图-连通的概念
第一章(图论的基本概念)
第二节 图的顶点度和图的同构(4)
图序列:简单图的度序列. (d1, d 2 , , d p )(d1 d 2 d p ) 定理4 非负整数序列 是图序列当 p 且仅当 d i 是偶数,并且对一切整数k, 1 k p 1, 有
i 1
第二节 图的顶点度和图的同构(1)
定义1 设G是任意图,x为G的任意结点,与结点x关联的 边数(一条环计算两次)称为x的度数.记作deg(x)或d(x). 定义2 设G为无向图,对于G的每个结点x,若d(x)=K,则 称G为K正则的无向图.设G为有向图,对于G的每个结点 x,若d+(x)=d-(x), 则称G为平衡有向图.在有向图G中, 若 (G) (G) (G) (G) K , 则称G为K正则有向图. 定理1(握手定理，图论基本定理)每个图中,结点度数的 总和等于边数的二倍,即 deg(x) 2 E .
•
A
N
S
B
欧拉的结论 • 欧拉指出:一个线图中存在通过每边一次仅一次 回到出发点的路线的充要条件是: • 1)图是连通的,即任意两点可由图中的一些边连 接起来; • 2)与图中每一顶点相连的边必须是偶数. • 由此得出结论:七桥问题无解. 欧拉由七桥问题所引发的研究论文是图论的开 篇之作,因此称欧拉为图论之父.
xV
定理2 每个图中,度数为奇数的结点必定是偶数个.
第二节 图的顶点度和图的同构(2)
• 定理3 在任何有向图中,所有结点入度之和等于所有结 点出度之和. • 证明 因为每条有向边必对应一个入度和出度,若一个结 点具有一个入度或出度,则必关联一条有向边,因此,有向 图中各结点的入度之和等于边数,各结点出度之和也等 于边数. • 定义 度序列,若V(G)={v1,v2,…,vp},称非负整数序列 (d(v1),d(v2),…,d(vp))为图G的度序列.
运筹学-图论
根据此图便可找到渡河方法。
(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0) (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,1)
简单链：(v1 , v2 , v3 , v4 ,v5 , v3 )
v2
简单圈： (v4 , v1 , v2 , v3 , v5 , v7 , v6 ,v3 , v4 )
v6
v4
v5
v3
v7
连通图：图中任意两点之间均至少有一条通路，否则称为不连通 图。
v1 v5
v1
v6
v2
v2
v4
v3
v5
v4
v3
连通图
以后除特别声明，均指初等链和初等圈。
不连通图
有向图：关联边有方向 弧：有向图的边 a=(u ,v),起点u ,终点v； 路：若有从 u 到 v 不考虑方向的链,且 各方向一致,则称之为从u到v 的 路； 初等路: 各顶点都不相同的路； 初等回路:u = v 的初等路; 连通图： 若不考虑方向是
无向连通图; 强连通图：任两点有路;
端点的度 d(v)：点 v 作为端点的边的个数 奇点：d(v)=奇数；
偶点：d(v) = 偶数； 悬挂点：d(v)=1； 悬挂边：与悬挂点连接的边； 孤立点：d(v)=0； 空图：E = ，无边图
v1
v3
v5 v6
v2
v4
图 5.7
v5
v4
V={v1 , v2 , v3 , v4 , v5 ,v6 , v7 }
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否则称为闭链或 回路或圈；
一笔画
B
2、下面是商场的平面图，顾客可以从六个 门进出商场，怎样走才能做到不重复第走 完每条通道？画画看。
A
B
O
C
FED源自补充两点： (1)一个图形的奇点数目一定是偶数。 (2)有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成。
下面的图形中有几个奇点？需要几笔才能画完？
A
请你试着用“一笔画”解决问题： 1、一辆清洁车清扫街道，街道如下图，每段 街道长1千米，清洁车从A点出发，走遍所有 的街道再回到A点，最少要走多少千米？怎 样走呢，画画看。
B A
C D
图中只有A、D两点是奇 点，又是连通图，此图能 一笔成画，所以能做到走 遍每条路而不重复。
