广东省潮州市饶平县饶平二中2019-2020学年度高一下学期开学考试数学科试卷
【同步检测】广东省潮州市2019-2020学年度第二学期高一期中考试数学试题
2019～2020学年度第二学期高一级数学科期中考试卷 考试时间：120分钟一．选择题（共12小题，每小题5分）1．若函数f(x)＝a x ＋1－3(a ＞0，a ≠1)的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则tan θ的值等于( )A ．2 B.12C ．－2 D.－122．已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则2019cos()2πα-的值为( )A. -B.C ．2- D.－123．已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t)，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3B ．－2C ．2D ．3 4．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A.23 B.－23 C.13 D.－135．下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f(x)＝|cos2x|B ．f(x)＝|sin2x|C ．f(x)＝cos|x|D ．f(x)＝sin|x|6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A ．－2B ．－ 2 C. 2 D ．27．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD →＝2DC →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)．若AO →＝xAB→＋(1－x)AC →，则x 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，238．函数y ＝2|x|sin2x 的图象可能是( )9．已知|a|＝|b|＝2，a ·b ＝0，c ＝12(a ＋b)，|d －c|＝2，则|d|的取值范围是( )A ．[0,22]B ．[0,2]C ．[0，2]D ．[0,1]10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CB ＝2，CA ＝4，P 在边AC 的中线BD 上，则CP →·BP →的最小值为( )A ．－12B ．0C ．4D ．－111．已知函数f(x)＝sinx －sin3x ，x ∈[0,2π]，则f(x)的所有零点之和等于( )A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π12．已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π2)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A(－π6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6二．填空题（共4小题，每小题5分）13．设向量a ＝(3，－4)，a ＋b ＝(t,8)，c ＝(－1，－1)，若b ∥c ，则t ＝________. 14．已知函数f(x)＝1＋2sin(2x －π3)，x ∈[π4，π2]．若不等式f(x)－m<2在x ∈[π4，π2]上恒成立，则实数m的取值范围为 .15．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间[π6，π2]上具有单调性，且f(π2)＝f(2π3)＝－f(π6)，则f(x)的最小正周期为 .16.已知函数f(x)＝2sin(2x＋π6)，记函数f(x)在区间[t，t＋π4]上的最大值为M，最小值为m，设函数h(t)＝Mt －mt.若t∈[π12，5π12]，则函数h(t)的值域为 . 三．解答题（共70分）17．（本小题10分）某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2 )在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为(5π12，0)，求θ的最小值．18（本小题12分）（1）已知tan α＝－43，求sin 2α＋2sin αcos α的值．（2）在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，Q 是BC 的中点，AQ与CP 的交点为M ，又CM ―→＝t CP ―→，求实数t 的值．19．（本小题12分）已知向量a ＝(mx 2，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1mx －1，x (m 是常数)，且f(x)＝1a ·b .(1)若f(x)是奇函数，求m 的值；(2)设函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x2，讨论当实数m 变化时，函数g(x)的零点个数．20．（本小题12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A(1,0)，B(cos θ，t)，(1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标； (2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．21．（本小题12分）已知a>0，函数f(x)＝－2asin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a ，b 的值； (2)设g(x)＝f(x ＋π2)且lg[g(x)]>0，求g(x)的单调区间．22. （本小题12分）已知圆22:()()1(0)C x a y b a -+-=>关于直线320x y -=对称，且与直线3410x y -+=． （1）求圆C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与圆C 交于M ，N 两点，是否存在直线l ，使得6OM ON ⋅=u u u u r u u u r（O 为坐标原点）若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．2019～2020学年度第二学期高一级数学科期中考试卷答案一．选择题ABCBA CCDAA CA二．填空题13. 15 14. (1，＋∞) 15. π 16.[1,22] 三．解答题17 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f(x)＝5sin(2x －π6)．……………………5分(2)由(1)知f(x)＝5sin(2x －π6)，则g(x)＝5sin(2x ＋2θ－π6)．因为函数y ＝sinx 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z. 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z. ……………………8分 由于函数y ＝g(x)的图象关于点(5π12，0)成中心对称， 所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z. ……………………9分由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.……………………10分18(1)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝169－83169＋1＝－825.……………………6分 （2）因为CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，所以3CP ―→＝2CA ―→＋CB ―→，即2CP ―→－2CA ―→＝CB ―→－CP ―→，所以2AP ―→＝PB ―→.即P 为AB 的一个三等分点(靠近A 点)， 又因为A ，M ，Q 三点共线，设AM ―→＝λAQ ―→.所以CM ―→＝AM ―→－AC ―→＝λAQ ―→－AC ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ―→＋12 AC ―→－AC ―→＝λ2AB ―→＋λ－22AC ―→，又CM ―→＝t CP ―→＝t(AP ―→－AC ―→)＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB ―→－AC ―→＝t 3AB ―→－t AC ―→.故⎩⎪⎨⎪⎧λ2＝t 3，λ－22＝－t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.……………………12分19解：(1)由题意知，a ·b ＝mx 2mx －1－x ＝x mx －1，所以f(x)＝mx －1x ＝m －1x.