A【解析】解：当“x＞1”则“＜1”成立，当x＜0时，满足“＜1”但“x＞1”不成立，故“x＞1”是“＜1”的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等于半径之比的立方，表面积的比等于半径之比的平方∵两个球的体积之比为8：27∴两个球的半径之比为2：3∴两个球的表面积的比为4：9故选：B．根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等于半径之比的立方，表面积的比等于半径之比的平方，从而可求．本题以球为载体，考查球的体积与表面积，关键是得出两个球的体积之比等于半径之比的立方，表面积的比等于半径之比的平方3.【答案】A【解析】解：①假设存在实数λ使得=，则=λ，∵向量与既不平行也不垂直，∴x1=λx2，y1=λy2，满足x1y2-x2y1=0，因此．②若x1x2+y1y2=0，则=（）•=x1x2+y1y2+（x2y1+x1y2）=（x2y1+x1y2），无法得到=0，因此不一定正确．故选：A．①假设存在实数λ使得=，则=λ，由于向量与既不平行也不垂直，可得x1=λx2，y1=λy2，即可判断出结论．②若x1x2+y1y2=0，则=（）•=x1x2+y1y2+（x2y1+x1y2）=（x2y1+x1y2），无法得到=0，因此不一定正确．本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】C【解析】解：由题意可设9个正数组成的矩阵为：由a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列．则有（b+m）2=（a+d）（c+n），故命题①第2列中，a12、a22、a32必成等比数列正确；由（a+d）+（c+n）≥2=2（b+m），可得命题③，a12+a32≥a21+a23正确；再由题意设9个正数组成的矩阵为：可知命题②，第1列中的a11、a21、a31不一定成等比数列正确；再题意设若9个数之和等于9，a12+a22+a32=3，而a12，a22，a32必成等比数列，a12+a22+a32=≥2+a22=3a22，即3≥3a22；所以a22≤1．则故④错；故选：C．由题意设出一个满足条件的矩阵，结合a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列判断①正确；借助于基本不等式判断③正确；举两个特殊矩阵判断②正确，④错误．本题以三阶矩阵为载体，主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、三阶矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．5.【答案】{2}【解析】解：∵全集U={1，2，3}，A={1，3}，∴集合∁U A={2}．故答案为：{2}．利用补集定义直接求解．本题考查补集的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】7【解析】解：log2（x+1）=3，可得x+1=8，解得x=7．故答案为：7．直接利用对数运算法则化简求解即可．本题考查函数的零点，对数运算法则的应用，考查计算能力．7.【答案】3【解析】解：1、1、3、3、5这五个数的中位数是3．故答案为：3．利用中位数的定义直接求解．本题考查中位数的求法，考查中位数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】-1【解析】解：∵函数y=f（x）的反函数为f-1（x）=3x+1，∴y=f（x）=log3x-1，∴f（1）=log31-1=-1．故答案是：-1．由题意可得f（x）=log3x-1，代值计算即可．本题考查反函数，得出f（x）的解析式是解决问题的关键，属基础题．9.【答案】3•(‒12 )n【解析】解：由，得，即；当n≥2时，，两式作差可得：，则（n≥2）．∴数列{a n}是以为首项，以为公比的等比数列，则．故答案为：3•．由题意求得首项，且得到数列{a n}是以为首项，以为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式得答案．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．10.【答案】-7【解析】解：三阶行列式中，元素-3的代数余子式的值为：（-1）3•=-7．故答案为：-7．利用代数余子式的定义直接求解．本题考查三阶行列式的代数余子式的求法，考查代数余子式的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】4x-3y-5=0【解析】解：设直线x-2y-1=0的倾斜角为θ，则要求的直线倾斜角为2θ．则tanθ=，tan2θ===．∴要求的直线方程为：y-1=（x-2），化为：4x-3y-5=0．故答案为：4x-3y-5=0．设直线x-2y-1=0的倾斜角为θ，则要求的直线倾斜角为2θ．可得tanθ=，tan2θ=，利用点斜式即可得出．本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系、倍角公式、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】（0，2）∪（2，4）【解析】解：由题意可得：，|q|＜1且q≠0，∴a1=2（1-q），∴0＜a1＜4且a1≠2，则首项a1的取值范围是（0，2）∪（2，4）．故答案为：（0，2）∪（2，4）由无穷等比数列{a n}的各项和为2得：，|q|＜1且q≠0，从而根据q的取值，可得a1的范围．本题主要考查了等比数列的前n项和，其中无穷等比数列的各项和是指当|q|＜1且q≠0时前n项和的极限，解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前n项和的极限存在，则可得|q|＜1且q≠0，这也是考生常会漏掉的知识点．13.【答案】4或7 2【解析】解：当△=25-4m≥0，即m≤时，z1+z2=-5，z1z2=m，由|z1-z2|=3，得，即25-4m=9，得m=4；当△=25-4m＜0，即m＞时，，由|z1-z2|=3，得，即m=．故答案为：4或．由题意分△≥0和△＜0分析，当△≥0时利用根与系数的关系求解；当△＜0时，求出虚根，结合|z1-z2|=3求解．本题考查方程根的求法，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．14.【答案】[0，2]【解析】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，=-1×1+1×1=0当x=1，y=2时，=-1×1+1×2=1当x=0，y=2时，=-1×0+1×2=2故和取值范围为[0，2]故答案为：[0，2]．先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入分析比较后，即可得到的取值范围．本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．15.【答案】310-210-1【解析】解：集合A 中共有310个元素；其中|x 1|+|x 2|+|x 3|+…+|x 10|=0的只有一个元素， |x 1|+|x 2|+|x 3|+…+|x 10|=10的有210个元素；故满足条件“1≤|x 1|+|x 2|+|x 3|+…+|x 10|≤9”的元素个数为310-210-1． 故答案为：310-210-1．由排列组合的知识知，集合A 中共有310个元素，其中|x 1|+|x 2|+|x 3|+…+|x 10|=0的只有一个元素，|x 1|+|x 2|+|x 3|+…+|x 10|=10的有210个元素；从而求得．本题考查了排列组合的应用及集合中元素的特征应用，属于中档题．16.【答案】（]11π6，19π6【解析】解：函数y=2x-1与y=f （x ）的图象有且仅有两个不同的公共点，即方程2x-1=x+2（1-x ）sin （ax ）有两不同根，也就是（x-1）（2sinax+1）=0有两不同根，∵x ∈（0，1），∴sinax=-在（0，1）上有两不同根．∵a ＞0，∴ax=或ax=，k ∈Z ．又∵x ∈（0，1），且a ＞0，∴0＜ax ＜a ，仅有两解时，应有，则＜a≤．∴a 的取值范围是（]．故答案为：（]．把函数y=2x-1与y=f （x ）的图象有且仅有两个不同的公共点，转化为sinax=-在（0，1）上有两不同根，可得＜a≤．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，是中档题．17.