东北师大附属中学高三第一轮复习导学案参数方程A
吉林省东北师范大学附属中学高考数学第一轮复习 导数的应用学案 理
课题：导数的应用一、知识梳理: （阅读选修教材2-2第18页—第22页）1.函数的单调性与导数的关系：利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:()1求()f x ';()2确定()f x '在(),a b 内符号;()3若()0f x '>在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是增函数；若()0f x '<在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是减函数①()0f x '>⇒()f x 为增函数（()0f x '<⇒()f x 为减函数）. ②()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()f x '≥0在(),a b 上恒成立；()f x 在区间(),a b 上为减函数⇒()f x '≤0在(),a b 上恒成立.2.极值：极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y 极大值0()f x =，0x 是极大值点.极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y 极小值0()f x =，0x 是极小值点. 极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值. （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点. 判别0()f x 是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.求可导函数()f x 的极值的步骤:()1确定函数的定义区间，求导数)(x f '()2求方程()0f x '=的根()3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查)(x f '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么()f x 在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .3.函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：()1在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；()2函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．()3函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．()4函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个. 利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：()1求)(x f 在(,)a b 内的极值；()2将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.二、题型探究 【探究一】：讨论函数的单调性例1：设 函数 ，试讨论函数的单调性(解析:注意讨论K 的范围,注意函数的定义域) 时，单调递增；时，单调递减；（，1）单调递增。
东北师大附属中学高三第一轮复习导学案导数的概念及运算A
导数的概念与运算(教案)A一、知识梳理：（阅读选修教材2-2第2页—第21页）1、 导数及有关概念：函数的平均变化率： 1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的物理意义和几何意义： 导数0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-3.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y '，即()f x '＝y '＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 00 说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '4.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 5.可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆ ()2求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； ()3取极限，得导数y '=()f x '=x y x ∆∆→∆0lim7.几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；1(ln )x x'=；1(log )log a a x e x'=， ()x x e e '= ；()ln x x a a a '=8.求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭9.复合函数的导数：（理科）设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'10.复合函数的求导法则：（理科）复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数11.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代12.导数的几何意义：是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率，即0()k f x ='，要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.二、题型探究：探究1：导数的概念题型1．用导数的定义求函数在某一点处的导函数值。
东北师大附属中学高三第一轮复习教案参数方程
一参数方程(教案)、知识梳理：(阅读教材：选修4-4第21页至39页)1. 曲线的参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数x f(°①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M (x,y)都y g(t)在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x, y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程•2. 参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数得到普通方程•(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如x f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y g(t),那么x f(t)就是曲线的参数方程，在y g(t)参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致•注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3. 圆的参数方程设圆0(0为坐标原点)的半径为r,点M从初始位置M o出发，按逆时针方向在圆0上作匀速圆周运动，设M(x,y)，贝V X rc°S (为参数)。
y rsi n这就是圆心在原点0,半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是OM0转过的角度。
圆心为(a,b)，半径为r的圆的普通方程是(x a)2 (y b)2 r2,x a r cos它的参数方程为：(为参数)。
y b r sin4•椭圆的参数方程以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为2 ）o注：椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处， 离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。
12东北师大附属中学高三第一轮复习导学案函数与方程教
函数与方程A一、知识梳理：（阅读教材必修1第85页—第94页）1、方程的根与函数的零点(1)零点:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
这样，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以方程f(x)=0有实根⟺函数y=f(x)的图象与x轴有交点⟺函数y=f(x)有零点。
（2）、函数的零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)∙f(b)<0那么，y=f(x)在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f(c)=0，这个C 也就是方程f(x)=0的实数根。
（3）、零点存在唯一性定理：如果单调函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)∙f(b)<0那么，y=f(x)在区间（a，b）内有零点，即存在唯一c∈（a，b），使得f(c)=0，这个C 也就是方程f(x)=0的实数根。
（4）、零点的存在定理说明：①求在闭间内连续，满足条件时，在开区间内函数有零点；②条件的函数在区间（a，b）内的零点至少一个；③间[a，b]上连续函数，不满足f(a)∙f(b)<0，这个函数在（a，b）内也有可能有零点，因些在区间[a，b]上连续函数，f(a)∙f(b)<0是函数在（a，b）内有零点的充分不必要条件。
2、用二分法求方程的近似解（1）、二分法定义：对于区间[a，b]连续不断且f(a)∙f(b)<0的函数y=f(x)通过不断把区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。
（2）、给定精确度（ε）用二分法求函数f(x)的零点近似值步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)∙f(b)<0，给定精确度（ε）；②求区间（a，b）的中点c；③计算f(c)（I）若f(c)=0，则c就是函数的零点；（II）若f(a)∙f(c)<0，则令b=c，（此时零点x0∈（a，c））；（III）若f(b)∙f(c)<0，则令a=c，（此时零点x0∈（c，b））；④判断是否达到精确度ε，若|a-b|<ε，则得到零点的近似值a（或b），否则重复②--④步骤。
9东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--对数与对数函数A
评析：像这样“给式选图”题一般是通过解析式研究函数的性质(例如函数的定义域、值域、奇偶性、单调性)，及其在函数图象上的特征进行选择．
4．(2010·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|lgx|，若a≠ b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是()
A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)
解析：依题意有f(－x)＋f(x)＝ln＋ln＝0，即·＝1，故1－a2x2＝1－4x2，解得a2＝4，但 a≠2，故a＝－2.