出入口分别设在A、D两 点即可。
3、奥运会的五连环图案，你能一 笔画成吗？试一试吧。
练一练
1、工人师傅检修隧道，由A点出发，达到B点， 必须不重复地经过每一条线，你能相处好办法吗？ 试一试吧？
A
B H I F G C D E
B、C、D、E、F、G、H、I，8个点是奇 点，所以必须最少用8÷2=4（笔）才能 画完此画。也就是说每两个奇点之间的路 要重复的走一遍。
A
共24段街道，在重复走4段，共走 24+4=28（段）每段1千米共 24×1=24（千米）
2、下图是公园的平面图，要使 游客走遍每条路而不重复，你能 做到吗？如果能，出入口应设在 哪？
一笔画 （连通图） 一、基本概念： 一笔画：笔不离开纸，每条线只画一次， 不能重复。（点可以重复）
奇点：从一点发射的线有奇数条。 偶点：从一点发射的线有偶数条线
二、数学家欧拉找到一笔画的规律是： ⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一 笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最 后一定能以这个点为终点画完此图。 ⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为 偶点），一定可以一笔画成。画时必须把 一个奇点为起点，另一个奇点终点。 ⒊其他情况的图都不能一笔画出
数据结构-图的连通性
③数据结构的动态分析 (closedge[5].adjvex，G.vexs[5])
∞ 6 1 6 ∞ 5 1 5 ∞ 5 6 5 ∞ 3 6 ∞ ∞ 4
i
1
v2 5
3
5 v4
2
v3
5 ∞ 5 ∞ ∞ 2 2
∞ 3 6 ∞ ∞ 6 3
∞ ∞ 4 2 6 ∞ 4 5
3
6
4
2
4 v 5
6
v6
5
G.vexs:
一、最小生成树
2.实例：V={v1,v2,v3,v4,v5,v6}
①任取u0=v1, 则：U={v1}, V-U={v2,v3,v4,v5,v6}
v2 6
v1 5 1 5 v3 3 6 4 2 5 v4
v5
6
v6
一、最小生成树
2.实例：V={v1,v2,v3,v4,v5,v6}
①任取u0=v1, 则：U={v1}, V-U={v2,v3,v4,v5,v6} ②取边(v1,v3),则：U={v1,v3} V-U={v2,v4,v5,v6}
一、最小生成树
3.算法的实现：
③数据结构的动态分析 G.arcs如下：
0 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6
0
v1 5 1
1
v2 5
3
5 v4
2
v3
∞ 6 1 6 ∞ 5 1 5 ∞ 5 6 5 ∞ 3 6 ∞ ∞ 4
i
5 ∞ 5 ∞ ∞ 2 2
∞ 3 6 ∞ ∞ 6 3
∞ ∞ 4 2 6 ∞ 4 5
v2 6
v1 5 1 5 v3 3 6 4 2 5 v4
v5
6
v6
④取边(v6,v4),则：U={v1,v3, v6,v4} V-U={v2,v5} ⑤取边(v3,v2),则：U={v1,v3, v6,v4,v2} ⑥取边(v2,v5),则：U={v1,v3, v6,v4,v2,v5}
图论什么的最讨厌了喵
找到所有的点 w！！ 1、因为u是v的祖先,所以u->v u、v属亍同一个强连通分量 两个条件： 2、若某点w也属亍该强连通分量，那么 1、w必可达v • 显然有u->w (因为u是w的祖先) 2、w必在u的 • w->v (所以w必可达v） 子树内！
13
Let's turn back to DFS
8
9
优越的算法？
• 如果我们对一个图迚行dfs，我们会得到一 个森林（Many Trees） • for (int i=0;i<n;i++) if (!vis[i]) dfs(i)； • 我们的算法基亍以下事实： • 每一个强连通分量一定是其中一棵dfs树的 子树
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A Proof
