昆明理工大学 高等数学A(2)重修试卷(2013年)
昆明理工大学01—08级昆明理工大学高等数学[下]期末试卷
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4．求微分方程 dx
dy x y sin x y ( ) 1
的特解.
5．求微分方程 y y 1 的通解. 三． （11 分） 利用格林公式计算曲线积分 I e x (1 cos y )dx (e x sin y 2x )dy ， 其中 L 为
L
5．设∑为平面
x y z x y z 1 在第一卦限中的部分，则曲面积分 ( )dS 2 3 4 2 3 4
.
.
6．级数
3n n ! 的敛敛性为 n n 1 n
7．幂级数
2n n x 的收敛半径 R= 2 n 1 n 1
，收敛区间为
.
8．求微分方程
1 x 1 x f ( )dydz f ( )dzdx zdxdy ， y y x y
其中 f (u ) 具有二阶连续导数， 为上半球面 z a 2 x 2 y 2 与 z 0 所围成空间闭区 域 的整个边界曲面的外侧. 六． （10 分）设曲线积分 yf ( x) dx [ 2 xf ( x) x ]dy 在右半平面 ( x 0) 内与路径无关，
昆明理工大学 2005 级高等数学[下]期末试卷
一．填空题（每小题 4 分，共 32 分） 1．设函数 z x 4 y 4 4 x 2 y 2 , 则 2．设 z e xy ，则 dz
1 2
2 z xy
.
.
3．曲线 x 1 2t , y 2 t 2 , z t 在t =1 处的法平面方程为 4．交换二次积分次序，则 dy
L
ydx ( x 1)dy , 其中： ( x 1) 2 y 2
昆明理工大学07-08级AB高数(下)考试试卷和高等数学公式大全
昆明理工大学2007级《高等数学》A （2）试卷(A 卷) (2008年6月20日)题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分阅卷人大 一、填空题（每小题3分，共30分）（1）设2(,,),sin ,.u f x y z y x z x ===且f 具有一阶连续偏导数， 则dudx= . （2）设2sin 2x y z e =，则全微分dz = . (3)曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 . （4）交换二次积分次序，则211(,)xdx f x y dy =⎰⎰ .（5）计算二重积分值4Dxyd σ=⎰⎰ 其中D :01,0 1.x y ≤≤≤≤( 6）曲线L 为球面2222x y z a ++=与平面x y =相交的圆周，其中0.a >则曲线积分⎰=+Lds z y 222 .（7）设曲面∑是在柱面222a y x =+(0)a >上介于;z h z h =-=(0)h >的那一部分，则曲面积分I dS ∑==⎰⎰ .（8）当a = 时,曲线积分3222(cos )(12sin 3)Laxy y x dx y x x y dy-+-+⎰与路径无关. (9)微分方程2(x dyy be b dx-+=为常数）的通解为 . (10)微分方程2290d yy dx+=的通解为 .二、(8分)已知三个正数,,x y z 之和为12.求32u x y z =的最大值.三、 （8分）计算二重积分sin Dxdxdy x⎰⎰的值.其中D 是由直线y x =及曲线2y x =所围成的闭区域.四、(10分)求旋转抛物面222z x y=--与锥面22z x y=+所围立体的体积.五、(8分)求⎰++++-L dyxydxyx)635()42(，其中L为顶点坐标分别是(0,0),(3,0),(3,2)的三角形的正向边界.六、（10分）利用高斯公式计算曲面积分：323232 ()()(),I x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑=+++++⎰⎰其中∑是曲面222y x a z --=的上侧(0).a >.七、(10分)求二阶常系数非齐次线性微分方程 44ax y y y e '''++=的通解（其中a 为常数）.八、（10分）设()f x 具有一阶连续导数，且()1,f π=又()[sin ()]()00yx f x dx f x dy x x-+=>是全微分方程，求()f x .九、（6分）已知(),z z u =且()(),xy u u p t dt ϕ=+⎰其中()z z u =可微，'()u ϕ连续，且'()1,()u p t ϕ≠连续，求()().z zp y p x x y∂∂+∂∂昆明理工大学2007级《高等数学》A （2）试卷(B 卷)大 一、填空题（每小题3分，共30分）（1）函数221)ln(yx x x y z --+-=的定义域为 .（2）设)32ln(y x z -=，则dz = . （3）设)ln ,(22y x y x f z -=，f 可导，则=∂∂xz. （4）椭球面632222=++z y x 在点)1,1,1(处的法线方程为 . （5）交换二次积分次序：=⎰⎰221),(xdy y x f dx .（6）若L 为平面上的单位圆，则=⎰L ds . （7）若∑是空间中简单闭曲面的外侧，则曲面积分=+-⎰⎰∑dxdy ydzdx xdydz 2 .（8）微分方程0=+xdy ydx 的通解为 . (9)微分方程136=+'-''y y y 的通解为 .(10)微分方程x e y y y 2344=+'-''的非齐次特解形式应设为=*y .二、(8分)已知三个正的真分数,,x y z 之和为1，求32u x y z =的最大值.三、（8分）计算二重积分⎰⎰+Dd y x σ)(22，其中D 是由上半圆22x x y -=与x 轴所围成的闭区域.四、(10分)求由四个平面0=x ，1=x ，0=y ，1=y 所围方柱体被两平面0=z 和2=++z y x 所截部分的立体体积.五、(8分)求⎰-+-Ldy x dx y x )1()(2，其中L 为上半单位圆21x y -=从点)0,1(A 到点)0,1(-B 的一段.六 、（10分）利用高斯公式计算曲面积分：⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是曲面222y x a z --=的上侧(0).a >七、(10分)求微分方程0)(=-+xdy dx y x 的满足初始条件1)1(=y 的解.八、设)(x y y =二阶可导，且⎰⎰-+=xx xdt t y x dt t ty e x y 0)()()(，求)(x y .（10分）九、（6分）))(,(2xy y x f z ϕ-=，),(v u f 具有二阶连续偏导数，)(u ϕ二阶可导，求yx z ∂∂∂2.昆明理工大学2008级《高等数学》A （2）A 卷期末试题解答及评分标准一、（每小题4分）1.21.1()x dx x-⎰2.110(,).dy f x y dx ⎰ 3.π.4. 2.5..(,,0)D R x y dxdy -⎰⎰6. 12S U -.7. (ln 3)!0nx n n ∞∑=.8. 收敛. 9. 23.x y y C += 10.()()[()].P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰二、1. 241()0V x x dx x π=-⎰ 3分 2.15π=5分 2. 22111221012()()||x x dx x y dy dx y x dy I y x dxdy D--=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3分11.15=5分三、22cos 32000sin d d d Iππϕθϕρϕρ=⎰⎰⎰ 5分8.5π= 7分 四、21()()L x y dx x y dy a I =+--⎰Ñ2分22Dd a σ-=⎰⎰ 5分 2.π=- 7分 五、122222()()x y ds x y ds I ∑∑=+++⎰⎰⎰⎰2222(()DDx y x y d σσ=+++⎰⎰⎰⎰ 4分2130(1d r dr πθ=⎰⎰ 6分(12π=分六、21 ().a I axdydz z a dxdy ∑=++⎰⎰ 1分补()2221:0z xy a ∑=+≤取下侧 3分1121 []()()a I axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy ∑+∑∑-=++++⎰⎰⎰⎰21[(1)]D a dv a d a σΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰ 6分 (52)3a a π=+ 8分 七、1.122!2limlim lim 0,(1)!1(1)n n n n na n n n R a n n n ρ+→∞→∞→∞++====∴=+∞+++收敛区间),(+∞-∞； 4分 2.设01()!nn n S x x n ∞=+=∑， 则100001()!!!n n xx n n n n n x x S x dx x dx x n n n +∞∞∞===+===∑∑∑⎰⎰0()!nxxn x xe e n ∞===∑Q所以()()(1)xx S x xe e x '==+ 8分八、1. '()()(0)0f x f x f ==()x f x Ce ∴= 4分 .(0)00,()0f C f x =∴==又， 6分2．微分方程的特征方程022=-+r r其特征根为1,221=-=r r ，故对应齐次方程的通解为x x e C e C Y 221+=- 3分因为x e x f 22)(=，2=λ不是特征方程的根， 故原方程的特解设为：x Ae y 2*=，代入原方程得⇒=-+x x x x e Ae Ae Ae 2222222421222=⇒=A e Ae x x ，xe y 221*= 因此，原方程的通解为*y Y y +=x x x e e C e C 222121++=-昆明理工大学2008级《高等数学》A （2）期末试卷考试日期:2009.06.17 (B 卷)题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分阅卷人一．