2018大二轮高考总复习理数文档：解答题7 第1课时 直线与圆锥曲线位置关系、范围与最值问题 Word版含解析

第二单元 高考压轴大题冲关解答题07：解析几何第一课时 直线与圆锥曲线位置关系、范围与最值问题基本考点——直线与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线公共点的2种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．(2017·宁夏大学附中二模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.阿凡题1083965(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．[思路点拨] (1)设l ∶x ＝my －2，代入y 2＝2px ，可得根与系数的关系，再利用OA →·OB →＝12，可得x 1x 2＋y 1y 2＝12，代入即可得出．(2)由(1)可得y 2－4my ＋8＝0.设AB 的中点为M ，可得|AB |＝2x m ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝(1＋m 2)(16m 2－32)，联立解出m 即可得出．【解】 (1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，可得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 212p ·y 222p＝4．∵OA →·OB →＝12，∴x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x ． (2)由 (1)(*)化为y 2－4my ＋8＝0． y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8． 设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x m ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝(1＋m 2)(16m 2－32)，② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝±3．∴直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0．求解直线与圆锥曲线位置关系问题的注意事项(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0．(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程组并消元转化为一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程； 若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．1．(2017·潍坊实验中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其短轴的一个端点与两个焦点构成面积为3的正三角形，过椭圆C 的右焦点作斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为P ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 垂直于AB 的直线与x 轴交于点D ，试求|DP ||AB |．解：(1)设右焦点的坐标为(c,0)，易知面积为3的正三角形的边长为2， 依题意知，a 2＝b 2＋c 2＝4，c ＝12a ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3，所以，椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．(2)设过椭圆C 的右焦点的直线l 的方程为 y ＝k (x －1)，将其代入x 24＋y 23＝1中得，(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，其中，Δ＝144(k 2＋1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝8k 33＋4k 2－2k ＝－6k 3＋4k 2， 因为P 为线段AB 的中点，所以，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 23＋4k 2，－3k 3＋4k 2， 又直线PD 的斜率为－1k ，直线PD 的方程为y －－3k 3＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －4k 23＋4k 2，令y ＝0得，x ＝k 23＋4k2，则点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫k 23＋4k 2，0， 所以，|DP |＝⎝⎛⎭⎫k 23＋4k 2－4k 23＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 3＋4k 22＝3k 4＋k 23＋4k 2，又|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(k 2＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(k 2＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4(3＋4k 2)2－4(4k 2－12)3＋4k 2 ＝12(k 2＋1)3＋4k 2．所以，|DP ||AB |＝3k 4＋k 23＋4k 212(k 2＋1)3＋4k 2＝14k 2k 2＋1＝141－1k 2＋1， 又∵k 2＋1＞1，∴0＜1k 2＋1＜1，∴0＜141－1k 2＋1＜14.所以，|DP ||AB |的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，14． 2．已知椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．解：(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1．(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5，由d <1得| m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y23＝1得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3． ∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤1＋－122[m 2－4(m 2－3)]＝1524－m 2．由|AB ||CD |＝534得 4－m 25－4m2＝1，解得m ＝±33，满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33．