动态电路
动态电路的状态变量分析
电路的复杂度(complexity)，亦称自由度(freedom)。 即电路独立状态变量的个数
（1）无源（RLC）电路的复杂度为n = nC + nL lC qL （2）有源电路复杂度的上下限为0 n nC + nL lC qL
L1
L2
R6 uC3 C3
R8 R9 uR9
uC 4 C4 R7 uR7
（2）列写基本割集1和2的KCL方程
du L1ddiLt1uC3uC4uR6uR7uR9
C4
C dt i i L2ddiLt2uC4uR7uR8uR9
4
L1 L2
1
割集2
2
6
回 路1
5
3
8
回路 2
4
7
9
C3
duC 3 dt
iL1
（1）当w = 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应；
（2）当w 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应；
（3）当w 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。
iL , uC
uC
(I0 ,U0 ) iL
O
t 0 (I0,U0)
t O t
iL
uC
(a) 过阻尼情况的时域波形
(b) 过阻尼情况的状态空间轨迹
直接观察
列写方法
不太复杂的电路 置换方法
系统法 复杂的电路
这里介绍直接观察或置换方法列写电路的状态方程。
一、直接观察法 步骤
(1) 选一个树，使它包含全部电容（和无伴电压源支路） 而不含电感（和无伴电流源支路）。
(2) 对每个电容树支确定的基本割集列写KCL方程；对 每个电感连支确定的基本回路列写KVL方程。
动态电路讲解
动态电路讲解动态电路讲解动态电路是指在电路中存在着能够随时间变化而改变的信号。
与之相对的是静态电路，静态电路中的信号一般都是固定不变的。
动态电路主要包括时钟信号、计数器、存储器等。
一、时钟信号时钟信号是指在动态电路中用来同步各种操作的信号。
它可以看作是一个周期性的脉冲信号，每个脉冲代表一个时钟周期。
时钟信号可以控制动态电路中各个部分的工作状态，使它们按照预定的顺序和时间完成各种操作。
二、计数器计数器是一种能够在时钟信号控制下进行计数操作的电路。
它可以用来实现各种计数功能，如二进制计数、十进制计数等。
在动态电路中，计数器通常采用触发器和门电路组成。
三、存储器存储器是一种能够将数据保存下来并在需要时读取出来的设备。
在动态电路中，存储器通常采用触发器和门电路组成。
其中触发器用于保存数据，门电路则用于读取和写入数据。
四、动态逻辑门动态逻辑门是一种能够随时间变化而改变输出的逻辑门。
它通常采用CMOS技术制造，由于其具有高速、低功耗等优点，被广泛应用于各种数字电路中。
五、动态随机存储器动态随机存储器（Dynamic Random Access Memory，DRAM）是一种能够实现高密度存储的存储器。
它采用了动态存储技术，可以将数据保存在电容中。
由于其具有高密度、低成本等优点，被广泛应用于计算机内存中。
六、动态加法器动态加法器是一种能够实现高速加法运算的电路。
它采用了动态逻辑门和级联技术，可以在一个时钟周期内完成多位数的加法运算。
由于其具有高速、低功耗等优点，被广泛应用于各种数字信号处理领域。
七、总线缓冲器总线缓冲器是一种能够实现信号放大和隔离的电路。
它通常被用来连接不同电路之间的总线，并保证信号的传输质量和稳定性。
八、总线驱动器总线驱动器是一种能够实现信号放大和传输的电路。
它通常被用来连接计算机和外部设备之间的总线，并保证信号的传输质量和稳定性。
总结：动态电路是一种能够随时间变化而改变的信号。
它包括时钟信号、计数器、存储器、动态逻辑门、动态随机存储器、动态加法器、总线缓冲器和总线驱动器等。
3 动态电路
8、实际电感器
iL(t0+)= iL(t0-)
实际电感器除了储能以外，也会 消耗一部分电能。 i + L u
r
–
(3-17)
9、电容元件与电感元件的比较：
变量
电容 C 电压 u 电荷 q
q = Cu i=C du dt WC = 1 2 Cu
2
电感 L 电流 i 磁链 y
y = Li
u = L di dt 1 2 1 2L
(3-10)
例1 电容与电压源相接如图所示，电压源电压随时间按三角波方 式变化如图，求电容电流。 u/V i(t) 100 u(t) C=1µ F 0.25 0.5 0.75 1 1.25 t/ms
-100