填空题（每小题4分，共40分）1.由直线0y x y ==，及2x =围成的图形的面积为A ,若以x 为积分变量,面积A可用定积分表示为A = .2.设(,)f x y 为连续函数，则交换二次积分次序后133(,)xdx f x y dy =⎰⎰ .3.设L 是任意一条分段光滑的闭曲线，则22Lxydx x dy +=⎰Ñ . 4. 设∑为曲面0,2222≥=++z a z y x 的部分，则对面积的曲面积分222()I x y z dS ∑=++=⎰⎰ .5. 设∑为曲面,,0222a y x z ≤+=的上侧，则对坐标的曲面积分25x dydz dzdx dxdy ∑++=⎰⎰.6. 已知级数∑∞=1n n U 的部分和11(1)331n S n =-+，则级数∑∞=1n nU 的和s =.7.级数λλ-∞=∑-e n n n1)!1(的和s =.8.当01a <≤时,级数111nn a ∞=+∑的敛散性为 . 9.全微分方程cos sin sin cos 0x ydx x ydy +=的通解为 .10.一阶线性齐次方程:()0y P x y +='的公式通解为y = . 二、计算下列各题(每小题5分，共10分)1.求曲线2y x =与2y x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.2. 计算二重积分Dx y d σ+⎰⎰，其中闭区域(){,11,11}D x y x y =-≤≤-≤≤.三、（7分）计算由曲面22z x y =+及226z x y =--所围成的立体的体积四、（7分）计算22()()Lx y dx x y dyI x y=++-+⎰Ñ，其中L 为圆周222(0)x y a a +=>（按逆时针方向绕行）.五、(8分)计算()22I x y dS ∑=+⎰⎰Ò，其中∑是锥面z =2z =所围成的区域的整个边界曲面.六、(8分)利用高斯公式计算曲面积分 I ∑=其中∑是曲面222z a x y =--的上侧.(0a >为常数）七、(8分)求幂级数2111(1)21n n n x n -∞-=--∑的收敛域与和函数.八、计算下列各题（每题6分 共12分） 1. 求微分方程 322dx x dy y y+= 在条件11x y ==下的特解.2.求微分方程22y y y +-='''的通解.高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
2013年云南昆明理工大学机械原理考研真题A卷
七、（8分）图示曲柄滑块机构中，设已知机构尺寸，图中虚线圆为摩擦圆，滑块与导路的摩擦角为φ，驱动力为F，阻力矩为M。试在下图所示机构位置简图中画出各运动副中反力方向（必须注明力矢量和构件间相对角速度的脚标）。
9、若刚性转子满足动平衡条件，这时我们可以说该转子也满足静平衡条件。------( )
10、为了减轻飞轮的重量，最好将飞轮安装在转速较高的轴上。-----------------( )
四、（20分）计算图示机构的自由度，并分析组成此机构的基本杆组，确定机构的级别。
五、（20分）在下图示自行车里程表的机构中，C为车轮轴。已知Z1= 17，Z3= 23，Z4= 19，Z4´= 20，Z5= 24。设轮胎受压变形后使28英寸的车轮有效直径约为0.7m，当车行一公里时，表上的指针P要刚好回转一周，求齿轮2的齿数。
八、（10分）试标出下列机构图示位置时的压力角和传动角，箭头标注的构件为原动件。
九、（16分）在图示凸轮机构中，从动件的起始上升点为C0点。
(1)试在图上作图标出从动件从C0点到C点接触时，凸轮转过的角度及从动件的位移s；
(2) 作图标出在C点接触时凸轮机构的压力角。
6、滚子从动件盘形凸轮机构中，基圆半径和压力角应在凸轮的实际廓线上来度量。( )
7、渐开线标准齿轮的齿根圆恒大于基圆。------------------------------------( )
8、周转轮系的传动比等于各对齿轮传动比的连乘积。--------------------------( )
2013年云南昆明理工大学机械原理考研真题A卷
一、选择题（共24分 每题2分）
昆明理工大学考研历年真题之高等代数2007--2014年考研真题
昆明理工大学2007年硕士研究生招生入学考试试题(A卷)考试科目代码：803 考试科目名称：高等代数试题适用招生专业：计算数学、应用数学、系统理论、系统分析与集成考生答题须知1．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。
请考生务必在答题纸上写清题号。
2．评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。
3．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。
4．答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。
昆明理工大学2008年硕士研究生招生入学考试试题(A卷) 考试科目代码：837 考试科目名称：高等代数试题适用招生专业：计算数学、应用数学、系统理论、系统分析与集成考生答题须知5．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。
请考生务必在答题纸上写清题号。
6．评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。
7．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。
8．答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。
昆明理工大学2009年硕士研究生招生入学考试试题(A卷)考试科目代码：837考试科目名称：高等代数试题适用招生专业：计算数学,应用数学,系统理论,系统分析与集成考生答题须知9．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。
请考生务必在答题纸上写清题号。
10．评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。
11．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。
12．答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。
昆明理工大学2010年硕士研究生招生入学考试试题(A 卷)考试科目代码：833 考试科目名称 ：高等代数试题适用招生专业 ：070102计算数学、070104应用数学、071101系统理论、071102系统分析与集成考生答题须知13．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。
考研_2013年云南昆明理工大学工程力学考研真题A卷
2021年云南昆明理工大学工程力学考研真题A卷一、判断题〔正确的在括号中打“√〞，错误的在括号中打“×〞。
每空2分，共40分〕1、合力一定比分力大。
〔〕2、但凡只受到两个力作用的杆件都是二力杆件。
〔〕3、汇交力系中各个力的作用点为同一点。
〔〕4、力偶矩的单位与力矩的单位是一样的。
〔〕5、平面汇交力系中各力在任意轴上投影的代数和分别等于零，那么该力系平衡。
〔〕6、一个汇交力系如果不是平衡力系，那么必然有合力。
〔〕7、在应用平面汇交力系的平衡方程解题时，所选取的两个投影轴必须相互垂直。
〔〕8、材料力学的任务是尽可能保证构件的平安工作。
〔〕9、作用在刚体上的力偶可以任意平移，而作用在变形固体上的力偶一般不能平移。
〔〕10、线应变是构件中单位长度的变形量。
〔〕11、假设构件无位移，那么其内部不会产生内力。
〔〕12、用圆截面低碳钢试件做拉伸试验，试件在颈缩处被拉断，断口呈杯锥形。
〔〕13、一般情况下，脆性材料的平安系数要比塑性材料取得小些。
〔〕14、胡克定律只适用于弹性变形范围内。
〔〕15、塑性材料的应力-应变曲线中，强化阶段的最高点所对应的应力为强度极限。
〔〕16、发生剪切变形的构件都可以称为剪切构件。
〔〕17、受扭杆件的扭矩，仅与杆件受到的外力偶矩有关，而与杆件的材料及其横截面的大小和形状无关。
〔〕18、根据平面假设，圆轴扭转时，横截面变形后仍保持平面。
〔〕19、假设两梁的跨度、承受载荷及支撑一样，但材料和横截面面积不同，那么两梁的剪力图和弯矩图不一定一样。
〔〕20、控制梁弯曲强度的主要因素是最大弯矩值。
〔〕二、填空题(每空2分，共20分)a、使材料丧失正常工作能力的应力称为极限应力。
工程上一般把___1____作为塑性材料的极限应力；对于脆性材料，那么把____2 ____作为极限应力。
b、_____ 3_____面称为主平面。
主平面上的正应力称为______4________。
c、机动法作静定梁影响线应用的原理为 5d、受力后几何形状和尺寸均保持不变的物体称为 6 。
昆明理工大学试卷(概率统计B-历年试题)
昆明理工大学试卷（历年试题）考试科目： 概率统计B(48学时) 考试日期： 命题教师：2013年概率统计试题一、填空题（每小题4分，共40分）1.设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 中至少有两个发生可表示为 。
2.已知1()4p A =，1(|)2p A B =，1(|)3p B A =，则()p A B ⋃= 。
3.设事件A,B 互不相容，且1()2p A =，1()3p B =，则()p AB = 。
