单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计(打印版)汇编
单级移动倒立摆建模及串联PID校正..
课程设计题目单级移动倒立摆建模及串联PID校正学院自动化学院班级电气1003班姓名xxx指导教师刘志立2013 年 1 月16 日课程设计任务书学生姓名： xxx 专业班级： 电气1003班指导教师： 刘志立 工作单位： 自动化学院题 目: 单级移动倒立摆建模及串联PID 校正 初始条件：要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的线性数学模型－传递函数（以u 为输入，θ为输出）；2、要求系统输出动态性能满足,5.1%,3.4%s t s ≤≤σ试设计串联PID校正装置。
3、 用Matlab 对校正后的系统进行仿真分析，比较校正装置加在线性化前的模型上和线性化后的模型上的时域响应有何区别，并说明原因。
时间安排：指导教师签名： 年 月 日系主任（或责任教师）签名： 年 月 日目录摘要 (1)1单级移动倒立摆系统的建模 (2)1.1倒立摆系统建模 (2)1.2单级移动倒立摆的数学模型的线性化 (3)2绘制校正前系统的Bode图和Nyquist图 (4)2.1绘制Bode图 (4)2.绘制Nyquist图 (5)3单级移动倒立摆系统的串联PID校正 (6)3.1设计PID控制器装置 (6)2.2确定PID参数 (7)4用MATLAB对校正后的系统进行校正分析 (9)4.1绘制校正后系统的bode图 (9)4.2绘制校正后系统的Nyquist图 (10)4.3系统校正后的比较 (11)5心得体会.............................................. . (12)参考文献 (13)本科生课程设计成绩评定表 (14)摘要倒立摆系统是一个典型的非线性多变量强耦合不稳定的非最小相位系统，在航天航空和机电一体化等领域得到了广泛的应用，如在火箭箭身的姿态稳定控制及机器人多自由运动稳定的设计都用到了倒立摆系统。
自控课设
学号：课程设计单级移动倒立摆建模及串联超前题目校正学院自动化学院专业自动化专业班级自动化0904班姓名小白牙指导教师2012年1月4日课程设计任务书学生姓名： 小白牙 专业班级： 自动化0904班 指导教师： 工作单位： 武汉理工大学题 目: 单级移动倒立摆建模及串连超前校正 初始条件：要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、 研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的线性数学模型－传递函数（以u 为输入，θ为输出）；2、要求系统输出动态性能满足,1%,3.4%s t s ≤≤σ试设计串连超前校正装置。
3、用Matlab 对校正后的系统进行仿真分析，比较校正装置加在线性化前的模型上和线性化后的模型上的时域相应有何区别，并说明原因。
时间安排：图示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。
由于小车在水平方向可适当移动，因此，控指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日目录摘要倒立摆系统作为控制理论研究中一种比较理想的实验手段，以自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论的或方法的典型方案，促进了控制系统新理论的、新思想的发展。
由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用和开发前景。
平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。
AbstractInverted pendulum system in control theory as an idealexperimental tool to automatically control the teaching of theory, experiment and research to build a good experimental platform used to test a theory or method of control typical of programs to promote the new theory of control systems, the development of new of the extensive application of control theory, which produces systematic study of methods and techniques will be precision instruments in the semiconductor processing, robot control, artificial intelligence, missile defense control systems, air docking technology, rocket launchers in the vertical control, satellite flight the attitude control and general industrial applications has extensive use and development prospects. Planar inverted pendulum can be more realistic simulation of the rocket's flight control and stability control walking robotic research.单级移动倒立摆及串联超前校正1.单级移动倒立摆系统建模非线性化数学模型单级移动倒立摆实验建模是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，利用数学手段建立系统的输入-输出关系。
单级倒立摆系统的建模与控制器设计
单级倒立摆系统的建模与控制器设计摘要：本文主要研究的是单级倒立摆的建模、控制与仿真问题。
倒立摆是一类典型的快速、多变量、非线性、强耦合、自然不稳定系统。
由于在实际中有很多这样的系统，因此对它的研究在理论上和方法论上均有深远的意义。
本文首先建立了单级倒立摆的数学模型，对其进行了近似线性化处理，得到了它的状态空间描述，并对系统的开环特性进行了仿真和分析。
然后，基于极点配置方法设计了单级倒立摆系统的控制器。
最后，用Matlab对系统进行了数值仿真，验证了所设计的控制算法的有效性。