(1) 从 0.25ms 到 0.75ms 期 间 ， i/A i=Cdu/dt=-10-6*200/0.5*103 =-0.4A； (2) 从0.75ms到1.25ms期间，
储能为吸收能量 无源元件。 从 t1到 t2 吸收的能量
WC = C udu u( t )
1
u ( t2 )
1 2 1 Cu ( t 2 ) - Cu 2 ( t1 ) = 2 2
= WC ( t 2 ) - WC ( t1 )
(3-7)
（3）连续性：电容电压不能跃变。 对于任意给定的时刻t0 ，将其前一瞬间记为t0-，而后一瞬
1 t 0 i(x )dx C1 1 t u2 (t ) =u2(0) + 0 i (x )dx C2 1 t un (t ) =un(0) + 0 i (x )dx Cn u1 (t ) =u1(0) +
+
u
i +
C
动态电路
an
d ni dt n
an1
d n1i dt n1
a1
di dt
a0i
u
t0
四. 动态电路的分析方法
激励 u(t)
响应 i(t)
an
d ni dt n
an1
d n1i dt n1
a1
di dt
a0i
u
t0
经典法
拉普拉斯变换法 状态变量法 数值法
时域分析法
复频域分析法 时域分析法
2、换路定则与初始值的确定
uL(0+)、iR(0+)和
0.1H iL
duC dt
、diL 0 dt
的值。
0
+
u
3Ω
–C
6Ω
+ 6Ω 12V
–
iL
iR +
uC 3Ω iC –
解：作t = 0–的等效电路如图(b)
(b)
所示，有
iL (0 )
12 6 // 6 3
2
A
uC (0 ) 3iL (0 ) 6 V
由换路定则得 uC(0+) = uC(0–)=6V， iL(0+)= iL(0–)=2A
uC(0+) = uC(0-) = RIS
uL(0+)= - RIS
iC (0 )
Is
RI S R
0
3.确定 duC
dt
与 diL
0
dt
的值
0
对于n阶电路的初值确定
还要把其（n-1)阶导数的初值也确定出来。 本书仅涉及到分析二阶电路，因此只需了解diL 和 duC 的初值
dt 0 dt 0
初中物理 动态电路
初中物理动态电路动态电路是指由电源供电的电路，其中包括有源元件和被动元件。
有源元件是指能够将其他形式的能量转化为电能的元件，如电池和发电机；被动元件是指不具备能量转化功能的元件，如电阻、电容和电感等。
动态电路的特点是电流和电压随时间变化，因此分析动态电路需要用到微分方程和积分方程。
动态电路中最基本的元件是电阻，它是电流和电压的比值，用欧姆定律可以描述为U=IR。
电阻对电流的流动产生阻碍，使得电流不能无限增大。
在动态电路中，电阻的作用是通过电阻消耗电流的能量，将电能转化为热能，防止电路过载。
除了电阻，电容和电感也是常见的被动元件。
电容是由两个导体板和介质组成的，当两个导体板上带有电荷时，它们之间就会产生电场，形成电容。
电容的特点是可以储存电荷，并且电荷的储存量与电压成正比。
电容器可以在电路中起到储存和释放电能的作用，例如在摩托车的起动过程中，电容器可以储存电能，提供额外的电流来帮助发动机启动。
电感是由线圈或线圈组成的，当电流通过线圈时，会在线圈周围产生磁场，形成电感。
电感的特点是会阻碍电流的变化，使得电流不能瞬间改变。
在动态电路中，电感可以储存磁能，并且磁能的储存量与电流成正比。
电感器可以在电路中起到调整电流大小和方向的作用，例如变压器可以将高压电流变成低压电流或者将低压电流变成高压电流。
在动态电路中，元件之间的连接方式有两种：串联和并联。
串联是指将多个元件按照一定的顺序连接起来，电流在各个元件之间保持不变。
并联是指将多个元件的两个端子连接在一起，电压在各个元件之间保持不变。
根据这两种连接方式，可以构成各种不同的电路，如串联电路、并联电路和混合电路等。
对于动态电路的分析和计算，可以使用基尔霍夫定律和欧姆定律等电路定律来解决。
基尔霍夫定律包括基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律，它们是电路分析的基础。
基尔霍夫电流定律是指在电路中，流入某一节点的电流等于从该节点流出的电流之和。
基尔霍夫电压定律是指在电路中，沿着闭合回路的总电压等于各个电压源和电阻之间的电压之和。
动态电路的实验报告
一、实验目的1. 理解动态电路的基本原理和特性。
2. 掌握动态电路的时域分析方法。
3. 学习使用示波器、信号发生器等实验仪器进行动态电路实验。
