广东潮州市饶平县凤洲中学14-15学年高二下学期期中考试理科数学试题

饶平县凤洲中学2014—2015学年高二级下学期期中考试数学试题班别_______学号_____ 姓名__________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.函数y=x 2cosx 的导数为( )(A) y ′=2xcosx －x 2sinx (B) y ′=2xcosx+x 2sinx (C) y ′=x 2cosx －2xsinx (D) y ′=xcosx －x 2sinx 2.下列结论中正确的是( ) (A)导数为零的点一定是极值点(B)如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值 (C)如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值 (D)如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值3.某个命题与正整数有关，若当)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当=n 1+k 时该命题也成立，现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得( )(A)当6=n 时，该命题不成立 (B)当6=n 时，该命题成立(C)当4=n 时，该命题成立 (D)当4=n 时，该命题不成立 34.()34([0,1])1()1()()0()12f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( )5.如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为（ ）(A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J 6.给出以下命题：⑴若()0b af x dx >⎰，则f(x)>0；⑵20sin 4xdx =⎰π;⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T 为周期的函数，则()()a a T Tf x dx f x dx+=⎰⎰；其中正确命题的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)07.若复数2(2)(11)()a a a i a R --+--∈不是纯虚数，则a 的取值范围是( ) (A)1a ≠-或2a ≠ (B)1-≠a 且2≠a (C) 1a ≠- (D) 2≠a8.设0<a <b ，且f (x)＝x x++11，则下列大小关系式成立的是( ).(A)f (a )< f (2b a +)<f (ab ) (B)f (2ba +)<f (b)< f (ab ) ab 2b a +a 2ba +ab9.已知(2x －1)+i=y －(3－y)i ，其中x, y ∈R ，求x= ， y= ．10.曲线y=2x 3－3x 2共有____个极值.11.已知)(x f 为一次函数，且1()2()f x x f t dt=+⎰，则)(x f =_______.12.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:“___________________________”这个类比命题的真假性是________13.观察下列式子 2222221311511171,1,1222332344+<++<+++<, … … , 则可归纳出________________________________14.关于x 的不等式20()mx nx p m n p R -+>∈、、的解集为(1 2)-，，则复数m pi +所对应的点位于复平面内的第________象限．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分12分)一物体沿直线以速度()23v t t =-（t 的单位为:秒,v 的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程?16. (本小题满分12分) 已知曲线 y = x 3 + x －2 在点 P 0 处的切线 1l 平行直线 4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限,⑴求P 0的坐标; ⑵若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点P 0,求直线l 的方程.17. (本小题满分14分)已知函数32()(1)48(2)f x ax a x a x b =+-+-+的图象关于原点成中心对称, 试判断()f x 在区间[]4,4-上的单调性,并证明你的结论.18. (本小题满分14分)如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ，1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222.拓展到空间，类比三角形的余弦定理， 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中 两个侧面所成的二面角之间的关系式， 并予以证明.19. (本小题满分14分)已知、a b R ∈,a b e >>(其中e 是自然对数的底数),求证:a bb a >.(提示:可考虑用分析法找思路)20. (本小题满分14分)已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数1()()(0)()g x af x x f x '=+≠'⑴当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;⑵若0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值;⑶在⑵的条件下,求直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积.饶平县凤洲中学2014—2015学年高二级下学期期中考试数学评分标准ABDAD BCD 9.x=25, y=4； 10.两 11.()1f x x =- 12.夹在两个平行平面间的平行线段相等；真命题.13.22211121123(1)1n n n +++++<++(n ∈N *) 14.二15.解:∵当302≤≤t 时,()230≤v t t =-; 当352≤≤t 时,()230≥v t t =-.∴物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程352302(32)(23)S t dx t dx =-+-⎰⎰=9929(10)442++=(米)16.解:⑴由y=x 3+x －2，得y ′=3x 2+1，由已知得3x 2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4. 又∵点P 0在第三象限,∴切点P 0的坐标为 (－1,－4).⑵∵直线1l l ⊥,1l 的斜率为4,∴直线l 的斜率为14-,∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为 (－1,－4)∴直线l 的方程为14(1)4y x +=-+即4170x y ++=.17.解: 答f(x)在[-4,4]上是单调递减函数. 证明:∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)是奇函数,所以a=1,b=0,于是f(x)=348.x x -2()348,f x x '∴=-∴当(4,4)()0x f x '∈-∴<又∵函数()f x 在[]4,4-上连续所以f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.18.(1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ； (2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角. ∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MN P∠,在PMN∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MN PN PM MNPCC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222， 由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=.19.证明:∵0,0a bb a >>∴要证: a b b a >只要证:ln ln a b b a >只要证ln ln b aba >.(∵a b e >>) 取函数ln ()x f x x =,∵21ln ()x f x x -'=∴当x e >时,()0f x '<,∴函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减.∴当a b e >>时,有()()f b f a >即ln ln b ab a >.得证20.解:⑴∵()ln f x x=,∴当0x >时,()ln f x x =; 当0x <时,()ln()f x x =- ∴当0x >时,1()f x x '=; 当0x <时,11()(1)f x x x '=⋅-=-. ∴当0x ≠时,函数()ay g x x x ==+. ⑵∵由⑴知当0x >时,()ag x x x =+, ∴当0,0a x >>时, ()≥g xx =.∴函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是∴依题意得2=∴1a =.⑶由27361y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得2121322,51326x x y y ⎧==⎧⎪⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩ ∴直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积232271()()36S x x dx x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎰=7ln 324-。