2018年9月THUSSAT中学生标准化能力测试理科数学试题及答案
理科数学(一卷)试卷THUSSAT9月测试
中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 9 月测试 理科数学试卷
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
5．设曲线 y = ax2 − bln x 在 x =1 处的切线方程为 y = 5x − 2 ，则 a,b 的值分别为（ ）
A． 2,1
B． 2, 1
C． 3,1
D． 3, 1
6．在平行四边形 ABCD 中，O 为 AC 与 BD 的交点，若 2AE = ED ，则 OE= （ ）
A． 1 BA + 1 BC 26
A． 3 10 10
B． 10 10
C． 2 5 5
D． 5 5
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知函数 f (x) x2 2, x 0
，则 y = f (x) − x 的零点个数为________．
2x 6 ln x, x 0
14．已知数列{an} 满足 a1 = 2 ， (n −1)an = nan−1 + n(n −1)(n 2) ，则{an} 的通项公式为________．
为取出此 2 球所得分数之和，求 的分布列；
（2）当 a =1时，从该盒子中任取（每球取到的机会均等）1 个球，记随机变量 为取出此球所得分数．若
E = 5 ， D = 5 ，求 b 和 c ．
3
9
20．（12 分）设椭圆 C : x2 + y2 = 1 的右焦点为 F ，过点 (m,0)（ | m |1）作直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点，且坐标原
理科数学(一卷)答案THUSSAT9月测试
中学生标准学术能力诊断性测试2018年9月测试理科数学试卷 参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 2．B 3．A 4．D 5．C 6．B 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．2 14．n 2+n 15．3016．()1,∞−三、解答题：共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分。
17．（12分）（1） 3=AB ，1=AC ， 60=∠A ，所以由余弦定理可知，22231-231cos60BC ，7BC .......3分.根据正弦定理，14213sin ,237s 3=∠∴=∠ACB ACB in ........6分 （2）222AB AC BC ，ACB 为钝角，则147142131c 2−=⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−=∠ACB os ......8分 71,2AC CD，在ACD ∆中，根据余弦定理，2227771-21-2214AD .....10分 求得13AD....12分18.（12分）（1）取PC 中点F ， E 是PD 的中点，∴CD EF //，又由题意知Q 是FC 的中点，M 是EC 的中点，∴QM EF //，...........2分∴AB CD QM ////.又QM PAB ⊄平面,AB PAB ⊂平面， ∴PAB QM 平面// ............4分方法一：（2）当45=∠PBA 时，存在线段PC 上的中点F ，使得EF //平面P AD ，且EF 与平面PBC 所成角为45°同时成立。
...........5分 理由如下：由（1）知，当F 为PC 中点时，AB EF //. PAABCD 平面,AB PA ⊥∴.又 四边形ABCD 为矩形，∴AD AB ⊥，∴PAD AB 平面⊥，∴PAD EF 平面⊥.............8分 BC PA ⊥，BC AB ⊥，∴PAB BC 平面⊥，∴PAB PBC 平面平面⊥，∴PBA ∠为AB 与平面PBC 所成角，∴45PBA............12分方法二：（2）当45=∠PBA 时，存在线段PC 上的中点F ，使得EF //平面P AD ，且EF 与平面PBC 所成角为45°同时成立。
2018全国中学生数理化创新能力大赛(预赛)高三数学试卷及解析
2018全国中学生数理化创新能力大赛（预赛）高三数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、解答题1.已知数列{n 1>0,a n+1=2−|a n |,n ∈N ∗。
（1）若a 1,a 2,a 3成等比数列，求a 1的值。
（2）是否存在a 1，使数列{a n }为等差数列？若存在，求出所有这样的a 1；若不存在，说明理由。
2.有一道解三角形的题目因纸张破损而使得有一个条件看不清，具体如下：在ΔABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边。
已知a =√6,且2cos 2A+C 2=(√2−1)cosB ，求角A 。
3.“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0．2．为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C （单位：万元）与安装的这种净水设备的占地面积x （单位：平方米）之间的函数关系是()50250kC x x =+（x≥0，k 为常数）．记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．（1） 试解释()0C 的实际意义，请建立y 关于x 的函数关系式并化简; （2） 当x 为多少平方米时，y 取得最小值？最小值是多少万元？ 4.若a,b,c 为实常数，又实数x,y 满足ay−bx =c√(x −a )2+(y −b )2≠0，求a,b,c 之间应满足的关系。
