数学人教版九年级上册二次函数y=ax2的图像和性质.1.2 课后作业：方案(A)---部分题目来源于典中点
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.1.2节《二次函数y=ax^2的图象和性质》是九年级数学的重要内容，主要让学生了解二次函数的图象特征和性质。
通过本节课的学习，学生能理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性和对称性，从而为后续的函数学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的函数知识。
但对于二次函数的图象和性质，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际问题进行讲解，引导学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征。
2.让学生了解二次函数的增减性和对称性，能运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特征。
2.二次函数的增减性和对称性。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的图象和性质。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象，帮助学生理解。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.二次函数图象和性质的相关教学素材。
3.学生分组合作学习的材料。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一次函数和正比例函数的图象和性质，为新课的学习做好铺垫。
同时，教师可以利用多媒体展示二次函数的图象，让学生初步感受二次函数的特点。
呈现（10分钟）教师给出二次函数的一般形式y=ax^2，让学生观察并分析二次函数的图象特征。
学生通过观察多媒体展示的二次函数图象，总结出二次函数的开口方向、顶点坐标等特征。
操练（10分钟）教师给出几个二次函数的实例，让学生分析其图象特征。
学生通过小组合作学习，探讨并分析二次函数的增减性和对称性。
人教版九年级数学上册22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质精品教案
探索新知合作探究三、归纳、概括函数y=x2,y=-x2,y=2x2,y=-2x2是函数y=ax2的特例,由它们图象的共同特点,可猜想:函数y=ax2的图象是一条,它关于对称,它的顶点坐标是.如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质,应如何分类?为什么?先让学生观察图,回答以下问题;(1)x A,x B大小关系如何?是否都小于0?(2)y A,y B大小关系如何?(3)x C,x D大小关系如何?是否都大于0?(4)y C,y D大小关系如何?(x A<x B,且x A<0,x B<0;y A>y B;x C<x D,且x C>0,x D>0,y C<y D)其次,让学生填空.当x<0时,函数值y随着x的增大而,当x>0时,函数值y随x的增大而;当x=时,函数值y=ax2(a>0)取得最小值,最小值y=以上结论就是当a>0时,函数y=ax2的性质.思考以下问题:观察函数y=-x2,y=-2x2的图象,试作出类似的概括,当a<0时,抛物线y=ax2有些什么特点?它反映了当a<0时,函数y=ax2具有哪些性质?让学生讨论、交流,达成共识,当a<0时,抛物线y=ax2开口向下,在对称轴的左边,曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降,顶点是抛物线上位置最高的点.图象的这些特点,反映了当a<0时,函数y=ax2的性质;当x<0时,函数值y随x的增大而增大;当x>0时,函数值y随x的增大而减小,当x=0时,函数值y=ax2取得最大值,最大值是y=0.当堂训练P32练习归纳小结1.画函数y=ax2的图象的步骤.2.函数y=ax2的性质.板书设计22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质教学反思。
人教版初三数学上册二次函数y=ax2的图象和性质(1).1 二次函数的图象和性质(1)课后作业 - 副本
22．1第1课时二次函数及y＝ax2的图象和性质
1．下列各式中，y是x的二次函数的个数为()
①y＝2x2＋2x＋5；②y＝－5＋8x－x2；③y＝(3x＋2)(4x－3)－12x2；④y＝ax2＋bx＋c；
⑤y＝mx2＋x；⑥y＝bx2＋1(b为常数，b≠0)．
A．3 B．4 C．5 D．6
2．把160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x 的函数关系式为()
A．y＝320(x－1) B．y＝320(1－x) C．y＝160(1－x2) D．y＝160(1－x)2
3．若函数y＝226
a a
ax－－是二次函数且图象开口向上，则a＝()
A．－2 B．4 C．4或－2 D．4或3
4．关于函数y＝x2的性质表达正确的一项是()
A．无论x为任何实数，y值总为正B．当x值增大时，y的值也增大
C．它的图象关于y轴对称D．它的图象在第一、三象限内
5．已知函数y＝(m－2)x2＋mx－3(m为常数).