9．已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于________．
解析：∵f(3x)＝4xlog23＋233＝4log23x＋233，
2、在高考小题中，考察主要是针对对数的大小比较、指数与对数的关系、对数方程及不等式、对数函数与其它函数复合或运算后的函数的图象变换问题等，在解决问题时，抓住对数函数的性质（主要是单调性）和函数图象的变换即可。
四、反思感悟
四、课时作业
对数与对数函数
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
A .B.C.D.答案：D
3．(2010·潍坊市质检)函数f(x)＝log2x的图象的大致形状是()
解析：先化简函数解析式，再根据解析式研究函数性质进行判断．由于f(x)＝log2x＝log2|x|，所以函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，且当x>0时， f(x)＝log2x在( 0，＋∞)上单调递增，又函数是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，因此选D.
∴f(2)＋f(4)＋…＋f(28)＝4(1＋2＋…＋8)＋233×8＝2008.
67东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-参数方程A
11.（2012年高考23）.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A、B、C、D以逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，).
(Ⅰ)求点A、B、C、D 的直角坐标；
(2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+ sin（ ）∴ x+y的最大值为5+ ，最小值为5 - 。
（3） = 显然当sin（ ）= 1时，d取最大值，最小值，分别为 ， .
例6：过点(2,1)的直线被圆x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程是_________；截得的最短弦所在的直线方程是__________；
二、题型探究
探究一：把参数方程化为普通方程
例1：已知曲线C1： ，C2：
（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C1上的点P对应的参数为 ，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线 C3 的距离的最小值。
解答：（Ⅰ）C1 + =1,C2:
C1为圆心是（-4，3），半径是1的圆。
（3）圆心到直线AB的距离 ，圆的半径为r=
所以
探究五：参数方程的综合应用
例5：已知点P（x，y）是圆 上动点，
求（1） 的最值，
（2）x+y的最值，
（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
解：圆 即 ，用参数方程表示为
由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ），
（1）
吉林省东北师范大学附属中学高三数学第一轮复习 导数(2)教案 文
导数（2）【探究二】：导数的运算：例2：求下列函数的导数（1）、sin2x（2）、(3)、【探究三】：求导运算后求切线方程例3：已知函数(1)、若a=1，点P 为曲线上的一个动点，求以点p 为切点的切线的斜率取最小值时的切线方程；(y=x+)（2）、求函数在（0，+）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a 。
(a=1)【探究四】．研究函数的图象例4、（08届云南平远一中五模）函数)(x f y =在定义域)3,23(-内可导，其图象如图所示，记)(x f y =的导函数为)(x f y '=，则不等式0)(≤'x f 的解集为(A ).A [)3,2]1,31[Y - .B ]38,34[]21,1[Y - .C [)2,1]21,23[Y - .D ⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--3,38]34,21[1,23Y Y 例5．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为(B)A ．(-∞，12)∪(12,2)B ．(－∞，0)∪(12，2) C ．(－∞，12∪(12，＋∞) D ．(－∞，12)∪(2，＋∞) 解析：选B.由f (x )图象单调性可得f ′(x )在(－∞，12)∪(2，＋∞)大于0，在(12，2)上小于0，∴xf ′(x )<0的解集为(－∞，0)∪(12，2)． 三、方法提升1.利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，还要注意公式不能用混；2.求复合函数的导数的时候，应分析复合函数的结构，有时一个函数不能一次分解完成，这就需要进一步分解；3.可以利用导数求曲线的切线方程，要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点4.求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法.5.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，变主元为辅元，变分式为整式.四、反思感悟：五、课后作业（1）一、选择题1.对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足()1()x f x -'≥0，则必有(D).A (0)(2)f f +()21f < .B (0)(2)f f +≤()21f.C (0)(2)f f +≥()21f .D (0)(2)f f +()21f >2． 设函数()f x ，()g x 在[],a b 上均可导，且()()f x g x '>'，则当a x b <<时，有(C).A ()()f x g x > .B ()()f x g x <.C ()()()()f x g a g x f a +>+ .D ()()()()f x g b g x f b +>+3、()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是(C)4、0()sin f x x =，10()()f x f x ='，21()()f x f x ='，…，1()()n n f x f x +='，n N ∈，则 =(A).A sin x .B sin x - .C cos x .D cos x -5、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为(A).A 430x y --=；.B 450x y +-=；.C 430x y -+=；.D 430x y ++=6、曲线12x y e =在点()24,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(D).A 29e 2.B 24e .C 22e .D 2e 二．填空题： 7、已知2()2(2)f x x xf =+'，则(2)f '= -48、已知1cos ()xf x xe-=，则()f x '= 三、解答题：9、求下列函数的导数： ()1()21sin y x =+； ()221y x =+；()32ln 1y x =+； ()411x x e y e +=-；()52sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ()6ln x y e x =⋅()7sin 1cos x y x=+； ()8()21sin cos y x x x x =-⋅+⋅10．设,点P （t ，0）是函数 与函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线。
71东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数专题--抽象函数A
所以 f （x+8） = f ( x 4) f ( x) .
