《勾股定理》PPT课件
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a b
b c
a a c b a b c a
b c
a c b c b a
b
a
因为
2 ， S1 S 2 （a b）
2 2
1 1 而 S1 a b 4 ab ， S 2 c 2 4 ab ， 2 2
所以
1 1 2 a b 4 ab c 4 ab. 2 2
2 2
即
a 2 b2 c2 .
方法二：
a b c a
b c
a c b c b a
1 2 S正 （a b) 4 ab c ， 2
2
化简得：
a b c
2 2
2
方法三：
c
b-a
c b
a
c
c
1 2 S正 c 4 ab (b a) ， 2
2
化简得：
a b c
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
则 a b c
2 2
2
议一议：判断下列说法是否正确,并说明理由：
(1)在△ABC中,若a=3,b=4,则c=5
(2)在Rt△ABC中，如果a=3，b=4,则c=5.
(3)在Rt△ABC中，∠C=90° , 如果a=3，b=4,则c=5.
勾
股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上 半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代 学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较 长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
2、我国数学家刘徽在他的《九章算术注》中给出
的“青朱出入图” ：
朱出 朱方 青入 青入 朱入 青出 青方 青出
证法四：（伽菲尔德证法1876年）
C A B B A
S A S B SC
C
a b c
2 2
2
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么 关系吗？
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么 c 2 2 2 a
a b c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：以等腰直角三角形两条直角边上的正方 形面积之和等于斜边上的正方形的面积
探究活动二：
（1）观察右边 两幅图：
C A B B A
C
（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：
A的面积 左图 右图
4 16
B的面积
9 9
C的面积
？
？
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.
S正方形c
C
1 62 2
（单位面积） 18
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C看成边长为6的 正方形面积的一半
返回
C A B 图1 A B
（2）在图2中，正方 形A，B，C中各含有 多少个小方格？它们 的面积各是多少？
C
图2wk.baidu.com
（3）你能发现图1中 三个正方形A，B，C 的面积之间有什么关 系吗？
已知两直角 边求斜边
?
20
C
15
我国古代两种证法：
1、公元3世纪我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》 作注时给出的“弦图”：
c b a
我国有记载的最早勾股定理的证明，是三国时，我国古 代数学家赵爽在他所著的《勾股方圆图注》中，用四个 全等的直角三角形拼成一个中空的正方形来证明的。每 个直角三角形的面积叫朱实，中间的正方形面积叫黄实， 大正方形面积叫弦实，这个图也叫弦图。２００２年的 国际数学家大会将此图作为大会会徽．
探究活动
分成四人小组，每个小组 课前准备好4个全等的直角三 角形和以直角三角形各边为边 长的3个正方形（如右图）. 运用这些材料（不一定全用），你能另外拼 出一些正方形吗？试试看，你能拼几种.
a b
b c
a a c b
a b c a
b c
a c b
c
c b a
b-a
c b
a
c
b
a
c
图３
图１
图２
方法一：
2 2
2
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 144 ① 169 ②
z
625
576
③
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
１、如图,一个长8 米,宽6 米的草地,需在相对角的 顶点间加一条小路,则小路的长为 ( ) C
A.8 米
B.9 米
C.10米
D.14米
别踩我,我怕疼!
6m
8m
２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直 角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米, 则AB为 ( ) A A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
A
130
?
C
120
B
某楼房在20米高处的楼层失火 ，消防员取来25米长的云梯救 火，已知梯子的底部离墙的距 A 离是15米。问消防队员能否进 入该楼层灭火？
17.1勾股定理
复习提问
1、任意三角形三边满足怎样的关系？ 2、对于等腰三角形，三边之间存在 怎样的特殊关系？等边三角形呢？ 3、对于直角三角形，三边之间存在 怎样的特殊关系？
2002年在北京召开了第24届国际数学家大 会，它是最高水平的全球性数学科学学术 会议，被誉为数学界的“奥运会”，这就 是本届大会会徽的图案。 • 这个图案就是我 国汉代数学家赵 爽在证明勾股定 理时用到的，被 称为“赵爽弦图”
C A B B A
C
“割”
“补”
“拼”
（4）分析填表数据，你发现了什么？
A的面积
左图 右图
B的面积
C的面积
4 16
9 9
13 25
S A S B SC
结论2 以直角三角形两直角边为 边长的小正方形的面积的和，等于以 斜边为边长的正方形的面积.
议一议：
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a、b和 斜边长c来表示图中正方形的面积吗？
探索勾股定理
情景引入
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友 家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面 中反映了直角三角形的某种数量关系。
C A B
探究活动一： （1）观察图1
C A B 图1 A B
正方形A中含有9 个 小方格，即A的面积是 9 个单位面积。
C
正方形B的面积是
9 个单位面积。
正方形C的面积是
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
18 个单位面积。
你是怎样得到C的面积 的？与同伴交流交流。
1
2
3
（2）（3）
C A B 图1 A B
S正方形c
C
1 4 3 3 18 2
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（单位面积）
分割成若干个直角边 为整数的三角形
返回
C A B 图1 A B
b c
a a c b a b c a
b c
a c b c b a
b
a
因为
2 ， S1 S 2 （a b）
2 2
1 1 而 S1 a b 4 ab ， S 2 c 2 4 ab ， 2 2
所以
1 1 2 a b 4 ab c 4 ab. 2 2
2 2
即
a 2 b2 c2 .