(1)当m__________时，该函数为二次函数；(2)当m__________时，该函数为一次函数．6．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是______，当a>0时，开口向______；当a<0时，开口向______，顶点坐标是______，对称轴是______．
7．已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上；
(3)求出抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．。
人教版数学九年级上册 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 教学教案
课题：二次函数 y=ax 2的图象和性质一、 教学目标1.会利用描点法作出二次函数y=x 2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x 2的性质；2.经历画二次函数y=x 2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验；3.培养学生利用数形结合的思想研究二次函数y=ax 2的图象、性质，提高学生观察、分析、比较、概括等能力. 二、 教学重难点1.教学重点：二次函数2ax y =的图象的作法和性质；2.教学难点：认识二次函数的图象是一条抛物线；由特殊的二次函数的图象特征及性质推广到一般的情形. 三、教学过程设计（一）课前预习，引入新知请你在同一直角坐标系中，用描点法画出函数2y x =，212y x =，22y x =的图象，并观察图象， 找出它们的异同. 设计意图：进一步巩固描点法画函数图象的方法，并初步体会二次函数图象的形状及特征.（二）合作交流，探究新知1．展示预习作业问题1：请大家认真观察这些作品，并思考在列表和画图中还有哪些需要改善的地方？问题2：这三个同学画出的二次函数的图象形状都不一样，哪个同学画的更准确一些？我们如何得到二次函数准确的图象？老师借助几何画板，通过描更多的点，得到二次函数2y x =的准确图象，并引出我们将像这样的图象称为抛物线，这条曲线也叫做抛物线y=x 2. 设计意图: 让学生带着“解决问题”的目的去主动操作，在实践中积极建构对新知识的理解.几何画板的操作更严谨的说明了二次函数图象的形状特征.2．探究二次函数的图象特征及其性质 问题1：由一次函数的学习经验，我们知道根据图象讨论性质是我们数形结合的研究函数的重要的方法。
请你认真观察这3条抛物线，它们有什么共同点？又有什么不同的地方呢？（学生一边说，老师一边板书，并且按照“开口方向、开口大小、对称轴、顶点坐标、增减性”书写）问题2：请你在同一直角坐标系中，用描点法画出函数2y x =-，212y x =-，22y x =-的图象，并结合刚刚归纳的结论思考，你现在描点有没有更快捷的方法？ （用手机同频展示一个同学的作品，要学生再次“找茬”，并肯定做的好的地方，进一步规范学生的作图习惯，再要求学生依次讲出这三条抛物线的异同之处）问题3：我们刚刚得出的这两组二次函数的图象特征及性质能推广到一般的情形吗？（利用几何画板的操作，通过改变a 的值生成一系列的抛物线，给学生以直观的认知，并总结归纳二次函数2ax y =图象特征及性质，还要引导学生去发现抛物线2ax y =与抛物线2y ax =-的对称性） 设计意图:手机同频功能直观地展示学生的作品，提高了教学的效率；几何画板的动画操作非常直观地展示了图形的不同类别，帮助学生迅速获取图象特征及其性质.（三） 课堂练习，夯实新知1．判断下列函数图象的开口方向：（1）y =5x 2 （2）y =-3x 2（3） （4）2．上述四个函数图象的开口大小由大到小排列为：3．上述哪些函数的图象，在y 轴的右侧，y 随x 的增大而减小？哪些函数的图象，当x <0时，y 随x 的增大而减小？设计意图：通过这三道题的练习，让学生体会在二次函数2ax y =中，a 的符号和大小共同决定了它的图象特征及其性质，并进一步体会数形结合的思想方法． （四）释疑解惑，内化新知232y x =-2y =设计意图：选拔出学生在自主学习时提出的比较好的质疑，在新课学完后再次来解决，让学生亲身体会学习的进步，提高了成就感，也培养了学生质疑探究的良好习惯．（五）小结拓展，回味新知对自己说，你有什么收获？对同学说，你有什么温馨提示？对老师说，你还有什么困惑？教师将引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获，要求学生在组内交流后派代表发言.