2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高三(下)开学数学试卷(文科)(重点班)(解析版)
2016-2017年陕西省延安市黄陵中学普通班高三(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学普通班高三（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是（）A．1B．2C．3D．42．（5分）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}．集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（）A．A⊆B B．B⊆C C．A∩B＝C D．B∪C＝A3．（5分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）4．（5分）若sin＝，则cosα＝（）A．﹣B．﹣C．D．5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b36．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中假命题的是（）A．若m⊥α，m⊥β则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n D．若m⊥α，m⊂β则α⊥β7．（5分）下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是（）A．B．C．D．8．（5分）公差不为零的等差数列{a n}中，a1+a2+a5＝13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{a n}的公差等于（）A．1B．2C．3D．49．（5分）若从区间（0，2）内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）用max{a，b}表示a，b两个数中的最大数，设f（x）＝max{﹣x2+8x﹣4，log2x}，若函数g（x）＝f（x）﹣kx有2个零点，则k的取值范围是（）A．（0，3）B．（0，3]C．（0，4）D．[0，4]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）在等差数列{a n}中，若a13＝20，a20＝13，则a2014＝．12．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（））＝．13．（5分）已知数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝（n∈N*），则a4＝．14．（5分）设变量x，y满足|x|+|y|≤1，则x+2y的最大值为．15．（5分）已知a为常数，若曲线y＝ax2+3x﹣lnx存在与直线x+y﹣1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．（12分）函数的图象上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）当，求函数f（x）的单调递增区间和零点．17．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，且a n＝2a n﹣1+2n（n≥2且n∈N+）．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求S n．18．（12分）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a sin A sin B+b cos2A＝a．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若c2＝b2+a2，求B．19．（12分）甲、乙两家网络公司，1993年的市场占有率均为A，根据市场分析与预测，甲、乙公司自1993年起逐年的市场占有率都有所增加，甲公司自1993年起逐年的市场占有率都比前一年多，乙公司自1993年起逐年的市场占有率如图所示：（I）求甲、乙公司第n年市场占有率的表达式；（II）根据甲、乙两家公司所在地的市场规律，如果某公司的市场占有率不足另一公司市场占有率的20%，则该公司将被另一公司兼并，经计算，2012年之前，不会出现兼并局面，试问2012年是否会出现兼并局面，并说明理由．20．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＝3，前3项和S3＝．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若函数f（x）＝A sin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式．21．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知数列是首项为1，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝，若不等式b1+b2+b3+…+b n≥对任意n∈N*都成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学普通班高三（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}∴a1，a2是M中的元素，a3不是M中的元素∵M⊆{a1，a2，a3，a4}∴M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}，故选：B．2．（5分）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}．集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（）A．A⊆B B．B⊆C C．A∩B＝C D．B∪C＝A【解答】解：根据题意，参加北京奥运会比赛的运动员包括参加北京奥运会比赛的男、女运动员，易得B∪C＝A．故选：D．3．（5分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【解答】解：要使函数有意义需，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：C．4．（5分）若sin＝，则cosα＝（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cos a＝1﹣2sin2＝1﹣2×＝1﹣＝故选：C．5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a＝2，b＝1满足a＞b，但a＝b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．6．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中假命题的是（）A．若m⊥α，m⊥β则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n D．若m⊥α，m⊂β则α⊥β【解答】解：对于A，若m⊥α，m⊥β根据线面垂直的性质定理以及面面平行的判定定理得到α∥β；故A正确；对于B，若m∥n，m⊥α，根据线面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理得到n⊥α；故B 正确；对于C，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n异面或者相交；故C错误；对于D，若m⊥α，m⊂β根据面面垂直的判定定理得到α⊥β；故D正确；故选：C．7．（5分）下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是（）A．B．C．D．【解答】解：对于A，函数的周期为2π，故不符合题意；对于B，＝sin2x，周期为π，且在上单调递减的奇函数，故不符合题意；对于C，＝cos2x，函数为偶函数，故不符合题意；对于D，＝﹣sin2x，周期为π，且在上单调递增的奇函数，故符合题意，故选：D．8．（5分）公差不为零的等差数列{a n}中，a1+a2+a5＝13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{a n}的公差等于（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：设数列的公差为d则3a1+5d＝13①∵a1、a2、a5成等比数列∴（a1+d）2＝a1（a1+4d）②①②联立求得d＝2故选：B．9．（5分）若从区间（0，2）内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可设两个数为x，y，则所有的基本事件满足，所研究的事件满足y≥4x或x≥y，如图．总的区域是一个边长为2的正方形，它的面积是4，满足y≥4x或x≥y（阴影部分）的区域的面积是2××2×＝1，这两个数的比不小于4的概率为P＝故选：C．10．（5分）用max{a，b}表示a，b两个数中的最大数，设f（x）＝max{﹣x2+8x﹣4，log2x}，若函数g（x）＝f（x）﹣kx有2个零点，则k的取值范围是（）A．（0，3）B．（0，3]C．（0，4）D．[0，4]【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣kx有2个零点，即函数y＝f（x）与直线y＝kx有两个交点．如图，然后从反面：排除法．首先k＝0不成立，排除D，其次，二次函数的顶点是（4，12），与原点连线的斜率是3，显然成立，排除A，再由图象k＞0，k＝3不为相切情况，故排除B，得到结果选C．故选：C．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）在等差数列{a n}中，若a13＝20，a20＝13，则a2014＝﹣1981．【解答】解：∵在等差数列{a n}中a13＝20，a20＝13，∴公差d＝＝﹣1，∴a2014＝a20+（2014﹣20）（﹣1）＝﹣1981故答案为：﹣198112．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（））＝﹣2．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（）＝﹣tan＝﹣1，f（f（））＝f（﹣1）＝2×（﹣1）3＝﹣2．故答案为：﹣2．13．（5分）已知数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝（n∈N*），则a4＝．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝（n∈N*），∴＝+2，∴，又＝2，∴{}是首项为2，公比为3的等比数列，∴，∴，∴＝．故答案为：．14．（5分）设变量x，y满足|x|+|y|≤1，则x+2y的最大值为2．【解答】解：约束条件|x|+|y|≤1可化为：其表示的平面区域如图所示的正方形及内部：设目标函数z＝x+2y，变形可得y＝，经平移直线可知当直线经过点（0，1）时z＝x+2y取最大值2故答案为：215．（5分）已知a为常数，若曲线y＝ax2+3x﹣lnx存在与直线x+y﹣1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是[﹣，+∞）．【解答】解：令y＝f（x）＝ax2+3x﹣lnx由题意知，x+y﹣1＝0斜率是﹣1，则与直线x+y﹣1＝0垂直的切线的斜率是1．∴f′（x）＝1有解，∵函数的定义域为{x|x＞0}．∴f′（x）＝1有正根，∵f（x）＝ax2+3x﹣lnx，∴f'（x）＝2ax+3﹣＝1有正根∴2ax2+2x﹣1＝0有正根，∴2a＝﹣＝（﹣1）2﹣1，∴2a≥﹣1，∴a≥﹣．故答案为：[﹣，+∞）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．（12分）函数的图象上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）当，求函数f（x）的单调递增区间和零点．【解答】解：（Ⅰ）依题意的，所以T＝π，于是（2分）由解得（4分）把代入f（x）＝2sin（2x+φ）+1，可得，所以，所以，因为，所以综上所述，（7分）（Ⅱ）令f（x）＝0，得，又∵∴∴故函数f（x）的零点是（10分）∵∴由得∴函数f（x）的单调递增区间是（13分）17．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，且a n＝2a n﹣1+2n（n≥2且n∈N+）．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求S n．【解答】（1）证明：∵数列{a n}满足a1＝1，且a n＝2a n﹣1+2n（n≥2且n∈N+）．∴，∴数列{}为等差数列，公差为1，首项＝．（2）解：由（1）可得：＝＝．∴．S n＝1+3×2+5×22+…+（2n﹣3）×2n﹣2+（2n﹣1）×2n﹣1，2S n＝2+3×22+5×23+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）×2n，∴﹣S n＝1+2×2+2×22+…+2×2n﹣1﹣（2n﹣1）×2n＝﹣1﹣（2n﹣1）×2n＝（3﹣2n）×2n﹣3，∴+3．18．（12分）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a sin A sin B+b cos2A＝a．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若c2＝b2+a2，求B．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2A sin B+sin B cos2A＝sin A，即sin B（sin2A+cos2A）＝sin A∴sin B＝sin A，＝（Ⅱ）由余弦定理和C2＝b2+a2，得cos B＝由（Ⅰ）知b2＝2a2，故c2＝（2+）a2，可得cos2B＝，又cos B＞0，故cos B＝所以B＝45°19．（12分）甲、乙两家网络公司，1993年的市场占有率均为A，根据市场分析与预测，甲、乙公司自1993年起逐年的市场占有率都有所增加，甲公司自1993年起逐年的市场占有率都比前一年多，乙公司自1993年起逐年的市场占有率如图所示：（I）求甲、乙公司第n年市场占有率的表达式；（II）根据甲、乙两家公司所在地的市场规律，如果某公司的市场占有率不足另一公司市场占有率的20%，则该公司将被另一公司兼并，经计算，2012年之前，不会出现兼并局面，试问2012年是否会出现兼并局面，并说明理由．【解答】解：（I）设甲公司第n年市场占有率为a n，依题意，{a n}是以a1＝A为首项，以为公差的等差数列．（2分）∴．（3分）设乙公司第n年市场占有率为b n，根据图形可得：（5分）＝．∴甲公司第n年市场占有率a n＝n+，乙公司第n年市场占有率b n＝（6分）（II）依题意，2012年为第20年，则，，（9分）∴，即b20＜20%•a20，（11分）∴2012年会出现乙公司被甲公司兼并的局面．（12分）20．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＝3，前3项和S3＝．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若函数f（x）＝A sin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式．【解答】解：（Ⅰ）由q＝3，S3＝得：＝，解得a1＝，所以a n＝×3n﹣1＝3n﹣2；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a n＝3n﹣2，所以a3＝3，因为函数f（x）的最大值为3，所以A＝3；又因为当x＝时，f（x）取得最大值，所以sin（2×+φ）＝1，由0＜φ＜π，得到φ＝．则函数f（x）的解析式为f（x）＝3sin（2x+）．21．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知数列是首项为1，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝，若不等式b1+b2+b3+…+b n≥对任意n∈N*都成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴．∴．当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1．又a1＝1适合上式．∴a n＝2n﹣1．…（4分）（Ⅱ）＝＝，∴b1+b2+…+b n＝＝＝．∴对任意n∈N*都成立，得对任意n∈N*都成立．令，则．∴c n+1＞c n．∴．∴．∴实数m的取值范围为．…（10分）。
陕西省黄陵中学2017届高三4月月考数学(文)试卷(带答案)
xOy 中，已知曲线 C1 : y
（
sin
为参数），将 C1 上的所有点的横坐标、纵
坐标分别伸长为原来的 2 和 2 倍后得到曲线 C2 . 以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点， x 轴的
正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线
l : ( 2 cos sin ) 4 .