5.我们把由半椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(x ≥0)与半椭圆y 2b2+x 2c 2=1(x ≤0)合成的曲线称作“果圆”，其中a 2=b 2+c 2,a >0,b >c >0。
理科数学(一卷)试卷THUSSAT9月测试高考资料高考复习资料中考资料
第 18 题
19．（12 分）设盒子中装有 6 个红球，4 个白球，2 个黑球，且规定：取出一个红球得 a 分，取出一个白球得 b 分，
取出一个黑球得 c 分，其中 a，b，c 都为正整数．
（1）当 a =1，b = 2 ，c = 3时，从该盒子中依次任取（有放回，且每球取到的机会均等）2 个球，记随机变量
A． 3 10 10
B． 10 10
C． 2 5 5
D． 5 5
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知函数 f (x) x2 2, x 0
，则 y = f (x) − x 的零点个数为________．
2x 6 ln x, x 0
14．已知数列{an} 满足 a1 = 2 ， (n −1)an = nan−1 + n(n −1)(n 2) ，则{an} 的通项公式为________．
AF PF , PFA 60 ，则点 F 到 PA 的距离为（ ）
A． 5 3 2
B． 7 2
C． 7 3 2
D． 15 2
12．在三棱锥 A - BCD 中，BC = BD = AC = AD =10 ，AB = 6 ，CD = 16 ，点 P 在平面 ACD 内，且 BP = 30 ，
设异面直线 BP 与 CD 所成角为 ，则 sin α 的最小值为（ ）
15．某校开设 A 类选修课 4 门，B 类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同 的选法共有________种．
16．已知函数 f (x) = ln(x +1)(x 0) 与 g(x) = 2x − a 的图像上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是______．
2018神州智达(数学理)联考二参考答案
（2）在平面 DFC 内，过 F 作 FC 的垂线 FG，因为
EF DF , EF CF , EF 平面CDF , EF FG, EF , FC, FG 两两垂直，所以以
FE，FC，FG 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，又∵∠DFC= 3 ，则 4
E（2，0，0），C（0，1，0），B（2，1，0），D（0，﹣2，2），A（2，﹣2，2），
，即
2x 3 3y 2z
y 2z 0
0
，
取 m =（0，2，3），
同理平面 DBE 的一个法向量为 n =（1，0，1），··························································· 10 分
∴cos＜
m
4. B 由茎叶图知，该班 10 名学生的平均体重为
50+ 4 2 2 4 4 6 10 12 14 22 =56.8．体重的中位数为 54 56 55 ，故选 B．
10
2
5. A 此函数是一个奇函数，故可排除 C，D 两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，
32
11. B
由题意得
aS352
a1a7 20
，即
(a1 2d )2
5a1
5
2
4
d
a1 (a1 20
6d )
，即
2a1d2
2d 4 a1d
，又因为
d≠0，
所以
ad1
2 1
，所以
an=n+1，则
1 an an 1
1 n 1
2018届高三数学9月考题(含答案).docx
[X 2 + y 2 < 1 < x + y > — 111. 已知乂,丫满足1 yvO ，贝ijz = x-y 的取值范围是() A.[-返叮 B.[・ 1,1] C.[-返返] D. [ - 1,返] 12.已知定义在R 上的函数f (x)在(-8, -2)上是减函数，若g (x) =f (x - 2)是奇函数，且g (2)=0,则不等式xf (x) W0的解集是(A. ( - °°, - 2] U [2, +°°) C. ( - 8, - 4]U[ - 2, +8)二、填空题(20分)13. 已知f (x )= log 3(x 2-2x)?则函数f(x)的单调递减区间是 _____________ .14. 已知函数f(x) = x 3 + ax 2 + bx + a 2(a,b 6 R)且函数f(x)在x = 1处有极值10,则实数b 的值为15. _________ 已知f (x) = |e x -l|,又g(x) =f 2(x)-tf(x)(tG R),若满足g(x) = 一1的x 有三个，贝吐的取值范 围是 ____________ •16. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x > 0时，f(x) = 2X ,若对任意的xG [a,a + 2],不等式 f(x + a) >『(x)恒成立，则实数a 的取值范围是 _____________ .=、解答题：木题共6道题，共70分.17. 