学生发言后，老师接着总结：本节课我们将一次函数的研究方法迁移到了二次函数的画法中，并认识到了二次函数的图象是一条抛物线，然后进一步探究了抛物线2ax y =的开口方向、开口大小、对称轴、顶点坐标及它所对应的二次函数的增减性，今后我们将研究更复杂的二次函数如：2+y ax c =，2y ax bx c =++的图象及其性质，同学们也可以根据本节课的研究方法，自己课后先试一试.设计意图：通过这个环节，提高了学生概括能力、表达能力，有助于学生全面地了解自己的学习过程，积累数学活动经验，感受自己的成长与进步，增强自信．（六）欣赏视频，追溯新知播放趣味视频《抛物线的由来》，讲述了2000多年前，我们的数学家、物理学家是如何发现二次函数的图象——抛物线的，调动他们学习的积极性，开阔他们的视野．视频播放后老师讲述：你现在知道抛物线最开始是在哪里被发现的吗？而圆锥是我们生活中一个非常常见的物体，所以只要你细心观察，做一个爱思考的有心人，说不定下一个被载入数学史册的重量级数学家就是你哦！（七）课后作业，巩固新知1．自能拓展P23—P24； 2．预习22.1.3二次函数y=ax 2+k 的图象和性质．四、教学反思 本节课是二次函数性质探究的第一节课，在教学中我采用了自能探究的教学方式，在教师的激发引导下，让学生自己动手作图，观察、归纳出二次函数的性质，体验知识的形成过程，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念。
人教版数学九年级上册学案22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》(含答案)
22.1.2 二次函数y=ax 2的图象和性质 出示目标 1.能够用描点法作出函数y=ax 2的图象，并能根据图象认识和理解其性质. 2.初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化，体会数学内在的美感.预习导学阅读教材，自学“例1”“思考”“探究”，掌握用描点法画出函数y=ax 2的图象，理解其性质.自学反馈 学生独立完成后集体订正①画函数图象的一般步骤:列表-描点-连线.②在同一坐标系中画出函数y=x 2、y=x 2和y=2x 2的图象. 点拨：根据y ≥0，可得出y 有最小值，此时x=0，所以以(0，0)为对称点，再对称取点.③观察上述图象的特征:形状是抛物线，开口向上，图象关于y 轴对称，其顶点坐标是(0,0)，其顶点是最低点(最高点或最低点).④找出上述三条抛物线的异同:开口向上，关于y 轴对称，顶点坐标为(0,0).⑤在同一坐标系中画出函数y=-x 2、y=-12x 2和y=-2x 2，并找出它们图象的异同. 归纳：一般地，抛物线y=ax 2的对称轴是y 轴，顶点是(0，0)，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.活动1小组讨论例1 填空:①函数y=(-2x)2图象是___，顶点坐标是____，对称轴是___，开口方向是___.②函数y=x 2、y=12x 2和y=-2x 2的图象如图所示，请指出三条抛物线.解:①抛物线，(0，0)，y 轴，向上；②根据抛物线y=ax 2中，a 的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为y=12x 2， 中间为y=x 2，在x 轴下方的为y=-2x 2.点拨：解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.抛物线y=ax 2中，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，a 越大，开口越小.例2 已知函数y=(m+2)x 24m m +-是关于x 的二次函数.①求满足条件的m 的值；②m 为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？③m 为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？解:①由题意得242,20.m mm⎧+-=⎨+≠⎩解得23,2.m mm==-⎧⎨≠-⎩或∴当m=2或m=-3时，原函数为二次函数.②若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m+2>0，即m>-2. ∴只能取m=2.∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，∴当x>0时，y随x的增大而增大.③若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m+2<0，即m<-2.∴只能取m=-3.∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为(0，0)，∴当m=-3时，函数有最大值为0.∴当x>0时，y随x的增大而减小.