4. 通过实验验证动态电路理论，加深对电路原理的理解。
二、实验原理动态电路是指电路中含有电容或电感的电路。
动态电路的特点是电路中的电压、电流随时间变化，其响应具有延时特性。
本实验主要研究RC一阶动态电路的响应。
RC一阶动态电路的零输入响应和零状态响应分别由电路的初始状态和外加激励决定。
零输入响应是指在电路没有外加激励的情况下，由电路的初始状态引起的响应。
零状态响应是指在电路初始状态为零的情况下，由外加激励引起的响应。
三、实验仪器与设备1. 示波器：用于观察电压、电流随时间的变化。
2. 信号发生器：用于产生方波、正弦波等信号。
3. 电阻：用于构成RC电路。
4. 电容：用于构成RC电路。
5. 电源：提供实验所需的电压。
6. 导线：用于连接电路元件。
四、实验步骤1. 构建RC一阶动态电路，连接好实验仪器。
2. 设置信号发生器，输出方波信号，频率为1kHz，幅度为5V。
3. 使用示波器分别观察电容电压uc和电阻电压ur的波形。
4. 改变电路中的电阻R和电容C的值，观察电路响应的变化。
5. 记录实验数据，分析实验结果。
五、实验结果与分析1. 当电阻R和电容C的值确定后，电路的零输入响应和零状态响应分别如图1和图2所示。
图1 零输入响应图2 零状态响应从图中可以看出，零输入响应和零状态响应均呈指数规律变化。
在t=0时刻，电容电压uc和电阻电压ur均为0。
随着时间的推移，电容电压uc逐渐上升，电阻电压ur逐渐下降，最终趋于稳定。
2. 当改变电阻R和电容C的值时，电路的响应特性发生变化。
当电阻R增大或电容C减小时，电路的响应时间延长，即电路的过渡过程变慢；当电阻R减小或电容C增大时，电路的响应时间缩短，即电路的过渡过程变快。
3. 通过实验验证了动态电路理论，加深了对电路原理的理解。
什么是动态电路- 动态电路分析
什么是动态电路? 动态电路分析
1.动态电路：含有动态元件(储能元件)的电路，当电路状态发生转变时需要经受一个变化过程才能达到新的稳态。
过渡过程：电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经受的过程。
2.动态电路与电阻电路的比较
动态电路：含储能元件L(M)、C。
KCL、KVL方程仍为代数方程，而元件特性方程中含微分或积分形式。
因此描述电路的方程为微分方程。
电阻电路：电路中仅由电阻元件和电源元件构成。
KCL、KVL和元件特性方程均为代数方程。
因此描述电路的方程为代数方程。
3.过渡过程产生的缘由
（1）电路内部含有储能元件L 、C—— (内因)能量的储存和释放都需要肯定的时间来完成。
（2）电路结构或电路参数发生变化——换路(外因)
说明：
直流电路、沟通电路都存在暂态过程，本章只分析争论直流电路
的暂态过程。
讨论暂态过程的意义：
暂态过程是一种自然现象，对它的讨论很重要。
暂态过程的存在有利有弊。
有利的方面，如电子技术中常用它来产生各种波形；不利的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能消失过压或过流，致使设备损坏，必需实行防范措施。
第三章 动态电路分析
1. 动态电路
动态电路分析
3.1 动态电路的基本概念
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 动态元件电容 的电路称动态电路 当动态电路状态发生改变时（换路）需要 当动态电路状态发生改变时（换路） 特点 经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这 经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。 过渡过程。 个变化过程称为电路的过渡过程 个变化过程称为电路的过渡过程。 电路结构、 换路 电路结构、状态发生变化 过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件L 电路内部含有储能元件 、C，电路在换路时能量发生 ， 变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。 变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。 支路接入或断开 电路参数变化
③电感的初始条件
iL(0＋)= iL(0－) ψL (0＋)= ψL (0－)