1
所以 f （x） 是以 8 为周期的周期函数， 从而 f （2013） =f （251*8+5） =2000 说明：这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过 有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利 用周期性使问题巧妙获解。 6. 设 f（x）是定义 R 在上的函数，对任意 x，y∈R，有 f（x+y）+f（x-y） =2f（x）f（y）且 f（0）≠0. （1）求证 f（0）=1； （2）求证：y=f（x）为偶函数. 证明： （1）问题为求函数值，只需令 x=y=0 即可得。 （2）问题中令 x=0 即得 f（y）+f（- y）=2f（0）f（y） ， 且 f（0）=1.所以 f（y）+f（-y）=2f（y） ，因此 y=f（x）为偶函数. 说明：这类问题应抓住 f（x）与 f（-x）的关系，通过已知条件中等式进 行变量赋值。 7. 已知定义在 R 上的偶函数 y=f(x)的一个递增区间为（2，6） ，试判断（4， 8）是 y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 解：由 y=f(x)是偶函数且在（2，6）上递增可知，y=f(x)在（－6，－2）上 递减。 令 u=2-x， 则当 x∈(4,8)时， u 是减函数且 u∈(-6,-2)， 而 f(u)在 （－6， －2）上递减，故 y=f(2-x)在（4，8）上递增。所以（4，8）是 y=f(2-x)的单 调递增区间。 8. 设 f （x） 是定义在 R 上的奇函数， 且对任意 a， b， 当 a+b≠0， 都有 ＞0 （1）.若 a＞b，试比较 f（a）与 f（b）的大小； （2）.若 f（k 3 x ) f (3 x 9 x 2) ＜0 对 x∈[－1，1]恒成立，求实数 k 的取值范围。 解： （1）.因为 a＞b，所以 a-b＞0，由题意得
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参数方程(教案)A一、知识梳理：(阅读教材:选修4-4第21页至39页) 1、曲线的参数方程的概念:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程设圆O （O 为坐标原点）的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数。
这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。
圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是222()()x a y b r -+-=，它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数。
4．椭圆的参数方程以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22221(0),x y a b a b +=>>其参数方程为cos ()sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，其中参数ϕ称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是22221(0),y x a b a b+=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数其中参数ϕ仍为离心角，通常规定参数ϕ的范围为ϕ∈[0，2π）。
注：椭圆的参数方程中，参数ϕ的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2π的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。
但当02πα≤≤时，相应地也有02πϕ≤≤，在其他象限内类似。
5．双曲线的参数方程（不要求掌握）以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0),x y a b a b-=>>其参数方程为sec ()tan x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，其中3[0,2),.22ππϕπϕϕ∈≠≠且 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是22221(0,0),y x a b a b-=>>其参数方程为cot ((0,2).csc x b e y a ϕϕϕπϕπϕ=⎧∈≠⎨=⎩为参数，其中且 以上参数ϕ都是双曲线上任意一点的离心角。
6．抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22(0)y px p =>的参数方程为22().2x pt t y pt⎧=⎨=⎩为参数7．直线的参数方程经过点000(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线l 的普通方程是00tan (),y y x x α-=-而过000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩()t 为参数。
注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩()t 为参数，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任一点M(x,y)为终点的有向线段M 0M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量，当点在M 上方时，t ＞0；当点M 在M 0下方时，t ＜0；当点M 与0M 重合时，t =0。
我们也可以把参数t 理解为以0M 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
二、题型探究探究一：把参数方程化为普通方程 例1：已知曲线C 1：{x =−4+cost y =3+sint (t 为参数)， C 2：{x =8cosθy =3sinθ(θ为参数)（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 1上的点P 对应的参数为t =π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：{x =3+2ty =−2+t(t 为参数)的距离的最小值。