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.函数y=ax2与y=-ax2(a≠0)的图象之间有何关系？解：关于x轴对称2.已知函数y=ax2经过点(1，2).①求a的值；②当x<0时，y的值随x值的增大而变化的情况.解：①a=2 ②当x<0时，y的值随x值的增大而减小3.当m=-2时,抛物线y=(m-1)x2m m+开口向下，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.点拨：二次项系数a是决定开口方向和开口大小的，同时根据开口方向也可以判断a的正负.4.二次函数y=-2x2，当x1>x2>0，则y1与y2的关系是y1<y2.5.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是( B )课堂小结学生试述:这节课你学到了些什么？课堂小练一、选择题1.抛物线y=2x 2﹣3的顶点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.x 轴上D.y 轴上2.下列关于二次函数y=-0.5x 2图象的说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y 轴；④顶点(0，0).其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列函数中，当x >0时，y 随x 的增大而减小的是 （ ）A.x y =B.x y 1=C.xy 1-= D.2x y =4.关于函数y=-3x 2的性质表述正确的是（ ）A.无论x 为任何实数，y 值总为负数；B.当x 值增大时，y 值减小；C.它的图象关于y 轴对称；D.它的图象在第二、四象限5.已知（-1，y 1），（2，y 2），（-3，y 3）在函数y=x 2的图象上，则（ ）A.y 1<y 2<y 3B.y 1<y 3<y 2C.y 3<y 2<y 1D.y 2<y 1<y 36.已知（-3，y 1），（1，y 2），（2，y3）在函数y=-x 2的图象上，则（ ） A.A.y 1<y 2<y 3 B.y 1<y 3<y 2 C.y 2<y 1<y 3 D.y 3<y 2<y 17.已知二次函数y=ax 2（a>0）图象经过（-2,4），则其图象一定经过（ ）A.（2,4）B.（1，-2）C.（-1，-2）D.（2,8）二、填空题8.下列四个二次函数：①y=-x 2；②y=-2x 2；③y=0.5x 2；④y=4x 2.其中抛物线的开口大小由大到小的顺序为： .9.二次函数y=ax 2(a<0)的图象在对称轴左侧上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若y 1<y 2时，则x 1-x 2 0.（填“>”，“<”或“=”）.10.已知点A （2，-4）在y=ax 2的图象上，则a= ，开口方向 ，当x>0时，y 值随x 值增大而 .11.已知函数y=-x 2的图象开口方向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 .12.已知函数y=2x2的图象开口方向，顶点坐标为，若A(-2，a)在该图象上，则a= .13.已知点A(2，y1)、B(5，y2)在抛物线y=﹣x2+1上，那么y1 y2．(填“＞”、“=”或“＜”)14.如果抛物线y=(a﹣3)x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是．15.抛物线y=－3x2的对称轴是，顶点是，开口，顶点是最点，与x轴的交点为 .三、解答题16.已知二次函数y=ax2与y=3x+1的图象交于A（1，m），B点.（1）求a，m的值；（2）求B点坐标；（3）求△OAB的面积.参考答案17.D．18.D19.B20.答案为：C；21.答案为：A；22.答案为：B；23.答案为：A；24.答案为：③①②④；25.答案为：<；26.答案为：a=-1，下，减小；27.答案为：下，（0,0），y轴；28.答案为：上，（0,0），8；29.答案为：＞.30.答案为：a＞3．31.答案为：y、(0，0)、向下、低、(0，0) .32.解：（1）a=4，m=4；（2）B（-0.25,0.25）；（3）面积为：0.625；。
人教版数学九年级上册《22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质》说课稿1
人教版数学九年级上册《22.1.2二次函数y=ax2 的图象和性质》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册《22.1.2二次函数y=ax^2 的图象和性质》这一节，是在学生已经掌握了函数的概念、一次函数的图象和性质的基础上，进一步引导学生学习二次函数的图象和性质。
