2009年高数第二学期期中考前辅导

2x[
f11
u x
f12
v ] x
y[
f21
u x
f 22
v ] x
2 f1 4x2 f11 4xyf12 y2 f22
全微分形式不变性
z f (u, v)
若 u (x, y) v (x, y) 则对 z f [(x, y), (x, y)]:
dz z dx z dy x y
（3）
（6）
（7）
（4）
（1） （2）
（5） 问题：箭头是否可逆？不可逆的试举出反例。
多元函数微分学的几何应用
一. 空间曲线的切线和法平面
切线
当M 沿曲线L趋向于M0 时,割线 M 0M 的极限位置 M 0T .
法平面 过 M0 而垂直于切线 M 0T 的平面
1.设曲线 : x (t), y (t), z (t).

M
T
M0
导数不全为零
t t0 M 0 (x0 , y0 , z0 ), t t0 t M (x0 x, y0 y, z0 z),
M0M :
x x0 y y0 z z0 x y z
即
x x0 y y0 z z0 x y z
t
t
t
M M 0 t 0
切线方程
切向量
• 三元函数
在点
处的梯度为
grad
f
f
x
,
f y
,
f z
• 二元函数
在点
处的梯度为
grad f { fx '(x, y) , fy '(x, y)}
f grad f l 0 梯度在方向 l 上的投影. l
• 梯度的方向就是函数 f ( x, y) 在这点增长 最快的方向.
七框图
将二元函数z = f(x , y)在点(x , y)的以下七个命题填入框图： （1）有定义 （2）有极限 （3）连续 （4）偏导存在 （5） 方向导数存在 （6）偏导连续 （7）可微
方向导数 （注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为, , ) 的方向导数为
f f cos f cos f cos
l x
y
z
• 二元函数
在点
沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f f cos f cos
l x
y
梯度 （注意梯度是一个向量）
M 0T :
x x0 y y0 z z0
(t0 ) (t0 ) (t0 )
T {(t0 ), (t0 ),(t0 )}
法平面方程 (t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
2.设曲线 : y (x), z (x).
将x视为参数, : x x, y (x), z (x).
2009年高数第二学期期中考试考点
3、线面积分 （1）第一二类曲线积分的直接计算； （2）利用第一类和第二类曲线之间的关系计算题目； （3）格林公式； （4）曲线积分与路径无关条件； （5）第一二类曲面积分的直接计算； （6）两类曲面积分之间的关系计算题目； （7）高斯公式；
多元复合函数微分法
结构示意图
定理2 设 u (x, y) 和 v (x, y) 都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,v)可微,则复合函数 z f [(x, y), (x, y)] 在 点(x,y)可偏导,且
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
复合函数的高阶偏导数
(1).z f [(x), (x)]
定理1 设 u (x) 和 v (x) 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 z f [(x), (x)] 在点x可导,且
全导数 dz f du f dv
dx u dx v dx
u
z
x
v
注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.
2. 因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式,要学会用 复合关系图（ 结构示意图）.
例如: z f (u,v, w),u (x),v (x),w h(x)
dz f du f dv f dw dx u dx v dx w dx
u
zv
x
w
u
x
z
v
y
(2).z f [(x, y), (x, y)]
结构示意图 遗传性
例
z
f (x2 y2 , xy), f
具有二阶连续偏导数,求
2z x 2
,
2z xy
z f (u, v), u x2 y2, v xy
z z u z v x u x v x
2xf1 yf2
注意:
f1 f2
fu (u, v) fv (u, v)
2z x 2
2
f1
2009年高数第二学期 期中考前指导
2009年高数第二学期期中考试考点
1、多元函数微分 （1）多元复合函数求微分（包括2阶偏导）； （2）隐含数求偏导； （3）会利用全微分求偏导； （4）多元函数极值求解（无条件极值和有条件极值）； （5）会求切平面和法线方程，会求切线与法平面方程；
2、重积分 （1）直角坐标系下计算二重三重积分； （2）二三重积分交换积分次序 （3）极坐标、柱面坐标、球坐标下计算二重三重积分； （4）计算曲面面积、质量、重心坐标、引力、转动惯量；
切线方程
x x0 y y0 z z0
1 (t0 ) (t0 )
法平面方程
(x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
( z u z v)dx ( z u z v )dy
u x v x
u y v y
z (u dx u dy) z (v dx v dy) u x y v x y
z du z dv u v
全微分形式不变性
注：可以利用全微分形式不变性及微分法则求微分和偏导数.
例
z eu sin v,u xy, v x y,
求
z , z x y
解
dz d (eu sin v) eu sin vdu eu cos vdv
du d(xy) ydx xdy dv d(x y) dx dy exy[ y sin(x y) cos(x y)]dx exy[x sin(x y) cos(x y)]dy z exy[ y sin(x y) cos(x y)] x z exy[x sin(x y) cos(x y)] y