• 如果丌属亍一棵子树，那么设存在n棵子树 • 子树和子树间丌连通（否则DFS一定可达） • 都丌连通了哪儿还有强连通分量啊！！！
• 强连通分量（Strongly Connected
Components，SSC)
• 强连通分量内部的点是彼此可达的，因而 可以将其视为一个整体（缩点的过程）
• 最终形成DAG（Directed Acyclic Graph) • 有向无环图
7
An Example
A E C D F
B
G
H
I
四个强连通分量： {A, B, C, G} {D, E, F} {H} {I}
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Pseudo Code (I)
void dfs(int u) { disnum[u]=t_stamp++; visited[v]=true; for (each v that u->v) { if (!visited(v)) { dfs(v); low[u]=min(low[u],low[v]); } else low[u]=min(low[u],disnum[v]) }
图论基础知识
图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 对下面两个图分别进行深度优先遍历，写出遍历结果。 注意：分别从a和V1出发。
左图从顶点a出发，进行深度优先遍历的结果为：a，b，c，d，e，g，f 右图从V1出发进行深度优先遍历的结果为：V1，V2，V4，V8，V5，V3，V6，V7
邻接矩阵
边集数组
邻接表
优点O（1）
存储稀疏图时，空 间效率比较好，也 比较直观
便于查找任一顶点的关联边及 关联点,查找运算的时间复杂 性平均为O(e/n)
存储稀疏图，会造 成很大的空间浪费
不适合对顶点的运 算和对任意一条边 的运算
要查找一个顶点的前驱顶点和以此顶点 为终点的边、以及该顶点的入度就不方 便了，需要扫描整个表，时间复杂度为O （n+e）。可以用十字邻接表改进
被访问一次，这种运算操作被称为图的遍历。为了避免重复访问某个 顶点，可以设一个标志数组visited[i]，未访问时值为false，访问一次 后就改为true。
图的遍历分为深度优先遍历和广度（宽度）优先遍历两种方法。 图的深度优先遍历：类似于树的先序遍历。从图中某个顶点Vi出发， 访问此顶点并作已访问标记，然后从Vi的一个未被访问过的邻接点Vj出 发再进行深度优先遍历，当Vi的所有邻接点都被访问过时，则退回到上 一个顶点Vk，再从Vk的另一个未被访问过的邻接点出发进行深度优先遍 历，直至图中所有顶点都被访问到为止。
常州市第一中学 林厚从
图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 对于一个连通图，深度优先遍历的递归过程如下：
Procedure dfs(i:integer)； {图用邻接矩阵存储} Begin
访问顶点i； Visited[i]:=True； For j:=1 to n do {按深度优先搜索的顺序遍历与i相关联的所有顶点}
图像连通域的概念
图像连通域的概念图像连通域是指图像中一组相邻的像素点，它们具有相同的属性或特征，且通过相邻像素之间的连接关系形成一个连通区域。
每个像素点可以看作是一个图像中一个最小的连通域，而多个连通域的集合则构成了整个图像。
图像连通域的概念对于图像处理和分析非常重要，可以用于目标检测、图像分割、特征提取等领域。
在实际应用中，常常需要识别和提取图像中的不同连通域，以便进一步进行后续处理。
在图像中，连通域可以是任意形状的区域，这取决于图像中像素点之间的连接关系。
而像素点之间的连接关系通常是通过像素点的空间位置和像素值的相似度来定义的。
在图像处理中，常常使用的连接关系有4邻接和8邻接。
4邻接表示一个像素点的上、下、左、右四个邻域像素，而8邻接则表示上、下、左、右以及对角线的八个邻域像素。
这两种邻接方式可根据具体应用需求选择。
连通域分析的基本原理是通过扫描整个图像，从每一个像素点开始，查找满足连接条件的相邻像素点，并将它们组成一个连通域。
常使用的算法有基于种子点的扫描算法和基于区域增长算法。