通过这一节的学习，使学生能够掌握二次函数的一般形式，了解二次函数的图象特征，以及掌握二次函数的性质。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数的图象和性质有了初步的了解。
但是，二次函数相对于一次函数来说，图象和性质更加复杂，需要学生有一定的抽象思维能力。
此外，学生可能对二次函数的图象和性质在实际问题中的应用还不够清晰，需要教师在教学中进行引导和启发。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数的一般形式，了解二次函数的图象特征，掌握二次函数的性质。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探究二次函数的图象和性质。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的一般形式，二次函数的图象特征，二次函数的性质。
2.教学难点：二次函数的图象和性质在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究，提高学生的参与度和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示二次函数的图象和性质，使抽象的知识更加直观形象。
同时，利用练习题和案例，帮助学生巩固所学知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一次函数的图象和性质，引出二次函数的一般形式，激发学生的学习兴趣。
2.探究二次函数的图象特征：让学生观察二次函数的图象，引导学生发现二次函数的顶点、开口方向等特征。
3.探究二次函数的性质：通过小组讨论，让学生归纳出二次函数的增减性、对称性等性质。
人教版九年级上册数学 22.1.2二次函数y=ax2 的图象和性质 教案
《二次函数y=ax2的图象与性质》教案一、学情分析学生已掌握了二次函数的概念，以及初二年所学的函数图象的作法：描点法。
作出二次函数的图象难度不会很大，但二次函数y=ax2图象的性质探索过程会有较大的难度，本课通过探索活动和课件演示使学生直观的发现函数的性质，大大的降低了学生理解的难度。
二、教材分析《二次函数y=ax2 的图象与性质》是初中数学九年级（上）二次函数的一节内容。
本课是在学生掌握了二次函数的概念下对二次函数y=ax2的图象与性质进一步的研究，通过作出二次函数的图象来研究它的开口方向，对称轴，顶点坐标等性质。
通过这节的学习，学生将掌握函数y=ax2 的图象与性质，它是进一步学习二次函数的基础。
二次函数的图象与性质是初中阶段所学的有关函数知识的重要内容之一。
三、教学目标根据上述学情分析和教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：（1）知识目标：会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，能根据图象观察、分析出二次函数y=ax2的开口方向，对称轴，顶点坐标等有关性质。
（2）能力目标：通过函数图象进一步理解二次函数和抛物线的有关知识，并且能应用到实际问题中；提高学生对比、发现、概括的能力；培养观察能力和分析问题的能力。
（3）情感目标：通过作函数图象，认识数形结合的数学思想方法；培养学生动手能力、勇于探索创新及实事求是的科学精神。
四、教学重点、难点1．重点（1）二次函数y=ax2的图象画法；（2）了解抛物线的相关定义；（3）根据图象观察、分析出二次函数y=ax2 的性质；2．难点二次函数y=ax2的性质的应用，渗透数形结合的数学思想方法，了解从特殊到一般的探索方法，培养观察能力和分析问题的能力。
五、教学过程教学流程教师活动学生活动设计意图复习旧知导入新课1、通过提问，复习函数图象的画法（列表、描点、连线）。
2、范例：画出y=x2的函数图象，结合图象介绍下列名称定义：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.学生回顾、口答学生通过课件学习y=x2的函数图象的画法，并学习新知：二次函数的相关的名称定义回顾原有知识，明确画图的方法与步骤，为本节课的学习奠定基础在复习图象画法的同时，引入二次函数的图像时抛物线，以及二次函数顶点、对称轴、开口及开口方向等定义探究活动1探究活动：指导学生，在同一坐标系中，画出y=x2、y=12x2，y=2x2的函数图象。
人教版数学九年级上册22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
2二次函数y=ax²的图象和性质(1)
解法3 图象法：画出函数y=x2的图象，找
x=0时，ymin=0 抛物线y＝x2不具有的性质是（ ）.