（ 1）试写出曲线 C1 的极坐标方程与曲线 C2 的参数方程；
x2 y 2 由 4 3 1 消去 y ，整理得 (3 4k 2) x2 8kmx 4m2 12 0 ，
y kx m
由题意可知圆 O 在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，
所以 x1 x2
8km 3 4 k 2 , x1x2
4m2 12 3 4k2 ，
2
2
y1 y2 (kx1 m)(kx2 m) k x1x2 km( x1 x2 ) m
k2
4m2 12 3 4k2
km(
8km 3 4k 2 )
m2
3m2 12k 2 3 4k 2 ，
所以 x1x 2
y1 y2
4 m2 12 3m2 12k2
3 4k 2
3 4k2
7m2 12k 2 - 12
3 4k 2
，
因为 m2 1 k 2 ，所以 x1x 2 y1 y2
5 5k 2 3 4k 2 ，
y3
C.
21
22
0 与圆 O : x2
D
． 22
23
y 2 4 交于 A、B 两点，且 OA OB
A． 1
B
． 2 C.
1 D ．2
x y 2 0,
8. 若实数 x, y 满足
x 4, 则 z 2x y 的最大值与最小值之差为（ ）
2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高新部高三下学期期中数学试卷(文科)【解析版】
2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高新部高三（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（60分）1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A ∩（∁U B）＝（）A．{1，2，5，6}B．{1}C．{2}D．{1，2，3，4} 2．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈R，且x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为（）A．0B．1C．2D．33．（5分）函数f（x）＝+x0的定义域为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（0，3）4．（5分）“log2x＜1”是“x2＜x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知变量x，y满足，则z＝2x﹣y的最大值为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β7．（5分）命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f （x）＝log a（x﹣1）的图象过点（2，0），则（）A．p假q真B．p真q假C．p假q假D．p真q真8．（5分）设直线l1：2x﹣my＝1，l2：（m﹣1）x﹣y＝1，则“m＝2”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）在递增的等比数列{a n}中，已知a1+a n＝34，a3•a n﹣2＝64，且前n项和为S n＝42，则n＝（）A．3B．4C．5D．610．（5分）若数列{a n}满足：a1＝19，a n+1＝a n﹣3（n∈N*），而数列{a n}的前n 项和最大时，n的值为（A．6B．7C．8D．911．（5分）若关于x的方程|log a|x+b||＝b（a＞0，a≠1），有且只有两个解，则（）A．b＝1B．b＝0C．b＞1D．b＞012．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，1）B．[0，2]C．[﹣2，2）D．[﹣1，2）二、填空题（20分）13．（5分）已知向量＝（sin θ，﹣2），＝（cos θ，1），若∥，则tan 2θ＝．14．（5分）函数f（x）＝2a x+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象经过的定点坐标是．15．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝，sin B ＝，C＝，则b＝．16．（5分）设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为．三．计算题（70分17题10分，其余12分）17．（10分）已知函数f（x）＝lnx﹣．（1）试讨论f（x）在定义域上的单调性；（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值．18．（12分）已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和S n满足．（Ⅰ）求S n的表达式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|＝（Ⅰ）求该抛物线的方程（Ⅱ）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝+λ，求λ的值．20．（12分）已知平面向量＝（，﹣1），＝（，）．（1）证明：⊥；（2）若存在不同时为零的实数k和t，使＝+（t2﹣3），＝﹣k+t，且⊥，试求函数关系式k＝f（t）．21．（12分）已知平面上三点A，B，C满足＝（2﹣k，3），＝（2，4）（1）若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k满足的条件；（2）若△ABC为直角三角形，求实数k的值．22．（12分）已知函数f（x）＝sin x，g（x）＝mx﹣（m∈R）；（1）求曲线y＝f（x）在点P（，f（））处的切线方程；（2）求函数g（x）的单调递减区间；（3）若m＝1，证明：当x＞0时，f（x）＜g（x）+．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高新部高三（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（60分）1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A ∩（∁U B）＝（）A．{1，2，5，6}B．{1}C．{2}D．{1，2，3，4}【解答】解：∁R B＝{1，5，6}；∴A∩（∁R B）＝{1，2}∩{1，5，6}＝{1}．故选：B．2．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈R，且x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合B表示的是直线y＝x，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A∩B的元素个数为2．故选：C．3．（5分）函数f（x）＝+x0的定义域为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（0，3）【解答】解：函数f（x）＝+x0有意义，只需即，即﹣1＜x＜1且x≠0，故定义域为（﹣1，0）∪（0，1）．故选：C．4．（5分）“log2x＜1”是“x2＜x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由log2x＜1得0＜x＜2，由x2＜x得0＜x＜1．故“log2x＜1”是“x2＜x”的必要而不充分条件．故选：B．5．（5分）已知变量x，y满足，则z＝2x﹣y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由z＝2x﹣y得y＝2x﹣z作出不等式组，对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y＝2x﹣z由图象可知当直线y＝2x﹣z过点A时，直线y＝2x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（2，2）．代入目标函数z＝2x﹣y，得z＝2×2﹣2＝2，∴目标函数z＝2x﹣y的最大值是2．故选：B．6．（5分）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β【解答】解：选择支C正确，下面给出证明．证明：如图所示：∵m∥n，∴m、n确定一个平面γ，交平面α于直线l．∵m∥α，∴m∥l，∴l∥n．∵n⊥β，∴l⊥β，∵l⊂α，∴α⊥β．故C正确．故选：C．7．（5分）命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）＝log a（x﹣1）的图象过点（2，0），则（）A．p假q真B．p真q假C．p假q假D．p真q真【解答】解：由x3＜x2得，x2（x﹣1）＜0；∴解得x＜1，且x≠0；∴不存在x∈N；∴命题p是假命题；将x＝2带入函数f（x）便得到：f（2）＝0；∴∀a∈（0，1）∪（1，+∞），都有f（x）的图象过点（2，0）；∴命题q是真命题；∴p假q真．故选：A．8．（5分）设直线l1：2x﹣my＝1，l2：（m﹣1）x﹣y＝1，则“m＝2”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当m＝2时，两条直线方程分别为2x﹣2y＝1，和x﹣y＝1，则满足l1∥l2，即充分性成立，若l1∥l2，当m＝0时，两直线方程分别为2x＝1，﹣x﹣y＝1，此时两直线相交，不满足平行，故m≠0，则满足＝≠，由＝得m2﹣m﹣2＝0，得m＝﹣1或m＝2，∵，∴m≠1，则m＝﹣1或m＝2，即必要性不成立，则“m＝2”是“l1∥l2”的充分不必要条件，故选：A．9．（5分）在递增的等比数列{a n}中，已知a1+a n＝34，a3•a n﹣2＝64，且前n项和为S n＝42，则n＝（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：由等比数列的性质可得a1a n＝a3•a n﹣2＝64，又a1+a n＝34，∴a1和a n是方程x2﹣34x+64＝0的两根，解方程可得x＝2或x＝32，∵等比数列{a n}递增，∴a1＝2，a n＝32，∵S n＝42，∴＝＝42，解得q＝4，∴32＝2×4n﹣1，解得n＝3故选：A．10．（5分）若数列{a n}满足：a1＝19，a n+1＝a n﹣3（n∈N*），而数列{a n}的前n 项和最大时，n的值为（A．6B．7C．8D．9【解答】解：∵a1＝19，，∴数列{a n}是首项为19，公差为﹣3的等差数列，∴a n＝19+（n﹣1）×（﹣3）＝22﹣3n，由a n＝22﹣3n≥0，得n，∴数列{a n}的前n项和数值最大时，n的值是7．故选：B．11．（5分）若关于x的方程|log a|x+b||＝b（a＞0，a≠1），有且只有两个解，则（）A．b＝1B．b＝0C．b＞1D．b＞0【解答】解：∵|log a|x+b||＝b，∴log a|x+b|＝b，或log a|x+b|＝﹣b；①若b＝0，则x＝±1，成立；②若b＞0，则|x+b|＝a b，|x+b|＝a﹣b；此时有四个解；故不成立；故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，1）B．[0，2]C．[﹣2，2）D．[﹣1，2）【解答】解：g（x）＝，令﹣x+2＝0得x＝2，令x2+3x+2＝0得x＝﹣1或x＝﹣2，∵g（x）恰好有三个零点，∴，即﹣1≤a＜2．故选：D．二、填空题（20分）13．（5分）已知向量＝（sin θ，﹣2），＝（cos θ，1），若∥，则tan 2θ＝．