锐角AABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c,己知AABC 的外接圆半径为R,旦满足R = t asinA (1) 求角A 的大小；(2)若a = 2,求AABC 周长的最大值.A. ( -- 3] B. [ - 3, +°°) C. ( - °°, VS] D. [V3, +8))B. [-4, -2]U[0, +°o) D. ( - °°, - 4] U [0, +8)2018届高三数学9月考题（含答案）2017-9-28一、选择题(60分)1. 若集合A={x|x> - 1},则( )A. OCAB. {0}cAC. {0}£AD. 0£A2. 设集合A = (X|X2-2X-3 < 0},B = {x|y = ln(2-x)},则A n B =()A. {x|-l < x < 3}B. {x|-l < x < 2}C. {x|-3 < x < 2}D. {x|l < x < 2}2 _3. 若复&z =屮i为虚数单位，^z=()A. 1 + iB. 1-iC. -1-iD. -1-i4. 已知命题p:Vx > 0,总有(x + l)e x > 1,则「p为()A. 3x o 三°，使得do + l)e X°三1B. 3x o > 0,使得do + l)e X°三1C. 3x o > °，使得(X。
2018清华大学中学生学术能力标准测试理科数学试题及答案
1
27 7 1000 ， 10
0
……………9 分
5
从而 的分布列为
E ( ) np 3
3 0.9 10 3 7 D( ) np(1 p) 3 0.63 10 10
， …………………12 分
20. （12 分） 解： （1）设 F (c,0) ， P(t ,
3 P 0 C 10
0 3 1 3 0
3
343 7 1000 ， 10
2
3
441 37 P 1 C 1000 ， 10 10 189 3 7 P 2 C32 10 10 1000 ， 3 P 3 C 10
中学生标准学术能力诊断性测试 理科数学科目参考答案 一、选择题 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 C 5 A 6 A 7 B 8 C 9 C 10 B 11 D 12 A
二、填空题（每题 5 分） 13.
1 5
14.
4 [3， ] 3
15. 4
16.
13 2
三、解答题 17. （12 分） 解： （1）因为������������������2 ������ = ������������������2
所以有 95% 以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济 损失是否到 4000 元有关。…………………5 分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过 4000 元居民的频 率为 0.3，将频率视为概率. 由题意知 的取值可能有 0,1, 2,3 ， ~ B(3,设点 P 到 AB 边的距离为 z ，则有：
1 SABC SPBC SPAC SPAB ( 3x y 2 z ) ； 2
THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2023-2024学年高三上学期9月测试数学试题(含解析)
THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2023-2024学年高三上学期9月测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________(1)证明：MC BD ⊥；(2)若SA AD ⊥，2SA =，点1010，求SP SC ．21．已知椭圆222:1(6x y C b +=上的一点满足MF MF ⋅=参考答案：【详解】中点，连接,AE BE ，,,AB BC BD ABC ABD =∠=∠，≌ABD △，AC AD ∴=，AE ∴π,3BD DBC ∠=，BCD ∴△是边长为,26CD BE =，故选：C 8．DGGB选项A ，函数()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故GGB故选：BCD.12．ABC【分析】根据斜率是否存在分类设直线距离为定值，即可判断A；∠的平分线根据椭圆的对称性，AOB【详解】AI ：如图，作OM AB⊥于M，则点AB斜率不存在时，设直线AB设2AB a =，高PO h =，则2OD a =,在Rt MOD 中，所以正四棱锥的体积13V Sh =2282(4)V h h h h '=-+=--，故当0V '<，函数V 单调递减，因为2SA =，则()0,0,0A 、(S 设平面AMC 的法向量为(m x =则222020m AC x y m AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取设()(2,22,22SP SC λλ==-=()(f x>恒成立．即2a-e<-时，不等式()0。
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AF BF
=（
）
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三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作 答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60 分． 17． （12 分）在 ABC 中， AB = 3 ， AC = 1 ， A = 60 ． （1）求 sin ACB ； （2）若 D 为 BC 的中点，求 AD 的长度．