y＝x2
文字语言
解法1 代数法：将－3，－1，2分别代入函数解析式，求出a=9，b=1，c=4进而比出大小
x取值范围 （1）是一条曲线，类似抛物在空中经过的路线，叫做抛物线；
从左到右下降；
y1>y2
x<0时，y随x增大而减小
在对称轴右侧，抛物线 当0<x1<x2时,
从左到右上升；
y1<y2
x>0时，y随x增大而增大
例题与练习
函数y=x2的图象上有三点(－3,a) (－1,b) (2,c)，
比较a，b，c的大小关系
解法1 代数法：将－3，－1，2分别代入函数解析式，
求出a=9，b=1，c=4进而比出大小
巩固落实
函数y=x2的图象上有三点(－3,a) (－1,b) (2,c)，
比较a，b，c的大小关系
解法1 代数法：将－3，－1，2分别代入函数解析式，
求出a=9，b=1，c=4进而比出大小
解法2 根据函数的对称性和增减性：函数的图象过 (2,c)也即过(－2,c)，因－3<－2<－1<0,故a>c>b 解法3 图象法：画出函数y=x2的图象，找 到横坐标分别为－3，－1，2的三个点， 比较其纵坐标大小（位置高低）
描点法画y=x2的图象
y轴
顶点 （3）在对称轴的左侧，抛物线y＝x2从左到右下降；
原点
最值
最小值（最低点）
图形/符号语言
y≥0
x=0 （0，0） x=0时，ymin=0
人教版九年级数学上册第二十二章22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质教案
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数y=ax²的图像和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的情况？”（如投篮的轨迹、拱桥的形状等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
在新课讲授中，我注重了概念的解释和案例的分析。我发现，当学生能够看到二次函数在解决实际问题中的应用时，他们对性质和图像的理解会更加深刻。同时，我也注意到，顶点公式和图像开口方向等概念对学生来说是难点，需要通过更多的例题和图示来逐步解释。
实践活动和小组讨论的环节，让我看到了学生的积极性和创造力。他们不仅能够运用所学知识解决问题，还能在讨论中相互启发，提出新的解题思路。这一过程也让我意识到，学生的主体性在学习中至关重要，他们需要在实践中学习和探索。
五、教学反思
在今天的教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解二次函数y=ax²的图像和性质。我意识到，对于这部分内容，理论知识与实际应用必须紧密结合，才能让学生真正领会其精髓。
在导入新课环节，通过提问日常生活中的抛物线实例，我发现学生们对这一主题的兴趣被成功激发。他们开始主动思考二次函数与生活实际的联系，这为后续的学习打下了良好的基础。
-对图像的直观理解和空间想象能力的培养，如顶点公式的推导是难点，需要学生理解为什么顶点坐标是(-b/2a, c-b²/4a)，以及这个公式是如何得出的。
九年级数学上册第22章《二次函数y=ax^2的图象和性质》名师教案(人教版)
22.1.2 二次函数2ax y =的图象和性质一、教学目标 （一）学习目标1．会用描点法画出形如y=ax 2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念； 2．通过观察图象，能说出二次函数y=ax 2的图象特征和性质；3．在类比探究二次函数 y=ax 2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想． （二）学习重点会画二次函数y=ax²的图象，理解其图象特征和性质． （三）学习难点用描点法画二次函数y=ax 2的图象以及探索二次函数性质，体会数与形的相互联系． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）二次函数y=ax 2 ，当a>0时，图象特征和性质是： ①图象是一条抛物线，开口向上；②原点（0,0）是图象的顶点，也是最低点，当x=0时，函数y 有最小值0；③图象是轴对称图形，对称轴是y 轴（直线x=0）；在对称轴的左侧（即x<0时），抛物线从左到右下降，y 随x 的增大而减小；在对称轴右侧（即x>0时），抛物线从左到右上升，y 随x 的增大而增大.（2）二次函数y=ax 2 ，当a<0时，图象特征和性质是： ①图象是一条抛物线，开口向下；②原点（0,0）是图象的顶点，也是最高点，当x=0时，函数y 有最大值0；③图象是轴对称图形，对称轴是y 轴（直线x=0）；在对称轴的左侧（即x<0时），抛物线从左到右上升，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧（即x>0时），抛物线从左到右下降，y 随x 的增大而减小. 2．预习自测1.