高中数学立体几何知识点 PPT
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高中数学立体几何知识点总结及例题下PPT课件
• 设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；
D1 ·O
A1 ·H
D
A
C1 B1
P C B
第10页/共23页
• 3 如图，在四棱锥 ABCD， PB于点F。 (I)证明 (II)证明
中，底面ABCD是正方形，侧棱
，E是PC的中点，
作
平面 EDB
；
平面EFD；
底面 交
第11页/共23页
• 4、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F 是棱CD上的动点.
平面AAB1BD；C A1B1C1
• （II）求证A：B 2 AA平1面AB1D。
BC1 //
A1C
A1
D
C1 B1
C
A
B
第19页/共23页
• 预测(3) 线线垂直+线面平行
• 如图，在四棱锥
, AD AB, A；D DC 1 AB, BC PC.
• （I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；
第12页/共23页
• 5、已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E、F分别为AD 和CC1的中点，O1为下底面正方形的中心。
• （Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1；
D E A
C B
F
D1 O1 A1
C1 H B1
第13页/共23页
• （Ⅰ）求证：
平面PDC；
PAD
PA PD • （II）已知E为棱AB的中点，问在棱PD上是否存在一点Q，使EQ平行于平面 PBC?若存在，写出点Q的位置，并证明你的结论；若不存在，试说明理由。
PA
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D1 ·O
A1 ·H
D
A
C1 B1
P C B
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• 3 如图，在四棱锥 ABCD， PB于点F。 (I)证明 (II)证明
中，底面ABCD是正方形，侧棱
，E是PC的中点，
作
平面 EDB
；
平面EFD；
底面 交
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• 4、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F 是棱CD上的动点.
平面AAB1BD；C A1B1C1
• （II）求证A：B 2 AA平1面AB1D。
BC1 //
A1C
A1
D
C1 B1
C
A
B
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• 预测(3) 线线垂直+线面平行
• 如图，在四棱锥
, AD AB, A；D DC 1 AB, BC PC.
• （I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；
第12页/共23页
• 5、已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E、F分别为AD 和CC1的中点，O1为下底面正方形的中心。
• （Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1；
D E A
C B
F
D1 O1 A1
C1 H B1
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• （Ⅰ）求证：
平面PDC；
PAD
PA PD • （II）已知E为棱AB的中点，问在棱PD上是否存在一点Q，使EQ平行于平面 PBC?若存在，写出点Q的位置，并证明你的结论；若不存在，试说明理由。
PA
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高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量ppt课件
→ —→ (2)〈AB，C1A1〉； 解答 〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概 念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案 解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的 是②__③____.(填序号)答案
No Image
12345
规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是 该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行 于向量a的直线.
高一数学ppt课件 空间向量与立体几何课件4
→ → 所以BD＝(－3a,3b,0)，EA＝(0，－3b，－3c).
→ 1→ → 1→ 因为BM＝3BD＝(－a，b,0)，NA＝3EA＝(0，－b，－c)， → → → → 所以NM＝NA＋AB＋BM
＝(0，－b，－c)＋(3a,0,0)＋(－a，b,0)＝(2a,0，－c).
→ 又平面 CDE 的一个法向量是AD＝(0,3b,0)， → → 由NM· AD＝(2a,0，－c)· (0,3b,0)＝0， → → 得到NM⊥AD.
AB＝5，
∴AC、BC、C1C两两垂直.
如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，
→ → ∵AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4,4)，
→ → → → ∴AC· BC1＝0.∴AC⊥BC1，即 AC⊥BC1.
1 3 1 → → ∴MN＝(－4， 4 ，4)，AB1＝(1,0,1)，
1 1 → → ∴MN· AB1＝－4＋0＋4＝0.
→ → ∴MN⊥AB1，∴AB1⊥MN.
要点二 利用空间向量证明平行关系
例 2 如图所示，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，点 M，N 分别在对角线 BD， 1 1 AE 上，且 BM＝3BD，AN＝3AE.求证：MN∥平面 CDE.
c2)，则l∥m⇔a∥b⇔
.
