高数重修1习题详解

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1011高数A一补考试题及解答

f x dx f x .
知识点：不定积分和导数的关系，分析微分运算与求不定积分的运算是互逆的. d d[ f ( x )dx] f ( x )dx f ( x )dx f ( x ) dx

F ( x )dx F ( x ) C
key : A
分析利用函数的一阶导数和二阶导数符号判断函数的单调性和凹凸性.
key : D
5.
下列等式正确的是
( A)
A .
d ( B) f x dx f x C ; dx ( D)
df x f x C ;
b a
(C ) d f x dx f x dx;
2 2
5 2 3 x 4. ( x 1) dx 3 x xC 1 5
5.

0
1 x
1 dx _______ . 2 2
二、选择题（每小题2分，共10分）
1. “数列有界{xn }? 是“数列极限 lim xn 存在”的 C . n
( A) 充分必要条件;
2e x sin x .
四、计算题（每小题8分，共16分）
1. 设y e cos x, 求y.
x
x x 解： y e cos x e sin x
x x x x y e cos x e sin x e sin x e cos x.
2e x sin x .
证明：设 f ( x ) x 3 x 1， f (0) 1，f (1) 1，
由零点定理 x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0.
即方程至少有一个小于1的正实根.

高数重修试题

⾼数重修试题⼀（1）设k j i b k j i a 42,253++=-+=，问λ和µ有什么的关系，能使得b aµλ+与z 轴垂直？（2）已知k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ?的⾯积。

（3）已知23,3,2,1,,3A a bB a b a b a b π=+=-===求,BA B prj A ?（4）设向经,522k j i M O ++=从点)1,2,1(P 出发，向M O 作垂线PQ ,求向量Q P和长度。

（5）分别画出223yx z +-=,2211y x z ---=⽅程所表⽰的曲⾯。

（6）求上半球2220yx a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a axy x 的公共部分在xoy 坐标⾯上的投影。

（7）求两平⾯012=+-+z y x 和012=-++-z y x ⾓平分⾯的⽅程。

42012=--+=--+z y x z y x 的直（8）求过点)1,2,1(-，并且平⾏直线线⽅程。

（9）求直线211232-+=-=+z y x 与平⾯08332=-++z y x 的交点和夹⾓。

（10）求点)0,2,1(-在平⾯012=+-+z y x 上的投影。

（11）求点)1,3,2(在直线322217+=+=+z y x 上的投影。

4201=-+-=+-+z y x z y x 的距离。

（12）求点)2,1,3(-P 到直线（13）求直线22x y z=??=?绕z 轴旋转⼀周的曲⾯⽅程并画出它的⼤致图形。

（14）求过直线026x y x y z +=??-+=?且切于球⾯2229x y z ++=的平⾯⽅程。

（15）设122112:,:112211x y z x y z L L -++-====--（1）判断12,L L 是否相交，若相交求出交点P 和相交平⾯π；（2）在平⾯π上求⼀过P 点直线L ，且L 与1L 和2L 的夹⾓相同。

⼆：（1）求1)sin(1lim)0,0(),(--→xy xy y x 。

大一高数习题1答案解析

大一高数习题1答案解析大一高数习题1答案解析高等数学作为大一学生必修的一门课程，对于很多学生来说是一门相对较难的学科。

在学习过程中，习题的解答是非常重要的一环。

本文将对大一高数习题1的答案进行解析，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。

1. 题目：计算函数f(x)=3x^2-2x+1在x=2处的函数值。

解析：将x=2代入函数f(x)，得到f(2)=3(2)^2-2(2)+1=12-4+1=9。

所以函数f(x)=3x^2-2x+1在x=2处的函数值为9。

2. 题目：已知函数f(x)=x^3-2x+1，求f'(x)。

解析：对函数f(x)进行求导，首先对x^3-2x+1分别求导，得到3x^2-2。

所以函数f'(x)=3x^2-2。

3. 题目：已知函数f(x)=x^2+2x+1，求f(-1)。

解析：将x=-1代入函数f(x)，得到f(-1)=(-1)^2+2(-1)+1=1-2+1=0。

所以函数f(x)=x^2+2x+1在x=-1处的函数值为0。

4. 题目：已知函数f(x)=2x^3+3x^2-4x+1，求f''(x)。

解析：对函数f'(x)=6x^2+6x-4进行求导，得到f''(x)=12x+6。

5. 题目：已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)=0的解。

解析：将f'(x)=3x^2-3=0，化简得到x^2-1=0，进一步化简得到(x-1)(x+1)=0。

所以f'(x)=0的解为x=1和x=-1。

通过以上习题的解析，我们可以看出大一高数习题1主要涉及函数的计算和求导。

在解答这些习题时，我们需要掌握函数的基本运算规则和求导的方法。

同时，我们还需要注意一些常见的计算错误，比如在计算过程中漏写符号、计算错误等。

在学习高等数学的过程中，习题的解答是非常重要的，它可以帮助我们巩固所学的知识，提高解题能力。

因此，我们要充分利用课后习题，多做练习，加深对知识点的理解和掌握。

高等数学重修A(II)19春

16．求点 (3,1, −1) 到平面 x + y + z − 20 = 0 的投影坐标。
19．求点 (2,1,1) 到平面 x + y − z +1 = 0 的距离。
1
多元函数微分法及其应用
2．求极限 lim x→0 y→0
3．求偏导数
xy +1 −1 xy
（1） z = x3 y + exy − sin(x2 − y2 ) ，求 ∂z 及 ∂z ∂x ∂y
11．求过点
(−1,
2,1)
且平行于直线
⎧ ⎨ ⎩
x x
+ +
y 2
−2 y−
z z
−1 +1
= =
0 0
的直线方程。
12．求过点
(2,1,1)
且垂直于直线
⎧x + 2 ⎨⎩2x +
y y
− −
z z
+1= =0
0
的平面方程。
13．将直线一般式
⎧x − y ⎨⎩2x +
+z y+
=1 z=
4
化为对称式方程和参数式方程。
∫ 6.利用格林公式计算 − x 2 ydx + xy 2dy ，其中 L 为沿圆周 x2 + y2 = a2 正向一圈的 L
路径。
∫ 7. 用两种不同的方法计算曲线积分 (x 2 + y 2 )dx + (x + 2)dy ，其中 L 是以 L
O (0, 0) ， A(1, 0) , B (0,1) 为顶点的三角形的正向边界曲线。
（2） z = ln(x + y ) ，求 ∂z 及 ∂z

高等数学重修复习题(完整版)

x
xx
x2 x 1
3.
lim
x 1
(x 1)2
4． lim 1 ( 1 1 ) x0 x sin x tan x
5．
lim
n
3n
arcsin
4 5n
1
6． lim(x e x ) x x0
7. lim x0
1 2 tan2 x 1 x2 x(e x 1)
8. lim 1 3x 1 x
3. d ( e x2 sin 2x) =
dx ．
4．设函数 f (x) (x 1)(x 2)(x 2014) ，则 f (2014) =
．
5. y esin2 x ，则 dy ______________．
二、选择题
1．设
f
(x0
)
1
，则
lim
h0
f (x0
3h) 1 h
f (x0 1
二、选择题
1．若数列
xn
满足
lim
n
xn
a ，则数列 xn 在 a 的任一
邻域之外（其中
0 ）数列中
的点（）
（A）必不存在；
（B）至多只有有限多个；
（C）必定有无穷多个；
（D）可以有有限多个，也可以有无穷多个。
2．下列结论错误的是（）．
（A）函数 f (x) sin 1 是有界函数；（B）当 x 0 时，函数 f (x) sin 1 的极限存在；
五、求下列参数方程所确定的函数的一阶导数 dy 和二阶导数 d 2 y ：
dx
dx 2
1）
x y
cos sin
3 3
t t
；
六、设 f (x) 为可导函数，求 dy ： dx