4．进行独立重复实验，设每次成功的概率为p ,失败的概率为1p -,将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示实验次数，则()p X k == 。
5．已知随机变量X 服从参数2λ=的泊松分布，即(2)X P ，则(0)p X == 。
6．已知随机变量(2,1)X N -，(2,1)Y N 且,X Y 相互独立，则2X Y -服从的分布是 。
7．若随机变量X 满足()1,()2,E X D X =-=则2(31)E X -= 。
8．设12,X X 是来自于总体X 的样本，1121233X X μ=+，2121122X X μ=+为总体均值μ的无偏估计，则12,μμ中较有效的是 。
9．设12,,n X X X 为来自总体2(,)N μσ的一个样本，2σ已知，则212()nii XX σ=-∑服从的分布是 ，212()nii Xμσ=-∑服从的分布是 。
10．设12,,n X X X 为来自总体2(,)N μσ的一个样本，2σ未知，则μ的1α-的置信区间是为 。
一、 填空题（每小题4分，共40分）1．AB BC AC 2. 13 3.12 4. ()p X k ==1(1)k p p -- 1,2,k =5. 2e -6.(6,5)N -7. 88. 2μ9. 22(1),()n n χχ-10. 22(_(1),(1))x n x n αα-+- 二、(10分)某保险公司把被保险人分为三类：谨慎的、一般的、冒失的，统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30。
昆明理工大学历年高数(上)期末试题和答案
昆明理工大学01—08级高等数学(上)期末试题集2001级高等数学（上）期末试卷一、填空题（每小题3分、共24分）1、01lim sinx x x→=; 2、2 dx dx =;3、设)(x f 在[,]a a -连续并且为偶函数,则⎰-=aadx x f )(;4、⎰= nxdx;5、过点)1,2,3(1-M 和)2,0,1(2-M 的直线方程是 ;*6、已知级数1n n u S ∞==∑,则级数11()n n n u u ∞+=+∑的和是 ;*7、.曲线x x y ln 2-=在1=x 点处的曲率是 ;8、函数, 0(), 0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩在点0=x 处的导数为 ;二、计算下列各题(每小题5分,共25分)1、240ln(13)lim ln(3)x x x →++ 2、)arcsin(ln x x y =求y '.3、求由方程sin ()0y x xcos x y -+=所确定的隐函数)(x y y =的导数y '.4、⎰++dx x x 1322 5、⎰ 三、计算下列各题(每小题5分,共25分)1、dx x ⎰--)1(112、⎰-xedx1323、判别级数∑∞=+1311n n 的敛散性 4、求幂级数∑∞=+1212n nn n x 的收敛区间 5、设点A,B,C 的坐标分别为A(2,3,-1),B(1,1,1)及C(0,4,-3)求23,,- 及C AB A ⋅.四、(7分)求幂级数∑∞=----112112)1(n n n n x 的收敛区间,并求和函数. 五、(7分)求过点P(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742:z y x z y x L 垂直的平面方程.六、(6分)求由曲线b y x y ln ,ln ==及0(0)x b =>所围图形的面积. 七、(6分)讨论x x x f ln )(=在其定义域上的最大值与最小值.2002级高等数学（上）期末试题一、填空题（3分×10=30分） 1、若s 2lim23x inax x →∞=,则a = .2、函数1,1,1x x y a x x -≥⎧=⎨-<⎩,当a = 时连续.3、设⎰=Φ,sin )(2dt t t x b x则=Φdxd . 4、曲线sint cos 2x y t=⎧⎨=⎩在4π=t 处的法线方程为 .5、当a 时,点(1, 3)为3232y x ax =-+的拐点. 6、设cos x 是)(x f 的一个原函数,则)('x f = .7、⎰=--dx xx221211arcsin .8、设+-=+-=2,53，则a b ⋅= .*9、级数∑∞=+1)1(1n pn 当p 时发散. 10、2332)(x x x f -=在[1-4]上的最小值为 . 二、试解下列各题（5分×3=15分）1、02sin limx x tdt x→⎰.2、设)()(x f xee f y =，其中)(x f 可导，求dxdy .3、设xxy cos =，（0x >），求dy .三、求积分（5分×4=20分）1、⎰dx e e x x )sin( 2、3、⎰-221xxdx4、1arctan x xdx ⎰*四、[9分]设平面图由xy x y 1,2==及x=2所围成，求： 1）平面图形的面积A （要求作草图）; 2）平面图形绕x 轴旋转的体积x V .五、[9分]一直线过点（0，2，4）且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行，求直线方程.六、[5分]判断级数∑∞=12!n n n 的收敛性.七、[8分]设幂级数 ++++753753x x x x 1）、写出它的一般项;2）、求收敛半径及收敛域. 八、[4分]证明：当1>x 时ex e x>2003级高等数学（上）期末试卷一、填空题：（共10题，每题3分）1、数列6661,1010,10n n x n n ⎧ < ⎪=⎨⎪ ≥ ⎩，则lim n n x →∞=___________________________.2、()f x 在0x 的某去心邻域内无界是0lim ()x x f x →=∞的___________________条件.3、0x =是1()sinf x x xα=的可去间断点,则常数α的取值范围是____________________.4、()f x 可导, 0(1)(1)lim12x f f x x→--=-, 则曲线()y f x =在点[1,(1)]f 处的切线斜率是____________________.5、()(),(),y f x x f x dy f x x ∆=+∆-=∆′则y ∆与dy之间的关系是________________________.6、可导函数()f x 在点0x 处取得极值的必要条件是___________________________.7、使公式()()k f x dx k f x dx =⎰⎰成立的常数k 应满足的条件是 .8、设物体以速度()v t 做直线运动, 则[0,]T 上物体经过的路程是___________________.9、投影Pr 2,3,b j a b == 则a b⋅=______________________.10、a b +与a b -平行的充要条件是________________________. 二.计算题（共8题，每题5分）1、求 2arctan lim 1ln(1)x x x x→∞+ 2、求 02lim 1cos x x x e e x -→+--3、ln (),()y f x fx ''=存在, 求y '' 4、求2ln xxedx+⎰5、求2tan x xdx ⎰6、求11(1sin x -+⎰7、求1010x y x y z ++=⎧⎨-++=⎩的对称式方程.8、求到220xy z ++=的距离为1的动点轨迹.三、设2,0()(1),0axe xf x b x x ⎧ <⎪=⎨- ≥⎪⎩，在0x =处可导，求11()f x dx -⎰.（8分）四、设0()(2)(),()0xF x t x f t dt f x =- >⎰′，试问点(0,0)是否是曲线()y F x =的拐点，为什么？（8分）*五、设抛物线20(01),y ax bx x =+≥ ≤≤ 试确定,a b 之值，使抛物线与直线1,0x y ==所围面积为13，并且绕x 轴旋转的体积最小.（8分）六、设()()()0xaF x f t dt F b =, ≠ , ⎰且()0F x ≠′，试证：方程()()x ba xf t dt f t dt =⎰⎰ 在(,)a b 内有且只有一根.（6分）2004级高等数学（上）期末试卷一、填空题（每题3分，共30分） 1、设x 1f (x)=,x 0,x 1,x-≠≠则1f[]f (x)= .2、若sin ax 3lim ,x 0sin 5x 4=→则a = .3、函数n x nf (x)=lim ()n 2n +=→∞- .4、x 1=是函数1x-1f (x)=e的第 类间断点.5、函数32y 2x 3x 12x 1=+-+在(2,1)-内单调 .6、曲线2y ln(1x )=+在区间 上是凸的，在 上是凹的， 拐点是 .7、设函数f (x)在[a,a]-上连续，g(x)f (x)f (x)=--，则aa g(x)dx -⎰= . 8、当k 时，反常积分akdx x(ln x)⎰收敛.9、a (2,3,1),b (113)c (120)→→→-=-=-=，，，，，，则a b (b c )()→→→→=++ . 10、过点(3,0,-1)且与向量a 3i 7j 5k →→→→=-+垂直的平面方程为 .二、计算下列各题（每题6分，共48分）1、计算极限：x2limx (arctan t ⎰） 2、设x y xy e e =0-+，求dy3、设2x ln(1t y arctan t ⎧=+⎨=⎩），求dy dx 和22d y dx 4、求 x1dx 1-e ⎰ 5、求 2dx xsin x⎰6、计算定积分20I x =⎰ 7、求过点(0,2,4) 且与两平面x 2z 1,y 3z 2+=-=平行直线方程.8、设x 220 F(x)tf(x t )dt -=⎰，求F (x)''三、（9分）设有位于曲线xy e =的下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形：（1）求切线方程；（2）求平面图形的面积；（3）求此平面图形围绕x 轴旋转的旋转体的体积.