⇔ a＝kb
a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，
k∈R
(2)线面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝ (a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔ ⇔ . a· u＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 (3)面面平行 设平面 α ， β 的法向量分别为 u ＝ (a1 ， b1 ， c1) ， v ＝ (a2 ， b2 ， c2)，则α∥β⇔u∥v⇔ ⇔ u＝kv a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，
高中数学立体几何之线线垂直、线面垂直、面面垂直(公开课)(共16张PPT)
∵ OM是Rt△AOC斜边AC上的中线,∴ OM=
2 ∴ 由余弦定理可得：cos∠OEM= 4
1 AC=1， 2
【例2】四面体ABCD中,点O,E分别是BD,BC的中
A
点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= 2 .
(3)求点E到平面ACD的距离.
（3）设点E到平面ACD的距离为h.∵ VE-ACD=VA-CDE
D1
A1
1 1
B1
C1
D
2
C
E B
A
例题讲解
实战演练
作业布置
【例1】如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,
点E是AB的中点. (1)求三棱锥D1-DCE的体积. 1 解：V= 3 · h·S△ECD
D1
A1
1
B1 D
2
C1
1 1 = 3· D1D · 2 S△ECD
∴ AE⊥A1D,
又∵ AD1∩AE=A,
D1 A1 D A
B1
C1
∴ A1D⊥平面AD1E,
D1E⊂平面AD1E,
C
E
B
∴ D1E⊥A1D.
例题讲解
实战演练
作业布置
【例2】如图,四面体ABCD中,点O,E分别
是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,
AB=AD= 2 (1)求证:AO⊥平面BCD. (2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值. (3)求点E到平面ACD的距离.
A M O
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值. 解： (2)取AC的中点M，连接OM，ME，OE，
∵点O，E分别是BD，BC的中点
∴ OE
D E
高中数学总复习考点知识讲解课件13立体几何
【解析】 (1)证明：过点B1作平面AOB的垂线，垂足为C，如图，则C是OB 的中点，所以BC＝1.
π 又∠OBB1＝ 3 ，所以BB1＝2. 连接OB1，因为BB1＝OB＝2， 所以△OBB1为等边三角形． 因为点M为BB1的中点，所以BB1⊥OM. 因为平面AA1O1O⊥平面BB1O1O，平面AA1O1O∩平面BB1O1O＝OO1，且 AO⊥OO1，AO⊂平面AA1O1O，
命题规律： (1)直线和平面平行、垂直的判定与性质． (2)空间角及空间向量的应用． (3)立体几何题通常分两问，第一问，线、面关系的证明，第二问，跟角有 关，考查线面角或二面角．在第二问中，一定要注意是求角的大小，还是求角 的某个三角函数值！
押题一 线面角
(2021·长沙市一中模拟(一))如图，七面体ABCDEF的底 面是凸四边形ABCD，其中AB＝AD＝2，∠BAD＝120°，AC，BD 垂直相交于点O，OC＝2OA，棱AE，CF均垂直于底面ABCD.
＝ 7
7 7.
所以直线GH与平面PBC所成角的正弦值为
7 7.
方法三：(1)同方法二． (2)设CD＝2，在BD上取点I，使BI＝3ID，连接HI，GI，CE，如图，则 GI∥CD，
根据题意CD⊥BD，CD⊥PD，BD∩PD＝D， 所以CD⊥平面PBD，则GI⊥平面PBD，
所以GI⊥HI，
GH＝ HI2＋GI2＝
(2)由(1)知BF⊥EF，C1F⊥EF. ∴∠C1FB即为二面角C1－EF－B的平面角．
π ∴∠C1FB＝ 3 .过点F作平面AEFB的垂线，建立空间直角坐标系
如图所示．
由BF＝EF＝2AE＝4，可得E(4，0，0)，C1(0，2，2 B(0，4，0)，A(4，2，0)．
高中数学立体几何知识点PPT课件
创设情境 兴趣导入
观察平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、
9.
墙面等，发现它们都有一个共同的特征：平坦、光滑，
1
给我们以平面的形象，但是它们都是有限的．
平
面
的
基
本
性
质
第1页/共144页
动脑思考 探索新知
平面的概念就是从这些场景中抽象出来的．数学中的平面是指光滑
并且可以无限延展的图形．
9. 平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、墙面等，都是平面
面
有其他公共. 点，并且所有公共点的集合是过这个点的 一条直线．
的
性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一 个平面．
基
本
性
质
第17页/共144页
自我反思 目标检测
学习方法
学习行为
学习效果
9.