高数重修1习题详解Word版

第1章函数与极限1.用区间表达函数)4arcsin()3ln(-+-=x x xy 的自然定义域]5,4()4,3(⋃.解：应14,03,0)3ln(≤->-≠-x x x ，得141,3,13≤-≤->≠-x x x ，得]5,4()4,3(⋃. 3.已知1)1(2++=+x xxe ee f ,求)(x f 的表达式.解法1：因为1)1()1(1)1(22++-+=++=+x x x xxe e e ee f ，所以1)(2+-=x x x f .解法2：令1+=xe u ，则)1ln(-=u x ，代入式1)1(2++=+x xxe e ef ，得11)1()1(1)(22)1ln()1ln(2+-=+-+-=++=--u u u u e e u f u u ，即得1)(2+-=x x x f . 5.A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 0.6.=+→x x x 0lim 1 ,=-→x x x 0lim ―1 ,处的极限情况为不存在 .解：在极限xx x +→0lim 中，+→0x ，此时0>x ，所以11lim lim lim 000===+++→→→x x x x x x x ，在极限x x x -→0lim 中，-→0x ，此时0<x ，所以1)1(lim lim lim 000-=-=-=+--→→→x x x xx x x ，因为A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 00，所以，xxx f =)(在0=x 处的极限xxx 0lim →不存在.1.若)(lim 0x f x x →存在,则)(x f B .A.有界;B.在),(0oδx U 内有界; C.在任一),(0δx U 内有界; D.以上结论都不对.解：A 选项不正确：因为函数极限存在时具有局部有界性，即保证函数在取极限的附近有界，在0x x →定点的情形，则是保证函数在0x 的去心邻域),(0oδx U 内有界； B 选项正确：即函数极限的局部有界性；C 选项不正确：应该是在某．一去心．．邻域内有界.2.设xe xf x1arctan )1()(1+=,当-→0x 时,观察)(x f 的变化趋势,可得=-)0(f C . A.0; B.2π; C.2π-; D.∞.解：)(lim )0(0x f f x -→-=，当-→0x 时，-∞→x 1，从而01→x e ，21arctan π-→x ，故2)2()01()(lim )0(0ππ-=-⋅+==-→-x f f x . 1.以下判断正确的是 D .A.xe 是无穷大量; B.x1是无穷小量; C.若当0x x →时,)(x f 是无穷小量,则)(1x f 是无穷大量; D.若A x f x x =→)(lim 0,则当0x x →时,A x f -)(是无穷小量.解：A 、B 选项都不正确：因为无穷大量及无穷小量都是针对自变量的一个变化过程而言的，但是A 、B 选项都没有给出自变量的变化过程.对于A 选项，例如，+∞=+∞→x x e lim ，因而xe是当+∞→x 时的无穷大量；又有1lim 0=→xx e ，因而当0→x 时xe 不是无穷大量. 对于B选项，例如，01lim =∞→x x ，因而x 1是当∞→x 时的无穷小量；又有∞=→xx 1lim 0，因而当0→x 时x1不是无穷小量，而是无穷大量. C 选项不正确：这是因为，如果0)(≡x f ，那么)(x f 对于自变量的任何变化过程而言都是无穷小量(当0x x →时亦然)，但是式)(1x f 无意义. D 选项正确：根据无穷小与函数极限的关系定理：在自变量的同一变化过程0x x →(∞→x )中,函数)(x f 具有极限A 的充分必要条件是α+=A x f )(,其中α是无穷小.2.试说明函数x x x f cos )(=在),(+∞-∞上无界,并说明)(x f 不是+∞→x 时的无穷大量.解：先说明函数x x x f cos )(=在),(+∞-∞上无界：因为对0>∀M ,在),(+∞-∞上总能找到这样的x ,使得M x f >)(.例如),2,1,0( 2)2cos(2)2( ±±===k k k k k f ππππ,当k 充分大时,就有M k f >)2(π.再说明函数)(x f 不是+∞→x 时的无穷大量：因为对0>∀M ,找不到这样的时刻X ,使得对于一切大于X 的x ,都有M x f >)(.例如),2,1,0( 0)22cos()22()22( ==++=+k k k k f ππππππ,对于任意大的X ,当k 充分大时,总有X k x >+=22ππ,但M x f <=0)(.1.01sin lim 0=→x x x 的理由是有界函数x 1sin 与无穷小x 的乘积是无穷小 . 2.=-++→2232)2(2lim x x x x x ∞. 解：因为022220)2(lim )2(lim 2)2(lim 23232222322=+⋅+=++-=++-→→→x x x x x x x x x x x ，所以所求极限∞=-++→2232)2(2lim x x x x x . 3.=++-∞→503020)15()23()32(lim x x x x 503020532⋅. 解：所求极限是有理分式函数当∞→x 时的极限，并且分子、分母多项式的次数(x 的最高次)相同(均为50次)，则知极限值应为分子、分母x 的最高次的系数之比.因分子x 的最高次的系数是302032⋅,分母x 的最高次的系数是505,所以所求极限值是503020532⋅. 4.已知51lim21=-++→xcbx x x ,则=b ―7 ,=c 6 . 解：因为当1→x 时,分母)1(x -的极限为0,而分子)(2c bx x ++是多项式, 故当1→x 时,分子)(2c bx x ++的极限必存在,又已知51lim21=-++→xc bx x x 是有限值,所以分子)(2c bx x ++的极限应为0,即01)(lim 21=++=++→c b c bx x x ,得1--=b c .此时=--+-=---+=-++→→→x x b x x b bx x x c bx x x x x 1)1()1(lim 11lim 1lim 21212152)1(lim 1=--=---→b b x x ,得7-=b ,6=c .1.若}{n x 、}{n y 均发散,则下列判断正确的是 D .A.}{n n y x ±一定发散;B.}{n n y x ⋅一定发散;C.}{nny x 一定发散; D.以上结论都不对.解：A 、B 、C 选项都不正确，则D 选项正确：举例如1)1(,)1(+-=-=n n n n y x ，}{n x 及}{n y 均发散，但0=+n n y x 收敛.又例如n n n y x )1(-==，}{n x 及}{n y 均发散，但0=-n n y x 、1=⋅n n y x 及1=nny x 均收敛. 2.若}{n x 收敛,}{n y 发散,则下列判断正确的是 A . A.}{n n y x ±一定发散; B.}{n n y x ⋅一定发散; C.}{nny x 一定发散; D.以上结论都不对.解：A 选项正确(则D 选项不正确)，证明如下：设n n n y x z ±=，则n n n x z y ±=，用反证法，如果}{n z 收敛，则根据两函数和差的极限运算法则，有n n n n n n n n n x z x z y ∞→∞→∞→∞→±=±=lim lim )(lim lim ，即n y 收敛，此与}{n y 发散矛盾，故n n n y x z ±=一定发散. 证毕.B 、C 选项都不正确：举例如0=n x 收敛，nn y )1(-=发散，成立0==⋅nnn n y x y x 收敛. 5.)1311(lim 31xx x ---→; 解：11)2(lim )1)(1()2)(1(lim 13)1(lim )1311(lim 212132131-=+++-=++-+-=--++=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x . 6.xx x x +---→131lim 21;解：=++-+--++--=+---→→)13)(13()13)(1(lim 131lim 2121x x x x x x x x x x x x222)13)(1(lim )1(2)13)(1(lim 121-=++-+-=-++--=→→x x x x x x x x x . 7.)2141211(lim n n ++++∞→ ; 解：2211211lim)2141211(lim =--=++++∞→∞→nn n n . 8.)35(12721lim 2-++++-+∞→n n n n . 解：=--+=--+=-++++-+∑∑∑==∞→=∞→∞→n i n i n n i n n i n n i n n n n n 112122351lim )35(1lim )35(12721lim 5232)1(51lim 2=-+⋅-+∞→nn n n n n . 1.=→x xx ωsin lim 0ω. 解：ωωωωω=⋅=→→xx x x x x sin lim sin lim 00. 2.=-→x xx ππsin lim 1 . 解：1)sin(lim sin lim =--=-→→xx x x x x πππππ 3.=∞→n n n x 2sin 2lim x . 解：x x x x x nnn n n n =⋅=∞→∞→22sin lim2sin 2lim . 4.=+∞→nn n n 2)1(lim 2-e . 解：=+-+-=+---∞→∞→212)]111()111[(lim )1(lim nn n n n n n n 2221221)111(lim ])111[(lim )111(])111[(lim --∞→---∞→----∞→=+-⋅+-=+-+-=e nn n n n n n n n .或2221)11()11(1lim )/)1(/(lim )1(lim enn n n n n n n n n n n n n n =++=+=+∞→∞→∞→.5.若6)311(lim e x kxx =+-∞→,则=k ―6 .解：=+-+-=+-=+----∞→∞→∞→kx x k x x kx x x x x x ])311()311[(lim ])311[(lim )311(lim 336331])311(lim ])311[(lim e e x x k kx k x x =⋅=+-⋅+-=--∞→---∞→，得6-=k . 6.要使函数2tan )(x xx f =是无穷大,则要求x 趋于值),2,1(2 ±±=k k π.解：函数2tan )(x xx f =的定义域为}),,2,1,0({R x k k x x D ∈±±=≠= π.因为对任意点D x ∈0，根据两函数商的极限运算法则，必有)(2tan2tan lim)(lim 000x f x x x x x f x x x x ===→→是有限值，所以，使函数2tan )(x x x f =是无穷大的点只可能是不属于其定义域的点，即),2,1,0( ±±==k k x π.将这样的点分为3类，来求函数在该点处的极限：)()12(;0);,0(2Z k k x x Z k k k x ∈+==∈≠=ππ，求得)0(,02tanlim )(1lim 22≠==→→k xx x f k x k x ππ，所以)0(,)(lim 2≠∞=→k x f k x π；而22tan 2lim 22tan lim )(lim 000===→→→xxx xx f x x x ；02tan lim)(lim )12()12(==+→+→x x x f k x k x ππ)02sin 2coslim2tan 1lim()12()12(==+→+→x xx k x k x ππ；所以),2,1(2 ±±=k k π为所求.2.=-→x x x cos 1lim0 C . A.0; B.1; C.不存在; D.22.