【解答】解：∵向量＝（sin θ，﹣2），＝（cos θ，1），∥，∴sin θ＝﹣2cos θ，∴tan θ＝﹣2，故tan 2θ＝＝＝．故答案为：．14．（5分）函数f（x）＝2a x+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1）．【解答】解：由指数幂的性质可知，令x+1＝0得x＝﹣1，此时f（﹣1）＝2﹣3＝﹣1，即函数f（x）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）．15．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝，sin B ＝，C＝，则b＝1．【解答】解：∵sin B＝，∴B＝或B＝当B＝时，a＝，C＝，A＝，由正弦定理可得，则b＝1当B＝时，C＝，与三角形的内角和为π矛盾故答案为：116．（5分）设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为﹣．【解答】解：∵tan＝，∴tanα＝＝＞1，∴α∈（，），∴cosα＝＝，sinα＝＝，∵sin（α+β）＝＜，∴α+β∈（，π），∴cos（α+β）＝﹣，则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝﹣×+×＝﹣．故答案为：﹣三．计算题（70分17题10分，其余12分）17．（10分）已知函数f（x）＝lnx﹣．（1）试讨论f（x）在定义域上的单调性；（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值．【解答】解（1）由题得f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝+＝，当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．当a＜0时，由f′（x）＝0得x＝﹣a，由f′（x）＞0得，x＞﹣a，由f′（x）＜0得，x＜﹣a，∴当a＜0时，f（x）在（0，﹣a]上为减函数，在（﹣a，+∞）上为增函数．（2）由（1）可知：f′（x）＝，①若a≥﹣1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数，∴f（x）min＝f（1）＝﹣a＝，∴a＝﹣（舍去）．②若a≤﹣e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，∴f（x）min＝f（e）＝1﹣＝，∴a＝﹣（舍去）．③若﹣e＜a＜﹣1，令f′（x）＝0，得x＝﹣a，当1＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，﹣a）上为减函数；当﹣a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣a，e）上为增函数，∴f（x）min＝f（﹣a）＝ln（﹣a）+1＝⇒a＝﹣．综上可知：a＝﹣．18．（12分）已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和S n满足．（Ⅰ）求S n的表达式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和T n．代入得：【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，∴（6分）（Ⅱ）∴＝．（13分）19．（12分）已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|＝（Ⅰ）求该抛物线的方程（Ⅱ）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝+λ，求λ的值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为（，0），则直线AB的方程为y＝2（x﹣），代入抛物线的方程，可得4x2﹣5px+p2＝0，可得x1+x2＝p，由抛物线的定义可得|AB|＝x1+x2+p，由已知，得p+p＝，解得p＝2，即抛物线的方程为y2＝4x；（Ⅱ）由p＝2可得2x2﹣5x+2＝0，可得x＝2或，即有A（，﹣），B（2，2），设＝（x3，y3）＝（，﹣）+λ（2，2）＝（+2λ，﹣+2λ），即有x3＝+2λ，y3＝﹣+2λ，由y32＝4x3，可得[（2λ﹣1）]2＝4（+2λ），即（2λ﹣1）2＝1+4λ，解得λ＝0或2．20．（12分）已知平面向量＝（，﹣1），＝（，）．（1）证明：⊥；（2）若存在不同时为零的实数k和t，使＝+（t2﹣3），＝﹣k+t，且⊥，试求函数关系式k＝f（t）．【解答】（1）证明∵＝×﹣1×＝0，∴．（2）解：∵＝+（t2﹣3），＝﹣k+t，且，∴•＝[+（t2﹣3）]•（﹣k+t）＝﹣k+t（t2﹣3）2+[t﹣k（t2﹣3）]＝0．又2＝||2＝4，2＝||2＝1，＝0，∴﹣4k+t3﹣3t＝0，∴k＝f（t）＝（t≠0）．21．（12分）已知平面上三点A，B，C满足＝（2﹣k，3），＝（2，4）（1）若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k满足的条件；（2）若△ABC为直角三角形，求实数k的值．【解答】解：（1）∵A，B，C三点不能构成三角形，∴三点A，B，C共线；∴存在实数λ，使；∴，解得．∴k满足的条件是：k＝．（2）＝（k，1）∵△ABC为直角三角形；∴若∠A是直角，则⊥，∴，∴k＝﹣2；若∠B是直角，则⊥，∴，解得k＝﹣1，或3；若∠C是直角，则，∴，解得k＝8．综上可得k的值为：﹣2，﹣1，3，8．22．（12分）已知函数f（x）＝sin x，g（x）＝mx﹣（m∈R）；（1）求曲线y＝f（x）在点P（，f（））处的切线方程；（2）求函数g（x）的单调递减区间；（3）若m＝1，证明：当x＞0时，f（x）＜g（x）+．【解答】解：（1）∵f（x）＝sin x，∴f′（x）＝cos x，函数在点P（，f（））处的切线斜率k＝f′（）＝cos＝，∵f（）＝sin＝，∴切点坐标为（，），则切线方程y﹣＝（x﹣），即y＝x+（1﹣）．（2）g′（x）＝m﹣＝m﹣x2＝0，得x2＝2m，当m≤0，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当m＞0，由g′（x）≤0，即g（x）单调递减，解得x≤﹣或x≥，即函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣）或[，+∞）．（3）m＝1，g（x）＝x﹣，h（x）＝g（x）+﹣f（x）＝x﹣sin x，h′（x）＝1﹣cos x，当x＞0，cos x≤1，∴h′（x）＝1﹣cos x≥0，即函数h（x）单调递增，当x＝0时，h（0）＝0，∴x＞0时，h（x）＞0，即f（x）＜g（x）+成立．。
2016-2017年陕西省延安市黄陵中学普通班高二(下)第三次月考数学试卷(文科)(解析版)
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A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 16 分．把正确答案填在题中横线上） 13． （5 分）双曲线 （φ 是参数）的渐近线方程为 ． （ρ∈R）垂直，则直线的极
14． （5 分）在极坐标系中，直线过点（1，0）且与直线 坐标方程为 ．
15． （5 分） （选修 4﹣4：坐标系与参数方程） ： 在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线 θ＝ 与曲线 为 ． （t 为参数）相交于 A，B 来两点，则线段 AB 的中点的直角坐标
19． （12 分）已知直线 l：
（t 为参数） ．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极
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轴建立极坐标系，曲线 C 的坐标方程为 ρ＝2cosθ． （1）将曲线 C 的极坐标方程化为直坐标方程； （2）设点 M 的直角坐标为（5， ） ，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA|•|MB|的值． （t 为参数） ，以该直角
20． （12 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 C1 的参数方程为
坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下， 圆 C2 的方程为 ρ＝﹣2cosθ+2 sinθ． （Ⅰ）求直线 C1 的普通方程和圆 C2 的圆心的极坐标； （Ⅱ）设直线 C1 和圆 C2 的交点为 A，B，求弦 AB 的长． 21． （12 分）已知直线 l：x﹣y+9＝0 和椭圆 C： （1）求椭圆 C 的两焦点 F1，F2 的坐标； （2）求以 F1，F2 为焦点且与直线 l 有公共点 M 的椭圆中长轴最短的椭圆的方程． 22． （12 分）已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上且长轴长为 4，短轴长为 2，直线 l 的参 数方程为 （t 为参数） ．当 m 为何值时，直线 l 被椭圆截得的弦长为 ？ （θ 为参数） ．
2016-2017年陕西省延安市黄陵中学重点班高二(下)第三次月考数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高二（下）第三次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列点不在直线（t为参数）上的是（）A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（3，﹣2）D．（﹣3，2）2．（5分）圆的参数方程为（θ为参数，0≤θ＜2π），若Q（﹣2，2）是圆上一点，则对应的参数θ的值是（）A．B．πC．πD．π3．（5分）直线（t为参数）的斜率为（）A．2B．﹣2C．D．﹣4．（5分）已知O为原点，当θ＝﹣时，参数方程（θ为参数）上的点为A，则直线OA的倾斜角为（）A．B．C．D．5．（5分）已知A（4sin θ，6cos θ），B（﹣4cos θ，6sin θ），当θ为一切实数时，线段AB 的中点轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线6．（5分）直线ρcos θ+2ρsin θ＝1不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（5分）点M的直角坐标为（，1，﹣2），则它的球坐标为（）A．（2，，）B．（2，，）C．（2，，）D．（2，，）8．（5分）在极坐标系中，直线θ＝（ρ∈R）截圆ρ＝2cos（θ﹣）所得弦长是（）A．1B．2C．3D．49．（5分）若点P的柱坐标为（2，，），则P到直线Oy的距离为（）A．1B．2C．D．10．（5分）设正弦曲线C按伸缩变换后得到曲线方程为y′＝sin x′，则正弦曲线C的周期为（）A．B．πC．2πD．4π11．（5分）已知点A是曲线ρ＝2cosθ上任意一点，则点A到直线ρsin（θ+）＝4的距离的最小值是（）A．1B．C．D．12．（5分）极坐标方程的图形是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．（5分）对于任意实数，直线y＝x+b与椭圆（0≤θ＜2π）恒有公共点，则b 的取值范围是．14．（5分）直线（t为参数）与圆（φ为参数）相切，则此直线的倾斜角α＝．