定积分的分步积分法.
定积分的分部积分法经典例题
定积分的分部积分法经典例题
定积分的应用一般出现在综合题的最后一题，题型仅有两种：第一，求曲线围成的面积；第二求旋转体体积(绕x轴旋转，绕y轴旋转)。
1.求面积
(1)X-型图形，一般是两条曲线一上一下，面积等于上面的曲线(大的)减去下面的曲线(小的)，并对x的积分，如下面两张图。
求面积首要问题是画出草图，图形的上下位置(或者左右位置)，交点一定要做得准确。
通常曲线，例直线、抛物线、双曲线、指数、对数、三角函数的图像要画得熟练、准确。
求出结果后要检验，这样的题型是一个实际问题，所得结果要合乎逻辑。
(2)Y-型，一般是两条曲线一左一右，面积等于右边的曲线(大的)减去左边的曲线(小的)，并对y的积分，如下图
2.旋转体体积
求旋转体体积时要充分发挥几何空间想象能力，要想象出旋转出的体积大概是什么形状的。
(1)X-型图形
绕x轴旋转所得图形的体积
绕y轴旋转所得图形的体积
(2)Y-型图形
绕x轴旋转所得图形的体积
绕y轴旋转所得图形的体积
常考题型如下：。
定积分可以用分部积分法
定积分可以用分部积分法定积分是高中数学中非常重要的一个概念，同时也是微积分的基础。
在计算定积分的时候，我们可以采用分部积分法，这是一种非常有效的方法。
分部积分法首先要明确一个概念，即积分中的两个因子是具有不同的特点的。
我们把这两个因子分别称为“被积函数”和“微分形式”。
在使用分部积分法求解定积分的时候，我们需要根据被积函数和微分形式的特点，合理地选取分别代表它们的函数。
通常情况下，我们可以选取被积函数为u，微分形式为dv，然后利用以下公式进行计算：∫u dv = uv - ∫v du公式中的u代表被积函数，v代表微分形式。
通过运用分部积分公式，我们可以快速、准确地求出定积分。
当然，作为一种高级的数学方法，分部积分法需要我们掌握一些具体的技巧和方法。
首先，我们需要选取一个合适的u和dv，使得∫u dv的求解变得容易或具有明显的规律。
在选择u和dv的时候，我们需要考虑它们的微分形式的次数、变化规律、奇偶性等方面的属性，并且需要经过反复尝试才能选出最佳的组合。
其次，我们需要注意确定分部积分过程中的边界条件。
在确定边界条件时，我们要考虑清楚被积函数和微分形式的取值范围，并且要注意积分上限和下限的影响。
最后，我们还需要注意分部积分法的运用场景。
分部积分法适用于一些特定的被积函数和微分形式，例如多项式函数、三角函数、指数函数等，但是对于某些函数，分部积分法可能并不适用。
因此，在运用分部积分法的时候，我们需要考虑被积函数的具体性质，合理地选择不同的求解方法。
总之，分部积分法是高中数学中非常重要且实用的求解定积分的方法，掌握了这个方法，能够让我们在求解数学题目和解决实际问题时更加得心应手。
为了从根本上提高分部积分的运用能力，我们需要多思考、多实践，不断提高自己的数学素养和技巧水平。
定积分的分部积分法
§6.5 定积分的分部积分法因为vdu udv uv d +=)(，两边从a 到b 取定积分有：⎰⎰⎰+==b abab ab avdu udv uv uv d ][)(，所以 ⎰⎰-=bab a ba vdu uv udv ][ 例1⎰⎰⎰-=-=5151515151]ln [ln ])[(ln ln dx xx x x x xd x x xdx 45ln 5][05ln 551-=--x例2 11|][1110110=+-=-=-==⎰⎰⎰xx xxx x x e e e e dxe xe xde dx xe例3211|c o s 0s i n|s i n s i n c o s 0000-=--=+=-==⎰⎰⎰πππππx dx x x x x xd xdx x例4⎰⎰⎰-==ee e e xd x x x x xd xdx x 1121221ln 21]ln [21)2(ln ln=414|212122122122122+=⋅-=-⎰e x e dx x x e e e例5⎰⎰=2ln 0222ln 032221dx e x dx e x x x 令2x t =，则原式=⎰⎰⎰-==2ln 02ln 02ln 02ln 021][212121dt e te tde dt te tt t t =212ln 212212ln |212)2(ln 212ln 0-=+⋅-=-⋅t e 例6 求⎰⎰=2020c o s c o s ππx xx d e xd xe =dx x e x d e e x x xx⎰⎰+-=-⋅202020sin 1cos |cos πππ=⎰⎰-⋅+-=+-202020sin ])[(sin 1sin 1πππx d e e x xde x xx=xdx e e x cos 1202⎰-+-ππ∴ 1cos 2220-=⎰ππe xdx e x∴ ⎰-=202)1(21cos ππe x e x例7⎰342s i n ππdx xx=⎰⎰+-=-343434cot ]cot [cot ππππππxdx x x x xd=++-=⎰dx x x 34sin cos 493ππππ⎰++-=34sin sin 493ππππx xd 34]sin [ln 493ππππx ++-=23ln 21493++-ππ 利用定积分还可以求某些和的近似值。
(完整版)定积分的分部积分法
n 102 sin n2xdx n 102 sin n xdx
n 1In2 n 1In
In
n
n
1
I
n2
,
积分递推公式.