解：因为222sin2lim 2sin 2lim cos 1lim 0200===-+++→→→x x x x x x x x x ， 222sin2lim 2sin 2lim cos 1lim 0200-=-==-+--→→→x x x x x x x x x ，左、右极限存在但不相等，所以该极限不存在，C 选项正确.1.]ln )1[ln(lim n n n n --∞→;解：1])11ln[(lim )11ln(lim 1lnlim ]ln )1[ln(lim 1-=-+=-=-=----∞→∞→∞→∞→n n n n n n nn n n n n n n . 2.)1cos arctan 1(lim 0x x x x x ⋅-→; 解：1011cos lim arctan lim )1cos arctan 1(lim 000=-=⋅-=⋅-→→→xx x x x x x x x x x . 3.xx x x 3)1212(lim -+∞→; 解：=-+=-+=-+∞→∞→∞→333])21211[(lim )1221(lim )1212(lim x x x x x x x x x x 2332122312)]21211(lim ])21211[(lim )]21211()21211[(lim -+⋅-+=-+⋅-+=∞→-∞→-∞→x x x x x x x x x 331e e =⋅=.4.x x x 4tan )21ln(lim 0+→; 解：212111214tan 42)21ln(lim 4tan )21ln(lim 00=⋅⋅=⋅⋅+=+→→x x x x x x x x . 四利用极限存在准则证明：1.1)1211(lim 222=++++++∞→πππn n n n n n .证明因为)1211(222πππn n n n n ++++++ ππππ+=++++++≤22222)111(n n n n n n , 又)1211(222πππn n n n n ++++++ ππππn n n n n n n n n n +=++++++≥22222)111( , 而1lim 22=+∞→πn n n ,1lim 22=+∞→πn n n n ,由夹逼准则,得1)1211(lim 222=++++++∞→πππn n n n n n . 证毕. 1.当0→x 时,与x 等价的无穷小有aa x e x x x x x xln 1),1ln(,1,arctan ,arcsin ,tan ,sin -+-.解：根据等价无穷小的定义，只需逐一验证，1sin lim0=→x x x ，1tan lim 0=→x x x ，1arcsin lim 0=→xxx ，1arctan lim 0=→x x x ，11lim 0=-→x e x x ，1)1ln(lim 0=+→xx x ，1ln 1lim 0=-→x a a x x .2.设0→x ,则~cos 1x -22x ,~11-+n x nx.解：根据等价无穷小的定义，只需验证，12cos 1lim 20=-→xx x ，111lim 0=-+→n x x nx ：成立1)2(2sin lim 22sin 2lim 2cos 1lim 22022020===-→→→x xx x x x x x x . 成立=++++++-+=-+---→→])1()1()1([1)1(lim 11lim2100n nn n n n n n n x nx x x x nx x n x x (用到因式分解公式))((122321-----+++++-=-n n n n n n n b abb a b a a b a b a ) 11)1()1(lim 210==+++++=--→nnx x n n n nn x . (其中极限)1,,2,1(1)1(lim 0--==+→n n m x n mx 用到了习题1-6中题4(4)的结果11lim 0=+→n x x 及第五节中定理3的推论2)3.当0→x 时,22x x -与32x x -相比,哪一个是高阶无穷小?32x x -.解：根据高阶无穷小的定义，因为02)1(lim 2lim 02320=--=--→→xx x x x x x x x ，所以，分子32x x -是比分母22x x -高阶的无穷小.4.当1→x 时,无穷小x -1和31x -是否同阶? 同阶 ,是否等价? 不等价 .解：因为13111lim 11lim 2131≠=++=--→→x x x x x x ，所以无穷小x -1和31x -是同阶无穷小，但不是等价无穷小.1.当+→0x 时,下列哪一个无穷小是关于x 的三阶无穷小 B .A.x x -32; B.a x a -+3 (a 为正常数); C.230001.0x x +;D.3tan x .解：根据k阶无穷小的定义，A选项不正确：因为∞=+-+-=-+++→→→)(1lim )(lim lim 2132231021323340332x x x x x x x x x xxx x x x .B选项正确：因为=++=-+++→→)(lim lim 3330330a x a x x x a x a x x 0211lim 3≠=+++→aax a x .C 选项不正确：因为∞=+=+++→→)0001.01(lim 0001.0lim 03230xx x x x x . C 选项不正确：因为∞=⋅=++→→383303301tan lim tan lim x xx x x x x . 三利用等价无穷小的性质求下列极限：1.mn x x x )(sin )sin(lim 0→ (m n ,为正整数);解：m nx x x )(sin )sin(lim 0→⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→.,,,1,,0lim 0m n m n m n x x mnx (m n ,为正整数).2.xx x x 30sin sin tan lim-→; 解：3030sin tan lim sin sin tan lim x x x x x x x x -=-→→21cos 2lim cos )cos 1(sin lim 32030=⋅=-=→→x x x x x x x x x x . 3.1)31ln(lim 2320--+→x x e x x ; 解：33lim 1)31ln(lim 23203202=-=--+→→x x x e x x x x x . 4.)1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x xx x .解：)1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x xx x 3tan sin lim 62sin 3tan sin lim 3020-=-=⋅-=→→x x x x x x x x x (利用2题结果或方法).1.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<=,0,11sin ,0,sin 1)(x x x x x xx f 则0=x 是)(x f 的 A .A.可去间断点;B.跳跃间断点;C.无穷间断点;D.振荡间断点. 解：根据间断点的分类，考察：1sin 1lim )(lim )0(0===--→→-x xx f f x x ，1)11sin(lim )(lim )0(0=+==++→→+xx x f f x x ，由于)0()0(+-=f f 即左右极限存在且相等，所以极限1)(lim 0=→x f x 存在，因而0=x 是)(x f 的可去间断点.故A 选项正确，B 、C 、D 选项不正确. 2.设11cotarc )(2-+=x x x f ,则1=x 是)(x f 的 B . A.可去间断点; B.跳跃间断点; C.无穷间断点; D.振荡间断点.解：根据间断点的分类，考察：π+=-+==--→→-1)11cot arc (lim )(lim )1(2110x x x f f x x ， 001)11cot arc (lim )(lim )1(2110=+=-+==++→→+x x x f f x x ，由于左右极限存在但不相等，所以1=x 是)(x f 的跳跃间断点.故B 选项正确，A 、C 、D 选项不正确. 3.设xee xf xx1arctan121)(11+-=,则0=x 是)(x f 的 B . A.可去间断点; B.跳跃间断点; C.无穷间断点; D.振荡间断点.解：注意到∞==+-→→xx xx e e 1010lim ,0lim ，21arctan lim ,21arctanlim 00ππ=-=+-→→x x x x . 根据间断点的分类，考察：2)2(11arctan121lim )(lim )0(11ππ-=-⋅=+-==--→→-x ee xf f x xx x , ππ-=⋅-=+-==++→→+221arctan121lim )(lim )0(110x ee xf f xxx x ，由于左右极限存在但不相等，所以0=x 是)(x f 的跳跃间断点.故B 选项正确，A 、C 、D 选项不正确.1.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类.如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:(1)2,1,23122==+--=x x x x x y ; 解：1 2231lim 221=∴-=+--→x x x x x 为第一类(可去)间断点.补充定义,2)1(-=y 则函数y 在1=x 处连续.2 231lim 222=∴∞=+--→x x x x x 为第二类(无穷)间断点. (2) 2,,tan πππ+===k x k x x x y ( ,2,1,0±±=k );解： 0 1tan lim 0=∴=→x xxx 为可去间断点.补充定义,1)0(=y 则函数y 在0=x 处连续.2 0tan lim 2ππππ+=∴=+→k x xx k x 为可去间断点.补充定义,0)2(=+ππk y 则函数y在2ππ+=k x 处连续.)0( )0(tan lim≠=∴≠∞=→k k x k x xk x ππ 为第二类(无穷)间断点.(3)0,1cos 2==x x y . 解：因为x x 1cos lim 20-→(或xx 1cos lim 20+→)不存在，所以0=x 为第二类间断点(且为振荡间断点).1.函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间为),2(),2,3(),3,(+∞---∞,极限=→)(lim 0x f x 21,=-→)(lim 3x f x 58-,=→)(lim 2x f x ∞.解：在此633)(223-+--+=x x x x x x f 是有理分式函数，根据有理分式函数在其定义区域内的每一点都是连续的，又此函数定义区域为),2(),2,3(),3,(+∞---∞，可知)(x f 的连续区间即)(x f 的定义域为),2(),2,3(),3,(+∞---∞.又根据函数间断点的概念，可知函数)(x f 没有定义的点2,3=-x x 是其间断点.因为0=x 是连续点，所以极限21)0()(lim 0==→f x f x ；而在间断点2,3=-x x 处，极限5821lim )3)(2()3)(1(lim 633lim )(lim 232322333-=--=+-+-=-+--+=-→-→-→-→x x x x x x x x x x x x f x x x x ；极限∞=-+--+=→→633lim )(lim 22322x x x x x x f x x . 4.设函数⎩⎨⎧≥+<=,0,,0,)(x x a x e x f x 若要使)(x f 成为在),(+∞-∞上连续的函数,应当选择=a1 .解：若要使)(x f 在),(+∞-∞上连续，那么)(x f 必在其分段点0=x 处连续，即成立)0()(lim 0f x f x =→，则必有)(lim )(lim 0x f x f x x +-→→=.而1lim )(lim 0==--→→x x x e x f ，a x a x f x x =+=++→→)(lim )(lim 00，故1=a ，此时)0(1)(lim 0f a x f x ===→.