【答案】解：（1）∵长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=3，∴四棱锥A 1-ABCD 的体积：====4V A 1‒ABCD 13S 矩形ABCD ×AA 113×AB ×AD ×AA 113×2×2×3．（2）∵DD 1∥CC 1，∴∠A 1CC 1是异面直线A 1C 与DD 1所成角（或所成角的补角），∵tan ∠A 1CC 1===，A 1C 1CC 122+223223∴=．∠A 1CC 1arctan 223∴异面直线A 1C 与DD 1所成角的大小为；arctan 223【解析】（1）四棱锥A 1-ABCD 的体积=，由此能求出结果．（2）由DD 1∥CC 1，知∠A 1CC 1是异面直线A 1C 与DD 1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A 1C 与DD 1所成角的大小．本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注空间思维能力的培养．18.【答案】解：（Ⅰ）由余弦定理 及已知条件得，a 2+b 2-ab =4，…．（3分）又因为△ABC 的面积等于，所以，得ab =4．（5分）312absinC =3联立方程组解得a =2，b =2．（7分）{a 2+b 2‒ab =4ab =4（Ⅱ）由题意得：sin C +sin （B -A ）=sin2A得到sin （A +B ）+sin （B -A ）=sin2A =2sin AcoA即：sin A cos B +cos A sin B +sin B cos A -cos B sin A =2sin AcoA所以有：sin B cos A =sin A cosA ，（10分）当cos A =0时，，△ABC 为直角三角形（12分）A =π2当cos A ≠0时，得sinB =sin A ，由正弦定理得a =b ，所以，△ABC 为等腰三角形．（14分）【解析】（Ⅰ）根据余弦定理，得c 2=a 2+b 2-ab=4，由三角形面积公式得，两式联解可得到a ，b 的值；（Ⅱ）根据三角形内角和定理，得到sinC=sin （A+B ），代入已知等式，展开化简合并，得sinBcosA=sinAcosA ，最后讨论当cosA=0时与当cosA≠0时，分别对△ABC 的形状的形状加以判断，可以得到结论．本题考查了正弦定理与余弦定理的应用，属于中档题．熟练掌握三角函数的有关公式，是解好本题的关键．19.【答案】解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得当0＜x ≤40时，W =xR （x ）-（16x +40）=-6x 2+384x -40；当x ＞40时，W =xR （x ）-（16x +40）=‒40000x ‒16x +7360∴W =；{‒6x 2+384x ‒40，0＜x ≤40‒40000x ‒16x +7360，x ＞40（2）当0＜x ≤40时，W =-6x 2+384x -40=-6（x -32）2+6104，∴x =32时，W max =W （32）=6104；当x ＞40时，W =≤-2+7360，‒40000x ‒16x +736040000x ⋅16x 当且仅当，即x =50时，W max =W （50）=576040000x =16x ∵6104＞5760∴x =32时，W 的最大值为6104万美元．【解析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．本题考查分段函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．20.【答案】（1）解：由题意得…（2分）{4a 2‒9b 2=1b a =3解得a =1，b = …（3分）3∴双曲线C 的方程为； …（4分）x 2‒y 23=1（2）证明：设A （x 0，y 0），由双曲线的对称性，可得B （-x 0，-y 0）．设P （x ，y ），…（5分）则k PA •k PB =，y 2‒y 20x 2‒x 0∵y 02=3x 02-3，y 2=3x 2-3，…（8分）所以k PA •k PB ==3 …（10分）y 2‒y 20x 2‒x 0（3）解：由（1）得点F 1为（2，0）当直线l 的斜率存在时，设直线方程y =k （x -2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）将方程y =k （x -2）与双曲线方程联立消去y 得：（k 2-3）x 2-4k 2x +4k 2+3=0，∴x 1+x 2=，x 1x 2=4k 2k 2‒34k 2+3k 2‒3假设双曲线C 上存在定点M ，使MA ⊥MB 恒成立，设为M （m ，n ）则•=（x 1-m ）（x 2-m ）+[k （x 1-2）-n ][k （x 2-2）-n ]⃗MA ⃗MB =（k 2+1）x 1x 2-（2k 2+kn +m ）（x 1+x 2）+m 2+4k 2+4kn +n 2==0，(m 2+n 2‒4m ‒5)k 2‒12nk ‒3(m 2+n 2‒1)k 2‒3故得：（m 2+n 2-4m -5）k 2-12nk -3（m 2+n 2-1）=0对任意的k 2＞3恒成立，∴，解得m =-1，n =0{m 2+n 2‒4m ‒5=012n =0m 2+n 2‒1=0∴当点M 为（-1，0）时，MA ⊥MB 恒成立；当直线l 的斜率不存在时，由A （2，3），B （2，-3）知点M（-1，0）使得MA ⊥MB 也成立．又因为点（-1，0）是双曲线C 的左顶点，所以双曲线C 上存在定点M （-1，0），使MA ⊥MB 恒成立．…（16分）【解析】（1）利用双曲线C ：-=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，建立方程，即可求双曲线C 的方程；（2）设M （x 0，y 0），由双曲线的对称性，可得N 的坐标，设P （x ，y ），结合题意，又由M 、P 在双曲线上，可得y 02=3x 02-3，y 2=3x 2-3，将其坐标代入k PM •k PN中，计算可得答案．（3）先假设存在定点M ，使MA ⊥MB 恒成立，设出M 点坐标，根据数量级为0，求得结论．本题考查点的轨迹方程的求法，考查斜率的计算，考查存在性问题，综合性强．21.【答案】解：（1）由a m +a m +1=a k ，得6m +6+3k +1，整理后，可得，∵m 、k ∈N ，k ‒2m =43∴k -2m 为整数∴不存在n 、k ∈N *，使等式成立．（2）当m =1时，则b 1•b 2=b k ，∴a 2•q 3=aq k ∴a =q k -3，即a =q c ，其中c 是大于等于-2的整数反之当a =q c 时，其中c 是大于等于-2的整数，则b n =q n +c ，显然b m •b m +1=q m +c •q m +1+c =q 2m +1+2c =b k ，其中k =2m +1+c∴a 、q 满足的充要条件是a =q c ，其中c 是大于等于-2的整数（3）设b m +1+b m +2+…+b m +p =a k当p 为偶数时，（*）式左边为偶数，右边为奇数，当p 为偶数时，（*）式不成立．由（*）式得，3m +1(1‒3p )1‒3=2k +1整理得3m +1（3p -1）=4k +2当p =1时，符合题意．当p ≥3，p 为奇数时，3p -1=（1+2）p -1=C p 0+C p 1•21+C p 2•22++C p p •2p -1=C p 1•21+C p 2•22++C p p •2p=2（C p 1+C p 2•2++C p p •2p -1）=2[2（C p 2+C p 2•22++C p p •2p -2）+p ]∴由3m +1（3p -1）=4k +2，得3m +1[2（C p 2+C p 2•22++C p p •2p -2）+p ]=2k +1∴当p 为奇数时，此时，一定有m 和k 使上式一定成立．∴当p 为奇数时，命题都成立．【解析】（1）把a n 的通项公式代入a m +a m+1=a k ，整理可得k 和m 的关系式，结果为分数，根据m 、k ∈N ，可知k-2m 也应该为整数，进而可判定不存在n 、k ∈N *，使等式成立．（2）利用特殊值法，令m=1，则可知b 1•b 2=b k ，把等比数列的通项公式代入整理可得a=q c ，其中c 是大于等于-2的整数；反之a=q c 时，其中c 是大于等于-2的整数，则b n =q n+c ，代入b m •b m+1中整理得b m •b m+1=b k ，进而可判断a 、q满足的充要条件是a=q c，其中c是大于等于-2的整数（3）设b m+1+b m+2+…+b m+p=a k，先看当p为偶数时等式左边为偶数，右边为奇数，等式不可能成立；再看当p=1时，等式成立，当p≥3且为奇数时，根据b m+1+b m+2+…+b m+p=a k，整理可得3m+1（3p-1）=4k+2，进而可知3m+1[2（C p2+C p2•22++C p p•2p-2）+p]=2k+1，此时，一定有m和k使上式一定成立．综合可知当p为奇数时，命题都成立．本题主要考查了等比数列和等差数列的性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．。
