高等数学下重修班AB卷

一、填空题：（每小题2分，共20分）
(1) 已知{}{},0,1,3,2,1,4=-=b a
则=a j b
Pr _______. (2) 已知2
2),(y x y x y x f -=-+，则
=∂∂+∂∂y
y x f x y x f )
,(),(_______. (3) 曲线t z t y t x 2,sin ,cos ===在4
π
=
t 处的法平面方程为_______.
(4) 幂级数
∑
+∞
=+0
1
n n n x 的收敛域是________.
(5) 点（0，0，0）关于平面1=++z y x 的对称点为_______. (6) 交换积分
⎰⎰
10
),(y y
dx y x f dy 的积分次序为_______.
(7) 求旋转抛物面12
2
-+=y x z 在点（2，1，4）处的法线方程为_______. (8) 函数zx yz xy u ++=在点)2,2,1(-M 的方向导数的最大值为_______. (9) 已知∑是平面1=++z y x 在第一卦限部分，则曲面积分
ds z y x ⎰⎰∑
++)(=_______.
(10) 设函数)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-上x x x f 3cos )(2
=，它的Fourier
级数为
)sin cos (210∑+∞
=++n n n nx b nx a a ，则级数∑∞
=1
n n b =_______. 二．（6分）求过点（1，1，1），且与两平面：051223,7=+-+=+-z y x z y x
均垂直的平面方程。

三．（6分）直线2
101:
z
y x L ==-绕z 轴旋转一周，求旋转面方程。

四．（8分）求函数51262
3
+-+-=y x x y z 的极值。

五．（每小题5分，共10分）
1．求由四平面：1,0,1,0====y y x x 所围成的柱体被平面y x z z 326,0--==
截得的立体的体积。

2．计算曲线积分⎰
-L
ydx x dy xy 2
2，其中L 是逆时针方向的圆周2
22a y x =+
六． （每小题6分，共12分）
1． 级数
∑∞
=--1
)2
cos 1(cos
)
1(n n
n
n 是否收敛？是否绝对收敛？证明你的结论。

2．将函数x x f +=π)(，],[ππ-∈x 展开为傅立叶级数，并求级数
++-+-+-1
21
)1(51311n n 之和。

七．（8分）计算第二类曲面积分：⎰⎰∑
-+-+-dxdy z x dzdx y z dydz x y )()()(2
22，其中，
∑是曲面222y x z --=)21(≤≤z 的上侧。

八．（每小题5分，共10分）
1． 求微分方程的通解：3/
)1(1
2
+=+-
x y x y 2．设)(x f 有二阶连续导数，且曲线积分⎰++-L
x
dy x f ydx xe x f x f )(']2)(2)('3[2与路径
无关，求).(x f
答案与评分标准：
一．（每小题2分，共20分） (1)
10
11 （2）y x + （3）02422=-++
-πz y x . (4) )1,1[- (5) )3
2
,32,32(
（6）
⎰
⎰1
2),(x
x
dy y x f dx . (7)
.1
4
2142--=-=-z y x (8) 10 （9）23 （10）0 二．（6分）求过点（1，1，1），且与两平面：051223,7=+-+=+-z y x z y x
均垂直的平面方程。

解：{
}{}{},5,15,1012,2,31,1,1=-⨯-=n
所求平面为：,0)1(5)1(15)1(10=-+-+-z y x 即：.0632=-++z y x
三．（6分）直线2
101:
z
y x L ==-绕z 轴旋转一周，求旋转面方程。

解：设),,(z y x M 为所求旋转面上任 一点，),,(1111z y x M 在直线L 上， 且它们在同一水平面上。

则：
解得：.14
2
2
2
=-+z y x 它就是所求旋转面方程。

四．（8分）求函数51262
3+-+-=y x x y z 的极值。

解：令
.0123,0622=-=∂∂=+-=∂∂y y
z
x x z 得：⎩
⎨⎧±==23y x ，
当2,3-==y x 时，,024,122
<-=--=AC B C 函数有极大值：
.305)2(12363)2(23=+-⨯-⨯+--=z
当2,3==y x 时，,024,122
>=-=AC B C 函数无极值。

故函数只有极大值30。

五．（每小题5分，共10分）
1．求由四平面：1,0,1,0====y y x x 所围成的柱体被平面y x z z 326,0--==
截得的立体的体积。

解：⎩
⎨⎧≤≤≤≤101
0:y x D
2．计算曲线积分⎰
-L
ydx x dy xy 2
2，其中L 是逆时针方向的圆周2
22a y x =+
解：
⎰-L
ydx x dy xy
22
六． （每小题6分，共12分） 1．级数
∑∞
=--1
)2
cos 1(cos
)
1(n n
n n 是否收敛？是否绝对收敛？证明你的结论。

解：n n n n n 21
sin 23sin 2)2cos 1(cos
)1(=--
∑∞
=∴
1
21
sin 22
sin 2n n n 收敛
∴ 原级数绝对收敛.
2．将函数x x f +=π)(，],[ππ-∈x 展开为傅立叶级数，并求级数
++-+-+-1
21
)1(51311n n 之和。

解： πππ
π
π
2)(10=+=⎰-dx x a。