二次函数26x y =的图象开口向________，对称轴是________，顶点坐标________，当x_______时，y 随x 的增大而增大，当x_______时，y 随x 的增大而减小， 当x=______时，y 有最______值,为 ．【知识点】二次函数2ax y =的图象和性质【解题过程】由二次函数2y ax =的图象和性质可得.【思路点拨】牢记二次函数2ax y =的图象和性质是解题的关键 【答案】上，y 轴，（0，0），＞0，<0，0，小，02.函数22x y -=的图象开口方向________，对称轴是_______，顶点坐标__________， 在y 轴的左侧，y 随x 的增大而______，在y 轴的右侧，y 随x 的增大而______． 当x=_______时，函数有最______值,为 ． 【知识点】二次函数2ax y =的图象和性质【解题过程】由二次函数2y ax =的图象和性质可得.【思路点拨】牢记二次函数2ax y =的图象和性质是解题的关键 【答案】下，y 轴，（0，0），增大，减小，0，大，03.函数231x y =与13y x =-2的图象之间的关系是____________．【知识点】二次函数2ax y =的图象和性质与【解题过程】因函数231x y =与231x y -=的二次项系数互为相反数，其图象的形状相同，只是开口方向相反，所有它们的图象关于x 轴对称.【思路点拨】由二次函数2ax y =与2ax y -=的图象关于x 轴对称可得 【答案】关于x 轴对称 4.已知函数72-=m mxy 的图象是抛物线，且开口向下，则m 的值为_______.【知识点】二次函数2ax y =的图象和性质【解题过程】由272m -=得3m =±，又开口向下，故3m =-【思路点拨】牢记二次函数的概念和2ax y =的图象和性质是解题的关键 【答案】3m =- （二）课堂设计 1．知识回顾（1）二次函数的定义：一般地，形如c bx ax y ++=2（a≠0）的函数叫做x 的二次函数. （2）一次函数y=kx+b （k≠0）的图象与性质：图象是一条直线；当k>0时，直线通过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k<0时，直线通过二、四象限，y 随x 的增大而减小．（3）研究函数时，了解函数性质的主要工具是：函数的图象．（4）画函数图象的主要步骤：①列表.②描点.③连线.2．问题探究探究一画出二次函数2y=的图象重点、难点知识★▲ax●活动①合作探究1.实践操作：用描点法画2xy=的图象。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
22.1.2 二次函数y =ax 2的图象和性质
课后作业：方案（A ）
一、教材题目：P 41 T 3、T 4
3．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：
y ＝4x 2，y ＝－4x 2，y ＝14
x 2.
4．分别写出抛物线y ＝5x 2与y ＝－15
x 2的开口方向、对称轴和顶点．
二、补充题目：来源于《典中点》
3．关于二次函数y ＝2x 2与y ＝－2x 2，下列叙述正确的有( )
①它们的图象都是抛物线；②它们的图象的对称轴都是y 轴；③它们的图象都经过点(0，0)；④二次函数y ＝2x 2的图象开口向上，二次函数y ＝－2x 2的图象开口向下；⑤它们的图象关于x 轴对称．
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
4．(中考·丽水)若二次函数y ＝ax 2的图象过点P (－2，4)，则该图象必经过点( )
A ．(2，4)
B ．(－2，－4)
C ．(－4，2)
D ．(4，－2)
5．函数y ＝ax －2与y ＝ax 2(a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
(第6题)
6．(2015·黔西南州)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，动点P 从点C 沿CA 以1 cm /s 的速度向A 点运动，同时动点Q 从点C 沿CB 以2 cm /s 的速度向B 点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则运动过程中所构成的△CPQ 的面积y (cm 2)与运动时间x (s )之间的函数图象大致是( )
11．对于二次函数：①y ＝3x 2；②y ＝13x 2；③y ＝43
x 2，它们的图象在同一坐标系中，开口大小的顺序用序号来表示应是( )
A ．②>③>①
B ．②>①>③
C ．③>①>②
D ．③>②>①
13．已知二次函数y ＝x 2，在－1≤x ≤4这个范围内，求函数的最值．
14．已知函数y ＝(m ＋3)x m 2
＋3m －2是关于x 的二次函数．
(1)求m 的值；
(2)当m 为何值时，该函数图象的开口向下？
(3)当m 为何值时，该函数有最小值？
17．有一座抛物线形状的拱桥，正常水位时，桥下水面宽度AB 为20 m ，拱顶距离水面4 m .