15．（5分）已知直线l的参数方程（t为参数），若以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2sin（θ+）．则圆的直角坐标方程为，直线l和圆C的位置关系为（填相交、相切、相离）．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为（参数θ∈[0，2π）），则圆C的圆心坐标为，圆心到直线l的距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）化ρ＝cosθ﹣2sinθ为直角坐标形式并说明曲线的形状；（2）化曲线F的直角坐标方程：x2+y2﹣5﹣5x＝0为极坐标方程．18．（12分）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（3，），半径为1．Q点在圆周上运动，O为极点．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若P在直线OQ上运动，且满足＝，求动点P的轨迹方程．19．（12分）如图所示，已知点M是椭圆+＝1（a＞b＞0）上的第一象限的点，A（a，0）和B（0，b）是椭圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值．20．（12分）如图，正方体OABC﹣D′A′B′C′中，|OA|＝3，A′C′与B′D′相交于点P，分别写出点C、B′、P的柱坐标．21．（12分）已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为，判断两曲线的位置关系．22．（12分）已知圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l与圆C相交的弦长．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高二（下）第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列点不在直线（t为参数）上的是（）A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（3，﹣2）D．（﹣3，2）【解答】解：两式相加得直线的普通方程为x+y＝1，显然（﹣3，2）不符合方程x+y＝1．故选：D．2．（5分）圆的参数方程为（θ为参数，0≤θ＜2π），若Q（﹣2，2）是圆上一点，则对应的参数θ的值是（）A．B．πC．πD．π【解答】解：根据题意，圆的参数方程为（θ为参数，0≤θ＜2π），若Q（﹣2，2）是圆上一点，则有4cosθ＝﹣2，4sinθ＝2，解可得cosθ＝﹣，sinθ＝，则θ＝；故选：B．3．（5分）直线（t为参数）的斜率为（）A．2B．﹣2C．D．﹣【解答】解：∵直线（t为参数），∴消去参数t，得直线的普通方程为：y＝﹣2x+8，∴直线（t为参数）的斜率为﹣2．故选：B．4．（5分）已知O为原点，当θ＝﹣时，参数方程（θ为参数）上的点为A，则直线OA的倾斜角为（）A．B．C．D．【解答】解：A点坐标为（，﹣），∴直线OA的斜率k＝﹣，∴直线OA的倾斜角为．故选：C．5．（5分）已知A（4sin θ，6cos θ），B（﹣4cos θ，6sin θ），当θ为一切实数时，线段AB 的中点轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线【解答】解：∵点M（x，y）是线段AB的中点，∴x＝2sinθ﹣2cosθ，y＝3cosθ+3sinθ消去参数θ得+＝1，∴轨迹为焦点在y轴上的椭圆+＝1，故选：C．6．（5分）直线ρcos θ+2ρsin θ＝1不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：直线ρcos θ+2ρsin θ＝1化为直角坐标方程：x+2y＝1，即y＝﹣x+．可知：此直线不经过第三象限．故选：C．7．（5分）点M的直角坐标为（，1，﹣2），则它的球坐标为（）A．（2，，）B．（2，，）C．（2，，）D．（2，，）【解答】解：设M的球坐标为M（r，φ，θ），则r＝＝2，2cosφ＝﹣2，∴φ＝，2sinφsinθ＝1，∴θ＝，∴M的球坐标为（2，，）．故选：A．8．（5分）在极坐标系中，直线θ＝（ρ∈R）截圆ρ＝2cos（θ﹣）所得弦长是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：把直线θ＝（ρ∈R）代入圆ρ＝2cos（θ﹣）的方程，可得所得弦长＝2cos0＝2．故选：B．9．（5分）若点P的柱坐标为（2，，），则P到直线Oy的距离为（）A．1B．2C．D．【解答】解：P点的直角坐标为（，1，），∴P到直线Oy的距离为d＝＝．故选：D．10．（5分）设正弦曲线C按伸缩变换后得到曲线方程为y′＝sin x′，则正弦曲线C的周期为（）A．B．πC．2πD．4π【解答】解：根据题意，伸缩变换为，若y′＝sin x′，则有3y＝sin x，即C的方程为y＝sin x，其周期T＝＝4π；故选：D．11．（5分）已知点A是曲线ρ＝2cosθ上任意一点，则点A到直线ρsin（θ+）＝4的距离的最小值是（）A．1B．C．D．【解答】解：ρ＝2cosθ，即ρ2＝2ρcosθ，化为：x2+y2＝2x，配方为（x﹣1）2+y2＝1，可得圆心C（1，0），半径r＝1．直线ρsin（θ+）＝4展开可得：ρsinθ+cosθ＝4，可得直角坐标方程：x+y﹣8＝0．则点A到直线ρsin（θ+）＝4的距离的最小值＝﹣1＝．故选：C．12．（5分）极坐标方程的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：将原极坐标方程，化为：ρ＝sinθ+cosθρ2＝ρsinθ+ρcosθ化成直角坐标方程为：x2+y2﹣y﹣x＝0，它表示圆心在第一象限，半径为1的圆．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．（5分）对于任意实数，直线y＝x+b与椭圆（0≤θ＜2π）恒有公共点，则b 的取值范围是[﹣2，2]．【解答】解：∵椭圆（0≤θ＜2π），∴椭圆的直角坐标方程为＝1，把y＝x+b代入＝1，得5x2+2bx+b2﹣16＝0△＝4b2﹣20（b2﹣16）≥0解之得：﹣2≤b≤2．∴b的取值范围是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．14．（5分）直线（t为参数）与圆（φ为参数）相切，则此直线的倾斜角α＝或．【解答】解：直线（t为参数）可化为y＝x tanα（α≠kπ+）；∵直线（t为参数）与圆（φ为参数）相切，∴圆心（4，0）到直线y＝x tanα的距离与半径2相等；即：＝2，解得，tanα＝±，则此直线的斜率为±，则此直线的倾斜角α为或．故答案为：或．15．（5分）已知直线l的参数方程（t为参数），若以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2sin（θ+）．则圆的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，直线l和圆C的位置关系为相交（填相交、相切、相离）．【解答】解：（1）直线l的参数方程（t为参数），消去参数t，得直线l的普通方程为y＝2x+1．圆C的极坐标方程为ρ＝2sin（θ+）．即ρ＝2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ得ρ2＝2（ρsinθ+ρcosθ），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．（2）圆心C（1，1）到直线l的距离d＝＝＜＝r，∴直线l和圆C相交．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2；相交．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为（参数θ∈[0，2π）），则圆C的圆心坐标为（0，2），圆心到直线l的距离为2．【解答】解：直线l的参数方程为（参数t∈R）的普通方程为x+y＝6，即x+y﹣6＝0，圆C的参数方程为（参数θ∈[0，2π））的普通方程为x2+（y﹣2）2＝4，圆心坐标C（0，2），半径R＝2，则圆心到直线l的距离d＝＝2，故答案为：（0，2），2．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）化ρ＝cosθ﹣2sinθ为直角坐标形式并说明曲线的形状；（2）化曲线F的直角坐标方程：x2+y2﹣5﹣5x＝0为极坐标方程．【解答】解：（1）ρ＝cosθ﹣2sinθ两边同乘以ρ，得：ρ2＝ρcosθ﹣2ρsinθ，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线坐标方程为x2+y2＝x﹣2y，即x2+y2﹣x+2y＝0，即（x﹣）2+（y+1）2＝（）2，表示的是以为圆心，半径为的圆．（2）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得；x2+y2﹣5﹣5x＝0的极坐标方程为：ρ2﹣5ρ﹣5ρcosθ＝0．18．（12分）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（3，），半径为1．Q点在圆周上运动，O为极点．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若P在直线OQ上运动，且满足＝，求动点P的轨迹方程．【解答】解：（1）设M（ρ，θ）为圆C上任意一点，如图，在△OCM中，|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM|＝1，∠COM＝||，根据余弦定理，得1＝ρ2+9﹣2•ρ•3•cos（），化简整理，得ρ2﹣6•ρcos（）+8＝0为圆C的极坐标方程．（2）设Q（ρ1，θ1），则有﹣6•ρ1cos（）+8＝0，①设P（ρ，θ），则OQ：QP＝ρ1：（ρ﹣ρ1）＝2：3，解得ρ1＝ρ，又θ1＝θ，即，代入①得ρ2﹣6•ρcos（θ﹣）+8＝0，整理得ρ2﹣15ρcos（）+50＝0为P点的轨迹方程．19．（12分）如图所示，已知点M是椭圆+＝1（a＞b＞0）上的第一象限的点，A（a，0）和B（0，b）是椭圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值．【解答】解：方法一：M是椭圆+＝1（a＞b＞0）上在第一象限的点，由椭圆+＝1（a＞b＞0）的参数方程为（φ为参数），故可设M（a cosφ，b sinφ），其中0＜φ＜，因此，S四边形MAOB＝S△MAO+S△MOB＝OA•y M+OB•x M＝ab（sinφ+cosφ）＝ab sin（φ+）．所以，当φ＝时，四边形MAOB面积的最大值为ab．方法二：设M（x M，y M），x M＞0，y M＞0，则y M＝b，S四边形MAOB＝S△MAO+S△MOB＝OA•y M+OB•x M＝ab+bx M＝b（+x M）≤b＝ab．当且仅当x M＝y M＝时取等号．20．（12分）如图，正方体OABC﹣D′A′B′C′中，|OA|＝3，A′C′与B′D′相交于点P，分别写出点C、B′、P的柱坐标．【解答】解：设点C的柱坐标为（ρ1，θ1，z1），则ρ1＝|OC|＝3，，z1＝0，∴C的柱坐标为；设点B′的柱坐标为（ρ2，θ2，z2），则，，∴B′的柱坐标为；如图，取OB的中点E，连接PE，设点P的柱坐标为（ρ3，θ3，z3），则，点P的柱坐标为．21．（12分）已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为，判断两曲线的位置关系．【解答】解：将曲线C 1，C2化为直角坐标方程得：，表示一条直线．曲线，即，表示一个圆，半径为．圆心到直线的距离，∴曲线C1与C2相离．22．（12分）已知圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l与圆C相交的弦长．【解答】解：（Ⅰ）由ρ＝2cosθ⇒ρ2＝2ρcosθ⇒x2+y2﹣2x＝0⇒（x﹣1）2+y2＝1，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）的普通方程为x﹣y﹣2＝0；（Ⅱ）圆心到直线距离为：d＝＝．∴弦长|AB|＝2＝．。