预科部：melinda
In2
n n
3 2
In4
,
,
直到
In
的下标 n 递减
到0或1为止.于是
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 2
2m 2m
5 4
...5 6
3 4
1 2
I0
I 2 m1
2m 2m
1
2m 2 2m 1
2m 2m
4 3
... 6 7
4 5
2 3
I1
m 1,2,3,...
预科部：melinda
I0
2
0
sin
0
xdx
2
, I1
2
0
sin
xdx
1
In
2
0
sin
n
xdx
n
n
1 n 1
n n n
3 2 3
... ...
3 4 4
1 2 2
，n为正偶数，
定积分的分部积分法
一、分部积分法 二、例题
预科部：melinda
一、分部积分法
1.分部积分公式 设函数 u ux,v vx
在a,b 上具有连续导数 u,v, 则
b
a
uvdx
uv
b a
b
a
uvdx；
或
b
a
udv
uv
b a
b
a
vdu
2.说明
定积分的分部积分法
(3) 4 3 xdx; 1
(4) (sin x cos x)dx; 0
(7)
2
sin 2
x
dx;
0
2
1
(8) (
x 1 3x )dx.
0
第三节 定积分的换元法
例1 求 4 dx .
0 1 x
解法1
dx 1
x
令
x
t
2tdt 1 t
2
(1
1
1
1．计算
(1) d x ln(1 t2 )dt ; dx 1
2．计算下列各定积分
x
tan tdt
(2) lim x0
0
x3
.
（1）2|1 x | dx;
2
(2) | sin x | dx;
0
0
(5)
0 1
3x4 3x2 1 x2
1dx;
(6) 4 tan2 xdx; 0
4 dx
1 x x
2 2tdt 1 t2 t
2 2dt 2 d (t 1) 2
1 t 1 1 t 1
2
ln(t
1)
|12
2(ln
3
ln
2)
2
ln
3 2
.
例4 求 2 3cos2 xsin xdx. 0
解 设u cos x，则du sin xdx，当x 0时，u 1；当x 时，u 0.于是 2
与下方部分面积的代数和，如图6－2所示，有
b
a f (x)dx A1 A2 A3
定积分的分部积分法
b
(1 b ) ln(1 b ) (1 a ) ln(1 a ) ( x
2 2 2 2
2 b a
)
2
(1 b ) ln(1 b ) (1 a ) ln(1 a ) (b a )
2 2 2 2 2
例3 计算 解 设
x
2
4 0
特别： sin x dx
2 0 2
2 0
1 2 dx 2 0 4
sin x dx
4
1 cos x dx I 2 I 0 2
2
2 0
2 0
3 3 1 cos x dx I 4 I 2 I 0 4 4 2
4
3 3 dx 8 16
ln( 2 1) 2 1
例5：计算定积分 ln( 1 x 2 )dx
0
1
解：原式 ( x) ln( 1 x )dx
2 0
1
x ln( 1 x ) x[ln( 1 x )]dx
2 1 0 2 0
1
2x (1 x ) 1 ln 2 dx ln 2 2 dx 2 2 0 1 x 0 1 x
“反” “对”
反三角函数. 对数函数.
“幂” “指”
“三”
幂函数. 指数函数.
三角函数.
基本类型及分部方式:
(1) Pn ( x)e
a b ax b
dx
b
a
1 ax b Pn ( x)[ e ]dx a
b a
(2) Pn ( x) cos( ax b)dx
定积分的分部积分法
例4 证明定积分公式
I n 02 sin n xdx 02 cos n xdx
n 1 n 3 ... 3 1 ，n为正偶数， n n2 4 2 2 n 1 n 3 ... 4 2 ,n为大于1的正奇数. n n2 5 3
预科部：melinda
二、例题
例1 计算
解
1
0 xe dx .
x x 1
1
x xe dx x de 0 0
xe
x 1 0
e dx
1 x 0
e e
x 1 0
1
预科部：melinda
例2 计算 4 sin xdx .
0
2
解
0
2
4
sin xdx
t x , dx 2tdt x 0, t 0; x
b b a b
预科部：melinda
(1)应用分部积分公式不需要变换积分限，对 于不含积分号的 uv 项需将积分上下限代入求 差，另一项
a vdu 仍按定积分继续计算.
b
(2)应用分部积分公式时,被积函数 u 和 v 的选
取与不定积分的方法一样，需注意的是由于求 定积分，应观察积分区间是否关于原点对称， 被积函数是否是奇函数或偶函数，以利用特殊 定积分公式简化定积分的运算.
到0或1为止.于是
I 2m
2m 2m 2 2m 4 6 4 2 I 2 m1 ... I1 2m 1 2m 1 2m 3 7 5 3
m 1,2,3,...
预科部：melinda
I 0 sin xdx , I1 02 sin xdx 1 2
定积分的换元法和分部积分法
不定积分法
定积分法，
且使用方法与相应的不定积分法类似。
一、定积分的换元法
我们知道，不定积分的换元法有两种，下面就分别 介绍对应于这两种换元法的定积分的换元法。
1. 第一类换元积分法（凑微分法）
设函数 f ( x) 在区间 [a, b]上连续， f (x)dx F( x) C
那么
b a
0
1
1
t
)dt
2t
ln
|
1
t
|
2 0
4 2ln3
（2）根号下为 x 的二次式
例8 计算
1
2
0
x2 dx 1 x2
解 设 x sint， π t π ， 则 dx cos t dt，
2
2
且当 x 0 时，t 0； 当 x 1 时，t π， 因此
2
6
1 2 0
x2 dx 1 x2
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x