四、（8分）讨论a,b 为何值时，函数2f (x)ln(a+x ),x>1x b,x 1=⎧⎨+≤⎩在x 1=处可导.五、（5分）设f(x)在区间I 上可导，证明在f(x)的任意两个零点之间必有方程f (x)xf (x)0'+=的实根.2005级高等数学（上）期末试卷一、填空题(每题3分,共30分)1、3321lim 1x x x x →∞-++= .2、21lim()x x x x→∞+= . 3、0(),0,x e x f x a x x <=+≥⎧⎨⎩，若)(x f 在),(+∞-∞连续，则a = .4、曲线x ysin =在点)22,4(π的切线方程为___________________.5、函数()()820f x x x x =+>的单调增加区间为 .6、曲线3129223-+-x x x 的拐点为 .7、532425sin _________21x x dx x x -=++⎰. 8、⎰+∞+0211dx x = . 9、设()3,1,2a =--，()1,2,1b =-，则_______)(=⋅-b a32.*10、当_______a 时，级数11(0)1nn a a ∞=>+∑收敛. 二、计算下列各题（每题6分，共42分）1、计算极限()22220limx t xx t e dt te dt→⎰⎰. 2、21sin xy e-=，求y '.3、设函数)(x f y =由方程y x e xy +=确定，求dxdy .4、问函数()2540y x x x=-<在何处取得最小值. 5、计算⎰-+dx e e xx 1 6、计算⎰1dx e x 7、过点),,(420P 且与两平面2312=-=+z y z x ,垂直的平面方程.三、（8分）设 ⎩⎨⎧>+≤=11 ,2x b ax x x x f ,)(为了使()f x 在1x =连续可导函数，,a b 应取什么值？四、（8分）求幂级数2111(1)21n n n x n -∞-=--∑的收敛域,并求和函数. 五、(8分)由直线y x =及抛物线2y x =围成一个平面图形1．求平面图形的面积A.2．求平面图形绕x 轴旋转的旋转体体积x V .六、(4分)设()0,(0)0f x f ''<=，证明：对于任意0021>>x x ,有 )()()(2121x f x f x x f +<+2006级高等数学（上）试卷一、填空题：（每小题3分，共30分） 1、使函数xxx f 32sin )(=在0=x 处连续，应补充定义 . 2、极限____________3lim 3=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→x x x x .3、)('0x f 存在，则极限________)()(lim000=--+→hh x f h x f h .4、线xe y =在点（1，e ）处的切线方程为 . 5、线xxey -=的拐点是________________.6、用奇偶性计算定积分_______________11sin 11223=++⎰-dx xx x . 7、计算反常积分x xe dx +∞-⎰=__________________.8、向量(2,1,2),(1,,2),a b λ=-=且满足a b ⊥，则数____=λ.9、过点（4，-1，3）且平行于直线51123+==-z y x 的直线方程是_____________. 10、级数⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++nn 1232的敛散性为______________. 二、 计算下列各题：（每小题6分，共42分） 1、求极限2arctan limxdt t t xx ⎰+∞→.2、求由参数方程⎩⎨⎧+==)1ln(arctan 2t y t x 确定的函数)(x y y =的导数22,dx yd dx dy . 3、设函数)(x y y =由方程0333=-+axy y x 确定，求dy . 4、7186223+--=x x x y 的极值. 5、计算不定积分xdx x cos 2⎰.6、计算定积分21e ⎰7、证明：当1>x 时，不等式ex e x>成立. 8、写出直线241312-=-=-z y x 的参数方程并求此直线与平面062=-++z y x 的交点.三、（8分）求幂级数∑∞=--11)1(n nn nx 的收敛半径、收敛区间与收敛域，并求其和函数. 四、（8分）由曲线xy 1=与直线2,==x x y 及x 轴围成一个平面图形， 1、求此平面图形的面积A ；2、求此平面图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积x V . 五、（4分）设函数)(x f 在区间[0，1]上连续，且1)(<x f ，证明1)(20=-⎰dt t f x x在区间（0，1）内仅有唯一实根.2007级高等数学（上）试卷一、填空题：（每小题3分，共30分）1、22lim()kxx x e x→∞-=,则 k =2、点1x =是函数1,13,1x x y x x - ≤⎧=⎨- >⎩的第一类间断点中的 间断点3、设(sin )y f x =，f 可导，则dy = 4、定积分0=⎰5、曲线y =的拐点坐标是6、设sin x 是()f x 的一个原函数，则()xf x dx '=⎰7、设22,410,,a i j k b i j k c b a c a λ=++ =-+ =- ⊥，则λ= 8、xoz 面上的曲线：2z x =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为9、正项级数211n n n ∞=+∑的敛散性为 10、幂级数nn ∞=的收敛区间为 二、计算下列各题：（每小题6分，共48分）1、计算极限3113lim()11x x x→---. 2、设3ln x t x y e dt =⎰，求dydx.3、设函数()y f x =由方程0xyxy e e -+=确定，求dy .4、求32()23f x x x =-的极值. 5、计算不定积分11cos dx x +⎰.6、计算41⎰. 7、计算21(1)x x dx -+⎰.8、求过点(1,2,4)P 且与两平面23x y +=，42y z -=平行的直线方程. 三 (9分)、(1)、求曲线3y x =在点(2,8) 处的切线方程；(*2)、求曲线3y x = 与直线2,0x y = =所围成平面图形A 的面积； (*3)、求（2）中的平面图形A 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.四 (9分)、利用x e 幂级数的展开式：(2)、写出e 的无穷级数展开式；(3)、再利用数e 的无穷级数的展开式，求数项级数21!n n n ∞=∑的和.五（4分）、设()f x 可导，(0)0f =，10()(),xn n n F x t f x t dt -=-⎰n 为正整数，证明：20()1lim(0)2n x F x f x n→'=.2008级高等数学（上）试卷一、填空题（每题3分，共30分） 1.2.(1)(23)lim6n kn n n→∞+-=则k = . ２. 1lim(1-sin 2)xx x →= .３. 曲线3y x =上经过点0-2（，）的切线方程为 . ４.arctan cot x arc x += . ５. 已知()f x的一个原函数为ln(x ，则'()xf x dx =⎰ .６.-((0aa x dx a >⎰为常数）= .7.设()y x 由方程2201y t e dt x y +=⎰所确定，则'y = .8. 设向量,(3,5,),(2,1,4)a x b ==且2a b+与z 轴垂直，则x = .9.经过点(0,3,0)且与平面0y =垂直的直线方程是 .*10. 设22ln y x u +=，则du = .二、计算下列各题（每题7分，共14分）1. 设221x t y t⎧⎪⎨⎪⎩==-求22,dx y d dx dy . 2.已知()f x 连续，求lim ().xx a ax f t dt x a →-⎰ 三、计算下列各题（每题7分，共28分）1.求函数2y x =-. 2.x ⎰.3.12arcsin xdx ⎰. *4.设23222.,,xz u v u e v x y ===+求2.,z zx x y∂∂∂∂∂四、计算下列各题（每题9分，共18分） 1．（1）求过点(0,1,1)M -且与直线20,:270y L x z ⎧⎪⎨⎪⎩+=+-=垂直的平面方程，（2）求点M 到直线L 的距离.*2.将已知正数a 分解为三个正数之和，并使它们的倒数之和为最小.五、（6分）已知()f x 连续，10.()()(),limx f x x f xt dt A xϕ→==⎰（A 为常数） 求（1）(0),(0)f ϕ;（2）'()x ϕ;（3）讨论'()x ϕ在0x =处的连续性.六、（4分）设()f x 在0,1⎡⎤⎣⎦上可微，且120(1)2().f xf x dx =⎰证明：存在(0,1)ξ∈，使得'()()0.f f ξξξ+=2009级高等数学（上）期末试题答案一、填空题（每题3分，共30分）1、向量(2,1,2),(1,,2)a b λ=-=满足a b ⊥，则数λ= .2、过点(1,2,3且与两平面1x y z -+=和3232x y z ++=平行的直线方程为 .3、极限11lim sin 3sin 2x x x x x →∞⎛⎫+=⎪⎝⎭ . 4、已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,sin 2x A x xx xx f 在0=x 处连续，则=A . 5、已知()32='f ，则极限()()01lim 22x f x f x x →++-=⎡⎤⎣⎦ . 