陕西省黄陵中学高三数学下学期开学考试试题 文(普通班)
陕西省黄陵中学2018届高三数学下学期开学考试试题 文（普通班）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0,2,4,6}A =，{|28}nB n N =∈<，则集合A B 的子集个数为（ ）A ． 8B ． 7C ． 6D ．42.已知复数z 满足(12)3i z iz +=+，则复数z 对应的点所在象限是（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角,αβ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于,A B 两点，若点,A B 的坐标分别为34(,)55和43(,)55-，则cos()αβ+的值为（ ）A ．2425 B ．725- C ． 0 D ．2425- 4.某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积是（ ）A ．2B ．3C. 2 D ．3 5.函数f(x)＝xe－|x |的图象可能是( )A B C D 6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为( )A. 5B.2 2C.3D.2 37.已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<2π)的图象向右平移π3个单位长度后，得到函数g(x)＝cos 2x 的图象，则下列是函数y ＝f (x )的图象的对称轴方程的为( ) A.x ＝π6 B.x ＝π12 C.x ＝π3D.x ＝08.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配).”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得( ) A.一鹿、三分鹿之一 B.一鹿 C.三分鹿之二 D.三分鹿之一9.已知三棱锥S A B C -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形,2,2,AB SA SB SC ====则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是（A （B ）1 （C （D ）210.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为A ．83 B ．163C ．323D ．1611.设关于y x ,的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-<+>+-00012m y m x y x 表示的平面区域内存在点),(00y x P 满足2200=-y x ，则m 的取值范围是（A ）)34,(--∞ （B ）)0,32(- （C ）)31,(--∞ （D ）)32,(--∞12.已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为 A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)4,6ππ第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z的共轭复数，则复数z的模长为（）A．2B．﹣1C．5D．2．（5分）下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2﹣1＜0”的否定是：∀x∈R，均有x2﹣1＜0B．命题“若x＝3，则x2﹣2x﹣3＝0”的否命题是：若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0C．“”是“”的必要而不充分条件D．命题“cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题是真命题3．（5分）下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；③线性回归方程必经过点；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说现有100人吸烟，那么其中有99人患肺病．其中错误的个数是（）A．0B．1C．2D．34．（5分）抛物线的准线方程是（）A．B．C．y＝2D．y＝﹣25．（5分）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）下列函数f（x）中，满足“∀x1x2∈（0，+∞）且x1≠x2有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f （x2）]＜0”的是（）A．f（x）＝﹣x B．f（x）＝x3C．f（x）＝lnx+e x D．f（x）＝﹣x2+2x7．（5分）曲线y＝x•e x在x＝1处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．18．（5分）不等式＞0的解集是（）A．（，+∞）B．（4，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）9．（5分）用反证法证明命题“若a2+b2＝0（a，b∈R），则a，b全为0”，其反设正确的是（）A．a，b至少有一个为0B．a，b至少有一个不为0C．a，b全部为0D．a，b中只有一个为010．（5分）下列说法正确的是（）A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B．ai是纯虚数（a∈R）C．如果复数x+yi（x，y∈R）是实数，则x＝0，y＝0D．复数a+bi（a，b∈R）不是实数11．（5分）已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是﹣2+i，3+2i，则向量所表示的复数的模为（）A．B．C．D．12．（5分）运行如图所示的程序框图．若输入x＝5，则输出y的值为（）A．49B．25C．33D．7二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设x、y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为．14．（5分）曲线y＝xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为．15．（5分）某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，5，x，4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C 完成后，D可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C需要的天数x最大是．16．（5分）已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，应出写文字说明或演算步骤）17．（10分）（1）已知（2x﹣1）+i＝y﹣（3﹣y）i，其中x，y∈R，求x与y．（2）已知x2﹣y2+2xyi＝2i，求实数x，y的值．18．（12分）已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）＝f（x）+f （y），f（3）＝1．（1）求f（9），f（27）的值；（2）解不等式f（x）+f（x﹣8）＜2．19．（12分）（Ⅰ）求下列各函数的导数：（1）；（2）；（Ⅱ）过原点O作函数f（x）＝lnx的切线，求该切线方程．20．（12分）设点O为坐标原点，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，过点O且斜率为的直线与直线AB相交M，且．（Ⅰ）求证：a＝2b；（Ⅱ）PQ是圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．21．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2＝25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．22．（12分）已知关于x的方程x2+（k+2i）x+2+ki＝0有实根，求这个实根以及实数k的值．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：复数z的共轭复数，可得z＝2﹣i，则|z|＝＝．故选：D．2．【解答】解：对于A，“∃x∈R，使得x2﹣1＜0”的否定是：∀x∈R，均有x2﹣1≥0，命题A错误；对于B，“若x＝3，则x2﹣2x﹣3＝0”的否命题是：若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0，命题B 正确；对于C，时，，充分性成立；时，α＝kπ+或α＝kπ+，k∈Z，必要性不成立；是充分不必要条件，命题B错误；对于D，命题“cos x＝cos y，则x＝y”是假命题，则它的逆否命题也是假命题，∴命题D错误．故选：B．3．【解答】解：对于①，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，∴①错误；对于②，回归方程中，变量x增加1个单位时，y平均减少3个单位，∴②错误；对于③，线性回归方程必经过样本中心点，∴③正确；对于④，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误，∴④错误．综上，错误的命题个数是3．故选：D．4．【解答】解：整理抛物线方程得x2＝﹣8y，∴p＝4，∵抛物线方程开口向下，∴准线方程是y＝2，故选：C．5．【解答】解：∵甲、乙两人各射击一次，目标没被命中的概率为（1﹣）×（1﹣）＝，∴甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为1﹣＝．故选：A．6．【解答】解：若“∀x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0”，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，A中，f（x）＝﹣x在（0，+∞）上为减函数，B中，f（x）＝x3在（0，+∞）上为增函数，C中，f（x）＝lnx+e x在（0，+∞）上为增函数，D是，f（x）＝﹣x2+2x在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，故选：A．7．【解答】解：曲线y＝x•e x，可得y′＝e x+xe x，曲线y＝x•e x在x＝1处切线的斜率：e+e＝2e．故选：A．8．【解答】解：原不等式等价于（2x﹣1）（x+3）＞0，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）；故选：D．