上海市延安中学2018-2019学年高三上学期期中数学试卷及解析
上海市延安中学2018-2019学年高三上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.下列函数中,在区间)0+∞，上为增函数的是（ ） A.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.1y x x=+C.()ln 2y x =+D.12y x -=2.在△ABC 中,“cos cos sin sin A B A B ＞”是“△ABC 是钝角三角形”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列命题正确的是（ ） A.若30a ＞，则20180a ＞ B.若40a ＞，则20190a ＞ C.若30a ＞，则20190S ＞D.若40a ＞，则20200S ＞4.若函数()f x 满足：对于任意的,,a b c ∈R ，()()(),,f a f b f c 都可成为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数2()21+=+x x t f x 是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ） A.[)0,+∞B.[]0,1C.[]1,2D.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）5.已知集合}{}2|03B x x =，＜＜，则AB =_______.6.若tan 2α=，则sin 2α= .7.函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若127S π=，则()67cos a a +=________.9.幂函数()f x的图像过点2⎛ ⎝⎭，则()14f -=______. 10.已知：sin (α+β)=12，sin (α−β)=13，则tanα:tanβ=________.11.设△ABC 中,a b c 、、分别为内角、AB 、C 的对边,sin sin ab B C ==，△ABC 的面积为则边b 的长为__________.12.已知数列{}n a 中,12512n n n n a n -⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩，为奇数，，为偶数则()122lim n n a a a →∞++⋯+=______. 13.已知数列{}n a 中,132a =，前n 项和为n S ，且满足()*123n n a S n N ++=∈，则满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和是___________. 14.如图,扇环ABCD 的两条弧长分别为1l 和()212l l l ＞，扇环的两条边AD 和BC 的长都是d ,则此扇环的面积为________(用12l l 、和d 表示).15.已知数列{}n a 的通项公式为2n a an n =+，若满足1234a a a a ＜＜＜，且当8n ≥时,1n n a a +≥恒成立,则实数a 的取值范围是_________.16.已如函数())20182018log 20182xx f x x -=--+，则关于x 的不等式()()264f x f x -+＞的解集为____________.三、解答题（题型注释）17.已知()15cos cos 2313αβααβ+=-=-，，、均为锐角. (1)求sin α的值； (2)求()cos αβ-的值.18.已知函数()211221log log 28.2f x x a x x ⎛⎫⎡⎤=-+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，(1)若1a =,求函数()f x 的值域；(2)若关于x 的方程()0f x a +=有解,求实数a 的取值范围. 19.如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，C 3A =千米，C 4B =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是C A B ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地.（1）求1t 与()1f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上得最大值是否超过3？说明理由.20.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足:()()2*1141.n n a S a n N ==+∈，(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()*11n nn n n a a b n N a a ++=+∈，求()12lim 2n n b b b n →∞++⋯+-的值； (3)是否存在大于2的正整数m k 、，使得12300m m m m k a a a a ++++++⋯+=?若存在,求出所有符合条件的m k 、；若不存在,请说明理由.21.定义区间()[)(][]c d c d c d c d ，、，、，、，的长度均为d c -,其中.d c ＞ (1)若函数21xy =-的定义域为[]a b ，，值域为102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，写出区间长度[]a b ，的最大值；(2)若关于x 的不等式组()22711log log 32x x tx t ⎧⎪+⎨⎪++⎩＞＜的解集构成的各区间长度和为6,求实数t的取值范围；(3)已知m n R ∈，，求证:关于x 的不等式223x m x n+--＞的解集构成的各区间的长度和为定值.参考答案1.C【解析】1.对四个选项逐一分析，由此确定正确选项.对于A 选项，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，不符合题意. 对于B 选项，1y x x=+在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，不符合题意. 对于C 选项，()ln 2y x =+在()2,-+∞上递增，故在区间()0+∞，上为增函数，符合题意.对于D 选项，12y x -=在区间()0+∞，上为减函数，不符合题意. 故选：C. 2.B【解析】2.将两个条件相互推导，根据能否推导的情况确定充分、必要条件.当“cos cos sin sin A B A B ＞”时，()cos cos sin sin cos 0A B A B A B -=+>，所以()cos cos 0C A B =-+<，所以ABC ∆是钝角三角形.当“ABC ∆是钝角三角形”时，有若C 为钝角时，则()()cos cos cos cos sin sin 0C A B A B A B =-+=--<，所以cos cos sin sin A B A B >.当B 为钝角时，cos 0,cos 0,sin 0,sin 0B A A B <>>>，所以cos cos sin sin A B A B <. 当A 为钝角时，cos 0,cos 0,sin 0,sin 0A B A B <>>>，所以cos cos sin sin A B A B <. 所以当“ABC ∆是钝角三角形”时，不能推出“cos cos sin sin A B A B >”. 故“cos cos sin sin A B A B ＞”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件. 故选：B. 3.C【解析】3.根据等比数列通项公式、前n 项和公式，对选项逐一分析，由此判断出正确选项.对于A 和C 选项， 2310a a q =>，则10a >，0q ≠.201520183a a q =⋅，由于q 的符号无法确定，故2018a 无法确定符号，A 选项错误.20192019111q S a q -=⋅-，由于2019110,01q a q->>-，所以20190S >，C 选项正确. 对于B 和D 选项，3410a a q =>，则1a 和q 同号（可能同时为正，或者同时为负）201520194a a q =⋅，其中40a >，而q 的符号无法确定，故B 选项错误.20192020111q S a q -=⋅-，其中2019101q q->-，而1a 的符号无法确定，故D 选项错误. 