由题设，对任意的不为零的实数x ，都有f(－x)＝－f(x)，即m ＋1x ＝－m ＋1x恒成立，所以m ＝0. ……………………6分(2)由(1)知，g(x)＝m －2x －x2，则g(x)＝0⇔x 2－2mx ＋4＝0，Δ＝4(m 2－4)．………………9分所以当m>2或m<－2时，函数g(x)有两个零点； 当m ＝±2时，函数g(x)有一个零点；当－2<m<2时，函数g(x)没有零点．……………………12分20解：(1)∵AB →＝(cos θ－1，t)，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t.①……………………1分又∵|AB→|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.②……………………3分由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1. ……………………4分 当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1， ∴B(－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)．……………………6分 (2)由(1)可知t ＝cos θ－12， ∴y ＝cos 2θ－cos θ＋(cos θ－1)24＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15，∴当cos θ＝35时，y min ＝－15.……………………12分21解：(1)∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]． ∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，……………………2分 又∵a>0，∴－2asin(2x ＋π6)∈[－2a ，a]． ∴f(x)∈[b,3a ＋b]， 又∵－5≤f(x)≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. ……………………5分 (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f(x)＝－4sin(2x ＋π6)－1， g(x)＝f(x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π6)－1，……………………7分又由lg[g(x)]>0，得g(x)>1，∴4sin(2x ＋π6)－1>1， ∴sin(2x ＋π6)>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，……………………9分其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g(x)单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g(x)的单调增区间为(k π，k π＋π6]，k ∈Z.又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g(x)单调递减，即k π＋π6<x<k π＋π3，k ∈Z.∴g(x)的单调减区间为(k π＋π6，k π＋π3)，k ∈Z. ……………………11分综上，g(x)的递增区间为(k π，k π＋π6](k ∈Z)；递减区间为(k π＋π6，k π＋π3)(k∈Z)．………12分22【解】…5分（2）假设存在直线l ，使得6=⋅ON OM ，设M （x 1，y 1）N （x 2，y 2），由⎩⎨⎧=-+-+=1)3()2(222y x kx y 得（1+k 2）x 2﹣（2k+4）x+4=0，……………………7分 由△=（2k+4）2﹣16（1+k 2）＞0得340<<k ，……………………8分 22:()()1(0)C x a y b a -+-=>22(2)(3)1x y -+-=且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+14142221221k x x k k x x ，……………………9分 ON OM ⋅=x 1x 2+y 1y 2=（1+k 2）x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4=（1+k 2）142+k +2k 1422++k k +4=6， 解得k=﹣1或31-=k ，不满足△＞0，所以不存在直线l ，使得6=⋅ON OM ．……………………12分。
广东省潮州市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析
正周期为
2π
，且
g
4
2
，则
f
3 8
（
）
A. 2
B. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
只需根据函数性质逐步得出 A,, 值即可．
C. 2
D. 2
【详解】因为 f (x) 为奇函数，∴ f (0) A sin 0， =k , k 0, 0 ；
又
g(x)
A sin
1 x,T 2
2 1
2 ,
2
2
，
A
2
，又
g(
)
2
4
∴ f (x) 2 sin 2x ， f (3 ) 2. 8
故选 C．
【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数 g x ．
7.在
ABC
中，点
D
在线段
BC
上，且
BD
2
DC
，点
O
在线段
CD
上（与点
C
，
D
不重
合）若 AO x AB 1 x AC ，则 x 的取值范围是（ ）
由二次函数的性质，可知：
当
1 4
时， CP
BP
取得最小值
1 2
．
故选： A ．
【点睛】本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量表示所求向量，最后转化为二次函数
求最值问题，本题属基础题．
11.已知函数 f (x) sin x sin 3x, x 0, 2 ，则 f (x) 的所有零点之和等于
2019～2020 学年度第二学期高一级数学科
期中考试卷 考试时间：120 分钟 一．选择题（共 12 小题，每小题 5 分）
广东省潮州市2019-2020学年度第二学期高一期中考试数学试题
π
5π
3
6
Asin(ωx＋φ)
05
－5 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f(x)的解析式；
(2)将 y＝f(x)图象上所有点向左平行移动 θ(θ>0)个单位长度，得到 y＝g(x)的图象．若 y＝g(x)
图象的一个对称中心为(51π2，0)，求 θ 的最小值．
18（本小题 12 分）（1）已知 tan α＝－43，求 sin2α＋2sin αcos α 的值． （2）在△ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且―C→P ＝23―C→A ＋13―C→B ，Q 是 BC 的中点，AQ 与 CP 的交
所以 m＝0. ……………………6 分
(2)由(1)知，g(x)＝m－2x－2x，则 g(x)＝0⇔x2－2mx＋4＝0，Δ＝4(m2－4)．………………9 分
所以当 m>2 或 m<－2 时，函数 g(x)有两个零点；
当 m＝±2 时，函数 g(x)有一个零点；
当－2<m<2 时，函数 g(x)没有零点．……………………12 分
7
22【解】
C : (x a)2 ( y b)2 1(a 0)
(x 2)2 ( y 3)2 1
…5 分
（2）假设存在直线 l，使得 OM ON 6 ，设 M（x1，y1）N（x2，y2），
由
y kx
(
x
2)
2 2
(
y
3)2
1
得（1+k2）x2﹣（2k+4）x+4=0，……………………7 分 由△=（2k+4）2﹣16（1+k2）＞0 得 0 k 4 ，……………………8 分
2，则 f38π＝(
2021-2022学年广东省潮州市饶平县第二中学高一下学期期初数学试题(解析版)