基于种子点的扫描算法从图像中选择一个种子点开始，通过不断扩展种子点的相邻像素，并标记已访问过的像素点，以便于后续处理。
该算法适用于具有清晰边界和简单连通域形状的图像。
基于区域增长的算法则通过像素值的相似性来判断像素点是否属于同一个连通域。
该算法从一个种子点开始，逐步增长满足相似性条件的像素点，直到达到预设的停止条件。
该算法适用于具有复杂连通域形状和灰度值变化较大的图像。
除了基本的连通域分析算法，还有一些改进和扩展的算法可以应用于特定的图像处理任务。
例如，基于区域的分割算法、基于轮廓的形状分析算法等。
这些算法利用图像连通域的特性进行目标检测、分类和识别等任务。
总的来说，图像连通域是指图像中一组相邻的像素点，通过连接关系形成的连通区域。
连通域分析是图像处理和分析中常用的技术，可用于目标检测、图像分割、特征提取等领域。
不同的连通域分析算法可以根据具体应用需求选择，以实现对图像中连通域的识别和提取。
连通图
练习2 在下图中，（a）、（b）是（1）的生成 树．
三、 概念和公式的引出
欧拉通路与欧拉图 如果一个图中存在经过每一条边一次且仅只一次的 通路，称此通路为欧拉通路． 如果一个图中存在经过每一条边一次且仅只一次的 回路，称为欧拉回路，具有欧拉回路的图称为欧拉图．
四、进一步练习 练习1 观察下图可知，图（1）存在欧拉通路， 图（2）存在欧拉通路．
8.3 通路、回路、连通图、树及生成树
一、概念和公式的引出 二、进一步的练习 三、概念和公式的引出 四、进一步的练习 五、概念和公式的引出 六、进一步的练习
一、概念和公式的引出 在下图 中，称 v1e1v2e4v4为一条从v1到v4 且长度为2的通路，其中长度是指通路中边 的条数．称 v2e2v3e3v4e4v2 为一条回路．
（1）
Hale Waihona Puke （2）练习2 下图（1）存在欧拉通路，图（2）存在 欧拉回路且为欧拉图．
（1）
（2）
五、 概念和公式的引出 一个无向图具有一条欧拉通路的充分必要条件是该 图连通且度数为奇数的端点为0个或2个． 一个无向图为欧拉图的充分必要条件是该图连通且 所有端点的度数全为偶数．
六、进一步练习 练习1[蚂蚁比赛问题] 甲、乙两只蚂蚁分别位于 下图中的a、b两处，并设abcde为一正5边形的顶 点．甲、乙进行比赛：从它们所在的点出发， 走过图中的所有边，最后到达点c处．如果它们 c 速度相同，问谁先到达目的地？
连通图 任意两点之间都有通路的图为连通图． 树 如果一个图是一个连通的，且不包含回路，这样 的图称为树 。 生成树 如果一个连通图的某个子图是一棵树，则称该树 为此图的生成树 。
二、进一步练习
v 练习1 在下图中，1e1v2e2v3e5v4 为一条从
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三、连通性3.1 连通性和Whitmey定理定义V真包含于V(G), G[V(G)-V'不连通，而G是连通图，则称V是G的顶剖分集。
最小顶剖分集中顶的个数，记成K (G)叫做G的连通度；规定K (Kv)=-U; K不连通图)=平凡图)=0。
由一个顶组成的顶剖分集叫割顶。
没有割顶的图叫做块，G中的成块的极大子图叫做G的块。
定义E包含于E(G)，G为连通图，而G-E'从G中删除E'中的边)不连通，则称E'为G的边剖分集，若G中已无边剖分集E〃，使得|E 〃|v|E则称|E '为G的边连通度，记成K' (G归’|=时，E'中的边叫做桥。
规定K不连通图)=0，K' (Kv)= u1。
定义K (G)>=k时，G叫做k连通图；K' (G)>=k，G称为k边连通图。
k连通图，当k>1时，也是k-1连通图。
k边连通图，当k>1时，也是k-1边连通图。
上面就是顶连通与边连通的概念，好象不指明的就是指顶连通了。
定理1 K (G)=< K' 2)=可以复习一下第一章的1.2：S =min{d(v)})证：设d(v)=，则删除与v边关联的S条边后，G变不连通图，所以这S 条边形成一个边剖分集，故最小边剖分集边数不超过即K' (G)=<T证K =<K'分情形讨论之。
若G中无桥，则有K' >条边，移去它们之后，G变成不连通图。
于是删除这K条中的K'条后，G变成有桥的图。