故选：C. 4.D【解析】4.先由题意得到()()()+>f a f b f c 对任意的,,a b c ∈R ，都恒成立，将函数()f x 解析式变形，得到1()121-=++x t f x ，分别讨论1t =，1t >，1t <三种情况，根据函数单调性求出函数值域，进而可求出结果.由题意可得：()()()+>f a f b f c 对任意的,,a b c ∈R ，都恒成立，因为21()12121+-==+++x x x t t f x ， 当1t =时，()1f x =，此时()()(),,f a f b f c 都为1，能构成一个等边三角形，满足题意； 当1t >时，1()121-=++x t f x 在R上是减函数，所以11()11121-<=+<+-=+x t f x t t ， 即()()()(),,1,∈f a f b f c t ，由()()()+>f a f b f c 恒成立，得2t ≤，所以12t <≤； 当1t <时，1()121-=++x t f x 在R上是增函数，所以1()1121-<=+<+x t t f x ， 即()()()(),,,1∈f a f b f c t ，由()()()+>f a f b f c 恒成立，得21≥t ，解得12t ≥；所以112t ≤<； 综上，122t ≤≤. 故选：D 5.{}1,2【解析】5.根据交集的知识，求得两个集合的交集. 交集是两个集合的公共元素，故{}1,2A B =.故答案为：{}1,2. 6.45【解析】6.sin 2α.7.()()3,44,⋃+∞【解析】7.根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域. 依题意有3031x x ->⎧⎨-≠⎩，解得()()3,44,x ∈⋃+∞.故答案为：()()3,44,⋃+∞8.【解析】8.根据等差数列前n 项和公式，求得67a a +的值，进而求得()67cos a a +的值. 依题意()11212671267π2a a S a a +=⨯=+=，所以677π6a a +=，所以()67cos a a +=ππcos πcos 66⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭.故答案为： 9.116【解析】9.求得幂函数()f x 的表达式，令()4f x =求得()14f-的值.设幂函数()f x x α=，将2⎛ ⎝⎭代入得22α=，所以12α=-，即()12f x x -=.()4f x =，所以124x -=，解得116x =，根据反函数的性质知()11416f -=.故答案为：116. 10.5【解析】10. 因为sin (α+β)=12，sin (α−β)=13，所以sinαcosβ+cosαsinβ=12,sinαcosβ−cosαsinβ=13,因此sinαcosβ=512,cosαsinβ=112,即tanαtanβ=sinαcosβcosαsinβ=5.11.【解析】11.由正弦定理得到b c =，利用三角形面积公式求得sin C ，由此求得,,C B A 的大小，利用余弦定理解方程，解方程求得a 的值.由正弦定理得b c =，由三角形面积公式得1sin 2ab C =，而ab =1sin sin 2C B ==，所以π6B C ==，2π3A =.由余弦定理得，222cos 2b c a A bc+-=，即22222221211,3222b a a a b b b --==-⋅=，223ab ，3a b ，代入ab =2260,b b ===故答案为：12.14-【解析】12.利用分组求和法求得122n a a a ++⋯+的表达式，进而求得其极限值. 依题意1321,,,n a a a -是首项为25，公比为125的等比数列；242,,,n a a a 是首项为12-，公比为14的等比数列.故122n a a a ++⋯+()()1321242n n a a a a a a -=+++++++211111525241111254n n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--，所以()122lim n n a a a →∞++⋯+=21521111254=---14=- 故答案为：14-. 13.12【解析】13.利用递推关系式求得{}n S 的通项公式，有2348337n n S S ＜＜，化简后求得所有n 的可能取值，进而求得满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和. 由()*123n n a S n N++=∈得()123n n n S S S +-+=，即()11332n n S S +-=-，所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-，公比为12的等比数列，故31322nn S -=-⋅，所以332n n S =-，所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<，化简得1113327n <<，故3,4,5n =.满足2348337n nS S ＜＜所有正整数n 的和为34512++=. 故答案为：12 14.()122l l d +⋅【解析】14.根据扇环的面积公式，求得扇环的面积. 根据扇环的面积公式可知，扇环的面积为()122l l d +⋅.下面证明扇环公式：设,OA OB x AOB α==∠=，则21l lx x dα==+，所以()12,l x d l x αα=+=，12l l d α-=.扇环的面积等于AOB DOC S S -扇形扇形()121122l x d l x =+-12121122l l l l αα=⋅-⋅()()1212121122l l l l l l d α-=⋅+⋅=⋅+⋅. 故答案为：()122l l d +⋅15.11717a -<<-【解析】15.根据二次函数的性质结合数列{}n a 的单调性列不等式，解不等式求得a 的取值范围.依题意可知2n a an n =+是二次函数类型，且开口向下，即0a <，对称轴12x a=-.由于{}n a 满足1234a a a a ＜＜＜,且当8n ≥时,1n n a a +≥恒成立，所以7117222a <-<，解得11717a -<<-. 故答案为：11717a -<<-. 16.{|3x x <-或}2x >【解析】16.首先证得()()4f x f x +-=，判断出()f x 单调性后化简不等式()()264f x f x -+>，解一元二次不等式求得原不等式的解集.0x x x >-≥0x >恒成立，所以函数()f x 的定义域为R .由于())20182018log 20182xx f x x --=--+20182018log 20182xx -=--+)20182018log 20182x xx -=+-+所以()()4f x f x +-=.由于())20182018log 220181xxf x x =-++为增函数，所以有()()264f x f x -+>得()()()264f x f x f x ->-=-，则26x x ->-，即()()26320x x x x +-=+->，解得3x <-或2x >.故答案为：{|3x x <-或}2x >17.（1）sin 13α=；（2）539+.【解析】17.首先根据,αβ的大小，求得()sin ,sin 2αβα+的值. （1）利用cos2α的二倍角公式，求得sin α的值.（2）利用()()cos cos 2αβααβ⎡⎤-=-+⎣⎦，求得()cos αβ-的值. 由于,αβ为锐角，所以0π,02παβα<+<<<，所以()sin αβ+==，12sin 213α==.（1）由二倍角公式得25cos 212sin 13αα=-=-，29sin 13α=，由于sin 0α>，所以sin 13α=. （2）由()()cos cos 2αβααβ⎡⎤-=-+⎣⎦()()cos2cos sin 2sin ααβααβ=+++5112513331339+⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18.（1）7,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）(,2⎤-∞-⎦【解析】18.（1）利用配方法，结合二次函数的性质，求得()f x 的值域.（2）化简方程()0f x a +=，分离常数a ，根据方程()0f x a +=有解，求得a 的取值范围.