2021-2022学年广东省潮州市饶平县第二中学高一下学期期初数学试题一、单选题1．集合{}13A x x =<<，集合{4B x x =或2}x <，则集合()R A B =（ ） A ．R B ．[2,3) C ．(1,4] D ．∅【答案】C【分析】先求得{|24}R B x x =≤≤，结合集合并集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{4B x x =或2}x <，可得{|24}R B x x =≤≤， 又由{|13}A x x =<<，所以(){|14}(1,4]R A B x x =<≤=. 故选：C.2．已知角α的终边经过点(M ，则cos α=（ ）AB C D 【答案】B【分析】利用三角函数的定义可求得cos α的值.【详解】由三角函数的定义可得cosα==. 故选：B.3．函数()1ln 22f x x x =+-的零点所在的区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】C【分析】判断函数()1ln 22f x x x =+-是()0,∞+上的增函数，(2)(3)0f f ⋅<，结合零点存在性定理可判断出函数零点所在区间.【详解】解：函数ln y x =是()0,∞+上的增函数，122y x =-是R 上的增函数，故函数()1ln 22f x x x =+-是()0,∞+上的增函数. 1(2)ln 222ln 2102f =+⨯-=-<，11(3)ln 332ln 3>022f =+⨯-=-，则()0,2x ∈时，()0f x <；()3,x ∈+∞时，()0f x >，因为(2)(3)0f f ⋅<，所以函数()1ln 22f x x x =+-在区间()2,3上存在零点.故选：C.4．函数cos y x x =-的部分图像是A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数cos y x x =-的奇偶性和函数值在某个区间上的符号，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】∵cos y x x =-是奇函数，其图像关于原点对称，∴排除A,C 项；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0y x x =-<，∴排除B 项.故选D.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的单调性，属于基础题.5．若命题“22103x x -+<”是命题“x a >”的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．12a ≥C ．12a ≤D ．1a ≤【答案】C【分析】解不等式22103x x -+<得112x <<，进而根据题意得集合1,12⎛⎫⎪⎝⎭是集合(),+∞a 的真子集，再根据集合关系求解即可.【详解】解：解不等式22103x x -+<得112x <<， 因为命题“22103x x -+<”是命题“x a >”的充分不必要条件，所以集合1,12⎛⎫⎪⎝⎭是集合(),+∞a 的真子集，所以12a ≤故选：C6．设21log 3a =，0.412b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.513c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】B【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性、幂函数的单调性比较即可求解. 【详解】2log y x =是增函数， 221log log 103a ∴=<=， 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，0.5y x =在(0,)+∞上是增函数， 0.40.50.51110223b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=>>=> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a cb ∴<<故选：B7．已知tan α、tan β是方程240x ++=的两个根，且α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+的值是（ ）A ．3πB ．23π-C ．3π或23π-D ．3π-或23π【答案】B【分析】先用根与系数的关系可得tan α＋tan β＝-tan αtan β＝4，从而可得tan α＜0，tan β＜0，进而,,02παβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以0παβ-<+<，然后求tan()αβ+的值，从而可求出αβ+的值.【详解】由题意得tan α＋tan β＝-tan αtan β＝4， 所以tan 0,tan 0αβ<<，又α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故,,02παβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以0παβ-<+<，又tan tan tan()1tan tan 14αβαβαβ+-+===--所以23αβπ+=-. 故选：B.8．若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．ln(1)0y x -+> B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A【分析】将不等式变为2323x x y y ---<-，根据()23t tf t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t tf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.二、多选题9．下列函数是奇函数且在区间()0,1上单调递增的是（ ）A ．()3f x x =-B ．()2x f x =C ．()sin f x x x =+D ．()1f x x x=-【答案】CD【分析】依据题意，结合奇偶函数的定义和单调性的判定方法逐项分析即可求解.【详解】对于A ，因为函数()3f x x =在R 上单调递增，所以函数()3f x x =-在R 上单调递减，故A错误；对于B ，因为()()22xxf x f x --===，所以函数()2xf x =为偶函数，故B 错误；对于C ，因为()()()()sin sin f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以函数为奇函数， 又，任取12,x x ，满足1201x x ，则()()()()()()1211221212sin sin sin sin f x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-，由于1201x x ，正弦函数sin y x =在()0,1上单调递增，于是120x x -<，12sin sin 0x x -<， 所以()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <，故函数()f x 在()0,1上单调递增，故C 正确； 对于D ，因为()()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，所以函数为奇函数， 又，任取12,x x ，满足1201x x ，则()()()211212*********x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于1201x x ，于是120x x -<，2110x x -+>，120x x > 所以()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()0,1上单调递增，故D 正确. 故选：CD.10．下列说法中正确的是（ ）A ．命题“R x ∃∈，220x x -<”的否定是“R x ∀∈，220x x -≥”B ．函数3()3x f x a -=+(0a >且1)a ≠的图象经过定点(3,4)AC ．幂函数2231()(69)m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞上单调递增，则m 的值为4D ．函数25()log (23)f x x x =--的单调递增区间是[1,)+∞ 【答案】ABC【分析】A.由全称量词命题的否定是存在量词命题判断；B.令30x -=求解判断；C.根据()f x 是幂函数求得m ，再根据单调性判断； D.利用对数复合函数的单调性判断.【详解】A.命题“R x ∃∈，220x x -<”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，即“R x ∀∈，220x x -≥”，故正确；B.因为函数3()3x f x a -=+(0a >且1)a ≠，令30x -=得 3x =，此时 4y = ()f x 的图象经过定点(3,4)A ，故正确；C. 因为2231()(69)m m f x m m x -+=-+是幂函数，所以2691m m -+=，即 2680m m -+=，解得 2m =或 4m =，当2m =时，1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，当 4m =时，5()f x x =在(0,)+∞上单调递增，故正确；D.令2230t x x =-->，得 1x <-或3x >，所以函数的定义域为()(),13,-∞-⋃+∞，又t 在()3,+∞上递增，5log y t =在()0,∞+上递增，所以25()log (23)f x x x =--的单调递增区间是()3,+∞，故选：ABC11．函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =图象的一个对称中心C ．()f x 在区间11,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．把()y f x =图象上所有点向右平移12π个单位长度后得到函数()2cos2g x x =的图象 【答案】BC【分析】根据题意，结合正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ的图象与性质和图象变换知识，即可求解. 