二求下列极限：3.145lim 1---→x x x x ; 解：2)45)(1()1(4lim 145lim 11=+---=---→→x x x x x x x x x .4.ax ax a x --→sin sin lim; 解：a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x cos 2cos 22sinlim 2sin 2cos 2lim sin sin lim =+⋅--=--+=--→→→. 5.)(lim 22x x x x x --++∞→. 解：111112lim2lim)(lim 2222=-++=-++=--++∞→+∞→+∞→xx xx x x x x x x x x x x .三求下列极限：1.xx e 1lim ∞→; 解：1lim 1=∞→x x e .2.x xx sin lnlim 0→; 解：0sin lnlim 0=→xx x . 3.)arcsin(lim 2x x x x -++∞→. 解：621arcsinarcsinlim )arcsin(lim 22π==++=-++∞→+∞→xx x x x x x x x . 一证明题1.证明方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间. 证明设13)(5--=x x x f ，对)(x f 在闭区间[1,2]上用零点定理：因为13)(5--=x x x f 在闭区间[1,2]上连续，并且0)72()3()2()1(5<-⋅-=⋅f f ，所以由零点定理可得，至少存在一点)2,1(∈ξ使0)(=ξf ，即0135=--ξξ，亦即方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间. 证毕.2.证明方程b x a x +=sin ,其中0,0>>b a ,至少有一个正根,并且它不超过b a +. 证明思路如下：先构造辅助函数)sin ()(b x a x x F +-=，则方程b x a x +=sin 的根的问题即转化为函数)(x F 的零点的问题；然后判断)(x F 在某闭区间上连续且在端点处的函数值异号，于是根据闭区间上连续函数的零点定理即可断定)(x F 的零点亦即方程根的存在性；本题欲证方程的根为正根，并且它不超过b a +，故在闭区间],0[b a +上进行考察.令)sin ()(b x a x x F +-=，则0)0(<-=b F ,=+)(b a F 0)]sin(1[≥+-b a a ，以下分两种情况讨论：①当1)sin(=+b a ，0)(=+b a F ，则b a +就是函数)(x F 的零点，也就是方程b x a x +=sin 的一个根，此根],0(b a b a +∈+，取到区间],0(b a +的右端点；②当1)sin(<+b a ，0)(>+b a F ，因为)(x F 在(∞∞-,)上连续, 从而在],0[b a +上连续，并且0)()0(<+⋅b a F F ，于是根据闭区间上连续函数的零点定理可得，在开区间),0(b a +内至少存在一点ξ，使0)(=ξF ，即ξ是方程b x a x +=sin 的一个根，此根),0(b a +∈ξ.由①②即得，方程b x a x +=sin 在],0(b a +内至少有一个根. 证毕. 4.若在0x 的某个邻域内)()(x x f ϕ>,且A x f x x =→)(lim 0,B x x x =→)(lim 0ϕ,则A 与B 的关系是B A ≥.解：根据函数极限的性质定理：如果)()(x x ψϕ≥，而b x a x ==)(lim ,)(lim ψϕ，那么b a ≥.(第五节定理5)5.设)(x f 处处连续,且5)2(=f ,则=-→)1(3tan lim20xe f x x x x 15 . 解：注意到)(x f 处处连续，则15)2(3)212(33tan 3lim )1(3tan lim 2020=⋅=-⋅⋅=-→→f xe f x x x e f x x x x x x . 2.设232)(-+=xx x f ,则当0→x 时,以下四个结论中正确的结论是 B .A.)(x f 与x 是等价无穷小;B.)(x f 与x 同阶但非等价无穷小;C.)(x f 是比x 高阶的无穷小;D.)(x f 是比x 低阶的无穷小.解：根据无穷小比较的定义，因为6ln 3ln 2ln )13()12(lim 232lim )(lim 000=+=-+-=-+=→→→xx x x f x x x x x x x ，由16ln ≠知A 选项不正确，由06ln ≠知B 选项正确且C 选项不正确，由6ln 非∞知D选项不正确.三求下列极限：1.])12)(12(1751531311[lim +-++⋅+⋅+⋅∞→n n n .解：])12)(12(1751531311[lim +-++⋅+⋅+⋅∞→n n n )]121121()7151()5131()3111[(21lim +--++-+-+-=∞→n n n 21)1211(lim 21=+-=∞→n n .2.)11()311)(211(lim 222nn ---∞→ . 解：)11()311)(211(lim 222nn ---∞→ ))1)(1(111(2222n n n n n n --=-=- 2222)1)(1(453342231lim n n n n --⋅⋅⋅⋅⋅=∞→ 2121lim =+=∞→n n n . 3.)tan 1sin 1(1lim 0x x x x -→. 解：)tan 1sin 1(1lim 0x x x x -→2121lim sin cos 11lim 2200==-⋅=→→x x x x x x x .4.x x x x x 1sin ln 1cos ln lim 0+++→. 解：x x x x x 1sin ln 1cos ln lim 0+++→11sinln 111cosln 11lim 0=++=+→xx x x x . 5.ππ-∞→3232sinlimx x x x x . 解：ππ-∞→3232sinlimx x x x x πππππ=-=-⋅=∞→∞→333232limlimx x x x x x x x . 6.)111)(110()110()12()1(lim222--++++++∞→x x x x x x . 解：)111)(110()110()12()1(lim222--++++++∞→x x x x x x 271110102122=⋅+++= . 7.)0,0,0.()3(lim 10>>>++→c b a c b a xx x x x . 解：xx x x x c b a 10)3(lim ++→xx x x x c b a 10)331(lim -+++=→313330)331(lim ⋅-++⋅-++→-+++=x c b a c b a xxxx x x x x x x c b a ， )111(lim 3lim 00xc x b x a x c b a x x x x x x x x -+-+-=-++→→ abc c b a ln ln ln ln =++=，所以原式abc e ln 31=3abc =.8.x x x cot 0)]4[tan(lim -→π. 解：x x x cot 0)]4[tan(lim -→π2tan 11tan 10)tan 1(])tan 1[(lim---→=+-=e x x xx x .9.xx x tan 2)(sin lim π→.解：xx x tan 2)(sin lim π→xx x x cos sin 2)]1(sin 1[lim -+=→πxxx x x x sin cos 1sin 1sin 12)]1(sin 1[lim ⋅-⋅-→-+=π，x x x x x x x cos 1sin lim sin cos 1sin lim 22-=⋅-→→ππ 02sin 2cos 2cos 2sin lim 2sin 2cos )2cos 2(sin lim22222=+-=---=→→x x x x x x x x x x ππ，所以原式10==e .10.1111lim 30-+-+→x x x . 解：1111lim 30-+-+→x x x )11)(11)1()(11()11)1()(11)(11(lim33233320++++++-+++++++-+=→x x x x x x x x x 23)11()11)1((lim 3320=++++++=→x x x x x x . 11.xx x x x x sin 114lim 22+++-+-∞→.解：xx x x x x sin 114lim22+++-+-∞→xx x x x x x x -+-++-+=-∞→sin 114lim221sin 111114lim2=+---+=-∞→xx x x x x .12.)0( .1lim>+∞→a a an nn 解：)0( .1,1,1,21,100,1lim >⎪⎩⎪⎨⎧>=<<=+∞→a a a a a a n nn 2.设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->++=,0,cos ,0,)1ln(1cos sin )(2x x be x x x x x x f x应当怎样选择数b ,使得)(x f 在0=x 处连续. 解：应有)0()(lim )(lim 0f x f x f x x ==-+→→,而1)0()(lim ,1)(lim 00-===-+→→b f x f x f x x ,所以2=b .3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-,01),1ln(,0,)(11x x x e x f x 求的间断点,并说明间断点所属类型. 解：因为函数在1=x 处无定义(在)1(0U 有定义),所以1=x 是)(x f 的一个间断点.)11lim ( 0lim )(lim 11111-∞=-==---→-→→x ex f x x x x ,)11lim ( lim )(lim 11111+∞=-∞==+++→-→→x ex f x x x x , 1=∴x 是第二类间断点.在分段点0=x 处,eex f x x f x x x x x 1lim )(lim ,0)1ln(lim )(lim 110===+=-→→→→++-- , 0=∴x 也是)(x f 的间断点,且是第一类间断点. 五证明题2.设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,且b b f a a f ><)(,)(,证明:在),(b a 内至少存在一点ξ,使ξξ=)(f .证明设x x f x g -=)()(,对)(x g 在闭区间],[b a 上用零点定理:由)(x f 在闭区间],[b a 上连续,可得x x f x g -=)()(在闭区间],[b a 上连续,并且0)()(<-=a a f a g ,0)()(>-=b b f b g ,故由零点定理得,在),(b a 内至少存在一点ξ,使0)()(=-=ξξξf g ,即ξξ=)(f . 证毕.3.设函数)(x f 在),(b a 内连续,),(0b a x ∈,且0)(0>=A x f .证明:存在0x 的邻域),(),(0b a x U ⊂δ,使当x 属于该邻域时,A x f 21)(>.证明设2)()(A x f x g -=,则022)(]2)([lim )(lim 000>=-=-=→→AA x f A x f x g x x x x ,由极限的局部保号性知,存在00>δ,使当000δ<-<x x 时,有0)(>x g .取},,m in{000x b a x --=δδ,则当),(),(0b a x U x ⊂∈δ时,有0)(>x g ,即A x f 21)(>. 毕.友情提示：范文可能无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用，感谢您的下载！。