1、绪论------------------------------------------------------------- 12、单级倒立摆系统的建模与分析--------------------------------------- 32.1 单级倒立摆系统的建模---------------------------------------- 32.2 单级倒立摆系统的模型分析------------------------------------ 63、单级倒立摆系统的极点配置控制器设计------------------------------ 113.1 单级倒立摆系统控制器设计的目标----------------------------- 113.2 单级倒立摆系统的能控性分析--------------------------------- 113.3 单级倒立摆系统的极点配置控制器设计------------------------- 123.4 闭环系统仿真分析------------------------------------------- 134、PID控制器的设计与分析------------------------------------------ 184.1、PID控制的基本原理----------------------------------------- 184.2、方案设计-------------------------------------------------- 184.3、PID控制设计分析------------------------------------------- 204.4、软件仿真调试结果------------------------------------------ 204.5、与极点控制器结果对比分析---------------------------------- 225、结论------------------------------------------------------------ 23 致谢--------------------------------------------------------------- 24 参考文献----------------------------------------------------------- 251、绪论倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
倒立摆系统的建模(拉格朗日方程)
系统的建模及性能分析倒立摆系统的构成及其参数1倒立摆系统的基本结构本设计所用到的倒立摆模型直线一级倒立摆系统。
整个系统是由6大部分所组成的一个闭环系统，包括计算机、数据采集卡、电源及功率放大器、直流伺服电机、倒立摆本体和两个光电编码器等模块。
如图2.1所示：图2.1 倒立摆系统的结构组成示意图Fig 2.1 Structure of the linear single inverted pendulum system2系统主要组成部分简介直线一级倒立摆装置如图2.2所示[13]：图2.2直线一级倒立摆装置Fig 2.2 Straight linear 1-stage inverted pendulum device Quanser倒立摆系统包含倒立摆本体、数据采集电控模块以及控制平台等三大部分，其中控制平台是由装有Quanser专用实时控制软件的通用PC机组成。
1．直线倒立摆主体倒立摆主体是由Quanser直线运动控制伺服单元IP02与直线一级摆杆组成，并配有专用的小车直线轨道。
这里主要介绍下Quanser直线运动控制伺服单元IP02(即倒立摆运动小车)及导轨的组成：图2.3伺服单元IP02的组成Fig 2.3 Servo unit IP02 parts编号名称英文(01)IP02小车IP02 Cart(02)不锈钢滑轨Stainless Steel Shaft(03)齿轮导轨Rack(04)小车位移齿轮Cart Position Pinion(05)小车电机传动齿轮Cart Motor Pinion(06)小车电机传动齿轮轴Cart Motor Pinion Shaft(07)摆杆传动轴Pendulum Axis(08)IP02小车位移编码器IP02 Cart Encoder(09)IP02摆杆角度编码器IP02 Pendulum Encoder(10)IP02小车位移编码器接口IP02 Cart Encoder Connector(11)IP02摆杆角度编码器接口IP02 Pendulum Encoder Connector(12)电机接口Motor Connector(13)直流伺服电机DC Motor(14)变速器Planetary Gearbox(15)直线滑轨支撑轴Linear Bearing(16)摆杆连接套Pendulum Socket(17)IP02配重模块IP02 Weight图2.4系统导轨结构图Fig 2.4 System guide rail structure编号名称英文(22)导轨末端挡板Rack End Plate(23)导轨固定螺丝Rack Set Screw(24)小车运动限位Track Discontinuity直线一级倒立摆系统的倒立摆的摆杆连接在IP02小车的摆杆连接套上，IP02小车由电机通过齿轮传动机构在导轨上来回运动，保持摆杆平衡。
单级旋转倒立摆系统
《现代控制理论》课程综合设计单级旋转倒立摆系统1 引言单级旋转倒立摆系统一种广泛应用的物理模型，其物理模型如下：图示为单级旋转倒立摆系统原理图。
其中摆的长度1l =1m ，质量1m = ，横杆的长度2l =1 m ，质量2m =，重力加速度20.98/g m s =。
以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出。
控制的目的是当横杆在水平方向上旋转时，将倒立摆保持在垂直位置上。
图1 单级旋转倒立摆系统模型单级旋转倒立摆可以在平行于纸面3600的范围内自由摆动。
倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的推动下，摆杆仍然保持竖直向上状态。
在横杆静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆微小的扰动下，就会使倒立摆的平衡无法复位，这时必须使横杆在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。
作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。