9．【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选：B．10．【解答】解：如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等；满足复数相等的条件，所以A正确；ai是纯虚数（a∈R）；a＝0时复数是实数，所以B不正确；复数x+yi（x，y∈R）是实数，如果则x＝0，y＝0；只需y＝0，复数x+yi（x，y∈R）是实数，所以C不正确；复数a+bi（a，b∈R）不是实数，当b＝0时，复数是实数，所以D不正确．故选：A．11．【解答】解：向量＝+，∴所表示的复数＝﹣2+i+3+2i＝1+3i，||＝＝．故选：C．12．【解答】解：若输入x＝5，第一次执行循环体得到y＝9，执行否，则x＝9；第二次执行循环体得到y＝17，执行否，则x＝17；第三次执行循环体得到y＝33，执行是，则输出y＝33．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z＝x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max＝1+4×1＝5．故答案为：5．14．【解答】解：y′＝e x+x•e x+2，y′|x＝0＝3，∴切线方程为y﹣1＝3（x﹣0），∴y＝3x+1．故答案为：y＝3x+115．【解答】解：因为A完成后，C才可以开工，C完成后，D才可以开工，完成A、C、D需用时间依次为2，x，4天，且A，B可以同时开工，该工程总时数为9天，∴2+x max+4＝9⇒x max＝3．故答案为：316．【解答】解：由题意，不妨设双曲线的方程为∵F（3，0）是E的焦点，∴c＝3，∴a2+b2＝9．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有：①；②由①﹣②得：＝∵AB的中点为N（﹣12，﹣15），∴又AB的斜率是∴，即4b2＝5a2将4b2＝5a2代入a2+b2＝9，可得a2＝4，b2＝5∴双曲线标准方程是故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分，应出写文字说明或演算步骤）17．【解答】解：（1）根据复数相等的充要条件得，解得x＝，y＝4．（2）∵x2﹣y2+2xyi＝2i，∴，解得或．18．【解答】解：（1）f（9）＝f（3）+f（3）＝2，f（27）＝f（9）+f（3）＝3（2）∵f（x）+f（x﹣8）＝f[x（x﹣8）]＜f（9）而函数f（x）是定义在（0，+∞）上为增函数，∴即原不等式的解集为（8，9）19．【解答】解：（Ⅰ）（1），∴y′＝＝；（2）；（Ⅱ）设切点为T（x0，lnx0），∵，，解x0＝e，所以切点为T（e，1），切线的斜率为，故切线方程为．20．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵A（a，0），B（0，b），，即为（a﹣x M，0﹣y M）＝（x M﹣0，y M﹣b），即有a﹣x M＝x M，﹣y M＝（y M﹣b），所以，∴，解得a＝2b；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＝2b，∴椭圆E的方程为，即x2+4y2＝4b2（1）依题意，圆心C（2，1）是线段PQ的中点，且．由对称性可知，PQ与x轴不垂直，设其直线方程为y＝k（x﹣2）+1，代入（1）得：（1+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+4（2k﹣1）2﹣4b2＝0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由得，解得．从而x1x2＝8﹣2b2．于是解得b2＝4，a2＝16，∴椭圆E的方程为．21．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2＝25，∴x2+y2+12x+11＝0，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosα，y＝ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11＝0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴t＝，代入y＝t sinα，得：直线l的一般方程y＝tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|＝，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r＝5，圆心到直线的距离d＝．∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d＝＝，解得tan2α＝，∴tanα＝±＝±．∴l的斜率k＝±．22．【解答】解：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得（+kx0+2）+（2x0+k）i＝0．由复数相等的条件得+kx0+2＝2x0+k＝0，解得，或．∴方程的实根为x ＝或x ＝﹣，相应的k的值为k＝﹣2或k＝2．第11页（共11页）。
陕西省黄陵中学2017届高三(重点班)下学期高考前模拟(一)数学(文)试题含答案
黄陵中学2017届高三重点班高考考前模拟考试（一）数 学 （ 文 )一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U R =，}02|{<-=x xx A ， }22|{<=x x B ，则图中阴影部分表示的集合为( ) .A {1}x x ≥ .B {12}x x ≤<.C {01}x x <≤.D {1}x x ≤2。
“p 或q 是假命题”是“非p 是真命题”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件.D 既不充分也不必要条件3.若34sin (cos )55z i θ-θ=+-是纯虚数,则=θtan （ ） .A 34± .B 43± .C 34-.D 344.对具有线性相关关系的变量x y 、，有一组观测数据(,)(1,2,3,,8)i i x y i =⋅⋅⋅,其回归方程为16y x a =+，且12386x x x x +++⋅⋅⋅+=，12389y y y y +++⋅⋅⋅+=，则实数a 的值是（ ）.A 2-.B 2.C 1-.D 15.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a 成等差数列，若11a =，则10S =( ）.A 512.B 511.C 1024.D 10236.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，376a a +=-,1(1)S S k k =++则当n S 取得最小值时，n 等于( ).A 6.B 7.C 8.D 97。
已知4a =，e 为单位向量，当a e 、的夹角为32π时，a e +在a e -上的投影为（ ) .A 5.B 154.C 131315.D 7215 8.设ABC ∆的内角A B C 、、所对边的长分别为a b c 、、，若2b c a +=,3sin 5sin A B =,则角C =( ）.A 3π.B 23π.C 34π.D 56π 9。
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2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高三（下）开学数学试卷（文科）（重点班）一、选择题：（共12题，每题5分，只有一个正确选项）1．（5分）抛物线的准线方程为（）A．x=﹣1 B．y=﹣1 C．D．2．（5分）若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2） C．（1，+∞）D．（0，1）3．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11 B．9 C．5 D．34．（5分）已知条件p：|x﹣1|＜2，条件q：x2﹣5x﹣6＜0，则p是q的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件5．（5分）一动圆P过定点M（﹣4，0），且与已知圆N：（x﹣4）2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A．B．C．D．6．（5分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，2）7．（5分）图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入m=209，n=121，则输出m的值等于（）A．10 B．11 C．12 D．138．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“已知A，B为一个三角形两内角，若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题9．（5分）某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，三视图中的正视图和侧视图如图所示，求该几何体的表面积（）A．60πB．75πC．90πD．93π10．（5分）已知函数f（x）=（a＞0且a≠1）在R上单调递减，则a 的取值范围是（）A．[，1）B．（0，]C．[，]D．（0，]11．（5分）已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f （﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{a n}是等差数列，若a2=3，a7=13，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2015）=（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3二、填空题：（共4题，每小题5分）13．（5分）已知抛物线y=ax2的准线方程为y=﹣2，则实数a的值为．14．（5分）已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为．15．（5分）设向量=（sin15°，cos15°），=（cos15°，sin15°），则向量+与﹣的夹角为．16．（5分）已知点M（a，b ）在不等式组确定的平面区域内运动，则动点N（a+b，a﹣b）所在平面区域的面积为．三、简答题：（共6题，计70分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC 的面积为，求b，c．18．（12分）某单位生产A、B两种产品，需要资金和场地，生产每吨A种产品和生产每吨B 种产品所需资金和场地的数据如表所示：现有资金12万元，场地400平方米，生产每吨A种产品可获利润3万元；生产每吨B种产品可获利润2万元，分别用x，y表示计划生产A、B两种产品的吨数．（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问A、B两种产品应各生产多少吨，才能产生最大的利润？并求出此最大利润．19．（12分）双曲线C的中心在原点，右焦点为F（，0），渐近线方程为y=±x．（1）求双曲线C的方程；（2）设点P是双曲线上任一点，该点到两渐近线的距离分别为m、n．证明m•n是定值．