本科高数重修试题及答案

本科高数重修试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 极限lim(x→0) (x^2-1)/(x^2+1)的值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 23. 函数f(x)=e^x-x-1的导数是（）。

A. e^x-1C. e^x-xD. e^x+x4. 函数f(x)=x^3+3x^2+3x+1的极值点是（）。

A. x=-1B. x=-2C. x=-3D. x=15. 曲线y=x^2+2x+1在点(1,4)处的切线斜率是（）。

A. 2B. 3C. 4D. 56. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x的拐点是（）。

A. x=1C. x=3D. x=07. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）。

A. 0B. 4C. -4D. 88. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x的单调递增区间是（）。

A. (-∞, 1)B. (1, 2)C. (2, +∞)D. (-∞, 2)9. 曲线y=x^2+2x+1与直线y=4相切的切点坐标是（）。

A. (1, 4)C. (2, 4)D. (-2, 4)10. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x的不定积分是（）。

A. (1/4)x^4-x^3+x^2+CB. (1/3)x^3-x^2+2x+CC. (1/4)x^4-x^3+2x^2+CD. (1/3)x^3-x^2+x+C二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点是_________。

12. 极限lim(x→0) (x^2-1)/(x^2+1)的值是_________。

13. 函数f(x)=e^x-x-1的导数是_________。

14. 函数f(x)=x^3+3x^2+3x+1的极值点是_________。

15. 曲线y=x^2+2x+1在点(1,4)处的切线斜率是_________。

高等数学课后习题及参考答案(第一章)

高等数学课后习题及参考答案（第一章）习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y ,所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211x x y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y ;解由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1.(2)xx y +-=11; 解由x x y +-=11得y y x +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11. (3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0); 解由d cx b ax y ++=得a cy b dy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=. (4) y =2sin3x ;解由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =. (5) y =1+ln(x +2);解由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x x y . 解由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为x x y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; 解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy . (2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,42π=x ; 解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy .(3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y .(4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;解 2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1.解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域:(1) f (x 2);解由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1].(2) f (sin x );解由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为[2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) .(3) f (x +a )(a >0);解由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ].(4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义. 18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 00 1)]([x x x x g f . ⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1||e 1|| )]([101)(x e x x e e xfg x f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g .19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37解 40sin h DC AB ==, 又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-= 40cot 0, 所以 h h S L40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0, 040cot 0>⋅-h hS 确定, 定义域为40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75.当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x .综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.0911000 90x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P .(3) P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限:(1)nn x 21=; 解当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=; 解当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n . (3)212nx n +=; 解当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→nn . (4)11+-=n n x n ; 解当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n . (5) x n =n (-1)n .解当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 0lim =∞→n n x . n n n x n 1|2cos ||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000. 3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ;分析要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim 2=∞→n n . (2)231213lim =++∞→n n n ; 分析要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n . 证明因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n . (3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→na n n . (4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而 ||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x .证明因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 证明: x n →a (n →∞).证明因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ∃K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞).习题1-31. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;分析因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x .证明因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .证明因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22-=+--→x x x ;分析因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 所以要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim22-=+--→x x x .(4)21241lim 321=+--→x x x . 分析因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x .证明因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x x x ; 分析因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x . 证明因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . (2)0sin lim =+∞→xx x .分析因为xx x x x 1|sin |0sin ≤=-. 所以要使ε<-0sin x x , 只须ε<x1, 即21ε>x .证明因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0sin xx ,所以0sin lim =+∞→xx x .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？解由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解要使01.034131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X .5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零.证明因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0, ∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0=→x x .6. 求,)(xx x f = x x x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在. 证明因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ,)(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0, ∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ;∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim .8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有 |f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有 | f (x )-A |<ε ,即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |. 习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x x y 当x →3时为无穷小; (2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+-=x x y 为无穷小. (2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数xx y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件,能使|y |>104？证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x .证明因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,所以当x →0时, 函数xx y 21+=是无穷大.取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由: (1)xx x 12lim +∞→;(2)xx x --→11lim 20.解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x xx +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x .6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim 22-+→x x x ; 解 9325235lim 222-=-+=-+→x x x .(2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx x x x x 2324lim2230++-→; 解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2xx x +-∞→; 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ; 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x xx x . (8)13lim 242--+∞→x x x x x ; 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321limnn n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31x x x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim21-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限: (1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量).4. 证明本节定理3中的(2).习题1-61. 计算下列极限: (1)xx x ωsin lim 0→;解 ωωωωω==→→x x xx x x sin lim sin lim 00.(2)xx x 3tan lim 0→;解 33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→xx x x x x x .(3)xx x 5sin 2sin lim 0→;解 52525sin 522sin lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=→→x x x x x x x x .(4)x x x cot lim 0→;解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x .(5)xx x x sin 2cos 1lim 0-→;解 2)sin (lim 2sin 2lim 2cos 1lim sin 2cos 1lim 20220200===-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x . 或 2sin lim 2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 0200===-→→→xx x x x x x x x x x . (6)n n n x 2sin 2lim ∞→(x 为不等于零的常数). 解 x x xx x nn n n nn =⋅=∞→∞→22sin lim2sin 2lim . 2. 计算下列极限:(1)x x x 1)1(lim -→; 解 11)(1)1()(101})](1[lim {)](1[lim )1(lim ---→--→→=-+=-+=-e x x x x x x x x x .(2)x x x 1)21(lim +→;解 2221221010])21(lim [)21(lim )21(lim e x x x x x x x x x =+=+=+→⋅→→.(3)x x xx 2)1(lim +∞→; 解 222])11(lim [)1(lim e xx x x x x x =+=+∞→∞→.(4)kx x x)11(lim -∞→(k 为正整数).解 k k x x kx x e xx ---∞→∞→=-+=-))(()11(lim )11(lim .3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I '. 证明仅对x →x 0的情形加以证明.设ε为任一给定的正数, 由于A x g x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ1>0, 使得当0<|x -x 0|<δ1时, 恒有|g (x )-A |<ε, 即A -ε<g (x )<A +ε.由于A x h x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ2>0, 使得当0<|x -x 0|<δ2时, 恒有|h (x )-A |<ε, 即A -ε<h (x )<A +ε.取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ时, A -ε<g (x )<A +ε与A -ε<h (x )<A +ε 同时成立, 又因为g (x )≤f (x )≤h (x ), 所以 A -ε<f (x )<A +ε, 即 |f (x )-A |<ε, 因此A x f x x =→)(lim 0.证明仅对x →x 0的情形加以证明. 因为A x g x x =→)(lim 0, A x h x x =→)(lim 0,所以对任一给定的ε>0, 存在δ>0, 使得当0<|x -x 0|<δ时, 恒有 |g (x )-A |<ε及|h (x )-A |<ε,即 A -ε<g (x )<A +ε及A -ε<h (x )<A +ε.又因为 g (x )≤f (x )≤h (x ), 所以 A -ε<f (x )<A +ε, 即 |f (x )-A |<ε, 因此A x f x x =→)(lim 0.4. 利用极限存在准则证明: (1)111lim =+∞→nn ;证明因为n n 11111+<+<,而 11lim =∞→n 且1)11(lim =+∞→n n ,由极限存在准则I , 111lim =+∞→nn .(2)1)1 211(lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n ;证明因为πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+2222222)1 211(n n n n n n n n n n , 而 1lim 22=+∞→πn n n n , 1lim 22=+∞→πn n n , 所以 1)1 211(lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n .(3)数列2,22+, 222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在;证明 21=x , n n x x +=+21(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅). 先证明数列{x n }有界.当n =1时221<=x , 假定n =k 时x k <2, 则当n =k +1时, 22221=+<+=+k k x x , 所以x n <2(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{x n }有界.再证明数列单调增. 因为nn n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x +++--=++-+=-+=-+2)1)(2(22221, 而x n -2<0, x n +1>0, 所以x n +1-x n >0, 即数列{x n }单调增.因为数列{x n }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的. (4)11lim 0=+→n x x ;证明当|x |≤1时, 则有 1+x ≤1+|x |≤(1+|x |)n , 1+x ≥1-|x |≥(1-|x |)n , 从而有 ||11||1x x x n +≤+≤-. 因为 1|)|1(lim |)|1(lim 0=+=-→→x x x x ,根据夹逼准则, 有 11lim 0=+→n x x .(5)1]1[lim 0=+→xx x .证明因为x x x 1]1[11≤<-, 所以1]1[1≤<-xx x .又因为11lim )1(lim 00==-++→→x x x , 根据夹逼准则, 有1]1[lim 0=+→xx x .习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x ,所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x -. 证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x , 所以当x →0时, 2~1sec 2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x .解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x →0), 所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα, 所以α ~α ;(2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim=αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim limlim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ. 习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x .所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且)1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x ,)1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1),所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→x x k x tan lim π(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xx x , 0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=, x =0;解因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点.又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点.(4)⎩⎨⎧>-≤-=1 311x x x x y , x =1.解因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1||1|| 01|| 11lim)(22x x x x x x x x x f nn n .在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0. 5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;解函数⎩⎨⎧∉∈-=QQx x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.解函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Qx x x x x f )(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x .在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x .2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→;(4)xx x 11lim 0-+→;(5)145lim 1---→x x x x ;(6)a x a x a x --→sin sin lim ;(7))(lim 22x x x x x --++∞→.解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数, f (x )在点x =0有定义, 所以 55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数, f (x )在点4π=x 有定义, 所以1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x .(3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点6π=x 有定义, 所以0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x .(4))11(lim)11()11)(11(lim 11lim 000++=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x 211101111lim=++=++=→x x .(5))45)(1()45)(45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x x x +--+---=---→→)45)(1(44lim 1x x x x x +---=→214154454lim 1=+-⋅=+-=→x x x .。