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流 换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 磁链）换路前后保持不变。 （磁链）换路前后保持不变。
4. 换路定律
qc (0+) = qc (0－) uC (0+) = uC (0－)
表明
τ大
t
τ 大→过渡时间长； τ 小→过渡时间短 过渡时间长 过渡时间短 t 0 τ 2τ 3τ 5τ
uc =U0e
−
0
τ小
τ
t
U0 U0 e -1
U0 e -2
U0 e -3
U0 e -5
U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0
电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。工程上认 所需的时间。 电容电压衰减到原来电压 所需的时间 过渡过程结束。 为, 经过 3τ－5τ , 过渡过程结束。
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当C用法拉、R用欧姆为单位时，RC的单位为秒，这
是因为：欧·法=欧·库/伏=欧·安·秒/伏=欧·秒/欧= 秒。
电压、电流衰减的快慢取决于时间常数的大小。 RC电路的零输入响应是由电容的初始电压U0和时间
常数 =RC所确定。
11
RL电路零输入响应
设在t＜0时开关S1与b端相接，S2打开，电感L由电 流源I0供电。设在t=0时， S1迅速投向c端，同时， S2闭合，电感L与电阻相联接。
t0
15
练习题6-6
在t=0时，开关由a投向b，已
知在换路前瞬间，电感电流为
1A。试求t＞0时各电流。
解：在t=0时， I0 1A
电路的等效电阻为
R0
10 10 20
10 10 20
10
时间常数
L 1 s
R 10
电感上电流和电压 iL t I 0e t / e 10t
按指数规律衰减的，在没有外施电源的条件下，原有 的贮能逐渐衰减到零。
在RC电路中，电容电压uC总是由初始值uC(0)单调地 衰初减始到值零iL(，0)时单间调常地数衰减=到RC零；，在其R时L电间路常中数，=iLL总/R是。由
特征根具有时间倒数或频率的量纲，故称为固有频率。 在电路理论中固有频率用来表明网络的固有性质。
强制响应 稳态响应
| duC I S
dt 0 C 随着电容电压的逐渐增长，流过电阻的电流uC/R也
在逐渐增长，因为总电流是一定的，流过电容的电流 将逐渐减少。到后来几乎所有的电流都流过电阻，电 容如同开路，充电停止。
18
电容电压末态
最终电容电压几乎不再变化，电容电压 duC 0 dt uC RIS
14
例6-2
电路如图，在t=0时开关由a投向b， 在此以前电容电压为U，试求t＞0时，
电容电压及电流。
解 由于电容电压不能跃变，在开
关刚由a投向b的瞬间，其电压仍 为U，即uC(0)=U。
时间常数为 =(R1+R2)C
uC
t
Ue
t
t0
it C duC
U
t
e
dt R1 R2
如果在初始时刻贮能为零，那么在没有电源作用的情 况下，电路的响应也为零。
6
零输入响应的初始状态
在t＜0时，开关S1一直闭合，因而电容C被电压源充 电到电压U0。
在t=0时，开关S1打开，开关S2同时闭合，电路中只
含一个电阻和一个已被充电的电容。在电容初始贮能
的作用下，在t 0时电路中虽无电源，仍可以有电流、
负号为参考 方向不一致
i t
C
du
U0
1t
e RC
dt R
t0
它是一个随时间衰减的指数函数。
在t=0换路时，i(0-)=0，i(0+)=U0/R，亦即电流由零一
跃而为U0/R，发生了跃变。
10
时间常数
函数表示式中e的指数项(-t/RC) 是无量纲的，因此R 和C的乘积具有时间的量纲，通常以来表示，称为时
电压存在，构成零输入响应。
电容两端的电
压果关心的是t＞0时电路的情况，则电路方程为：
RC
duC dt
uC
0
t0
根据电容电压的参考方向，结合初始电压U0的实际方 向，uC可记为
1t
uC t Ke RC
解得 uC 0 K U0
1t
多个独立电源作用于线性动态电路，零状态响应为 各个独立电源单独作用时所产生的零状态响应的代 数和。
把初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应。 完全响应为零输入响应和零状态响应之和。
这一结论来源于线性电路的叠加性，而又为动态电 路所独有，称为线性动态电路的叠加定理。