【详解】由题意知，2A =，35341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以周期T π=，2ω=，又552sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3πϕ=-，故()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以A 错误，又2sin 20663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确.因为11,212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以232,332x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，由于正弦函数在其上单调递减， 所以函数()f x 在11,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 正确，将()y f x =图象上所有点向右平移12π个单位长度后得到2sin 22cos 2122y f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故D 不正确. 故选：BC.12．已知函数()20lg 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，方程()()210f x mf x --=有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）A ．函数()f x 的零点的个数为2B ．实数m 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．函数()f x 无最值D ．函数()f x 在()0,∞+上单调递增 【答案】ABC【分析】根据分段函数图像可以判断ABD ，而选项C ，结合分段函数的图像性质，分析得到210t mt --=两个不等的实根122t t <<≤0，0，最后根据二次方程根的分布求出参数的取值范围即可.【详解】因为函数()20lg 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，可得函数图像如图：由图知函数()f x 有2个零点，故A 选项正确；函数()f x 没有最值，故C 选项正确；函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故D 选项错误；由于方程()()210f x mf x --=有4个不同的实数根，令()t f x =则210t mt --=有4个不同的实数根， 因为2m 40∆=+>恒成立，设210t mt --=两个不等的实根为12t t ，，由韦达定理知：1212,1t t m t t +==-， 则12t t ，异号，由图可知：122t t <<≤0，0， 所以22210m --≥，解得32m ≤，故B 选项正确； 故选：ABC【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．三、填空题13．求值：2log 314lg lg 254+-=______.【答案】7【分析】利用指数式与对数式的互化，对数运算法则计算作答. 【详解】22log 3log 23214)(lg 4lg lg 25(2lg 25)3lg1002749-+-=+=-=-=.故答案为：714．若扇形的面积为9，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为______． 【答案】6【分析】先由已知求出半径，从而可求出弧长 【详解】设扇形所在圆的半径为r ， 因为扇形的面积为9，圆心角为2弧度， 所以21292r ⨯=，得3r =，所以该扇形的弧长为236⨯=， 故答案为：615．已知sin sin 13πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【解析】根据两角和的正弦公式，将原式化简整理，即可得出结果.【详解】由sin sin 13πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得1sin sin 12θθθ+=，则3sin 12θθ=1cos 2θθ+=从而有sin coscos sin66ππθθ+=即sin 6πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭16．已知()f x 为偶函数，当04x ≤<时，()23xf x =-，当4x ≥时，()212f x x =-，则不等式()5f x >的解集为__________． 【答案】()()8,33,8--⋃【解析】求出不等式()5f x >在[)0,x ∈+∞的解，然后根据偶函数的性质可得出不等式()5f x >在R 上的解集.【详解】当04x ≤<时，令()235xf x =->，可得28x >，解得3x >，此时34x <<；当4x ≥时，令()2125f x x =->，解得8x <，此时48x ≤<. 所以，不等式()5f x >在[)0,x ∈+∞的解为38x <<.由于函数()y f x =为偶函数，因此，不等式()5f x >的解集为()()8,33,8--⋃. 故答案为：()()8,33,8--⋃.【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，同时也涉及了函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于中等题.四、解答题 17．（1）已知02a π<<，4sin 5α，求tan α的值； （2）若tan 4α=，求()()()πsin π2cos 2sin cos παααα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭--++的值. 【答案】（1）43；（2）43.【分析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求出3cos 5α=,即可求得tan α的值； (2)把要求的式子利用诱导公式化为sin sin cos ααα-,进而而求得结果.【详解】解：（1）∵π02α<<，4sin 5α，∴cos α=35=∴sin 4tan cos 3ααα== （2）若tan 4α=，则()()()πsin π2cos 2sin cos παααα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭--++sin 2sin sin cos αααα-+=-sin tan 4sin cos tan 13ααααα===--. 18．已知关于x 的不等式13a x b <+≤的解集是{|34}x x <≤. (1)求关于x 的不等式230ax x a -->的解集A ；(2)若非空集合{}22B x k x k =<≤+，A B A ⋃=，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)1{2A x x =<-或2}x >(2)5(,)[1,2)2-∞-【分析】(1)先根据题意求出参数,a b 的值，代入不等式230ax x a -->，解关于x 的一元二次不等式即可求解；(2)根据A B A ⋃=得到B A ⊆，然后根据集合的包含关系列出不等式组，解之即可. 【详解】（1）不等式13ax b <+≤的解集为{|34}x x <≤，∴3143a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得25a b =⎧⎨=-⎩．将2a =代入不等式整理得(2)(21)0x x -+>，解得2x >或12x <-．故1{2A x x =<-或2}x >．（2）∵A B A ⋃=，∴B A ⊆，又∵B ≠∅，∴22122k kk +>⎧⎪⎨+<-⎪⎩或2222k k k +>⎧⎨≥⎩，∴52k <-或12k ≤<， 故实数k 的取值范围5(,)[1,2)2-∞-．19．已知函数221()sin cos sin )2f x x x x x =-，x ∈R .(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 的单调递增区间； (3)求()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.【答案】(1)π (2)π5π[π,π]1212k k -++，k ∈Z (3)最大值为14，最小值为12-【分析】（1）应用二倍角公式，两角差的正弦公式化简函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质得最小正周期； （2）由正弦函数的单调性得增区间； （3）由已知求出23x π-的范围，结合正弦函数性质得结论．【详解】（1）2211()sin cos sin )sin 2224f x x x x x x x =-= 1sin(2)23x π=-所以()f x 的最小正周期22T ππ== （2）由πππ2π22π232k x k -+≤-≤+，k ∈Z ，得π5πππ1212k x k -+≤≤+，k ∈Z ． 