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第1章函数与极限1.用区间表达函数)4arcsin()3ln(-+-=x x xy 的自然定义域]5,4()4,3(⋃.解：应14,03,0)3ln(≤->-≠-x x x ，得141,3,13≤-≤->≠-x x x ，得]5,4()4,3(⋃. 3.已知1)1(2++=+x xxe ee f ,求)(x f 的表达式.解法1：因为1)1()1(1)1(22++-+=++=+x x x xxe e e ee f ，所以1)(2+-=x x x f .解法2：令1+=xe u ，则)1ln(-=u x ，代入式1)1(2++=+x xxe e ef ，得11)1()1(1)(22)1ln()1ln(2+-=+-+-=++=--u u u u e e u f u u ，即得1)(2+-=x x x f . 5.A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 0.6.=+→x x x 0lim 1 ,=-→x x x 0lim ―1 ,处的极限情况为不存在 .解：在极限xx x +→0lim 中，+→0x ，此时0>x ，所以11lim lim lim 000===+++→→→x x x x x x x ，在极限x x x -→0lim 中，-→0x ，此时0<x ，所以1)1(lim lim lim 000-=-=-=+--→→→x x x xx x x ，因为A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 00，所以，xxx f =)(在0=x 处的极限x x x 0lim →不存在.1.若)(lim 0x f x x →存在,则)(x f B .A.有界;B.在),(0oδx U 内有界; C.在任一),(0δx U 内有界; D.以上结论都不对.解：A 选项不正确：因为函数极限存在时具有局部有界性，即保证函数在取极限的附近有界，在0x x →定点的情形，则是保证函数在0x 的去心邻域),(0oδx U 内有界；B 选项正确：即函数极限的局部有界性；C 选项不正确：应该是在某．一去心．．邻域内有界. 2.设x e x f x1arctan)1()(1+=,当-→0x 时,观察)(x f 的变化趋势,可得=-)0(f C . A.0; B.2π; C.2π-; D.∞. 解：)(lim )0(0x f f x -→-=，当-→0x 时，-∞→x 1，从而01→x e ，21arctan π-→x ，故2)2()01()(lim )0(0ππ-=-⋅+==-→-x f f x .1.以下判断正确的是 D .A.xe 是无穷大量; B.x1是无穷小量; C.若当0x x →时,)(x f 是无穷小量,则)(1x f 是无穷大量;D.若A x f x x =→)(lim 0,则当0x x →时,A x f -)(是无穷小量.解：A 、B 选项都不正确：因为无穷大量及无穷小量都是针对自变量的一个变化过程而言的，但是A 、B 选项都没有给出自变量的变化过程.对于A 选项，例如，+∞=+∞→xx e lim ，因而xe 是当+∞→x 时的无穷大量；又有1lim 0=→xx e ，因而当0→x 时x e 不是无穷大量. 对于B 选项，例如，01lim=∞→x x ，因而x 1是当∞→x 时的无穷小量；又有∞=→x x 1lim 0，因而当0→x 时x1不是无穷小量，而是无穷大量.C 选项不正确：这是因为，如果0)(≡x f ，那么)(x f 对于自变量的任何变化过程而言都是无穷小量(当0x x →时亦然)，但是式)(1x f 无意义. D 选项正确：根据无穷小与函数极限的关系定理：在自变量的同一变化过程0x x →(∞→x )中,函数)(x f 具有极限A 的充分必要条件是α+=A x f )(,其中α是无穷小.2.试说明函数x x x f cos )(=在),(+∞-∞上无界,并说明)(x f 不是+∞→x 时的无穷大量.解：先说明函数x x x f cos )(=在),(+∞-∞上无界：因为对0>∀M ,在),(+∞-∞上总能找到这样的x ,使得M x f >)(. 例如),2,1,0( 2)2cos(2)2( ±±===k k k k k f ππππ,当k 充分大时,就有M k f >)2(π.再说明函数)(x f 不是+∞→x 时的无穷大量：因为对0>∀M ,找不到这样的时刻X ,使得对于一切大于X 的x ,都有M x f >)(.例如),2,1,0( 0)22cos()22()22( ==++=+k k k k f ππππππ,对于任意大的X ,当k 充分大时,总有X k x >+=22ππ,但M x f <=0)(.1.01sin lim 0=→x x x 的理由是有界函数x1sin 与无穷小x 的乘积是无穷小 . 2.=-++→2232)2(2lim x x x x x ∞. 解：因为022220)2(lim )2(lim 2)2(lim 23232222322=+⋅+=++-=++-→→→x x x x x x x x x x x ，所以所求极限∞=-++→2232)2(2lim x x x x x . 3.=++-∞→503020)15()23()32(lim x x x x 503020532⋅. 解：所求极限是有理分式函数当∞→x 时的极限，并且分子、分母多项式的次数(x 的最高次)相同(均为50次)，则知极限值应为分子、分母x 的最高次的系数之比.因分子x 的最高次的系数是302032⋅,分母x 的最高次的系数是505,所以所求极限值是503020532⋅. 4.已知51lim21=-++→xcbx x x ,则=b ―7 ,=c 6 . 解：因为当1→x 时,分母)1(x -的极限为0,而分子)(2c bx x ++是多项式, 故当1→x 时,分子)(2c bx x ++的极限必存在,又已知51lim21=-++→x cbx x x 是有限值,所以分子)(2c bx x ++的极限应为0,即01)(lim 21=++=++→c b c bx x x ,得1--=b c .此时=--+-=---+=-++→→→x x b x x b bx x x c bx x x x x 1)1()1(lim 11lim 1lim21212152)1(lim 1=--=---→b b x x ,得7-=b ,6=c . 1.若}{n x 、}{n y 均发散,则下列判断正确的是 D .A.}{n n y x ±一定发散;B.}{n n y x ⋅一定发散;C.}{nn y x一定发散; D.以上结论都不对.解：A 、B 、C 选项都不正确，则D 选项正确：举例如1)1(,)1(+-=-=n n n n y x ，}{n x 及}{n y 均发散，但0=+n n y x 收敛.又例如nn n y x )1(-==，}{n x 及}{n y 均发散，但0=-n n y x 、1=⋅n n y x 及1=nny x 均收敛. 2.若}{n x 收敛,}{n y 发散,则下列判断正确的是 A .A.}{n n y x ±一定发散;B.}{n n y x ⋅一定发散;C.}{nny x 一定发散; D.以上结论都不对. 解：A 选项正确(则D 选项不正确)，证明如下：设n n n y x z ±=，则n n n x z y ±=，用反证法，如果}{n z 收敛，则根据两函数和差的极限运算法则，有n n n n n n n n n x z x z y ∞→∞→∞→∞→±=±=lim lim )(lim lim ，即n y 收敛，此与}{n y 发散矛盾，故n n n y x z ±=一定发散. 证毕.B 、C 选项都不正确：举例如0=n x 收敛，nn y )1(-=发散，成立0==⋅nnn n y x y x 收敛. 5.)1311(lim 31x x x ---→; 解：11)2(lim )1)(1()2)(1(lim 13)1(lim )1311(lim 212132131-=+++-=++-+-=--++=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x . 6.x x x x +---→131lim 21; 解：=++-+--++--=+---→→)13)(13()13)(1(lim 131lim 2121x x x x x x x x x x x x222)13)(1(lim )1(2)13)(1(lim 121-=++-+-=-++--=→→x x x x x x x x x .7.)2141211(lim n n ++++∞→ ; 解：2211211lim)2141211(lim =--=++++∞→∞→nn n n . 8.)35(12721lim 2-++++-+∞→n n n n . 解：=--+=--+=-++++-+∑∑∑==∞→=∞→∞→n i n i n n i n n i n n i n n n n n 112122351lim )35(1lim )35(12721lim 5232)1(51lim 2=-+⋅-+∞→n n n n n n . 1.=→x xx ωsin lim 0ω. 解：ωωωωω=⋅=→→xx x x x x sin lim sin lim 00. 2.=-→x xx ππsin lim 1 . 解：1)sin(lim sin lim =--=-→→xx x x x x πππππ 3.=∞→n n n x 2sin 2lim x . 解：x x x x x nnn n n n =⋅=∞→∞→22sin lim2sin 2lim . 4.=+∞→nn n n 2)1(lim 2-e . 解：=+-+-=+---∞→∞→212)]111()111[(lim )1(lim nn n n n n n n 222212211)111(lim ])111[(lim )111(])111[(lim ---∞→---∞→----∞→=⋅=+-⋅+-=+-+-=e e nn n n n n n n n . 或2221)11()11(1lim )/)1(/(lim )1(lim enn n n n n n n n n n n n n n =++=+=+∞→∞→∞→. 5.若6)311(lim e x kxx =+-∞→,则=k ―6 .解：=+-+-=+-=+----∞→∞→∞→kx x k x x kx x x x x x ])311()311[(lim ])311[(lim )311(lim 336331])311(lim ])311[(lim e e x x k kx k x x =⋅=+-⋅+-=--∞→---∞→，得6-=k . 6.要使函数2tan )(x xx f =是无穷大,则要求x 趋于值),2,1(2 ±±=k k π.解：函数2tan )(x xx f =的定义域为}),,2,1,0({R x k k x x D ∈±±=≠= π.因为对任意点D x ∈0，根据两函数商的极限运算法则，必有)(2tan 2tan lim )(lim 00000x f x x x x x f x x x x ===→→是有限值，所以，使函数2tan )(xxx f =是无穷大的点只可能是不属于其定义域的点，即),2,1,0( ±±==k k x π.将这样的点分为3类，来求函数在该点处的极限：)()12(;0);,0(2Z k k x x Z k k k x ∈+==∈≠=ππ，求得)0(,02tanlim )(1lim 22≠==→→k xx x f k x k x ππ，所以)0(,)(lim 2≠∞=→k x f k x π；而22tan 2lim 22tan lim )(lim 000===→→→x x x x x f x x x ；02tan lim )(lim )12()12(==+→+→x x x f k x k x ππ)02sin 2coslim2tan 1lim ()12()12(==+→+→xxx k x k x ππ；所以),2,1(2 ±±=k k π为所求. 2.=-→x x x cos 1lim 0 C . A.0; B.1; C.