方法二：
a b c a
b c
a c b c b a
1 2 S正 （a b) 4 ab c ， 2
2
化简得：
a b c
2 2
2
方法三：
c
b-a
c b
a
c
c
1 2 S正 c 4 ab (b a) ， 2
2
化简得：
a b c
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
则 a b c
2 2
2
议一议：判断下列说法是否正确,并说明理由：
(1)在△ABC中,若a=3,b=4,则c=5
(2)在Rt△ABC中，如果a=3，b=4,则c=5.
(3)在Rt△ABC中，∠C=90° , 如果a=3，b=4,则c=5.
勾
股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上 半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代 学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较 长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
2、我国数学家刘徽在他的《九章算术注》中给出
的“青朱出入图” ：
朱出 朱方 青入 青入 朱入 青出 青方 青出
证法四：（伽菲尔德证法1876年）
C A B B A
S A S B SC
C
a b c
2 2
2
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么 关系吗？
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么 c 2 2 2 a
a b c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：以等腰直角三角形两条直角边上的正方 形面积之和等于斜边上的正方形的面积
探究活动二：
（1）观察右边 两幅图：
C A B B A
C
（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：
A的面积 左图 右图
4 16
B的面积
9 9
C的面积
？
？
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.
S正方形c
C
1 62 2
（单位面积） 18
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C看成边长为6的 正方形面积的一半
返回
C A B 图1 A B
（2）在图2中，正方 形A，B，C中各含有 多少个小方格？它们 的面积各是多少？
C
图2wk.baidu.com
（3）你能发现图1中 三个正方形A，B，C 的面积之间有什么关 系吗？
已知两直角 边求斜边
?
20
C
15
我国古代两种证法：
1、公元3世纪我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》 作注时给出的“弦图”：
c b a
我国有记载的最早勾股定理的证明，是三国时，我国古 代数学家赵爽在他所著的《勾股方圆图注》中，用四个 全等的直角三角形拼成一个中空的正方形来证明的。每 个直角三角形的面积叫朱实，中间的正方形面积叫黄实， 大正方形面积叫弦实，这个图也叫弦图。２００２年的 国际数学家大会将此图作为大会会徽．
探究活动
分成四人小组，每个小组 课前准备好4个全等的直角三 角形和以直角三角形各边为边 长的3个正方形（如右图）. 运用这些材料（不一定全用），你能另外拼 出一些正方形吗？试试看，你能拼几种.
a b
b c
a a c b
a b c a
b c
a c b
c
c b a
b-a
c b
a
c
b
a
c
图３
图１
图２
方法一：
2 2
2
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 144 ① 169 ②
z
625
576
③
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
１、如图,一个长8 米,宽6 米的草地,需在相对角的 顶点间加一条小路,则小路的长为 ( ) C
A.8 米
B.9 米
C.10米
D.14米
别踩我,我怕疼!
6m
8m
２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直 角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米, 则AB为 ( ) A A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
A
130
?
C
120
B
某楼房在20米高处的楼层失火 ，消防员取来25米长的云梯救 火，已知梯子的底部离墙的距 A 离是15米。问消防队员能否进 入该楼层灭火？
17.1勾股定理
复习提问
1、任意三角形三边满足怎样的关系？ 2、对于等腰三角形，三边之间存在 怎样的特殊关系？等边三角形呢？ 3、对于直角三角形，三边之间存在 怎样的特殊关系？
2002年在北京召开了第24届国际数学家大 会，它是最高水平的全球性数学科学学术 会议，被誉为数学界的“奥运会”，这就 是本届大会会徽的图案。 • 这个图案就是我 国汉代数学家赵 爽在证明勾股定 理时用到的，被 称为“赵爽弦图”
C A B B A
C
“割”
“补”
“拼”
（4）分析填表数据，你发现了什么？
A的面积
左图 右图
B的面积
C的面积
4 16
9 9
13 25
S A S B SC
结论2 以直角三角形两直角边为 边长的小正方形的面积的和，等于以 斜边为边长的正方形的面积.
议一议：
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a、b和 斜边长c来表示图中正方形的面积吗？
探索勾股定理
情景引入
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友 家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面 中反映了直角三角形的某种数量关系。
C A B
探究活动一： （1）观察图1
C A B 图1 A B
正方形A中含有9 个 小方格，即A的面积是 9 个单位面积。
C
正方形B的面积是
9 个单位面积。
正方形C的面积是
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
18 个单位面积。
你是怎样得到C的面积 的？与同伴交流交流。
1
2
3
（2）（3）
C A B 图1 A B
S正方形c
C
1 4 3 3 18 2
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（单位面积）
分割成若干个直角边 为整数的三角形
返回
C A B 图1 A B