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且a2=2b．（1）求椭圆的方程；（2）直线l：x﹣y+m=0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2+y2=5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=x2+（2m﹣1）x﹣mlnx．（1）当m=1时，求曲线y=f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若对任意m∈（2，3）及x∈[1，3]时，恒有mt﹣f（x）＜1成立，求实数t的取值范围．22．（10分）某石材加工厂可以把甲、乙两种类型的大理石板加工成A，B，C三种规格的小石板，每种类型的大理石板可以同时加工成三种规格小石板的块数如表所示：某客户至少需要订购A，B两种规格的石板分别为20块和22块，至多需要C规格的石板100块，分别用x，y表示甲、乙两种类型的石板数．（1）用x，y列出满足客户要求的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）加工厂为满足客户的需求，需要加工甲、乙两种类型的石板各多少块，才能使所用石板总数最少？2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高三（下）开学数学试卷（文科）（重点班）参考答案与试题解析一、选择题：（共12题，每题5分，只有一个正确选项）1．（5分）（2016秋•兴庆区校级期末）抛物线的准线方程为（）A．x=﹣1 B．y=﹣1 C．D．【分析】把抛物线转化为标准式方程为x2=4y，得到焦点在y轴上以及p=2，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：把抛物线转化为标准式方程为x2=4y，∴抛物线焦点在y轴上，且p=2，即其准线方程为y=﹣1．故选B．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．2．（5分）（1994•全国）若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2） C．（1，+∞）D．（0，1）【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k 的范围．【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆∴故0＜k＜1故选D．【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．3．（5分）（2015•福建）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E 上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11 B．9 C．5 D．3【分析】确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．【解答】解：由题意，双曲线E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选：B．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．4．（5分）（2012秋•临夏县期末）已知条件p：|x﹣1|＜2，条件q：x2﹣5x﹣6＜0，则p是q 的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【分析】通过解不等式，先化简条件p，q，再判断出条件p，q中的数构成的集合间的关系，判断出p是q的什么条件．【解答】解：条件p：|x﹣1|＜2即﹣1＜x＜3，条件q：x2﹣5x﹣6＜0即﹣1＜x＜6，∵{x|﹣1＜x＜6}⊃{x|﹣1＜x＜3}，∴p是q的充分不必要条件．故选B【点评】判断应该条件是另一个条件的什么条件，应该先化简，若各个条件是数构成的，可将判断条件问题转化为判断集合的关系问题．5．（5分）（2016秋•兴庆区校级期末）一动圆P过定点M（﹣4，0），且与已知圆N：（x﹣4）2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A．B．C．D．【分析】动圆圆心为P，半径为r，已知圆圆心为N，半径为4 由题意知：PM=r，PN=r+4，所以|PN﹣PM|=4，即动点P到两定点的距离之差为常数4，P在以M、C为焦点的双曲线上，且2a=4，2c=8，从而可得动圆圆心P的轨迹方程．【解答】解：动圆圆心为P，半径为r，已知圆圆心为N，半径为4 由题意知：PM=r，PN=r+4，所以|PN﹣PM|=4，即动点P到两定点的距离之差为常数4，P在以M、C为焦点的双曲线上，且2a=4，2c=8，∴b=2，∴动圆圆心M的轨迹方程为：．故选：C．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（5分）（2005•重庆）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，2）【分析】偶函数图象关于y轴对称，所以只需求出（﹣∞，0]内的范围，再根据对称性写出解集．【解答】解：当x∈（﹣∞，0]时f（x）＜0则x∈（﹣2，0]．又∵偶函数关于y轴对称．∴f（x）＜0的解集为（﹣2，2），故选D．【点评】本题考查了偶函数的图象特征．在解决函数性质问题时要善于使用数形结合的思想．7．（5分）（2015•新余二模）图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入m=209，n=121，则输出m的值等于（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】先求出m除以n的余数，然后利用辗转相除法，将n的值赋给m，将余数赋给n，进行迭代，一直算到余数为零时m的值即可．【解答】解：当m=209，n=121，m除以n的余数是88此时m=121，n=88，m除以n的余数是33此时m=88，n=33，m除以n的余数是22此时m=33，n=22，m除以n的余数是11，此时m=22，n=11，m除以n的余数是0，此时m=11，n=0，退出程序，输出结果为11，故选：B．【点评】算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．8．（5分）（2016秋•尖山区校级期末）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“已知A，B为一个三角形两内角，若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题【分析】写出命题的否命题判断A；由两直线垂直与系数的关系求得m判断B；写出特称命题的否定判断C；由充分必要条件的判定方法判断D．【解答】解：命题“若x2=1，则x=1的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；由1×1﹣m2=0，得m=±1，∴“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充分不必要条件，故B错误；命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C错误；由三角形中，A=B⇔a=b⇔sinA=sinB，得：命题“已知A，B为一个三角形两内角，若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的否定与否命题，考查充分必要条件的判定方法，属中档题．9．（5分）（2016秋•尖山区校级期末）某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，三视图中的正视图和侧视图如图所示，求该几何体的表面积（）A．60πB．75πC．90πD．93π【分析】由正视图与侧视图可知：圆柱的底面直径为6，高为7，球的直径为6，圆锥的底面直径为6，高为4，代入公式，可得答案．【解答】解：由正视图与侧视图可知：圆柱的底面直径为6，高为7，球的直径为6，圆锥的底面直径为6，高为4．可得该几何体的表面积S=2π×3×7+π×3×+2π×32=75π，故选：B．【点评】本题考查了圆柱、圆锥、球的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2016秋•尖山区校级期末）已知函数f（x）=（a＞0且a ≠1）在R上单调递减，则a的取值范围是（）A．[，1）B．（0，]C．[，]D．（0，]【分析】根据分段函数是在R上单调递减，可得0＜a＜1，故而二次函数在（单调递减，可得．且[x2+（4a﹣3）x+3a]min≥[log a（x+1）+1]max即可得a的取值范围．【解答】解：由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数需满足0＜a＜1，根据二次函数开口向上，在（单调递减，可得，即，解得：．且[x2+（4a﹣3）x+3a]min≥[log a（x+1）+1]max故而得：3a≥1，解得：a．∴a的取值范围是[，]，故选：C．【点评】本题考查了分段函数的单调性的运用求解参数问题，属于基础题．11．（5分）（2012•烟台一模）已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．B．C．D．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：，故选C．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．12．（5分）（2016秋•尖山区校级期末）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{a n}是等差数列，若a2=3，a7=13，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2015）=（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3【分析】确定f（x）为周期为3的函数，数列{a n}的通项公式，即可得出结论．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数且满足f（﹣x）=f（x），有f（﹣x）=﹣f（﹣x），则f（3﹣x）=﹣f（﹣x）=f（﹣x），即f（3﹣x）=f（﹣x），∴f（x）为周期为3的函数，∵数列{a n}是等差数列，若a2=3，a7=13，∴a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1，∴f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2015）=f（1）+f（3）+f（5）+…+f（4029），∵f（﹣2）=﹣3，f（0）=0，∴f（1）=﹣3，∴f（1）+f（3）+f（5）=0，∴f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2015）=f（1）+f（3）+f（5）+…+f（4029）=f（1）+f（3）=﹣3，故选B．【点评】本题综合考查了函数的周期性、奇偶性、数列的概念和通项公式等知识，考查比较综合，属于中档题．二、填空题：（共4题，每小题5分）13．（5分）（2013•牡丹江一模）已知抛物线y=ax2的准线方程为y=﹣2，则实数a的值为．