常考热点——范围与最值问题考向01: 圆锥曲线中的范围问题(1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系．(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征，判别式法或基本不等式等灵活处理．(2016·全国甲卷)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．阿凡题1083966(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． 【解】 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0． (1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4．因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0．解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127．因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449．(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0． 由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2，得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk 2．由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)3k 2＋t ．由2|AM |＝| AN |，得23＋tk 2＝k3k 2＋t， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2．t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2<0，即k －2k 3－2<0． 因此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2>0k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2． 故k 的取值范围是(32，2)．解决范围问题的常用方法(1)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (2)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． (3)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解． 考向02: 圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法： 一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．(2017·浙江卷)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12＜x ＜32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ． 阿凡题1083967(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．【解】 (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12＜x ＜32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1)．因为|P A |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)， |PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3． 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫－1，12上单调递增，⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716．1．(2017·日照二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433．(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解：(1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2．设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )． 由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫c 22＝⎝⎛⎭⎫b 22，解得k ＝33．(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c ．因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c ．由|FM |＝(c ＋c )2＋⎝⎛⎭⎫233c －02＝433. 解得c ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1．(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立．⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6， 又由已知，得t ＝6－2x 23(x ＋1)2＞2，解得－32＜x ＜－1，或－1＜x ＜0． 设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23． ①当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0， 因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫23，233．②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0. 因此m ＜0，于 是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－233．综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫23，233． 2．(2017·银川二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，且椭圆C 1的短轴长为2． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设A ⎝⎛⎭⎫0，116，N 为抛物线C 2∶y ＝x 2上一动点，过点N 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)∵椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，∴e ＝ca＝1－b 2a 2＝32，∴a 2＝4b 2， 椭圆C 1的短轴长为2，即2b ＝2，b ＝1，a 2＝4， ∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1；(2)设曲线C ∶y ＝x 2上的点N (t ，t 2)，B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， ∵y ′＝2x ，∴直线BC 的方程为y －t 2＝2t (x －t )， 即y ＝2tx －t 2，①将①代入椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2tx －t 2x 24＋y 2＝1，整理得(1＋16t 2)x 2－16t 3x ＋4t 4－4＝0，则Δ＝(16t 3)2－4(1＋16t 2)(4t 4－4)＝16(－t 4＋16t 2＋1)，且x 1＋x 2＝16t 31＋16t 2，x 1x 2＝4t 4－41＋16t 2，∴|BC |＝1＋4t 2|x 1－x 2|＝1＋4t 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝41＋4t 2·－t 4＋16t 2＋11＋16t 2，设点A 到直线BC 的距离为d ，则d ＝1＋16t 2161＋4t 2， ∴△ABC 的面积S ＝12|BC |d ＝12·41＋4t 2·－t 4＋16t 2＋11＋16t 2·1＋16t 2161＋4t 2＝－(t 2－8)2＋658≤658，当t ＝±22时，取到“＝”，此时Δ＞0，满足题意， ∴△ABC 面积的最大值为658．1．(2017·东北三省四市一模)已知椭圆E 的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若椭圆右焦点到椭圆E 的中心的距离是2．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)与该椭圆交于不同的两点B ，C ，若坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△BOC 的面积． 解：(1)椭圆E 的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若椭圆右焦点到椭圆E 的中心的距离是 2∴b ＝1，c ＝2，则a ＝3， ∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1．(2)设C (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由已知可得： 11＋k2＝32，得k ＝±33.不妨取k ＝33． 又由⎩⎨⎧y ＝33x ＋1x23＋y 2＝1，消去y 得：x 2＋3x ＝0，∴x 1＝0，y 1＝1，x 2＝－3，y 2＝0， ∴|BC |＝12＋(3)2＝2． △BOC 的面积：12×2×32＝32．当k ＝－33时，所求三角形的面积也是32． 2．(2017·厦门一模)在椭圆E ：x 24＋y 2＝1上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足，点M 满足DM →＝2DP →，点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点B 1(0,1)作直线交椭圆E 于A 1，B 1，交曲线C 于A 2，B 2，当|A 1B 1|最大时，求|A 2B 2|． 解：(1)设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则D (x 0,0)，DM →＝(x －x 0，y )，DP →＝(0，y 0)，由DM →＝2DP →，可得x －x 0＝0，且y ＝2y 0，即为x 0＝x ，y 0＝12y ， 由P 在椭圆上，可得x 24＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1， 即有曲线C 的方程为x 2＋y 2＝4；(2)当直线的斜率不存在时，可得|A 1B 1|＝2；当直线的斜率存在时，设直线的方程为y ＝kx ＋1，A 1(x 1，y 1)，B 1(x 2，y 2)，代入椭圆方程可得(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0，(k ≠0)，解得x 1＝－8k 1＋4k 2，x 2＝0， 即有B 1(0,1)，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k 2，1－4k 21＋4k 2， |A 1B 1|＝64k 2(1＋4k 2)2＋64k 4(1＋4k 2)2 ＝83·3k 2(1＋k 2)1＋4k2 ≤83·1＋4k 221＋4k2＝433， 当且仅当3k 2＝1＋k 2，即k ＝±22时，|A 1B 1|取得最大值433； 由433＞2，可得k ＝±22． 当k ＝22时，直线A 2B 2的方程为y ＝22x ＋1，即2x －2y ＋2＝0， 圆心O 到直线A 2B 2的距离为d ＝26， 由垂径定理可得，⎝⎛⎭⎫|A 2B 2|22＝r 2－d 2＝4－23＝103， 即|A 2B 2|＝2303． 3．(2017·保定一模)设椭圆x 2＋2y 2＝8与y 轴相交于A ，B 两点(A 在B 的上方)，直线y ＝kx ＋4与该椭圆相交于不同的两点M ，N ，直线y ＝1与BM 交于G ．(1)求椭圆的离心率；(2)求证：A ，G ，N 三点共线．(1)解：由题意的标准方程：x 28＋y 24＝1，则a ＝22，b ＝2，c ＝2，椭圆的离心率e ＝c a ＝22； (2)证明：法一 曲线x 28＋y 24＝1，当x ＝0时，y ＝±2， 故A (0,2)，B (0，－2)，将直线y ＝kx ＋4代入椭圆方程x 28＋y 24＝1得： (2k 2＋1)x 2＋16kx ＋24＝0，若y ＝kx ＋4与曲线C 交于不同两点M ，N ，则Δ＝32(2k 2－3)＞0，解得：k 2＞32，设N (x N ，kx N ＋4)，M (x M ，kx M ＋4)，G (x G,1)， 由韦达定理得：x M ＋x N ＝－16k 1＋2k 2，① x M x N ＝241＋2k 2，② MB 方程为：y ＝kx M ＋6x M x －2，则G ⎝⎛⎭⎫3x M kx M ＋6，1， ∴AG →＝⎝⎛⎭⎫3x M kx M ＋6，－1，AN →＝(x N ，kx N ＋2)， 欲证A ，G ，N 三点共线，只需证AG →，AN →共线，即3x M kx M ＋6(kx N＋2)＝－x N ， 将①②代入可得等式成立，则A ，G ，N 三点共线得证．