（1）当1a =时，()()2222217log log 2log 24f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，由于182x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以[]2log 1,3x ∈-，所以当21log ,22x x =-=时，()f x 有最小值为74；当2log 3,8x x ==时，()f x 有最大值为14.故()f x 的值域为7,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）原函数可化为()()2221log log 28.2f x x a x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，，所以[]2log 1,3x ∈-.依题意关于x 的方程()0f x a +=有解，即()222log log 20x a x a +++=①，在182x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时有实数根. 当21log 1,2x x =-=时，①化为1230a a -++=≠，所以12x =不是①的根. 当1,82x ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，(](]22log 1,3,log 10,4x x ∈-+∈，①可化为()()222log 1log 2a x x +=--，()()()2222222log 2log 12log 13log 1log 1x x x a x x ++-++=-=-++()223log 12log 1x x ⎡⎤=-+++⎢⎥+⎣⎦②.其中()223log 1log 1x x ++≥=+223log 1log 1x x +=+，即1182x ⎡⎥=⎤∈⎢⎣⎦，时，等号成立.所以②式可化为2a ≤-. 所以a 的取值范围是(,2⎤-∞-⎦.19.（1）138t =，()13418f t =（2），不超过3.【解析】19. 解：（1）138t =． 记乙到C 时甲所在地为D ，则15D 8A =千米． 在CD ∆A 中，222CD C D 2C Dcos =A +A -A ⋅A A ， 所以()1CD f t ==. （2）甲到达B 用时1小时；乙到达C 用时38小时，从A 到B 总用时78小时．当13788t t =≤≤时， ()f t == 当718t ≤≤时，()55f t t =-. 所以.因为()f t 在37,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是，()f t 在7,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是7588f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f t 在3,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是3418，不超过3. 20.（1）21n a n =-；（2）2；（3）存在，523k m =⎧⎨=⎩或911k m =⎧⎨=⎩【解析】20. （1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得122n b b b n ++⋯+-，进而求得()12lim 2n n b b b n →∞++⋯+-的值. （3）首先假设存在符合题意的,m k ，根据已知条件列方程组，解方程组求得,m k 的值. （1）由()241n n S a =+得()21141n n S a ++=+，两式相减并化简得()()1120n n n n a a a a +++--=，由于0n a >，所以12n n a a +--，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n =-.（2）由（1）得112121112221212121n n n n n a a n n b a a n n n n +++-⎛⎫=+=+=+- ⎪-+-+⎝⎭，所以 122n b b b n ++⋯+-1112212331121521n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦--+ 12121n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以()12lim 2n n b b b n →∞++⋯+-2=. （3）存在大于2的正整数m k 、，使得12300m m m m k a a a a ++++++⋯+=.理由如下： 假设存在大于2的正整数m k 、，使得12300m m m m k a a a a ++++++⋯+=，由（1）得()()12211300m m m m k a a a a m k k ++++++⋯+=+-+=.由于正整数,m k 均大于2，故2114m k k +->+≥，且21m k +-和1k +的奇偶性相同.由22300235=⨯⨯得 21232125k m k +=⨯⎧⎨+-=⨯⎩或12521235k m k +=⨯⎧⎨+-=⨯⨯⎩，解得523k m =⎧⎨=⎩或911k m =⎧⎨=⎩.因此存在大于2的正整数m k 、，使得12300m m m m k a a a a ++++++⋯+=. 21.（1）2log 3；（2）227t ≤；（3）定值为43，证明见解析.【解析】21.（1）令210xy =-=求得函数的零点，令1212xy =-=，求得定义域区间长度最大时,a b 的值.（2）先求得不等式711x >+的解集A ，设不等式()22log log 32x tx t ++<的解集为B ，根据AB 的长度为6列不等式组，由此求得t 的取值范围.（3）将原不等式223x m x n+>--转化为分式不等式的形式，结合高次不等式的解法，求得不等式的解集，进而求得不等式解集构成的各区间的长度和为定值43.（1）令210xy =-=，解得0x =，此时0y =为函数的最小值.令1212xy =-=，解得11x =-，223log 2x =.故定义域区间长度最大时231,log 2a b =-=，故区间[],a b 的长度为223log 1log 32b a -=+=.（2）由711x >+得601x x -+>+，解得16x -<<，记()1,6A =-.设不等式()22log log 32x tx t ++<的解集为B ，不等式组()22711log log 32x x tx t ⎧⎪+⎨⎪++⎩＞＜的解集为A B .设不等式()22log log 32x tx t ++<等价于()2030340x t x t tx >⎧⎪+>⎨⎪+-<⎩，所以()0,B ⊆+∞，()0,6A B ⋂⊆，由于不等式组的解集的个区间长度和为6，所以不等式组()230340t x t tx ⎧+>⎨+-<⎩，当()0,6x ∈是恒成立. 当()0,6x ∈时，不等式()30t x +>恒成立，得0t >. 当()0,6x ∈时，不等式2340t tx +-<恒成立，分离常数得243t x x<+恒成立. 当()0,6x ∈时，23y x x =+为单调递增函数，所以()230,54y x x =+∈，所以244327x x >+，所以实数227t ≤.（3）原不等式223x m x n+>--可化为 ()()()()233342230x m n x m n mn x m x n -+++++<--①.令()()()23334223g x x m n x m n mn =-+++++，其判别式()()233412223m n m n mn ∆=++-++()29160m n =-+>，所以()0g x =有两个不相等的实数根12,x x ，设12x x <，则()()()123g x x x x x =--，根据求根公式可求得2143x x -==.而()()2g m n m =-，()()2g n m n =-. i)当m n =时，不等式①等价于()()1230x x x x --<，解得12x x x <<，即不等式①的解集为()12,x x ，区间长度为2143x x -=. ii)当m n ≠时，不妨设m n <，则()()20g m n m =->，()()20g n m n =-<，所以12m x n x <<<.此时不等式①即()()()()1230x x x x x m x n --<--，解得1m x x <<或2n x x <<，即不等式①的解集为()()12,,m x n x ⋃，区间的长度为()1212x m x n x x m n -+-=+-+()334433m n m n ++=-+=.综上所述，关于x 的不等式223x m x n+--＞的解集构成的各区间的长度和为定值43.。
上海市延安中学2018-2019学年高三上期中考试数学试题