6、曲线x e y =过点()0,0的切线方程为 .7、当a = 时,点1x =为2y x ax =-+的极值点. 8、积分0=⎰.9、积分21212sin 1x xdx x -+=+⎰ . 10、已知级数∑∞=+111n na 收敛，则a 的取值范围为 . 二、计算下列各题（每题6分，共12分） 1、已知直线421321:1-=-=-z y x L 和112432:2--=+=+z y x L ，求经过1L 且与2L 平行的平面方程. 2、2(arctan )limx x t dt .三、计算下列各题（每题6分，共18分）1、ln 1x x →-.2、设方程arctan y x=)(x y y =,求dy .3、已知 2ln cot tan x ty t=⎧⎨=⎩ , 求622π=t dx y d .四、计算下列各题（每题6分，共12分）1、设()2ln 1,0()11,101x x x f x x x-+≥⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩ , 求（1）()x f 的单调区间；（2）求()x f 的极值.2、设()f x 的一个原函数是()21ln x x ++, 求()xf x dx '⎰.五、计算下列各题（每题6分，共18分） 1、1⎰2、41⎰.3、0x xdxe e+∞-+⎰.六、计算下列各题（共10分）1、 求幂级数12nnn x n ∞=⋅∑的收敛域及其和函数(6分). 2、设()()()0xa Fx f td t Fb =, ≠, ⎰且'()0F x >，试证：方程()()x baxf t dt f t dt =⎰⎰ 在(,)a b 内有且只有一根.（4分）试题参考解答2001级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共24分） 1.0; 2.2x ; 3. 02()af x dx ⎰; 4.11n n n x n --； 5.12421x y z +-==--； 6.2S ；7.略； 8.不存在.二. 计算下列各题(每小题5分,共25分)1、[解]：240ln(13)0lim0ln(3)ln 3x x x →+==+.2、[解]：1arcsin(ln )arcsin(ln )y x x x x '=+= . 3、[解]：sin cos ()sin()(1)0y x y x cos x y x x y y ''+-++++=()sin()cos sin()sin cos x y x x y y x y x x y x+-+-'=++.4、[解]：2232arctan 1x dx x x c x +=+++⎰. 5、 [解]t =，2sin 2cos 2(cos cos )t tdt td t t t tdt ==-=--⎰⎰⎰⎰2(cos sin )sin t t t c =--=-+.三.计算下列各题(每小题5分,共25分) 1、[解]：111(1)221x dx xdx --=-=⎰⎰.2、[解]：23332232(1)1ln(1)ln 111x xx x dx d e e e e e e -------=-=--=---⎰⎰. 3、[解]：3321,1n n+故∑∞=+1311n n 收敛.4、[解]：12221(1)1lim 2,221n n n n R n ρ+→∞++==∴=+，收敛区间为11(,)22-. 5、[解]{1,2,2},{2,1,2},32{1,8,10}AB AC AB AC =--=---=-，4AB AC ⋅=- 四、解：令2111222111()(1),()(1)211n n n n n n x S x S x x n x -∞∞---=='=-=-=-+∑∑， 21()arctan 1xS x dx x x ∴==+⎰，收敛区间为（-1，1）. 五、解：平面,0742:1=-+-z y x π法向量{}4,2,11-=n ，平面,01253:2=+-+z y x π法向量{}2,5,32-=n..取所求平面的法向量 {}1212424,14,11352i j kn s n n ==⨯=-=--....由点法式方程可得所求平面方程为 24(2)14(0)11(3)x y z --+-++=,即241411810x y z ---=.六、解：曲线b y x y ln ,ln ==及0(0)x b =>所围图形为无界区域，其面积为(ln ln )ln ln bbS b x dx b b x x b b +=-=-+=⎰.七、解：x x x f ln )(=的定义域为0x >，令()l n 10,f x x '=+=得驻点1x e =，当1x e< 时，()ln 10,f x x '=+<当1x e>时，()ln 10,f x x '=+>故x x x f ln )(=在其定义域上的最小值为111()ln f x e e e==-，无最大值.2002级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共24分） 1．34 ；2．1；3．2sin x x -；4．)22(221-=x y ；5．29；6．x cos -；7．0；8．12；9．≤1；10．(1)5f -=-二、试解下列各题(每小题5分,共15分)1．解：原式0sin lim 2x x x →=21=.2．解：()()[()]'()[]x f x x f x dyf e e f e e dx'=+ )()()()(')('x f x x f xxe ef x f ee f e +=.3．解：取对数 cos ln lny x x =，两边关于x 求导得1cos .sin dy x xlnx y dx x=-+， 故 cos cos (sin )xxdy x xlnx dx x=-+. 三、求积分(每小题5分,共20分)1、解：原式⎰=xx de e )sin(c e x+-=)cos(.2、解：原式=⎰2)(arcsin )(arcsin x x d c x+-=arcsin 1. 3、解：令sin x t =,cos dx tdt =,原式2cos c sin cos tdttgt c t t==-+⎰c x x +--=21. 4、解：原式21arctan ()2x xd =⎰21122001[c tan ]221x dxar x x x=-+⎰. 120111.(1)2421dx x π=--+⎰101[c tan ]82x ar x π=-- 2148218-=+-=πππ.四、解：1）2211()dx A x x =-⎰2311[ln ]3x x =-7ln 23=-.2）24211()dx x V x x π=-⎰521157[]5100x x ππ=+=. 五、解：设求直线的方向向量为s ,由于{}2,0,1⊥且{}3,1,0-⊥，则j 1 0 2 2 i 3 j k 0 1 -3i ks ==-++,故直线方程为 143220-=-=--z y x . 六、解:用比值法 10)1()1(lim lim 221<=++=∞→+∞→n n n U U n nn n ,故原级数收敛.七、解：1）一般项为121n a n =-. 2）121limlim 12(1)1n n n na n a n ρ+→∞→∞-===+-，收敛半径11==ρR ,当1x =时，幂级数为1121n n ∞=-∑发散,1x =-时，幂级数为1121n n ∞=--∑发散,故收敛域为（-1，1）. 八、证明：设ex e x f x-=)(，e e x f x-=)('，故当1>x 时0)('>x f ，即1>x 时)(x f单增，故当1>x 时，0)1()(=>f x f ，从而1>x ，ex e x>.2003级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共30分）1、610 ； 2、必要； 3、0a >； 4、2- ； 5、()y dy x ο∆=+∆6、0()0f x '= ；7、0k ≠；8、0()Tt dt ν⎰； 9、6； 10、//a b .二、计算题（共8题，每题5分） 1、因为arctan 2x π<,11ln(1)~x x+（2分） 故原式=arctan lim 0x xx→∞= （5分）2、原式=0lim sin x xx e e x -→- （2分）= 0lim2cos x xx e e x-→+= （5分） 3、()()f x y f x ''=（2分） 22()()()()f x f x f x y f x '''-''= （5分）4、原式 = 2x e xdx ⎰（2分）= 212x ec + （5分）5、原式 = 2sec x xdx xdx -⎰⎰（2分）= 2tan ln cos 2x x x x c +-+ （5分） 6、因为11sin 0x -=⎰（2分）12-=⎰⎰sin x t =2202cos 2tdt ππ=⎰ （4分）故原式022ππ=+=（5分）7、直线过点(1,0,0)- （2分）其方向向量 1{1,1,2}1i j k s= 1 0=-- -1 1（4分）故所求的对称式方程为 112x y +=-=-（5分） 8、解法一：由于动点平行于平面220x y z ++=，故可设所求的 动点轨迹方程为220x y z D +++= （2分）又220x y z ++=过点(0,0,0)，故有 （3分）13D =⇒=±⇒动点轨迹方程为2230x y z ++±= （5分）解法二：动点(,,)x y z 到平面220x y z ++=，即1= （3分）故动点轨迹方程为 2230x y z ++±= （5分） 三、解：0lim ()lim ()1x x f x f x b +-→→=⇒= （2分） (0)(0)2f f a +-''=⇒=-，22,0()(1),0xe xf x x x -⎧ <⎪=⎨- ≥⎪⎩ （4分） 112211()(1)xf x dx edx x dx ---=+-⎰⎰⎰ （6分）21126e =- （8分） 四、解：0()2()()xxF x tf t dt x f t dt =-⎰⎰ （2分）()()()x F x xf x f t dt '=-⎰ （4分）()()F x xf x '''= （6分） 0()0()x F x F x ''>⇒>⇒凹，0()0(x F x F x ''<⇒<⇒凸，故(0,0)是()y F x =的拐点. (8分)五、解：1201a b 2(ax +bx)dx b (1a)3323==+⇒=-⎰ （4分）122220111V (ax +bx)dx (a ab b )523ππ==++⎰ （6分）25(2a 5a 20),V 0a 1354π'=+-=⇒=-令,5V ()04''>,所以5V()4最小.