1
平 面 的 基 本 性 质
第18页/共144页
第九章 立体几何
9．2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
内且m ∥ 则 m ∥ l ．
9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
第36页/共144页
巩固知识 典型例题
例3 在如图所示的一块木料中，已知 BC∥平面 A1C1，BC∥ B1C1 ， 要经过平面 A1C1内的一点P与棱BC将木料锯开，应当怎样画线？ 解 画线的方法是： 在平面A1B1C1D1内， 过点P作直线B1C1的平行线EF， 分别交直线A1B1及直线D1C1与点E、F， 连接EB和FC．
面
公共点的集合就是这两个墙面的交线．
的
基
本
性
质
第8页/共144页
动脑思考 探索新知
观察平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、
9.
墙面等，发现它们都有一个共同的特征：平坦、光滑，
1
给我们以平面的形象，但是它们都是有限的．
平
面
的
基
本
性
质
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动脑思考 探索新知
平面的概念就是从这些场景中抽象出来的．数学中的平面是指光滑
并且可以无限延展的图形．
9. 平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、墙面等，都是平面
面
有其他公共. 点，并且所有公共点的集合是过这个点的 一条直线．
的
性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一 个平面．
基
本
性
质
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自我反思 目标检测
学习方法
学习行为
学习效果
9.
1
平 面 的 基 本 性 质
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第九章 立体几何
9．2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
内且m ∥ 则 m ∥ l ．
9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
第36页/共144页
巩固知识 典型例题
例3 在如图所示的一块木料中，已知 BC∥平面 A1C1，BC∥ B1C1 ， 要经过平面 A1C1内的一点P与棱BC将木料锯开，应当怎样画线？ 解 画线的方法是： 在平面A1B1C1D1内， 过点P作直线B1C1的平行线EF， 分别交直线A1B1及直线D1C1与点E、F， 连接EB和FC．
面
公共点的集合就是这两个墙面的交线．
的
基
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性
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动脑思考 探索新知
立体几何课件PPT模板
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03
文字是简单的视觉图案再现 口语的声音，
立体几何
4
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3
2
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于是挡住客人的重任，就落在了吴妈的身上。第0143章 李时珍的消息 这个叶青羽从集市上随意雇来的中年大妈，秉承着身为婢女的重大责任感，表现出了一种令叶青羽都瞠目结舌的强悍。 当她守在门口的时候，刚开始还很耐心地向来宾解释，但是在后来，当他发现这群人死乞白赖、不管是好赖话听不进去的时候，顿时就有点儿不耐烦了，将手中的扫帚一横，一顿乱打，怒道：“都走走走走，我家大人忙着呢，没空理会你们，快走，我一会儿还要做饭，耽误了我家大人的晚饭，你们有几个脑袋……” 在这位大妈质朴的观念里，她只认准一条—— 既然大人不愿意理会这些人，那这些人就不是什么惹不起的存在。 所以她要为叶青羽分忧解难，要表现的强势一些。 吴妈很满意自己现在的工作，不但轻松，而且待遇丰厚。 这位婢女幻想着，如果自己表现的足够好的话，叶青羽可以将这份短期聘用变成为终身雇佣，这样自己一家人都不用再发愁吃穿了。 这是很简单的小人物的思想。 似乎不太对，但其实也很对。 如果她知道被她轰的抱头鼠窜的人中，随便拎出来一个，都可以将让她和她全家都瞬间死好几十次，估计立刻就吓软了。 “唉，悍妇，悍妇啊……” 一个被轰走的小官员无可奈何。 这样一个他随手都可以捏死的贫寒妇人，因为身后的大门是白马塔，竟然让他吃瘪，命运就是这么搞笑，如之奈何？ 就这样喧闹了几日的时间，尘埃才慢慢落定。 白马塔大门前的人，总算是少了一些。 不过白马悍妇吴妈的名声，却又传了出去。 身为当事人的吴妈，并不知道，自己在幽燕关中已经小有名气了。 第四日的时候，温晚派人传回来消息，有了老军医李时珍的线索，只是那个叫做叶从云的小兵，还没有消息，毕竟幽燕关的士兵数量太多，温晚只是一个游击将军，动用的资源和渠道有限，只能慢慢找，一切都急不得。 