故函数()f x 的单调递增区间为π5π[π,π]1212k k -++，k ∈Z ． （3）当ππ44x -≤≤时，52636πππ-≤-≤x ∴11sin(2)32x π-≤-≤ ∴111sin(2)2234x π-≤-≤故()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值为14，最小值为12-. 20．甲、乙两地相距1000千米，某货车从甲地匀速行驶到乙地，速度为v 千米/小时（不得超过120千米/小时）．已知该货车每小时的运输成本m （以元为单位）由可变部分1y 和固定部分2y 组成：可变部分与速度v （单位：km/h ）的关系是211100y v =；固定部分y 2为81元． （1）根据题意可得，货车每小时的运输成本m=________，全程行驶的时间为t=________； （2）求该货车全程的运输总成本与速度v 的函数解析式；（3）为了使全程的运输总成本最小，该货车应以多大的速度行驶？ 【答案】（1）2181100v +；1000v；（2）8100010y v v =+（0 <v ≤120）；（3）v=90 km/h.【分析】（1）根据货车每小时的运输成本等于可变部分1y 加上固定部分2y 即可得出答案，再根据全程行驶的时间等于总里程除以速度即可得解；（2）根据货车全程的运输总成本等于货车每小时的运输成本乘以时间即可得出答案； （3）根据函数解析式结合基本不等式即可得解. 【详解】解：（1）2181100v +；1000v． （2）货车全程的运输总成本()21210001100081100y mt y y v v v ⎛⎫==+⨯=+⨯ ⎪⎝⎭8100010v v=+（0 <v ≤ 120）．（3）8100010y v v =+≥元， 当且仅当8100010v v=，即v=90时，全程的运输总成本最小，所以为了使全程的运输总成本最小，该货车应以90 km/h 的速度行驶. 21．已知函数x f xb a （a ，b 为常数，0a >且1a ≠）的图象经过点()1,8A ，()3,32B ．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若关于x 不等式0x x a b λ--≥对[]2,2x ∀∈-都成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)()22x f x +=(2)(],12-∞-【分析】（1）将()1,8A ，()3,32B ，代入函数，利用待定系数法即可得出答案；（2）0x x a b λ--≥对[]2,2x ∀∈-都成立，即()min 24x xλ≤-，[]2,2x ∈-，令2x t =，1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()2g t t t =-+，求出函数()g t 的最小值即可得解.【详解】（1）解：∵函数()xf x ba =的图象经过点()1,8A ，()3,32B ，∴()()18332f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3832ba ba =⎧⎨=⎩，又∵0a >，∴2a =，4b =，∴()42x f x =⨯，即()22x f x +=；（2）解：由（1）知2a =，4b =，∴240x x λ--≥对[]2,2x ∀∈-都成立，即24x x λ≤-对[]2,2x ∀∈-都成立，∴()min 24x xλ≤-，[]2,2x ∈-，令2x t =，[]2,2x ∈-，则1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()2g t t t =-+，即()21124g t t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴()g t 的图象是开口向下且关于直线12t =对称的抛物线， ∴()()min 412g t g ==-， ∴12λ≤-，∴λ的取值区间为(],12-∞-． 22．已知函数()1f x x x=+． (1)根据函数单调性的定义，证明()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增；(2)令()()221522x f g x k k x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，若对1x ∀，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12194g g x x -≤成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)证明见解析 (2)5,72⎛⎤⎥⎝⎦【分析】（1）由单调性定义证明；（2）换元，设1z x x=+，()g x =222y z kz =--，由（1）求得z 的范围，然后由二次函数性质求得最大值和最小值，由最大值减去最小值不大于194可得k 的范围． 【详解】（1）证明：设1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，则()()()121212*********x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当1201x x 时，∴120x x -<，1201x x <<，∴1210x x -<，∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， ∴函数()f x 在()0,1上单调递减．当121x x <<时，∴120x x -<，121x x >，∴1210x x ->，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， ∴函数()f x 在()1,+∞上单调递增．综上，函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．（2）解：由题意知()22112g x x k x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭， 令1z x x =+，222y z kz =--，由（1）可知函数1z x x =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,2上单调递增，∴522z ≤≤，∵函数222y z kz =--的对称轴方程为52z k =>， ∴函数222y z kz =--在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当2z =时，222y z kz =--取得最大值，max 42y k =-+， 当52z =时，222y z kz =--取得最小值，min 1754y k =-+， 所以()max 42g x k =-+，()min 1754g x k =-+， 又∵对1x ∀，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12194g g x x -≤恒成立，∴()()max min 194g x g x -≤，即171942544k k ⎛⎫-+--+≤ ⎪⎝⎭，解得7k ≤,又∵52k >，∴k 的取值范围是5,72⎛⎤⎥⎝⎦．。
2019-2020学年度第二学期检测试题高一数学【含答案】
33 （Ⅱ）若∥ ABC 的面积为 2 ，求 b 的值．
【答案】（Ⅰ） 45 ；（Ⅱ） 14
B π
【解析】（Ⅰ）∵ a 2 ， b 3 ，
3，
2 3
a b sin A sin π
∴由正弦定理得 sin A sin B 即
2，
sin A 2
∴
2，
∵ a b ， A (0, π) ，
∴ A 45 ．
7x 1
选项 D ，
7x ，当且仅当 7x 即 x 0 时取等号，故正确．
故选： D ．
6．在∥ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ．已知 8b 5c ， C 2B ，则 cosC （ ）．
7 A． 25
7 B． 25
7 C． 25
24 D． 25
某同学用综合法证明第（Ⅰ）问，用分析法证明第（Ⅱ）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适 的内容.
P E
A
N
D
M
证明：（Ⅰ）取 PD 的中点 E ，连结 EN , AE .
在△PCD 中，因为 E ， N 分别为所在边的中点，
所以___________________,
又 AM CD ，
所以______________________，
1（I）解：n= 2 50
1分
0.04
（II）解：补全数据见下表（3 分）；
组号
分组
频数
频率
1
[5，6） 2
0.04
2
[6，7） 10
0.20
3
[7，8） 10
0.20
4
[8，9） 20
0.40
5
[9，10 8
广东省潮州市高一下学期开学数学试卷