延安中学2018-2019学年度第一学期高三年级考试数学期中试卷一、填空题(1-6每小题4分,7-12每小题5分,共54分)1.已知集合{}{}，＜＜，，，，30|2101x x B A =-=则=B A _______. 2.已知，2tan =α则=α2sin _______.3.函数()()3log 12-=x x f 的定义域为_________. 4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为，n S 若π，712=S 则()=+76cos a a ________. 5.幂函数()x f 的图像过点，，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222则()=-41f ______. 6.已知()()，，31sin 21sin =-=+βαβα则=βαtan tan ________. 7.设△ABC 中,c b a 、、分别为内角、AB 、C 的对边,，，C B ab sin sin 360==△ABC 的面积为315,则边b 的长为__________.8.已知数列{}n a 中,，为偶数，为奇数，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n n a n n n 12152则()=+⋯++∞→n n a a a 221lim ______. 9.已知数列{}n a 中,，231=a 前n 项和为，n S 且满足()，*132N n S a n n ∈=++则满足 7833342＜＜n n S S 所有正整数n 的和是___________. 10.如图,扇环ABCD 的两条弧长分别为1l 和()，＞212l l l ,扇环的两条边AD 和BC的长都是d ,则此扇环的面积为________(用21l l 、和d 表示)。
11.已知数列{}n a 的通项公式为，n an a n +=2若满足，＜＜＜4321a a a a ,且当8≥n 时, 1+≥n n a a 恒成立,则实数a 的取值范围是_________.12.已如函数()，220181log 201822018+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-x x x x x f 则关于x 的不等式 ()()462＞x f x f +-的解集为____________.三、选择题(每小题5分,共20分)13.下列函数中,在区间()∞+，0上为增函数的是 A.x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 B.x x y 1+= C.()2ln +=x y D.21-=x y 14.在△ABC 中,“B A B A sin sin cos cos ＞”是“△ABC 是钝角三角形”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列命题正确的是A 若，＞03a 则02018＞a B.若，＞04a 则02019＞aC.若，＞03a 则02019＞SD.若，＞04a 则02020＞S16.对于函数()x f ,若对任意()()()c f b f a f R c b a 、、，，，∈为某三角形的三条边长,则称()x f 为“可构造三角形函数”,已知()122++=x x t x f “可构造三角形函数”,则实数a 的取值范围是 A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡221， B.[]21， C.[]10， D.[]∞+，0三、解答题(共76分)17.(第1小题6分,第2小题8分,共14分)已知()βααβα、，，1352cos 31cos -=-=+均为锐角。
2018-2019学年上海市延安中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市延安中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．如果,,x y R ∈那么""xy o >是""x y x y +=+成立的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【考点】充要条件．分析：由已知中x ，y ∈R ，根据绝对值的性质，分别讨论“xy ＞0”⇒“|x+y|=|x|+|y|”，与“|x+y|=|x|+|y|”⇒“xy ＞0”，的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到答案． 解答：解：若“xy ＞0”，则x ，y 同号，则“|x+y|=|x|+|y|”成立即“xy ＞0”是“|x+y|=|x|+|y|”成立的充分条件但“|x+y|=|x|+|y|”成立时，x ，y 不异号，“xy≥0”，“xy ＞0”不一定成立， 即“xy ＞0”是“|x+y|=|x|+|y|”成立的不必要条件即“xy ＞0”是“|x+y|=|x|+|y|”成立的充分不必要条件故选A点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的性质，判断“xy ＞0”⇒“|x+y|=|x|+|y|”，与“|x+y|=|x|+|y|”⇒“xy ＞0”的真假，是解答本题的关键． 2．若1a b >>,全集{},|,2a b U R M x b x N x a +⎧⎫==<<=<<⎨⎬⎩⎭,{P x b x =<≤，则（ ）A ．U P M C N =IB ．U PC M N =I C ．P M N =UD ．P M N =⋂ 【答案】A【解析】题目给出了1a b >>,且题中含有2a b +,可利用均值不等式求解.1a b >>根据均值不等可得2a b a b +>>>,结合交集与补集的定义即可得出答案.【详解】 1a b >>Q,22a b a b a b ++∴>>>2a b a b +∴>>>Q {}N x a =<< 则:{}C =R N x x x a ≤≥ (){}{C |==2R a b M N x b x x x x a x b x P +⎧⎫∴⋂=<<⋂≤≥<≤⎨⎬⎩⎭ ()C R P M N ∴=⋂故选:A.【点睛】本题考查了集合之间的基本运算以及基本不等式的知识,解答本题的关键在于明确基本不等式的内容.3．下列函数中，既不是奇函数，又不是偶函数，并且在(),0-∞上是增函数的是（ ）A ．221y x x =--+B ．5y x =C ．21y x =-+D ．53y x =+【答案】D【解析】根据奇函数满足()()f x f x -=-,偶函数满足()()f x f x -=.逐个选项判断其奇偶性和单调性即可得出答案.【详解】对于A,函数为二次函数221y x x =--+,图像为抛物线,开口向下,对称轴为:1x =- ∴函数在(,1)-∞-单调递增,在(1,)-+∞单调递减,故A 不正确;对于B,函数的定义域为R ,定义域关于原点对称,令()5f x x =,满足()()f x f x -=-,函数为奇函数,故B 不正确;对于C,函数的定义域为R ,定义域原点对称,令2()1f x x =-+ 2()()1()f x x f x ∴-=--+=,所以2()1f x x =-+为偶函数,故C 不正确; 对于D,函数的定义域为R ,定义域关于原点对称,令()53f x x =+∴ ()()f x f x -≠±函数为非奇非偶函数,且在R 上是单调递增,满足题意,故D 正确. 故选:D.【点睛】本题考查奇偶性的判断,考查了函数的单调性,属于基础题.4．已知2211()f x x x x-=+，则()1f x +等于（ ） A ．221(1)(1)x x +++ B ．2211()1()x x x x -+- C ．2(1)2x ++D ．2(1)2x +- 【答案】C【解析】把2211()f x x x x -=+等价转化211()()2f x x x x -=-+ 即可求得()f x 进而求得()1f x +.【详解】 Q 211()()2f x x xx -=-+ 设1t x x=- ∴ 2()=2f t t +∴2(1)(1)2f x x +=++.故选:C.【点睛】本题主要考查函数解析式求解.求解函数解析式常用方法有代入法,换元法以及构造方程组法.二、填空题5．用描述法表示被7除余2的正整数的集合为__________【答案】{|72,}x x n n =+∈N【解析】设被7除余2的正整数为x ,即72x n =+,用描述法写成集合形式,即可得到答案.【详解】设该数为x ,则该数x 满足72x n =+,n N ∈∴所求的正整数集合为{|72,}x x n n =+∈N故答案为:{|72,}x x n n =+∈N .【点睛】本题考查了用描述法表示集合,掌握集合的表示方法是解题关键.6．函数()f x x=的定义域为__________ 【答案】[1,0)(0,2]-⋃【解析】根据偶次根式下被开方数非负,分数分母不为零,列出关于x 的不等式组,即可求出函数()f x 的定义域.