叶从云是哨兵甲的弟弟。 当日叶青羽在乎地下冰窟逃命的时候，被【青鸾丹王】陈墨云拦住，哨兵甲为叶青羽战死，临终之前，说自己有一个弟弟，叫做叶从云，恳请叶青羽日后若是回到幽燕关，希望能够将他的死讯，告之弟弟…… 叶青羽从未忘记过这样的托付。 他从未有一天，敢忘记哨兵们对于自己的恩德。 也正是那几天，哨兵们用自己的行动和血肉之躯，让叶青羽明白了军人这两个字的含义。 那几日发生的事情，对于叶青羽的人生观和价值观，是一次山呼海啸般的冲击和洗礼。 来到幽燕关之后，叶青羽第一时间，就想要去寻找哨兵甲的弟弟，可惜偌大的幽燕关，如无头苍蝇一般寻找，终究不是办法，叶青羽只能暂缓之，希望可以借助其他力量，找到这个叶从云。 不论如何，一定不能让叶从云出事。
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文字是简单的视觉图案再现 口语的声音，
立体几何
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于是挡住客人的重任，就落在了吴妈的身上。第0143章 李时珍的消息 这个叶青羽从集市上随意雇来的中年大妈，秉承着身为婢女的重大责任感，表现出了一种令叶青羽都瞠目结舌的强悍。 当她守在门口的时候，刚开始还很耐心地向来宾解释，但是在后来，当他发现这群人死乞白赖、不管是好赖话听不进去的时候，顿时就有点儿不耐烦了，将手中的扫帚一横，一顿乱打，怒道：“都走走走走，我家大人忙着呢，没空理会你们，快走，我一会儿还要做饭，耽误了我家大人的晚饭，你们有几个脑袋……” 在这位大妈质朴的观念里，她只认准一条—— 既然大人不愿意理会这些人，那这些人就不是什么惹不起的存在。 所以她要为叶青羽分忧解难，要表现的强势一些。 吴妈很满意自己现在的工作，不但轻松，而且待遇丰厚。 这位婢女幻想着，如果自己表现的足够好的话，叶青羽可以将这份短期聘用变成为终身雇佣，这样自己一家人都不用再发愁吃穿了。 这是很简单的小人物的思想。 似乎不太对，但其实也很对。 如果她知道被她轰的抱头鼠窜的人中，随便拎出来一个，都可以将让她和她全家都瞬间死好几十次，估计立刻就吓软了。 “唉，悍妇，悍妇啊……” 一个被轰走的小官员无可奈何。 这样一个他随手都可以捏死的贫寒妇人，因为身后的大门是白马塔，竟然让他吃瘪，命运就是这么搞笑，如之奈何？ 就这样喧闹了几日的时间，尘埃才慢慢落定。 白马塔大门前的人，总算是少了一些。 不过白马悍妇吴妈的名声，却又传了出去。 身为当事人的吴妈，并不知道，自己在幽燕关中已经小有名气了。 第四日的时候，温晚派人传回来消息，有了老军医李时珍的线索，只是那个叫做叶从云的小兵，还没有消息，毕竟幽燕关的士兵数量太多，温晚只是一个游击将军，动用的资源和渠道有限，只能慢慢找，一切都急不得。 叶从云是哨兵甲的弟弟。 当日叶青羽在乎地下冰窟逃命的时候，被【青鸾丹王】陈墨云拦住，哨兵甲为叶青羽战死，临终之前，说自己有一个弟弟，叫做叶从云，恳请叶青羽日后若是回到幽燕关，希望能够将他的死讯，告之弟弟…… 叶青羽从未忘记过这样的托付。 他从未有一天，敢忘记哨兵们对于自己的恩德。 也正是那几天，哨兵们用自己的行动和血肉之躯，让叶青羽明白了军人这两个字的含义。 那几日发生的事情，对于叶青羽的人生观和价值观，是一次山呼海啸般的冲击和洗礼。 来到幽燕关之后，叶青羽第一时间，就想要去寻找哨兵甲的弟弟，可惜偌大的幽燕关，如无头苍蝇一般寻找，终究不是办法，叶青羽只能暂缓之，希望可以借助其他力量，找到这个叶从云。 不论如何，一定不能让叶从云出事。
高中数学立体几何PPT课件
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旋转 体
(1)圆柱可以由____矩__形____绕其任一边所在直线旋 转得到． (2)圆锥可以由直角三角形绕其____直__角__边____所在 直线旋转得到． (3)圆台可以由直角梯形绕___直__角__腰___所在直线或 等腰梯形绕_上__、__下__底__中__点__连__线___旋转得到，也可 由___平__行__于__底__面____的平面截圆锥得到． (4)球可以由半圆或圆绕__地，它的水平放置的平面图形的斜二测直 观图是直角梯形(如图)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥ BC，则这块菜地的面积为________．
答案：2＋
2 2
目录
5．(2011·高考北京卷改编)某四面体的三视图如图所示，该四 面体四个面的面积中最大的是________．
目录
3．(教材习题改编)有下列四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
其中真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
目录
解析：选A.命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不 垂直于底面的平行六面体不是长方体； 命题②不是真命题， 因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱 柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂 直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题， 由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得 侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．