本文综合设计以以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出，建立状态空间模型，在原有系统上中综合带状态观测器状态反馈系统，从而实现当横杆在旋转运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。
/2 模型建立本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：M 为加在横杆上的力矩；1m 为摆杆质量；1l 为摆杆长度；1I 为摆杆的转动惯量；2m 为横杆的质量；2l 为横杆的长度；2I 为横杆的转动惯量；1θ为横杆在力矩作用下转动的角度；2θ为摆杆与垂直方向的夹角；N 和H 分别为摆杆与横杆之间相互作用力的水平和垂直方向的分量。
倒立摆模型受力分析如图2所示。
图2 倒立摆模型受力分析摆杆水平方向受力平衡方程：2111222(0sin )2l d N m l dt θθ=++（1θ2l —横杆的转动弧长即位移）~摆杆垂直方向受力平衡方程：2111122(cos )22l l d H m g m dt θ-=-摆杆转矩平衡方程：22111222sin cos 22d l l J H N dt θθθ=-横杆转矩平衡方程：21222d M Nl J dt θ-=N考虑到摆杆在设定点12,=0θθ附近做微小振动，对上式进行线性化，即22sin θθ≈，2cos 1θ≈ ，20θ≈，其中23ml J =，近似线性化得到，()212222222120.10.50.98010.50.5130130d N dt H d H N dt d M N dt θθθθθ⎧=+⎪⎪-=⎪⎪⎨=⋅-⋅⋅⎪⎪⎪-=⎪⎩！整理上式可得倒立摆的状态方程：21221114.71524110032M M θθθθθ••••••••⎧-+-⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩ 本文参数代入计算可得：12224.64211.05312.3799.474MMθθθθ••⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩ 取状态变量如下：11213242x x x x x θθθθ•⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦112233440010000 4.642011.05300010012.37909.474x x x x M x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故[]1211341000x x y x x θ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦3 稳定性和能控性分析稳定性分析判断一个系统是否稳定，只需判断该系统传递函数的极点是否都在左半平面。
倒立摆数学模型[整理版]
![倒立摆数学模型[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/a6438416b42acfc789eb172ded630b1c59ee9bcb.png)
1单级倒立摆的数学模型的建立：小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。
电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。
导轨截面成H 型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。
轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。
图1 单级倒立摆系统数学模型倒立摆系统的模型参数如下[]：M 小车质量 1.096Kg ；m 摆杆质量 0.109Kg b 小车摩擦系数 0.1N/m /sec I 摆杆质量 0.0034kg*m*m l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25mT 采样频率 0.005s下面N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为：N x b F xM --= (1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：()θθθθθsin cos sin 222ml ml xm N l x dtd m N -+=+= （2）把这个等式代入（1）式中，得到系统的第一个运动方程：()F ml ml x b xm M =-+++θθθθsin cos 2 （3）为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进行分析，得到下面的方程：()θcos 22l dtd m mg P =-θθθθcos sin 2 ml ml mg P --=- （4）力矩平衡方程如下：θθ I Nl Pl =--cos sin （5）方程中力矩的方向，由于φπθ+=，θφθφsin sin ,cos cos -=-=，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：()θθθcos sin 2x ml mgl ml I -=++ （6）假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即1〈〈φ，则可进行近似处理：0,sin ,1cos 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=dt d θφθθ用u 代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M x ml mgl ml I φφφ2 （7）对方程（7）进行拉普拉斯变换，得到：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+)()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I φφφ （8）（推到时假设初始条件为0）则， 摆杆角度和小车位移的传递函数为：mgls ml I mls s X s -+=222)()()(φ 将上述参数代入，摆杆角度和小车位移的传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(22-=s s s X s φ 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：()mgls ml I mls A