【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2=my的形式，再根据其准线方程为y=﹣，即可求之．【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=﹣2，所以a=．故答案为：．【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式．14．（5分）（2013•牡丹江一模）已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为2π．【分析】如图，将三棱锥放入棱长为的正方体，可得正方体的内切球恰好是与三棱锥各条棱都相切的球，根据三棱锥棱长算出正方体的棱长为，由此算出内切球半径，用公式即可得到该球的表面各．【解答】解：将棱长均为2的三棱锥放入棱长为的正方体，如图∵球与三棱锥各条棱都相切，∴该球是正方体的内切球，切正方体的各个面切于中心，而这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点由此可得该球的直径为，半径r=∴该球的表面积为S=4πr2=2π故答案为：2π【点评】本题给出棱长为2的正四面体，求它的棱切球的表面积，着重考查了正多面体的性质、多面体内切球和球的表面积公式等知识，属于基础题．15．（5分）（2016秋•尖山区校级期末）设向量=（sin15°，cos15°），=（cos15°，sin15°），则向量+与﹣的夹角为90°．【分析】由已知向量的坐标求得向量+与﹣的坐标，再结合两向量的数量积为0得答案．【解答】解：∵=（sin15°，cos15°），=（cos15°，sin15°），∴+=（sin15°+cos15°，sin15°+cos15°），﹣=（sin15°﹣cos15°，cos15°﹣sin15°）．∵（+）•（﹣）=sin215°﹣cos215°+cos215°﹣sin215°=0．∴向量+与﹣的夹角为90°．故答案为：90°．【点评】本题考查平面向量的坐标加减法运算，考查由数量积求夹角公式，是基础的计算题．16．（5分）（2013•牡丹江一模）已知点M（a，b）在不等式组确定的平面区域内运动，则动点N（a+b，a﹣b）所在平面区域的面积为16．【分析】将点的坐标设出，据已知求出点的横坐标、纵坐标满足的约束条件，画出可行域，求出图象的面积．【解答】解：令s=a+b，t=a﹣b，则P（a+b，a﹣b）为P（s，t）由s=a+b，t=a﹣b可得2a=s+t，2b=s﹣t因为a，b是正数，且a+b≤4有，在直角坐标系上画出P（s，t）s横坐标，t纵坐标，即可得知面积为：=16．故答案为：16．【点评】求出点满足的约束条件，画出不等式组表示的平面区域，求出图象的面积，属于基础题．三、简答题：（共6题，计70分）17．（12分）（2016秋•尖山区校级期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【分析】（Ⅰ）法一：由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，化简可得cosA，结合范围A∈（0，π），由特殊角的三角函数值即可得解A的值．法二：由已知及余弦定理，整理可求cosA，结合范围A∈（0，π），由特殊角的三角函数值即可得解A的值．（Ⅱ）利用三角形面积公式可求bc的值，进而利用余弦定理可求b2+c2=8，联立即可得解b，c的值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）法一：由（2b﹣c）cosA﹣acosC=0及正弦定理得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC=0，所以2sinBcosA﹣sin（A+C）=0，…（2分）因为sinB=sin（A+C）＞0，所以，…（4分）因为A∈（0，π），所以．…（6分）法二：由（2b﹣c）cosA﹣acosC=0及余弦定理得，整理得b2+c2﹣a2=bc，…（2分）从而，…（4分）因为A∈（0，π），所以．…（6分）（Ⅱ）△ABC的面积，故bc=4．…（8分）而a2=b2+c2﹣2bccosA=4，故b2+c2=8，…（10分）所以b=c=2．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．18．（12分）（2017春•黄陵县校级月考）某单位生产A 、B 两种产品，需要资金和场地，生产每吨A 种产品和生产每吨B 种产品所需资金和场地的数据如表所示：现有资金12万元，场地400平方米，生产每吨A 种产品可获利润3万元；生产每吨B 种产品可获利润2万元，分别用x ，y 表示计划生产A 、B 两种产品的吨数． （1）用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问A 、B 两种产品应各生产多少吨，才能产生最大的利润？并求出此最大利润． 【分析】（1）利用已知条件列出约束条件，画出可行域即可． （2）写出目标函数，利用线性规划知识求解即可．【解答】解：（1）由已知，x ，y 满足的数学关系式为：即该二元一次不等式组所表示的平面区域为下图的阴影部分：（2）设利润为z 万元，则目标函数为z=3x +2y ． 将其变形为，这是斜率为，随z 变化的一族平行直线，为直线在y 轴上的截距，当取最大值时，z 的值最大． 因为x ，y 满足约束条件，所以当直线z=3x +2y 经过可行域上的点M 时，截距最大，即z 最大，解方程组得点M的坐标（3，2），∴z max=3×3+2×2=13．答：生产A种产品3吨、B种产品2吨时，利润最大为13万元．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，考查计算能力．19．（12分）（2016秋•兴庆区校级期末）双曲线C的中心在原点，右焦点为F（，0），渐近线方程为y=±x．（1）求双曲线C的方程；（2）设点P是双曲线上任一点，该点到两渐近线的距离分别为m、n．证明m•n是定值．【分析】（1）根据双曲线的性质即可求出双曲线的方程，（2）设P（x0，y0），根据点到直线的距离公式，即可求出m，n，计算m•n即可．【解答】解：（1）右焦点为F（，0），渐近线方程为y=±x．∴c=，=，∵c2=a2+b2，∴a2=，b2=1，∴双曲线C的方程位3x2﹣y2=1（2）设P（x0，y0），已知渐近线的方程为：该点到一条渐近线的距离为：到另一条渐近线的距离为，是定值．【点评】本题考查了双曲线的简单性质和点到直线的距离公式和定值问题，属于中档题20．（12分）（2016秋•尖山区校级期末）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且a2=2b．（1）求椭圆的方程；（2）直线l：x﹣y+m=0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2+y2=5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0）．联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得M的坐标，代入圆的方程，解方程可得m，进而判断不存在．【解答】解：（1）由题意得e==，a2=2b，a2﹣b2=c2，解得a=，b=c=1故椭圆的方程为x2+=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0）．联立直线y=x+m与椭圆的方程得，即3x2+2mx+m2﹣2=0，△=（2m）2﹣4×3×（m2﹣2）＞0，即m2＜3，x1+x2=﹣，所以x0==﹣，y0=x0+m=，即M（﹣，）．又因为M点在圆x2+y2=5上，可得（﹣）2+（）2=5，解得m=±3与m2＜3矛盾．故实数m不存在．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查存在性问题的解法，属于中档题．21．（12分）（2016秋•尖山区校级期末）已知函数f（x）=x2+（2m﹣1）x﹣mlnx．（1）当m=1时，求曲线y=f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若对任意m∈（2，3）及x∈[1，3]时，恒有mt﹣f（x）＜1成立，求实数t的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可；（3）问题等价于mt﹣1＜f（x）min，通过讨论m 的范围，求出t的范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当m=1时，，解得x=﹣1（舍去），，在上递减，在上递增，所以f（x）的极小值为．（2），令f'（x）=0可得．①当m≥0时，由f'（x）＜0可得f（x）在上单调递减，由f'（x）＞0可得f（x）在上单调递增．②当时，由f'（x）＜0可得f（x）在上单调递减，由f'（x）＞0可得f（x）得在（0，﹣m）和上单调递增．③当时，由可得f（x）在（0，+∞）上单调递增．④当时，由f'（x）＜0可得f（x）在上单调递减，由f'（x）＞0可得f（x）得在和（﹣m，+∞）上单调递增．（3）由题意可知，对∀m∈（2，3），x∈[1，3]时，恒有mt﹣1＜f（x）成立，等价于mt﹣1＜f（x）min，由（2）知，当m∈（2，3）时，f（x）在[1，3]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=2m，所以原题等价于∀m∈（2，3）时，恒有mt﹣1＜2m成立，即．在m∈（2，3）时，由，故当时，mt﹣1＜2m恒成立，∴．【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．22．（10分）（2016秋•蓟县期末）某石材加工厂可以把甲、乙两种类型的大理石板加工成A，B，C三种规格的小石板，每种类型的大理石板可以同时加工成三种规格小石板的块数如表所示：某客户至少需要订购A，B两种规格的石板分别为20块和22块，至多需要C规格的石板100块，分别用x，y表示甲、乙两种类型的石板数．（1）用x，y列出满足客户要求的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）加工厂为满足客户的需求，需要加工甲、乙两种类型的石板各多少块，才能使所用石板总数最少？【分析】（1）根据某客户至少需要订购A，B两种规格的石板分别为20块和22块，至多需要C规格的石板100块，分别用x，y表示甲、乙两种类型的石板数，可用x，y列出满足客户要求的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）设需要加工甲、乙两种类型的板材数为z，则目标函数z=x+y，利用作出可行域，得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：（I）由题意得…（3分）二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分．…（6分）（Ⅱ）设需要加工甲、乙两种类型的板材数为z，则目标函数z=x+y，作出直线l0：x+y=0，平移直线l0，如图，易知直线经过点A时，z取到最小值，解方程组得点A的坐标为A（8，6），…（10分）所以最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．答：加工厂为满足客户需求，最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．…（13分）【点评】本题考查简单的线性规划，考查了简单的数学建模思想方法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．21页。