【详解】由题意可得:2200x x x ⎧-++≥⎨≠⎩所以函数的定义域为:12x -剟且0x ≠ 即:[1,0)(0,2]-⋃故答案为: [1,0)(0,2]-⋃【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解,要求能够熟练掌握常见函数成立条件.7．若函数2()f x x =,4()g x x =，则()()f x g x ⋅=_____________ 【答案】4x (0x ≠)【解析】将函数24(),()f x x g x x==，代入()()⋅f x g x 即可求得答案. 【详解】 Q 函数24(),()f x x g x x== ∴ ()()244=f x g x x x x⋅=⋅,(0x ≠) 故答案为:4x (0x ≠).【点睛】本题考查了求解函数表达式,能够理解函数的概念是解题关键.8．函数()20y x x x=+>的单调递增区间为______________【答案】)+∞【解析】解法一: 根据函数单调性的定义,先任取1212,0,x x D x x ∈>>,能保证120y y ->的区间D ,即为函数()20y x x x=+>的单调递增区间;解法二:求函数的导数,利用函数的导数大于零,则函数递增,即可求得函数()20y x x x=+>的单调递增区间. 【详解】解法一:设()20y x x x=+>的单调增区间为D ,任取1212,0,x x D x x ∈>> Q ()()211212121212222()x x y y x x x x x x x x --=-+-=-+ ()()()121212121222(1)0x x x x x x x x x x -=--=-⋅> ∴120x x >>所以1220x x ->,即122x x >∴12,x x D ∈在区间上具有任意性,故:{|D x x =≥ 则函数2y x x=+的单调递增区间为)+∞. 解法二:由题函数()20y x x x =+>,故22()1f x x '=- 令22()10f x x'=->,解得:x >x <x ∴<(舍去)函数()f x的单调递增区间为)+∞故答案为:)+∞.【点睛】本题考查了求函数单调区间.求函数单调区间既可以用函数单调性定义法判断,也可以采用导数知识求解.9．已知四边形ABCD 为正方形，则其面积y 关于周长x 的函数解析式为_________ 【答案】216x y = 【解析】正方形的周长x ,则边长为4x ,即可求得的面积y 关于周长x 的函数解析式. 【详解】 Q 正方形的周长为x ,则正方形的边长为4x (0x >) ∴正方形的面积为:216x y =故答案为: 216x y =(0x >) .【点睛】本题考查了实际问题中的求解函数关系式,能够通过周长求得正方形边长,是求出面积关于周长解析式的关键.10．不等式2311x x -≤+的解集为__________ 【答案】{}14x x -<≤或写成(1,4]-【解析】把原不等式右边的1移项到左边,通分后变成401x x -≤+,不等式可化为两个不等式组,分别求出两不等式组的解集,两解集的并集即为原不等式的解集.【详解】2311x x -≤+Q 即23101x x --≤+ 401x x -∴≤+ 可化为:4010x x -≤⎧⎨+>⎩ ┄①或4010x x -≥⎧⎨+<⎩┄②解①得:14x -<≤解②得:无解. 故不等式2311x x -≤+的解集为:{}14x x -<≤. 故答案为:{}14x x -<≤或写成:(1,4]-【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解,属于基础试题.11．已知集合{}32A x x =-<≤，集合{}15B x x x =≤->或，则A B =U _________【答案】]((),25,-∞⋃+∞【解析】根据集合的并集定义,即可求得A B U .【详解】 Q (]{|32}3,2A x x =-<≤=-{}15(,1]B x x x =≤->=-∞-或()5+⋃∞，∴ ]((),25,A B ⋃=-∞⋃+∞故答案为: ]((),25,-∞⋃+∞.【点睛】本题考查了集合的并集运算,掌握并集的概念是解本题关键.12．已知集合{}10,A x ax x R =+=∈，集合{}2280B x x x =--=，若A B ⊆,则a 所有可能取值构成的集合为______________ 【答案】11{0,,}24-【解析】先化简集合B ,利用A B ⊆,分类讨论=0a 和0a ≠,即可求出构成a 的集合.【详解】 由{}2280B x x x =--=可得:2280x x --= 即:()()240x x +-=解得2x =-或4x = 故:{}2,4B =- Q {}10,A x ax x R =+=∈由10ax += 可得:1ax =-当0a =时,方程1ax =-无实数解,此时A =∅,满足A B ⊆当0a ≠时,方程1ax =-的实数解为1x a =-,故:1{}A a=- 由A B ⊆可得:12a -=-或14a-= 解得12a =或14a =- a 的所有取值构成的集合为:11{0,,}24-. 故答案为:11{0,,}24-. 【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系以及一元二次方程的解法,要注意集合A 是集合B 的子集时,集合A 有可能是空集.13．已知函数()f x 是偶函数，且当0x >时，()()1f x x x =-，则当0x <时，该函数的解析式为()f x =__________【答案】()1x x -+【解析】设0x <,则0x ->,当0x >时,()()1f x x x =-于是可求得()f x -,再利用偶函数()()=f x f x -的性质,即可求得0x <函数的解析式.【详解】设0x <,则0x ->()()1f x x x -=-+∴根据偶函数()()=f x f x -()()()1f x f x x x ∴=-=-+ () 0x <故答案为:()1x x -+.【点睛】已知函数的奇偶性求解析式,将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出()f x 的解析式.14．已知命题α的逆命题为：“已知,x y R ∈，若1,2x y >>则3x y +>”，则a 的逆否命题为__________命题（填“真”或“假”）【答案】假【解析】根据命题α的逆命题,写的其原命题.根据原命题和逆否命题真假相同,即可得出α逆否命题真假.【详解】Q 命题α的逆命题为：“已知,x y R ∈，若1,2x y >>，则3x y +>”∴ 命题α的原命题为：“已知,x y R ∈，若3x y +>，则1,2x y >>”当5x =-,10y =满足3x y +>,但不满足1,2x y >>命题α的原命题为假命题.Q 根据原命题和逆否命题真假相同∴ α的逆否命题为:假.故答案为:假.【点睛】本题主要考查四个命题之间的关系与真假命题的判断,掌握原命题和逆否命题真假相同是解本题关键.15．已知集合{}{}2,211,230U R A x x B x x x ==-<=--<，则U C A B =I __________【答案】(1,0][1,3)-U【解析】化简集合,A B ,求出U C A ,即可求解U C A B ⋂.【详解】,{||21|1}(0,1)U R A x x ==-<={}2|230(1,3)B x x x =--<=-(,0][1,)U C A ∴=-∞⋃+∞(1,0][1,3)U C A B ∴⋂=-⋃故答案为:(1,0][1,3)-U .【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算,掌握集合运算基本知识是解题关键.16．当0,0a b c d >><<时，给出以下结论：（1）ad bc <；（2）22a c b d +>+；（3）()()a b c b d a ->-,其中恒成立的序号为_______________【答案】（1）（2）【解析】由0,0a b c d >><<,根据不等式的基本性质,逐项检验即可得出答案.【详解】对于（1）项,由0,0a b c d >><<,得0ad <,0bc >,则ad bc <,故（1）项正确; 对于（2）项,由0,0a b c d >><<,得22c d >,则22a c b d +>+,故（2）项正确; 对于（3）项,令1,3,2,1a b c d ==-=-=-,满足0,0a b c d >><<则()1a b c -=-,()6b d a -= 可得:()()a b c b d a -<- 故（3）项错误.所以恒成立的序号为:（1）（2）.故答案为:（1）（2）.【点睛】本题考查了不等式的基本性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.17．