法二 将直线y ＝kx ＋4代入椭圆方程x 28＋y 24＝1 得：(2k 2＋1)x 2＋16kx ＋24＝0，则Δ＝32(2k 2－3)＞0，解得：k 2＞32， 由韦达定理得：x M ＋x N ＝－16k 1＋2k 2，① x M x N ＝241＋2k 2，② 设N (x N ，kx N ＋4)，M (x M ，kx M ＋4)，G (x G,1)，MB 方程为：y ＝kx M ＋6x M x －2，则G ⎝⎛⎭⎫3x M kx M ＋6，1， 则k NA －k GA ＝kx N ＋2x N －－13x M kx M ＋6＝k ＋2x N ＋k 3＋2x M ＝4k 3＋2⎝⎛⎭⎫x M ＋x N x M x N ， 将①②代入上式：k NA －k GA ＝0，∴A ，G ，N 三点共线．4．(2017·佛山二模)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，左、右焦点分别为F 1、F 2，且C 1与抛物线C 2∶y 2＝x 的交点所在的直线经过F 2．(1)求椭圆C 1的方程；(2)过F 1的直线l 与C 1交于A ，B 两点，与抛物线C 2无公共点，求△ABF 2的面积的取值范围．解：(1)依题意得2c ＝4，则F 1(－2,0)，F 2(2,0)；所以椭圆C 1与抛物线C 2的一个交点为P (2，2)，于是2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝42，从而a ＝22．又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2所以椭圆C 1的方程为x 28＋y 24＝1． (2)依题意，直线l 的斜率不为0，设直线l ：x ＝ty －2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty －2y 2＝x ，消去x 整理得y 2－ty ＋2＝0，由Δ＝(－t )2－8＜0得t 2＜8． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －2x 2＋2y 2＝8，消去x 整理得 (t 2＋2)y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t t 2＋2，y 1y 2＝－4t 2＋2， 所以|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|＝1＋t2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝42(t 2＋1)t 2＋2，F 2到直线l 距离d ＝4t 2＋1， 故S △ABF 2＝12|AB |d ＝12·42(t 2＋1)t 2＋2·4t 2＋1＝82t 2＋1t 2＋2， 令 t 2＋1＝s ∈[1,3)，则SABF 2＝82t 2＋1t 2＋2＝82s s 2＋1＝82s ＋1s∈⎝⎛⎦⎤1225，42， 所以三角形ABF 2的面积的取值范围为⎝⎛⎦⎤1225，42． 5．(2017·湛江二模)己知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c,0)和F 2(c,0)(c ＞0)，A 、C 是椭圆短轴的两端点，过点E (3c,0)的直线AE 与椭圆相交于另一点B ，且F 1A ∥F 2B ．(1)求椭圆的离心率；(2)设直线F 2B 上有一点H (m ，n )(m ≠0)在△AF 1C 的外接圆上，求n m的值． 解：(1)∵|EF 2|＝3c －c ＝2c ＝|F 1F 2|，且F 1A ∥F 2B ，∴B 是A 和E 的中点，不妨设A (0，b )，由E (3c,0)，∴B ⎝⎛⎭⎫3c 2，b 2，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1得：94c 2a 2＋14b 2b 2＝1，∴c a ＝33，即椭圆的离心率e ＝33； (2)由(1)知，e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝13，得a 2＝3c 2，b 2＝a 2－c 2＝2c 2， ∴椭圆的方程可设为2x 2＋3y 2＝6c 2．若A (0，2c )，则C (0，－2c )，线段AF 1 的垂直平分线l 的方程为y －22c ＝－22⎝⎛⎭⎫x ＋c 2， 直线l 与x 轴的交点⎝⎛⎭⎫c 2，0是△AF 1C 外接圆的圆心． 因此，外接圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫c 2＋c 2． 直线F 2B 的方程为y ＝2(x －c )，于是点H (m ，n )的坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝2(m －c )⎝⎛⎭⎫m －c 22＋n 2＝9c 24，由m ≠0，解得⎩⎨⎧ n ＝223c m ＝53c ．故n m ＝225； 若A (0，－2c )，则C (0，2c )，同理可得n m ＝－225． ∴n m ＝±225． 6．(2017·涪陵二模)已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．若椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为圆M 的圆心，离心率为22． (1)求椭圆C 的方程； (2)若存在直线l ：y ＝kx ，使得直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点，点G 在线段AB 上，且|AG |＝|BH |，求圆M 半径r 的取值范围．解：(1)由椭圆右顶点为圆M 的圆心(2，0)，得a ＝2，又c a ＝22，所以c ＝1，b ＝1． 所以椭圆C 的方程为：x 22＋y 2＝1． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x 2＋2y 2－2＝0， 所以(1＋2k 2)x 2－2＝0，则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－21＋2k 2， 所以|AB |＝(1＋k 2)81＋2k 2＝8(1＋k 2)1＋2k 2， 点M (2，0)到直线l 的距离d ＝|2k |1＋k 2， 则|GH |＝2r 2－2k 21＋k 2， 显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y ＝kx 就是y 轴，矛盾，所以要使|AG |＝|BH |，只要|AB |＝|GH |， 所以8(1＋k 2)1＋2k 2＝4⎝⎛⎭⎫r 2－2k 21＋k 2， r 2＝2k 21＋k 2＋2(1＋k 2)1＋2k 2＝2(3k 4＋3k 2＋1)2k 4＋3k 2＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫1＋k 42k 4＋3k 2＋1， 当k ＝0时，r ＝2，当k ≠0时，r 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11k 4＋3k 2＋2＜2⎝⎛⎭⎫1＋12＝3， 又显然r 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11k 4＋3k 2＋2＞2，所以2＜r ＜3， 综上，2≤r ＜3．。