解答：（Ⅰ）C 1:(x +4)2+(y −3)2=1,C 2 :x 264+y 29=1C 1为圆心是（-4，3），半径是1的圆。
C 2为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。
（Ⅱ）当t =π2时，，故C 3为直线x-2y-7=0，M 到C 3的距离从而cos θ=45,sin θ=35时,d 取得最小值8√55探究二：椭圆参数方程的应用例2：在平面直角坐标系xoy 中，点p(x,y)是椭圆x 23+y 2=1上的一个动点，求s=x+y 的最大值解答： 因椭圆x 23+y 2=1的参数方程为{x =√3cos∅y =sin∅(∅为参数),故可设动点P 的坐标为(√3cos∅,sin∅)，其中0≤∅<2π因此，S=x+y=√3cos∅+ sin∅ =2sin(∅+π3)所以，当∅=π6时，S 取最大值2探究三：直线参数方程的应用 例3：过点作倾斜角为的直线与曲线x 2+2y 2=1交于点M,N ， 求|PM||PN|的最小值及相应的的值。
解析：设直线为，代入曲线并整理得，则所以当时，即α=π2，|PM|∙|PN|的最小值为34，此时α=π2。
探究四：圆的参数方程的应用 例4：已知曲线C 的参数方程是为参数)，且曲线C 与直线=0相交于两点A 、B（1）求曲线C 的普通方程；（2）求弦AB 的垂直平分线的方程（3）求弦AB 的长解答：（1）由所以，曲线C 的普通方程为(x －2)2+y 2=2 (2）因为，所以AB 的垂直平分线斜率为又垂直平分线过圆心（2，0），所以其方程为y=（3）圆心到直线AB 的距离，圆的半径为r=√2所以探究五：参数方程的综合应用例5：已知点P （x ，y ）是圆0124622=+--+y x y x 上动点， 求 （1）22y x +的最值， （2）x+y 的最值，（3）P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。
解：圆0124622=+--+y x y x 即1)2()3(22=-+-y x ，用参数方程表示为θθsin 2cos 3{+=+=y x由于点P 在圆上，所以可设P （3+cos θ，2+sin θ），（1）)sin(13214cos 6sin 414)sin 2()cos 3(2222ϕθθθθθ++=++=+++=+y x (其中tan ϕ =1.5) ∴22y x +的最大值为14+2 √13，最小值为14- 2√13 。
(2) x+y= 3+cos θ+ 2+sin θ（θ+π4）∴ x+y 的最大值为5+ √2 ，最小值为5 -√2 。
（3）d =√2|4+√2(sinθ+π4)|√2显然当sin （θ+π4）= ±1时，d 取最大值，最小值，分别为1+1-例6： 过点(2,1)的直线被圆x 2+y 2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程是_________；截得的最短弦所在的直线方程是__________；例7：若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值为 。
四、反思感悟五、课时作业 一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ D ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（B ）A．1(,2 B ．31(,)42- C． D．3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（C ） A ．2y x =- B ．2y x =+C ．2(23)y x x =-≤≤D ．2(01)y x y =+≤≤ 4、方程04524222=-+--+t ty tx y x (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D ） A ．一个定点 B ．一个椭圆 C ．一条抛物线 D ．一条直线 二、填空题5．直线34()45x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为 −54。
6．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。
7．已知直线113:()24x tl t y t =+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =__0.5__8、已知)(sin cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧=+=y x ，则22)4()5(++-y x 的最大值是6。
9．曲线y y x 222=+的一个参数方程为)(sin 1cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+==y x 10．直线122()112x t t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为_√14__三、解答题11.（2012年高考23）.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3).(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2+ |PC| 2+ |PD|2的取值范围。
(23) 解：(Ⅰ)依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为(2,)3π、5(2,)6π、4(2,)3π、11(2,)6π. 所以点A ，B ，C ，D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-； (Ⅱ) 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则 2222||||||||PA PB PC PD +++())2212cos 3sin ϕϕ=-+()()222cos 13sin ϕϕ++-()()2212cos 3sin ϕϕ+--+)()222cos 13sin ϕϕ++--2216cos 36sin 16ϕϕ=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围为[]32,52.。