(1)建立如图所示的直角坐标系，求出该抛物线的解析式；
(2)在正常水位的基础上，当水位上升h m 时，桥下水面宽度CD 为d m ，请将d 表示成关于h 的函数解析式；
(3)为保证过往船只顺利通行，桥下水面宽度不得小于18 m ，则水深超过正常水位多少米时，会影响过往船只顺利通行？
（第17题）
答案
一、 教材
3．略．
4．解：抛物线y ＝5x 2：开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标是(0，0)．抛物线y ＝－15
x 2：
开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标是(0，0)．
二、
典中点
3.A
4.A
5．A 点拨：由一次函数y ＝ax －2知，它的图象与y 轴的交点为(0，－2)，故排除B ，D 选项；由a ＞0，得二次函数y ＝ax 2的图象开口向上，故排除C 选项．故选A .
6．C
11．A
13．错解：当x ＝－1时，y ＝(－1)2＝1；
当x ＝4时，y ＝42＝16.
∴在－1≤x ≤4这个范围内，函数的最小值是1，最大值是16.
诊断：－1≤x ≤4时，既包含了正数、零，又包含了负数，因此在这个范围内对应的函数y 随x 的变化情况要分段研究．实际上，当x ＝0时，函数取得最小值0.而x ＝－1时，y ＝1；x ＝4时，y ＝16，所以最大值为16.
正解：∵－1≤x ≤4包含了x ＝0，∴函数y ＝x 2的最小值为0.当x ＝－1时，y ＝1；当x ＝4时，y ＝16.
∴当－1≤x ≤4时，函数y ＝x 2的最大值为16.
14．解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －2＝2，m ＋3≠0， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝－4或1，m≠－3. ∴m ＝－4或m ＝1.
(2)∵函数图象的开口向下，∴m ＋3＜0，∴m ＜－3.
∴m ＝－4.
∴当m ＝－4时，该函数图象的开口向下．
(3)∵函数有最小值，∴m ＋3＞0，∴m ＞－3.∴m ＝1.
∴当m ＝1时，该函数有最小值．
方法总结：二次函数y ＝ax 2的最值是图象顶点的纵坐标，当a ＞0时，函数图象的开口向上，顶点是最低点，此时顶点的纵坐标为最小值；当a ＜0时，函数图象的开口向下，顶点是最高点，此时顶点的纵坐标为最大值．
17．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2，将B (10，－4)的坐标代入，得－4＝a ·102，∴a ＝－125
. ∴抛物线的解析式为y ＝－125
x 2. (2)当水位上升h m 时，D 点的纵坐标为h －4，将它代入抛物线的解析式，得h －4＝－125
x 2， ∴x ＝±54－h.∴d ＝104－h.
(3)当CD ≥18时，104－h ≥18，∴h ≤0.76.
∴当水深超过正常水位0.76 m 时，会影响过往船只顺利通行．
点拨：将实际问题转化成数学问题时，要注意以下几点：(1)B点坐标是(10，－4)；(2)当水位上升h m时，抛物线上D点的纵坐标为h－4；(3)由水面宽度不小于18 m，列出关于h的不等式，从而求出h的取值范围．。