设此桥为e=uv，我们对于上述K'条删去的每条边上，选取一个端点，删除这些(不超过K'个)端点，若G变得不边能，则K =<K-1；若仍连通，则再删去u或v,即可使G变得不连通，于是K =<K'证毕。
这个定理很好理解，图论中的一些定理常以这种友好”的面目出现。
F面就是Whitmey定理定理2(Whitney,1932) u >的图是2连通图的充要条件是任二顶共圈(在一个圈上)。
证：若任二顶共圈，任删除一个顶w后，得图G-w。
任取两顶u,v € V(G-w), u,v在G中共存于圈C 上,若w不在C上，则G-w中仍有圈C,即u与v在G-w 中仍连通；若w 在G 中时在 C 上，在G-w 中u 与v 在轨C-w 上，故u 与v 仍连通。
由u与v之任意性，G-w是连通图，故K (G)>=2即G是2连通图。
反之，若G是2连通图，u >=3任取u,v€ V(G)，用对d(u,v)的归纳法证明u 与v 之间有两条无公共内顶的轨当d(u,v)=1是时，因K =<K'，故K' >=2uv边不是桥，G-uv仍连通，于是G-uv 中存在从u到v的轨P1(u,v),这样从u到v有两条无公共内顶的轨P1(u,v) 与边uv。
假设d(u,v)<k时(k>=2),结论已成立，考虑d(u,v)=k的情形。
令PO(u,v)之长为k,w是PO(u,v)上与v相邻的顶，贝U d(u,w)=k-1，由归纳法假设，在u,w之间有两条无公共内顶P与Q，因G是2连通较长，故G-w仍连通。
在G-w中存在轨P' (u,v)<>PO(u,v)令x是P U Q上P'的最后一个顶。
因u€ P U Q,故x存在(可能x=u)。
不妨设x € V(P)，则G有两个u,v之间无公共内顶的轨：一个是P上从u到x段并在P'上从x到v段；一个是Q+wv。
证毕。
图论的定理证明，没有其他数学的那么多推导，那么多的公式，符号也是有限的几个，看多了就明白了。
概念清晰还是很重要，很多东西是概念性的。
还有就是构造了，照题能构造出的相应的图有时就迎而解了。
就是打字时中英文切换麻烦。
3.2 割顶、桥、块割顶、桥、块都是一个图的关键部位了。
本节给出三个定理来阐述这三个概念，好象少了点，不过这本书的东西有些地方很语焉不详的，而且有些东西到处穿插，并且有很强的理论性，很少涉及实践中的问题。
看起来比较的累人。
定理 3 v 是连通图的一个顶点，则下可述命题等价：(1) v 是割顶(2) 存在与v不同的两个顶u,w，使得v在每一条由u到w的轨上(3) 存在V-{v}的一个划分V-{v}=U U W,U A W环，使得对任意的u € U,w € W,v在每一条由u到w的轨上。
定理4 x是G的一边，G是连通图，则下述命题等价：(1) x 是G 的桥。
(2) x 不在G 的任一圈上。
(3) 存在顶u,v € V(G),使得x在每一个从u到v的轨上。
(4) 存在V(G)的划分U与W，使得任二顶u,w,u€ U,w€ W 时，x 在每条从u 到v 的轨上。
上面的都没什么可证的，就是轨、连通片、割顶、桥等概念翻来覆去的用就是了定理5 G连通，u >=3则下列命题等价:(1) G 是块。
(2) G 的任二顶共圈。
(3) G 的任一顶与任一边共圈(4) G 的任二边共圈(5) 任给G 的二顶及一边，存在连接此二顶含此边之轨(6) 对G 的三个不同的顶，存在一轨，连接其中两个顶，含第三个顶(7) 对G 的三个不同的顶，存在一轨，连接其中两个顶，不含第三个顶。
(本也没什么可证的了，但就这样结束了也太快了，这个证一下)证: (1)>>(2)，(2)>>(1) 见定理 2(2) >>(3)只考虑u为G的任给一个顶，vu是G中任给定的一条边，且u<>v,u<>w的情形。
设C是含u与v的圈，若w在C上，则C上含u的轨P(v,w) 与边vw形成一个圈，它含u及边vw。
若w不在C上，因v不是割顶，由定理3，存在不含v的轨P(w,u)。
令u'是P(w,u)与C从w沿P(w,u)看来的第一个公共顶，贝U由边vw,P(w,u)上w到u'段，以及C上含u的轨P' (u '并成一个圈，此圈满足(3)的要求。
(3) >>(4)与(2)>>(3)类似证明。
(4) >>(5)已知任二边共圈，设u,v是G上任给定的两个顶，x是任给定的一条边，只考虑x与u,v皆不相关联的情形。
