概率论习题课

xn
p
x1
...
p
xn
dx1...dxn
0
AF
A
A
x dF
x
0,
A
0
B 1
F
B
B
x dF
x
0, B
得,
E
0
1
F
x dx
0
F
x dx
9
9.服从拉普拉斯分布,密度函数为p x 1 e x / ,
2 求E , D.
解 : E
x
1
e x / dx
t e t dt,
2
2
令t x /
t e t dt e t dt 0 2 etdt
E
n A Bn
AB
Bn1 ABeB a
n0
n!
n0 n 1!
Ba
3
3.设 为非负整数值,概率为P
=k
ak
1 ak1
,
a
0.求E
,
D .
E
i0
k
1
ak a
k
1
1 1 a
i0
k
a 1
a
k
令p a , 0 p 1 1 a
i0
k
pk
p
i0
pk
p
1
p
2
s2
3
exp
s2
2 2
,s
0,
0.
求平均速度和平均动能 假定分子质量为m
E sp s ds 0
2 s3 s2
0
3
exp
2
2
ds
令t s
2
0
t3
exp
t2 2
dt
2
0
t2d
exp
t2 2
2
t
2
exp
t2 2
0
2
0
exp
k
kn
k 1n
Nn
12 12.
若a b,证 : D b a2
4
因为a E b
Page 203 性质4
法1: 令f x E x2 ,当x E 时, min f x D
D
E
a
2
b
2
E
b
a
2
b
2
b
a 2
2
法2
:
积分中值定理:E
b
ma
dF
x
1
1.有五个队参加的比赛中,每个队与别的队都比赛一场, 若每场比赛参赛双方各有50%赢的机会,求整个比赛既 没有不败的队也没有不胜的队的概率.
2
2.随机变量取非负整数值n
0的概率为pn
A
Bn n!
,
已知E a, 试决定A与B
P n A Bn AeB 1 A eB
n0
n0 n!
D E 2 E 2 a 2a2 a2 a 1 a
4
4.事件A在第i次试验中出现的概率为pi , 是事件A在起初n次
独立试验中的出现次数,求E, D
解：设 =1
2
...
n，i
1，A出现 0，A出现
n
n
E E 1 2 ... n = Ei pi
i 1
i 1
由i相互独立,
n
n
D D 1 2 ... n = Di pi 1 pi
i 1
i 1
7
7.证 : 若取非负整数值的随机变量的数学期望存在,则
E P k
k 1
证 : P k P j
k 1
k 1 jk
P 1 P 2 P 3 ....
P 2 P 3 ...
P 3 ...
m,
amb
D
b
a
x
E
2
dF
x
h
E
2
,
ahb
由0 h E b a ,得证
2
13
13.1,2相互独立,均服从N
, 2
, 证:E max 1,2
证 : 12的联合密度为p x,
y
exp
x a2
2 2
y a2
2 2
E max 1,2 max x, y p x, y dxdy
dt 3
3m 2
2
0
td
exp
t2 2
3m 2 2
0
exp
t2 2
dt
3m 2 3m 2 2 2 2
t s
Page 133
11 11.
有放回抽样.设n辆车的车牌号中最大号码为k
P
k
k N
n
k
1
n
N
kn
k 1n
Nn
,k
1, 2,...,
N
E
N i 1
kP k E k 1
8
8.
E
0
1
F
x dx
0
F
x dx
S2
S1
1
S2
y Fx
S1
S1
0 F x dx
S2
0
1
F
x
dx
若 0,则E
0
1
F
x
dx
S2
8
8.
E
xdF
x
0
xdF
x
0
xdF
x
0
xdF
x
0
xd
1
F
x
xF
x
0
0
F
x dx
x 1
F
x
0
0
1
F
x dx
由均值存在得 x dF x
p
p
1 p2
E
1 1 a
a 1 a
1
a 1
a
2
a
3
3.
E 2
1 1 a
k 1
k2
a 1 a
k
1 1 a
k 1
k
1
k
1
pk
1 1 a
kpk
k 1
1 1 a
k
k 1
k
1
pk
a
p2 1 a
k 1
pk
a
p2 1 a
p 1 p
a
p2 1 a
2
1 p3
a 2a2
dx
x xp x, y dy
dx
yp x, y dy
x
dx
x x a p x, y dy
dx
y a p x, y dy a
x
dy
y
x
a
p
x,
y

dx
dy
y
x
a
p
y,
x
dx
a
前一积分交换积分次序,后一积分交换积分记号(x与y互换)
13
E max 1,2
dy
y
2
2
20
9 9.
D x 2 1 e x /dx,令t x /
2
2t2etdt 2t2 et 0
0
2 2
tet dt
0
22 tdet 22t et 0
0
2 2
et dt
0
22 et
0
2 2
10
10.
分子速度的分布密度函数 : p s
为p
x,证
:
E
1 1
2 2
... k ... n
k n
证:由i 0知分母不为零,利用独立同分布
E
1 1
2 2
... ...
k n
...
x1 x1
x2 x2
... ...
xk xn
p
x1
... p
xn
dx1...dxn
k
...
x1
x2
x1
...
t2 2
d
t2 2
2 2
10
E
1 2
m
2
1m 2
s2 p s ds
0
m
2
0
s4
3
exp
s2
2 2
ds
m 2
2
0
t4
exp
t2 2
dt
m 2 2
0
t3d
exp
t2 2
m 2
2
t
3
exp
t2 2
0
0
exp
t2 2
x
a
p
x,
y
dx
dy y
x
a
p
y,
x
dx
a
a 2
1
2 2
exp
ya
2 2
2
dy
y
x
a
exp
xa
2 2
2
dx
a 1
exp
y
a
2
2
dy
令 ya t
a 1 et2 dt a a
15
15.若1,2,...,n为正的独立随机变量, 服从相同分布, 密度函数