故 53,42a b =-=. （8分）六、证明：存在性：令xb axG(x)f (t)dt-f (t)dt =⎰⎰，则baG(a)f (t)dt=-F(b)=-⎰，baG(b)f (t)dt=F(b)=⎰，2G(a)G(b)F (b)0⋅=-<，由零点存在定理，G(x)在(a,b)内有存在零点; （3分）唯一性：如若G(x)在(a,b)内必有两个零点12,ξξ，由罗尔定理，存在12(,)ξξξ∈,使得()2()2()0G f F ξξξ''===,此与题设矛盾.因此G(x)在(a,b)内仅有一零点. （3分）2004级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共30分）1.1x ;2.154; 3.x 2e+; 4. 二; 5.减少;6.11111ln2∞∞±（-，-）（，+），（-，+），（,）;7. 0 ;8.>19.30;10.3x 7y 5z-40-+=.二、计算下列各题（每题6分，共48分）1．原式=222lim x (arctan ()x 24x ππ→∞==）. 2.xyydx xdy e dx e dy 0+-+=，所以x ye ydy dx e x-=+. 3.221dy 11t 2t dx 2t 1t +==+； 222223d y 11t 1t dx 2t 2t 4t ++=-=- 4.原式=x x x x x x1e e d(1-e )dx x x ln 1e c 1e 1e-+=-=--+--⎰⎰ 5.原式=ln sin xdctgx xctgx ctgxdx xctgx x c =-=-+=-++⎰⎰6令x=2sint .dx=2costdt,当x 0,t 0;x 2,t=2π===，22222200I=4sin t 4cos tdt=16sin t(1sin t)dt ππ⋅-⎰⎰2420131=16(sin t sin t)dt=16()2422πππ⨯--⋅=⎰⨯.7.取12ij ks n n 1022i 3j k 013→→→→→→→→→=⨯==-++-,所求直线方程为 x y 2z 4231--==-. 8.令221u x t .du 2tdt.dt du 2t =-=-∴=-,当2t 0u x =⇒=,当t=x u=0⇒,220x x 011F(x)t f(u)()du f(u)du 2t 2∴=⋅-=⎰⎰,221F (x)f (x )2x xf (x )2'∴=⋅=.三、解：.(1)、x y e '=,设00p(x ,y )为切点,切线方程为:00x x 0y e =e (x x )--,切线过原点(0,0)得:00x 1,y e ==, ∴切线方程为: y e=e(x 1)--,即y ex =. (2)、面积1111x x 200e e A e dx exdx=e x 22-∞-∞⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦⎰⎰. (3)、体积221111x 2x 232x 00V (e )dx (ex)dx=e e x e 236πππππ-∞-∞⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦⎰⎰. 四、解：由连续性+f (1)1b=f (1)ln(1a),b ln(1a)-1=+=+∴=+，又'x 1x 1f (x)f (1)x b 1b(1)lim lim 1x 1x 1f ---→→-+--===--,+22'x 1x 1x 12xf (x)f (1)ln(a+x )-(1+b)2a x (1)lim lim lim x 1x 11a 1f +++→→→-+====--+ 由''2(1)(1)1,a 1,b ln 21a 1f f -+=⇒=∴==-+.五、证明：令F(x)xf (x)=，设12x ,x 为f (x)的任意两个零点.即12f (x )0,f (x )0,==则F(x) 在[]12x ,x 上连续，在()12x ,x 内可导，且12F(x )F(x )0,==由Rolle 定理可知至少存在一点12(x ,x )ξ∈使得F ()0ξ'=，即F ()F ()0ξξξ''+=，因此，在()f x 的任意两个零点之间必须有方程f (x)xf (x)0'+=的实根.2005级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共30分）1．2; 2. 2e 3. 1; 4. )4y x π=-, 5．2x >; 6.32;7.0; 8. 2π;9. 18-; 10.1a >. 二、计算下列各题（每题6分，共42分）1.解：原式()222222022limlimxxt xt x x x x e dt e e dxxexe→→==⎰⎰222202lim2xx x x e e x e→=+=202lim212x x →=+.2.解：21sin 2111(2sin )(cos )()x y e x x x -'=⋅-⋅⋅- 21sin 212sin x e x x -=3.解：两边对x 求导得 (1)x yy xy ey +''+=+ ,解得xe ey y yx yx --=++' 4.解：232272542xx x x y )('+=+=，令0y '= 得驻点3x =-,当3x <-时0<'y ，当30x -<<时0>'y ，故3x =-为极小点,极小值为(3)27y -=.5.解：⎰-+dx e e xx 1=⎰+dx e e x x12=⎰+21)(x x e de =arctan x e c + 6.解：令tdt dx t x 2,==原式：=⎰102dt tet=)(21010dt e te tt⎰-=1220t e e -=2.7.解：所求直线的方向向量s垂直于两已知平面的法向量21n n, ,故取21n n s⨯=310201-=kj i =k j i132++-所求直线方程为：14322-=-=-z y x . 三．（8分）解：11=)(f ，1(10)lim x f ax b a b +→+=+=+, 故当 1=+b a 时，)(x f在 1=x处连续.又2'1111(0)lim lim 211x x x x f x ---→→-+===- '11(0)lim 1x ax b f x ++→+-==-1(1)1lim 1x ax a a x +→+--=- 故当2=a 时，)()()('''111f f f ⇒=+-存在,即当 12-==b a , 时，)(x f 在 1=x 处连续可导.四．（8分）解：221n n 12(1)1 lim lim x 121n nu n x u n ρ+→+∞→+∞+-===- 当12<x ,即11<<-x 时原级数收敛，当12>x ,即11>-<x x 或时原级数发散,故收敛半径1R =，当1±=x 原级数为收敛的交错级数，收敛域为],[11-.设2111()(1)21n n n x s x n -∞-==--∑ ∑∞=---'-='1121121n n n n x x s )()()(=∑∞=---12211n n n x )( 246221111()1x x x x x=-+-==--+ 故 dx x s x s x⎰'=0)()(=dx x x⎰+0211=arctan x . 五．(8分)解：求交点得),(),,(11001．A=⎰-102dx x x )(=61321032=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x .2．1525310105342πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰x x dx x x V x )(. 六．(4分)证明：不妨设210x x ≤<，分别在区间1112[0,],[,]x x x x +上使用拉格朗日中值定理存在),(110x ∈ξ,2112(,)x x x ξ∈+使：=11x x f )()(')()(11100ξf x f x f =-- )(')()()()(22221221221ξf x x f x x f x x x x f x x f =-+=-+-+因为12ξξ<,又"()0f x <,故'()f x 单调减，所以)(')('21ξξf f >,故)()()()()()(2211122111x f x x f x f x x f x x f x x f -+>⇒-+> 即 1212()()()f x f x f x x +>+.2006级高等数学（上）期末试题答案及评分细则一、填空题：（每小题3分，共30分） 1. 2/3; 2. e ; 3. )('20x f ; 4. yex =; 5. )2,2(2e ; 6.2π; 7. 1; 8. 2; 9. 531124-=+=-z y x ; 10. 发散. 二、计算下列各题：（每小题6分，共48分） 1、解:原式=)'2......(42arctan lim )'4........(2arctan limπ==+∞→+∞→x x x x x x2、解: )'2)....(1(2112);.....'4.......(21112222222t tdx y d t t t tdx dy +=+==++= 3、解:在方程两端求微分得:)'4......(0)(33322=+-+xdy ydx a dy y dx x ，)'2......