不存在; D.22.解：因为222sin2lim 2sin 2lim cos 1lim 0200===-+++→→→x x x x x x x x x ， 222sin2lim 2sin 2lim cos 1lim 0200-=-==-+--→→→x x x x x x x x x ，左、右极限存在但不相等，所以该极限不存在，C 选项正确.1.]ln )1[ln(lim n n n n --∞→;解：1])11ln[(lim )11ln(lim 1lnlim ]ln )1[ln(lim 1-=-+=-=-=----∞→∞→∞→∞→n n n n n n nn n n n n n n .2.)1cos arctan 1(lim 0x x x x x ⋅-→; 解：1011cos lim arctan lim )1cos arctan 1(lim 000=-=⋅-=⋅-→→→xx x x x x x x x x x . 3.xx x x 3)1212(lim -+∞→; 解：=-+=-+=-+∞→∞→∞→333])21211[(lim )1221(lim )1212(lim x x x x x x x x x x 2332122312)]21211(lim ])21211[(lim )]21211()21211[(lim -+⋅-+=-+⋅-+=∞→-∞→-∞→x x x x x x x x x 331e e =⋅=. 4.x x x 4tan )21ln(lim 0+→; 解：212111214tan 42)21ln(lim 4tan )21ln(lim 00=⋅⋅=⋅⋅+=+→→x x x x x x x x . 四利用极限存在准则证明：1.1)1211(lim 222=++++++∞→πππn n n n n n .证明因为)1211(222πππn n n n n ++++++ ππππ+=++++++≤22222)111(n n n n n n , 又)1211(222πππn n n n n ++++++ ππππn n n n n n n n n n +=++++++≥22222)111( , 而1lim 22=+∞→πn n n ,1lim 22=+∞→πn n n n ,由夹逼准则,得1)1211(lim 222=++++++∞→πππn n n n n n . 证毕.1.当0→x 时,与x 等价的无穷小有aa x e x x x x x xln 1),1ln(,1,arctan ,arcsin ,tan ,sin -+-.解：根据等价无穷小的定义，只需逐一验证，1sin lim 0=→x x x ，1tan lim 0=→x x x ，1arcsin lim 0=→x x x ，1arctan lim 0=→xxx ，11lim 0=-→x e x x ，1)1ln(lim 0=+→xx x ，1ln 1lim 0=-→x a a x x .2.设0→x ,则~cos 1x -22x ,~11-+n x nx.解：根据等价无穷小的定义，只需验证，12cos 1lim 20=-→xx x ，111lim 0=-+→n x x nx ：成立1)2(2sin lim 22sin 2lim 2cos 1lim 22022020===-→→→x xx x x x x x x . 成立=++++++-+=-+---→→])1()1()1([1)1(lim 11lim2100n n n n n n n n n x nx x x x nx x n xx (用到因式分解公式))((122321-----+++++-=-n n n n n n n b abb a b a a b a b a ) 11)1()1(lim 210==+++++=--→nnx x n n n nn x . (其中极限)1,,2,1(1)1(lim 0--==+→n n m x n mx 用到了习题1-6中题4(4)的结果11lim 0=+→n x x 及第五节中定理3的推论2)3.当0→x 时,22x x -与32x x -相比,哪一个是高阶无穷小?32x x -.解：根据高阶无穷小的定义，因为02)1(lim 2lim 02320=--=--→→xx x x x x x x x ，所以，分子32x x -是比分母22x x -高阶的无穷小. 4.当1→x 时,无穷小x -1和31x -是否同阶? 同阶 ,是否等价? 不等价 .解：因为13111lim 11lim 2131≠=++=--→→x x x x x x ，所以无穷小x-1和31x -是同阶无穷小，但不是等价无穷小. 1.当+→0x 时,下列哪一个无穷小是关于x 的三阶无穷小 B .A.x x -32; B.a x a -+3 (a 为正常数); C.230001.0x x +; D.3tan x .解：根据k 阶无穷小的定义，A 选项不正确：因为∞=+-+-=-+++→→→)(1lim )(lim lim 2132231021323340332x x x x x x x x x x xx x x x .B 选项正确：因为=++=-+++→→)(lim lim 3330330a x a x x x a x a x x 0211lim 3≠=+++→aax a x .C 选项不正确：因为∞=+=+++→→)0001.01(lim 0001.0lim 03230xx x x x x . C 选项不正确：因为∞=⋅=++→→383303301tan lim tan lim x xx x x x x . 三利用等价无穷小的性质求下列极限：1.mn x x x )(sin )sin(lim 0→ (m n ,为正整数);解：m nx x x )(sin )sin(lim 0→⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→.,,,1,,0lim 0m n m n m n x x mnx (m n ,为正整数). 2.x x x x 30sin sin tan lim -→; 解：3030sin tan lim sin sin tan lim x x x x x x x x -=-→→21cos 2lim cos )cos 1(sin lim 32030=⋅=-=→→x x x x x x x x x x . 3.1)31ln(lim 2320--+→x x e x x ; 解：33lim 1)31ln(lim 23203202=-=--+→→x x x e x x x x x . 4.)1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x xx x .解：)1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x xx x 3tan sin lim 62sin 3tan sin lim 3020-=-=⋅-=→→x x x x x x x x x (利用2题结果或方法).1.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<=,0,11sin ,0,sin 1)(x x x x x xx f 则0=x 是)(x f 的 A .A.可去间断点;B.跳跃间断点;C.无穷间断点;D.振荡间断点.解：根据间断点的分类，考察：1sin 1lim )(lim )0(00===--→→-x x x f f x x ，1)11sin (lim )(lim )0(00=+==++→→+xx x f f x x ，由于)0()0(+-=f f 即左右极限存在且相等，所以极限1)(lim 0=→x f x 存在，因而0=x 是)(x f 的可去间断点.故A 选项正确，B 、C 、D 选项不正确.2.设11cotarc )(2-+=x x x f ,则1=x 是)(x f 的 B . A.可去间断点; B.跳跃间断点; C.无穷间断点; D.振荡间断点. 解：根据间断点的分类，考察：π+=-+==--→→-1)11cot arc (lim )(lim )1(21100x x x f f x x ，001)11cot arc (lim )(lim )1(21100=+=-+==++→→+x x x f f x x ，由于左右极限存在但不相等，所以1=x 是)(x f 的跳跃间断点.故B 选项正确，A 、C 、D 选项不正确. 3.设xee xf xx1arctan121)(11+-=,则0=x 是)(x f 的 B . A.可去间断点; B.跳跃间断点; C.无穷间断点; D.振荡间断点. 解：注意到∞==+-→→xx xx e e 101lim ,0lim ，21arctan lim ,21arctanlim 00ππ=-=+-→→x x x x . 根据间断点的分类，考察：2)2(11arctan121lim )(lim )0(11ππ-=-⋅=+-==--→→-x ee xf f xx x x , ππ-=⋅-=+-==++→→+221arctan121lim )(lim )0(110x ee xf f xxx x ，由于左右极限存在但不相等，所以0=x 是)(x f 的跳跃间断点. 故B 选项正确，A 、C 、D 选项不正确.1.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类.如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:(1)2,1,23122==+--=x x x x x y ; 解：1 2231lim 221=∴-=+--→x x x x x 为第一类(可去)间断点.补充定义,2)1(-=y 则函数y 在1=x 处连续. 2 231lim 222=∴∞=+--→x x x x x 为第二类(无穷)间断点. (2) 2,,tan πππ+===k x k x x x y ( ,2,1,0±±=k ); 解： 0 1tan lim 0=∴=→x xxx 为可去间断点.补充定义,1)0(=y 则函数y 在0=x 处连续.2 0tan lim 2ππππ+=∴=+→k x xx k x 为可去间断点.补充定义,0)2(=+ππk y 则函数y 在2ππ+=k x 处连续.)0( )0(tan lim≠=∴≠∞=→k k x k x xk x ππ 为第二类(无穷)间断点.(3)0,1cos 2==x x y . 解：因为x x 1cos lim 20-→(或xx 1cos lim 20+→)不存在，所以0=x 为第二类间断点(且为振荡间断点).1.函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间为),2(),2,3(),3,(+∞---∞,极限=→)(lim 0x f x 21,=-→)(lim 3x f x 58-,=→)(lim 2x f x ∞.解：在此633)(223-+--+=x x x x x x f 是有理分式函数，根据有理分式函数在其定义区域内的每一点都是连续的，又此函数定义区域为),2(),2,3(),3,(+∞---∞，可知)(x f 的连续区间即)(x f 的定义域为),2(),2,3(),3,(+∞---∞.又根据函数间断点的概念，可知函数)(x f 没有定义的点2,3=-x x 是其间断点.因为0=x 是连续点，所以极限21)0()(lim 0==→f x f x ；而在间断点2,3=-x x 处，极限5821lim )3)(2()3)(1(lim 633lim )(lim 232322333-=--=+-+-=-+--+=-→-→-→-→x x x x x x x x x x x x f x x x x ；极限∞=-+--+=→→633lim )(lim 22322x x x x x x f x x . 4.设函数⎩⎨⎧≥+<=,0,,0,)(x x a x e x f x 若要使)(x f 成为在),(+∞-∞上连续的函数,应当选择=a 1 .解：若要使)(x f 在),(+∞-∞上连续，那么)(x f 必在其分段点0=x 处连续，即成立)0()(lim 0f x f x =→，则必有)(lim )(lim 0x f x f x x +-→→=.