s -+=22)()(φ将上述参数代入，摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(22-=s s s A s φ 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：22432222()()()()()()ml ss qb I ml M m mgl bmgl F s s s s sq q qq M m I ml m l φ=+++--⎡⎤=++-⎣⎦将上述参数代入，摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：32()2.35655()0.088316727.9169 2.30942s sF s s s s φ=+-- 以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：222222222201000()00()()()00010()00()()()x x I ml b m gl I ml x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml u mlb mgl M m ml I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣⎦1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦将上述参数代入，以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：0100000.08831670.62931700.8831670001000.23565527.82850 2.356551000000100x x x x u x x x y u φφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：'01000000010010330044x x x x u g ll φφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ '1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 将上述参数代入，以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：0100000001000100029.4031000000100x x x x u x x x y u φφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦2系统的可控性、可观测性分析对于连续时间系统：Bu AX X+= Du CX y +=系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组B A AB B n 1,...,,-是线性无关的，或n ×n 维矩阵[]B A AB B n 1- 的秩为n 。
单级倒立摆建模与pd矫正
摘要
单级移动倒立摆控制系统是一个复杂的、 不稳定的、 非线性系统， 是进行控制理论教学 及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典 型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆 的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。本此课 程设计对单级移动倒立摆的平衡问题进行了研究并采用串联 PD 校正实现了系统的的平衡 控制。建立了系统的数学模型进行合理线性化，求出线性传递函数。并且设计串联 PD 校正 装置， 使系统输出动态性能满足一定指标要求。使用 Matlab 软件中的 SIMULINK 工具对倒 立摆系统的运动进行了计算机仿真，并利用 Matlab 便捷的计算功能和绘图功能分析未校正 系统的动态性能和校正后系统的各项性能。 关键字：单级移动倒立摆 串联 PD 校正 MATLAB 仿真
2 单级移动倒立摆的串联 PD 校正 ............................................................................... 4
2.1 未校正系统的动态性能指标.................................................................................... 4 2.2 系统的串联 PD 校正 ................................................................................................ 9 2.3 校正后系统动态性能指标 ..................................................................................... 11
单级倒立摆的数学建模与仿真
单级倒立摆的数学建模与仿真倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、严重不稳定和强耦合的非线性系统。
由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性,因而对其研究具有重大的理论和实践意义。
由于倒立摆系统本身所具有的上述特点,使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。
现对单级倒立摆系统进行数学建模并利用MATLAB 进行仿真。