(22dx axy x ay dy --=.4、解:令0)3)(1(6)32(6'2=-+=--=x x x x y 得)'2......(3,1=-=x x , )'2......(0)3('',0)1(''),1(12''><--=y y x y , 极大值,17)1(=-y 极小值)'2......(47)3(-=y . 5、解:原式22sin sin 2sin .......(3')x d x x x x xdx ==-⎰⎰22sin 2cos sin 2cos 2cos x x xd x x x x x xdx =+=+-⎰⎰2sin 2cos 2sin .......(3')x x x x x c =+-+6、解:原式=[])'3).......(13(2ln 12)'3.........(ln 1)ln 1(2211-=+=++⎰e e xxx d7.证明：令)1(0)(',)(>>-=-=x e e x f ex e x f xx……(4’))(x f 单调增加, 当1>x 时, 0)1()(=>f x f 成立 …..(2’)即当1>x 时，不等式ex e x>成立.8、解：直线的参数方程为2342x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩........(4')代入平面方程解出 )'2......(1-=t ， 所求交点为（1，2，2） (2’). 三、解: 11lim lim1=+=∞→+∞→n na a n nn n ,收敛半径1R =,收敛区间为(-1,1) (3’)；1-=x 时,原级数为∑∞=-11n n ,发散, 1=x 时,原级数为111(1)!n n n ∞-=-∑收敛,故 收敛域为(]1,1-….. (2’)；由级数xx n n n +=-∑∞=--11)1(111两端积分得:)1ln(11)1(101x dx xn x n x n n +=+=-∑⎰∞=-为所求的和函数 (3’). 四、解:(1) )'4......(2ln 2111021+=+=⎰⎰dx x xdx A ； (2) 12220115()......(4')6x V x dx dx x πππ=+=⎰⎰.五、证明：令1)(2)(0--=⎰dt t f x x F x，则)(x F 在区间[0，1]上连续，0)(11)(2)1(,01)0(1>-=--=<-=⎰ξf dt t f F F ，由零点定理知存在),1,0(0∈x 使0)(0=x F ……. (2’) 又0)(2)('>-=x f x F ，)(x F 在区间[0，1]上是严格单调增加的，从而零点唯一.(2’).2007级高等数学（上）期末试题答案二、填空题：（每小题3分，共30分）1． 1- ； 2． 跳跃 ； 3．(sin )cos f x xdx '； 4． π； 5．(0,0) ；6．cos sin x x x C -+； 7． 3 ； 8．22z x y =+； 9． 收敛 ；10．(0,2) ；二、计算下列各题：（每小题6分，共48分）1、[解]：原式=2321113(2)lim lim 111x x x x x x x x→→++--+==--++ 2、[解]：33321()()31x lnx x dy e x e x e dx x'=⋅-=-3、[解]：两边对x 求导得0x x xyyy e y e yy xy e e y y dy dx e x e x--'''+-+= ⇒ = ∴=++ 4、[解]：2()666(1)f x x x x x '=-=-，()1266(21)f x x x ''=-=-由(0)0f '=得驻点0,1x = ，(0)60f ''=-<，(1)60f ''=>，所以 极大值：(0)0f =，极小值(1)1f =- 5、[解]：法一：2211sec tan 1cos 222cos2x x dx dx dx C x x ===++⎰⎰⎰ 法二：原积分2221cos 1cos 1cot 1cos sin sin sin x x dx dx dx x C x x x x-==-=-++-⎰⎰⎰ 6、[解]：原式=4141113ln 4ln 21222x x x dx x -=-⎰7、[解]：原式=323202221002()()()()103232x x x x x x dx x x dx --+++=-+++-⎰⎰629456== 8、[解]:所求直线的方向向量s 垂直于已知平面的法向量12,n n ，所以：1224//{2,4,1}0i j s n n i j κ=⨯ = 1 0=- +8 + 2κ - 1 -4所求直线的方程为：124241x y z ---==- 三、（9分）[解]:（1）23y x '=，12k =，则切线方程为：812(2)y x -=-即：12160y x -+=； （2）42302404x S x dx ===⎰；（3）258233083642832055y V y dy y πππππ=⋅⋅-=-=⎰四、（9分）[解]: （1）0!n xn x e n ∞==∑，所以：01!n e n ∞==∑；（2）2012101111122!(1)!(2)!(1)!!n n n n k n n e n n n n k ∞∞∞∞∞=====-+==+==---∑∑∑∑∑五、（4分）[证明]: 记0011,()()()nn x nnx x t u F x f u du f u du n n -= ⇒ =-=⎰⎰，12212100001()()()11()lim lim lim lim 222n n n n n n nx x x x f x nxF x F x f x n x nx n x n x ---→→→→'=== 01()(0)1lim (0)202n t f t f x t f n t n→-'==-2008级高等数学（上）期末试题答案一、填空题(每题3分)1.k =3；2.-2e ；3..320y x -+=；4.2π；ln(x c +； 6.22a π；7.2'22y xy y e x -=+；8. 2x =-；9. 00x z ⎧⎪⎨⎪⎩==；10.22xdx ydydu x y+=+ 二、1解：1,dy dx t=- 4分 222311dy d y dt t dx t dx t dt'=== 7分 2.解：原式=lim(()())xx a a f t dt xf x →+⎰ 5分()af a = 7分三、1. 解： 1'322yx -=- 3分得驻点1x =及0x =为不可导点 5分(0)0y =(极大值) 1=-1y （）（极小值） 7分2. 解：令2sin x t =原式2sin 2=4tdt ⎰2分2=4sin 2(1cos4)2tdt t dt =-⎰⎰ 5分12sin 42t t c =-+ 6分12arcsin sin 4arcsin 222x xc =-+ 7分3.解：原式11220[arcsin ]x x =-⎰4分120]11212ππ=+= 7分4. 解：4223222(4()6())x ze x y x x y x∂=+++∂ 4分 422222422222(24()24())24()()x x e y x y xy x y ye x y x y x z x y=+++=+++∂∂∂ 7分 四、 1. 解：（1）直线L 的方向向量010102ij ks = 2分(2,0,1)=- 4分过点(0,1,1)M -且与直线L 垂直的平面方程为：2(0)0(1)1(1)0210x y z x z -++-+=⇔-+= 5分（2）联立20,270210y x z x z ⎧⎪⎨⎪⎩+=+-=-+=得垂足(1,2,3)N - 7分所以，d MN =分2.解：设,(,,0)x y z a x y z ++=> 111(,,)f x y z x y z=++ (,,)(,,)()F x y z f x y z x y z a λ=+++- 4分222000x y z F x F y F z x y z aλλλ---⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩=-==-==-=++= 7分 得3ax y z ===9分 五、解：由已知及0()lim x f x A x→=得(0)0,f =(0)0ϕ= 2分 010()(0)()()xf u du x xx f xt dt ϕ≠==⎰⎰ 4分'02'02()()()(0)lim 2(0)()xxx xf x f u duxf u du Ax x x ϕϕ→-==≠=⎰⎰ 5分又'0lim ()2x Ax ϕ→=故()x ϕ连续 6分 六、证明：设()()x xf x ϕ= 1分 则11111(1)(1)()()(0,)2f f ϕξξϕξξ===∈ 3分故在1[,1]ξ上由罗尔定理得至少有一点ξ使'1()0(,1)(0,1)ϕξξξ=∈⊂ 即存在(0,1)ξ∈使得'()()0.f f ξξξ+= 4分昆明理工大学2009级高等数学A(1)参考解答及评分标准一1.=2λ; 2.23101y z x ---==-; 3.12; 4.1; 5.6; 6.ex ; 7.2; 8.π; 9.π; 101a >. 二1.111(9,14,1)323i j kn =-=-9(1)14(3x y --+-+）(z-2)=091435x y z -++=2.原式22(arctan )lim 16x x xπ→+∞==三1.原式0lim12x x x→-==-2. 解:等式两端对x 求导得：2''22222x y x y xy y x y x x y ++⋅=++ ''y x y x yy -=+ '()x yy x y x y+=≠- x ydy dx x y+=- 3.22sec 1tan 2tan csc 2dy t t dx t t ==--22221sec 12tan 2tan csc 4td y t dx t t -==-26t d y dx π==四1.'2101()110(1)x x x f x x x -⎧>⎪+⎪=⎨-⎪-<<+⎪⎩,'(0)1f =-令'()0f x =得1x =单增区间[1,)+∞,单减区间(1,1]-; 极小值(1)12ln 2f =-. 2.'()()xf x dx xdf x =⎰⎰()()xf x f x dx =-⎰()ln(xf x x c =-+(又'()(ln(f x x ==ln(x c ==-+五1.原式211(1)12d +-=21(1x =-+= 2.原式411xx d x=-+⎰4arctan 24π=-+5arctan 212π=--3. 原式201xxde e +∞=+⎰arctan 4x eπ+∞==六1.112lim 1(122n nn n n x x n n x ++→∞⋅=<+） 2R =,2x =发散,2x =-收敛, 收敛域为[2,2)-令1()2nn n x s x n ∞==∑1'1112()2212n nn x s x x x -∞====--∑ 001()ln(2)ln 2ln(2)2xxs x dx x x x==--=---⎰2.设()()-()xbaxx f t dt f t dt ϕ=⎰⎰2()()(())0b aa b f t dt ϕϕ=-<⎰ 故由零点定理至少有一ξ使()0ϕξ=而''()2()2()0x f x F x ϕ==>,()x ϕ单调, 故仅有一根.。