而1lim )(lim 0==--→→x x x e x f ，a x a x f x x =+=++→→)(lim )(lim 00，故1=a ，此时)0(1)(lim 0f a x f x ===→.二求下列极限：3.145lim1---→x x x x ; 解：2)45)(1()1(4lim 145lim 11=+---=---→→x x x x x x x x x .4.a x a x a x --→sin sin lim ; 解：a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x cos 2cos 22sinlim 2sin 2cos 2lim sin sin lim =+⋅--=--+=--→→→. 5.)(lim 22x x x x x --++∞→. 解：111112lim 2lim)(lim 2222=-++=-++=--++∞→+∞→+∞→xx x x x x x x x x x x x x . 三求下列极限：1.xx e 1lim ∞→; 解：1lim 1=∞→xx e .2.x xx sin lnlim 0→; 解：0sin ln lim 0=→xx x .3.)arcsin(lim 2x x x x -++∞→. 解：621arcsinarcsinlim )arcsin(lim 22π==++=-++∞→+∞→xx x x x x x x x . 一证明题1.证明方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间.证明设13)(5--=x x x f ，对)(x f 在闭区间[1,2]上用零点定理：因为13)(5--=x x x f 在闭区间[1,2]上连续，并且0)72()3()2()1(5<-⋅-=⋅f f ，所以由零点定理可得，至少存在一点)2,1(∈ξ使0)(=ξf ，即0135=--ξξ，亦即方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间. 证毕.2.证明方程b x a x +=sin ,其中0,0>>b a ,至少有一个正根,并且它不超过b a +.证明思路如下：先构造辅助函数)sin ()(b x a x x F +-=，则方程b x a x +=sin 的根的问题即转化为函数)(x F 的零点的问题；然后判断)(x F 在某闭区间上连续且在端点处的函数值异号，于是根据闭区间上连续函数的零点定理即可断定)(x F 的零点亦即方程根的存在性；本题欲证方程的根为正根，并且它不超过b a +，故在闭区间],0[b a +上进行考察.令)sin ()(b x a x x F +-=，则0)0(<-=b F ,=+)(b a F 0)]sin(1[≥+-b a a ，以下分两种情况讨论：①当1)sin(=+b a ，0)(=+b a F ，则b a +就是函数)(x F 的零点，也就是方程b x a x +=sin 的一个根，此根],0(b a b a +∈+，取到区间],0(b a +的右端点；②当1)sin(<+b a ，0)(>+b a F ，因为)(x F 在(∞∞-,)上连续, 从而在],0[b a +上连续，并且0)()0(<+⋅b a F F ，于是根据闭区间上连续函数的零点定理可得，在开区间),0(b a +内至少存在一点ξ，使0)(=ξF ，即ξ是方程b x a x +=sin 的一个根，此根),0(b a +∈ξ.由①②即得，方程b x a x +=sin 在],0(b a +内至少有一个根. 证毕. 4.若在0x 的某个邻域内)()(x x f ϕ>,且A x f x x =→)(lim 0,B x x x =→)(limϕ,则A 与B 的关系是B A ≥.解：根据函数极限的性质定理：如果)()(x x ψϕ≥，而b x a x ==)(lim ,)(lim ψϕ，那么b a ≥.(第五节定理5)5.设)(x f 处处连续,且5)2(=f ,则=-→)1(3tan lim20xe f x x x x 15 .解：注意到)(x f 处处连续，则15)2(3)212(33tan 3lim )1(3tan lim2020=⋅=-⋅⋅=-→→f xe f x x x e f x x x x x x . 2.设232)(-+=xx x f ,则当0→x 时,以下四个结论中正确的结论是 B .A.)(x f 与x 是等价无穷小;B.)(x f 与x 同阶但非等价无穷小;C.)(x f 是比x 高阶的无穷小;D.)(x f 是比x 低阶的无穷小.解：根据无穷小比较的定义，因为6ln 3ln 2ln )13()12(lim 232lim )(lim000=+=-+-=-+=→→→xx x x f x x x x x x x ，由16ln ≠知A 选项不正确，由06ln ≠知B 选项正确且C 选项不正确，由6ln 非∞知D 选项不正确.三求下列极限：1.])12)(12(1751531311[lim +-++⋅+⋅+⋅∞→n n n . 解：])12)(12(1751531311[lim +-++⋅+⋅+⋅∞→n n n )]121121()7151()5131()3111[(21lim +--++-+-+-=∞→n n n 21)1211(lim 21=+-=∞→n n . 2.)11()311)(211(lim 222nn ---∞→ . 解：)11()311)(211(lim 222nn ---∞→ ))1)(1(111(2222n n n n n n --=-=- 2222)1)(1(453342231lim n n n n --⋅⋅⋅⋅⋅=∞→ 2121lim =+=∞→n n n . 3.)tan 1sin 1(1lim 0x x x x -→. 解：)tan 1sin 1(1lim 0x x x x -→2121lim sin cos 11lim 2200==-⋅=→→x x x x x x x . 4.x x x x x 1sin ln 1cos ln lim 0+++→. 解：x x x x x 1sin ln 1cos ln lim 0+++→11sinln 111cosln 11lim 0=++=+→xx x x x . 5.ππ-∞→3232sinlimx x x x x . 解：ππ-∞→3232sinlimx x x x x πππππ=-=-⋅=∞→∞→333232limlimx x x x x x x x . 6.)111)(110()110()12()1(lim 222--++++++∞→x x x x x x . 解：)111)(110()110()12()1(lim222--++++++∞→x x x x x x 271110102122=⋅+++= . 7.)0,0,0.()3(lim 10>>>++→c b a c b a xx x x x . 解：xxx x x c b a 10)3(lim ++→xxx x x c b a 10)331(lim -+++=→313330)331(lim ⋅-++⋅-++→-+++=x c b a c b a xx x x x x x x x x c b a ， )111(lim 3lim 00xc x b x a x c b a x x x x x x x x -+-+-=-++→→ abc c b a ln ln ln ln =++=，所以原式abc eln 31=3abc =. 8.x x x cot 0)]4[tan(lim -→π. 解：x x x cot 0)]4[tan(lim -→π2tan 11tan 10)tan 1(])tan 1[(lim---→=+-=e x x xx x .9.xx x tan 2)(sin lim π→.解：xx x tan 2)(sin lim π→xx x x cos sin 2)]1(sin 1[lim -+=→πxxx x x x sin cos 1sin 1sin 12)]1(sin 1[lim ⋅-⋅-→-+=π，x x x x x x x cos 1sin lim sin cos 1sin lim 22-=⋅-→→ππ 02sin 2cos 2cos 2sin lim 2sin 2cos )2cos 2(sin lim22222=+-=---=→→x x x x x x x x x x ππ，所以原式10==e . 10.1111lim 30-+-+→x x x . 解：1111lim 30-+-+→x x x )11)(11)1()(11()11)1()(11)(11(lim 33233320++++++-+++++++-+=→x x x x x x x x x 23)11()11)1((lim 3320=++++++=→x x x x x x .11.xx x x x x sin 114lim22+++-+-∞→.解：x x x x x x sin 114lim 22+++-+-∞→xx x x x x x x -+-++-+=-∞→sin 114lim221sin 111114lim 2=+---+=-∞→x x x x x x . 12.)0( .1lim >+∞→a a a n nn 解：)0( .1,1,1,21,100,1lim >⎪⎩⎪⎨⎧>=<<=+∞→a a a a a a nn n 2.设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->++=,0,cos ,0,)1ln(1cos sin )(2x x be x x x x x x f x应当怎样选择数b ,使得)(x f 在0=x 处连续.解：应有)0()(lim )(lim 0f x f x f x x ==-+→→,而1)0()(lim ,1)(lim 00-===-+→→b f x f x f x x ,所以2=b .3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-,01),1ln(,0,)(11x x x e x f x 求的间断点,并说明间断点所属类型. 解：因为函数在1=x 处无定义(在)1(0U 有定义),所以1=x 是)(x f 的一个间断点.)11lim ( 0lim )(lim 11111-∞=-==---→-→→x ex f x x x x , )11lim ( lim )(lim 11111+∞=-∞==+++→-→→x e x f x x x x ,1=∴x 是第二类间断点.在分段点0=x 处,eex f x x f x x x x x 1lim )(lim ,0)1ln(lim )(lim 11===+=-→→→→++-- , 0=∴x 也是)(x f 的间断点,且是第一类间断点. 五证明题2.设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,且b b f a a f ><)(,)(,证明:在),(b a 内至少存在一点ξ,使ξξ=)(f . 证明设x x f x g -=)()(,对)(x g 在闭区间],[b a 上用零点定理:由)(x f 在闭区间],[b a 上连续,可得x x f x g -=)()(在闭区间],[b a 上连续,并且0)()(<-=a a f a g ,0)()(>-=b b f b g ,故由零点定理得,在),(b a 内至少存在一点ξ,使0)()(=-=ξξξf g ,即ξξ=)(f . 证毕.3.设函数)(x f 在),(b a 内连续,),(0b a x ∈,且0)(0>=A x f .证明:存在0x 的邻域),(),(0b a x U ⊂δ,使当x 属于该邻域时,A x f 21)(>. 证明设2)()(A x f x g -=,则022)(]2)([lim )(lim 000>=-=-=→→AA x f A x f x g x x x x ,由极限的局部保号性知,存在00>δ,使当000δ<-<x x 时,有0)(>x g .取},,m in{000x b a x --=δδ,则当),(),(0b a x U x ⊂∈δ时,有0)(>x g ,即A x f 21)(>.证毕.。