由任二边共圈显然有任二顶共圈，于是由于(2)>>(3)知u与x共圈，设此圈C1;同理v与x共圈，设此圈是C2;若v € C1 或u€ C2,则⑸成立；若u不属于C2,且v不属于C1,则如下构作含x之轨P(u,v): 从u出发沿C1到达C1与C2上第一个公共顶w,再从w出发沿C2含x的部分到达v。
(5) >>(6)设u,v,w是G的三个顶，且与w相关联的一条边是x,由⑸存在轨P(u,v)，x 在P(u,v)上，于是w 在P(u,v)上。
(6) >>(7) u,v,w € V(G),由(6),存在轨P(u,w), P(u,w)含顶v,则P(u,w)的从u 到v的一段不含w。
(7) >>(1)由(7),对任给定的二顶u与v,不存在这样的顶，它在从u到v的每一轨上,由定理3, G 无割顶,故G 是块。
证毕。
讲了这么多,下节才涉及到实践中的问题。
下节讲可靠通讯网的构作。
不过下节又是本章的最后一节了。
3.3 可靠通讯网的构作我们要构作一个有线通讯网, 使得敌人炸坏我几通讯站后, 其余的通讯站仍然可彼此通话。
显然, 有两个要求是必要的：一是不怕被敌人炸坏站的数目要多, 一是整个造价要小。
这个实际问题的数学艺术模型如下：G是加权连通图，k是给定的自然数，求G的有最小权的k连通生成子图。
当k=1 时,它就是用Kruskal 算法求得的生成树；当k>1 时,是尚未解决的难解问题之一。
哦，原来k>1 时是没解决的难题，自己以前也想过这方面的东西，只是想了半天也想不出个所以然，原来是个大难题呀。
当G=K u每边权皆为1时，Harary于1962年解决了这一问题。
下面介绍Harary的工作。
令f(m,n)表示n个顶的m连通图当中边数的最小值，m<n。
由工d(v)=2eK =< K' =< Sf(m,n)>={mn/2}Harary 实际上构作出一个n 顶的m 连通图，它的边数恰为{mn/2} 条，且f(m,n)={mn/2} 。
此图记成H(m,n) 。
⑴m是偶数，m=2r。
H(2r,n)以{0,1,2,…询为顶集合。
当i-r=vj=<i+r 时，在顶点i 与j 之间连一边，这里的加法在mod n意义下进行。
(2) m 是奇数，m=2r+1,n 是奇数。
先构作H(2r,n),然后对1=<i=<n/2 的i,在i 与i+n/2 间加上一条边得H(2r+1,n)。
(3) m 是奇数，m=2r+1,n 是奇数。
先构作H(2r,n),然后在顶点0与(n-1)/2,0与(n+1)/2之间加上边，在顶i与i+(n+1)/2间加上边，其中仁<i=<(n-1)/2，则得到H(2r+1,n)。
无法把图画上来，H(6,8)、H(5,8)、H(5,9)看一下图就明白这个构作的方法了。
下面证上面的构作出来的东西是符合要求的。
定理6 H(m,n)是m连通图，且边数最少证：m=2r时，我们来证明H(2r,n)，设有少于2r个顶组成的顶剖分集。
若V'是一个顶剖分集，且|V'|<2r，又设i与j两个顶分别属于H(2r,n)-V'的不同连通片，令S={i,i+1,...,j-1,j},T={j,j+1,...,i-1,i},其中加法在mod n下执行。
因为|V'|<2r，不失一般性，设|V' n S|<r则显然存在S-V'中的序列，从i如至j终，使得序列中连续二顶之差的绝对值最大是丫。
但这样的序列中相邻顶之间由(1)知存在边，即在H(2r,n)-V'中有轨P(i,j),与i,j分居于H(2r,n)-V'的两年连通片中相矛盾，故H(2r,n)是2r连通的。
相似地可以证明m=2叶1时，H(2叶1,n)是2r+1连通的。
由于f(m,n)>={mn/2}, £ (H(m,n))={mn/2},而H(m,n)是n顶m连通图，故有f(m,n)=<{mn/2},从而得£ (H(m,n))=f(m,n)={mn/2}。
证毕由于K =<K，故 H(m,n)也是m连通图，若用g(m,n)表示n个顶m边连通图中最少边数，则对1<m<n,g(m,n)={mn/2}。
就这样第三章也结束了，理论讲了一大堆一、通论1. 1图论的内容与历史回顾一上来总要先回顾一下历史，让人了解一下这个学科的来龙去脉，见怪不怪了。