广东省潮州市高一下学期开学数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一上·南昌月考) 若角的终边落在直线上，则的值等于（）A . 0B . -2C . 2D . -2或22. （2分）已知全集A={x∈N|x＜2}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A . {1，2}B . {0，1，2}C . {1}D . {0，1}3. （2分） (2019高二下·哈尔滨期末) 若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A .B .C .D .4. （2分）已知，则下列结论正确的是（）A . h（x）=f（x）+g（x）是偶函数B . h（x）=f（x）+g（x）是奇函数C . h（x）=f（x）g（x）是奇函数D . h（x）=f（x）g（x）是偶函数5. （2分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A . 向左平移单位B . 向右平移单位C . 向左平移单位D . 向右平移单位6. （2分） (2019高一上·平遥月考) 设是上的任意函数，则下列叙述正确的是（）A . 是奇函数B . 是奇函数C . 是偶函数D . 是偶函数7. （2分） (2015高三上·潮州期末) 已知，且函数y=f（x）﹣1恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A . （﹣1，+∞）B . （﹣2，0）C . （﹣2，+∞）D . （0，1]8. （2分） (2017高一上·西城期中) 已知函数为奇函数，且当时，，则（）A .B . 0C . 1D . 29. （2分）已知函数满足，其图像与直线的某两个交点的横坐标为,,的最小值为，则和的值分别为（）A . ,B . ,C . .D . ,10. （2分）若函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点M、N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”(点对(M，N)与(N，M)看作同一对“和谐点对”)．已知函数，则此函数的“和谐点对”有（）A . 1对B . 2对C . 3对D . 4对二、填空题： (共5题；共5分)11. （1分）(2017·石嘴山模拟) （1+tan23°）（1+tan22°）=________．12. （1分） (2017高一上·淮安期末) 已知a=（），b=（），c=ln ，则这三个数从大到小的顺序是________．13. （1分）若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是________14. （1分）已知函数f（x）=tan（x﹣），一条与x轴平行的直线与函数f（x）的图象相交，则相邻的两个交点之间的距离为________．15. （1分） (2016高一上·长春期中) 设f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+3x﹣b（b为常数），则f（﹣2）=________三、解答题： (共6题；共60分)16. （5分）已知f（α）=（1）化简f（α）；（2）若α为第三象限角，且cos（α﹣π）=，求f（α）的值；（3）若α=﹣π，求f（α）的值．17. （10分）(2017·泸州模拟) 设函数f（x）=ex+sinx（e为自然对数的底数），g（x）=ax，F（x）=f（x）﹣g（x）．（1）若a=2，且直线x=t（t≥0）分别与函数f（x）和g（x）的图象交于P，Q，求P，Q两点间的最短距离；（2）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（﹣x）的图象上方，求实数a的取值范围．18. （10分） (2016高一下·成都期中) 已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求AB．19. （15分） (2018高一上·安阳月考) 已知函数， .（1）求的值；（2）试判断并证明函数的奇偶性；（3）试判断并证明函数在区间上的单调性并求的值域．20. （10分） (2018高一上·玉溪期末) 已知 , .（1）若，求的取值范围；（2）求的最大值，并给出取最大值时对应的的值。
2019-2020年高一下学期开学考试数学试题 含答案
2019-2020年高一下学期开学考试数学试题含答案一、选择题：1.已知集合，集合，则（）A． B． C． D．2.设集合，则（）A． B． C． D．3.已知函数的定义域为，则函数的定义域（）A． B． C． D．5.已知，则的解析式为（）A． B． C．D．6.一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为（）A． B． C． D．7. 为不重合的直线，为不重合的平面，则下列说法正确的是（）A．，则 B．，则C．，则 D．，则8.室内有一直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线（）A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直9.设平面，且相等，则是的（）A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心10.在正方体中，分别是的中点，那么，正方体的过的截面图形是（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形11.若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A．至少与，中的一条相交 B．与都相交C．至多与，中的一条相交 D．与都相不交12.垂直于同一平面的两条直线一定（）A ．相交B ．平行C ．异面D ．以上都有可能13.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．14．如果，那么直线不经过的象限是（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题16.已知{}{}|25,|11,A x x B x m x m B A =-≤≤=-≤≤+⊆，则的取值范围为________．17．函数的值域是,则实数的取值范围是________．18.函数在内单调递减，则的取值范围是________．19.圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为，半径为，则该圆锥的体积等于________．20.已知实数满足，则的最小值等于________．三、解答题21.已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上为减函数，若求实数的取值范围．22.如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，．（1）求证：平面；（2）求证：平面．23．已知方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆．（1）求实数的取值范围；（2）求该圆的半径的取值范围．24．如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积．25．已知圆,为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为．①若点运动到处，求此时切线的方程；②求满足条件的点的轨迹方程．26．已知函数．（1）当时，求函数的零点；（2）若函数有零点，求实数的取值范围．参考答案BCBCA CDDBD ABCBC21．解：由已知得，由，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分因为奇函数在对称的区间上单调性相同，所以在上单调递减，．．．．．．．．．．．．．．．6分 则有，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分22．证明：（1）设与交于点．∵，∴四边形为平行四边形，所以．∵平面，平面，∴平面． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）连接．∵，且，∴四边形为菱形，∴．∵四边形为正方形，∴．即2244424364326464360m m m m m +++-+-->，整理得，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）r ===∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分24．（1）因为分别是的中点，所以．又因为平面，所以平面． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）因为，为的中点，所以，又因为平面平面，且平面，所以平面．所以平面平面． ．．．．．．．．．．．8分（3）在等腰直角三角形中，，所以．所以等边三角形的面积．又因为平面，所以三棱锥的体积等于．又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等地，所以三棱锥的体积为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分25．解：（1）当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，到直线的距离，满足条件；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分当直线的斜率存在时，设斜率为，得直线的方程为，即，则，解得．所以直线方程，即综上，满足条件的切线方程为或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（2）设，则22222(1)(2)4PMPC MC x y =-=++--， ，∵，∴，整理，得，故点的轨迹方程为， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分26．解：（1）时，，令，即，解得或（舍）所以，所以函数的零点为． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）若有零点，则方程有解． 于是221111112()()()424224x x x x x a +⎡⎤==+=+-⎢⎥⎣⎦， 因为，所以，即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。