目录
解析：
将三视图还原成几何体的直观图如图所示． 它的四个面的面积分别为 8,6,10,6 2，故面积最大的应为 10.
旋转 体
(1)圆柱可以由____矩__形____绕其任一边所在直线旋 转得到． (2)圆锥可以由直角三角形绕其____直__角__边____所在 直线旋转得到． (3)圆台可以由直角梯形绕___直__角__腰___所在直线或 等腰梯形绕_上__、__下__底__中__点__连__线___旋转得到，也可 由___平__行__于__底__面____的平面截圆锥得到． (4)球可以由半圆或圆绕__地，它的水平放置的平面图形的斜二测直 观图是直角梯形(如图)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥ BC，则这块菜地的面积为________．
答案：2＋
2 2
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5．(2011·高考北京卷改编)某四面体的三视图如图所示，该四 面体四个面的面积中最大的是________．
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3．(教材习题改编)有下列四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
其中真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
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解析：选A.命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不 垂直于底面的平行六面体不是长方体； 命题②不是真命题， 因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱 柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂 直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题， 由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得 侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．
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解析：
将三视图还原成几何体的直观图如图所示． 它的四个面的面积分别为 8,6,10,6 2，故面积最大的应为 10.
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面
的 通常用平行四边形表示平面，并用小写的希腊字母 、 、 、 L
基 来表示不同的平面．如图，记作平面 ．也可以用平行四边形的四个顶点
的字母或两个相对顶点的字母来
命名，如右图中的平面 也可以
D
本
C
记作平面ABCD，平面AC或平面
性
BD．
A
B
质
动脑思考 探索新知
9.1 当平面水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45°，
高中数学立体几何知识点
动脑思考 探索新知
平面的概念就是从这些场景中抽象出来的．数学中的平面是指光滑
并且可以无限延展的图形．
9.1 平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、墙面等，都是平面
的一部分．
平 我们知道，直线是可以无限延伸的，通常画出直线的一部分来表示
直线．同样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面．
创设情境 兴趣导入
将平面 内的四边形ABCD的两条 边AD与DC，沿着对角线AC向上折起， 将点D折叠到D 1 的位置(如图所示)．此 时A、B、C、D 1 四个点不在同一个平面 内．
这时的四边形ABCD 1叫做空间四边形．
9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
巩固知识 典型例题
上的所有点都在平面α内．
面
性质2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还
的
有其他公共. 点，并且所有公共点的集合是过这个点的
一条直线．
基
性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一 个平面．
本
性
质
第九章 立体几何
9．2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