已知1x >，则431x x x +-的最小值为_____________【答案】7【解析】根据1x >,可得10x ->,然后把431x x x +-整理成43(1)+71x x -+-,进而利用均值不等式求其最小值.【详解】 Q 44(1)443=3(1)+3=3(1)+7111x x x x x x x x -++-+-+--- 1x >Q 43(1)0,01x x ∴->>-43(1)7771x x ∴-++≥=-(当且仅当43(1)1x x -=-,即13x =+)∴ 431x x x +-的最小值为:7.故答案为: 7.【点睛】本题考查均值不等式,构造出均值不等式的形式是解题的关键,但要注意均值不等式成立条件.18．设数集{}31,,0143M x m x m N x n x n P x x ⎧⎫⎧⎫=≤≤+=-≤≤=≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，且,M P N P ⊆⊆，如果把b a -叫做集合{}x a x b ≤≤的长度，那么集合M N ⋂的长度的最小值与最大值的和为____________ 【答案】512【解析】根据题意中集合长度的定义,可得M 的长度为34,N 的长度为13.当集合M N ⋂的长度为最小值时,即重合部分最少时,M 与N 应分别在区间[]0,1的左右两端,当集合M N ⋂的长度为最大值时,即重合部分最多时,M 与N 应分别在区间[]0,1的中间,进而得出答案.【详解】 Q 34M x m x m ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭,13N x n x n ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭,{}01P x x =≤≤ 又Q ,M P N P ⊆⊆∴M 的长度为34,N 的长度为13.Q 当M N ⋂的长度为最小值,M 与N 分别在区间[]0,1的左右两端 ∴M N ⋂长度的最小值为31114312+-= 又Q M N ⋂长度的最大值为:13则M N ⋂的长度的最小值与最大值的和为:11512312+= 故答案为:512. 【点睛】本题主要考查集合新定义,能够理解所定义的集合的长度和结合数轴求解是解题关键. 19．已知集合(){}22330,,A x x a x a a R x R =+--=∈∈，集合(){}22330,,B x x a x a a a R x R =+-+-=∈∈，若,A B A B ≠⋂≠∅，则A B =U _______【答案】{2,3,1}--【解析】设公共根是b ,代入两方程,作差可得b a =,即公共根就是a ,进一步代入原方程求解两集合,即可得出答案.【详解】Q A B ⋂≠∅∴两个方程有公共根设公共根为b∴2(23)30b a b a +--=,22(3)30b a b a a +-+-=两式相减得:20ab a -=,即()0a b a -=.①若0a =,则两个方程都是230x x -=,与A B ≠矛盾;②0,a ≠则b a =,∴公共根为a ,代入2(23)30x a x a +--=得:2(23)30a a a a +--= 即220a a -=,解得:0a =(舍),2a ={}2|60{3,2}A x x x ∴=+-==- {}2|20{1,2}B x x x =--==-{2,3,1}A B ∴⋃=--故答案为:{2,3,1}--【点睛】本题考查了集合并集运算,能够通过,A B A B ≠⋂≠∅解读出两个集合中的方程有公共根,是解题的关键.三、解答题20．已知集合{}{}23,4,31,2,3A a a B a =--=-，{}3A B =-I ，求实数a 的值. 【答案】1【解析】由{}3A B ⋂=-，则可得2313a a --=-，计算出结果，进行验证【详解】由题意得2313a a --=- ，解得1a =或2a =，当1a =时，{}{}3,4,3,2,3A B =-=-，满足要求；当2a =时，{}{}3,4,3,4,3A B =-=-，不满足要求，综上得：1a =【点睛】本题考查了集合的交集，由已知条件，代入求出参量的值，注意代回的检验尤为重要。
上海市延安中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
上海市延安中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 从1、2、3、4、5中任取3个不同的数、则这3个数能构成一个三角形三边长的概率为（ ） A.110 B.15 C.310 D.25 2． 函数的定义域为（ ）ABC D3． 满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）A.()||x f e x =B.2()x x f e e =C.2(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力. 4． 执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为（ ） A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．5．某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ） A ．80＋20π B ．40＋20π C ．60＋10π D ．80＋10π6． 已知1cos()62πα-=，则cos cos()3παα+-=（ ）A ．12B ．12±C ．2D ．2±7． 已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{|||3,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{2,1,0}--B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0}--D ．{1,,0,1}- 【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．8． 已知是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==-”是“2()2a bi i +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件9． 设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 10．已知平面向量(12)=，a ，(32)=-，b ，若k +a b 与a 垂直，则实数k 值为（ ） A ．15- B ．119 C ．11 D ．19【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力． 11．执行右面的程序框图，如果输入的[1,1]t ∈-，则输出的S 属于（ ）A.[0,2]e -B. (,2]e -?C.[0,5]D.[3,5]e -【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用． 12．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺， 末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ） A ．33% B ．49% C ．62% D ．88%二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A ．5-BC ．6- D【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．14．已知实数x ，y 满足2330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数3z x y a =++的最大值为4，则a =______．【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 15．设,则16．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①∃m ，使曲线E 过坐标原点； ②对∀m ，曲线E 与x 轴有三个交点；③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；④若P 、M 、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为＋4;⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m 。