2019-2020学年潮州市高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年潮州市高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.与2021°终边相同的角是()A. −111°B. −70°C. 141°D. 221°2.已知α满足sinα=12,那么sin(π4+α)sin(π4−α)的值为()A. −12B. 12C. −14D. 143.根据如下样本数据，得到回归方程ŷ=bx+a，则()x345678y4.02.5−0.50.5−2.0−3.0A. a>0，b>0B. a>0，b<0C. a<0，b>0D. a<0，b<04.从甲、乙、丙等5名同学中随机地选出3名参加某项活动，则甲被选中的概率为()A. 35B. 25C. 925D. 8255.A是圆上的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，则它的长度大于等于半径长度的概率为()A. 12B. 23C. √32D. 146.函数f(x)=sinx+e−x在[3π2,2π]上的最大值为()A. −1+e32πB. −√22+e74π C. −12+e116π D. e−2π7.国家物价部门在2015年11月11日那天，对某商品在网上五大购物平台的一天销售量及其价格进行调查，5大购物平台的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865由散点图可知，销售量y与价格x之间有明显的线性相关关系，已知其线性回归直线方程是：y=−3.2x+a，则a=()A. 24B. 35.6C. 40D. 40.58. 已知平面向量a=(1,−2)，b=(2,1)，c=(−4,−2)，则下列结论中错误的是A. 向量c与向量b共线B. 若c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R)，则λ1=0，λ2=−2C. 对同一平面内任意向量d，都存在实数k1，k2，使得d=k1b+k2cD. 向量a在向量b方向上的投影为09. 问题：①某年级有1000个学生，(男生有551人，女生有449人)对此年级的学生语文成绩进行抽样调查，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会．方法：Ⅰ.简单随机抽样法Ⅱ.系统抽样法Ⅲ.分层抽样法．其中问题与方法最佳配对的是()A. ①Ⅰ，②ⅡB. ①Ⅲ，②ⅠC. ①Ⅱ，②ⅠD. ①Ⅲ，②Ⅱ)上的函数y=2sinx的图象分别与y=cosx，y=tanx的图象交于点(x1,y1)，10. 设定义在(0,π2(x2,y2)，则√5y1+y2=()A. 3+√2B. 2+√2C. 3+√3D. 2+√3二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）11. 在单位圆中，一条弦AB的长度为，则弦AB所对的圆心角α是 ____ rad．−πx)的最小正周期是________12. (1)函数y=tan(π3(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长为4m，则这个扇形的面积为_______(3)设向量a⃗=(1,−2)，b⃗ =(7,1)，则向量b⃗ 在a⃗方向上的投影为________(4)有下列命题：①已知α、β都是第一象限的角，若α<β，则tanα<tanβ；②已知α、β是钝角△ABC中的两个锐角，则sinα<cosβ．③若a⃗、b⃗ 、c⃗是相互不共线的平面向量，则(b⃗ ·c⃗ )a⃗−(c⃗·a⃗ )b⃗ 与c⃗垂直；④若e1⃗⃗⃗ 、e2⃗⃗⃗ 是平面向量的一组基底，则3e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ 、2e2⃗⃗⃗ −6e1⃗⃗⃗ 可作为平面向量的另一组基底；那么以上所有正确的命题序号是________13. 已知{x1,x2,x3,…x n}的平均数为a，标准差是b，则3x1+2，3x2+2，…，3x n+2的平均数是______ ，标准差是______ ．14. 已知向量a⃗=(sinα,cos2α)，b⃗ =(1−2sinα,−1)，α∈(π2,3π2)若a⃗⋅b⃗ =−85，则tanα的值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15. 已知向量m⃗⃗⃗ =(cosα,1−sinα),n⃗=(−cosα,sinα)(α∈R)．(1)若m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，求角α的值；(2)若|m⃗⃗⃗ −n⃗|=√3，求sinα的值16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知．(1)求；(2)若a=3，△ABC的面积为，求b，c．17. 某小学生同时参加了“掷实心球”和“引体向上”两个科目的测试，每个科目的成绩有7分，6分，5分，4分，3分，2分1分共7个分数等级，经测试，该校某班每位学生每科成绩都不少于3分，学生测试成绩的数据统计二1，2，所示，其中“掷实心球”科目成绩为3分的学生有2人．(1)求该班学生“引体向上”科目成绩为7分的人数；(2)已知该班学生中恰有3人两个科目成绩均为7分，在至少一个科目成绩为7分的学生中，随机抽取2人，求这2人两个科目成绩均为7分的概率．18. 如图在△AOB 中，D 是边OB 的中点，C 是边OA 上靠近O 的三等分点，AD 与BC 交于M 点．设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ．(1)用a ⃗ ，b ⃗ 表示OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)过点M 的直线与边OA ，OB 分别交于E ，F.设OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =p OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =q OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求1p +2q 的值．19. 已知函数f(x)=cosx(sinx +cosx)−12．(Ⅰ)若0<α<π2，且sinα=13，求f(α)；(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．【答案与解析】1.答案：D解析：解：终边相同的角相差了360°的整数倍，设与2021°角的终边相同的角是α，则α=2021°+k⋅360°，k∈Z，当k=−5时，α=221°．故选：D．终边相同的角相差了360°的整数倍，由α=2021°+k⋅360°，k∈Z，令k=−5，即可得解．本题考查终边相同的角的概念及终边相同的角的表示形式．属于基本知识的考查．2.答案：D解析：解：由诱导公式可得sin(π4−α)=sin[π2−(π4+α)]=cos(π4+α)，∴sin(π+α)sin(π−α)=sin(π+α)cos(π+α)=12×2sin(π4+α)cos(π4+α)=12sin(π2+2α)=12cos2α=12(1−2sin2α)=12(1−2×14)=14故选：D．由诱导公式可得，原式=sin(π4+α)cos(π4+α)=12sin(π2+2α)=12cos2α=12(1−2sin2α)，代入已知数据化简可得．本题考查二倍角的正弦公式，涉及诱导公式的应用，转化为π4+α是解决问题的关键，属中档题．3.答案：B解析：解：根据表中数据可知，总体来看，当x增加时，y减小，所以b<0，且x=5.5,y=14，则14=5.5b+a，则a>0．故选：B．通过表格里的数据，容易判断回归方程中b、a的符号．本题考查回归方程的应用，属于基本知识的考查．4.答案：A解析：解：从甲、乙、丙等5名同学中随机地选出3名参加某项活动，基本事件总数n=C53=10，甲被选中包含的基本事件个数m=C11C42=6，∴甲被选中的概率为p=mn =610=35．