昆明理工大学2011级《高等数学》A(2)期末试卷及参考答案
昆明理工大学2011级《高等数学》A （2）期末试卷一、单项选择题（每小题4分，共20分）1.设),(y x f z =在点),(00y x 处取极小值，则函数),()(0y x f y =ϕ在0y 处（ ）。
)(A 取最小值，)(B 取最大值，)(C 取极大值，)(D 取极小值。
2.已知全微分dy y x dx xy x y x df )()2(),(222-++=，则).(),(=y x f,33)(323y y x x A +-,33)(323y y x x B --,33)(323y y x x C -+.33)(323C y y x x D +-+3.设),0(:222>≤+a a y x D 要使,222π=σ--⎰⎰d y x a D则.)(=a.21)(,43)(,23)(,1)(333D C B A 4.微分方程y y dxdyxln =满足条件2)1(e y =的特解为.)(=y .)(,)(,)(,)(2221xe D e C e B eA xx x+5. 微分方程x xe y y 22='-''的特解*y 的形式为.)(.)()(,)(,)(,)()(22222x x x x e B Ax x y D e Ax y C Axe y B e B Ax y A +===+=****二、填空题（每小题4分，共20分）1.过曲面224y x z --=上点P 处的切平面平行于,0122=-++z y x 则P 点的坐标是 .2.设10,10:≤≤≤≤y x D ，则=-⎰⎰dxdy x y D.3.设曲面∑为上半球面229y x z --=的上侧，则zdxdy ∑=⎰⎰ .4.设曲线L 为)0(222>=+a ax y x ，则=⎰Lds .5设)(x ϕ在),0(+∞有连续导数，,1)(=πϕ要使积分dy x dx xyx x I L)()]([sin ϕ+ϕ-=⎰在0>x 时与路径无关，则=ϕ)(x .三 (9分).设),(y x z z =是由0),(=--bz y az x F 确定的隐函数，而),(v u F 可微，验证1z zab x y∂∂+=∂∂.四(9分)计算,222dv z y x I ++=⎰⎰⎰Ω其中Ω是.2222z z y x ≤++五(9分)用格林公式计算,)2(2ydx x dy x xy I L--=⎰其中L 为闭区域41:22≤+≤y x D 的正向边界曲线。
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昆明理工大学《高等数学》A (2)重修试卷(2013年)
一.填空题.（每题4分，共48分）
1.设)cos sin(),(y x y x f +=，则)2,0(π
x f = 1 .
注：)cos cos(),(y x y x f x
+=
2.设y x z =，则=dz xdy x dx yx y y ln 1+-
3.设0),,(=z y x F 可确定任一变量是其余两变量的函数，则
=∂∂∂∂∂∂z
y
y x x z ..1-. 4.曲面14222=++z y x 上点（1,2,3）处的切平面方程为
01432=-++z y x .
注：14),,(222-++=z y x z y x F ,z F y F x F z y x 2,2,2===, 2(x-1)+4(y-2)+6(y-3)=0 5.交换积分次序，则=
⎰⎰
dy y x f dx x x
1
0),(dx y x f dy y y ⎰
⎰
10
2
),(.
6.设D 为x y x 222≤+，则σd y x f D
⎰⎰+)(22在极坐标下的二次积分为
ρρρθθ
ππ
d f d ⎰
⎰-cos 20
2
/2
/)(.
7.设L 为122=+y x 在第一象限的弧段，则ds e
L
y x ⎰+2
2=e π2
1
.
8.曲线积分⎰
=+)
8,6()
0,0(ydy xdx 50 .
注：)
8,6()0,0(22|)(2
1y x +
9.设曲面∑为221y x z --=，则⎰⎰∑
++dS z y x )(222=π2.
10.设∑是母线平行于z 轴的柱面，则⎰⎰∑
dxdy z y x f ),,(= 0 .
11.微分方程2013=+'y y x 的特解为2013=y .
12.微分方程054=+'-''y y y 的通解为)sin cos (212x C x C e x +.
二..计算题.（每题8分，共24分）
1.设(,)u v Φ具有连续偏导数,(,)z z x y =由方程(,)0cx az cy bz Φ--=所确定,求
z
x
∂∂, z y ∂∂. 解：0)()(21=∂∂-Φ+∂∂-Φx z
b x z a
c 2
11Φ+ΦΦ=∂∂⇒b a c x z 0)()(21=∂∂-Φ+∂∂-Φy
z
b c y z a
212Φ+ΦΦ=∂∂⇒b a c y z 2.求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值.
解：由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=∂∂=-+=∂∂0ˆ630ˆ9632
2
y y y z x x x
z 得四个驻点
)2,1(),0,1(),2,3(),0,3(4321P P P P --
6622+=∂∂=x x
z
A ,02=∂∂∂=
y x z B ,6622+-=∂∂=y y z C (1)对P2:A=-12<0,B=0,C=-6<0, AC-B²=72>0,f(-3,2)=31为极大值. (2)对P3点: A=12>0,B=0,C=6>0, AC-B²=72>0, f(1,0)=-5为极小值; (3)对P1,P4点,都有AC-B²<0,故此两点不是极值点;因此:f(x,y)=x³-y³+3x²+3y²-9x 的极值点为: (1,0)对应极小值:f(1,0)=-5,(-3,2)对应极大值:f(-3,2)=31.
3.求曲面222y x z +=与2226y x z --=所围立体的体积. 解：222y x z +=,2226y x z --=222=+⇒y x
所求体积⎰⎰⎰--+=
2
22
2
262y x y x D dz dxdy V xy
⎰⎰--=xy D dxdy y x )2(322
⎰⎰-=2
220
)2(3ρρρθπ
d d ⎰-=2
3)2(6ρρρπd
=πρρπ6|)}4
1(6204
2=-
三．计算曲线积分⎰+-L
y
x ydx
xdy 2
2，其中L 是不过原点的正向简单闭曲线.（8分） 解：2
2),(y x y y x P +-
=,2
2),(y x x y x Q +=
2
2222)
(y x x y x Q +-=∂∂,2
2222)
(y x y x y P ++-=∂∂
(1)当L 不包含原点时
⎰+-L
y
x ydx
xdy 2
2=0)(=∂∂-∂∂⎰⎰dxdy y
P
x Q D
(2)当L 包含原点时，在L 内作以原点为圆心半径为r 的小圆C （正向取顺时针方向），则
⎰+-L y x ydx xdy 22=
⎰⎰
-
+
+C C
L =0+π
θθθθπ
2)
cos (sin )sin (cos 20
2
=-⎰r r d r r d r
四.计算曲面积分⎰⎰∑
yzdxdy ，其中∑是平面0,0,0===z y x 与
1=++z y x 所围四面体的边界曲面取外侧.（10分）
解：∑由四部分组成，以321,,∑∑∑分别表示位于坐标面的三部分，另一部分以4∑表示。
显然=⎰⎰∑1
⎰⎰∑2
=03
=⎰⎰∑
从而⎰⎰⎰⎰∑∑
=1
yzdxdy ⎰⎰∑++4
=⎰⎰∑4
⎰⎰--=
xy
D dxdy y x y )1(=⎰
⎰---x
dy y x y dx 10
210
])1([
=⎰-103)1(61dx x =24
1|)1(24110
4=--x
五.求解微分方程： 1)0(,0)0(,22='==-'+''y y x y y y （10分）
解：022=-+r r 1,221=-=⇒r r ,齐次方程通解:x x e C e C 221+- 设原非齐次方程的特解为B Ax y +=,
21
,1222-
=-=⇒=--B A x B Ax A
原非齐次方程的通解为2
1221-
-+=-x e C e C y x x 12'221-+-=-x x e C e C y
1)0(,0)0(='=y y 112,02
1
2121=-+-=-
+⇒C C C C 1,2
1
21=-=⇒C C
原方程的解为2
1
212--+-=-x e e y x x。