18． （12 分）如图，在四棱锥 P－ABCD 中， PA ⊥ 平面 ABCD ，四边形 ABCD 为矩形， E 是 PD 的中点， M 是 EC 的中点， 点 Q 在线段 PC 上且 PQ=3QC． （1）证明 QM//平面 PAB； （2） 当 PBA 为多大时， 在线段 PC 上存在点 F 使得 EF ⊥ 平面 PAD 且 EF 与平面 PBC 所成角为 45°同时成立？ 第 18 题
6．在平行四边形 ABCD 中，O 为 AC 与 BD 的交点，若 2 AE = ED ，则 OE = （ A． BA +
3 10 10 2 5 5
B．
10 10
5− BC
1 2
1 6
C． − BA + ）cm2
1 2
1 BC 6
1 2
1 BC 6
C．
D．
7．已知一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ A． 9 2 + 9 B． 9 2 + 18 C．18 D．27
中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 9 月测试 理科数学试卷
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数 z 满足 (1 - i ) + z (1 − i ) + i = 0 ，则 z =（
2
A．3
B．
5 2
C ．2
D．4
x + 2 y − 4 0 2 1 2 9．若实数 x,y 满足 x − y − 1 0 ，则 x + y − 的取值范围是（ 2 x 1
A． 1,2
）
5 17 4 4
） D． −
B． , 2 4 D． 1,
5 17 4
2
1 1 1 1 C． − + i − i 2 2 2 2 1 2．已知集合 A = {x | log 2 x 2}, B = {x | 2 x 8} ，则 A B =（ ） 2
A． B． A． [−1,3] B． (0,3] C． [−1,4)
8．设抛物线 C： y = 4 x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与抛物线 C 交于 A, B 两点．若 AB
2
16 ，且 AF BF ，则 3
15．某校开设 A 类选修课 4 门，B 类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同 的选法共有________种．
2
B． −25
C． −43
D． −45 ） D． 3, 1 ） D． − BA −
5 3 2
7 2
C．
7 3 2
D．
15 2
5．设曲线 y = ax − b ln x 在 x = 1 处的切线方程为 y = 5 x − 2 ，则 a,b 的值分别为（ A． 2,1 B． 2, 1 C． 3,1
12．在三棱锥 A - BCD 中， BC = BD = AC = AD = 10 ， AB = 6 ，CD = 16 ，点 P 在平面 ACD 内，且 BP = 30 ， 设异面直线 BP 与 CD 所成角为 ，则 sin α 的最小值为（ A． ）
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写 清题号． 22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分）
x = −2 + 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 y = −4 +
2 t 2 （ t 为参数） ，点 M (−2, −4) .以坐标原点为极点， x 轴 2 t 2
1 1 + i 2 2
1 1 − i 2 2
C． ,
10． 在 −4, 4 上随机地取一个数 m ， 则事件 “直线 x − y + m = 0 与圆 ( x-1) + y 2 = 2 有公共点” 发生的概率为 （ D． (0,4) A．
）
3．将 420 名工人编号为：001，002，…，420，采用系统抽样的方法抽取一个容量为 60 的样本，且随机抽得的号码 为 005．这 420 名工人来自三个工厂，从 001 到 200 为 A 工厂，从 201 到 355 为 B 工厂，从 356 到 420 为 C 工 厂，则三个工厂被抽中的工人数依次为（ A．28，23，9 ） C．27，22，11 D．28，22，10 ）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知函数 f ( x)
x 2 2, x 0 2 x 6 ln x, x
0
，则 y =
f ( x) − x 的零点个数为________．
14．已知数列 {an } 满足 a1 = 2 ， (n − 1)an = nan−1 + n(n − 1)(n 2) ，则 {an } 的通项公式为________．
1 4
B．
1 3
C．
1 2
D．
2 3
11．已知 P 为双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1 （ a 0,b 0 ）右支上一点，A 为其左顶点，F (4 3,0) 为其右焦点，满足
）
B．27，23，10
AF
A．
PF , PFA
60 ，则点 F 到 PA 的距离为（
B．
4．已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 = 3 ，若 a2 ,a3 ,a6 成等比数列，则 {an } 的前 5 项之和为（ A． −23