故选：A．基本事件总数n=C53=10，甲被选中包含的基本事件个数m=C11C42=6，由此能求出甲被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查计算能力，是基础题．5.答案：B解析：根据已知中A是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，我们求出B点位置所有基本事件对应的弧长，及满足条件AB长大于半径的基本事件对应的弧长，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案．本题考查的知识点是几何概型，其中根据已知条件计算出所有基本事件对应的几何量及满足条件的基本事件对应的几何量是解答的关键．解：在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR，其中满足条件AB的长度大于等于半径长度的对应的弧长为23⋅2πR，则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P=23⋅2πR2πR=23．故选B．6.答案：D解析：解：函数f(x)=sinx+e−x，利用求导得到f′(x)=cosx−e−x，当x∈[3π2,2π]时，函数f′(x)>0，即该区间为单调递增区间，所以当x=2π时，函数取最大值为e−2π．故选：D．利用函数的导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的最值．本题考查的知识要点：函数的单调性和导数的关系，三角函数的求值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：C解析：解：根据图中数据，得；x=1(9+9.5+10+10.5+11)=10，5(11+10+8+6+5)=8，y=15又线性回归直线方程是：y=−3.2x+a，∴a=y+3.2×x=8+3.2×10=40．故选：C．根据图中数据求出x、y，再根据线性回归直线方程过样本中心点，代人求出a的值．本题考查了计算平均数与线性回归直线方程过样本中心点的应用问题，是基础题．8.答案：C解析：本题考查向量共线的条件，平面向量基本定理以及向量投影的概念等，属于基础题．解：选项A正确，，所以向量与向量共线；选项B正确，由可知，，解得；选项C错误，向量与向量共线，所以由平面向量的基本定理可知，它们的线性组合不能表示出同一平面内的任意向量；选项D正确，，所以，夹角是，向量在向量方向上的投影为．故选C．9.答案：C解析：问题 个体数量比较大，男女生人数相当，所以采取系统抽样合适，对于问题‚，因个体书比较少，所以简单随机抽样比较适合，故选C。
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22．如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是正方形， PA PD AD ， M、N 分别 是 AB 、 AD 的中点，且平面 PAD 平面 ABCD （1）证明： CM 平面 PNB （2）点 E 是棱 PA 上的一点，若 PB // 平面 DEM ， 求二面角 E BD A 的正切值
于零），则四面体 PEFQ 的体积
A．与 x ， y ， z 都有关 C．与 y 有关，与 x ， z 无关
B．与 x 有关，与 y ， z 无关 D．与 z 有关，与 x ， y 无关
11．直线 l : y kx 与曲线 M : y 1 1 (x 3) 2 有两个不同交点，则 k 的取值范围是
A．[ 1，0 ]
B．[1，2 ] C．[ 0 ，1]
D． ( ，1] [ 2 ， )
2．已知直线 l1 : (3 m)x 4 y 5 3m 0 ，l2 : 2x (5 m) y 8 0 ，若 l1 l2 ，则 m
的值为
A． 1或 7
B． 7
C． 13 3
13
D．
3
3．已知函数 f (x) x2 x 6 ，则函数 f (x) 的单调递减区间是
C． y x2 3
D． y x3 3x
6．对于任意的实数 R ，直线 (2 1) x ( 1) y 1 0 恒过定点 A ，则 A 的坐标是
A． ( 0 ，0 )
B． ( 1 ，2 ) 33
C． ( 1 ，2 ) 33
D． ( 1 ， 2 ) 33
7．已知函数
f (x) log 1
第4页共4页
写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．计算
1
3
1
3
1
1
（1）若 x 0 ，求 (2x 4 32 )(2x 4 32 ) 4x 2 (x x 2 )
（2）
5
log9
4
-
log3
32 9
-
3log3
5
-
(16
-
)
3 4
81
18．正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 M 是棱 CC1 的中点．
（1）已知 a 1 ， M ( 4 ，4 ) ，点 N 是圆 C 上的任意一点，求 | MN | 的最小值
（2）已知 a 0 ，直线 l 的斜率为 4 ，且与 y 轴交于点 ( 0 ， 2 ) .若直线 l 与圆 C 相
3
3
离，求 a 的取值范围.
21．已知函数 f (x)= loga (ax 1) ，其中 a 0 且 a 1 （1）当 a 3 时， f (m) 1 ，求实数 m 的取值范围 （2）若 f (x) 在[ 3，6 ] 上的最大值大于 0 ，求 a 的取值范围.
D. ( 1 ，1] 2
第2页共4页
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13．若函数
f
(x)
1 x
,x
0
，则
f
(
f
(2))
.
2 x , x 0
14．若圆 M : x2 ( y 1)2 2 与若圆 M : (x 1)2 y 2 1 交于点 A 、 B ，则直线 AB 的
方程为
.
15．已知幂函数 f (x) 的图象过点 ( 4 ，2 ) ，且 f (2m 5) f (3m 3) ，则实数 m 的取值
范围为
．
16．某直三棱柱的侧棱长等于 2，底面为等腰直角三角形且腰长为 1，则该直三棱柱的外
接球的表面积是
.
三、解答题（满分共共 70 分，其中第 17 题满分 10 分，第 18-22 题满分各 12 分，解答应
3
| x | ，若 a
f
(log 2
1) ，b 3
f
(3.12.1) ， c
f
(2) ，则
A． a b c
B． c a b
C． b a c
D． b c a
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8．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
① BM 与 ED 平行； ② CN 与 BE 是异面直线； ③ CN 与 BM 的夹角为 60 ；
饶平二中 2019 学年度第二学期开学考
高一级数学
参考公式：圆锥侧面积 S rl ，其中 r 为圆锥的底面半径， l 为母线
球的表面积 S 4 R2 ，其中 R 为球的半径
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1．已知集合U R ， A {x | 1 x 1} ， B { x|0 x 2} ，则 A (ðU B)
A． ( ，1 ) 2
B． ( ， 2 )
C． ( 1 ， ) 2
D． ( 3， )
4．若一个圆锥的轴截面是面积为1等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积是
A． 2
B． 2 2
C． 2
D． 4
5．下列函数中，既是奇函数又在区间 (1，2 ) 上有零点的是
A． y ln x
B． y 3x 3x
（1）求证： AC1 // 平面 BDM
D1
A1
（2）求证：平面 ACC1A1 ⊥平面 A1BD ．
D
A
C1 B1
M
C B
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19．已知函数
f
(x)
2x ห้องสมุดไป่ตู้x
1 1
（1）判断 f (x) 的奇偶性，并证明.
（2）判断 f (x) 的单调性，并证明.
20．已知圆 C 的圆心坐标为 ( a ，0 ) ，且圆 C 与 y 轴相切.
④ DM 与 BN 垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是
A．③④ B．②③④
C．②④
D．①②③
9．函数 f (x) 2x a 2x （ a R ）的图象不可能为
A
B
C
D
10．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，动点 E 、 F 在棱 A1B1 上，动点 P ，Q
分别在棱 AD ， CD 上，若 EF 1 ， A1E x ， DQ y ， DP z （ x ， y ， z 大
A． ( 1 ，3 ] 44
B．[ 1 ，3 ) 24
C．[ 1 ，5 ) 29
D．[ 0 ，3 ) 4
12．已知函数
f
(x)
x2
6x
(
1 2
)
x
1
1, x 0 ,x0
，若方程
f
(x)
a
0 恰好有 3 个不同实数根，
则 a 的取值范围为 A. [ 0 ，1)
B. ( 0 ，1]
C. [ 1 ，1) 2