28
例
设在t=0时开关由a投向b，电路
ut L diL 10e 10t
dt
16
§6-3 零状态响应
在零初始状态下，由在初始时刻施加于电路的输入所 产生的响应称为零状态响应。
在开关打开之前，电流源的 电流全部流经短路线。在t=0 时，开关打开，电流源即与 RC电路接通。显然，t0时， 二个元件的电压是一样的， 表为uC。
必须满足
| diL U S
dt 0
L
随着电流的逐渐上升，电阻电压也逐渐增大，因而电
感电压应逐渐减小。电感电压减小，意味着电流变化
率diL/dt的减小，因此，电流的上升将越来越缓慢， 最后，电感电压几乎为零，电感如同短路。
23
RL电路电流的零状态解
类似RC电路零状态响应的求解步骤，可求得
iL t
US R
1
Rt
eL
t0
24
说明
微分方程通解中的齐次方程解又称为固有响应分量， 与输入无关，不论是什么样的输入，这一分量一般
具有Kest的形式，K的具体数值一般与输入有关。这
一分量的变化方式完全由电路本身所确定，是由特
征根s所确定的，输入仅仅影响这一分量的大小。这
一阶电路方程
由KVL可得
uRo t uC t uOC t
uRo t Roit ,
it C duC
dt
RoC
duC dt
uC
uOC t
C
duC dt
Go uC
iSC t
同理，对电感 uRo t uL t uOC t
26
解答
求i(t)
回到原电路，设想开关S闭合，
电感用电流源iL(t)置换，运用网孔 法求解i(t)。网孔电流按支路电流 iL(t)和i(t)设定，可得网孔方程
7.2it 1.2iL t 18
it
18
1.2i
L
t
2
0.5e
t 2
A
t 0
7.2
27
§6-4 线性动态电路的叠加定理
其中
U oc
18 5 1 5 1 1.2
15V
Ro 1.2 // 6 4 5
时间常数
L 10 2s
Ro 5
t
iL
U oc Ro
3A
iL t
Us R0
1
t
e
31
t
e2
t 0
一分量又可称为暂态响应分量。 微分方程通解中的特解又称为强制响应分量，其形
式一般与输入形式相同。如强制响应为常量或周期 函数则这一分量又称为稳态响应分量。
25
例6-5
在t=0时开关S闭合，求iL(t)、i(t)，t0。
解 此为零状态响应，先求iL(t)、用 戴维南定理将原电路化简为图(b)，
完全响应为 uC t RI S U 0 RI S e t
t 0
29
完全响应
完全响应
uC t RI S U 0 RI S e t t 0
强制响应 稳态响应
固有响应 暂态响应
将上式整理 uC t U 0e t RI S 1 e t t 0
程可归结为下列的标准形式：
dx Ax Bw dt
对电容 对电感
duC dt
1 RoC
uC
1 RoC
uoc
t
diL dt
Ro L
iL
Ro L
isc t
状态方程本身体现了电路状态演变的情况，即状态 的变化率是当前状态和当前输入的函数。
5
§6-2 零输入响应
电路在没有外加输入时的响应称为零输入响应。零输 入响应仅仅是由非零初始状态所引起的，是由初始时 刻电容中电场的贮能或电感中磁场的贮能所引起的。
C
duC dt
1 R
uC
IS
uC 0 0
t0
17
电容电压的变化率
由于流过电容的电流为有界的，因此电容电压不能跃
变，在t=0-时电容电压既然为零，那末在t=0+时电 容电压仍然为零，这就决定了在t=0时，电阻电流必
然为零。
因此，在t=0+时，电流源的全部电流将流向电容，
使电容充电。电容电压的变化率应为
零输入响应
零状态响应
线性动态电路的完全响应是由来自电源的输入和来 自初始状态输入分别作用时所产生的响应的代数和。
30
RC电路的响应曲线
曲线1：零输入响 应
曲线2：零状态响 应
曲线3：暂态响应
曲线4：稳态响应
uC t U 0e t RI S 1 e t
t0
uC t RI S U 0 RI S e t t 0
当直流电路中各个元件的电压和电流都不随时间变化 时，电路进入了直流稳态。
19
一阶非齐次微分方程通解
方程 C 微分方
duC dt
1 R
uC
IS
uC
t
uCh
0
uCp
程，它的通解
uCh为对应得齐次微分方程的通解
是一阶非齐次
1t
uCh Ke RC
t 0
uCp为非齐次微分方程的任一特解，可认为具有和输 入函数相同的形式，令此常量为Q，则
其中=L/R为该电路的时间常数。
电感电压为
uL
L diL dt
RI 0e t /