在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，M ：小车质量 x ：小车位置m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量F ：加在小车上的力l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度θ：摆杆与垂直向上方向的夹角根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知：（1）摆杆绕其重心的转动方程为：（2）摆杆重心的运动方程为：（3）小车水平方向上的运动为：22..........(4)x d xF F M d t -=联立上述4个方程，可以得出一阶倒立摆数学模型：()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J m l F m l J m l m l g x J m l M m m l m l F m l M m m m l M m J m l θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=- 2222(sin )..........(2)(cos ).........(3)x y d F m x l d t d F m g m l d t θθ=+=-式中J 为摆杆的转动惯量：32ml J =若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（︒︒≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为：⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 若取小车质量M=2kg,摆杆质量m=1kg,摆杆长度2 l =1m,重力加速度取g=2/10s m ,则可以得一阶倒立摆简化模型：....0.44 3.330.412x F F θθθ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩由以上得出的一阶倒立摆模型，对一阶倒立摆进行仿真，222()0.4()12() 1.110()s F s s x s s s s θθ-⎧=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪⎩。
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目录摘要 (2)1单级移动倒立摆的Newton方法建模 (3)1.1非线性数学模型 (3)1.1.1 被控对象系统建模分析 (3)2倒立摆系统的串联超前校正装置校正分析 (5)2.1未校正系统输出动态性能 (5)2.2系统的串联超前装置校正 (8)2.2.1参数修正 (8)2.2.2串联超前校正装置 (11)2.3校正后系统的稳定性分析 (11)3校正前系统与校正后系统的比较 (14)4设计心得体会 (14)参考文献 (15)摘要倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。
通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。
同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。
本次课程设计主要考察对课堂理论知识把握的牢固程度和将理论知识、数学建模及软件应用相综合应用的技巧。
通过对给定的物理模型进行分析和求解，进而使用自动控制中所要求的知识，串联超前校正装置，使系统响应符合题目给定的要求。
这次课程设计要求的绘图软件为MATLAB，使用的校正方式为串联超前校正。
关键字：倒立摆串联超前校正MATLAB单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计1单级移动倒立摆的Newton方法建模1.1非线性数学模型系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。
实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。
这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。
对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。
但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
在此次的课程设计中我采用其中的Newton方法建立单级移动一级倒立摆系统的数学模型。
1.1.1 被控对象系统建模分析在忽略了空气阻力和各种摩擦力后，可将倒立摆系统抽象成小车和均质杆组成的系统如下图1小车系统总体分析图。
.设输入作用力为u，输出为摆角θ。
图1 小车总系统分析小车质量M=1；摆杆质量m=0.1；小车摩擦系数b=0；摆杆转动轴心到杆质心的长度l=1；摆杆惯量I=0.03；加在小车上的力F ；小车位置x ；摆杆与垂直向上方向的夹角（逆时针为正)Φ；摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑摆杆初始位置为竖直向下，顺时针为正）θ。
图2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直分析的分量。
xb xxmgN N PPF M θ图 二图2 系统分隔分析图应用Newton 方法来建立系统的动力学方程过程如下：分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：N x b F x M +'-=''由摆杆水平方向所受的合力，可以得到以下方程： )sin (22θl x dt d m N += θθθθsin )(cos 2'-''+''=ml ml x m N合并可得：F ml x b x m M ='-''+'+''+]sin )(cos [)(2θθθθ 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： )cos (22θl dtd m mg P =- ]cos )(sin [2θθθθ'+''-=-ml mg P合并得到力矩平衡方程如下：θθθ''=--I Nl Pl cos sin方程中φπθ+=，当φ与1（单位是弧度）相比很小时，可以进行近似处理：1cos -=θ、φθ-=sin 、0)(2=dtd θ，用u 来代替被控对象的输入力F ，线性化两个运动 方程（即将上述等式带入②和③）如下：⎩⎨⎧''=-''+=''-'+''+xml mgl ml I u ml x b x m M φφφ)()(2 对方程组④进行拉普拉斯变换，得到：⎪⎩⎪⎨⎧=Φ-Φ+=Φ-++22222)()()()()()()()()(s s m lX s m gls s m l I s U s s m l s s bX s s X m M 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出为角度φ，求解方程组⑤的第二个方程，可以得到： )(]([)(22s sg ml ml I s X Φ-+= 把上式带入方程组⑤的第二个方程，得到输入到输出-摆杆角度的传递函数： qbm gl s q mgl m M s q ml I b s s q ml s U s -+-++=Φ)()()()(223 其中])())([(22ml ml I m M q -++=根据题目所给的条件得出原函数的传递函数为2()-1()()11s G s U s s Φ==- 2倒立摆系统的串联超前校正装置校正分析2.1未校正系统输出动态性能用MATLAB 做出单位阶跃响应曲线如下图4MATLAB 程序如下num =[-1] %描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵 den =[1,0,-11] %描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵step(num,den) %描述单位阶跃输入信号grid on %描述网络标度线xlabel(‘t’),ylabel(‘c(t)’)title(‘单位阶跃响应’)图4 单位阶跃响应曲线用MATLAB做出传递函数的根轨迹图图5,MATLAB程序如下num=[-1] %描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵den=[1 0 -11] %描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵rlocus(num,den) %计算出系统根轨迹图5 根轨迹用MATLAB做伯德图图6，MATLAB程序如下num=[-1] %描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵den=[1 0 -11] %描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵G=tf(num,den)bode(G) %绘制系统的伯德图图6 伯德图图5、图6分别为系统未校正前的闭环根轨迹和波特图，由这两张图也可看出系统处于非稳定状态。
2.2系统的串联超前装置校正2.2.1参数修正 超前校正就是在前向通道中串联传递函数为11)(++=Ts aTs s G C ，a>1的校正装置，其中参 数a 、T 为可调，如下图，从超前校正的零、极点可以位于s 平面负实轴上的任意位置，从而产生不同的校正效果。
超前校正的基本原理就是利用超前相角补偿系统的滞后相角，改善系统的动态性能，如增加相位裕度，提高系统稳定性等。
在串联超前装置11)(++=Ts aTs s G C 后，该开环传递函数为32--1`()1111aTs G s Ts s Ts =+--，所以特征方程为32()(-11)12D s Ts s aT T s =++--，利用劳斯判据判断其稳定性3210(-11)112(-+)0-12s T aT T s saT T s -- 图7 劳斯表可以发现当原系统加入了超前校正装置之后，系统仍然z 为不稳定，数据多串联一些校正应该可以使系统稳定，但是这样较为繁琐，而且目前的知识也达不到。
所以，根据我的判定是题目的参数有偏差，所以我修改了数据改变了小车质量M 和摆杆的质量m ，设M=0.05，m=0.01 求得新的原传递函数为915)()()(2-=Φ=s s U s s G图8 simulink仿真图用MATLAB做出单位阶跃响应曲线，如下图9单位阶跃响应曲线MATLAB程序如下num =[15] %描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵den =[1,0,-9] %描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵step(num,den) %描述单位阶跃输入信号grid on %描述网络标度线xlabel(‘t’),ylabel(‘c(t)’)图9 单位阶跃响应曲线用MATLAB做出根轨迹图10，MATLAB程序如下n=[15] %描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵d=[1 0 -9] %描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵rlocus(n,d) %计算出系统根轨迹图10 根轨迹图用MATLAB做出伯德图如图11，MATLAB程序如下G=tf(15,[1 0 -9]);margin(G) %绘制系统的伯德图图11 伯德图2.2.2串联超前校正装置 串联超前校正装置991515)`(23--++=Ts s Ts aTs s G 同时用劳斯判据来判定新的校正后的传递函数60)1515(61)915(0123s T aT s s T aT T s -- 图12 劳斯表可得，新的传递函数可以通过改变变量的方法使其在串联超前校正装置后稳定015150>->T aT T −→−10>>a T 即当a 和T 两个变量取以上范围的时候，可以使系统稳定。
为了符合设计要中所需要达到的参数范围，我进行了小范围的假设和调节设a=2的时候，同时使G`(s)的形式更加接近于典型的二阶系统，又因为991515)`(23+-++=Ts s Ts aTs s G ，可以先进行几何化简 .170)5315115(*)1515(992a 2223≈−−→−+-++=+-+=T s T a a a s aTs Ts s Ts 当 64s 8s 25653151151)(222++⇒+-+=s T a a a s s G 2.3校正后系统的稳定性分析用MATLAB 做出新的单位阶跃响应曲线如下图14MATLAB 程序如下图13 simulink 仿真num =[256] %描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵 den =[1,8,64] %描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵 step(num,den) %描述单位阶跃输入信号grid on %描述网络标度线xlabel(‘t ’),ylabel(‘c(t)’)title(‘单位阶跃响应’)图14由系统校正后单位阶跃响应曲线（设在t=1s 时输入单位阶跃信号）可得，达到设计要求s t s 5.1%,3.16%≤≤σ用MATLAB 做出校正后传递函数的根轨迹图如下图15，MATLAB 程序如下n=[256] %描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵 d=[1 8 64] %描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵 rlocus(n,d) %计算出系统根轨迹图15用MATLAB做出伯德图如下图16，MATLAB程序如下G=tf(256,[1 8 64]);margin(G) %绘制系统的伯德图图16分别为系统校正后的闭环根轨迹和波特图，由这两张图可看出系统已处于稳定状态。