创设情境 兴趣导入
观察右图所示的正方体，可以发 现：棱 A 1 B 1 与 A D 所在的直线，既不相 交又不平行，它们不同在任何一个平 面内．
9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
动脑思考 探索新知
在同一个平面内的直线，叫做共面直线，平行或相交的两条直线都是 共面直线．不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．如图所示的
正方体中，直线 A 1 B 1与直线 A D 就是两条异面直线．
这样，空间两条直线就有三种位置关系： 平行、相交、异面．
解 点 A、 D1 为平面 与平面 A 1 D 的公共点， 点 A、 C 为平面 与平面 B D 的公共点，
点 C 、 D 1 为平面 与平面 C 1 D 的公共点．
分别将这三个点两两连接，得到直线 AD1、AC、CD1
就是为由
三点所确定的平面γ与长方体的表面的
交线．
9.1
平 面 的 基 本 性 质
9.1
1．直线与这条直线外的一点可以确定一个平面（如图（1））．
2．两条相交直线可以确定一个平面（如图（2））．
平
3．两条平行直线可以确定一个平面（如图（3））．
面
的
基
A
(1)
(2)
本
性
（3）
质
巩固知识 典型例题
例2 在长方体 ABCDA 1B1C 1D 1中，画出由A、C、D1 三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线．
例1 已知空间四边形ABCD 中，E、 F、 G、 H分别为 A B 、 B C 、 C D 、 D A的中点（如图）．判断四边形 EFGH 是否为平行四边形？
解 联结BD．因为E、H分别为AB、DA的中点，
所以EH为 ABD的中位线．
于是 EH// BD且EH 1 BD． 同理可得 FG//BD且FG 1 BD．横Fra bibliotek画成邻边的2倍长．
当平面竖直放置的时候，通常把平面画成矩形．
D
A
B
平 面 的 基 本
C
性 质
巩固知识 典型例题
9.1
例1 表示出正方体 ABCDA 1B1C 1D 1（如图）的6个面．
平
面
的 解 这6个面可以分别表示为：平面A C 、平面 A1C 1、
平面 A B 1 、平面 B C 1、平面 C D 1、平面D A 1 .
运用知识 强化练习
1．“平面 与平面 只有一个公共点”的说法正确吗？
2．梯形是平面图形吗？为什么？ 3．已知A、B、C是直线l上的三个点，D不是直线l上的点． 判断直线AD、BD、CD是否在同一个平面内．
9.1
平 面 的 基 本 性 质
理论升华 整体建构
平面的基本性质？
9.1
平
性质1：如果直线l上的两个点都在平面α内，那么直线l
9.1
平 面 的 基 本 性 质
动脑思考 探索新知
9.1 画两个平面相交的图形时，一定要画出它们的交线．图形中被遮住
平 面 部分的线段，要画成虚线（如图（1）），或者不画（如图（2））．
的 基 本 性 质
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
动脑思考 探索新知
平面的性质3： 不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面（如图）．
“确定一个平面” 指的是“存在着一个平 面，并且只存在着一个 平面”．
9.1
平 面 的 基 本 性 质
动脑思考 探索新知
平面的性质3： 不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面．
利用三角架可以将照相机放稳 （如图），就是性质3的应用．
9.1
平 面 的 基 本 性 质
动脑思考 探索新知
根据上述性质，可以得出下面的三个结论．
9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
动脑思考 探索新知
利用铅笔和书本，演示如图的异面直线位置关系．
9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
动脑思考 探索新知
平行线的性质： 平行于同一条直线的两条直线平行． 我们经常利用这个性质来判断两条直线平行．
9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
9.1
平 面 的 基 本 性 质
动脑思考 探索新知
平面性质2： 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，并且
所有公共点的集合是过这个点的一条直线（如图）．
此时称这两个平面相交，并把所有公共点组成的直线 l 叫做两个
平面的交线．平面 与平面 相交，交线为 l ，记作 I l．
本章中的两个平面 是指不重合的两个平面， 两条直线是指不重合的 两条直线．
基
本
性
质
动脑思考 探索新知
直线与平面都可以看做点的集合．点A、B在直线l上，记作
Al、Bl； 点A、B在平面 内，记作 A、 B．
平面的性质
1：如果直线l上的两个点都在平面 内，那么直线l上的 所有点都在平面 内．
此时称直线l在平面 内或平面 经过直线l．记作 l ．
画直线l在平面
内的图形表示时，要 将直线画在平行四边 形的内部 ．